2020-2021学年高二上学期期中考试数学复习题 (70)(有解析)

2020-2021学年高二上学期期中考试数学复习题 (70) 一、填空题（本大题共14小题，共42.0分）1. i 是虚数单位，复数(−2+i)i 的虚部为__________．2. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(2,3)，若(k a ⃗ +b ⃗ )//(a ⃗ −3b ⃗ )，则实数k 的值为______．3. 写出下列程序的运行结果：__________和__________．4. 在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，若S 12=8S 4，则a1d =________． 5. 表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为______．6. 已知函数f(x)=sin x +2√3cos 2x 2.设a =f (π7)，b =f (π6)，c =f (π3)，将a ，b ，c 用“<”连结起来是________．7. 某医院响应国家精准扶贫号召，准备从3名护士和6名医生中选取5人组成一个医疗小组到扶贫一线工作，要求医疗小组中既有医生又有护士，则不同的选择方案种数是______.(用数字作答)8. 在(√x 3−2x )n 的二项展开式中，二项式系数之和为128，则展开式中x 项的系数为______ ．9. 直线y =x +2与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为______．10. 已知数列{a n }中，a 1=3，a n+1=1a n −1+1，则a 2014= ______ ．11. 在平面直角坐标系xOy 中，过点P(5,3)作直线l 与圆x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则直线l 的斜率为______ ．12. 若函数f(x)=x 2−x +1+alnx 在(0,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是______．13. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有______种(用数字作答)．14. 观察下列等式：① cos 2α=2cos 2α−1；② cos 4α=8cos 4α−8cos 2α+1；③ cos 6α=32cos 6α−48cos 4α+18cos 2α−1；④ cos 8α=128cos 8α−256cos 6α+160cos 4α−32cos 2α+1；⑤ cos 10α=mcos 10α−1 280cos 8α+1 120cos 6α+ncos 4α+pcos 2α−1．可以推测m −n +p =________．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 在△ABC 中，角A 、B 、C 依次成等差数列，其对边依次分别为a ，b ，c ．(Ⅰ)若cos(B +C)=−√63，求cos C 的值； (Ⅱ)若a =3，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3，求b ．16. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=12AD =1，E ，F 分别是A 1D 1，BC 的中点，P 是BD 上一点，PF//平面EC 1D .(Ⅰ)求BP 的长；(Ⅱ)求点P 到平面EC 1D 的距离．17.(本小题满分15分)某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由一个圆柱和一个半球组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3：2，工艺品的体积为34πcm3。

设圆柱的底面直径为4x(cm)，工艺品的表面积为S(cm2)。

(1)试写出S关于x的函数关系式；(2)怎样设计才能使工艺品的表面积最小？18.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，椭圆上的点到左焦点F1的距离的最大值为3．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)求椭圆C 的外切矩形ABCD 的面积S 的取值范围．19. 已知函数f(x)=12(x −a)lnx −ln(lnx)．(1)当a =e 时，求曲线y =f(x)在点(e,f(e))处的切线方程：(2)若f(x)≥1−ln2恒成立，求实数a 的取值范围．20. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n 2+a n =3a n+12+2a n+1(n ∈N ∗)，且a n >0.求证：当n ∈N ∗时，(1)a n ≥(12)n−1；(2)a 12+a 22+a 32+⋯+a n 2<2．-------- 答案与解析 --------1.答案：−2解析：本题主要考查复数的运算和相关概念，属于基础题．化简复数，即可求解．解：复数(−2+i)i=−1−2i，复数(−2+i)i的虚部为−2．故答案为−2．2.答案：−13解析：本题考查平面向量共线的坐标运算，属于基础题．由已知求出k a⃗+b⃗ 与a⃗−3b⃗ 的坐标，再由平面向量共线的坐标运算列式求解．解：∵a⃗=(−1,2)，b⃗ =(2,3)，∴k a⃗+b⃗ =(−k+2,2k+3)，a⃗−3b⃗ =(−7,−7)，由(k a⃗+b⃗ )//(a⃗−3b⃗ )，得(−k+2)×(−7)−(2k+3)×(−7)=0．．