最小二乘估计概要
最小二乘估计定义
最小二乘估计定义【最小二乘估计定义】**开场白**嘿，朋友们！在我们的日常生活中，经常会遇到需要从一堆数据中找出规律或者做出预测的情况。
比如说，你想根据过去几个月的消费情况来估计下个月的开销，或者根据自己多次考试的成绩来预估下次能考多少分。
这时候，就有一种神奇的方法能帮助我们，那就是最小二乘估计。
今天，咱们就来好好聊聊这个有趣又实用的话题。
**什么是最小二乘估计？**其实，最小二乘估计就是一种通过数据找到“最佳拟合直线”或者“最佳拟合曲线”的方法。
打个比方，假设你记录了自己每周锻炼的时长和体重的变化，想要找到这两者之间的关系。
最小二乘估计就能帮你找到一条线，让这些数据点到这条线的距离的平方和最小。
这可不像我们随便画一条线那么简单，有些人可能会误解，觉得随便找一条差不多的线就行。
其实不是的，最小二乘估计是有严格的计算方法和标准的，它保证找到的是最能反映数据趋势的那条线。
**关键点解析**3.1 核心特征或要素首先，它的目标是让误差的平方和最小。
就像你投篮，要尽量让每个球离篮筐中心的距离的平方和最小，这样才能投得更准。
其次，需要有数据点。
这些数据点就像是一个个路标，指引着我们找到最佳的拟合线。
最后，它是基于数学原理进行计算的。
有一套严谨的公式和算法，可不是靠感觉来的。
3.2 容易混淆的概念最小二乘估计和简单线性回归有些相似，但也有区别。
简单线性回归也是找变量之间的关系，但它更侧重于对因果关系的探讨。
而最小二乘估计重点在于找到最优的拟合线，不一定要强调因果。
**起源与发展**最小二乘估计的历史可以追溯到 18 世纪。
当时的科学家们在研究天文观测数据时，发现需要一种方法来处理数据中的误差。
于是，最小二乘估计应运而生。
随着时代的发展，它在各个领域都发挥了重要作用。
在当下，大数据和人工智能盛行，最小二乘估计更是成为了数据分析和机器学习中不可或缺的工具。
未来，它可能会变得更加精准和高效，帮助我们从海量的数据中挖掘出更有价值的信息。
最小二乘法估计
机器学习领域应用
线性回归模型
在机器学习中，最小二乘法是线性回归模型的核心算法之一。通过最小化预测值与实际值之间的平方误差，可以 训练出预测精度较高的线性回归模型。
特征选择
最小二乘法也可以用于特征选择，通过计算特征的系数大小，可以判断哪些特征对模型的预测结果影响较大，从 而进行特征筛选和优化。
06 最小二乘法的未来发展与 研究方向
用于研究社会现象和人类行为 ，如市场调查、人口统计等。
最小二乘法的历史与发展
历史
最小二乘法最早由法国数学家勒让德 于1805年提出，并广泛应用于天文、 物理和工程领域。
发展
随着计算机技术的进步，最小二乘法 在数据处理和统计分析方面得到了广 泛应用和改进，出现了多种扩展和变 种，如加权最小二乘法、广义最小二 乘法等。
加权最小二乘法（WLS）
总结词
详细描述
加权最小二乘法是一种改进的线性回 归分析方法，通过给不同观测值赋予 不同的权重来调整误差的平方和。
加权最小二乘法（Weighted Least Squares，WLS）是对普通最小二乘法 的改进，通过给不同观测值赋予不同 的权重来调整误差的平方和。这种方 法适用于存在异方差性的数据，即误 差项的方差不恒定的情况。通过合理 地设置权重，WLS能够更好地拟合数 据并提高估计的准确性。
广泛的应用领域
最小二乘法适用于多种统计模型 和回归分析，是线性回归分析中 最常用的方法之一。
缺点
假设限制
01
最小二乘法要求数据满足线性关系和误差项独立同分布等假设，
这些假设在实际应用中可能难以满足。
对异常值敏感
02
虽然最小二乘法相对稳健，但仍然容易受到异常值的影响，可
能导致估计结果偏离真实值。
最小二乘估计原理
最小二乘估计原理最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，它可以用来估计线性回归模型中的参数。
在实际应用中，最小二乘估计被广泛应用于数据拟合、信号处理、统计分析等领域。
本文将介绍最小二乘估计的原理及其应用。
最小二乘估计的原理是基于最小化观测值与模型预测值之间的误差平方和来进行参数估计。
在线性回归模型中，我们通常假设因变量Y与自变量X之间存在线性关系，即Y = β0 + β1X + ε，其中β0和β1是待估参数，ε是误差项。
最小二乘估计的目标是找到最优的β0和β1，使得观测值与模型预测值之间的误差平方和最小。
为了形式化地描述最小二乘估计的原理，我们可以定义损失函数为误差的平方和，即L(β0, β1) = Σ(Yi β0 β1Xi)²。
最小二乘估计的思想就是通过最小化损失函数来求解最优的参数估计值。
为了找到最小化损失函数的参数估计值，我们可以对损失函数分别对β0和β1求偏导数，并令偏导数等于0，从而得到最优的参数估计值。
