数列前n项和Sn的求法
数列求和Sn的方法
数列求和Sn的方法数列求和是数学中的一个经典问题，也是高中数学中经常讨论的内容。
我们可以通过不同的方法去求解数列求和问题，其中包括等差数列求和、等比数列求和、Telescoping（消项法）求和等方法。
接下来将介绍一些常见的数列求和方法。
首先是等差数列求和。
等差数列是指数列中的每一项与它前面一项之间的差是一个常量的数列。
对于等差数列求和，我们可以利用求和公式进行计算。
假设等差数列的首项为a，公差为d，前n项的和为Sn，则等差数列的求和公式可以表示为：Sn=(n/2)*(2a+(n-1)d)。
这个求和公式可以很方便地计算等差数列的和，只需知道首项、公差和项数即可。
接下来是等比数列求和。
等比数列是指数列中的每一项与它前面一项之间的比是一个常数的数列。
对于等比数列求和，我们可以利用求和公式进行计算。
假设等比数列的首项为a，公比为r，前n项的和为Sn，则等比数列的求和公式可以表示为：Sn=a(1-r^n)/(1-r)。
这个求和公式可以很方便地计算等比数列的和，只需知道首项、公比和项数即可。
除了上述的求和公式，还有一种常用的求和方法是Telescoping（消项法）求和。
Telescoping是一种利用数列的特定性质进行求和的方法。
它基于数列中相邻两项之间的特殊关系，通过逐项相减将其他中间项抵消掉，只保留首项和最后一项来简化求和问题。
利用Telescoping求和的关键在于寻找数列中的其中一种“抵消”的规律。
常见的Telescoping求和包括：简单Telescoping、平方Telescoping、立方Telescoping等。
这种方法在求和过程中逐步消去中间项，从而简化了求和计算。
此外，对于一些特殊的数列求和问题，还可以使用变量替换、递推公式等方法进行解决。
变量替换方法是将数列中的项通过其中一种变换替换成已知的数列，进而求解出结果。
递推公式方法是通过给定数列中的前几项来找出数列的递推关系，然后利用递推关系式求解出数列的和。
sn的前n项和公式
sn的前n项和公式在数学中，求和公式是一种用于计算数列前n项总和的公式。
普通求和公式通常用来计算等差数列的和，而更复杂的求和公式用于计算其他类型的数列，如等比数列或三角数列等。
在数学和统计学等领域中，求和公式都是必不可少的工具。
以下是总结sn的前n项和公式的文章，共计。
一、等差数列求和公式等差数列是指每一项之间的差值相等的数列。
求和公式是用来计算等差数列的总和的公式。
我们以等差数列a1,a2,…,an为例，公差为d，其中a1为首项。
那么这个等差数列的前n项和为:$S_{n} = \\frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$这个公式的推导如下：首先，我们可以用等差数列的通项公式来表示每一项：$a_{k} = a_{1} + (k - 1) d$其中，k表示这个数列的第k项。
然后，我们可以把等差数列从第一项到第n项的和表示为：$S_{n} = (a_{1})+(a_{1} + d) + (a_{1} + 2d) + ... + (a_{1} + (n-1)d)$接着，我们可以倒过来将等差数列从第n项到第一项的和表示为：$S_{n} = (a_{n})+(a_{n} - d) + (a_{n} - 2d) + ... + (a_{n} - (n-1)d)$ 由于这两个等式相加后每一项的和都是2S_n，我们可以得到下面的式子：$2S_{n} = n(a_{1} + a_{n})$最后，我们可以将等号两边除以2得到最终的求和公式：$S_{n} = \\frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$二、等比数列求和公式与等差数列不同，等比数列是指每一项与前一项之比相等的数列。
与之对应的求和公式是用来计算等比数列的总和的公式。
我们以等比数列a1,a2,…,an为例，公比为q，其中a1为首项。
那么这个等比数列的前n项和为:$S_{n} = \\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}$这个公式的推导如下：我们可以将等比数列中的每一项表示为：$a_{k} = a_{1} q^{k-1}$其中，k表示这个数列的第k项。
数列sn、an的求法
数列sn、an的求法
总体而言，对于求解数列的方法有很多，它们可以按解数列中的元素的关联程度分为三大类：直观推断法、递推法和递归法。
本文就以 sn 、an 为例，正确的解决这类问题
的方法是应用合适的递推和递归方法，研究数列特性，得出数列表达式来解决。
1.直观推断法：直观推断法指从数列中寻找规律，从而对数列进行快速预测，最后从而得出这个数列的表达式。
sn和an数列的直观推断法是从已知第一项a1和公差d，把其他项一次顺推，来确定数列的特征。
sn数列的第n项可以写成$Sn＝ a_1+ T_1 + \cdots +T_{n-2}+T_{n-1}，\ T_k＝ k(d_1 + d_2 + \cdots + d_k)，$其中Tk是$s_k$和
$s_{k+1}$之间的公差等差等比之和，an数列则有$a_n＝ a_1 + (n – 1)d $
3.递归法：递归法是求解数列的一种特殊方法，也是很重要的方法，也可以用来描述数列的特性。
它把第n+1项以第n项和前面几项来表示，从而求出第n+1项。
比如sn数
列可用递归法来表示，有$s_{n＋1}＝ s_n+ d_n$，$d_n＝ 1/2(d_{n－1}+ 2d_n)，$其中$d_n$为第n项与前面项之间的公差。
an数列也可以用递归法来表示，有$a_{n＋1}＝ a_n + d$，$d_n＝ a_{n＋1}− a_n，$其中$d_n$为第n项与前面项之间的公差。
4.2.2等差数列的前n项和公式
= 1 +
.
2
作用：已知 a1，d和 n，求 Sn.
典型例题
例1已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求 S50；
5
（2）若a1=2，a2= ，求S10；
2
1
1
（3）若a1= ，d= − ，Sn=−5，求n.
2
6
解：（1）∵a1=7，a50=101，
当n＝6时，an＝0；
所以 an＋1＜an .所以{an}是递减数列.
