高考数学微专题突破 (6)
高考数学课标版二轮习题：考前冲刺 突破6类解答题 含解析
突破6类解答题三角函数问题重在“变”——变角、变式思维流程策略指导1.常用的变角技巧: (1)已知角与特殊角的变换; (2)已知角与目标角的变换; (3)角与其倍角的变换;(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如:α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α),α+β=2·α+β2,α+β2=(α-β2)-(α2-β). 2.常用的变式技巧:主要从函数名、次数、系数等方面入手,常见的情况有:(1)讨论三角函数的性质时,常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论;(2)涉及sin x±cos x 、sin x ·cos x 的问题,常做换元处理,如令t=sin x±cos x,t ∈[-√2,√2],将原问题转化为关于t 的函数来处理; (3)在解决三角形的问题时,常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等方法.规范解答典例1 (2019课标全国Ⅰ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin 2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若√2a+b=2c,求sin C.标准答案阅卷现场解析 (1)由已知得sin 2B+sin 2C-sin 2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b 2+c 2-a 2=bc.(2分)① 由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc=12.(4分)②因为0°<A<180°,所以A=60°.(5分)③(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)=2sin C, (7分)④即√62+√32cos C+12sin C=2sin C, 可得cos(C+60°)=-√22.(9分)⑤由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=√22,(10分)⑥故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)·sin60°=√6+√24.(12分)⑦ 第(1)问踩点得分 ①由正弦定理将角之间的关系转化为边之间的关系b 2+c 2-a 2=bc 得2分.②将所得边之间的关系变形并求得cos A 的值得2分. ③由cos A 的值及A 的取值范围求出A 的值得1分. 第(2)问踩点得分④借助第(1)问的结果,利用正弦定理将条件√2a+b=2c 转化为三角函数间的关系得2分. ⑤利用三角恒等变换求得cos(C+60°)的值得2分. ⑥利用同角三角函数基本关系求sin(C+60°)的值得1分. ⑦通过变角,利用三角恒等变换求得sin C 的值得2分.题后悟通1.利用正、余弦定理求解问题的策略2.三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”数列问题重在“归”——化归思维流程策略指导 化归的常用策略化归:首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量,将已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系.归纳:对于不是等差或等比的数列,可从特殊的情景出发,归纳出一般性的规律、性质,这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法:观察、归纳、猜想、证明.规范解答典例2 (2018课标全国Ⅲ,17,12分)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;切入点:利用等比数列的通项公式求出公比q.(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m.关键点:根据等比数列的前n 项和公式,列出方程,求出m.标准答案阅卷现场解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设得a n =q n-1.(1分)① 由已知得q 4=4q 2,(2分)②解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.(4分)③ 故a n =(-2)n-1或a n =2n-1.(6分)④(2)若a n =(-2)n-1,则S n =1-(-2)n3.(7分)⑤由S m =63得(-2)m =-188,(8分)⑥ 此方程没有正整数解.(9分)⑦ 若a n =2n-1,则S n =2n -1.第(1)问踩点得分 ①正确写出通项公式得1分.②根据题目中的条件,结合通项公式列出关于q 的方程得1分.③正确求出公比q 得2分,没有将q=0舍去扣1分.④每正确写出一个通项公式得1分. 第(2)问踩点得分⑤正确写出前n 项和公式得1分.由S m=63得2m=64,(11分)⑧解得m=6.综上,m=6.(12分)⑨⑥根据⑤及题目中的条件,写出关于m的方程得1分.⑦判断方程是否有正整数解,判断正确得1分.⑧正确写出当a n=2n-1时,2m=64得2分.⑨解得m=6,正确得1分.题后悟通如果一个数列是等差(比)数列或者是可以转化为等差(比)数列的数列,破解此类题的关键点如下:(1)做判断.根据条件判断数列是等差(比)数列或者特殊的数列.(2)求基本量.若是等差(比)数列,求出其首项和公差(比).(3)得结论.根据条件灵活选用公式,代入求值.立体几何问题重在“建”“转”——建模、转换思维流程策略指导立体几何解答题建模、转换策略立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深,解决这类题目的原则是建模、建系.建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度,距离等的计算模型.建系——依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.规范解答典例3 (2019课标全国Ⅰ,18,12分)如图,直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N 分别是BC,BB 1,A 1D 的中点.(1)证明:MN ∥平面C 1DE;(2)求二面角A-MA 1-N 的正弦值.标准答案阅卷现场解析 (1)证明:连接B 1C,ME.因为M,E 分别为BB 1,BC 的中点,所以ME ∥B 1C,且ME=12B 1C.(1分)①又因为N 为A 1D 的中点,所以ND=12A 1D.由题设知A 1B 1 DC,可得B 1C A 1D,故ME ND,(2分)②因此四边形MNDE 为平行四边形,MN ∥ED.(3分)③ 又MN ⊄平面EDC 1,所以MN ∥平面C 1DE.(4分)④(2)由已知可得DE ⊥DA.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,(5分)⑤则第(1)问踩点得分①证明ME 12B 1C 得1分. ②证得ME ND 得1分. ③利用平行四边形的性质,证明MN ∥ED 得1分.④利用线面平行的判定定理证得结论得1分.第(2)问踩点得分 ⑤建立恰当的空间直角坐标系得1分.⑥正确求出各点坐标、向量坐标得1分.⑦正确求出平面A 1MA 的法向量得2分.A(2,0,0),A 1(2,0,4),M(1,√3,2),N(1,0,2),A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,-4),A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-2),A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-2),MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-√3,0).(6分)⑥ 设m=(x,y,z)为平面A 1MA 的法向量,则{m ·A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以{-x +√3y -2z =0,-4z =0.可取m=(√3,1,0).(8分)⑦设n=(p,q,r)为平面A 1MN 的法向量,则{n ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0.所以{-√3q =0,-p -2r =0.可取n=(2,0,-1).(10分)⑧于是cos<m,n>=m ·n |m||n|=√32×√5=√155,(11分)⑨ 所以二面角A-MA 1-N 的正弦值为√105.(12分)⑩ ⑧正确求出平面A 1MN 的法向量得2分.⑨正确求出两法向量夹角的余弦值得1分.⑩正确求出二面角的正弦值得1分.题后悟通利用法向量求解空间角的关键在于“四破”概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型、辨图思维流程策略指导概率与统计问题辨析、辨型与辨图的基本策略 (1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点,事件之间有什么关系,如互斥、对立等.(2)理清事件以什么形式发生,如同时发生、至少有几个发生等. (3)明确抽取方式,如放回还是不放回、抽取有无顺序等. (4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数,或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率. (5)确定随机变量的取值并求其对应的概率,写出分布列再求期望.(6)会套用求b ^、K 2的公式求值,从而进一步求值与分析. (7)理解各图表所给的信息,根据信息找出所要数据.规范解答典例4 (2019课标全国Ⅰ,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,p i=ap i-1+bp i+cp i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明:{p i+1-p i}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.标准答案阅卷现场解析(1)X的所有可能取值为-1,0,1.(1分)①P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).(3分)②所以X的分布列为X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)(4分)③(2)(i)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.(5分)④因此p i=0.4p i-1+0.5p i+0.1p i+1,第(1)问踩点得分①正确写出随机变量X的取值得1分.②正确求出X取不同值时的概率得2分.③列出X的分布列得1分.第(2)问踩点得分④求出a,b,c的值得1分.⑤通过变形得出关系式p i+1-p i=4(p i-p i-1)得2分.故0.1(p i+1-p i )=0.4(p i -p i-1),即p i+1-p i =4(p i -p i-1).(7分)⑤ 因为p 1-p 0=p 1≠0,续表标准答案阅卷现场所以{p i+1-p i }(i=0,1,2,…,7)是公比为4,首项为p 1的等比数列.(8分)⑥ (ii)由(i)可得p 8=p 8-p 7+p 7-p 6+…+p 1-p 0+p 0=(p 8-p 7)+(p 7-p 6)+…+(p 1-p 0)=48-13p 1. 由于p 8=1,故p 1=348-1,(10分)⑦ 所以p 4=(p 4-p 3)+(p 3-p 2)+(p 2-p 1)+(p 1-p 0)=44-13p 1=1257.(11分)⑧p 4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p 4=1257≈0.003 9,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.(12分)⑨⑥得出{p i+1-p i }的性质得1分.⑦根据p 8,利用累加法求得p 1得2分.⑧利用累加法求得p 4得1分. ⑨根据p 4的值解得这种试验方案的合理得1分.题后悟通1.本题以试验新药疗效为背景,命制了一个概率与数列的综合性问题,试题很新颖,创新度高,考查学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力,解决本题的关键是正确理解题意,准确将实际问题转化为数列问题,利用数列的性质求解.2.概率问题的求解关键是辨别它的概率模型,只要找到模型,问题便迎刃而解了.而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程,常常因题设条件理解不准而出错.另外,还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,注意放回和不放回试验的区别,合理划分复合事件.圆锥曲线问题重在“设”——设点、设线思维流程策略指导圆锥曲线解答题的常见类型:第1小题通常是根据已知条件,求曲线方程或离心率,一般比较简单;第2小题往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等,这一小题综合性较强,可通过巧设“点”“线”,设而不求. 在具体求解时,可将整个解题过程分成程序化的三步:第一步,联立两个方程,并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出; 第二步,用两个交点的同一类坐标的和与积来表示题目中涉及的位置关系和数量关系;第三步,求解转化而来的代数问题,并将结果回归到原几何问题中. 在求解时,要根据题目特征恰当地设点、设线,以简化运算.规范解答典例5 (2019课标全国Ⅲ,21,12分)已知曲线C:y=x 22,D 为直线y=-12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB 过定点;切入点:(1)D 为直线y=-12上的动点;(2)A,B 为过D 作C 的两条切线的切点.(2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.标准答案阅卷现场解析 (1)证明:设D (t,-12),A(x 1,y 1),则x 12=2y 1.(1分)① 由于y'=x,所以切线DA 的斜率为x 1,故y 1+12x 1-t =x 1. 整理得2tx 1-2y 1+1=0.(2分)②设B(x 2,y 2),同理可得2tx 2-2y 2+1=0.(3分)③ 故直线AB 的方程为2tx-2y+1=0. 所以直线AB 过定点(0,12).(4分)④ (2)由(1)得直线AB 的方程为y=tx+12.(5分)⑤ 由{y =tx +12,y =x22可得x 2-2tx-1=0.(6分)⑥于是x 1+x 2=2t,x 1x 2=-1,y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1,|AB|=√1+t 2|x 1-x 2|=√1+t 2×√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2(t 2+1).(8分)⑦设d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离,则d 1=√t 2+1,d 2=2√t +1.(9分)⑧因此,四边形ADBE 的面积S=12|AB|(d 1+d 2)=(t 2+3)√t 2+1.(10分)⑨设M 为线段AB 的中点,则M (t,t 2+12). 由于EM ⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗ ,而EM ⃗⃗⃗⃗ =(t,t 2-2),AB ⃗⃗⃗⃗ 与向量(1,t)平行, 所以t+(t 2-2)t=0.解得t=0或t=±1.(11分)⑩ 当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4√2.因此,四边形ADBE 的面积为3或4√2.(12分)第(1)问踩点得分 ①正确设出D,A 两点的坐标得1分.②利用切线的斜率建立t,x 1,y 1的关系得1分.③建立与B 点坐标的关系得1分.④正确证明结论得1分. 第(2)问踩点得分⑤用参数表示出AB 的方程得1分.⑥联立直线与抛物线的方程并正确化简得1分.⑦利用弦长公式得出|AB|得2分.⑧求出D,E 到AB 的距离得1分.⑨表示出四边形ADBE 的面积得1分.⑩利用直线与圆相切求出参数t 的值得1分.求出四边形的面积得1分.题后悟通解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤 (1)设方程及点的坐标;(2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次项系数是不是零);(3)得到根与系数的关系及判别式;(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解.函数与导数问题重在“分”——分离、分解思维流程策略指导函数与导数问题一般以函数为载体,导数为工具,重点考查函数的一些性质,如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论,复杂函数零点的讨论,有关函数不等式中参数范围的讨论,恒成立和能成立问题的讨论等,是近几年高考试题的命题热点.对于这类综合问题,一般是先求导,再变形、分离或分解出基本函数,再根据题意处理.规范解答典例6 (2018课标全国Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=e x -ax 2. (1)若a=1,证明:当x ≥0时, f(x)≥1;切入点:构造新函数,利用导数判断其单调性并进行证明.(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.关键点:对函数f(x)求导,并构造函数,结合函数的单调性,确定函数零点的情况,最后求a.标准答案阅卷现场解析(1)证明:当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,(1分)①则g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.(2分)②当x≠1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)和(1,+∞)上单调递减.(3分)③而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.(4分)④(2)设函数h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点.(i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点;(5分)⑤(ii)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e-x.当x∈(0,2)时,h'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0.所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.故h(2)=1-4ae2是h(x)在(0,+∞)的最小值.(6分)⑥①若h(2)>0,即a<e24,h(x)在(0,+∞)没有零点;(7分)⑦②若h(2)=0,即a=e24,h(x)在(0,+∞)只有一个零点;(8分)⑧③若h(2)<0,即a>e24,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一个零点.由(1)知,当x>0时,e x>x2,所以h(4a)=1-16a3e4a =1-16a3(e2a)2>1-16a3(2a)4=1-1a>0.(10分)⑨故h(x)在(2,4a)有一个零点.因此h(x)在(0,+∞)有两个零点.综上,f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=e24.(12分)⑩第(1)问踩点得分①构造函数g(x)=(x2+1)e-x-1得1分.②正确求导得1分.③判断出g(x)在(0,1)和(1,+∞)上单调递减得1分.④得出结论得1分.第(2)问踩点得分⑤判断出当a≤0时,h(x)没有零点得1分.⑥求出h(x)在(0,+∞)的最小值为h(2)得1分.⑦得出a<e24时,h(x)在(0,+∞)没有零点得1分.⑧得出a=e24时,h(x)在(0,+∞)只有一个零点得1分.⑨对h(2)<0时,分析得出h(4a)>0得2分.⑩判断出h(x)在(2,4a)有一个零点,并求出a的值得2分.题后悟通函数与导数综合问题的解题关键(1)求函数的极值点,先求方程f'(x)=0的根,将函数的定义域分成若干个开区间,再列成表格,最后根据表格内容即可写出函数的极值;(2)证明不等式常构造函数,并利用导数法判断新构造函数的单调性,从而可证明原不等式成立;(3)不等式恒成立问题除了用分离参数法外,还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手,求参数的取值范围.。
2023年高考数学二轮复习(新高考版)第1部分 专题突破 专题6 微重点17 抛物线的二级结论的应用
易错提醒
焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用 的条件；数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、 直角或钝角，不能一律当成锐角而漏解.
跟踪演练1 (1)已知 A，B 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的直线与抛物线的
交点，O 是坐标原点，且满足A→B＝3F→B，S△OAB＝ 32|AB|，则|AB|的值为
A.2
B.2 6＋3
C.4
√D.3＋2 2
因为p＝2， 所以|A1F|＋|B1F|＝2p＝1， 所以 2|AF|＋|BF|＝(2|AF|＋|BF|)·|A1F|＋|B1F| ＝3＋2|B|AFF||＋||BAFF||≥3＋2 2|B|AFF||·||BAFF||＝3＋2 2，
当且仅当|BF|＝ 2|AF|时，等号成立，
ABB′A′的面积为
A.4 3
B.8 3
√C.16 3
D.32 3
12345678
不妨令直线l的倾斜角为θ，
则|AF|＝1－cpos
θ＝1－c3os
， θ
|BF|＝1＋cpos
θ＝1＋c3os
， θ
又|AF|＝3|BF|，∴1－c3os
θ＝3·1＋c3os
， θ
解得 cos θ＝12，
又 θ∈[0，π)，∴θ＝π3，
√B.34
C.43
D.3
如图，过点P作准线的垂线交于点H，
由抛物线的定义有|PF|＝|PH|＝m(m>0)，
过点Q作准线的垂线交于点E，则|EQ|＝|QF|， ∵P→M＝2F→P，∴|PM|＝2m， 根据△PHM∽△QEM，可得||PPMH||＝||QQME||＝12， ∴2|EQ|＝|QM|＝|FQ|＋3m. ∴|EQ|＝3m，即|FQ|＝3m， ∴||PFQQ||＝3m3＋m m＝34.
2023年高考数学二轮复习(新高考版) 第1部分 专题突破 专题6 微重点15 离心率的范围问题
跟踪演练3 (2022·长沙市雅礼中学等十六校联考)已知双曲线 C：ax22－by22＝ 1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，若 C 与直线 y＝x 有交点，且 双曲线上存在不是顶点的点 P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则双曲线离心 率的取值范围为____( __2_，__2_) __.
专题强化练
考点一
利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
例1 (1)(2022·南京模拟)设 e1，e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆
和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝π3，则
e1e2 的最小值为
√A.
3 2
B.32
C.
3 4
D.34
设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设|PF1|>|PF2|， 由椭圆和双曲线的定义可得||PPFF11||＋ －||PPFF22||＝ ＝22aa12， ， 得||PPFF12||＝ ＝aa11＋ －aa22， ，
A.0，12
B.0，
2
2
C.12，1
√
D.
22，1
如图所示，A为椭圆的上顶点.