在实际应用中，最小二乘估计可以通过求解正规方程来得到参数的闭式解，也可以通过梯度下降等迭代方法来进行数值优化。
无论采用何种方法，最小二乘估计都能够有效地估计出线性回归模型的参数，并且具有较好的数学性质和统计性质。
除了在线性回归模型中的应用，最小二乘估计还可以推广到非线性回归模型、广义线性模型等更加复杂的模型中。
在这些情况下，最小二乘估计仍然是一种有效的参数估计方法，并且可以通过一些变形来适应不同的模型结构和假设条件。
总之，最小二乘估计是一种重要的参数估计方法，它具有简单直观的原理和较好的数学性质，适用于各种统计模型的参数估计。
通过最小化观测值与模型预测值之间的误差平方和，最小二乘估计能够有效地估计出模型的参数，并且在实际应用中取得了广泛的成功。
希望本文对最小二乘估计的原理有所帮助，谢谢阅读！。
最小二乘估计原理
最小二乘估计原理最小二乘估计原理是一种常用的参数估计方法，它在统计学和经济学等领域有着广泛的应用。
最小二乘估计原理的核心思想是通过最小化观测值与估计值之间的残差平方和来确定参数的估计值，从而使得模型拟合数据的效果最佳。
在本文中，我们将详细介绍最小二乘估计原理的基本概念、应用场景以及具体的计算方法。
最小二乘估计原理的基本概念。
最小二乘估计原理的基本思想是通过最小化残差平方和来确定参数的估计值。
在线性回归模型中，我们通常假设因变量与自变量之间存在线性关系，即Y = β0 + β1X + ε，其中Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1分别表示截距和斜率，ε表示误差项。
最小二乘估计原理要求通过最小化观测值与估计值之间的残差平方和来确定参数的估计值，即使得残差平方和达到最小值时，参数的估计值即为最小二乘估计值。
最小二乘估计原理的应用场景。
最小二乘估计原理广泛应用于线性回归模型的参数估计中。
在实际应用中，我们经常需要根据样本数据来估计模型的参数，从而进行预测或者推断。
最小二乘估计原理可以帮助我们确定最优的参数估计值，使得模型能够最好地拟合观测数据。
除了线性回归模型，最小二乘估计原理还可以应用于其他类型的模型参数估计中，例如非线性模型、多元回归模型等。
最小二乘估计的具体计算方法。
在实际应用中，最小二乘估计的具体计算方法通常包括以下几个步骤，首先，建立模型，确定自变量和因变量之间的关系；其次，利用样本数据来估计模型的参数，即通过最小化残差平方和来确定参数的估计值；最后，进行参数估计的检验，判断参数的估计结果是否显著。
在具体计算过程中，通常需要利用计量经济学中的相关工具和方法，例如OLS（Ordinary Least Squares）估计方法、假设检验、置信区间估计等。
最小二乘估计原理的优缺点。
最小二乘估计原理作为一种常用的参数估计方法，具有以下优点，首先，计算简单，易于理解和应用；其次，具有较好的数学性质和统计性质，例如无偏性、有效性等；最后，适用范围广泛，可以应用于各种类型的模型参数估计中。
最小二乘估计的基本原理
最小二乘估计的基本原理1. 什么是最小二乘估计？嘿，大家好！今天咱们来聊聊一个在数据分析和统计中超级重要的概念——最小二乘估计。
听名字好像有点复杂，但别急，咱们一步步来，把它拆开讲，保准你听得懂。
1.1. 简单说说最小二乘估计最小二乘估计，顾名思义，就是用来估计数据中“最小的误差”的一种方法。
想象一下，你在做一道数学题，得出的答案总是有点偏差。
最小二乘估计的目的就是找到一个最佳的答案，使得这些偏差总和的平方最小。
简单来说，就是让“错误”尽量小，让“结果”尽量准确。
1.2. 生活中的例子让我们用一个简单的例子来说明一下。
假如你在家里做了一次烤蛋糕实验，每次都觉得时间不太对。
你记录了蛋糕的实际烤制时间和你认为理想的时间，然后希望找出一个最合适的时间，使得你做的每个蛋糕的实际时间和理想时间之间的差距（误差）最小。
最小二乘估计就像是在帮你找到一个“完美的时间表”，让每次的烤蛋糕误差都尽量小，从而让蛋糕做得越来越完美。
2. 如何进行最小二乘估计？要搞懂最小二乘估计，得知道它的工作原理。
别担心，虽然听起来有点吓人，但其实挺简单的。
2.1. 绘制数据点首先，咱们需要有一些数据点。
比如说，你在不同的时间点记录了不同的蛋糕高度。
把这些数据点在图纸上画出来，看起来就像一堆小点点在纸上散布着。
2.2. 画一条最佳拟合线接下来，最小二乘估计的任务就是画一条“最佳拟合线”。
这条线要尽量贴近这些散布的数据点，让每个点到这条线的距离（这些距离叫“残差”）的平方和最小。
换句话说，就是在图纸上找一条最能代表你数据的直线，让数据点和直线之间的距离总和最小。
3. 为什么要用最小二乘估计？现在你可能会问，为什么我们要用这种方法呢？其实，最小二乘估计有几个很不错的优点。
