基于量子门组单元的神经网络及其应用
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非门) 符号 图1 量子异或门 ( 受控
这样 ,实际上得到了用复数表示的量子态及通用量子门组形式 . 这里 ,我们将受控非门推广成了受控 2 U 门 . 对于二维量子体系 ,不同的 θ对应于不同的量子态 ,两类量子门通过改变 θ值来实现对量子态的演
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
L
uk = yk =
f (θ ∑
l
l,k
) ・Il - f (λ k) ; ( 4)
图2 量子神经元示意图
π ・g (λ k ) - arg ( uk ) : 2 Ok = f ( y k ) ,
1 其中 , g ( x ) = - x . 1+e
有了上述的神经元 ,我们借助传统前馈神经网络模型的结构就可以建立起多层量子神经元网络 . 该网 络结构具有以下几个特征 :1) 复数形式 ;2) 类似于传统 BP 网络 ;3) 应用量子门进行计算 . 在此网络中 ,信息 处理的过程可以描述为 : 输入量子态 ( 以态叠加的形式 ) 由输入端输入 , 经由相移门和受控 U 门组成的通 用门组单元处理 ,其相位及幅度均受到调制 ,然后进入隐层进行混合处理 ,并由输出层输出量子态 ,最后对 其进行测量得到最终的结果 . [5] 我们取改进的复值 BP 算法 ( Complex2BP) 作为上述量子神经元网络的训练算法 ,首先定义误差函数 为 1 ( t p - Measurep ) ( t p - Measurep ) 3 ( 5) E = 2 ∑ p 其中 3 表示共轭复数 . 训练过程表示如下 : 5E new old θ = θ - η ・ old ; 5θ 5E old γnew = γ - η・ old ; 5γ 5E new old λ = λ - η ・ old , 5λ 其中 η为学习率 ,通常取 010 - 110.
Abstract : Abstract Quantum computation is well known for its particular computational performance. In this paper , a novel quantum neuron model is constructed based on the universal quantum gates unit ( i. e. phase2shift gate and controlled 2NOT gate ) , which acts as the basic computational component , with this type of neuron a feed 2forward network structure is also built. The simulation results show that the quantum neuron network is superior to classical BP and RBF network for two financial data analysis examples. Key words : quantum computation ; quantum neural network ; quantum gates
1 0 0 e
i<
,即 < :| 0〉 → | 0〉 ,| 1〉 → e | 1〉 , 虽然它只是使量子态转动一个角度 , 没
i<
有逻辑意义 ,但在量子计算中会和 Hadamard 门结合起来实现一个量子位的任意幺正变换 , 因此具有十分 重要的作用 . 两位门中最常用的是受控非 ( Controlled2NOT) 门 ,又称量子 “异或” 门 ,它有两个输入端 | x 〉 和| y 〉 , 各有 一个量子位 ,即构成两位量子系统 ,对它们进行变换的算子应该是 4 × 4 的幺正矩阵 ,表示为 1 0 0 0 0 1 0 0 Cnot = ,即 Cnot : | 00〉→ | 00〉 , | 01〉→ | 01〉 , | 10〉→ | 11〉 , | 11〉→ | 10〉 . 0 0 0 1
摘要 : 以通用量子门组 ( 即相移门和受控非门 ) 作为基本的计算单元 , 构造出全新的量子神经元模型 , 并由此组成前馈型结构网络 . 仿真结果表明 , 就文中算例而言 , 该量子神经网络的计算性能优于传统的 神经网络 . 关键词 : 量子计算 ; 量子神经网络 ; 量子门 中图分类号 : TP3 ;TP18 文献标识码 : A
[2 ]
[1 ]
,因此它们之间的结合在理
论上有良好的预期 ,在实际应用中具有极大的潜力 . 而且 ,近年来国际上已经出现了一些该方向上的探索 , 如 1995 年 Kak 首次提出了量子神经计算 ( Quantum Neural Computation) 的概念 ,同年 Narayanan 等人提出量 子衍生神经网络 ( Quantum2inspired Neural Nets) 模型 , 1998 年 Ventura 等人提出量子联想记忆 ( Quantum Associative Memory) 模型等 ,所有这些尝试有助于拓宽量子计算的应用范围 ,也将有助于提高传统神经计算 的性能 . 本文延续上述思路 ,尝试将量子门的结构特性引入传统的神经计算中去 ,从而提高神经网络的 计算性能 . 我们知道 ,神经网络可以实现从输入空间到输出空间的非线性映射 ,在实际应用中可以拟合多变量函 数 ,完成回归分析或模式识别 、 系统辨识等任务 . 在神经网络中 ,最常用的和研究最多的就是前馈型网络 ,