解得：k=−13．故答案为：−133.答案：6 7解析：注意与先执行S=S+i结果的区别．4.答案：910解析：本题考查等差数列的求和公式，属于基础题．由等差数列的求和公式用首项和公差表示S12和S4，即可得到首项与公差的关系．解：∵S12=12a1+12×112d，S4=4a1+4×32d，∴12a1+66d=32a1+48d，∴20a1=18d，∴a1d =1820=910．故答案为910．5.答案：2解析：解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由πl=2πr得l=2r，而S=πr2+πr⋅2r=3πr2=3π故r2=1解得r=1，所以直径为：2．故答案为：2．设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3π，构造方程，可求出直径．本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．6.答案：c<a<b解析：本题主要考查三角恒等变换的应用，属于中档题．解：f(x)=sin x +2√3·1+cosx 2=sin x +√3cos x +√3=2sin (x +π3)+√3.因为函数f(x)在[0,π6]上单调递增，所以f (π7)<f (π6)，而c =f(π3)=2sin 2π3+√3=2sin π3 +√3=f(0)<f(π7)，所以c <a <b ． 故答案为c <a <b ．7.答案：120解析：解：根据题意，从3名护士和6名医生，共9人中选取5人组成一个医疗小组，有C 95=126种取法，其中只有只有医生的取法有C 65=6种，则医疗小组中既有医生又有护士的取法有126−6=120种；故答案为：120根据题意，用间接法分析：先计算从3名护士和6名医生中选取5人组成一个医疗小组的取法数目，然后排除只有医生参加的情况，分析即可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论．8.答案：−14解析：解：∵展开式中二项式系数之和为2n ，∴2n =128解得n =7，∴(√x 3−2x )7展开式的通项为(−2)r C 7r x 7−4r 3令7−4r 3=1，解得r =1故展开式中x的系数为−2C71=−14故答案为：−14．利用二项式系数和为2n，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为1，求出展开式中含x的系数本题考查二项式系数的性质：二项式系数和为2n、考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．9.答案：√2解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．求出双曲线的渐近线方程，得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．解：双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线：y=bax，直线y=x+2与双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线平行，可得：ba=1，所以c2=2a2，则双曲线的离心率为：√2．故答案为：√2．10.答案：32解析：解：∵a n+1−1=1an−1=a n−1−1，∴{a n−1}为周期数列且周期为2，a1−1=2，∴a2014−1=a2−1=1a1−1=12，∴a2014=32．故答案为：32．由题意可知{a n−1}为周期数列且周期为2，a1−1=2，即可求出答案本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．11.答案：1或723解析：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用．通过OA⊥OB，求出圆心到直线的距离解出直线的斜率即可．解：圆的圆心坐标(0,0)，半径为2，点P在圆外，设直线AB的斜率为k，则直线的方程为：y−3=k(x−5)，即kx−y−5k+3=0，∵圆心到直线的距离为：√2，∴√2=，√1+k2解得：k=1或7．23．故答案为：1或723,+∞)12.答案：[18解析：本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题．由函数f(x)=x2−x+1+alnx在(0,+∞)上单调递增可知f′(x)=2x−1+≥0在(0,+∞)上恒成立，结合恒成立与最值的相互转化可求．解析：解：∵函数f(x)=x2−x+1+alnx在(0,+∞)上单调递增，∴f′(x)=2x−1+≥0在(0,+∞)上恒成立．∴a≥x−2x2在(0,+∞)上恒成立．令g(x)=x−2x2，x>0，根据二次函数的性质可知，当x=时，g(x)取得最大值．∴．故答案为：[)13.答案：60解析：本题考查了排列、组合及简单的计数问题，解答的关键是正确分类，是中档题．9个数中，有5个奇数4个偶数，同时取4个不同的数，其和为奇数，包括1奇3偶和3奇1偶两类，然后利用分步乘法原理分别求每一类中的方法种数，最后作和． 解：9个数中，有5个奇数4个偶数，同时取4个不同的数，和为奇数分下面两种情况，第一种：1个奇数3个偶数，共有5C 43=20种取法； 第二种：3个奇数1个偶数，共有C 53⋅C 41=40种取法．∴不同的取法共有20+40=60种． 故答案为60．14.答案：962解析：本题考查了合情推理(归纳、类比推理).利用归纳推理得结论． 解：m =29=512，p =5×10=50．又m −1 280+1 120+n +p −1=1，∴ n =−400． 所以m −n +p =962． 故答案为962．15.