3.1. 精度高，误差小首先，它能帮助我们找到一个误差最小的解。
换句话说，通过最小二乘估计，我们可以得到一个尽可能精确的结果。
这就像是找到了一个最好的答案，不用再担心误差问题。
最小二乘估计
A.确定性关系
B.相关关系
C.函数关系
D.无任何关系
解析 炼钢时钢水的含碳量除了与冶炼时间有关外，还受冶炼温度等 的影响，故为相关关系.
解析答案
12345
2.设有一个回归方程为 y^ ＝－1.5x＋2，则变量x增加一个单位时( C )
A.y平均增加1.5个单位
B.y平均增加2个单位
C.y平均减少1.5个单位
n
差量中的正负值相互抵消，因此我们用这些差量的平方和即 Q＝ (yi－a－
i＝1
bxi)2 作为总差量，回归直线就是所有直线中 Q 取最小值的那一条.因为平方又 叫二乘方，所以这种使“差量平方和最小”的方法叫做最小二乘法.
用最小二乘法求回归方程中的a^ ，b^有下面的公式：
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
解析答案
课堂小结
1.判断变量之间有无相关关系，简便可行的方法就是绘制散点图.根据散 点图，可看出两个变量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还 是负相关. 2.求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道x与y呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行 相关性检验.如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之 间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估 计和预测的量也是不可信的.
(2)用公式计算a^ 、b^ 的值时，要先算出b^ ，然后才能算出a^ . 3.利用回归方程，我们可以进行估计和预测.若回归方程为y^＝b^ x＋a^ ， 则 x＝x0 处的估计值为y^0＝b^ x0＋a^ .
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本课结束 谢谢指导
学习目标
1.了解最小二乘法. 2.理解线性回归方程的求法. 3.掌握线性回归方程的意义.
最小二乘估计的基本原理
最小二乘估计的基本原理最小二乘估计，这个名字听上去很高深，对吧？但其实它背后的原理并不复杂，只要你能抓住几个核心点，就会发现它其实挺简单的。
今天，我们就来聊聊这个话题，把它讲得清楚明白，希望你听了之后能对它有个直观的理解。
1. 最小二乘估计是什么？最小二乘估计，顾名思义，主要是为了找到一个估计值，使得预测值和实际观测值之间的差距最小。
这就像你在玩一个精准的投篮游戏，目标是把球投得尽可能靠近篮筐。
这里的“最小”就是让误差最小化。
听起来是不是很简单？那就让我们一步步看下去。
1.1 误差的定义首先，我们得搞明白什么是误差。
在最小二乘估计里，误差就是我们预测的值和实际观测值之间的差距。
假设你有一个线性模型来预测某个结果，比如说你根据一个人的年龄预测他们的收入。
你预测的收入可能和实际收入有些出入，这个出入就是误差。
1.2 最小化误差那么，怎么才能让误差最小呢？这就涉及到最小二乘估计的核心：我们希望通过调整模型的参数，使得所有数据点的误差平方和最小。
说白了，就是我们要让所有预测值和真实值之间的距离加起来尽可能小。
把所有误差平方加在一起，找到那个最小的和，这就是我们要做的工作。
2. 为什么使用平方？也许你会问，为什么要用平方？为什么不直接用误差的绝对值呢？平方有几个好处。
首先，平方可以消除正负误差的相互抵消。
比如说，某个点的误差是+2，另一个点的误差是2，如果直接用这些误差的和，那么它们就会相互抵消掉。
但用平方的话，+2和2的平方都是4，这样就可以真实地反映出误差的大小。
其次，平方能更强烈地惩罚大的误差。
想象一下，如果你用一个不合适的模型预测结果，误差可能会很大。
平方后，这些大的误差会被放大，这样就能让模型更注重减少这些大的误差。
2.1 平方和的计算举个例子，假设你有几个数据点，每个点的实际值和预测值分别是（10, 8）、（15, 14）和（20, 25）。
误差分别是2、1和5。
计算这些误差的平方和，就是2² + 1² + (5)² = 4 + 1 + 25 = 30。
最小二乘估计课件(43张)
30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
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[解] (1)散点图如下图所示．
