2020-2021学年高二上学期期中考试数学复习题 (70)(有解析)

2020-2021学年高二上学期期中考试数学复习题 (70) 一、填空题（本大题共14小题，共42.0分）

1. i 是虚数单位，复数(−2+i)i 的虚部为__________．

2. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(2,3)，若(k a ⃗ +b ⃗ )//(a ⃗ −3b ⃗ )，则实数k 的值为______．

3. 写出下列程序的运行结果：__________和__________．

4. 在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，若S 12=8S 4，则a

1d =________． 5. 表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为______．

6. 已知函数f(x)=sin x +2√3cos 2

x 2.设a =f (π7)，b =f (π6)，c =f (π3)，将a ，b ，c 用“<”连

结起来是________．

7. 某医院响应国家精准扶贫号召，准备从3名护士和6名医生中选取5人组成一个医疗小组到扶

贫一线工作，要求医疗小组中既有医生又有护士，则不同的选择方案种数是______.(用数字作答)

8. 在(√x 3−2x )n 的二项展开式中，二项式系数之和为128，则展开式中x 项的系数为______ ．

9. 直线y =x +2与双曲线x 2

a 2−y 2

b 2=1的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为______．

10. 已知数列{a n }中，a 1=3，a n+1=1

a n −1+1，则a 2014= ______ ．

11. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P(5,3)作直线l 与圆x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，

则直线l 的斜率为______ ．

12. 若函数f(x)=x 2−x +1+alnx 在(0,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是______．

13. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有______

种(用数字作答)．

14. 观察下列等式：

① cos 2α=2cos 2α−1；

② cos 4α=8cos 4α−8cos 2α+1；

③ cos 6α=32cos 6α−48cos 4α+18cos 2α−1；

④ cos 8α=128cos 8α−256cos 6α+160cos 4α−32cos 2α+1；

⑤ cos 10α=mcos 10α−1 280cos 8α+1 120cos 6α+ncos 4α+pcos 2α−1．

可以推测m −n +p =________．

二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）

15. 在△ABC 中，角A 、B 、C 依次成等差数列，其对边依次分别为a ，b ，c ．

(Ⅰ)若cos(B +C)=−√6

3，求cos C 的值； (Ⅱ)若a =3，AC

⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3，求b ．

16. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=1

2AD =1，E ，F 分别是

A 1D 1，BC 的中点，P 是BD 上一点，PF//平面EC 1D .

(Ⅰ)求BP 的长；

(Ⅱ)求点P 到平面EC 1D 的距离．

17.(本小题满分15分)

某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由一个圆柱和一个半球组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3：2，工艺品的体积为34πcm3。设圆柱的底面直径为4x(cm)，工艺品的表面积为S(cm2)。

(1)试写出S关于x的函数关系式；

(2)怎样设计才能使工艺品的表面积最小？

18.设椭圆C：x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的离心率e=1

2

，椭圆上的点到

左焦点F1的距离的最大值为3．(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)求椭圆C 的外切矩形ABCD 的面积S 的取值范围．

19. 已知函数f(x)=12(x −a)lnx −ln(lnx)．

(1)当a =e 时，求曲线y =f(x)在点(e,f(e))处的切线方程：

(2)若f(x)≥1−ln2恒成立，求实数a 的取值范围．

20. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n 2+a n =3a n+12+2a n+1(n ∈N ∗)，且a n >0.求证：当n ∈N ∗时，

(1)a n ≥(12)n−1；

(2)a 12+a 22+a 32+⋯+a n 2<2．

-------- 答案与解析 --------1.答案：−2

解析：

本题主要考查复数的运算和相关概念，属于基础题．

化简复数，即可求解．

解：复数(−2+i)i=−1−2i，

复数(−2+i)i的虚部为−2．

故答案为−2．

2.答案：−1

3

解析：

本题考查平面向量共线的坐标运算，属于基础题．

由已知求出k a⃗+b⃗ 与a⃗−3b⃗ 的坐标，再由平面向量共线的坐标运算列式求解．解：∵a⃗=(−1,2)，b⃗ =(2,3)，

∴k a⃗+b⃗ =(−k+2,2k+3)，a⃗−3b⃗ =(−7,−7)，

由(k a⃗+b⃗ )//(a⃗−3b⃗ )，得(−k+2)×(−7)−(2k+3)×(−7)=0．

．

解得：k=−1

3

．

故答案为：−1

3

3.答案：6 7

解析：注意与先执行S=S+i结果的区别．

4.答案：9

10

解析：