依题意∠F1AF2≥90°，即∠OAF2≥45°， 又|AF2|＝a，|AO|＝b，|OF2|＝c， ∴sin∠OAF2＝||OAFF22||＝ac＝e，
∵∠OAF2≥45°，
∴sin∠OAF2∈
22，1，即
√C.0，12
D.12，1
连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时， 设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α， ∵存在M，N使得∠MPN＝120°， ∴∠APB≥120°，即α≥60°， 又α<90°，∴sin α≥sin 60°， 连接 OA，则 sin α＝||OOPA||＝|ObP|≥ 23，∴|OP|≤2 33b. 又 P 是 C 上任意一点，则|OP|max≤2 33b， 又|OP|max＝a，∴a≤2 33b，
2022届高考数学解题方法微专题(6)换元法求解与指数型函数有关的最值问题
-1-微专题(六)换元法求解与指数型函数有关的最值问题
[例]已知函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)，当x ≥0时，求函数的值域．解析：y ＝a 2x ＋2a x －1，令t ＝a x ，
则y ＝g (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.
当a >1时，∵x ≥0，∴t ≥1，∴当a >1时，y ≥2.
当0<a <1时，∵x ≥0，∴0<t ≤1.
∵g (0)＝－1，g (1)＝2，
∴当0<a <1时，－1<y ≤2.
综上所述，当a >1时，函数的值域是[2，＋∞)；
当0<a <1时，函数的值域是(－1,2]．
名师点评
1．此例利用了换元法，把函数f (x )转化为y ＝t 2＋2t －1，将问题转化为求二次函数的最值(值域)问题，从而减少了运算量．
2．对于同时含有a x 与a 2x (a >0且a ≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t ＝a x 进行换元巧解，但一定要注意新元的范围；对数函数中的类似问题，也用这种方法．
[变式练]已知函数y ＝4x ＋m ·2x －2在区间[－2,2]上单调递增，则m 的取值范围为________．
微专题(六)
变式练
解析：设t ＝2x ，则y ＝4x ＋m ·2x －2＝t 2＋mt －2.
因为x ∈[－2,2]，所以t ∈14，4.
又函数y ＝4x ＋m ·2x －2在区间[－2,2]上单调递增，
即y ＝t 2＋mt －2在区间14，4上单调递增，故有－m 2≤14，解得m ≥－12.所以m 的取值范围为－12，＋
答案：－12，＋∞。
2019-2020年高考数学小题高分突破6数列
2019-2020年高考数学小题高分突破 6数列1 .已知｛a n ｝为等比数列，数列｛b n ｝满足b l =2 , b 2 = 5，且a n (b n + 1 — b n ) = a n + 1,则数列｛b n ｝的 前n 项和为( )A . 3n + 1 3n 2+n C.- 答案 C 解析b1 = 2, b 2= 5,且 a n (b n + 1 — b n )= a n + 1 ,二 a 1(b 2— b 1)= a 2,即卩 a 2= 3a 1, 又数列｛a n ｝为等比数列，•数列｛ a n ｝的公比q = 3，且a n M 0, 二数列｛b n ｝是首项为2，公差为3的等差数列，2 •数列｛ b n ｝的前 n 项和为 S n = 2n + “ ； 1 X 3= 3n.2 .设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n , S 2= 3, S 4 = 15,则S 6等于( )A . 27B . 31C . 63D . 75 答案 C解析 由题意得S 2, S 4— S 2, S 6— S 4成等比数列， 所以3,12, S 6— 15成等比数列， 所以 122= 3X (S 6— 15)，解得 S 6= 63.3. 设S n 是公差不为0的等差数列｛a n ｝的前n 项和，S 3= a 2,且S, S 2, S 4成等比数列，则 a 10 等于()A . 15B . 19C . 21D . 30 答案 B解析 设等差数列｛a n ｝的公差为d , 因为 S 3 = a 2,所以 3a 2 = a 2, 解得a 2 = 0或a 2= 3,又因为S 1, S 2, S 4构成等比数列， 所以S 2 = SS ,所以(2a 2— d)2= (a 2— d)(4a 2+ 2d), 若 a 2= 0,则 d 2=— 2d 2,B . 3n — 1 3n 2 —a n +1 …bn + 1 — b n = = 3, a n此时d = 0,不符合题意，舍去，当 a 2= 3 时，可得(6 - d)2= (3 - d)(12 + 2d), 解得d = 2(d = 0舍去)，所以 a io = a 2+ 8d = 3+ 8X 2 = 19. 4. 在等差数列｛a n ｝中，若一< —1,且它的前n 项和S n 有最小值，则当S n >0时，n 的最小值 a 8为()A . 14B . 15C . 16D . 17 答案 C解析•••数列｛a n ｝是等差数列，它的前 n 项和S n 有最小值， ••• d>0, a 1<o , ｛a n ｝为递增数列.•- a 8 a 9<0 , a 8 + a 9>0,由等差数列的性质知， 2a 8 = a 1 + a 15<0, a 8+ a 9= a 1+ a 16>0. n a 1+ a n-S n =2 ,•••当s>0时，n 的最小值为16. 5.若S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，且S n = 2a n -2,则S 8等于( )A . 255B . 256C . 510D . 511 答案 C解析 当n = 1时，a 1 = S 1 = 2a 1-2,据此可得a 1= 2, 当 n 》2 时，S n = 2a n -2, 3-1 = 2a n -1- 2, 两式作差可得 a n = 2a n — 2a n -1，贝y a n = 2a n -1 , 据此可得数列｛a n ｝是首项为2,公比为2的等比数列，6.已知数列｛a n ｝中 a 1 = 1, a 2= 2,且 a n +2- a n = 2-2 (- 1)n , n € N ，贝V S 2 017 的值为( )解析由递推公式，可得当n 为奇数时，a n + 2- a n = 4，数列｛a n ｝的奇数项是首项为 1,公差为4的等差数列, 当n 为偶数时，a n + 2- a n = 0，数列｛a n ｝的偶数项是首项为 2,公差为0的等差数列, S 2 017= (a 1 + a 3+ …+ a 2 017) + (a 2 + a 4 + …+ a 2 016)a 9< a 8 -1, 其前8项和为S 8 =2 X (1 - 28) 1- 2=29- 2 = 512- 2= 510. A . 2 016 X 1 010- 1 B . 1 009 X 2 017 C . 2 017 X 1 010- 1 答案 CD . 1 009 X 2 0161=1 009 + — X 1 009 X 1 008 X 4+ 1 008 X 2 2=2 017X 1 010- 1.答案 A所以 a 1 = 0, a 2=— •. 3, a 3=”・J 3, a 4 = 0, a 5=— ■ 3, a 6=\,'3, 故此数列的周期为 3.所以 a 56 = a 18x 3+ 2= a 2= — -』3.8•《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南 山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈•爬到竹子顶，行程是多远？”（注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为 1.3尺；③每节比其下面的一节多 0.03尺；④每圈周长 比其下面的一圈少 0.013尺）问：此民谣提出的问题的答案是 （ ）A . 72.705 尺B . 61.395 尺C . 61.905 尺D . 73.995 尺答案 B解析 因为每竹节间的长相差 0.03尺， 设从地面往上，每节竹长为a 1, a 2, a 3,…,a 3o ,所以｛a n ｝是以a 1= 0.5为首项，以d 1 = 0.03为公差的等差数列, 由题意知竹节圈长，上一圈比下一圈少0.013尺，设从地面往上，每节圈长为b 1, b 2, b 3,…，b 30,由｛b n ｝是以b 1 = 1.3为首项，d = — 0.013为公差的等差数列， 所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程是9.已知数列｛a n ｝是各项均为正数的等比数列， S n 是其前n 项和，若S 2+ a 2= S 3— 3,贝U a 4 + 3a 2的最小值为（）A . 12B . 9C . 6D . 18 答案 D解析因为S 3 — S 2= a 3,7.已知数列｛a n ｝满足a 1 = 0, a n + 1 =（n € N *），贝U a 56 等于（A . — ■] 3B . 0 C. 3D. "2-解析 因为a n 一 寸3an +门(nC NS 30= 30 X 0.5 + 30 X 29 2 X 0.03 + 30 X 1.3 + 30 X292 X — 0.013 =61.395. 窮 3a n + 1所以由S2+ a2= S3—3，得a3—a2= 3,3设等比数列｛a n｝的公比为q,贝U a i = —-,q q—1由于｛a n｝的各项为正数，所以q>1.a4+ 3a2= a i q3+ 3a i q3=aiq(q2+ 3)=^——7 q(q2+3)当且仅当q—1= 2,即q = 3时，a4+ 3a2取得最小值18.10 •已知数列｛a n｝的通项公式为a n= 2n(n € N*)，数列｛b n｝的通项公式为b n= 3n—1,记它们的公共项由小到大排成的数列为｛cn｝，令xn=抚;，则的取值范围为()B • (1, e)3D. 2，e答案C解析由题意知，｛a n｝, ｛b n｝的共同项为2,8,32,128，…，故c n= 22n—1C nXn= 1 + C n，1 1得x n=1+c n，则当n》2时，-=丄>1F n—1 X n '故数列｛F n｝是递增数列,•— > 3X1 …X n—1X n 2■/ 当x>0 时，ln(1 + x)<x，•'•In 1 + 1<-L，C n C n则ln 1 + 1 1+ 1…11 + 一C1C2C n=ln11+ …+ In1 1+ + In 1 +一 1 + 一C1C2C nA • [1,2)3c. ,e2X1 …X n—1X n11+ 一C111+ •-C211+ .C n令F n =1X1 …X n —X1 1 1 <_ + +••• + _ C 1 C2 C n11— 2 n2 i 22 1 __ 1 —11 n2=1 —11+23••当n = 1时，S 取最大值；2 当n = 2时，S n 取最小值-. 4要使S + 2< M 对任意的n € N *恒成立.S n1 2 < 1 1 - 1 2 3,1 二 1 + - C 1 11 + •-C 21 1 + 一2<e 3 4, 故3 <2 X 1 …X n —1X n21 < e 3，故选C. 11 .记S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，满足 3 * 2a 1 = 2, 2a n +1 + 3S n = 3(n € N )，若 S n + S 仝 M 对任意 的n € N *恒成立, 则实数M 的最小值为答案 C 17 B.?C.11 D . 4 解析由— *2a n +1+ 3S n = 3(n € N ),得 2a n + 3Si T = 3, n 》2.两式相减，可得2a n + 1 — 2a n + 3a n = 0 , 即叱a n 1 1 = q.•a 1= 2, 2a2 + 3S 1 = 3, 即 2a 2+ 3a 1= 3,3 •-a2= —4， 冬_ 1 a 1 2’••• an = 3n — 13则 S n = 22 41 S n +取得最大值彷，S n 12 41 二 M >—,12，12 .对于任意实数 x ,符号[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[3]= 3, [ — 1.2] = - 2, [1.2]= 1.已知数列｛a n ｝满足a n =[log 2n]，其前n 项和为S n ,若n o 是满足S n >2 018的最小整数，则 n o 的值为（ ）A . 305B . 306C . 315D . 316 答案 D解析由题意，a n = [log 2 n ], 当n = 1时，可得a 1= 0, （1项） 当 21< n<22 时，可得 a 2= a 3= 1, （2 项） 当 22w n<23 时，可得 a 4 = a 5=…=a 7 = 2, （4 项） 当 23< n<24 时，可得 a 8= a 9=…=a 15 = 3, （8 项）当 24< n<25 时，可得 a 16= a 17=…=a 31= 4, （16 项） 当 2k w n<2k +1 时，可得 a 2k = a 2k +1=…=a 2k +1—1= k , （2k 项） 当 2k < n<2k +1 时，前 n 项和 S n = 1 x 21 + 2X 22+ - + k x 2k , 23= 1 x 22+ 2X 23+ …+ k x 2k +1, 所以一S n = 2+ 22+23+ …+ 2k — k x 2k +1, 所以 S n = （k — 1） x 2k +1 + 2.由 S n >2 018，得 k >8. 当 k = 7 时，S n = 1 538<2 018;当 k = 8 时，S n = 3 586>2 018, 所以取 k = 7,且 2 018— 1 538= 480, 所以 n =1x 1 — 2+ 4|° + 1= 316.1 —2 813. ______________________ 已知等比数列｛a n ｝的前n 项和S n = 3n + r ，则a 3— r = 项是第k 项，则k = .答案 194解析等比数列前n 项和公式具有的特征为•••实数M 的最小值为4112.2，数列n n + 4 3 n 的最大S n = aq n — a ,据此可知，r =— 1,则 S n = 3n — 1, a 3= S 3— S 2=(33 — 1)— (32— 1)= 18, a 3— r = 19.2令 b n = n (n + 4)3 n ,且 b n >0,2n 2+ 6n + 5 2 3 • n 2+ 4n >1 可得 n <10， ,b n +1 2 n 2+ 6n + 5 2 由斎=3 • n 2+ 4n <1 可得 n >10， 据此可得，数列中的项满足b 1<b 2<b 3<b 4,且 b 4>b 5>b 6>b 7>b 8> …，则 k = 4. 14.已知等比数列｛a n ｝的首项是1,公比为3,等差数列｛b n ｝的首项是一5,公差为1，把｛b n ｝ 中的各项按如下规则依次插入到 ｛a n ｝的每相邻两项之间，构成新数列｛c n ｝ : a 1, b 1, a 2, b 2,b 3, a 3,b 4, b 5 ,b 6, a 4,…，即在a n 和a n +1两项之间依次插入 ｛b n ｝中n 个项，贝U 02 018= ____ .（用 数字作答） 答案 1 949解析 由题意可得，a n = 3n —1,b n =— 5+ (n — 1) x 1 = n — 6,由题意可得，数列｛ 0n ｝中的项为3°,— 5,31,— 4,— 3,32,— 2，— 1,0,33,…，3“时,当n = 62时，63；64= 2 016,即此时共有2 016项，且第2 016项为362, …C 2 018= b 1 955 = 1 955 一 6= 1 949.15. 已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n ,若 a 1 = 1, a 2 = 2, a 3n = 2n — 2a n , a 3n +1= a n + 1, a 3n +2 = a n — n ,贝y S 60 = ______ .(用数字作答) 答案 264解析 因为 a 3n = 2n — 2a n , a 3n +1 = a n + 1 , a 3n + 2= a n — n , 所以 a 3n + a 3n +1+ a 3n +2= n +1 ,因此 @3+ a 4 + a 5)+ (a 6 + a 7 + a 8)+ …+ (a 57+ a 58 + a 59)= 2 + 3+ …+ 20= 209, 因为 a 3n = 2n — 2a n , a 3n + 2= a n — n ,所以 a 60 = a 3x20= 2x 20 — 2a 2o , a 2o = a 3x6+ 2= a 6— 6,a 6= a 3x2 = 2 x 2 — 2a 2= 0,b n + 1 b n 2 n 2+ 6n + 5 3 n 2+ 4nb n + 1 b n 数列｛0n ｝的项数为1 + 2+ ••• + n + (n + 1)= n + 1 n + 22所以a20 = —6, a60= 52 ,综上，S 60 = 1 + 2+ 209+ 52= 264.4 11 116 .数列｛ a n ｝满足a 1 = 4 a *+1 = a 2 — a n + 1(n € N *),则 —I ---- … ------- 的整数部分是 _________3 a 1 a 2 a 2 017 答案 24解析 因为 a 1 = 3, a n +1 = a n — a n + 1(n € N ), 所以 a n +1一 a n = (a n 一 1)2>0,所以a n +1>a n ，数列｛a n ｝单调递增, 所以 a n +1— 1 = a n (a n — 1)>0 ,1 1 1所以_ =—— --a n a n — 1 a n +1— 11 11所以S *=丄+丄+…+丄a 1 a 2 a n1 1 . 1 — +a 1 — 1 a 2— 1 a 2— 11 一 1 a n — 1 a n +1 —1因为 a 1 = 3，所以 a 2= 3 2-3 + 1 =号，所以 a 2 018>a 2017>a 2016>・・・>a 4>2,1所以 a 2 018 — 1>1，所以 0< <1,a 2 018 — 11所以 2<3— —<3,a 2 018— 1 因此m 的整数部分是2.3根据对勾函数的性质，当 S n = 3时，41 一 1a 1 — 1 a n +1— 1所以 m = S 2 017 = 3 —1a 2 018 —1所以1 a n + 1— 1 1 a n a n — 1 1a n — 1 丄a n1 a 3— 1a 3=13 2一 迫+ 1 =迪9 9 +81a 4= 133 281晋 +1>2,。
高考零距离突破数学-6