31
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
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25
[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
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26
[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
32
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a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
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34
1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
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8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
最小二乘估计的推导
最小二乘估计的推导最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，尤其在统计学和经济学领域得到广泛应用。
它的推导涉及到一些数学推理和统计原理，我将在本文中逐步解释和展示最小二乘估计的推导过程，并探讨其应用和优势。
1. 引言最小二乘估计是一种通过最小化观测值与预测值之间的差异来估计参数的方法。
它的基本思想是找到一组参数值，使得观测值与对应的预测值之间的平方差最小化。
这种方法在数据分析和回归分析中非常有用，因为它能够提供可靠的参数估计和预测模型。
2. 最小二乘估计的基本原理最小二乘估计的推导涉及到线性回归模型，即因变量Y与自变量X之间的线性关系。
假设我们有n个观测值，表示为（Xi，Yi），i=1，2，...，n。
我们的目标是找到一条直线Y=aX+b，使得所有观测值到这条直线的距离之和最小化。
距离的平方和可以表示为：S = Σ(Yi - (aXi + b))²我们的目标是最小化这个平方和。
为了找到最优的参数估计，我们需要找到使得S最小的a和b的值。
3. 最小化平方和我们可以通过对S求导，令导数等于零，来求解a和b的值。
具体地，我们分别对a和b求导，并令导数等于零：∂S/∂a = -2ΣXi(Yi - (aXi + b)) = 0∂S/∂b = -2Σ(Yi - (aXi + b)) = 0通过求解以上两个方程，我们可以得到最小二乘估计的闭合解：a = (ΣXiYi - n X̄Ȳ) / (ΣXi² - n X̄²)b = Ȳ - a X̄其中，X̄和Ȳ分别表示X和Y的均值，Σ表示求和符号。
4. 应用和优势最小二乘估计在实际应用中具有广泛的用途。
在经济学中，我们可以通过最小二乘估计来估计需求曲线和供给曲线的参数，从而预测市场的走势和变化。
在统计学中，最小二乘估计可以用于拟合数据并构建预测模型。
它是最经典的回归分析方法之一，可用于解释和预测变量之间的关系。
最小二乘估计具有一些优势。
第一章最小二乘估计及其性质
以 x1 代表相对水位， x2 代表温度， y 代表径向形变量。利用 SAS 软件（见文献[3]），
计算得回归方程为
yˆ = 20.778-1.148x1 -0.0182x2 .
(1.18)
通过检验，发现回归方程是显著的， x1 对 y 有显著性影响，但 x2 的回归系数不显著，故该
模型不能合理拟合变形量数据。另外，我们对残差(见图 1)进行分析，发现模型中有非线性 关系,故模型(1.18)中应增加二次项。
切向与径向定义为切向 (t ) 、径向 ( r ) 坐标系，其监测日期和监测数据见表 2。
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
表 2. 原始监测数据
日期
相对水位/mm
温度/℃
2001/12/31
9.750
14.5
2001/01/01
称为中心化．若记 则(1.11)式可改写为
æ x11 - x1 x12 - x2 L x1, p-1 - x p-1 ö
Xc
=
ç ç ç
x21 M
x1
x22 - x2 M
L
x2,
p
-1
-
x p -1
÷ ÷
M÷
ççè xn1 - x1 xn2 - x2 L xn, p-1 - xp-1 ÷÷ø
(1.12)
-0.5