当n＞6时，an＜0.
由 a1＝10，dБайду номын сангаас＝－2，
得 an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12.
所以 , S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…
令 an＞0，解得 n ＜6.
所以，当n＝5或6时，Sn最大.
因为5 = 5 × 10
2
= + (1 − ).
2
2
Sn＝Sn－1＋an（n≥2）
函数思想
课后作业
1.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，
所以2 = (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )
= (1 + ).
(1 + )
=
.
2
等差数列的前n项和公式
等差数列{an}的前n项和Sn公式：
(1 + )
=
.
2
作用：已知 a1，an 和 n，求 Sn.
an＝a1＋(n－1)d，(n∈N*)
，有
2
101 + 45 = 310，
求数列前n项和8种的方法(史上最全)
求数列前n 项和8种的方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =时，1n S na =； （2）()1111nn a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21nk k ==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)n k k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++.例1 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n s n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
求数列通项公式、前n项和sn常用方法F
求数列通项公式常用方法1.归纳法：由给出已知项寻找规律 ，求同存异，猜想通项公式2.公式法：等差数列与等比数列.3.作差法：利用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n , 求n a特别的：已知前n 项积，求n a 使用（作商法）.4、累加法：数列}{n a 的递推公式为)(1n f a a n n =-+型时，且{)(n f }中n 项和可求。
5、累乘法：数列}{n a 的递推公式为)(1n f a a n n =+型时，且{)(n f } 中n 项积可求。
6、构造法：形如q a p a n n+∙=-1（q p 、为常数）的形式，往往变为)(1λλ-=--n n a p a ，构成等比数列，求}{λ-na 的通项公式，再求n a .7、倒数法：形如)()()(n h a n g a n f n n++，可取倒数后换元，变为q a p a n n +∙=-18.周期法：计算出前n 项，寻找周期精题自测(1)已知数列}{n a 满足)1(23-=n n a S ，则n a =_____________(2)已知数列}{n a 满足11=a ，n n n a a 21+=+，则n a =_____________(3)已知数列}{n a 满足11=a ，)11ln(1na a n n ++=+，则n a =_____________(4)已知数列}{n a 满足11=a ，n nn a a 21=+，则n a =_____________(5)已知数列}{n a 满足11=a ，0>n a ，0)1(1221=∙+-+++n n n n a a na a n ，则n a =____________(6)已知数列}{n a 满足11=a ，121+=+n nn a a a ，则n a =_____________(7)已知数列}{n a 满足31=a ，62=a ，n n n a a a -=++12，则2013a =_____________(8)已知数列}{n a 满足333313221na a a a n n =∙++∙+∙+- ，则n a =_____________（9）已知数列的前n 项积为2n ，则当≥n 2时，则n a =_____________求前n 项和nS 常用方法1、公式法：等差数列的前n 项和公式： 等比数列的前n 项和公式：①d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ②⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q qq a a q q a q na S n n nn )1(211+=∑=n n k nk∑=nk k 12=)12)(1(613212222++=++++n n n n 213)]1(21[+=∑=n n k nk 例1：已知3log 1log 23-=x ，求 +++++n x x x x 32的前n 项和.2、分组求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．例2：求数列211，413，815，…，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n n 2112）（的前n 项和。
数列的递推公式与通项公式前n项和公式
二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。
在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。
（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。
一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。
数列通项公式和前n项和求解方法(有针对训练)