第六章平面向量思维导图透析经典的大讲堂复习指导自我精准定位向量理论具有深刻的数学内涵和丰富的物理背景，向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁.向量是数学问题解决的基本工具，在解决实际问题中发挥重要作用.整个复习过程应该重视基本概念的理解、基本方法的熟练掌握，不应局限于向量本章的复习，还应该与前后知识进行串联，提高复习效率.从历年上海高考的情况看，考查内容主要分四类：①考查平面向量的基本概念与运算；②考查向量的几何意义与坐标运算；③运用向量的数量积来解决一些问题；④与其他知识如三角函数、解析几何的综合考查.近几年高考中平面向量作为工具，为解题提供了越来越大的帮助.平面向量复习的几点建议：1.以教材为本，重视教材的示范作用.建议在一轮复习中一定要把握好教材，对教材中的基本概念和公式要求准确理解记忆，并能熟练解答课本习题，规范解题的思路和书写过程.2.应特别重视平面向量中蕴含着的数学思想，对于提高学生数学核心素养，培养学生思维能力有很重要的作用.（1）数形结合思想：平面向量本身具备代数与几何的双重性，在复习过程中，应该让学生树立数形结合的解题意识；（2）转化与化归思想：向量的平行、垂直、夹角均可以有多种手段进行表达，在解题过程中应该根据实际情况合理地进行转化与化归.3.突出向量与其他知识的交汇.复习中应该注意向量与三角函数、向量与解析几何、向量与实际问题的综合.第23讲 向量的概念回归教材 理清脉络的解牛刀知识梳理1.向量的概念（1）向量：即有大小，又有方向的量.常常用有向线段表示向量，例如以A 为起点，以B 为终点的向量记作AB .（2）向量的模：向量的大小叫做向量的模，比如,a AB .（3）单位向量：模为1的向量.对任意的非零向量a ，与它同方向的单位向量叫做向量的单位向量，记作001,a a a a=. （4）零向量：模为零的向量叫做零向量，零向量0的方向不定.注意0与0的区别. （5）如果两个非零向量所在的直线平行或者重合，那么称这两个向量平行.由于约定了零向量具有任意方向，因此它平行于任意向量.2.若,a b 为不共线向量，则,a b a b +-为以,a b 为邻边的平行四边形的对角线作为有向线段所表示的向量.22222a b a b a b ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭3.平面向量分解定理平面上任意一个向量可以表示为同一平面内两个不平行向量1e 和2e 的线性组合，即1a e =+α2,,e ∈R βαβ，其中,αβ叫做线性组合系数.当12e e ⊥且12,e e 为方向分别与x 轴、y轴正方向相同的单位向量时，1e 和2e 分别记作i 和j ，平面向量坐标表示(),a x y =的意义是a xi yj =+.4.向量的坐标以()11,A x y 为始点，()22,B x y 为终点的向量AB 的坐标为()2121,,x x y y AB --=5.平面向量分解定理的推论若OC OA OB =+λμ，且1+=λμ，则,,A B C 三点共线. 6.若12P P PP =λ（若λ为实数，且1≠-λ），则121OP OP OP +=+λλ.若其中点12,P P 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点(),P x y 的坐标满足1212,11x x y y x y ++==++λλλλ.特别地，若1=λ，则P 为线段12P P 的中点，点(),P x y 的坐标满足1212,22x x y y x y ++==. 7.重要结论G 为ABC ∆的重心1231230,33x x x y y y GA GB GC G ++++⎛⇔++=⇔ ⎝）（其中()11,A x y ，()())1221,,.B x y C x y +基础自测1.已知()()1,2,0,2a a b =-+=，则b = .2.在下列结论中，正确的是.①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若a 和b 都是单位向量，则a b =；④两个相等向量的模相等. 3.[改编题]若平面四边形ABCD 满足2AB DC =.则该四边形一定是（ ） A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形4.设,a b 是两个不共线的向量，(),,AB a kb AC ma b k m =+=+∈R ，则,,A B C 三点共线的充要条件是（ ）A.0k m +=B.k m -C.10km +-D.1km -5.已知AD BE ⋅分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线，且,AD a BE b ==，则BC 为（ ） A.4233a b + B.2433a b +C.2233a b -D.2233a b -+考点突破释难答疑的金钥匙考点1 向量的基本概念重点阐述1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.2.共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.2.非零向量a 与a a 的关系：aa是α方向上的单位向量.1.借助数形结合的思想方法来解决相关的概念问题.2.特别注意对于零向量的特殊情况进行分类讨论. 例1 给出下列命题：①若a b =，则a b =；②若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a b =且//a b 的充要条件是a b =； ④若//,//a b b c ，则//a c . 其中正确命题的序号是.【知识内容】图形占几何/平面向量/向量的基本概念；数形结合思想.【试题分析】①不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；②正确，,DC AB C A D B ∴==且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，四边形ABCD 为平行四边形，//AB DC ∴且,AB DC AB DC =∴=；③不正确，当//a b 且方向相反时，即使a b =，也不能得到,a b a b =∴=且//a b 不是a b =的充要条件，而是必要非充分条件；④不正确，考虑0b =这种特殊情况.综上所述，正确命题的序号是②. 变式训练给出下列四个命题：①㑂个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若,a b b c ==，则a c =；③设0a 是单位向量，若0//a a 且1a =，则0a a =； ④a b =的充要条件是a b =且,a b 同向. 其中假命题的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4考点2 向量的线性运算重点阐述在一个图形中，用几个向量表示另一个向量，首先要搞清构成三角形的三个向量间的相互关系，能熟练找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法互相转化.或多边形；（3）运用法则找关系；（4）化简结果.1.一般的向量运算问题，常常借助数形结合的方法，借助于向量运算的平行四边形法则和三角形法则进行解决.2.涉及平行向量分解定理的问题时，要注意公式条件的合理应用. 例2 在ABC ∆中，点D 在边AB 上，且12BD DA =，设,CB a CA b ==，则CD =（ ） A.1233a b +B.2133a b +C.3455a b +D.4355a b + 【试题分析】方法一：1222,,2333AB CB CA a b BD DA AD AB a b -----∴---， 22213333CD CA AD b a b a b ∴=+=+-=+，故选B .方法二：运用向量的减法，,BD CD CB DA CA CD =-=-， 由12BD DA =得，1()2CD CB CA CD -=-，整理得3112,2233CD CA CB CD CA CB =+=+， 即2133CD a b =+，故选B. 变式训练在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上的一个靠近点B 的三等分点，设AB =,a AD b =，那么EF = （用,a b 表示）.例3 如图，过ABC ∆的重心G 作一直线分别交,AB AC 于点D ，E .若,,0AD xAB AE y AC xy --≠，则11x y+的值为.【知识内容】图形与几何／平面向量／向量的基本概念；转化与化归思想.【试题分析】由G 为ABC ∆的重心，1133AG AB AC ⇒=+， 而,,AD AEAB AC x y==1133AG AD AE x y ⇒=+， 由,,D G E 三点共线11111333x y x y⇒+=⇒+=. 变式训练如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB AD +分别交于,E F 两点.且交对角线AC于点K .其中2152AE AB AF AD AK AC =⋅=⋅=λ.则λ的值为 .解决弱项 查漏补缺的聚焦筒弱项清单1.向量的基本概念认识䒨㩽，产生概念性错误.2．涉及零向量的问题，没有考虑到它的方向的任意指向对问题产生的影响． 诊断与改进1.设a 是非零向量，λ是非零实数，给出下列结论： ①a 与a λ方向；②a 与2a λ的方向相同；③a a -λ；④a a -⋅λλ.其中正确的是 （填序号）.【参考答案】②【试题分析】本题考查向量的概念，能力层级为C ：掌握.在本题中，已知“a 是非零向量，入是非零实数”，判断结论“①a 与2a λ方向；②a 与2a λ方向相同；③||||a a -λ；④||||a a -λλ⋅”正确还是错误，并将正确的结论的序号填写在横线上.λ的正负号未确定，无法判断a 与a λ的方向是相同，还是相反，故①错误；由20>λ得，a 与2a λ的方向相同，故②正确； 因为|||||a a -λ=λ，当||1λ时，||||a a -λ；当 0||1<λ<时，||||a a -λ<，故③错误；||a -λ表示模，无方向，||a λ⋅表示向量，有方向，故④错误.综上，正确的结论只有②，故横线上填②.【答题分析】本题难度简单，学生掌握向量的概念即可求解.学生出现错误的答案是②④. 学生答出②④这个答案，可能是学生将||||a a -λλ⋅错看成||||||a a -λλ⋅，错误地认为结论④正确，或者学生不能区分向量和向量的模，混淆||a λ⋅和||||a λ⋅，错误地认为结论④正确.除了上述错误的答案以外，出现其他的错误答案可能是学生：①未掌握向量的数乘运算；②计算错误；③答案不符合格式等.2.给出下列命题：①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等； ②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；A B C D必在同一条直线上.⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点,,,其中不正确命题的序号是.【参考答案】②④⑤【试题分析】本题考查向量的概念，能力层级为C：掌握.在本题中，已知“①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点,,,A B C D必在同一条直线上”，将“其中不正确命题的序号写在横线上”.由向量模的概念得，向量AB的长度与向量BA的长度相等，故①正确；向量a与b平行，但a与b可能为0，则a与b的方向关系不确定，故②错误；两个向量相等，若它们有共同起点，则其终点必相同，故③正确；两个有公共终点的向量方向不一定相同，也不一定相反，不一定是共线向量，故④错误；AB CD，向量AB与向量CD是共线向量，则点,,,A B C D不一定在同一条直线上，可能//故⑤错误.综上，不正确的命题为②④⑤.【答题分析】本题难度简单，学生掌握向量的基本概念即可求解.学生出现错误的答案是①③和④⑤.学生答出①③这个答案，可能是未看清楚题目，在横线上填写了正确命题的序号，故错得①③.学生答出④⑤这个答案，可能是认为命题②是正确命题，遗漏了a与b可能为0的情形，故错得④⑤.除了上述错误的答案以外，出现其他的错误答案可能是学生：①未掌握向量的基本概念；②答案不符合答案格式等.课堂训练学以致用的训练营1.[改编题]下列结论中，正确的个数是.（1）零向量只有大小没有方向；a a>总是成立的；（2）对任一向量,0（3）AB BA≠；（4）AB与线段BA的长度相等.2.设,a b 是两个不共线向量，2,,2AB a pb BC a b CD a b =+=+=-，若,,A B D 三点共线，则实数p 的值为.3.设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则AD =（用,AB AC 表示）.4.已知非零向量,,a b c 两两平行，且()()//,//a b c b a c ++，设c xa yb =+，则2x y +=.5.如图，在ABC ∆中，1,3AN NC P =是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，求实数m 的值.6.[改编题]如图，有一正方形的广场ABCD ，点O 为对角线的交点，现要在边BC 上建一个零售店E ，且满足(),,0AE AC DO λμλμ=+>，求21λμ+取最小值时,λμ的值.课堂小结知识归纳总结1.注意三角形法则与平行四边形法则的要素：（1）向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，起点指向终点”； （2）向量减法的三角形法则要素是“共起点，连终点，指向被减向量”； （3）平行四边形法则要素是“共起点”. 2.平面向量分解定理注意点：常用平面向量分解定理来证明三点共线问题，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.3.常用结论：对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点,,O OA OB 不共线，满足OP OA OBλμ=+(),λμ∈R ，则,,P A B 共线1λμ⇔+=.4.思想方法：向量本身具备几何与代数的双重性，因此，“数形结合”思想是最核心的思想.在解决问题时，一般先画出图形再求解.第24讲 向量的坐标运算及应用回归教材 理清脉络的解牛刀知识梳理1.向量的坐标运算设()()1212,,,a a a b b b ==，则()()()1122112212,,,,,a b a b a b a b a b a b a a a +=++-=--=λλλ，21a a a =+2.用平面向量坐标表示向量共线条件设()()1212,,,a a a b b b ==，向量1221//0a b a b a b ⇔-=或()1212120a a b b b b =⋅≠. 3.两个结论（1）两个向量()()1122,,,a x y b x y ==相等12x x ⇔=且12y y =.（2）在平面向量分解定理中，由两个基向量1e 和2e 决定的向量1112a e e λμ=+与21b e λ=+22e μ相等的条件是：12λλ=且12μμ=；若0a =，则110λμ==.基础自测1.[改编题]已知()()2,,4,a x b y ==，且//a b ，则x y= . 2.已知向量()()()3,2,2,1,7,4a b c ==-=-，则用,a b 表示c =.3.已知四边形ABCD 的三个顶点()()()0,2,1,2,3,1A B C --，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为.4.[改编题]已知直角梯形ABCD 中，//,90,4,2,AD BC ADC AD BC P ∠===是腰DC 上的动点，则2PA PB +的最小值为.5.已知,AB AC AB AC ⊥=，点M 满足()1AM t AB t AC =+-，若3BAM π∠=，则t =.考点突破释难答疑的金钥匙考点1 向量的坐标运算重点阐述1.平面内每一个向量a 都对应唯一一组坐标(),x y ，反之坐标(),x y 唯一对应着OA （由向量相等，可将OA 与a 唯一对应）.因而向量的线性运算（向量的加法、减法及实数与向量的积）可转化为坐标运算，借助坐标运算可讨论平行共线、向量表示等，可使问题变得简单，目标明确.2.向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为代数问题. 难点释疑1.解决向量相等问题，可以利用两个向量的坐标对应相等来解决，此时注意方程思想的运用.2.几个重要结论可用在相应类型的问题中，从而简化问题. 例1 [2020年上海高考]已知()*1212,,,,,k a a b b b k ∈N 是平面内两两互不相等的向量，满足121a a -=，且{}1,2i j a b -∈（其中1,2,1,2,,i j k ==），则k 的最大值为.【知识内容】图形与几何/平面向量/向量的坐标运算及应用. 【试题分析】不妨设()()()120,0,0,1,,j a a b x y ===，由{}1,2i j a b -∈可得221x y +=或()222,11x y +-=或2，如图可知，6个交点，k 的最大值为6. 变式训练在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，()()2,4,1,3AB AC ==，则向量BD 的坐标为.例2 设1234,,,A A A A 是平面上给定的4个不同的点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为（ ）A.0B.1C.2D.4.【知识内容】图形与几何/平面向量/向量的坐标运算及应用【试题分析】设1234,,,,A A A A M 的坐标分别为()()()()11223344,,,,,,,,(,)x y x y x y x y x y ，则由12340MA MA MA MA +++=得123412340,0,x x x x x x x x y y y y y y y y -+-+-+-=⎧⎨-+-+-+-=⎩解得12341234,44x x x x y y y y x y ++++++==.故选B. 变式训练已知()()24,3,23,4a b a b +=--=，求a b 、的坐标.考点2 向量平行重点阐述向量的平行作为条件使用，多应用在向量的坐标关系上，这是一类常见问题的通用解法. 难点释疑运用坐标运算证明向量共线（平行）或点共线，关键利用向量平行的充要条件，即()11,a x y =，()()221221,0,//0b x y b a b x y x y =≠⇔-=.这种方法简洁明确.例3 设平面向量()()1,2,2,m n b =-=，若//m n ，则m n -等于（ ）D.【知识内容】图形与几何/平面向量/向量的坐标运算及应用.【试题分析】若//m n ，那么122b -⨯=⨯，解得4b =-.那么()()12,24m n -=----=()()3,6,3m n-∴-=-=故选D.变式训练已知向量()(),21,1,2a m m b m =-=+.若a 与b 同向，求m 的值.例4 已知点()()()1,1,3,1,,A B C a b -.（1）若,,A B C 三点共线，求,a b 的关系式； （2）若2AC AB =，求点C 的坐标.【知识内容】图形与几何/平面向量/向量的坐标运算及应用. 【试题分析】（1）由已知得()()2,2,1,1.,,AB AC a b A B C =-=--三点共线，//AB AC ∴.()()21210b a ∴-+-=，即2a b +=；（2）()()14,2,1,122,2,14,a AC AB a b b -=⎧=∴--=-∴⎨-=-⎩解得5,3,a b =⎧⎨=-⎩即点C 的坐标为()5,3-.变式训练若三点()()()1,5,,2,2,1A B a C ----共线，则实数a 的值为 .解决弱项 查漏补缺的聚焦筒弱项清单利用向量坐标运算来解决向量共线（平行）问题时，公式应用环节出错. 诊断与改进已知向量()()()()2,1,1,,1,2,//a b m c a b c =-=-=-+，则m = .【参考答案】1-【试题分析】本题考查向量平行的坐标形式，能力层级为C ：掌握.在本题中，已知“向量()()()()2,1,1,,1,2,//a b m c a b c =-=-=-+”，求“m 的值”. 由()()2,1,1,a b m =-=-得()1,1a b m +=-+. 由()//a b c +得()1211m ⨯=-⨯-+，解得1m =-.【答题分析】本题难度简单，学生掌握向量平行的坐标形式即可求解学生出现错误的答案是12.学生答出12这个答案，可能是学生混淆了向量平行的坐标形式（若()()1122,,,a x y b x y ==，则)1221//a b x y x y ⇔=和向量垂直的坐标形式[若()11,,a x y =()22,b x y =，则a b ⊥⇔]1212x x y y =，由()//a b c +得，()()1121m ⨯-=⨯-+，解得12m =.故错得12. 除了上述错误的答案以外，出现其他的错误答案可能是学生：①计算错误；②答案不符合格式等.课堂训练学以致用的训练营1.已知向量()11sin ,1,,1sin 2a b θθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，若//a b ，则锐角θ=.2.已知()()7,1,1,4A B ，直线12y ax =与线段AB 交于点C ，且2AC CB =，则实数a =.3.已知点O 为坐标原点，()()120,2,4,6,A B OM t OA t AB =+. （1）求点M 在第二或第三象限的充要条件；（2）求证：当11t =时，不论2t 为何实数，,,A B M 三点共线.4.[改编题]平面内给定三个向量()()()1,2,1,2,1,2a b c ==-=-. （1）若()0,0d pa qb rc =++=，求p 的值； （2）若()()//2a kc b a +-，求实数k 的值. 课堂小结知识归纳总结1.运用向量的坐标运算法则来进行相应计算是解决向量问题的主要方法.2.向量是沟通代数、集合与三角函数的一种工具.3.