9.450
11.6
2001/01/02
9.270
9.2
2001/01/03
9.020
12.8
2001/01/05
8.360
13.6
2001/01/06
8.010
最小二乘估计方法
最小二乘估计方法最小二乘估计方法数学中的最小二乘估计方法广泛应用于数据分析、统计学和经济学等领域，为研究问题提供了一个可靠的数学手段。
最小二乘估计方法的基本思想是基于数据的统计分布特性，使用最小化误差平方和的方法对数据进行拟合估计。
一、基本概念最小二乘法是一种数据拟合方法，它通过拟合方程与观测值之间的残差平方和，来评估拟合程度。
在进行最小二乘法时，首先需要建立合适的函数模型，然后将实际观测值代入模型，获得拟合值。
最后，将残差平方和最小化，确定拟合值。
二、实际应用最小二乘法在实际应用中非常广泛，例如我们可以通过最小二乘法来解决以下问题：1. 数据拟合问题：通过最小化残差平方和来拟合一组数据，可以得到最优解，同时可以帮助我们探索数据之间的关系。
2. 函数拟合问题：对于一些复杂的函数，我们可以使用最小二乘法来确定其参数，从而得到最优的函数拟合。
3. 数据处理问题：在处理实际数据时，我们可以使用最小二乘法来去除数据中的误差，从而得到更准确的结果。
三、特点优势最小二乘法有着广泛的应用和优势，其中一些重要的特点包括：1. 精度高：通过最小二乘法，我们可以在一定程度上排除测量误差，从而得到更精确的估计结果。
2. 建模灵活：最小二乘法的建模过程相对较灵活，可以适应不同的数据分布和模型建立。
3. 稳定性好：对于数据分布存在小波动情况的数据，最小二乘估计方法也有较好的稳定性。
四、总结在科学研究和实际应用中，最小二乘法是一种强大的工具，可以用来拟合数据、解决函数拟合问题以及处理数据中的误差。
它具有精度高、建模灵活和稳定性好等优点，成为了数据科学领域的重要方法之一。
最小二乘估计
最小二乘估计随着空间技术的发展，人类的活动开始进入了太空，对航天器（包括人造地球卫星、宇宙飞船、空间站和空间探测器等）的观测手段和轨道确定提出了很高的精度要求。
在计算技术高速发展的推动下，各种估计理论也因此引入到轨道估计方法中。
大约在1795年高斯在他那著名的星体运动轨道预报研究工作中提出了最小二乘法。
最小二乘法就成了估计理论的奠基石。
最小二乘估计不涉及观测数据的分布特性，它的原理不复杂，数学模型和计算方法也比较简单，编制程序不难，所以它颇受人们的重视，应用相当广泛。
对于严格的正态分布数据，最小二乘估值具有最优一致无偏且方差最小的特性。
实践证明，在没有粗差的情况下，大部分测量数据基本上符合正态分布。
这是最小二乘估计至今仍作为估计理论核心的基础。
最早的轨道确定就是利用最小二乘法，用全部观测数据确定某一历元时刻的轨道状态的“最佳”估值，即所谓的批处理算法定轨。
长期以来，在整个天体力学领域之中，各种天体的定轨问题，几乎都是采用这一方法。
卫星精密定轨的基本原理为：利用含有误差的观测资料和不精确的数学模型，通过建立观测量与卫星状态之间的数学关系，参数估计得到卫星状态及有关参数的最佳估值。
参数估计的基本问题就是对一个微分方程并不精确知道的动力学过程，用不精确的初始状态X0和带有误差的观测资料，求解其在某种意义下得卫星运动状态的“最佳”估值X。
常用的参数估计方法有两种，最小二乘法和卡尔曼滤波方法。
最小二乘法是在得到所有的观测数据之后，利用这些数据来估计初始时刻状态量的值，由于用到的观测数据多、计算方法具有统计特性，因此该方法精度高。
卡尔曼滤波在观测数据更新后，利用新的观测数据对状态量进行改进得到这一观测时刻的状态量，卡尔曼滤波适用于实时处理。
卫星精密定轨输运高精度的事后数据处理，通常采用最小二乘法进行参数估计。
记观测量的权阵为P。
利用加权最小二乘法计算总的观测方程方程y二Hx0•；，得x =（H T PH）JH T py卫星的参考状态为X； = X0 x0在精密定轨的过程中，由于状态方程和观测方程在线性化过程中会产生误差，上式的解算需要通过不断的迭代。
最小二乘估计的几个结论及证明
最小二乘估计的几个结论及证明(1) 假设拟合函数 $y=f(x; \theta)$ (其中$\theta$是一些估计参数)，假设有一组n个数据点$x_i$和它们对应的观测值$y_i$。