A Neural Network Model Based2on Quantum Gates Cell and Its Applications
XIE Guang2jun , ZHOU Dian , FAN Hai2qiu , CAO Li2cheng
1 2 1 1
(11School of Science , Hefei University of Technology , Hefei 230009 ,China ; 21School of Management , Hefei University of Technology , Hefei 230009 ,China)
( 6)
4 仿真实验
我们将上述量子神经元网络模型应用于金融数据分析 . 例1 由公司的财务状况判断其破产风险 . 具体地 ,通过两个有代表性的财务指标 ( 即流动比率和债务Π 资产比率 ) 预测某公司的经营情况 , 看是 否会导致其破产 . 此例实质上是一个分类问题 . 此类问题由于没有明确的分类标准且不是线性可分的 ,因 此常用学习 ( 训练) 样本集的方法发现其中的规律 ,然后进行泛化推广 . 作为考察上述量子神经元网络计算性能的例子 ,我们选取部分公司样本 ,分别用经典 BP 网络和量子 网络进行处理 ,然后比较二者结果 ,从而得出结论 . 针对本例 , 量子神经元网络要优于经典 BP 网络 , 它在 训练速率和精度上都有了明显的提高 . 例 1 的训练样本集及训练结果分别见表 1 和表 2.
2 量子门和通用量子门组
在量子计算中 ,对量子位 (Qubit ) 的态进行一系列的幺正变换可以实现某些逻辑功能 , 这些变换所起 的作用相当于逻辑门所起的作用 ,因此称在一定时间间隔内实现逻辑变换的量子装置为量子门 ( Quantum Gates) . 按照量子门作用的量子位数目的不同可分为一位门 、 两位门和三位门等 . 其中 , 常用的一位门有相移 ( Phase2Shift ) 门 、 非 ( NOT) 门 、 Hadamard 门等 . 相移门是对一位量子位的态 进行相移变换 ,表示为 < =
第5期
基于量子门组单元的神经网络及其应用
115
化和变换 .
3 量子神经元及其网络
接下来 ,我们来构造基于通用量子门组单元的量子神经元 ,其结构如图 2 所示 . 在这样的一个神经元 中包括了两类量子基本门 ,它们完成对输入量子态的复合操作 ,实质上是对量子态的幅度和相位分别进行 处理 . 为了便于推广 ,我们使用了多个量子态叠加的形式表示输入和输出 ,并引入了相位转移系数 、 阈值系 数、 相位控制因子等可调整网络参数 . 具体地 ,分别为输入 I ,输出 O ,相位转移系数 θ,阈值系数 γ 和相位 控制因子λ. 用数学公式表述该量子神经元激活函数为
2005 年 5 月
系统工程理论与实践
第5期
文章编号 :100026788 ( 2005) 0520113205
基于量子门组单元的神经网络及其应用
解光军 , 周 典 , 范海秋 , 操礼程
1 2 1 1
3
(11 合肥工业大学理学院 ,安徽 合肥 230009 ;21 合肥工业大学管理学院 ,安徽 合肥 230009)
0 0 1 0
同时 ,量子 “异或” 门是幺正矩阵 ,也是厄米矩阵 ,用图 1 可以表述如下 . 量子门是物理实现量子计算的基础 ,从某种意义上说 ,量子门就代表了量 [4 ] 子计算 ,它包含了量子计算的特点 ( 如量子并行性 ) . 已有证明 , 在量子门中 存在着所谓的通用门组 ,由它们可以组合成任意的量子门 ,而最基本的通用门 组是由两类量子门构成的 , 即上述的一位相移门和两位受控非门 . 鉴于此 , 我 们就考虑用它们组成基本的计算单元 , 作为神经网络的激活函数来构成新的 计算模型 ,并考察其计算性能 . 这两类门对量子态的操作各有其特点 ,为了便于应用 ,我们假定对于二维量子体系 ,将其推广到广义 范畴 ,并用数学公式表述如下 : θ ) = e i = cos θ + i sinθ, 量子态 : | ψ : f (θ θ〉 (θ θ ) ) = f (θ ) ・f (θ ) = ei + ′ , ( 3) 相移门 : f (θ + θ ′ ′ θ, (κ = 1) sinθ + i cos π κ - θ = cosθ + i sinθ, (κ = 0) . 受控 2U 门 : f 2 ( 0 < κ < 1) else ,
[3 ]
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系统工程理论与实践
2005 年 5 月
如 BP 网络 、 RBF 网络等 ,用数学公式可以将它们统一表示为 :
N
y≈
n=1
∑a g
n
n
(φ( x , bn ) ) ,
( 1)
进一步地 ,有
dBaidu Nhomakorabea
φ( x , bn ) =
i =1
ω ψ( x ∑
ni
i
, cni ) ,
( 2)
) 为激活函数 ( 或称基函数) ,φ( ・ ) 为内部函数 . 网络的性能由激活函 其中 , an , bn ,ωni , cni 为可调权值 , gn ( ・
数和内部函数的种类和数目决定 ,常见的 BP 、 RBF 网络的激活函数分别具有如下特征 : ( xi - cni ) 和 ( x i cni ) .
