组合数学 第四章7指数型母函数

$4.7 举例
例1：求由两个a ，1个b ，2个c 组成的
不同排列总数。 根据结论一，不同的排列总数为
n 5! 30 2!2!1!
$4.7 举例
例2：由1，2，3，4四个数字组成的五 位数中，要求数1出现次数不超过2次，但 不能不出现； 2出现次数不超过1次； 3出 现次数可达3次，也可以不出现；4出现次 数为偶数。求满足上述条件的数的个数。
7!
8!
9!
10!
由此可见满足条件的5位数共215个。
$4.7 举例
例3: 求1，3，5，7，9五个数字组成的n位数
的个数，要求其中3，7出现的次数为偶数，
其他1，5，9出现次数不加限制。
设满足条件的r 位的个数为 ar ，则序列 a1, a2 , a3, 对应的指数型母函数为
Ge
(x)
(1
x2 2!
(1 x 1 x2 1 x3) 26
1 3x 9 x2 14 x3 35 x4 17 x5 2 3 12 12
35 x6 8 x7 1 x8 72 72 72
(4 7 3
1! 3 x 9 x2 28 x3 70 x4 170 x5 1! 2! 3! 4! 5!
350 x6 560 x7 560 x8 (4 7 4)
推。
$4.7 解的分析
若研究从中取4个的不同排列总数，以
x12 x32 对应的两个两个的不同排列为例，其
不同排列数为
4! 6 2!2! 即 a1a1a3a3, a1a3a1a3, a3a1a3a1, a1a3a3a1, a3a3a1a1, a3a1a1a3, 六种。同样，1个a1 3个 a3 的不同排列数为4! 4 3!
1 ( 5n xn 2 3n xn xn )
4 n0 n!
n0 n! n0 n!
1 (5n 2 3n 1) xn .
4 n0
n!
an
1 4
(5n
2 3n
1).
小测验
1. 在1到9999之间，有多少个每位上数字 全不同而且有奇数构成的整数。 2.在由n个0及n个1构成的字符串中，任意 前k个字符中，0的个数不少于1的个数的字 符串有多少？ 3.设 n=pa11 pa22 …pamm ,p1、p2、…、pm是m个不 同的素数，试求能整除尽数n的正整数数目.
x4 4!
)2 (1 x x2 x3 2! 3!
)3
$4.7 举例
由于
ex 1 x x2 x3 ), 2! 3!
1 x2 x4 1 (ex ex ).
2! 4!
2
Ge (x)
1 (ex 4
ex
)2 e3x
1 (e2x 2 e2x )e3x 4
$4.7 举例
1 (e5x 2e3x ex ) 4
便比较复杂。先考虑n 个元素的全排列，若 n个元素没有完全一样的元素，则应有 n!种排 列。若考虑 ni 个元素 ai的全排列数为 ni! ，则真正不同的排列数为
n! n1!n2! nk !
$4.7 解的分析
先讨论一个具体问题：若有8个元素，其中
设 重a复1 3次， 重a复2 2次， 重复a33次。从中取r 个组合，其组合数为 ，则序cr列 c0 , c1, c2 , c3, c4 , 的c5,母c6函, c7数为
合，其组合数为10。这10个组合可从下面 展开式中得到
(1 x1 x12 x13 )(1 x2 x22 )(1 x3 x32 x33 ) [1 (x1 x2 ) (x12 x1x2 x22 )
(x13 x12 x2 x1x22 ) (x13x2 x12 x22 ) x13x22 ] (1 x3 x32 x33 )
$4Leabharlann Baidu7 指数型母函数
为了便于计算，利用上述特点，形式地
引进函数
Ge
(x)
(1
x 1!
x2 2!
x3 )(1 3!
x 1!
x2 ) 2!
(1 x x2 x3 ) 1! 2! 3!
$4.7 指数型母函数
承上页
Ge (x)
(1 2x 2x2 7 x3 5 x4 1 x5 ) 6 12 12
中取r个排列，设其不同的排列数为 p。r 则 序列 p0 , p1, p的n 指数型母函数为
Ge
(x)
(1
x 1!
x2 2!
x n1 )
n1!
(1 x x2 xn2 ) (1 x x2 xnk )
1! 2!
n2!
1! 2!
nk !