平面向量的共线与平行有两种表达形式：一是//a b b a λ⇒=；二是1221//(a b x y x y a ⇒==()())1122,,,x y b x y =，解题过程中要选择合理的形式.4.思想方法：转化与化归和数形结合是本节复习中两个最重要的数学思想，会助力我们解决向量的问题，要好好体会.第25讲 向量的数量积回归教材 理清脉络的解牛刀知识梳理1.向量的夹角已知两个非零向量,a b ，如果以O 为起点作,OA a OB b ==，那么射线,OA OB 的夹角叫做向量a 与b 的夹角.记作,a b ，它的取值范围是[]0,π.2.向量的投影已知两个非零向量,a b ，如果以O 为起点作,OA a OB b ==，若向量OB 的终点B 在OA 所在直线l 上的投影为B '，则向量OB '叫做向量b 在a 方向上的投影向量，简称投影.如果令0a =1a a是a 的单位向量，那么向量b 在a 方向上的投影为0cos ,cos ,.b a bb a b a a a=在上式中，实数cos ,b a b 称为向量b 在a 方向上的数量投影，它是一个数量.3.数量积的定义已知两个非零向量a 与,cos ,b a b a b 叫做向量a 与b 的数量积，记作a b ⋅.cos ,a b a b a b ⋅=.-188•数量积a b ⋅的几何意义：向量a 的模a 与向量b 在向量a 的方向上的数量投影cos ,b a b 的乘积.4.数量积的运算律设a b 、和c 是向量，λ是实数，则 （1）向量数量积交换律：a b b a ⋅=⋅；（2）向量数量积对数乘的结合律：()()()()a b a b a b λλλλ⋅=⋅=⋅∈R ； （3）向量数量积对加法分配律：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅. 5.几个公式（1）()()2222a b a b a b a b +-=-=-； （2）()2222222a ba ab b a a b b ±=±⋅+=±⋅+；（3）()2222222a b ca b c a b a c b c ++=+++⋅+⋅+⋅.6.数量积的坐标计算公式若向量()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=+. 7.由数量积导出的几个公式 若向量()()1122,,,a x y b x y ==，则（1）向量的模长：221a a a a x y ==⋅=+（2）b 在a 方向上的数量投影1221cos ,x x a b b a b ax +⋅==；（3）向量的夹角公式：121cos ,x a b a b a bx ⋅==+；（4）1212cos ,000a b a b a b x x y y ⊥⇔=⇔⋅=⇔+=； （5）柯西不等式：a b a b ⋅≤，当且仅当//a b 时等号成立，即1212x x y y +1221x y x y =时等号成立. 基础自测1.若()()4,6,3,2a b =-=-，则a b ⋅=.2.若a 与b 满足()2,2,a b a b a ==-⊥，则向量a 与b 的夹角为 . 3.已知4,6,a b a ==与b 的夹角为60，则()()23a b a b -+=.4.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点,1M AB AD ==，且16MA MB ⋅=-，则AB AD ⋅= .5.[2021年上海高考]如图，正方形ABCD 的边长为3，则AB AC ⋅=.考点突破释难答疑的金钥匙考点1 求向量的数量积—定义法重点阐述已知两个非零向量a 与b ，定义a 与b 的数量积cos ,a b a b a b ⋅=. 即a b ⋅是a 的模,a b 的模b 与,a b 的夹角,a b 的余弦的乘积. 难点释疑定义法求向量的数量积的关键是找到两个向量的夹角，确定使用定义法求数量积.例1 在锐角三角形ABC 中，1tan ,2A D =为边BC 上的点，ABD ∆与ACD ∆的面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，则DE DF ⋅= .【知识内容】图形与几何/平面向量/向量的数量积. 【试题分析】如图，由A 为锐角且1tan 2A =得，525sin ,cos 55A A ==，进而()2cos cos cos 5EDF A A =-=-=-∠π.由1||||2,21||||42AB DE AC DF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得||||||||32AB AC DE DF = ①，由1sin 62BAC S AB AC A ∆==得125AB AC = ②， 将②代入①得32125DE DF =，所以32216cos 151255DE DF DE DF EDF ∠⎛⎫⋅==⨯-=- ⎪⎝⎭. 变式训练[改编题]若点P 的坐标为()1,2，过点P 作圆()22:32M x y -+=的两条切线，与圆M 分别相切于点,E F .求PE PF ⋅的值.考点2 求向量的数量积—数量积的几何意义法重点阐述数量积a b ⋅的几何意义：向量a 的模a 与向量b 在向量a 的方向上的数量投影cos ,b a b 的乘积.难点释疑求向量的数量积的关键是明确该类问题的特征，一个向量固定，另一个向量起点同第一个向量，终点是动点，两个向量的夹角变动，具备这样的特征我们用数量积的几何意义（也就是数量投影法）求数量积较便捷.例2 [改编题]若等边ABC ∆的边长为6,M 是其外接圆上任一点，则AB AM ⋅的最大值为，最小值为.【知识内容】图形与几何/平面向量/向量的数量积.【试题分析】如图，M 在ABC ∆的外接圆上运动，当M 运动到1M 时，AM 在AB 方向上的数量投影最大，最大值为AE ；当M 运动到2M ，时，AM 在AB 方向上的数量投影最小，最小值为AF -.又由等边ABC ∆的边长为6得，其外接圆半径23R =. 因为233,233AE R AD AF R AD =+=+=-=-. 所以AB AM ⋅的最大值为AE AB =()2336+⨯18123=+；AB AM ⋅的最小值为AF AB-()233618123=--⨯=-.变式训练如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33B C 上有10个不同的点1P ，210,,P P ，记()21,2,,10i i M AB APi =⋅=，则1210M M M +++=.考点3 求向量的数量积—向量分解法重点阐述由于向量数量积对数乘满足结合律，对加法满足分配律，所以向量的数量积运算满足乘法公式，为此我们选取合适的基向量，将目标向量都用基向量表示，用乘法公式展开，将目标向量的数量积转化为求基向量的数量积. 难点释疑向量分解法求向量的数量积的关键是找到合适的基向量.所选的基向量应该容易求出它们的数量积.例3 [改编题]平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边,AB AD 的长分别为2，1，若,M N 分别是边,BC CD 上的点，且满足,BM BC CN CD λλ==，则AM AN ⋅的取值范围是.【知识内容】图形与几何/平面向量/向量的数量积.【试题分析】()()()()1AM AN AB BM AD DN AB BC AD DC λλ⎡⎤⋅=+⋅+=+⋅+-⎣⎦()()1AB AD AD AB λλ⎡⎤=+⋅+-⎣⎦()()22111AB AD AB AD λλλλ⎡⎤=-+++-⋅⎣⎦()()241121cos3πλλλλ=-+++-⨯⨯()222516λλλ=--+=-++，又由[]0,1λ∈得[]2252,5λλ--+∈，所以AM AN ⋅的取值范围为[]2,5. 变式训练若等边ABC ∆的边长为3，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+，则AM MB ⋅的值为.例4 已知点()2,0P ，且正方形ABCD 内接于圆O ，圆半径为1，,M N 分别为边,AB BC 的中点.当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围为.【知识内容】图形与几何/平面向量/向量的数量积. 【试题分析】由,M N 分别为边,AB BC 的中点得， ON =22且(),OM ON PM ON OM OP ON OM ON OP ON OP ON ⊥⋅=-⋅=⋅-⋅=-⋅= 2cos 2cos 2cos 2OP ON PON PON PON -=-⨯=-∠∠∠，因为[]0,PON ∠π∈，所以[]cos 1,1PON ∠∈-，所以2,2PM ON ⎡⎤⋅∈-⎣⎦.变式训练如图，,,O A B 是平面上三点，向量3,2OA OB ==，设P 是线段AB 垂直平分线上一点，则()OP OA OB ⋅-的值为.例5 在ABC ∆中，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上A 任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则（ ）A.90ABC ∠=B.90BAC ∠=C.AB AC =D.AC BC =【知识内容】图形与几何/平面向量/向量的数量积.【试题分析】取BC 的中点为D ，则22PB PC PD BD ⋅=-，特别地22000P B P C P D BD ⋅=-，由00PB PC P B P C ⋅≥⋅恒成立，得0PD P D ≥. 因为D 到直线AB 的距离最小，所以0DP AB ⊥.取AB 的中点为O ，由D 为BC 的中点，0P 为OB 的中点且0DP AB ⊥得CO AB ⊥，所以AC BC =.故选D.变式训练已知,A B 是单位圆上的两点，O 为圆心，且120,AOB MN =∠是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足()()101OC OA OB =+-≤≤λλλ，则CM ⋅CN 的取值范围是.考点4 求向量的数量积 - 坐标法重点阐述用坐标法求数量积更常见，并且坐标的获得一般需要运用数形结合思想建立直角坐标系，用坐标表示好数量积后，问题化为函数问题，通常和圆雉曲线、一元二次函数及三角函数综合考查. 难点释疑坐标法求数量积的关键是建立合适的坐标系，当图形比较规则时，考虑坐标法，没有思路时，也可以使用坐标法尝试.例6 在平面直角坐标系中，已知点()()1,0,2,0,,A B E F -是y 轴上的两个动点，且EF =2，则AE BF ⋅的最小值为.【知识内容】图形与几何/平面向量/向量的数量积；数形结合思想.【试题分析】不妨设()()()0,,0,2E t F t t +∈R ，则()()1,,2,2,AE t BF t AE ==-+∴⋅()()22213,BF t t t =-++=+-∴当1t =-时，AE BF ⋅取得最小值3-.变式训练已知平面向量,,a b e 满足1,1,2,2e a e b e a b =⋅=⋅=-=，求a b ⋅的最小值. 解决弱项 查漏补缺的聚焦筒弱项清单1.弄错两个向量的夹角.2.向量数量积的性质理解不透彻. 诊断与改进1.在ABC ∆中，5,8,60a b C ===，则BC CA ⋅的值为.【参考答案】-20【试题分析】本题考查数量积的定义，能力层级为C ：掌握.在本题中，已知“在ABC ∆中，5,8,60a b C ===”，求“BC CA ⋅的值”. 因为,18060120BC CA =-=，所以1cos ,58cos1205820.2BC CA BC CA BC CA ⎛⎫⋅==⨯⨯=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭【答题分析】本题难度简单，学生掌握数量积的定义即可求解.学生出现错误地答案是20. 学生答出20这个答案，可能是学生弄错向量BC 和CA 的夹角.错误地以为,BC CA 就是ACB ∠，也就是认为,60BC CA =，进而计算为cos ,5BC CA BC CA BC CA ⋅==⨯18cos6058202⨯=⨯⨯=.故错得20. 除了上述错误的答案以外，出现其他的错误答案可能是学生：①计算错误；②答案不符合格式等.2.向量,a b 都是非零向量，向量3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求,a b 的夹角.【参考答案】,3a b =π【试题分析】本题考查向量垂直，能力层级为C ：掌握.在本题中，已知“向量,a b 都是非零向量，向量3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直”，求“,a b 的夹角”，也就是求,a b 的大小.由题意得，()()3750a b a b +-= ①，()()4720a b a b --= ②，将①②展开并相减，得24623a b b ⋅=，即212a b b ⋅=③，将③代入①得，22a b =，即a b =.由③得，21cos ,2a b a b b =，将a b =代入该式得1cos ,2a b =，又因为,a b ∈[]0,π，所以,3a b =π.【答题分析】本题难度中等，学生掌握向量垂直就是数量积为0即可求解.学生出现错误的原因有：①由212a b b ⋅=错误得到12a b =，进而得到,0a b =，其实学生把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上，由于向量的数量积不满足消去律，所以即使0b ≠，也不能随便约去；②做到212a b b ⋅=之后就没有思路了；③计算错误；④答案不符合格式等. 课堂训练学以致用的训练营1.如图，已知ABCD 是边长为2的正方形，点P 在正方形内（包含边界），则AP BP ⋅的取值范围是.2.在ABC ∆中，3,2,120,AB AC BAC BM BC ====∠λ.若173AM BC ⋅=-，则实数λ的值为.3.如图，在ABC ∆中，45,A M =∠是AB 的中点，若2,AB BC D ==在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值为.4.[改编题]在ABC ∆中，1,2AB AC ==. （1）若点D 是BC 的中点，求AD BC ⋅；（2）若点E 满足1263CE CB CA =+，求AE BC ⋅.课堂小结知识归纳总结1.计算数量积的四种方法（1）定义法：cos ,a b a b a b ⋅=；（2）数量积的几何意义：向量a 的模a 与向量b 在向量a 的方向上的数量投影cos ,b a b 的乘积.（3）向量分解法：已知12,e e 是不平行的向量，若11122122,a x e y e b x e y e =+=+，则a b ⋅=()()()2211122122121122122112x e y e x e y e x x ey y e x y x y e e ++=+++⋅.（4）坐标法：若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=+. 2.解决向量的数量积问题时用到的数学思想方法数形结合、转化与化归：向量是一个联系几何和代数的工具，建立直角坐标系，将向量问题用坐标表示后进行数量积的坐标运算.可以转化为函数方程问题.第26讲 平面向量的综合应用回归教材 理清脉络的解牛刀知识梳理1.用向量解决常见平面几何问题的技巧： 1221//a b a b x y x ⇔=⇔-λ其中 ()()1122,,,,0a x y b x y b ==≠. 121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，其中()()1122,,,a x y b x y ==.,a b a b a b⋅=（θ为向量,a b 的夹角），其中,a b 为非零向量.a b d b⋅=，其中b 为非零向量.21x y ，其中()(112,,,OA x y OB x ==平面几何问题⇒向量问题⇒解决向量问题⇒解决几何问题. 3.平面向量知识在坐标平面上的直线，和圆锥曲线有广泛的应用. 基础自测。
高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题6三角变换、三角函数的图象与性质(含解析)
【走向高考】（全国通用） 2016 高考数学二轮复习 第一部分 微专题加强练 专题 6 三角变换、三角函数的图象与性质一、选择题1． (2015 河·南八市质检 )已知 sin α＋π－ cos α＝1，则 2sin αcos α＋π＝ ()6 3 65 5 A ．－ 18B.187 7 C ．－ 9D.9 [答案 ]Bπ ＝ 2sin α 31[分析 ]2sin αcos α＋6 2 cos α－ 2sin α31－ cos 2α π 1＝ 2 sin 2α－2 ＝ sin 2α＋ 6 －2，π3 1又因为 sin α＋ 6 － cos α＝ 2 sin α＋ 2cos α－ cos α3 1 cos α＝sin α－ π 1 ，＝ sin α－ 6 ＝2 2 3π π π π又 sin 2α＋ 6 ＝ cos 2－2α＋6 ＝ cos 3－2α＝ 1－ 2sin 2α－ π＝ 1－ 2＝ 7，69 9π7 1 5所以 2sin αcos α＋ 6 ＝ 9－ 2＝ 18.[方法点拨 ] 1.已知条件为角α的终边过某点时，直接运用三角函数定义求解；已知条件为角 α的终边在某条直线上，在直线取一点后用定义求解；已知sin α、cos α、tan α中的一 个值求其余值时，直接运用同角关系公式求解，能用引诱公式化简的先化简．2．已知 tan α求 sin α与 cos α的齐次式的值时，将分子分母同除以 cos n α化 “切 ”代入，所 求式为整式时，视分母为1，用 1＝ sin 2α＋ cos 2α代换．3．sin θ＋ cos θ，sin θ－ cos θ，sin θcos θ知一求其余值时， 利用关系 (sin θ±cos θ)2＝1±2cos θcos θ. 要特别注意利用平方关系巧解题． 已知某三角函数式的值， 求另一三角函数式的值时， 重点是剖析找出两三角函数式的联系适合化简变形，再代入计算．2．(文 )(2015洛·阳市期末)已知角 α的终边经过点A(－ 3，a) ，若点A 在抛物线1y ＝－ 4x 2 的准线上，则sin α＝()33 A ．－ 2B. 21 1 C ．－ 2D.2[答案 ]D1[分析 ] 由已知得抛物线的准线方程为y ＝ 1，故 A( － 3， 1) ，所以 sin α＝ 2.(理 )(2015π的图象，只需将函数y ＝ sin 4x 的图象山·东理， 3) 要获得函数 y ＝ sin 4x －3()πB ．向右平移 πA ．向左平移 12个单位12个单位πD ．向右平移π个单位个单位C ．向左平移 3 3[答案 ] Bπππ[分析 ]因为 y ＝ sin(4x － 3)＝ sin[4( x － 12)] 所以要获得 y ＝ sin[4( x － 12)] 的图象，只需将函数 y ＝ sin 4x 的图象向右平移π个单位．应选 B.12π3．函数 f(x)＝ Asin( ωx＋ φ)(此中 A>0，ω>0，|φ|<2) 的图象如下图， 为了获得g(x)＝ sin3x的图象，则只需将f(x)的图象 ( )πA ．向右平移 4个单位长度πB ．向右平移 12个单位长度πC ．向左平移 4个单位长度πD ．向左平移 12个单位长度[答案]B[分析 ]由题知，函数 f(x)的周期5π π 2π T ＝4(－ )＝，12 4 32π 2π所以 3 ＝ ω，解得 ω＝3，易知 A ＝ 1，所以 f(x)＝ sin(3x ＋ φ)．又 f(x) ＝sin(3x ＋ φ)过点 (5π，－ 1)，12 5π所以 sin(3 × ＋φ)＝－ 1，125π 3所以 3× ＋ φ＝2k π＋2π， k ∈Z ，12ππ所以 φ＝ 2k π＋4， k ∈ Z ，又 |φ|<2，π所以 φ＝ ，4ππ所以 f(x)＝ sin(3x ＋ )＝ sin[3( x ＋12)] ，4所以将函数f(x)的图象向右平移π个单位长度能够获得函数g( x)＝ sin3x 的图象，应选12B.[方法点拨 ]1.已知正弦型 (或余弦型 )函数的图象求其分析式时， 用待定系数法求解． 由图中的最大值或最小值确立A ，再由周期确立 ω，由图象上特别点的坐标来确立φ，只有限定 φ的取值范围，才能得出独一解，不然φ的值不确立，分析式也就不独一．将点的坐标代入分析式时，要注意选择的点属于“五点法 ”中的哪一个点．“第一点 ”(即图象上涨时与 x 轴的交点 )为 ωx＋0 φ＝ 0＋ 2k π(k ∈ Z ) ，其余挨次类推即可．2．解答相关平移伸缩变换的题目时，向左(或右 )平移 m 个单位时，用 x ＋ m(或 x － m)取代 x ，向下 (或上 )平移 n 个单位时，用y ＋ n(或 y － n)取代 y ，横 (或纵 )坐标伸长或缩短到原来的 k 倍，用 x 取代 x(或 y取代 y)，即可获解．