2
由此可见 ,改变激活函数的形式将会得到新的计算模型 ,随之产生新的计算特性 . 于是我们自然就会 设想 : 能否使用某种变换 ,将量子计算的概念引入到传统的神经计算模型之中 , 从而改变它的计算特征 ? 研究这种新的计算模型将有助于结合二者的优势 ,得到更好的性能 .
1 概述
20 世纪 80 年代初 Benioff 和 Feynman 提出了量子计算的概念 , 随后 Shor 提出大数质因子分解算法 ( 1994 年) , Grover 提出无序数据库的量子搜索算法 ( 1996 年) ,从此量子计算以其独特的计算性能引起了广
泛瞩目 ,并迅速成为研究的热点 . 量子计算利用了量子理论中有关量子态的叠加 、 纠缠和干涉等特性 ,通 过量子并行计算 (Quantum Parallelism) 使得某些在经典计算机上计算复杂度很高的问题有可能降低其复杂 度 ( 如 NP2hard 问题等) . 在现有的计算模式当中 ,由于神经计算和量子计算有许多可以类比之处
收稿日期 :2004202213 资助项目 : 国家自然科学基金 (60302014) ,安徽省自然科学基金 (03042202) ,中国博士后科学基金 (20040350578) 作者简介 : 解光军 (1970 - ) ,男 ,博士 ,教授 ,主要研究方向 :量子信息处理 ,计算智能方法. E2mail :gjxie811 @mail. nf. ah. cn. © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
这样 ,实际上得到了用复数表示的量子态及通用量子门组形式 . 这里 ,我们将受控非门推广成了受控 2 U 门 . 对于二维量子体系 ,不同的 θ对应于不同的量子态 ,两类量子门通过改变 θ值来实现对量子态的演
© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
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uk = yk =
f (θ ∑
l
l,k
) ・Il - f (λ k) ; ( 4)
图2 量子神经元示意图
π ・g (λ k ) - arg ( uk ) : 2 Ok = f ( y k ) ,
1 其中 , g ( x ) = - x . 1+e
有了上述的神经元 ,我们借助传统前馈神经网络模型的结构就可以建立起多层量子神经元网络 . 该网 络结构具有以下几个特征 :1) 复数形式 ;2) 类似于传统 BP 网络 ;3) 应用量子门进行计算 . 在此网络中 ,信息 处理的过程可以描述为 : 输入量子态 ( 以态叠加的形式 ) 由输入端输入 , 经由相移门和受控 U 门组成的通 用门组单元处理 ,其相位及幅度均受到调制 ,然后进入隐层进行混合处理 ,并由输出层输出量子态 ,最后对 其进行测量得到最终的结果 . [5] 我们取改进的复值 BP 算法 ( Complex2BP) 作为上述量子神经元网络的训练算法 ,首先定义误差函数 为 1 ( t p - Measurep ) ( t p - Measurep ) 3 ( 5) E = 2 ∑ p 其中 3 表示共轭复数 . 训练过程表示如下 : 5E new old θ = θ - η ・ old ; 5θ 5E old γnew = γ - η・ old ; 5γ 5E new old λ = λ - η ・ old , 5λ 其中 η为学习率 ,通常取 010 - 110.