专题一：数列通项公式的求法 一．观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） ,52,21,32,1一、 公式法公式法1：特殊数列公式法2： 知n s 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s a n n n例2：已知数列}{n a 的前n 项和n S 的公式12-+=n n S n ，求}{n a 的通项公式.例3：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．三、 累加法 【型如)(1n f a a n n +=+的递推关系】简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得。
例： 若在数列{}n a 中，31=a ，n n n a a 21+=+，求通项n a例4：已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.四、累乘法 【 形如1+n a =f (n)·n a 型】（1）当f(n)为常数，即：q a a nn =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例5：在数列｛n a ｝中，1a =1, n n a n a n ⋅=⋅++1)1( ，求n a 的表达式.五、构造特殊数列法 【形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型】（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得)0(,1≠-=c c d λ， 所以：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n ,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列. 例6：已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a .六、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】例7：（1）数列{n a }满足01=a ,且)1(2121-=++++-n a a a a n n ,求数列{a n }的通项公式.解析：由题得 )1(2121-=++++-n a a a a n n ①2≥n 时， )2(2121-=+++-n a a a n ②由①-②得⎩⎨⎧≥==2,21,0n n a n .（2）数列{n a }满足11=a ,且2121n a a a a n n =⋅⋅- ，求数列{n a }的通项公式。
2.3等差数列前n项和公式(2)
其中p、q、r为常数，且 p 0, 那么这个数列 an 一定是的等差数列吗？
解：根据上例解得 an
只有r 0时，数列an 才是等差数列 首项为： a1 p q, 公差为： d 2 p
( n 1) p q r 2 pn p q ( n1)
等差数列前n项和的性质一：
求使得 S n最大的序号 n的值。
解1：由已知可得， a1 5, d 可得S n 5n
n ( n 1) 5 ( ) 2 7
5 7 , 代入S n
na1
n ( n 1) 2
d
75n 5n 2 14
2 1125 5 即：S n 14 (n 15 ) 56 2
∴an= a1 +(n-1)d=-76+15(n-1)=15n-91
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
an =15n-91≤0 令 an+1 =15(n+1) -91≥0
1 1 ，解得 5 n 6 15 15
∴当n=6时，Sn取最小值，此时
n(n 1) Sn na1 d 6 (76) 15 15 231 2
等差数列平均分组，各组之和仍为等差数列。
如果a n 为等差数列，则S k , S 2 k S k , S 3k S 2 k 也成等差数列。
新的等差数列首项为 S k，公差为k d。
2
二、例题 例3.已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项 变式.在等差数列 an 中 ,已知第 1 项到第 10 项的和为 310 , 的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前 n 项 第 11 项到第 20 项的和为 910 , 求第 21 项到第 30 项的和 . 和的公式吗？ 解：依题意知，S10=310，S20=1220 得
数列前n项求和
n
2Sn
2 2 2 3 2 (n 1) 2 n 2
2 3 4 n
n1
两式相减得
Sn (2 2 2 2 ) n 2
2 3 n
n1
(n 1) 2 2
n1
练习 求数列 a, 2a 2 ,3a3 , , na n 的各项之和
裂项相消法
1 1 1 n(n 1) n n 1 1 1 1 1 ( ) (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 a b a b a b
1 1 1 1 pq q 3 3 5 5 7
1 1 1 2 n S n 1 (3 ) (3 2 ) (3 n ) 3 3 3 1 1 1 2 n (1 3 3 3 ) ( 2 n ) 3 3 3 3n 1 1 1 3 n 1 n 1 n (3 3 ) 2 2 2
数列求和
求数列的前n项和Sn，通常有以下方法： 1、公式法：常用公式有
n n 1 1 2 3 n , 2 1 3 5 (2n 1) n2 2 4 6 2n n n 1 n n 1 2n 1 1 2 3 n 6
对于通项型如
方法总结
1 an bn bn 1
公式求和
拆项重组
(其中 {bn } 为等差数列） 的数列,在求和时将每项 分裂成两项之差的形式, 一般除首末两项或附近 几项外,其余各项先后抵 消,可较易求出前n项和.
裂项相消
错位相减
方法总结
如果 {an }是等差数列,
公式求和
数列前n项和公式解法大全