答案：解：(1)∵在△ABC 中，因为角A 、B 、C 依次成等差数列，∴2B =A +C又∵A +B +C =180°，∴B =60°，由cos(B +C)=−√63，得sin(B +C)=√1−cos 2(B +C)=√33，∴cosC =cos[(B +C)−B]=cos(B +C) cosB +sin(B +C) sin B =−√63×12+√33×√32=3−√66．(2)由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3得|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(180°−C)=3，即abcosC =−3， 又a =3，∴bcosC =−1，①由正弦定理asinA =bsinB 得asin(120°−C)=bsin60°， ∴√3bcosC +bsinC =3√3，② 将①代入②得bsinC =4√3，③ 联立①③可解得b =7解析：(1)由题意可得B =60°，由cos(B +C)=−√63，可得得sin(B +C)的值，而cosC =cos[(B +C)−B]=cos(B +C) cosB +sin(B +C) sin B ，代入数值计算可得；(2)由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3可得abcosC =−3，结合a =3，可得bcosC =−1，①，再由正弦定理可得bsinC =4√3，③，联立①③可解． 本题考查平面向量数量积的运算，涉及三角形的正余弦定理，属中档题．16.答案：解：(Ⅰ)以A 1为原点，A 1B 1，A 1D 1，A 1A 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，B(1,0，1)，D(0,2，1)，F(1,1，1)，E(0,1，0)，C 1(1,2，0)，设P(a,b ，1)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，则(a −1,b ，0)=(−λ，2λ，0)，∴P(1−λ,2λ,1)，PF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,1−2λ,0)， 设平面DEC 1的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +z =0n ⃗ ⋅EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0，取x =1，得n⃗ =(1,−1,1)， ∵PF//平面EC 1D ，∴PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−λ+1−2λ=0，解得λ=13，∴P(23,23,1)，∴BP 的长|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(23−1)2+(23)2+(1−1)2=√53． (Ⅱ)由(Ⅰ)得平面DEC 1的法向量n ⃗ =(1,−1,1)， EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,−13,1)， ∴点P 到平面EC 1D 的距离： d =|EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3=2√33．解析：(Ⅰ)以A 1为原点，A 1B 1，A 1D 1，A 1A 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BP 的长．(Ⅱ)求出平面DEC 1的法向量，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,−13,1)，利用向量法能求出点P 到平面EC 1D 的距离． 本题考查线段长的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：(1)由题知圆柱的底面半径为2x ，半球的半径为3x ．设圆柱的高为ℎ(cm).因为工艺品的体积为34πcm 3， 所以12×43(3x)3+π(2x)2ℎ=34π，所以ℎ=172x 2−92x ，所以工艺品的表面积为S =12×4π(3x)2+2π(2x)ℎ+π(3x)2+2×π(2x)2 =35πx 2+4πx(172x2−92x)=17π(x 2+2x)，由x >0且ℎ=172x 2−92x >0，得0<x <√5133， 所以S 关于x 的函数关系式是17π(x 2+2x )，0<x <√5133; (2)由(1)知，，0<x <√5133， 令S′=0，得x =1.当0<x <1时，S′<0， 所以S 关于x ∈(0,1]是单调减函数； 当1<x <√5133时，S′>0，所以S 关于x ∈[1,√5133)是单调增函数， 所以，当x =1时，S 取得最小值S min =17π(12+2)=51π， 此时ℎ=4．答：按照圆柱的高为4cm ，圆柱的底面半径为2cm ，半球的半径为3cm 设计，工艺品的表面积最小，为51πcm 2．解析：本题考查组合几何体的面积、体积问题，导数在最大值、最小值问题中的应用．(1)由题知圆柱的底面半径为2x ，半球的半径为3x.设圆柱的高为ℎ(cm).通过试工艺品的体积，求出圆柱的高于底面半径的关系，然后写出S 关于x 的函数关系式；(2)利用(1)的表达式，通过导数，求出极值点，说明高、底面半径、球的半径的数值使工艺品的表面积最小．18.答案：解：(Ⅰ)由题意可知c a =12，a +c =3，解得a =2，c =1．