Abstract : Abstract Quantum computation is well known for its particular computational performance. In this paper , a novel quantum neuron model is constructed based on the universal quantum gates unit ( i. e. phase2shift gate and controlled 2NOT gate ) , which acts as the basic computational component , with this type of neuron a feed 2forward network structure is also built. The simulation results show that the quantum neuron network is superior to classical BP and RBF network for two financial data analysis examples. Key words : quantum computation ; quantum neural network ; quantum gates
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,即 < :| 0〉 → | 0〉 ,| 1〉 → e | 1〉 , 虽然它只是使量子态转动一个角度 , 没
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有逻辑意义 ,但在量子计算中会和 Hadamard 门结合起来实现一个量子位的任意幺正变换 , 因此具有十分 重要的作用 . 两位门中最常用的是受控非 ( Controlled2NOT) 门 ,又称量子 “异或” 门 ,它有两个输入端 | x 〉 和| y 〉 , 各有 一个量子位 ,即构成两位量子系统 ,对它们进行变换的算子应该是 4 × 4 的幺正矩阵 ,表示为 1 0 0 0 0 1 0 0 Cnot = ,即 Cnot : | 00〉→ | 00〉 , | 01〉→ | 01〉 , | 10〉→ | 11〉 , | 11〉→ | 10〉 . 0 0 0 1
摘要 : 以通用量子门组 ( 即相移门和受控非门 ) 作为基本的计算单元 , 构造出全新的量子神经元模型 , 并由此组成前馈型结构网络 . 仿真结果表明 , 就文中算例而言 , 该量子神经网络的计算性能优于传统的 神经网络 . 关键词 : 量子计算 ; 量子神经网络 ; 量子门 中图分类号 : TP3 ;TP18 文献标识码 : A
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,因此它们之间的结合在理
论上有良好的预期 ,在实际应用中具有极大的潜力 . 而且 ,近年来国际上已经出现了一些该方向上的探索 , 如 1995 年 Kak 首次提出了量子神经计算 ( Quantum Neural Computation) 的概念 ,同年 Narayanan 等人提出量 子衍生神经网络 ( Quantum2inspired Neural Nets) 模型 , 1998 年 Ventura 等人提出量子联想记忆 ( Quantum Associative Memory) 模型等 ,所有这些尝试有助于拓宽量子计算的应用范围 ,也将有助于提高传统神经计算 的性能 . 本文延续上述思路 ,尝试将量子门的结构特性引入传统的神经计算中去 ,从而提高神经网络的 计算性能 . 我们知道 ,神经网络可以实现从输入空间到输出空间的非线性映射 ,在实际应用中可以拟合多变量函 数 ,完成回归分析或模式识别 、 系统辨识等任务 . 在神经网络中 ,最常用的和研究最多的就是前馈型网络 ,
A Neural Network Model Based2on Quantum Gates Cell and Its Applications
XIE Guang2jun , ZHOU Dian , FAN Hai2qiu , CAO Li2cheng
1 2 1 1
(11School of Science , Hefei University of Technology , Hefei 230009 ,China ; 21School of Management , Hefei University of Technology , Hefei 230009 ,China)
( 6)
4 仿真实验
我们将上述量子神经元网络模型应用于金融数据分析 . 例1 由公司的财务状况判断其破产风险 . 具体地 ,通过两个有代表性的财务指标 ( 即流动比率和债务Π 资产比率 ) 预测某公司的经营情况 , 看是 否会导致其破产 . 此例实质上是一个分类问题 . 此类问题由于没有明确的分类标准且不是线性可分的 ,因 此常用学习 ( 训练) 样本集的方法发现其中的规律 ,然后进行泛化推广 . 作为考察上述量子神经元网络计算性能的例子 ,我们选取部分公司样本 ,分别用经典 BP 网络和量子 网络进行处理 ,然后比较二者结果 ,从而得出结论 . 针对本例 , 量子神经元网络要优于经典 BP 网络 , 它在 训练速率和精度上都有了明显的提高 . 例 1 的训练样本集及训练结果分别见表 1 和表 2.
2 量子门和通用量子门组
在量子计算中 ,对量子位 (Qubit ) 的态进行一系列的幺正变换可以实现某些逻辑功能 , 这些变换所起 的作用相当于逻辑门所起的作用 ,因此称在一定时间间隔内实现逻辑变换的量子装置为量子门 ( Quantum Gates) . 按照量子门作用的量子位数目的不同可分为一位门 、 两位门和三位门等 . 其中 , 常用的一位门有相移 ( Phase2Shift ) 门 、 非 ( NOT) 门 、 Hadamard 门等 . 相移门是对一位量子位的态 进行相移变换 ,表示为 < =
第5期
基于量子门组单元的神经网络及其应用
115
化和变换 .