kk10，则 tan2α＝ () 4． (文 )已知 α∈ R ， sin α＋ 2cos α＝ 24 3A. 3B.434C ．－ 4D ．－ 3[答案] C[分析 ]此题考察三角函数同角间的基本关系．将 sin α＋ 2cos α＝10两边平方可得，22 2α＝ 5 ， sinα＋ 4sin αcos α＋4cos223∴ 4sin αcos α＋ 3cos α＝2.将左侧分子分母同除以cos 2α得，3＋ 4tanα 3，解得 tanα＝3 或 tanα＝－1，2＝3 1＋ tanα2∴ tan2α＝2tanα32＝－. 1－ tan α4(理 )(2015唐·山市一模 )已知 2sin2α＝ 1＋ cos2α，则 tan2α＝()4 4A．－3 B.3C．－4或0 D.4或 0 33[答案 ]Dsin2α＝4[分析 ]2sin2α＝1＋ cos2αsin2α＝ 05∵sin22α＋ cos22α＝ 1，∴或3cos2α＝－ 1，cos2α＝54∴ tan2α＝ 0 或 tan2α＝ .35． (2015 安·徽理， 10)已知函数f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数 )的最小正周2π)期为π，当 x＝时，函数 f(x)获得最小值，则以下结论正确的选项是(3A． f(2)＜ f(－ 2)＜ f(0)B．f(0)＜f(2) ＜f(－2)C．f(－ 2)＜ f(0)＜ f(2)D． f(2)＜ f(0)＜ f(－ 2)[答案]A[分析 ]考察三角函数的图象与应用及函数值的大小比较．2π 2π解法 1：由题意，f(x)＝ Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ>0) ，T＝＝＝π，所以ω＝2，|ω|ω则 f(x)＝ Asin(2x＋φ)，而当x＝2π2π3ππ时， 2×＋φ＝＋ 2kπ， k∈Z，解得φ＝＋ 2kπ， k∈Z，3326ππ ππ所以 f(x)＝ Asin(2x＋ )(A>0) ，则当2x＋＝＋ 2nπ， n∈Z，即 x＝＋ nπ，时， n∈Z， f( x)取6626得最大值．要比较 f(2)，f(－ 2)，f(0)的大小，只需判断 2，－ 2,0与近来的最高点处对称轴的π5π距离大小，距离越大，值越小，易知0,2 与6比较近，－ 2 与－6比较近，所以，当k＝0 时，πππ时， x＝－5π(－5πx＝，此时|0－ |＝ 0.52，|2－ |＝ 1.47，当 k＝－ 1，此时 |－ 2－6)|＝0.6，所6666以 f(2)< f( －2)<f(0)，应选 A.解法 2：∵ f(x) 的最小正周期为2π2π π ππ，且在 x＝时 f(x)取最小值，∴在 x＝－＝时取到3326π 2π最大值 f(－ 2)＝ f(－2＋ π)，∵ f(x)在 [ ， ]上单一递减，∴ f( π－ 2)> f(2)，即 f(－ 2)> f(2)，又 π 63π π ， f(x)图象的一条对称轴方程为π ，即 f(－ 2)< f(0)，－2－> －0x ＝ ，∴ f( π－ 2)< f(0)6 66∴ f(2)< f(－ 2)< f(0) ．π π6． (文 )函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)( A>0， ω>0，|φ|<2)的图象对于直线 对称，它的最小x ＝ 3正周期为 π，则函数 f(x)图象的一个对称中心是 ( )ππA ．( ， 1)B ． (， 0)312 5ππ， 0)D ． (－ ，0)C ．( 12 12[答案 ] B[分析 ]由题意知 T ＝π，∴ ω＝ 2，π π π π 由函数图象对于直线 x ＝ 对称，得2× ＋ φ＝ ＋ k π(k ∈ Z )，即 φ＝－ ＋ k π(k ∈ Z )．3326π π又 |φ|< ，∴ φ＝－ ，26π∴ f(x)＝Asin(2 x －)，6π π令 2x － ＝ k π(k ∈ Z )，则 x ＝ ＋ kπ(k ∈ Z )．6122∴一个对称中心为( π， 0)，应选 B.122(理 )已知函数 f(x)＝ cosxsin x ，以下结论中错误的选项是 ( )B ．f(x)最大值是 1πC ．f(x)的图象对于点 (， 0)对称2D ． f(x)的图象对于直线 x ＝ π对称 [答案 ] B[分析 ]f( － x)＝ cos(－ x)sin 2 (－ x)＝ cosxsin 2x ＝ f(x)，∴ f(x)为偶函数． f(x ＋ 2π)＝cos(x ＋222 32π )sin(x ＋ 2π)＝cosxsin x ，∴ 2π是 f(x)一个周期，故 A 选项正确． f( x)＝cosxsin x ＝－ cos x＋ c osx ，令 t ＝ cosx 则 t ∈ [－ 1,1] ，g(t)＝－ t 3＋ t ， g ′(t)＝－ 3t 2＋ 1令 g ′(t)＝ 0，则 t ＝± 3，易知 f(x)在区间 [ － 1，－3)上单一递减，在 (－ 3， 3 )上单一33 33 递加，在 (3， 1]上单一递减， g( － 1)＝ 0， g( 3 )＝ 2 3，∴ g(t)max ＝2 3≠1，故 B 项错误．3 3 997． (文 )给出以下四个命题：π k π 3π ① f(x)＝sin(2 x － )的对称轴为x ＝2 ＋ ， k ∈ Z ；48 ②函数 f(x)＝ sinx ＋ 3cosx 最大值为2；③函数 f(x)＝ sinxcosx － 1 的周期为 2π；π π π④函数 f(x)＝ sin(x ＋)在 [－， ] 上是增函数．422此中正确命题的个数是 ( )A ． 1B ． 2C ．3D ． 4[答案 ] B[分析 ]π π①由 2x － ＝ k π＋ ， k ∈ Z ，4 2得 x ＝ k π 3π2＋8 (k ∈ Z )，π k π 3π即 f(x) ＝sin(2x － )的对称轴为 x ＝＋， k ∈ Z ，正确；42 8π②由 f(x)＝ sinx ＋ 3cosx ＝2sin( x ＋3)知， 函数的最大值为 2，正确；1③ f(x)＝sinxcosx － 1＝2sin2x － 1，函数的周期为 π，故③错误；ππ④函数 f(x)＝ sin(x ＋)的图象是由 f(x)＝ sinx 的图象向左平移4 个单位获得的， 故④错误．4π π π (理 )若 f( x)＝ 2sin(ωx＋ φ)＋ m ，对随意实数 t 都有 f( ＋ t)＝ f( － t)，且 f()＝－ 3，则实数888m 的值等于 ()A ．－ 1B ． ±5C ．－5或－1D ．5或1[答案 ]Cππ[分析 ] 依题意得，函数 对称，于是x ＝ 时，函数 f(x)获得最f(x) 的图象对于直线 x ＝88值，所以有 ±2＋ m ＝－ 3，∴ m ＝－ 5 或 m ＝－ 1，选 C.8． (文 )在△ ABC 中，若 tanAtanB ＝ tanA ＋ tanB ＋ 1，则 cosC 的值是 ()22 A ．－ 3B. 21 1C.2D ．－ 2[答案 ]B[分析 ]由 tanA ·tanB ＝tanA ＋ tanB ＋ 1，可得 tanA ＋ tanB ＝－ 1，即 tan(A ＋ B)＝－ 1，所1－ tanA ·tanB以 A ＋B ＝3π π 2，应选 B.4，则 C ＝ ， cosC ＝24π π 1＋ sin β(理 )(2014 新·课标Ⅰ理， 8)设 α∈ (0，2) ，β∈ (0， 2)，且 tan α＝ cos β ，则 ()π π A ． 3α－ β＝ 2B ． 3α＋ β＝2ππ C ．2α－β＝ 2 D ． 2α＋ β＝2[答案 ]C[分析 ]此题考察了引诱公式以及三角恒等变换．运用考证法．π π解法 1：当 2α－ β＝2时， β＝2α－2，1＋ πα－2 1－ cos2α 2·sin 2α 所以π ＝ sin2α ＝ sin2α＝ tan α.α－ 2sin α 1＋ sin β 解法 2：∵ tan α＝＝，cos αcos βπ ∴ sin(α－ β)＝cos α＝ sin( － α)，2∵ α、 β∈ππ π π π ππ (0， )，∴ α－ β∈ (－ ， )， － α∈ (0， 2 )，∴ α－β＝ － α，∴ 2 α－ β＝ .2 2 2 2 22 9． (2015 石·家庄市二模 )在平面直角坐标系中，角 α的极点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点πππ＝ ()P sin ，cos，则 sin 2α－128833A. 2B ．－ 21 1C.2D ．－ 2[答案 ] A[分析 ]因为角 α的终边经过点ππ3π 3πP(sin， cos )，即P(cos ， sin)，88883π∴ α＝ 2k π＋ 8 ， k ∈ Z .∴ sin(2α－ π3π π－12)＝ sin(4 k π＋ 4 12)2π3，应选 A.＝ sin ＝2310． (文 )(2015 河·南六市联考 ) 函数 y ＝ cos(ωx＋ φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如下图， A 、 B 分别为最高点与最低点，而且两点间的距离为2 2，则该函数图象的一条对称轴为 ()2πA ． x ＝ πB ． x ＝ 2C ．x ＝ 1D ． x ＝ 2[答案] C[分析 ]∵ y ＝ cos(ωx＋φ)为奇函数，∴其图象过原点，∴ cos φ＝0，π ∵ 0<φ<π，∴ φ＝ ，2πT 2 ＋[1 －( －1)] 2 ＝ (2 2)2， ∴ y ＝ cos(ωx＋ )＝－ sin ωx，设周期为T ，则由条件知 ( )22∴ T ＝4.∴ ω＝2π πT＝ ，2π∴函数为 y ＝－ sin(x)．2π π令 x ＝ k π＋ (k ∈ Z )得 x ＝ 2k ＋ 1，∴ x ＝ 1 为其一条对称轴．22(理 )(2015 陕·西理， 3) 如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似知足函数y ＝π3sin 6x ＋ φ＋ k.据此函数可知，这段时间水深(单位： m)的最大值为 ()A ． 5C ．8B ． 6D ． 10[答案 ]C[分析 ]由图象知，最小值为2，∴－ 3＋k ＝ 2，∴ k ＝ 5，∴最大值为3＋ k ＝ 8.应选 C.二、填空题11． (2015·芦岛市一模葫)已知函数πf( x)＝ cosx ·sin x ＋ 3 －3cos 2x ＋3， x ∈R4则f(x)在π π闭区间 － 4， 4 上的最大值和最小值分别为________．[答案 ]1、－ 142[分析 ]f(x) ＝1sinxcosx＋3c os2x－3cos2x＋3＝1s in2x －3(cos2x ＋ 1) ＋3＝1 2244442sin 2x－π，当 x∈π ππ5π π3－，时， 2x－∈ －，，44366π1∴ sin2x－3∈－1，2 .11∴ f(x)∈ －，.π12． (文 )(2014 陕·西文， 13)设 0<θ<2，向量a＝(sin2θ，cosθ)， b＝(1，－cosθ)，若a·b＝0，则 tanθ＝________.[答案 ]1 2[分析 ]此题考察向量垂直、向量坐标运算等．∵a·b＝0，∴sin2θ－cos2θ＝0，即cosθ(2sinθ－cosθ)＝0.π又 0<θ<2，∴ cosθ≠0，1∴ 2sinθ＝ cosθ，∴ tanθ＝2.(理 )假如两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数．给出以下四个函数：①f(x)＝sinx＋ cosx；②f(x)＝ 2(sinx＋ cosx)；③ f(x)＝sinx；④f(x)＝ 2sinx＋ 2.此中为“互为生成”函数的是________( 填序号)．[答案 ]①④[分析 ]第一化简题中的四个分析式可得：①f( x)＝π2sin(x＋ 4)，②πf( x)＝ 2sin(x＋ 4)，③f(x)＝ sinx，④ f(x)＝2sinx＋2，可知③ f( x)＝ sinx 的图象要与其余的函数图象重合，纯真经过平移不可以达成，一定经过伸缩变换才能实现，所以③f(x)＝ sinx 不可以与其余函数成为“互为ππ生成”函数，同理① f(x)＝ 2sin(x＋ )的图象与② f(x)＝ 2sin(x＋ )的图象也一定经过伸缩变换44才能重合，而④ f(x)＝ 2sinx＋ 2的图象向左平移π2个单位即可获得个单位，再向下平移4π①f(x)＝2sin(x＋4)的图象，所以①④为“互为生成”函数．三、解答题2ωx13． (文 )(2014 甘·肃三诊 )已知 f(x)＝ 3sin ωx－ 2sin2 (ω>0) 的最小正周期为 3π.π 3π(1)当 x ∈ [ ，4] 时，求函数 f(x)的最小值；2(2)在△ ABC 中，若 f(C)＝ 1，且 2sin2B ＝cosB ＋ cos(A － C)，求 sinA 的值．1－ c ωx[分析 ] ∵ f(x)＝ 3sin( ωx )－ 2·2π＝ 3sin(ωx )＋ cos(ωx )－ 1＝ 2sin(ωx＋ 6)－ 1，由2π22 πω ＝ 3π得 ω＝ ，∴ f(x)＝ 2sin( x ＋)－ 1.336π3π π 2π 2π(1)由 ≤x ≤ 得 ≤≤ ，242 3x ＋ 6 32 π3 时， f(x) min ＝2× 3－ 1. ∴当 sin( x ＋6 )＝2 －1＝3 322 π(2)由 f(C)＝2sin( 3C ＋ 6)－ 1 及 f(C)＝ 1，得sin(2 π C ＋ )＝ 1，3 6而 π 2 π 5π 2 π π π≤ C ＋ ≤ ，所以C ＋ ＝ ，解得 C ＝ .6 36 6 3 6 2 2π 在 Rt △ABC 中，∵ A ＋ B ＝ 2， 2sin 2 B ＝ cosB ＋cos(A － C)， ∴ 2cos 2A －sinA － sinA ＝ 0，－1± 5∴ sin 2A ＋ sinA － 1＝ 0，解得 sinA ＝ .2∵ 0<sinA<1，∴ sinA ＝5－1.221(理 )已知函数 f(x)＝ (2cos x － 1)sin2x ＋ 2cos 4x. (1)求 f(x)的最小正周期及最大值；π2，求 α的值．(2)若 α∈ ， π，且 f(α)＝22[分析 ](1)因为21f(x)＝(2cos x －1)sin2 x ＋ 2cos4x＝ cos2xsin2x ＋ 1cos4x21＝ 2(sin4x ＋ cos4x)2π＝ 2 sin(4x ＋4)所以 f(x)的最小正周期为π2，最大值为2.2(2)因为 f(α)＝ 2 ，所以 sin(4 π2 α＋ )＝ 1.4π因为 α∈ ( ，π)，2π9π 17π所以 4α＋4∈ ( 4 ，4 )，π 5π9π所以 4α＋ ＝，故 α＝4216.5π5π 25π14．已知函数 f(x)＝ 2sin( x ＋ 24)cos(x ＋ 24)－2cos (x ＋24)＋ 1. (1)求 f(x)的最小正周期；(2)求函数 f(x)的单一递加区间．5π5π 25π[分析 ] (1)∵ f(x)＝ 2sin(x ＋ 24)cos(x ＋ 24)－ 2cos (x ＋ 24)＋ 1＝ sin(2x ＋5π5π 12)－ cos(2x ＋ 12)＝ 2[sin(2 x ＋5π π 5π π) ·cos － cos(2x ＋12 ) ·sin ]12445π π＝2sin[(2 x ＋ 12)－4]π＝ 2sin(2x ＋6)．2π ∴ f(x)的最小正周期T ＝＝ π.2π(2)由 (1) 可知 f( x)＝ 2sin(2x ＋ 6)．ππ π当－ ＋ 2k π≤2x ＋≤ ＋ 2k π(k ∈ Z )，26 2 π π即 k π－ ≤x ≤k π＋ (k ∈ Z )时，36函数 f(x)＝π2sin(2 x ＋)是增函数，3∴函数 f(x)的单一递加区间是π π[k π－ ， k π＋ ]( k ∈ Z )．36[方法点拨 ]1.解答三角函数性质 ( 单一性、周期性、最值等 )问题时，往常是利用三角函数的相关公式，经过将三角函数化为只含一个函数名称且角度独一，最高次数为一次 (一角一函 )的形式，再依正 ( 余)弦型函数挨次对所求问题作出解答．2．求三角函数的最值的方法：(1)化为正弦 (余弦 ) 型函数y ＝ asin ωx＋ bcos ωx 型引入协助角化为一角一函．(2)化为对于 sinx(或 cosx)的二次函数．15．设函数 f(x)＝2cos 2 x ＋2 3sinxcosx ＋m(x ∈ R ) ．(1)化简函数 f(x)的表达式，并求函数f( x)的最小正周期；πm ，使函数 f(x)的值域恰为 [ 1，7]？若存在，恳求出 m 的(2)若 x ∈ [0，]，能否存在实数22 2值；若不存在，请说明原因．[ 分析 ] (1) ∵ f(x)＝ 2cos 2x ＋ 2π3sinxcosx ＋ m ＝ 1＋ cos2x ＋ 3sin2x ＋ m ＝ 2sin(2x ＋ 6)＋ m＋1，∴函数 f(x)的最小正周期T ＝ π.(2)假定存在实数 m ，切合题意．πππ 7π∵ x ∈ [0，2]，∴ 6≤2x ＋6≤6 ，π1 则 sin(2x ＋ 6)∈ [－ 2， 1]，π∴ f(x)＝2sin(2 x ＋ 6)＋m ＋ 1∈[m,3＋m]．1 ， 71又∵ f(x)的值域为 [2 ]，解得 m ＝ .22∴存在实数 m ＝ 1，使函数 f(x) 的值域恰为 [ 1，7]．22 2[方法点拨 ] 1.求值题一般先将三角函数式化简，再求值．2．议论三角函数的性质 (求单一区间、求最值、求周期等)的题目，一般先运用三角公式化简函数表达式，再依照正弦型或余弦型函数的性质进行议论．3．三角变换的基本策略：(1)1 的变换； (2) 切化弦； (3)起落次； (4)引入协助角； (5) 角的变换与项的分拆．16． (文 )(2015 广·东文， 16)已知 tan α＝ 2.(1)求 tan α＋π的值；42 sin 2α的值．(2)求 sin α＋ sin αcos α－ cos 2α－ 1[剖析 ] 考察： 1.两角和的正切公式； 2.特别角的三角函数值； 3.二倍角的正、 余弦公式；4.同角三角函数的基本关系．π(1)由两角和的正切公式睁开，代入数值， 即可得 tan α＋ 4 的值； (2) 先利用二倍角的正、余弦公式变形，而后化切求解．π[分析 ](1) tan α＋π＝ tan α＋ tan 44π1－ tan αtan 4＝tan α＋ 1＝ 2＋1＝－ 3，1－ tan α 1－2sin 2α(2)sin 2α＋ sin αcos α－ cos 2α－1＝ 2 sin αcos α22sin α＋ sin αcos α－α－－ 1＝ 2sin αcos αsin 2α＋ sin αcos α－2cos 2α＝ 2tan αtan 2α＋tan α－ 2＝ 2×222 ＋2－2 ＝ 1.x x2x.(理 )(2015 福·建文， 21)已知函数 f(x)＝ 10 3sin cos2 ＋ 10cos22(1)求函数 f(x)的最小正周期；π(2)将函数 f(x)的图象向右平移 6个单位长度，再向下平移a(a>0)个单位长度后获得函数g(x)的图象，且函数 g(x)的最大值为 2.(ⅰ )求函数 g(x)的分析式；(ⅱ )证明：存在无量多个互不同样的正整数x 0，使得 g( x 0)>0.[分析 ]x x ＋ 10cos 2x (1)因为 f(x)＝10 3sin cos222 ＝ 5 3sin x ＋ 5cos x ＋ 5π＝ 10sin x ＋6 ＋ 5.所以函数 f(x)的最小正周期 T ＝ 2π.π (2)(i) 将 f(x)的图象向右平移个单位长度后获得 y ＝ 10sin x ＋ 5 的图象，再向下平移 a(a>0)6个单位长度后获得g(x)＝ 10sin x ＋ 5－ a 的图象．又已知函数 g(x)的最大值为 2，所以 10＋5－ a ＝ 2，解得 a ＝ 13.所以 g(x)＝ 10sin x － 8.(ii) 要证明存在无量多个互不同样的正整数x 0，使得 g(x 0)>0 ，就是要证明存在无量多个4互不同样的正整数x 0，使得 10sin x 0－ 8>0 ，即 sin x 0>5.由430<απα＝4 5<知，存在，使得 sin5.20<30由正弦函数的性质可知，当x∈ (α，π－α400)时，均有sin x>5.因为 y＝sin x 的周期为2π，所以当 x∈ (2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)(k∈Z )时，均有因为对随意的整数k， (2kπ＋π－απ0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0>3>1，4 sin x>5.所以对随意的正整数 k，都存在正整数4 x k∈ (2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)，使得 sin x k> .5即，存在无量多个互不同样的正整数x0，使得 g(x0)>0.。