数列前n项和公式解法大全一、用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=n(a1+a n)/2解析：S n=a1+a2+a3+...+a n①倒序得：S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1②①+②得：2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n+a1)又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1∴2S n=n(a2+a n) S n=n(a1+a n)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。
二、用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。
点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。
三、用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。
点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。
四、用错位相减法求数列的前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
等比数列通项公式和前n项和公式
等比数列通项公式和前n项和公式等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，则其通项公式为：an = a * r^(n-1)，其中n 为项数。
在等比数列中，前n项和的公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)。
英文：Geometric progression is a sequence in which the ratio of any two consecutive terms is the same. Let the first term of the geometric sequence be a, and the common ratio be r, then its general term formula is: an = a * r^(n-1), where n is the number of terms. In a geometric sequence, the formula for the sum of the first n terms is: Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r).等比数列通项公式an= a1 * q^(n-1)，其中q为公比。
英文：The general term formula of a geometric sequence is an=a1 * q^(n-1), where q is the common ratio.在等比数列中，首项为a1，通项公式为：an= a1*q^(n-1)。
其中an表示第n项，q为公比。
英文：In a geometric sequence, the first term is a1 and the general term formula is: an= a1*q^(n-1). Where an represents the nth term, and q is the common ratio.当公比小于1时，等比数列是一个收敛的数列。
数列通项公式方法求前n项和例题讲解和方法总结
数列通项公式方法求前n项和例题讲解和方法总结数列的通项公式1.通项公式如果数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表达，叫做数列的通项公式。
2.数列的递推公式（1）如果已知数列的第一项，且任一项与它的前一项之间的关系可以用一个公式来表示。
（2）递推公式是数列所特有的表示方法，它包含两部分，一是递推关系，二是初始条，二者缺一不可3.数列的前n项和与数列通项公式的关系数列的前n项之和，叫做数列的前n项和，用表示，即与通项的关系是4.求数列通项公式的常用方法有：(前6种常用，特别是2,5,6)1）、公式法，用等差数列或等比数列的定义求通项2）前n项和与的关系法，求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)3）、累（叠）加法：形如∴4）.累（叠）乘法：形如∴5）.待定系数法：形如a=pa+q（p≠1，pq≠0），（设a+k=p（a+k）构造新的等比数列）6)倒数法：形如（两边取倒，构造新数列，然后用待定系数法或是等差数列）7).对数变换法：形如，（然后用待定系数法或是等差数列）8).除幂构造法:形如(然后用待定系数法或是等差数列)9).归纳—猜想—证明”法直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳—猜想—证明”法．递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法.通项公式方法及典型例题1.前n项和与的关系法例1、已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。
（1）(1)Sn＝2n2－3n；（2）解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.（1），当时===3经验证也满足上式∴=3（2），当时，由于不适合于此等式。
等比数列的通项与前n项和
等比数列的通项与前n项和等比数列是指从第二个数开始，每个数都是前一个数与一个固定比例的乘积。
通常用字母a表示首项，q表示公比，那么等比数列的通项公式可以表示为an=a1*q^(n-1)。
前n项和公式可以表示为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
等比数列的通项与前n项和在数学中有着广泛的应用，下面将对其计算方法进行详细介绍。
一、等比数列的通项求解对于等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)，我们可以通过已知的首项a1和公比q，来求解任意项的值。