最小二乘估计的结论是：设 $\widehat{\theta}$ 是最小二乘估计量，即$ \widehat{\theta}=\min_{\theta \in \Theta} \sum_{i=1}^n (y_i-f(x_i;\theta))^2 $那么有：$E[(\widehat{\theta}-\theta)^2]=\min_{\theta \in \Theta}E[(\widehat{\theta}-\theta)^2]$证明：对$\theta$求导，得到：$\frac{\partial \sum_{i=1}^n (y_i-f(x_i;\theta))^2}{\partial \theta}=2\sum_{i=1}^n (y_i-f(x_i;\theta))(-\frac{\partialf(x_i;\theta)}{\partial \theta})=0$即$\sum_{i=1}^n (y_i-f(x_i;\theta))(-\frac{\partialf(x_i;\theta)}{\partial \theta})=0$它等价于$\sum_{i=1}^n (y_i-f(x_i;\theta))\frac{\partialf(x_i;\theta)}{\partial \theta}=0$也就是说$\frac{\partial \sum_{i=1}^n (y_i-f(x_i;\theta))^2}{\partial \theta}=0$，即极值解$\widehat{\theta}$ 满足$\sum_{i=1}^n (y_i-f(x_i;\widehat{\theta}))^2=min$。
令$f_0(x;\theta)=\sum_{i=1}^n (y_i-f(x_i;\theta))^2$，则$E[(\widehat{\theta}-\theta)^2]=E[f_0(\widehat{\theta}-\theta)]$是$\theta$的二阶凸函数，这样$E[(\widehat{\theta}-\theta)^2]$的局部最小值就是全局最小值，即$E[(\widehat{\theta}-\theta)^2]=\min_{\theta \in \Theta} E[(\widehat{\theta}-\theta)^2]$。
参数最小二乘估计原理
参数最小二乘估计原理最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，它基于最小化误差的平方和来确定最优的参数估计值。
在最小二乘估计中，我们从一组观测数据中选择一个数学模型，并通过调整模型的参数来使预测值与观测值的误差最小化。
换句话说，我们希望通过最小二乘估计找到一组参数，使得模型预测的值和观测值之间的差异最小。
具体而言，假设我们有n个观测数据，表示为(x1, y1), (x2,y2), ..., (xn, yn)。
我们选择一个函数形式，例如线性函数y =mx + b，并希望通过调整参数m和b来最小化误差的平方和。
对于每个观测数据点(xi, yi)，我们可以计算出预测值yi'，即根据当前参数估计值得到的模型的预测值。
然后，我们就可以计算出每个观测数据点的误差ei = yi - yi'。
最小二乘估计的目标是将所有数据点的误差的平方和最小化，即最小化误差的平方和函数：f(m, b) = e1^2 + e2^2 + ... + en^2为了最小化这个函数，我们需要找到使得f(m, b)取得最小值的参数m和b。
一种常见的方法是采用微积分的方法，通过对f(m, b)进行求导，并令导数为0来求解最小值点。
通过求解最小值点的方程，我们可以得到最小二乘估计的参数估计值m和b。
这样，我们就得到了一个最佳拟合的模型，可以用来预测和解释观测数据。
最小二乘估计方法广泛应用于各个领域，例如统计学、经济学、工程学等。
它的优点是计算简单、具有良好的数学性质，并且在许多实际问题中得到了有效的应用。
然而，需要注意的是，最小二乘估计方法对异常值比较敏感，因此在应用时需要注意数据的质量和有效性。
高中数学必修课件最小二乘估计
03
非线性回归模型与最小二乘估计
非线性回归模型概述
1 2
非线性回归模型定义
描述因变量与自变量之间非线性关系的回归模型 。
常见非线性回归模型
指数回归、对数回归、幂回归等。Βιβλιοθήκη 3非线性回归模型特点
模型参数估计复杂，但拟合效果可能更优于线性 回归。
最小二乘估计在非线性回归中应用
01
02
03
最小二乘法原理
参数估计性质与评价标准
参数估计性质
最小二乘估计具有线性性、无偏性、有效性等优良性质，是 实际应用中最常用的参数估计方法之一。
评价标准
评价最小二乘估计效果的标准包括残差图、均方误差、决定 系数等。其中，残差图用于直观判断模型拟合效果，均方误 差用于量化模型预测误差大小，决定系数用于衡量自变量对 因变量的解释程度。
通过介绍非线性回归模型的案例，如指数增长、周期性变化等，引 导学生理解最小二乘法在非线性回归中的推广和应用。
多重共线性问题
通过实际案例，让学生理解多重共线性对最小二乘估计的影响，以 及如何处理多重共线性问题。
实验设计与数据收集
实验设计
指导学生设计实验方案，明确实验目的、实验对象和实验 方法，确保数据的有效性和可靠性。
拓展应用