∴b 2=a 2−c 2=3， 则椭圆方程为：x 24+y 23=1；(Ⅱ)当矩形的ABCD 四边的斜率不存在时，S =2a ×2b =2×2×2×√3=8√3；当矩形的四边斜率都存在时，不妨设AB ，CD 所在的直线的斜率为k ，则BC ，AD 的斜率为−1k ，设直线AB 的方程为y =kx +m ，由{y =kx +mx 24+y 23=1，可得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0．由△=0，得4k 2+3=m 2，显然直线CD 的直线方程为y =kx −m ， 则直线AB ，CD 的间距为d 1=√1+k2=2√m 21+k2=2√4k 2+3k 2+1=2√4−1k 2+1同理可得BC ，AD 间距d 2=2√4−11k 2+1=2√3+11+k 2，所以四边形的面积为S =d 1d 2=4√(4−11+k )(3+11+k )， 设11+k 2=t ，则0<t ≤1，∴S =4√(4−t)(t +3)=4√−t 2+t +12=4√−(t −12)2+494，∴8√3<S ≤14，当t =12时，即k =±1时取等号，综上所述椭圆C 的外切矩形ABCD 的面积S 的取值范围[8√3,14]．解析：(Ⅰ)由题意可知ca =12，a +c =3，解得a =2，c =1.即可求出椭圆方程，(Ⅱ)当矩形的ABCD 四边的斜率不存在时，S =2a ×2b =2×2×2×√3=8√3；当矩形的四边斜率都存在时，不妨设AB ，CD 所在的直线的斜率为k ，则BC ，AD 的斜率为−1k ，设直线AB 的方程为y =kx +m ，根据判别式求出4k 2+3=m 2，即可求出直线AB ，CD 的间距为d 1，同理可得BC ，AD 间距d 2，表示出四边形的面积，利用换元法，结合二次函数的性质即可求出本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆简单性质的应用，训练了利用二次函数求最值，是中档题．19.答案：解：(1)a =e 时，f(x)=12(x −e)lnx −ln(lnx)，f(e)=0，f′(x)=12lnx +x−e 2x−1xlnx ，f′(e)=12−1e ，于是，函数y =f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y =(12−1e )(x −e)， 即y =(12−1e )x +1−e2．(2)令lnx =t ∈(0,+∞)，则f(x)≥1−ln2等价于12(e t −a)t −lnt ≥1−ln2， 即a ≤e t −2lnt−2ln2+2t恒成立，记g(t)=e t −2lnt−2ln2+2t，则g′(t)=e t +2lnt−2ln2t 2=t 2e t +2lnt−2ln2t 2，再令ℎ(t)=t 2e t +2lnt −2ln2，t ∈(0,+∞)，则ℎ′(t)=(t 2+2t)e t +2t >0，于是ℎ(t)在(0,+∞)上递增，又ℎ(2)=4e 2>0，ℎ(12)=√e4−4ln2<0，所以ℎ(t)有唯一的零点t 0∈(12,2)，当t ∈(0,t 0)时，g′(t)<0，g(t)单调递减；当t ∈(t 0,+∞)时，g′(t)>0，g(t)单调递增，而t 0满足t 02et 0+2lnt 0−2ln2=0，即t 0et 0=2t 0ln2t 0=eln2t 0⋅ln 2t 0，令φ(t)=te t ，则t 0满足φ(t 0)=φ(ln 2t 0)，其中t 0∈(12,2)，ln 2t 0∈(0,ln4)，又φ′(t)=(t +1)e t ，所以t ∈(−1,+∞)时，φ′(t)>0，φ(t)单调递增， 因此t 0=ln 2t 0，即lnt 0=−t 0+ln2，e t 0=2t 0，于是a ≤g(t)min =g(t 0)=e t 0−2lnt 0−2ln2+2t 0=2t 0−2(−t 0+ln2)−2ln2+2t 0=2，即a ∈(−∞,2]解析：(1)当a =e 时，对函数进行求导，求出点(e,f(e))处的切线的斜率，用点斜式求出切线方程； (2)令lnx =t ∈(0,+∞)，把a 从不等式中分离出来，构造函数，对新函数进行求导，利用导数的单调性，最后求出a 的取值范围．本题考查了曲线的切线方程、函数的零点、利用导数研究恒成立问题，属难题．20.答案：证明 (1)由题意可得a n2+a n =3a 2n+1+2a n+1<4a 2n+1+2a n+1 =(2a n+1)2+2a n+1，则有(2a n+1−a n )(2a n+1+a n+1)>0，又a n >0， ∴2a n >a n ，即a n+1a n>12． 当n ≥2时，a n =a na n−1⋅a n−1an−2⋅…⋅a 2a 1⋅a 1>(12)n−1，又a 1=1=(12)1−1，∴a n ≥(12)n−1．(2)由题意知a n 2+a n =3a 2n+1+2a n+1>2(a 2n+1+a n+1)， 令bn =a n 2+a n ，则b n+1b n<12，∵b 1=a 12+a 1=2， 则当n ≥2时，b n <(12)n−1⋅b 1=(12)n−2，又b 1=2=(12)1−2，∴b n ≤(12)n−2．则a n 2≤(12)n−2−a n ≤(12)n−2−(12)n−1=(12)n−1，故a 12+a 22+a 32+⋯+a n 2≤1+12+(12)2+⋯+(12)n−1=2(1−12n )<2．解析：本题主要考查了数列的递推关系，需要理解题意，数以中档题．(1)由a n2+a n =3a n 2+1+2a n +1(n ∈N ∗)得到(2a n+1)2+2a n+1，既有2a n >a n ，即可证明；(2)由题意知a n 2+a n =3a 2n+1+2a n+1>2(a 2n+1+a n+1)，令bn =a n 2+a n ，即可得到b n ≤(12)n−2，从而得到a n 2≤(12)n−2−a n ≤(12)n−2−(12)n−1=(12)n−1，即可证明．。