以求解第n项an为例，假设我们已知等比数列的首项a1和公比q，则可以利用公式an=a1*q^(n-1)进行计算。
其中，n为所求项的位置。
例如，如果首项a1=2，公比q=3，我们想要求解第5项的值an。
根据通项公式可得：a5 = a1*q^(5-1) = 2*3^(5-1) = 2*3^4 = 162因此，等比数列的第5项的值为162。
二、等比数列的前n项和求解等比数列的前n项和可由前n项的通项公式进行计算。
前n项和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比。
以求解前5项和Sn为例，假设等比数列的首项a1=2，公比q=3，则可以利用公式Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)进行计算。
我们要求解的是前5项和，即n=5。
代入公式可以得到：S5 = a1*(1-q^5)/(1-q) = 2*(1-3^5)/(1-3) = 2*(-242)/(2) = -242因此，等比数列的前5项和为-242。
综上所述，等比数列的通项与前n项和可以通过相应的公式进行计算。
知道了等比数列的首项和公比，我们就能得到任意项的值以及前n 项的和。
(完整版)数列前n项和的求法总结
数列前n 项和的求法总结核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。
当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。
一． 公式法（1） 等差数列前n 项和： S n=n(a 1+a n )2=na 1+n(n+1)2d（2） 等比数列前n 项和： q =1时， S n=na 1；q ≠1时， S n =a 1（1−q n ）1−q（3） 其他公式： S n=1+2+3+⋯+n =12n (n +1)S n =12+22+32+⋯+n 2=16n(n +1)(2n +1)S n =13+23+33+⋯+n 3=[12n (n +1)]2例题1：求数列 112，214，318，……，(n +12n )，…… 的前n 项和S n解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。
练习：二.倒序相加法如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{an }，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn =a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn =an+an-1+an-2+…+a1②①+②得：2Sn =(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn =n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。
数列求通项公式的五种重要方法
求通项公式的5种重要方法一、Sn 法，根据等差数列、等比数列的定义求通项an=Sn-S n-1*121{}(1)()3(1),;(2):{}.n n n n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列二、累加、累乘法1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
例12、累乘法 适用于： 1()n n a f n a += 若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na a a f f f n a a a +=== ，，， 两边分别相乘得，1111()n n k a a f k a +==⋅∏ 例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
例5 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.例6 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。
三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+分析：通过凑配可转化为1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+;解题基本步骤：1、确定()f n2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为2λ3、列出关系式1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+4、比较系数求1λ，2λ5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式6、解得数列{}n a 的通项公式例7 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。
等差数列的前n项和的性质
由二次函数性质得，当n=13时，Sn有最大值169. „„12分
方法二：先求出公差 d=-2（同方法一），„„„6分 ∵a1=25＞0,故{an}为递减数列，由
1 n 13 2 n 1） 0 25 （ 2 解得 , 25 2n 0 n 12 1 2 1 1 即12 n 13 . 又n∈N*
或利用二次函数Sn=an2+bn(a,b为常数)
求Sn的最值。
举例应用:
【例1】(12分)有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和
a5 S 7n 2 n 分别为Sn和Tn，若 . ，求 b5 Tn n 3
【解答】方法一：
a 5 2a 5 b5 2b5
S9 T9 93
65 . 12
d<-3 a 3 +4d<0 a7 <0 24 24 - <d<-3 7 a6 +a7 >0 2a 3 +7d>0 d> 7
例3.