2023年高考数学微专题练习专练66高考大题专练六概率与统计的综合运用含解析理
专练66 高考大题专练(六) 概率与统计的综合运用1．[2022·全国甲卷(理)，19]甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．2．[2021·全国甲卷]甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），3．[2022·全国乙卷(理)，19]某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m 2)和材积量(单位：m 3)，得到如下数据：并计算得∑i ＝110x 2i ＝0.038，∑i ＝110y 2i ＝1.6158，∑i ＝110x i y i ＝0.2474.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数r ＝i ＝1n（x i －x －）（y i －y －）i ＝1n （x i －x －）2i ＝1n （y i －y －）2， 1.896≈1.377.4．[2022·江西鹰潭高三模拟]某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(g )与尺寸x(mm )之间近似满足关系式y ＝c·x b(b 、c 为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(e 9，e7)≈(0.302，0.388)内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：(1)现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的期望；(2)根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如表：①根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程；②已知优等品的收益z(单位：千元)与x 、y 的关系为z ＝2y －0.32x ，则当优等品的尺寸x 为何值时，收益z 的预报值最大？附：对于样本(v i ，u i )(i ＝1，2，…，n)，其回归直线u ＝b·v＋a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1（v i －v ）（u i －u ）∑ni ＝1（v i －v ）2＝∑ni ＝1v i u i －nvu ∑n i ＝1v 2i －nv 2， a ^＝u －b ^v ，e ≈2.7182.5．[2022·河南省六市联考]在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，得到如下频率分布直方图．(1)规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩，现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，求抽取的口罩至少有一个一级口罩的概率；(2)在2021年“双十一”期间，某网络购物平台推出该型号口罩订单“秒杀”抢购活动，甲、乙、丙三人分别在该平台参加一次抢购活动，假定甲、乙、丙抢购成功的概率分别为0.1，0.2，0.3，记三人抢购成功的总次数为X，求X的分布列及数学期望E(X).专练66 高考大题专练(六)概率与统计的综合运用1．解析：(1)设三个项目比赛中甲学校获胜分别为事件A，B，C，易知事件A，B，C相互独立．甲学校获得冠军，对应事件A，B，C同时发生，或事件A，B，C中有两个发生，故甲学校获得冠军的概率为p＝P(ABC＋A－BC＋A B－C＋AB C－)＝P (ABC )＋P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝0.5×0.4×0.8＋(1－0.5)×0.4×0.8＋0.5×(1－0.4)×0.8＋0.5×0.4×(1－0.8) ＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04 ＝0.6.(2)由题意得，X 的所有可能取值为0，10，20，30.易知乙学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.6，0.2，则P (X ＝0)＝(1－0.5)×(1－0.6)×(1－0.2)＝0.16，P (X ＝10)＝0.5×(1－0.6)×(1－0.2)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.2)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.2＝0.44，P (X ＝20)＝0.5×0.6×(1－0.2)＋0.5×(1－0.6)×0.2＋(1－0.5)×0.6×0.2＝0.34， P (X ＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06，所以X 的分布列为则E (X )2．解析：(1)根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是150200＝0.75，乙机床生产的产品中一级品的频率是120200＝0.6.(2)根据题表中的数据可得K 2＝400×（150×80－120×50）2200×200×270×130＝40039≈10.256.因为10.256>6.635，所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．3．解析：(1)该林区这种树木平均一棵的根部横截面积x －＝0.610＝0.06(m 2)，平均一棵的材积量y －＝3.910＝0.39(m 3).(2)由题意，得i ＝110(x i －x －)2＝i ＝110x 2i －10x －2＝0.038－10×0.062＝0.002，i ＝110(y i －y －)2＝i ＝110y 2i －10y －2＝1.6158－10×0.392＝0.0948，i ＝110(x i －x －)(y i －y －)＝i ＝110x i y i －10x －y －＝0.2474－10×0.06×0.39＝0.0134，所以相关系数r ＝0.01340.002×0.0948＝0.01341.896×0.0001≈0.01340.01377≈0.97.(3)因为树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以比例系数k ＝y －x －＝0.390.06＝6.5，所以该林区这种树木的总材积量的估计值为186×6.5＝1209(m 3). 4．解析：(1)由表可知，抽取的6件合格产品中有3件优等品， 所以，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ＝0)＝C 33 C 36 ＝120，P(ξ＝1)＝C 13 C 23 C 36 ＝920，P(ξ＝2)＝C 23 C 13 C 36 ＝920，P(ξ＝3)＝C 33C 36＝120， 所以，随机变量ξ的期望为E(ξ)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.(2)①∵y＝c·x b，∴ln y ＝ln c ＋b ln x ，∵∑6i ＝1 (ln x i )＝24.6，∑6i ＝1(ln y i )＝18.3， ∴ln x ＝16∑6i ＝1 (ln x i )＝4.1，ln y ＝16∑6i ＝1(ln y i )＝3.05，∴b ^＝∑6i ＝1（ln x i ·ln y i ）－6×ln x ×ln y∑6i ＝1（ln x i ）2－6×（ln x ）2＝75.3－6×4.1×3.05101.4－6×4.12＝0.5， a ^＝ln y －b ^ln x ＝3.05－0.5×4.1＝1， ∴ln y ＝1＋0.5ln x ，所以，c ＝e, 故y 关于x 的回归方程为y ^＝e x 0.5； ②由①知，y ^＝e x 0.5，∴z ^＝2y ^－0.32x ＝2e x 0.5－0.32x ＝－0.32(x －e 0.32)2＋e 20.32，当x ＝e 0.32，即x ＝(e 0.32)2≈72时，z ^取得最大值，故当优等品的尺寸x 为72mm 时，收益z 的预报值最大．5．解析：(1)由频率分布直方图可得，二级品的频率为10×(0.005＋0.04＋0.03)＝0.75， 一级品的频率为10×(0.02＋0.005)＝0.25，按分层抽样抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为6、2，故事件“至少有一个一级品”的概率P ＝C 26 C 12 ＋C 16 C 22 C 38＝914. (2)由题知X 的可能取值为0，1，2，3， P(X ＝0)＝0.9×0.8×0.7＝0.504，P(X ＝1)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398， P(X ＝2)＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3＝0.092， P(X ＝3)＝0.1×0.2×0.3＝0.006， 所以X 的分布列为E(X)。
2022年新高考数学函数压轴小题专题突破专题6 函数整数解问题(解析版)
专题6 函数整数解问题1．已知函数1()()22x f x kx e x =+−，若()0f x <的解集中有且只有一个正整数，则实数k 的取值范围为()A ．221[4e −，21)2e − B ．221(4e −，21]2e − C ．322121[,)64e e −− D ．32121[,)62e e −− 2．已知函数()(2)(0)xf x kx e x x =−−>，若()0f x <的解集为(,)s t ，且(,)s t 中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为( ) A ．211[1,2)e e++ B ．431112[,)23e e ++ C ．21(,1)e −∞+ D ．32121[,1)3e e ++ 3．已知函数()x f x xe mx m =−+，若()0f x <的解集为(,)a b ，其中0b <；不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，则实数m 的取值范围是( ) A ．221(,)32e eB ．221(,)3e eC ．221[,)32e eD ．221[,)3e e4．已知函数()(2)(0)x f x x kx e x =+−>，若()0f x >的解集为(,)a b ，且(,)a b 中恰有两个整数，则 实数k 的取值范围为( ) A ．21(,)e −∞ B ．411[2e +，312)3e +C ．312[3e +，211)e + D ．21[1e +，12)e+ 5．已知函数2()(1)x f x mx e x =−−，若不等式()0f x <的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m 的取值范围( ) A ．221(2e +，11)e+ B ．221[2e +，11)e + C ．331[3e +，221)2e + D ．331(3e +，221)2e + 6．已知函数()()xf x x a e alnx =−−，若恰有三个正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是( )A ．333(3e e ln +，444]22e e ln +B ．412[42ln e+，313)33ln e +C ．222(2e e ln +，444]22e e ln +D ．313[33ln e +，212)22ln e+7．已知函数若1()()34x f x kx e x =+−，若()0f x <的解集中恰有两个正整数，则k 的取值范围为( )A ．331(12e −，231]8e − B ．331[12e −，231)8e −C ．231(8e −，31]4e − D ．231[8e −，31)4e − 8．已知()f x ′是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有1()()(xf x f x e e ′=−是自然对数的底数），(0)0f =，若不等式()0f x k −>的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是( ) A ．221[,)e eB ．3232(,)e e C ．3232(,]e e D ．3232[,)e e 9．已知函数(2)()ln x f x x=，关于x 的不等式2()()0f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值范围是( )A ．1(2,6]3ln ln −−B ．16(,]3ln e −−C ．1[6,2)3ln lnD ．62[,)3ln e10．函数()(4)(1)f x kx lnx x x =+−>，若()0f x >的解集为(,)s t ，且(,)s t 中只有一个整数，则实数k 的取值范围为( ) A ．1(22ln −，14]33ln − B ．1(22ln −，14)33ln − C ．14(33ln −，11]22ln − D ．14(33ln −，11)22ln − 11．已知函数()x xf x e=，若不等式()(1)0f x a x −+>的解集中有且仅有一个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．211[,]e eB ．211[,)e eC ．221[,]32e eD ．221[,)32e e12．已知函数2()(31)x f x x x e k =++−有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．415(,)e e−B ．45(0,)e C ．451(,)e e −D ．1(,)e−+∞13．已知函数()(2)x f x x e ax a =−−−，若不等式()0f x >恰有两个正整数解，则a 的取值范围是( ) A ．31[4e −，0)B ．1[2e −，0)C ．31[4e −，)2eD ．31[4e −，2)14．已知函数2,0(),0x x x f x e x < =…，且()||f x a x …有且只有一个整数解，则a 的取值范围是( )A ．(2，]eB ．(2，2]eC ．(2，8]D ．[e ，21)2e15．函数()(4)(1)f x kx lnx x x =+−>，若()0f x >的解集为(,)s t ，且(,)s t 中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为( ) A ．11(2,1)222ln ln −− B ．11(2,1]222ln ln −−C ．141(,1)3322ln ln −− D ．141(,1]3322ln ln −− 16．已知函数1()()23x f x kx e x =+−，若()0f x <的解集中有且只有一个正整数，则实数k 的取值范围为 ． 17．已知函数()(1)(2)x f x m x x e e =−−−−，若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的取值范围是 ．专题6 函数整数解问题1．已知函数1()()22x f x kx e x =+−，若()0f x <的解集中有且只有一个正整数，则实数k 的取值范围为()A ．221[4e −，21)2e −B ．221(4e −，21]2e −C ．322121[,)64e e −− D ．32121[,)62e e −− 【解析】解：()0f x <，即1()202x kx e x +−<，也就是1()22x kx e x +<，即122x xkx e+<，令2()x xg x e=，则2222(1)()x x x x e xe x g x e e −−′==， 当(,1)x ∈−∞时，()0g x ′>，当(1,)x ∈+∞时，()0g x ′<． ()g x ∴在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减．作出函数()g x 与12y kx =+的图象如图： 12y kx =+的图象过定点1(0,)2P ，2(1,)A e ，24(2,)B e ， 21212102PA e k e −==−−，2241212204PB e k e −==−−． ∴实数k 的取值范围为221[4e −，21)2e −． 故选：A ．2．已知函数()(2)(0)x f x kx e x x =−−>，若()0f x <的解集为(,)s t ，且(,)s t 中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为( ) A ．211[1,2)e e++ B ．431112[,)23e e ++C ．21(,1)e −∞+ D ．32121[,1)3e e ++ 【解析】解：由()(2)0x f x kx e x =−−<，得(2)x kx e x −<， 即2xxkx e −<，(0)x >， 设()xxh x e =，(0)x >， 21()()x x x x e xe xh x e e −−′==， 由()0h x ′>得01x <<，函数()h x 为增函数， 由()0h x ′<得1x >，函数()h x 为减函数，即当1x =时，()h x 取得极大值，极大值为h （1）1e=，要使2xxkx e −<，(0)x >，在s ，)t 中恰有两个整数，则0k …时，不满足条件． 则0k >，当2x =时，h （2）22e =，当3x =时，h （3）33e =，即22(2,)A e ，33(3,)B e ， 则当直线()2g x kx =−在A ，B 之间满足条件，此时两个整数解为1，2， 此时满足232(2)3(3)g e g e <…，即23222332k e k e −< − …得2311213k e k e <++ …，即3212113k e e +<+…， 即k 的取值范围是312[3e +，211)e +， 故选：D ．3．已知函数()x f x xe mx m =−+，若()0f x <的解集为(,)a b ，其中0b <；不等式在(,)a b 中有且只有一个整数解，则实数m 的取值范围是( )A ．221(,)32e eB ．221(,)3e eC ．221[,)32e eD ．221[,)3e e【解析】解：设()x g x xe =，y mx m =−， 由题设原不等式有唯一整数解， 即()x g x xe =在直线y mx m =−下方，()(1)x g x x e ′=+，()g x 在(,1)−∞−递减，在(1,)−+∞递增，故1()(1)min g x g e=−=−，y mx m =−恒过定点(1,0)P ，结合函数图象得PA PB K m K <…， 即22132m e e<…， ，故选：C ．4．已知函数()(2)(0)x f x x kx e x =+−>，若()0f x >的解集为(,)a b ，且(,)a b 中恰有两个整数，则 实数k 的取值范围为( ) A ．21(,)e −∞ B ．411[2e +，312)3e +C ．312[3e +，211)e + D ．21[1e +，12)e+ 【解析】解：设()xx g x e =， 则1()x xg x e−′=当01x <<时，()0g x ′>，当1x >时，()0g x ′<， 所以函数()g x 在(0,1)为增函数，在(1,)+∞为减函数，()0f x >的解集为(,)a b 等价于(2)xxkx e >−的解集为(,)a b ， 即当且仅当在区间(,)a b 上函数()xxg x e =的图象在直线2y kx =−的上方， 函数()xxg x e =的图象与直线2y kx =−的位置关系如图所示， 由图可知：(1)2(2)22(3)32g k g k g k >−>− −…，解得：3221113k e e+<+…， 故选：C ．5．已知函数2()(1)x f x mx e x =−−，若不等式()0f x <的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m 的取值范围( ) A ．221(2e +，11)e+ B ．221[2e +，11)e + C ．331[3e +，221)2e+ D ．