3 量子神经元及其网络
接下来 ,我们来构造基于通用量子门组单元的量子神经元 ,其结构如图 2 所示 . 在这样的一个神经元 中包括了两类量子基本门 ,它们完成对输入量子态的复合操作 ,实质上是对量子态的幅度和相位分别进行 处理 . 为了便于推广 ,我们使用了多个量子态叠加的形式表示输入和输出 ,并引入了相位转移系数 、 阈值系 数、 相位控制因子等可调整网络参数 . 具体地 ,分别为输入 I ,输出 O ,相位转移系数 θ,阈值系数 γ 和相位 控制因子λ. 用数学公式表述该量子神经元激活函数为
2005 年 5 月
系统工程理论与实践
第5期
文章编号 :100026788 ( 2005) 0520113205
基于量子门组单元的神经网络及其应用
解光军 , 周 典 , 范海秋 , 操礼程
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同时 ,量子 “异或” 门是幺正矩阵 ,也是厄米矩阵 ,用图 1 可以表述如下 . 量子门是物理实现量子计算的基础 ,从某种意义上说 ,量子门就代表了量 [4 ] 子计算 ,它包含了量子计算的特点 ( 如量子并行性 ) . 已有证明 , 在量子门中 存在着所谓的通用门组 ,由它们可以组合成任意的量子门 ,而最基本的通用门 组是由两类量子门构成的 , 即上述的一位相移门和两位受控非门 . 鉴于此 , 我 们就考虑用它们组成基本的计算单元 , 作为神经网络的激活函数来构成新的 计算模型 ,并考察其计算性能 . 这两类门对量子态的操作各有其特点 ,为了便于应用 ,我们假定对于二维量子体系 ,将其推广到广义 范畴 ,并用数学公式表述如下 : θ ) = e i = cos θ + i sinθ, 量子态 : | ψ : f (θ θ〉 (θ θ ) ) = f (θ ) ・f (θ ) = ei + ′ , ( 3) 相移门 : f (θ + θ ′ ′ θ, (κ = 1) sinθ + i cos π κ - θ = cosθ + i sinθ, (κ = 0) . 受控 2U 门 : f 2 ( 0 < κ < 1) else ,
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系统工程理论与实践
2005 年 5 月
如 BP 网络 、 RBF 网络等 ,用数学公式可以将它们统一表示为 :
N
y≈
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( 1)
进一步地 ,有
dBaidu Nhomakorabea
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, cni ) ,
( 2)
) 为激活函数 ( 或称基函数) ,φ( ・ ) 为内部函数 . 网络的性能由激活函 其中 , an , bn ,ωni , cni 为可调权值 , gn ( ・
数和内部函数的种类和数目决定 ,常见的 BP 、 RBF 网络的激活函数分别具有如下特征 : ( xi - cni ) 和 ( x i cni ) .
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由此可见 ,改变激活函数的形式将会得到新的计算模型 ,随之产生新的计算特性 . 于是我们自然就会 设想 : 能否使用某种变换 ,将量子计算的概念引入到传统的神经计算模型之中 , 从而改变它的计算特征 ? 研究这种新的计算模型将有助于结合二者的优势 ,得到更好的性能 .
1 概述
20 世纪 80 年代初 Benioff 和 Feynman 提出了量子计算的概念 , 随后 Shor 提出大数质因子分解算法 ( 1994 年) , Grover 提出无序数据库的量子搜索算法 ( 1996 年) ,从此量子计算以其独特的计算性能引起了广
泛瞩目 ,并迅速成为研究的热点 . 量子计算利用了量子理论中有关量子态的叠加 、 纠缠和干涉等特性 ,通 过量子并行计算 (Quantum Parallelism) 使得某些在经典计算机上计算复杂度很高的问题有可能降低其复杂 度 ( 如 NP2hard 问题等) . 在现有的计算模式当中 ,由于神经计算和量子计算有许多可以类比之处
收稿日期 :2004202213 资助项目 : 国家自然科学基金 (60302014) ,安徽省自然科学基金 (03042202) ,中国博士后科学基金 (20040350578) 作者简介 : 解光军 (1970 - ) ,男 ,博士 ,教授 ,主要研究方向 :量子信息处理 ,计算智能方法. E2mail :gjxie811 @mail. nf. ah. cn. © 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.