将最小二乘法应用于金融、生物、医学等领域的实际问题中，如股票价格预测、基因表达数据分析等。同时，可 以探索最小二乘法与其他数据分析方法的结合，如主成分分析、聚类分析等，以提高数据分析的准确性和效率。
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数据收集
教授学生如何收集和整理实验数据，包括直接观测、问卷 调查、实验测量等方法，强调数据的真实性和完整性。
预处理与探索性分析
引导学生对收集到的数据进行预处理，如数据清洗、缺失 值处理、异常值检测等，并进行探索性分析，初步了解数 据的分布和特征。
2-最小二乘估计
，当样本较大时，BIC 的惩罚力度更大。
如果接受比较的模型之间是非嵌套的（即不存在某个模型是另一个模型的约
束形式），并且只有一个是正确设定的，则当样本足够大时，AIC 和 BIC 准则总
是可以挑选出正确的模型，但此时挑选的结果与使用最小残差平方和为准则的结
果一样；当接受比较的两个模型之间是嵌套的，并且简单模型是正确设定的，即
理解为在普通的
的基础上考虑进新增变量的 t 统计
值的影响，那么适当的修改调整的 的计算公式，我们甚至可以使得当新增变 量比较显著性（t 统计值绝对值大于 2），调整的 会上升。
为此，调整的 的计算公式可修改如下：
(2-22)
其中，
。
与普通的调整 相比，上式中分母的调整系数为
，而不是
，
它体现了对新增变量显著性的考虑。上式对于我们理解 t 统计值与方程的 之 间的关系是很有帮助的；实际应用中，可先根据 t 统计值的大小消除不显著的变
其中，s 称为回归标准误（Standard error of the regression）。
的估计， (2-5)
2.1.3 拟合能力
不妨记 Y 的拟合值（或估计值）为
，则有
其中， 和 为相互正交的对称幂等矩阵。
注意到
，因此必有
。
至此，可知 LS 估计的作用相当于把变量 Y 中所有关于 X 的影响通过正交
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最小二乘估计
另外两个常用于比较模型优劣的准则3为 AIC 和 BIC 准则，计算如下： (2-9) (2-10)
其中，
， 为对数似然函数值。
AIC 或 BIC 越小意味着回归模型设定越好。 比较式（2-9）和（2-10）可知，AIC 和 BIC 准则对于新增解释变量的惩罚
最小二乘估计基本原理
最小二乘估计基本原理
最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，其基本原理是寻找使得模型预测值与观测值之间的平方误差最小的参数。
该方法适用于线性回归模型，其中假设模型的预测值与真实观测值之间存在线性关系。
为了进行最小二乘估计，我们首先需要确定一个线性回归模型，其形式可以表示为：
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε
其中，Y是观测值的预测值，X1到Xn是自变量，β0到βn是
要估计的参数，ε是随机误差。
接下来的目标是找到一组参数值（β0, β1, β2, ..., βn），使得预
测值Y与观测值的平方误差最小。
换句话说，我们需要最小
化残差平方和（RSS）：
RSS = Σ (Y - Ŷ)²
其中，Σ表示求和符号，Y是观测值，Ŷ是模型的预测值。
最小二乘估计的基本思想是通过对RSS对参数进行求导，令
导数等于零，从而求解出最优的参数值。
具体来说，我们需要对每个参数进行求导，然后解出关于参数的方程组。
最终，我们可以得到最小二乘估计的估计公式：
β = (X^T X)^(-1) X^T Y
其中，β是估计的参数向量，X是设计矩阵，Y是观测值向量，(X^T X)^(-1)表示X^T X的逆矩阵，X^T表示X的转置。
通过最小二乘估计，我们可以得到最优的参数估计值，进而用于模型预测和推断。
这种方法在实际应用中被广泛使用，特别是在统计学和经济学领域。
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前后观测五次 温度值如下： 第一次观测：38.0
第二次观测：37.9
38
摄氏度
第三次观测：38.1 第四次观测：38.1 第五次观测：37.9
最小二乘估计——引言
假设信号是 s[n] A ，经过N次观测，观测数据为：
x[n](n 0,1, 2,
, N 1)
如何得到A？
取个平均！
1 N 1 A x[n] x N n 0
最小二乘估计——线性最小二乘估计
当系统测量噪声V是均值为0，方差为R时
ˆ) 性质1. 最小二乘估计即是无偏估计，有： E (
T 1 T ˆ E ( ) E[ ( H H ) H x]
E[(H T H ) 1 ( H T H ) ( H T H ) 1 H T x] ( H H ) H E ( H x)
