相似三角形在圆中的运用

25．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是BC的中点，过点D作⊙O的切线，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连结AD．

（1）求证：AF⊥EF；

（2）若

1

tan

2

CAD

∠=，AB=5，求线段BE的长．

25．（1）证明：连结OD．

∵直线EF与⊙O相切于点D，

∴OD⊥EF．

∵OA = OD，∴∠1=∠3．………………………….. 1分∵点D为BC的中点，

∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，

∴OD∥AF，∴AF⊥EF．………………..………… 2分（2）解：连结BD．

∵

1 tan

2

CAD

∠=，

∴

1

tan1

2

∠=，……………….………………..…… 3分

在Rt△ADB中，AB=5，

∴BD

AD

=

在Rt△AFD中，可得DF=2，AF=4，

∵OD∥AF，∴△EDO∽△EF A，….……………… 4分

∴OD OE AF AE

=，

又∵OD=2.5，设BE=x，

∴2.5 2.5

45

x

x

+

=

+

，

∴

5

3

x=，即BE=

5

3

．…………………….….……. 5分

3

2

1

O

C

B

A

D

F

E

E

F

D

A

B

C

O

1

2

3

E

A

（1）圆题目的第二问通常需要作一条辅助线

（2）当涉及到求具体边的长度时，通常会利用到求半径长度

25．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 与边AB 相切于点E ，交BC 于点F ，CE 为⊙O 的直径. （1） 求证：OD ⊥CE ；

（2） 若DF =1， DC =3，求AE 的长．

25. (本小题满分5分)

（1

）证明：

⊙O 与边AB 相切于点E ，且 CE 为⊙O 的直径．

CE ⊥AB ．

AB=AC ，AD ⊥BC ，

． ………………………………1分

又 OE=OC ，

OD ∥EB ．

OD ⊥CE ． (2)

分

（2）解：连接EF ．

CE 为⊙O 的直径，且点F 在⊙O 上， ∴∠EFC =90°． CE ⊥AB ， ∠BEC =90°

． =90°

． ．

tan tan BEF ECF ∠=∠． ∴BF EF EF

FC

=．

又

DF =1， BD=DC =3， ∴ BF =2， FC =4．

∴EF =． ………………………………………………… 3分

∵∠EFC =90°，

∴BD DC ∴=∴∴∴∴+BEF FEC FEC ECF ∠=∠+∠∠∴BEF ECF ∠=∠∴

∴∠BFE =90°．

由勾股定理，得BE ==． ……………………4分 EF ∥AD ， ∴21

BE BF EA FD ==．

∴AE = ……………………………………………………5分

要锻炼找相似三角形的能力，圆中经常与相似三角形结合

25．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF ∥BC ，交AC 于点E ，交PC 于点F ，连接AF .

（1）求证：AF 是⊙O 的切线；

（2）已知⊙O 的半径为4，AF=3，求线段AC 的长.

25．（1）证明：连接OC ，…………………..(1分)

∵AB 是⊙O 直径，

∴∠BCA =90°

∵OF ∥BC ∴∠AEO =90°， ∴OF ⊥AC ，∵OC =OA ， ∴∠COF =∠AOF ， ∴△OCF ≌△OAF ∴∠OAF =∠OCF

∵PC 是切线∴∠OCF =90°，……………………..(2分) ∴FA ⊥OA ，∴AF 是⊙O 的切线……………………..(3分) （2）∵⊙O 的半径为4，AF =3，FA ⊥OA ，

∴OF =

=5 ∵F A ⊥OA ，OF ⊥AC ，

∴AF ·OA = OF ·EA ，……………………………..(4分) ∴3×4= 5×EA ，

解得AE =，

AC =2AE =………………………………………..(5分)

12

524

5

O F P

E

C

A

B

A

B C E

P

F

O

熟练掌握相似三角形基本图形

25. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线CM ． （1）求证：∠ACM =∠ABC ； （2）延长BC 到D ，使CD = BC ，连接AD 与CM 交于点E ，若⊙O 的半径为2，ED =1，求AC 的长．

（1）证明：连接OC . ∵ AB 为⊙O 的直径， ∴ ∠ACB = 90°.

∴ ∠ABC ＋∠BAC = 90°.[来源:学科网] ∵ CM 是⊙O 的切线， ∴ OC ⊥CM .

∴ ∠ACM ＋∠ACO = 90°. ············· 1分∵ CO = AO ， ∴ ∠BAC =∠ACO .

∴ ∠ACM =∠ABC . ················· 2分 （2）解：∵ BC = CD ，OB=OA , ∴ OC∥AD. 又∵ OC ⊥CE , ∴CE ⊥AD . ------3分 ∵ ∠ACD =∠ACB = 90°, ∴ ∠AEC =∠ACD . ∴ ΔADC ∽ΔACE . ∴

AD AC

AC AE

=

. ···················· 4分[ 而⊙O 的半径为2, ∴ AD = 4. ∴

43

AC

AC =

. ∴ AC = 2 3 . ··················· 5分[