331(3e +，221)2e+ 【解析】解：函数2()(1)xf x mx e x =−−，不等式()0f x <化为：21x x mx e −<．分别令()1f x mx =−，2()x x g x e =．(2)()xx x g x e−′=． 可得：函数()g x 在(,0)−∞上单调递减，在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减． (0)0g =，g （2）24e =．如图所示． 不等式()0f x <的解集中恰有两个不同的正整数解，∴正整数解为1，2，∴(2)(2)(3)(3)f g f g <…，即23421931m e m e−< −…． 解得：32312132m e e +<+…． ∴数m 的取值范围是331[3e +，221)2e +． 故选：C ．6．已知函数()()x f x x a e alnx =−−，若恰有三个正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是( ) A ．333(3e e ln +，444]22e e ln +B ．412[42ln e+，313)33ln e +C ．222(2e e ln +，444]22e e ln +D ．313[33ln e +，212)22ln e+【解析】解：()f x 的定义域为(0,)+∞， 由()0f x <可得xalnxx a e −<， （1）显然0a =时，不等式在(0,)+∞上无解，不符合题意； （2）当0a <时，不等式为11x lnxx a e−>， 令1()1f x x a=−，()x lnx g x e =，则当1x …时，()1f x <−，()0g x …， 故不等式11x lnx x a e−>没有正整数解，不符合题意； （3）当0a >时，不等式为11x lnxx a e−<，显然1()1f x x a=−为增函数， 1()x xlnxg x xe −′=，令()1h x xlnx =−，则()(1)h x lnx ′=−+， ∴当1x e >时，()0h x ′<，故()h x 在1(e，)+∞上单调递减， 而h （1）10=>，h （2）12204eln ln =−=<，∴存在0(1,2)x ∈使得0()0h x =，∴当[1x ∈，0)x 时，()0h x >，当0x x >时，()0h x <，即当[1x ∈，0)x 时，()0g x ′>，当0x x >时，()0g x ′<， ()g x ∴在[1，0)x 上单调递增，在0(x ．)+∞上单调递减，又g （1）0=，且1x >时，()0g x >， 故不等式11x lnxx a e−<的三个正整数解为1，2，3， ∴(1)(1)(3)(3)(4)(4)0f g f g f g a < <> …，即34110331441a ln a e ln a e −< −< −…，解得：343434322e e a e ln e ln <++…． 故选：A ．7．已知函数若1()()34x f x kx e x =+−，若()0f x <的解集中恰有两个正整数，则k 的取值范围为( )A ．331(12e −，231]8e − B ．331[12e −，231)8e −C ．231(8e −，31]4e − D ．231[8e −，31)4e − 【解析】解：由()0f x <得1()()304x f x kx e x =+−<，即1()34x kx e x +<，即13()4x xkx e +<的解集中恰有两个正整数，设3()x x h x e=，则23333()()x x x x e xe xh x e e −−′==， 由()0h x ′>得330x −>得1x <，由()0h x ′<得330x −<得1x >， 即当1x =时函数()h x 取得极大值h （1）3e=，设函数1()4g x kx =+， 作出函数()h x 的图象如图，由图象知当0k …，13()4x xkx e +<的解集中有很多整数解，不满足条件．则当0k >时，要使，13()4x xkx e+<的解集中有两个整数解，则这两个整数解为1x =和2x =， h （2）26e =，h （3）39e =，(2A ∴，26)(3B e ，39)e ， 当直线()g x 过(2A ，26)(3B e ，39)e 时，对应的斜率满足 21624A k e +=，31934B k e +=，得2318A k e =−，33112Bk e =−， 要使，13()4x xkx e+<的解集中有两个整数解，则B A k k k <…，即323131128k e e −<−…， 即实数k 的取值范围是331[12e −，231)8e −， 故选：B ．8．已知()f x ′是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有1()()(xf x f x e e ′=−是自然对数的底数），(0)0f =，若不等式()0f x k −>的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是( )A ．221[,)e eB ．3232(,)e e C ．3232(,]e e D ．3232[,)e e【解析】解：设()()x g x e f x =，则()[()()]1x g x e f x f x ′=′+=，可设()g x x c =+，(0)(0)00g f c ==+= ．0c ∴=，()g x x ∴=，()xx f x e ∴=， 1()x x f x e−∴′=， 当1x <时，()0f x ′>，函数()f x 单调递增，当1x >时，()0f x ′<，函数()f x 单调递减，()max f x f ∴=（1）1e=， 当x →+∞时，()0f x →，不等式()0f x k −>的解集中恰有两个整数，结合图形可知，整数为1，2f ∴（3）k f < (2)， ∴3232k e e <… 故选：D ．9．已知函数(2)()ln x f x x =，关于x 的不等式2()()0f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值范围是( )A ．1(2,6]3ln ln −−B ．16(,]3ln e −−C ．1[6,2)3ln lnD ．62[,)3ln e【解析】解：21(2)()ln x f x x−′=，令()0f x ′=得2e x =，∴当02e x <<时，()0f x ′>，()f x 单调递增， 当2e x >时，()0f x ′<，()f x 单调递减， 由当12x <时，()0f x <，当12x >时，()0f x >， 作出()f x 的大致函数图象如图所示：2()()0f x af x +> ，（1）若0a =，即2()0f x >，显然不等式有无穷多整数解，不符合题意；（2）若0a >，则()f x a <−或()0f x >，由图象可知()0f x >有无穷多整数解，不符合题意；（3）若0a <，则()0f x <或()f x a >−，由图象可知()0f x <无整数解，故()f x a >−有两个整数解，f （1）f =（2）2ln =，且()f x 在(2e ，)+∞上单调递减， ()f x a ∴>−的两个整数解必为1x =，2x =，又f （3）63ln =， ∴623ln a ln −<…，解得623ln ln a −<−…． 故选：A ．10．函数()(4)(1)f x kx lnx x x =+−>，若()0f x >的解集为(,)s t ，且(,)s t 中只有一个整数，则实数k 的取值范围为( )A ．1(22ln −，14]33ln − B ．1(22ln −，14)33ln − C ．14(33ln −，11]22ln − D ．14(33ln −，11)22ln − 【解析】解：令()0f x >，得：4x kx lnx +>， 令()x g x lnx=，则21()()lnx g x lnx −′=， 令()0g x ′>，解得：x e >，令()0g x ′<，解得：1x e <<， 故()g x 在(1,)e 递减，在(,)e +∞递增，结合函数的单调性得：24(2)34(3)k g k g +> + …， 即22423343k ln k ln +> +…，解得：1142233k ln ln −<−…， 故选：A ．11．已知函数()x x f x e=，若不等式()(1)0f x a x −+>的解集中有且仅有一个整数，则实数a 的取值范围是( ) A ．211[,]e e B ．211[,)e e C ．221[,]32e e D ．221[,)32e e【解析】解：1()x x f x e−′=， ∴当1x <时，()0f x ′>，当1x >时，()0f x ′<，()f x ∴在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，作出()y f x =的函数图象如图所示：由()(1)0f x a x −+>仅有一个整数解得()(1)f x a x >+只有一整数解， 设()(1)g x a x =+，由图象可知：当0a …时，()()f x g x >在(0,)+∞上恒成立，不符合题意， 当0a >时，若()()f x g x >只有1个整数解，则此整数解必为1，∴(1)(1)(2)(2)f g f g > …，即21223ae ae > …，解得22132a e e <…．故选：D ．12．已知函数2()(31)x f x x x e k =++−有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是( )A ．415(,)e e − B ．45(0,)e C ．451(,)e e − D ．1(,)e −+∞【解析】解：函数2()(31)x f x x x e k =++−，可得：2()(54)(1)(4)x x f x x x e x x e ′=++=++，()f x 在(,4)−∞−和(1,)−+∞上是增函数；在(4,1)−−上是减函数， 当x →−∞时()f x k →−，当x →+∞时()f x →+∞，所以函数2()(31)x f x x x e k =++−有三个不同的零点，只需：满足0k −<，45(4)0f k e −−>，1(1)0f k e −=−−<， 解得45(0,)k e ∈故选：B ．13．已知函数()(2)x f x x e ax a =−−−，若不等式()0f x >恰有两个正整数解，则a 的取值范围是()A ．31[4e −，0)B ．1[2e −，0) C ．31[4e −，)2eD ．31[4e −，2)【解析】解：令()(2)x g x x e =−，()h x ax a =+，由题意知，存在2个正整数，使()g x 在直线()h x 的上方， ()(1)x g x x e ′=− ，∴当1x >时，()0g x ′<，当1x <时，()0g x ′>，()max g x g ∴=（1）e =，且(0)2g =，g （2）0=，g （3）3e =−，直线()h x 恒过点(1,0)−，且斜率为a ，由题意可知，3(1)(2)0(3)h e h h e < < −…，故实数a 的取值范围是31[4e −，0)， 故选：A ．14．已知函数2,0(),0x x x f x e x < = …，且()||f x a x …有且只有一个整数解，则a 的取值范围是( ) A ．(2，]e B ．(2，2]e C ．(2，8] D ．[e ，21)2e 【解析】解：0a …时，||y a x =的图象在x 轴下方，不符题意； 0a >时，()||f x a x …有且只有一个整数解，即为x e ax …有且只有一个整数解，由y ax =与x y e =相切，设切点为(,)m m e ， 可得mme e a m ==，解得1m =，a e =， 由题意可得x e ax …有且只有一个整数解，且为1，可得22e a >，即212a e <，且a e …， 即212e a e <…， 故选：D ．15．函数()(4)(1)f x kx lnx x x =+−>，若()0f x >的解集为(,)s t ，且(,)s t 中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为( )A ．11(2,1)222ln ln −−B ．11(2,1]222ln ln −−C ．141(,1)3322ln ln −− D ．141(,1]3322ln ln −− 【解析】解：令()0f x >，得：4x kx lnx +>， 令()x g x lnx=，则21()()lnx g x lnx −′=， 令()0g x ′>，解得：x e >，令()0g x ′<，解得：1x e <<， 故()g x 在(1,)e 递增，在(,)e +∞递减，结合函数的单调性得44(4)34(3)k g k g + +>…， 即44443343k ln k ln + +>…，解得：14113322k ln ln −<−…， 故选：D ．16．已知函数1()()23x f x kx e x =+−，若()0f x <的解集中有且只有一个正整数，则实数k 的取值范围为 22121[,)63e e −− ． 【解析】解： 且()0f x <的解集中有且只有一个正整数， ∴有且只有一个正整数使123xx kx e +<， 令1()3g x kx =+，2()x x h x e=，易得()h x 的图象如图()g x 的图象恒过1(0,)3， ∴结合()g x 和()h x 的图象特点可知0k >．且()()()()212113221423k g h e g h k e +< < +即……． 故答案为：22121[,)63e e −−． 17．已知函数()(1)(2)xf x m x x e e =−−−−，若关于x 的不等式()0f x >有且只有一个正整数解，则实数m 的取值范围是 3(,]2e e e + ． 【解析】解：()0f x >即为(1)(2)x m x x e e −>−+，设(1)y m x =−，()(2)xg x x e e =−+， ()(1)x g x x e ∴′−，当1x >时，()0g x ′>，()g x 单增，当1x <时，()0g x ′<，()g x 单减， ()g x g ∴…（1）0=，当x →+∞时，()g x →+∞，当x →−∞时，()g x e →，函数(1)y m x =−恒过(1,0)，分别画出函数(1)y m x =−及函数()g x 的图象如图所示，由图可知，要使不等式()0f x >有且仅有一个正整数解，则(1)y m x =−的图象在函数()y g x =图象的上方只有一个正整数值2，2m g ∴ (3)3e e =+且m g >（2）e =， ∴32e e e m +<…． 故答案为：3(,]2e e e +．。
高考总复习二轮数学精品课件 专题6 解析几何 专项突破六 解析几何解答题
所以|AP|·
|AQ|=
(1 + 2 )2 (1 2 )2 + 8(1 + 2 )1 2 (1 + 2 ) + 16(1 + 2 )(12 + 22 ) + 128(1 + 2 ) + 64 2 1 2 + 256
-
1 2 1
+ +20
.
.
综上所述,四边形 ACBD 的面积的取值范围是
640
,8
81
.
,
规律方法目标函数法解圆锥曲线有关最值问题的解题模型
精典对练·得高分
已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离
的最小值为4.
(1)求p;
(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.
,所以
2
2
4 +5
4 +5
=
5
+4
2
8 5( 2 +1)
8 5( 2 +1)
× 4 2 +5
5 2 +4
2
1
令 =u,则
1
+1
2
=
=
160 2
20 2 +-1
-
1 2 81
- +
2
4
640
,8
81
160
=
160
=
,所以 S∈
高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第10章 高考专题突破六 高考中的概率与统计问题
(1)求表中10个销售数据的中位数和平均数；
解 中位数为43＋2 46＝44.5， 平均数为35＋46＋32＋42＋431＋050＋39＋52＋51＋60＝45.
(2)明年花市期间甲、乙两位同学想合租一个摊位销售同样的精品，其中 甲、乙分别承包白天、晚上的精品销售，承包时间段内销售所获利润归 承包者所有.如果其他条件不变，以今年的数据为依据，甲、乙两位同学 应如何分担租金才较为合理？
跟踪训练3 某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实 践中心积极参与，在8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参 加志愿者服务活动.若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列及 均值.
解 因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，
所以X服从参数N＝8，M＝3，n＝3的超几何分布. X 的所有可能取值为 0,1,2,3，其中 P(X＝i)＝C3iCC3835－i(i＝0,1,2,3). 由公式可得 P(X＝0)＝CC03C38 35＝258， P(X＝1)＝CC13C38 25＝2185， P(X＝2)＝CC23C38 15＝5165，
(2)求抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数)；
解 设中位数为a，则0.01×5＋0.07×5＋(a－30)×0.06＝0.5， ∴a＝935≈32，则中位数为 32.
(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样 的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这 5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加“一带一路” 知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为 93,96,97,94,90，职业组中1～5组的成绩分别为93,98,94,95,90. ①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；
2019届全国通用高考数学二轮复习板块三专题突破核心考点专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质讲义
例3 (1)(2017·全国Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则
A.2x<3y<5z C.3y<5z<2x
B.5z<2x<3y
√ D.3y<2x<5z
解析 答案
(2) 已 知 函 数
f(x)
＝
ax，x<0， a－3x＋4a，x≥0
满 足 对 任 意 x1≠x2 ， 都 有
fx1－fx2 x1－x2 <0
h(t)>h(2)，则实数 t 的取值范围为_(_－__2_,0_)_∪__(0_,_2_)_. 押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的 范围，是一类重要题型，是高考考查的热点.本题恰当地应用了函数的单 调性，同时考查了函数的奇偶性的性质.
押题依据 解析 答案
(2)若 f(x＋a)＝f1x，则函数 f(x)的最小正周期为 2|a|，a≠0. a＋b
(3)若 f(a＋x)＝f(b－x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x＝ 2 对称.
例1
(1)(2018·贵州省黔东南州模拟)设函数f(x)＝
cosπ2－πx＋x＋e2 x2＋e2
的最
大值为M，最小值为N，则(M＋N－1)2 018的值为
上单调递减，若函数f(x)与g(x)在区间(m，m＋1)上均为减函数，
则mm≥＋01，≤3， 得 0≤m≤2，故选 C.
解析 答案
真题押题精练
真题体验 1.(2018·全国Ⅲ改编)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为__④___.(填序号)
解析 Байду номын сангаас案
2.(2017·天津改编)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝ g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为_b_<_a_<_c___.
