求函数定义域及值域方法及典型题归纳

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳

一、基础知识整合

1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。

2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。

3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：

（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。

（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。

4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。

（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。

（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。

二、求函数定义域

（一）求函数定义域的情形和方法总结

1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。

（1）常见要是满足有意义的情况简总：

①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；

②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。

③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.

④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.

⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）

⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.

（2()log (1)x f x x =-）

注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。

（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形

如：2()x f x x

=) 2.抽象函数（没有解析式的函数）

解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。总结为：

（1）给出了定义域就是给出了所给式子中x 的取值范围；

（2）在同一个题中x 不是同一个x ；

（3）只要对应关系f 不变，括号的取值范围不变。

（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。

例1：已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f （2x-1）的定义域。

解：∵f(x+1)的定义域为[-1,1]；（及其中x 的取值范围是[-1,1]）

∴012x ≤+≤ ； （x+1的取值范围就是括号的取值范围） ∴f(x)的定义域为[0,2]；（f 不变，括号的取值范围不变）

∴f(2x-1)中

0212x ≤-≤ ∴1322

x -≤≤ ∴f(2x-1)的定义域为13|22x x ⎧

⎫-

≤≤⎨⎬⎩⎭ 3.复合函数定义域

复合函数形如：(())y f g x =,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。 例2：()(2,3),()(1)(2),

f x

g x f x f x -=++-若函数的定义域为求g(x)的定义域。

分析：由题目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算，所以只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。

解：由f(x)的定义域为（-2,3），则

f(x+1)的定义域为（-3,2），f(x-2)的定义域为（0,4）；

3204

x x -<<⎧∴⎨<<⎩，解得0

（二）求定义域的典型题1.已知函数解析式

（1）求下列函数的定义域

2

11 (1)();(2)()(1)();

31

x

f x f x x f x

x x

-==+=

+-

22

(23)

11

(4)()(1);(5)()log();(6)()

42

x

x

f x x f x x f x

x

+

-

=-=-=+

-

（2）求下列函数的定义域

(1)()()

1

2

(3)()()

f x f x

x

f x f x

==

-

==

(3)与函数定义域有关的问题题

①若函数

22

4

()

(21)

x

f x

x m x m

-

=

+++

的定义域为R，求实数m的取值范围。

②函数y=的定义域为R，求k的取值范围。

③函数()

f x=R，求m的取值范围。

2.求抽象数定义域

①若函数f(x)的定义域为（-2,6），求

1

(1)

2

f x-的定义域。

②若数()

f x的定义域为[0,2],求函数

(2)

()

1

f x

g x

x

=

-

的定义域。

③若数(1)

f x-的定义域为[-1,2],

求函数()(2)

g x f x

=+的定义域。

④若函数()

f x的定义域为[0,1],

1

()()(),()

2

g x f x a f x a a

=++-≤，求函数g(x)的定义域。