最小二乘估计——引言
x[n] A w[n], w[n] 是高斯白噪声
最小二乘估计
最小方差无偏估计
最小二乘估计——引言
考虑正弦信号，信号模型为：
s[n] A cos(2 f0n)
若A是待估计参量，f0 是已知的：
线性最小二乘
J [ A] ( x[n] A cos(2 f 0 n)) 2
《信号检测与估计》
Signal Detection and Estimation
最小二乘估计
最小二乘估计——内容安排
引言
序贯最小二乘估计
小结
1
2
3
4
5
线性最小二乘估计
非线性最小二乘估计
最小二乘估计——内容安排
引言
序贯最小二乘估计
小结
1
2
3
4
5
线性最小二乘估计
非线性最小二乘估计
最小二乘估计——引言
最小二乘估计——引言
假设取决于未知参量 的信号s[n] ，由于噪声或模型不准确， 观测信号是受干扰的信号，用观测数据 x[n]表示， 的最小 二乘估计就是选择使得 J ( ) 最小的 值 通常用于数据的准确统计特性未知，或不能找出最优估计的场合
最小二乘估计——引言
假设信号是 s[n] A ，经过N次观测，观测数据为：
表 1 热敏电阻的测量值
t (C ) R ()
20.5 765
26 790
32.7 826
40 850
51 873
61 910
73 942
80 980
88 1010
95.7 1032
最小二乘估计—Байду номын сангаас线性最小二乘估计
R
数学模型：
R a bt
t
最小二乘估计——线性最小二乘估计
LS为：
J ( R(n) (a bt (n)))2
最小二乘估计——引言
1 N 1 A x[n] x N n 0
样本均值估计即是一种特殊的最小二乘估计
最小二乘估计——引言
无偏估计的类型
确定最小方差
观测数据的概率描述
各种限制。。。
之前学过的估计方法
对观测数据不做 任何概率或统计描述 仅仅假设一个数学模型
最小二乘估计
最小二乘估计——引言
n 1 n 1 n 1
最小二乘估计——线性最小二乘估计
N N N N
ˆ a
2 R ( n ) t (n) ( R(n)t (n)) t (n) n 1 n 1 n 1 n 1
N t ( n) t ( n) n 1 n 1
N 2 N N N N
n 1
N
求极值，对上式求导：
N J 2 ( R(n) a bt (n)) 0 a n 1 N
ˆ t (n) R(n) ˆ b Na
n 1 n 1
N
N
J 2 ( R(n) a bt (n))t (n) 0 b n 1 N N N ˆ t 2 (n) ( R(n)t (n)) ˆ t ( n) b a
2
ˆ b
N ( R(n)t (n)) R(n) t (n)
n 1 n 1 N 2 N t ( n) t ( n) n 1 n1 N n 1 2
最小二乘估计——线性最小二乘估计
ˆ 702.762 a
ˆ 3.4344 b
R 702 .762 3.4344 t
最小二乘估计（Least Square Estimate，LSE） 估计的目的是使得所有观测数据和 假设信号之间的平方误差最小
J ( ) ( x[n] s[n]) , n 0,1, 2,
2 n 0
N 1
, N 1
均方误差准则
2 ˆ) E ˆ mse(
x[n](n 0,1, 2,
N 1 n 0
, N 1)
2
使得 J ( A) ( x[n] A)
最小,
上式对A求导，并令结果为0，可得：
( A x[n])
n 0
N 1
0
N * A x[n] 0
n 0
N 1
1 N 1 A x[n] x N n 0
最小二乘估计——线性最小二乘估计
矢量最小二乘
假设矢量参量 是 维的，信号 s [s[1], s[2],, s[ N ]] 是待估计参量的线性函数，假设：
p 1
T
s H x H V
LS为：
N p
观测矩阵 满秩矩阵
J ( ) ( x H )T ( x H )
n 0
N 1
若 f0 是待估计参量，A是已知的：
非线性最小二乘
J [ f 0 ] ( x[n] A cos(2 f 0 n))
n 0
N 1
2
最小二乘估计——内容安排
引言
序贯最小二乘估计
小结
1
2
3
4
5
线性最小二乘估计
非线性最小二乘估计
最小二乘估计——线性最小二乘估计
表1中是在不同温度下测量同一热敏电阻的阻值，根据测量值 确定该电阻的数学模型，并求出当温度在70摄氏度时的电阻值。
最小二乘估计——线性最小二乘估计
J ( ) x x 2x H H H
T T T T
对 求导，并令其值为0，有：
ˆ0 2H x 2H H
T T
所以：
T 1 T ˆ (H H ) H x
定理4.1 若观测数据可表示为
N (0, 2I)
则MVU估计量