微专题6 与球有关的切、接、截面问题 --2025年高考数学复习讲义及练习解析
球的切、接、截面问题是历年高考的热点内容，常以选择题、填空题的形式出现，一般围绕球与其他几何体的内切、外接问题命题，考查球的体积、表面积等．类型一外接球解决与外接球相关问题的关键是确定球心，然后通过球心和接点作截面，进而将球的外接问题转化为平面几何问题，利用平面几何知识来分析、处理．例1(1)(2024·江苏启东中学阶段考试)已知三棱锥P－ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB ＝5，BC＝7，AC＝2，则此三棱锥的外接球的体积为()A．8π3B．82π3C．16π3D．32π3答案B解析由题意知，可将三棱锥放入长方体中考虑，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，故球的半径为长方体体对角线的一半，设PA＝x，则PB2＋PC2＝BC2＝7，即5－x2＋4－x2＝7，解得x＝1，故PA＝1，PB＝2，PC＝3，所以R＝12＋22＋（3）22＝2，所以此三棱锥的外接球的体积为43πR3＝82π3.(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．100πB．128πC．144πD．192π答案A解析设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为r1，r2，所以2r1＝33sin60°，2r2＝43sin60°，则r1＝3，r2＝4.设球心到上、下底面的距离分别为d1，d2，球的半径为R(R≥4)，所以d1＝R2－9，d2＝R2－16，故|d1－d2|＝1或d1＋d2＝1，即|R2－9－R2－16|＝1或R2－9＋R2－16＝1，解得R2＝25，符合题意，所以球的表面积为S＝4πR2＝100π.故选A.(3)(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________．答案2解析如图，将三棱锥S－ABC转化为直三棱柱SMN－ABC，设△ABC的外接圆的圆心为O1，半径为r，则2r＝ABsin∠ACB＝332＝23，可得r＝ 3.设三棱锥S－ABC的外接球的球心为O，连接OA ，OO 1，则OA ＝2，OO 1＝12SA ，因为OA 2＝O 1A 2＋OO 21，即4＝3＋14SA 2，所以SA ＝2.(4)(2022·新高考Ⅰ卷改编)已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是________．答案274，643解析如图，设该球的半径为R ，球心为O ，正四棱锥的底边长为a ，高为h ，正四棱锥的侧棱与高所成的角为θ，则正四棱锥的底边长a ＝2l sin θ，高h ＝l cos θ.依题意，得36π＝43πR 3，解得R ＝3.在△OPC 中，作OE ⊥PC ，垂足为E ，则可得cos θ＝l 2R ＝l6∈12，32，所以l ＝6cos θ，所以正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝13(2l sin θ)2·l cos θ＝23(6cos θ)3sin 2θcos θ＝144(sin θcos 2θ)2.设sin θ＝t ，易得t ∈12，32.令y ＝sin θcos 2θ＝t (1－t 2)＝t －t 3，则y ′＝1－3t 2，令y ′＝0，得t ＝33，所以当12＜t ＜33时，y ′＞0；当33＜t ＜32时，y ′＜0，所以函数y ＝t －t 3，．又当t ＝33时，y ＝239；当t ＝12时，y ＝38；当t ＝32时，y ＝38.所以38≤y ≤239，所以274≤V ≤643.所以该正四棱锥的体积的取值范围是274，643.1．求解几何体外接球半径的思路一是根据球的截面的性质，利用球的半径R 、截面圆的半径r 及球心到截面圆的距离d 三者的关系R 2＝r 2＋d 2求解，其中，确定球心的位置是关键；二是将几何体补成长方体，利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解．2．确定球心常用的方法(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点．(2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点．(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点．(4)正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到．1．(2024·福建宁德一中高三模拟)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，BC ＝1，AB ＝3，AA 1＝23，则该直三棱柱的外接球的体积为()A ．8π3B ．16π3C ．32π3D ．64π3答案C解析如图所示，将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补成长方体，则长方体的外接球即为直三棱柱的外接球．长方体的体对角线长为（23）2＋（3）2＋1＝4，设长方体的外接球的半径为R ，则2R ＝4，解得R ＝2，所以该直三棱柱的外接球的体积V ＝43πR 3＝32π3.故选C.2．(2024·鞍山一中高三模拟)在三棱锥P －ABC 中，PA ＝BC ＝4，PB ＝AC ＝5，PC ＝AB ＝11，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为()A ．26πB ．12πC ．8πD ．24π答案A解析三棱锥P －ABC 中，PA ＝BC ＝4，PB ＝AC ＝5，PC ＝AB ＝11，如图，构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，11，则长方体的体对角线长等于三棱锥P －ABC 外接球的直径，设长方体的棱长分别为x ，y ，z ，则x 2＋y 2＝16，y 2＋z 2＝25，x 2＋z 2＝11，则x 2＋y 2＋z 2＝26，因此三棱锥P －ABC 外接球的直径为26，所以三棱锥P －ABC 外接球的表面积为＝26π.故选A.3．(2024·四川遂宁高三期末)已知A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，△ABC 为等边三角形且边长为3，AD ⊥平面ABC ，AD ＝2，则球O 的表面积为________．答案16π解析球心O 在平面ABC 的投影为△ABC 的中心，设为O 1，连接OD ，OO 1，OA ，设H 是AD 的中点，连接OH ，如图所示，则AO 1＝32sin60°＝3，OA ＝OD ＝R ，则OH ⊥AD ，四边形AO 1OH 为矩形，OO 1＝AH ＝1，R 2＝AO 21＋OO 21＝3＋1＝4，故R ＝2，S＝4πR 2＝16π.4．(2022·全国乙卷改编)已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为________．答案33解析设该四棱锥的底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆的半径为r ，四边形ABCD对角线的夹角为α，则S 四边形ABCD ＝12AC ·BD sin α≤12AC ·BD ≤12·2r ·2r ＝2r 2(当且仅当四边形ABCD为正方形时，等号成立)，即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 的面积的最大值为2r 2，设该四棱锥的高为h ，则r 2＋h 2＝1，所以V O －ABCD ＝13·2r 2·h ＝23r 2·r 2·2h 2≤23＝4327，当且仅当r 2＝2h 2，即h ＝33时，等号成立．类型二内切球解决与内切球相关的问题，其通法也是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题来解决．例2(1)(2024·广东广州模拟)已知一个圆台的母线长为5，且它的内切球的表面积为16π，则该圆台的体积为()A ．25πB ．84π3C ．28πD ．36π答案C解析由圆台的内切球的表面积为16π，可得球的半径为2.设圆台上、下底面圆的半径分别为x ，y ，作出圆台的轴截面如图所示．＋y ＝5，2＋（y －x ）2＝52，＝1，＝4.又圆台的高为4，所以该圆台的体积为13×(π＋16π＋π×16π)×4＝28π.故选C.(2)已知正三棱锥的高为1，底面边长为23，内有一个球与四个面都相切，则正三棱锥的内切球的半径为________．答案2－1解析如图，过点P 作PD ⊥平面ABC 于点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，连接PE .因为△ABC 是正三角形，所以AE 是BC 边上的高和中线，D 为△ABC 的中心．因为AB ＝BC ＝23，所以S △ABC ＝33，DE ＝1，PE ＝2.所以S 三棱锥表＝3×12×23×2＋33＝36＋33.因为PD ＝1，所以三棱锥的体积V ＝13×33×1＝3.设内切球的半径为r ，以球心O 为顶点，三棱锥的四个面为底面，把正三棱锥分割为四个小三棱锥，由13S 三棱锥表·r ＝3，得r ＝3336＋33＝2－1.(3)(2023·全国甲卷)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CD ，A 1B 1的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为________．答案12解析如图，不妨设正方体的棱长为2，EF 的中点为O ，取AB ，BB 1的中点G ，M ，侧面BB 1C 1C 的中心为N ，连接FG ，EG ，OM ，ON ，MN ，由题意可知，O 为球心，在正方体中，EF ＝FG 2＋EG 2＝22＋22＝22，即R ＝2，则球心O 到BB 1的距离为OM ＝ON 2＋MN 2＝12＋12＝2，所以球O 与棱BB 1相切，球面与棱BB 1只有1个交点，同理，根据正方体的对称性知，球面与其余各棱也只有1个交点，所以以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.“切”的问题常用的处理方法(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决．(2)通过体积分割法来求内切球的半径．5．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．答案2π3解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r .作出圆锥的轴截面PAB ，如图所示，则△PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB 中，PA ＝PB ＝3，D 为AB 的中点，AB ＝2，E 为切点，则PD ＝22，△PEO ∽△PDB ，故PO PB ＝OE DB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22，故内切球的体积为43π×＝2π3.6.(2024·山东烟台模拟)某学校开展手工艺品展示活动，某同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为________．答案12π15－3解析过侧棱的中点作正三棱柱的截面，如图所示，则球心为△MNG 的中心．因为MN＝6，所以△MNG内切圆的半径r＝OH＝13MH＝13MN2－HN2＝3，即内切球的半径R＝3，所以内切球的表面积S＝4πR2＝12π.又正三棱柱的高AA1＝2R＝23，OM＝23 MH＝23，所以AO＝OM2＋AM2＝（23）2＋（3）2＝15，所以点A到球的表面的最短距离为AO－R＝15－ 3.类型三球的截面、截线问题解决球的截面、截线问题的关键是利用球的截面的性质．例3(1)(2024·云南昆明模拟)已知OA为球O的半径，M为线段OA上的点，且AM＝2MO，过点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，若圆M的面积为8π，则OA＝()A．22B．3C．23D．4答案B解析如图所示，由题意，得π×BM2＝8π，则BM＝2 2.设球的半径为R，则MO＝13R，OB＝R，所以R2＝19R2＋(22)2，所以OA＝R＝3.故选B.(2)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为()A．64πB．48πC．36πD．32π答案A解析设⊙O1的半径为r，球的半径为R，依题意，得πr2＝4π，∴r＝2.由正弦定理可得AB sin60°＝2r，∴AB＝2r sin60°＝23，∴OO1＝AB＝23.根据球的截面性质，得OO1⊥平面ABC，∴OO1⊥O1A，R＝OA＝OO21＋O1A2＝OO21＋r2＝4，∴球O的表面积S＝4πR2＝64π.故选A.(3)(2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°.以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．答案2π2解析如图所示，取B 1C 1的中点为E ，BB 1的中点为F ，CC 1的中点为G ，连接D 1E ，EF ，EG ，D 1B 1，因为∠BAD ＝60°，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，所以△D 1B 1C 1为等边三角形，所以D 1E ＝3，D 1E ⊥B 1C 1.又四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥D 1E .因为BB 1∩B 1C 1＝B 1，所以D 1E ⊥侧面B 1C 1CB .设P 为侧面B 1C 1CB 与球面的交线上的点，连接D 1P ，EP ，则D 1E ⊥EP .因为球的半径为5，D 1E ＝3，所以EP ＝D 1P 2－D 1E 2＝5－3＝2，所以侧面B 1C 1CB 与球面的交线上的点到E 的距离为2.因为EF ＝EG ＝2，所以侧面B 1C 1CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ︵.因为∠B 1EF ＝∠C 1EG ＝π4，所以∠FEG ＝π2，所以根据弧长公式可得交线长l ＝π2×2＝2π2.(1)球的截面一定是一个圆面．(2)球心和小圆圆心连线垂直于小圆圆面．(3)过球内一点作球的截面，最大截面为过球心的圆面，最小截面为过该点且垂直于球心和该点连线的截面．7．(2024·江苏苏州校考阶段练习)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图是一个圆柱容球，O 1，O 2为圆柱两个底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆O 1的一条直径，若球的半径R ＝2，则(1)平面DEF 截得球的截面面积的最小值为________；(2)若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE ＋PF 的取值范围为______________．答案(1)16π5(2)[25＋2，43]解析(1)过点O 在平面ABCD 内作OG ⊥DO 1，垂足为G ，如图所示，易知O 1O 2⊥CD ，O 1O 2＝4，O 2D ＝2，由勾股定理，可得O 1D ＝O 1O 22＋O 2D 2＝25，则由题意，可得OG ＝12×O 1O 2×O 2D O 1D ＝12×4×225＝255，设点O 到平面DEF 的距离为d 1，平面DEF 截得球的截面圆的半径为r 1，因为O 1D ⊂平面DEF ，当OG ⊥平面DEF 时，d 1取得最大值OG ，即d 1≤OG ＝255，所以r 1＝4－d 21≥4－45＝455，所以平面DEF 截得球的截面面积的最小值为＝16π5.(2)由题意可知，点P 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P 在底面的射影为P ′，则PP ′＝2，PE ＝22＋P ′E 2＝4＋P ′E 2，PF ＝22＋P ′F 2＝4＋P ′F 2，由勾股定理，可得P ′E 2＋P ′F 2＝16，令P ′F 2＝8－t ，则P ′E 2＝8＋t ，其中－8≤t ≤8，所以PE ＋PF ＝12＋t ＋12－t ，所以(PE ＋PF )2＝(12＋t ＋12－t )2＝24＋2144－t 2∈[24＋85，48]，因此PE ＋PF ∈[25＋2，43]．。
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课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调 性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决.不但如此，利用导数研究 得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一 定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法. 2.利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为 求最值问题.
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5.已知函数 f(x)＝4x＋ax－ln x－23，其中 a∈R，且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的 切线垂直于直线 y＝12x. (1)求a的值； 解 对 f(x)求导得 f′(x)＝14－xa2－1x， 由 f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝12x 知， f′(1)＝－34－a＝－2，解得 a＝45.
②若f′(x)＝0恒成立，则f(2)＝f(0)＝f(1).
综合①②，知f(0)＋f(2)≥2f(1).
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4.若函数 y＝－34x3＋ax 有三个单调区间，则 a 的取值范围是__(0_，__＋__∞__)__. 解析 由题意知，y′＝－4x2＋a的图像与x轴有两个交点， ∴Δ＝16a>0，∴a>0.
跟踪训练3 一家公司计划生产某种小型产品，该产品的月固定成本为1万元， 每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全 部销售完，每销售1万件该产品的收入为4－x万元，且每生产1万件国家给予 补助 2e－2elxn x－1x 万元(e为自然对数的底数). (1)写出月利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式； 解 ∵月利润＝月销售收入＋月国家补助－月总成本， ∴f(x)＝x4－x＋2e－2elxn x－1x－2－1 ＝－x2＋2(e＋1)x－2eln x－2(x>0).
即f(x)<g(x)恒成立.
因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)的图像的下方.
反思感悟 1.已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义. 2.讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负. 3.求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可.
(2)试求f(x)的单调区间.
反思感悟 (1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间. (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价. (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集. (4)求参数的范围时常用到分离参数法.
跟踪训练1 已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1)若f(x)在R上是增加的，求a的取值范围； 解 求导得f′(x)＝3x2－a， 因为f(x)在R上是增函数， 所以f′(x)≥0在R上恒成立. 即3x2－a≥0在R上恒成立. 即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0. 当a＝0时，f(x)＝x3－1在R上是增加的，符合题意. 所以a的取值范围是(－∞，0].
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
反思感悟 利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法 (1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与 自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，根据实际问 题确定y＝f(x)的定义域. (2)求方程f′(x)＝0的所有实数根. (3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义 确定函数的最大值或最小值.
B.f(0)＋f(2)>2f(1)
√D.f(0)＋f(2)≥2f(1)
解析 ①若f′(x)不恒为0，则当x>1时，f′(x)≥0，当x<1时，f′(x)≤0，
所以f(x)在(1，＋∞)上是增加的，在(－∞，1)上是减少的.
所以f(2)>f(1)，f(1)<f(0)，即f(0)＋f(2)>2f(1).
(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围.
题型三 生活中的优化问题
例3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半 径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建 造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造 成本为12 000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
第四章 导数应用
章末复习
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值. 2.会用导数解决一些简单的实际应用问题.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 达标检测
1 知识梳理
PART ONE
1.函数的单调性、极值与导数
(1)函数的单调性与导数 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0 ，那么函数y＝f(x)在这个区间内是增加的； 如果 f′(x)<0 ，那么函数y＝f(x)在这个区间内是减少的.
(2)当月生产量在[1,2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利 润的最大值(万元)及此时的月生产量(万件).(注：月利润＝月销售收入＋月国 家补助－月总成本)
核心素养之逻辑推理
HEXINSUYANGZHILUOJITUILI
导数中不等式证明问题
典例 已知函数f(x)＝x－ax2－ln x(a>0). (1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)＋f(x2)>3－2ln 2.
素养评析 (1)不等式证明中，常构造函数把不等式的证明转化为利用导数研 究函数的单调性或求最值解决. (2)通过对条件和结论的分析，探索论证思路，选择合适的论证方法给予证明， 这正是逻辑推理素养的充分体现.
3 达标检测
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上是减少的，若存在，求出a的取值范围， 若不存在，请说明理由. 解 假设存在实数a，使f(x)在(－1,1)上是减少的， 则f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立. 即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2， 又因为在(－1,1)上，0≤3x2<3，所以a≥3. 当a＝3时，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0， 所以f(x)在(－1,1)上是减少的，即a＝3符合题意. 所以存在实数a，使f(x)在(－1,1)上是减少的，且a的取值范围是[3，＋∞).
2.求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的 极值 . (2)将函数y＝f(x)的各极值与 端点处函数值f(a)，f(b) 比较，其中最大的一个为 最大值，最小的一个为最小值.
2 题型探究
PART TWO
题型一 函数的单调性与导数
例1 已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R. (1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率； 解 当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e. 即曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e，
(2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值； 解 当 a＝1 时，f(x)＝21x2＋ln x，f′(x)＝x＋1x>0， 则函数f(x)在[1，e]上为增函数， 所以 f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(e)＝12e2＋1.
(3)若 a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数 f(x)的图像在函数 g(x)＝32x3 的图 像的下方. 证明 设 F(x)＝f(x)－g(x)＝21x2＋ln x－23x3， 则 F′(x)＝x＋1x－2x2＝1－x1＋x x＋2x2， 当x>1时，F′(x)<0， 故 F(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，又 F(1)＝－16<0， 所以在区间[1，＋∞)上，F(x)<0(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对
任意的正数a，b，若a<b，则必有
√A.bf(b)≤af(a)
C.af(a)≤bf(b)
B.bf(a)≤af(b) D.af(b)≤bf(a)
解析 设g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)， 则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)≤0， ∴g(x)在区间(0，＋∞)上是减少的或g(x)为常函数. ∵a<b，∴g(a)≥g(b)，即af(a)≥bf(b).
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(2)求函数f(x)的单调区间与极值. 解 由(1)知 f(x)＝4x＋45x－ln x－32(x>0)，
x2－4x－5 则 f′(x)＝ 4x2 (x>0). 令f′(x)＝0，解得x＝－1(舍)或x＝5. 当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数； 当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数. 所以函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5.
(2)函数的极值与导数 ①极大值：在点x＝a附近，满足f(a)≥f(x)，当x<a时， f′(x)>0 ，当x>a时， f′(x)<0 ，则点a叫作函数的极大值点，f(a)叫作函数的极大值； ②极小值：在点x＝a附近，满足f(a)≤f(x)，当x<a时， f′(x)<0 ，当x>a时， f′(x)>0 ，则点a叫作函数的极小值点，f(a)叫作函数的极小值.
题型二 函数的极值、最值与导数
例2 已知函数f(x)＝12x2＋aln x. (1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；
解 由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当 a＝－1 时，f′(x)＝x－1x＝x＋1xx－1， 令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)， 当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)是减少的， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)是增加的， 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值，且极小值为21.