a6 a7 0 S12 0 2)分析： 注意： S13 0 a7 0
解：
练习：在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9， 求Sn的最大值. 【审题指导】题目给出首项和S17=S9等条件，欲求Sn 的最大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公 式an求n使得an≥0,an+1＜0或利用性质求出大于或等 于零的项.
已知n, a1 , d , an中的三个.
引入:
d 2 d Sn =na1 + d= n + a1 - n 2 2 2 可见d≠0时，Sn是关于n的缺常数项的二次 函数，其二次项系数是公差的一半。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数列前n项和S n的求法
数列前n项和S n=a1+ a 2+ a 3+…+ a n，对任何一个可求和数列求前n项和一般有下列几种方法。
一、直接求和法：对等差数列、等比数列或可以转化成等差等比数列的数
列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
例1、（1）已知数列{a n}满足：a n=2n+3,求S n 。
（2）已知数列{a n}的通项公式a n=3•2n，求S n 。
例2、求数列1，2+3，4+5+6，7+8+9+10，…的前n项和S n。
练习：计算2
2
2 （共n个根号）的值。
2
二、分项求和法：将数列的一项分成两项（或多项），然后重新去组合，再利用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。
值得注意的是，通项公式是“分项”的依据，没有写出通项公式的数列首先要求出通项公式再根据通项公式进行“分项”。
例3、求数列{n+2n }的前n 项和。
例4、计算：22332222)1
()1()1()1(n n a
a a a a a a a 。
例5、求数列 0.9，0.99，0.999，0.9999，…的前n 项和 。
例6、计算：1)3(4)2(3)1(21 n n n n n 。
三、拆项求和法：将数列的一项拆成两项（或多项），使得前后项相抵消，
留下的有限项，从而求出数列的前n 项和。
与分项求和法不同的是它靠抵消项而不是靠重新去组合来求和，相同的是通项公式是“拆项”的依据，没有写出通项公式的数列首先要求出通项公式再根据通项公式进行“拆项”。
例7、求数列{)
12)(12(1
n n }的前n 项和。
例8、计算：n
3211
4321132112111的值。
四、错位相减求和法：差比数列的前n 项和用错位相减求和法求和，在
和式的两边同乘以公比q ，再错位相减即可以求出前n 项和。
差比数列的定义：数列{n a }的通项公式形如：n n n c b a ，其中{n b }是等差数列，{n c }是等比数列的数列{n a }叫差比数列。
例9、求数列{n n 2
1
)13( }的前n 项和。
例10、计算：n n 1)1(4321 的值。
作 业
（1）、求数列 5，55，555，5555，…的前n 项和。
（2）、求数列 1，3+5，7+9+11，13+15+17+19… 的前n 项和。
（3）、已知数列{a n }的通项公式a n =12
23 n n ，求S n 。
（4）、求数列132)12(,,7,5,3,1 n x n x x x 的前和。
（5）、求数列{
)
13)(23(1
n n }的前n 项和。
（6）、求数列 12
1
41211 , , 8141211 , 41211 , 211 , 1 n 的前
n 项和。
（7）、求数列{
1
1 n n }的前n 项和。
（8）、求数列 10，200，3000，40000，…的前n 项和。