概率统计习题2

第三章 数字特征

一、选择题

1. 随机变量X 服从二项分布)

2.0,10(B ，则（ ） A ．==DX EX 2 B ．==DX EX 6.1 C ．=EX 2，=DX 6.1 D ．=EX 6.1，=DX 2

2. X 可取无穷多个值 ,2,1,0，其概率分布为普阿松分布)3(P ，则（ ） A ．DX EX ==3 B ．DX EX ==

31 C ．EX =3，DX =31 D ．EX =31，DX =9

1

3. 随机向量),(Y X 有25,36==DY DX ,协方差12=XY σ，则)()(=-Y X D

A ．1

B ．37

C ．61

D ．85

4. 设X~B(10, 3

1

), 则=)X (E )X (D （ ）

A.31

B.32

C.1

D.

3

10 5．已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩

⎨⎧>--.0;

0x e 1x 2其它则X 的均值和方差分别为

（ ）

A.E(X)=2, D(X)=4

B.E(X)=4, D(x)=2

C.E(X)=

41,D(X)=21 D.E(X)=21, D(X)=4

1 6

则E （XY ）=（ ） A ．9

1- B ．0

C ．

91 D ．3

1 7．已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（ ） A ．-

2 B ．0

C ．2

1 D ．2

8．设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B (6，21

)，则E(X-Y)=

（ ）

A ．2

5- B ．

21 C ．2

D ．5 9．设二维随机变量(X ，Y )的协方差Cov(X ，Y )=6

1

，且D (X )=4，D (Y )=9，则X 与Y 的相关系数XY ρ为（ ）

A ．2161

B ．

36

1 C ．

6

1 D ．1

二、填空题

1. 设X 服从二项分布),(p n B ，则=-)12(X D

2. 总体X 服从)2,2(2

N ，则=2

EX

3．设二维随机变量),(Y X 的分布律为

则=)(XY E

4．设随机变量X

，则)(2X E = 5.设随机变量X 在区间[-1，2]上服从均匀分布。随机变量⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>=,0,1,0,0,

0,1X X X Y 则=)(Y D

6．设随机变量X 与Y 相互独立，且0)(,0)(>>Y D X D ，则X 与Y 的相关系数=XY ρ

7．设随机变量X 与Y 相互独立，且0)(,0)(>>Y D X D ，则X 与Y 的相关系数=XY ρ

8.设随机变量X 具有分布P{X=k}=5

1

，k=1,2,3,4,5，则D(X)= 9.若X~N(3,0.16)，则D(X+4)= 10.设X i =⎩⎨

⎧发生

事件不发生事件A ,

1A ,

0(i=1,2,…,100)，且P(A)=0.8, X 1，X 2，…，X 100相互独立，

令Y=

∑=100

1

i i

X

，则由中心极限定理知Y 近似服从于正态分布，其方差为

11．设随机变量X ~ B ⎪⎭

⎫

⎝⎛31,18，则D （X ）=

12．设随机变量X 的概率密度为⎩

⎨⎧≤≤=,,0;

10,2)(其他x x x f 则E （X ）=

13．已知E （X ）=2，E （Y ）=2，E （XY ）=4，则X ，Y 的协方差Cov （X,Y ）=

14．设X ～N (0，1)，Y =2X -3，则D (Y )= 15．设随机变量X 与Y 相互独立，其分布律分别为

则E (XY )=

16．设X ，Y 为随机变量，已知协方差Cov(X ，Y )= ，则Cov(2X ，3Y )= 17.设随机变量X 、Y 的概率分布为

则X 与Y 的相关系数ρ= 三、计算题

1. 设Y X ,的联合密度为⎩

⎨⎧<<<=其它,01

0,12),(2x y y y x f 。求边际密度函数)(),(x P x P Y X ；

（2）EY EX ,；（3）Y X ,是否独立？

2.设离散型随机变量的分布列为

求（1）X 的分布函数)(x F ；（2）)8.15.0(≤<-X P （3）DY 。

3. 设随机变量]2,1[~-U X ，随机变量⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=>=0

100

1

X X X Y ，求Y 的分布律及DY 4．设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤<=.8,

1,808

,0,0)(x x x

x x F 求：

（1）X 的概率密度)(x f ；（2）)(),(X D X E ；（3）⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

≤-8)()(X D X E X P 。

5．已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY ρ，若U=aX+b, V=cY+d, 其中ac>0. 试求U ，V 的相关系数UV ρ。

6．设离散型随机变量X 的分布律如下，且已知E （X ）=0.3，试求：（1）p 1,p 2; （2）D （-3X+2）。

设（X ，Y ）服从在区域D 上的均匀分布，其中D 为x 轴、y 轴及x +y =1

所围成，求X 与Y 的协方差Cov(X ,Y )。 7．假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。问小店应组织多少货源，才能使平均收益最大？ 8．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨

⎧<<+=，

x b ax x f 其他,

0,10,

)(，且E (X )=

12

7

.求：(1)常数a ,b ；(2)D (X )。

9. 设)2.0,10(~B X ，)2,1(~2

N Y ，（1）已知Y X ,相互独立，求)432(2

X XY X E +-；

（2）已知3.0=XY ρ，求)(Y X D -。

10.设X 服从普阿松分布，已知{}{}21===X P X P ，求DX EX ,。 11. 某射手有3发子弹，射击一次命中的概率为

3

2

，如果命中了就停止射击，否则一直独立地射到子弹用尽。求（1）耗用子弹数X 的分布列；（2）DX EX ,。

12. 设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量X （单位：吨），

]4000,2000[~U X ，每销售一吨商品，可为国家赚取外汇3万元；若销售不出，则每吨商

品需贮存费1万元。问应组织多少货源，才能使国家收益最大？

1p