$4.7 指数型母函数
与(2)中所用的方法相比，可以看出指数 型母函数在解决有重复元素的排列时的优 越性。
综合上述可得如下两个结论：
(a) 若元素 a1有 n1个，元素 a2有 n2个， ……，元素ak有nk 个，由此；组成的n个元素
的排列，不同的排列总数为
n! n1!n2! nk ! 其中 n n1 n2 nk
$4.7 指数型母函数
(b) 若元素 a有1 个n1 ，元素 a有2 n个2 ，
……，元素 a有k n个k ，由此；组成的n个元素
x1x33 x2 x33 x12 x32 x1x2 x32 x22 x32 x13x3
$4.7 解的分析 x12 x2 x3 x1x22x3 x13x3 x12x22
即 a1a3a3a3, a3a1a3a3, a3a3a1a3, a以3a此3a类3a1推, 。
故解，其不同的排列数为
350 x6 560 x7 560 x8 (4 7 4)
6!
7!
8!
$4.7 指数型母函数
定义：对于序列p0, p1, p2, ，函数
Ge (x)
p0
p1 1!
x
p2 x2 2!
p3 x3 3!
pk xk k!
称为是序列p0, p1, p2, 的指数型母函数
$4.7 指数型母函数
$4.7 解的分析
承前页
1 (1 x1 x2 x3 ) (x12 x1x2 x22 x1x3 x2 x3 x33 ) (x13 x12 x2 x1x22 x12 x3 x1x2 x3 x22 x3 x1x32 x2 x32 x33 ) (x1x33 x2 x33 x12 x32 x1x2 x32 x22 x32 x13x3 x12 x2 x3 x1x22 x3 x13x3 x12 x22 )
6!
7!
8!
$4.7 指数型母函数
从(4-7-3)式计算结果可以得出：取一个的
排列数为3，取两个的排列数为 2 9 /取2 3个9,
的排列数为
3!，1取4 /43个 的28排列数
为 4!3，5 /如12此等70等。把(4-7-3)式改写成
下面形式便一目了然了。
Ge (x)
1! 3 x 9 x2 28 x3 70 x4 170 x5 1! 2! 3! 4! 5!
4!( 1 1 1 1 1 1 1!3! 1!3! 2!2! 1!1!2! 2!2! 3!1!
1 1 1 1) 2!1!1! 1!2!1! 3!1! 2!2!
4!( 4 3 3 ) 4!4 2!2!3 3!3 2!3!
3! 2!2! 2!
2!2!3!
16 18 36 70
$4.7 指数型母函数
$4.7 问题提出
设有n个元素，其中元素a1 重复了n1 次，元 素 a2重复了 n2次，…，ak 重复了nk 次，
n n1 n2 nk
从中取r个排列，求不同的排列数
如果 n1 n2 nk 1 ，则是一般的
排列问题。
$4.7 问题提出
现在由于出现重复，故不同的排列计数
$4.7 举例
x 5 x2 3x3 8 x4 43 x5 43 x6
2
3 24 48
17 x7 1 x8 1 x9 1 x10 48 288 48 288
x 5 x2 18 x3 64 x4 215 x5 645 x6
1! 2! 3! 4!
5!
6!
1785 x7 140 x8 7650 x9 12600 x10
$4.7 解的分析
其中4次方项有
x1x33 x2 x33 x12 x32 x1x2 x32 x22 x32 x13x3 x12 x2 x3 x1x22 x3 x13x3 x12 x22
上式中 表达了从8个元素( a1,各a33个, a2 2个)中取4个的组合。例如 x1x为33 一个 ，a13个 的组a3合， 为两x12个x32 ，两个a1 的组合，a3 以此类
$4.7 举例
设满足上述条件的r位数为 ，a序r 列
a1, a2 ,的a10指数型母函数为
Ge
(x)
(x 1!
x2 )(1 2!
x)(1
x 1!
x2 2!
x3 )
3!
(1 x2 x4 ) 2! 4!
(x 3 x2 1 x3 )(1 x x2 2 x3
22
3
7 x4 1 x5 x6 x7 ) 24 8 48 144
G(x) (1 x x2 x3)(1 x x2 )(1 x x2 x3) (1 2x 3x2 3x3 2x4 x5 ) (1 x x2 x3 ) 1 3x 6x2 9x3 10x4 9x5 6x6 3x7 x8
$4.7 解的分析
从 x的4 系数可知，这8个元素中取4个组