§1.5 条件概率与乘法公式

P A 1 P A 1 P B1B2B3B4
1 P B1 P B2 B1 P B3 B1B2 P B4 B1B2B3
条件概率的 本来含义
96 95
94
93
1

0.1528.
100 99
98
97
19
可见，该城市的人在60岁到65岁之间死亡的概 率约为1-0.9102=0.0898，在平均的意义下，该年 龄段中每百人中间约有8.98人死亡．像这种反映某 种特殊人群寿命分布的生命表对保险公司确定保险 和赔保的数额都是很有意义的．
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二、概率的乘法公式
由条件概率的定义 P B A P( AB) P( A) 变形得到
解 记A={活到60岁}，B={活到65岁}.
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注意到 B 的发生必然导致 A 的发生，从而 B A ．依题
意 P A 0.8734， PB 0.7950 ．
条件概率 的定义
P B A P( AB) P(B) 0.7950 0.9102 . P( A) P( A) 0.8734
P A1A2L An1 0，则
P A1A2L An P( A1)P A2 A1 P A3 A1A2 L P An A1A2L An1 .
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例1.20 一批零件共有100个，其中有10个 不合格品．从中一个一个取出，求第三次才取 到不合格品的概率．
3º可列可加性 设 B1 , B2 ,L 两 两 互 不 相 容， 则
U

P Bi A P Bi A .
i1
i1
由此可推出条件概率的其它性质，如：
● (对立事件的条件概率公式) 对任意事件B，有
P B A 1 P B A ;
8
●(真差的条件概率公式) 当 B1 B2 时，有
解 记 Ai ={第 i 次取出的是不合格品}， i 1, 2,3 ，
则所求概率为 P A1 A2 A3 ．由乘法公式得
P A1 A2 A3 P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2
90 100
89 10 0.0826 .
99
98
§1.5 条件概率与 乘法公式
1
一、条件概率
从下面引例谈及条件概率的定义． 例1.15 有外观相同的三极管10只，按电流 放大系数分类，6只属甲类，4只属乙类．不放回 地抽取三极管两次，每次只抽一只．求在第一次 抽到甲类三极管的条件下，第二次又抽到甲类三 极管的概率． 记Ａ={第一次抽到的是甲类三极管}，
P B2 B1 A P B2 A P B1 A ;
●(条件概率的减法公式) 对任意 B1 和 B2 ，有
P B2 B1 A P B2 A P B1B2 A ;
●(条件概率的加法公式) 对任意 B1 和 B2 ，有
P B1 B2 A P B1 A P B2 A P B1B2 A ;
◆当 P( A) 0 时，条件概率 P B A 无意义；
◆今后当提及条件概率时，自动认为条件事 件的概率大于零．
5
条件概率与无条件概率的关系
P B P(B)
条件概率是 无条件概率 的推广
无条件概率是 条件概率的特 殊情形．
6
条件概率P(A|B)与P(A)的区别
每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A 是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下 事件A发生的可能性大小．
80个合格 20个不合格
100个
甲：50合格 +10不合格
乙：30合格 +10不合格
10
解 记A={任取一个灯泡，该灯泡恰好为合格灯
泡}，B={任取一个灯泡，该灯泡恰好为甲生产}．
显然， P( A) 80 , 100
P( AB) 50 , 100
于是， P B A P( AB) 5 .
●当 B1 与 B2 互不相容时，有
P B1 B2 A P B1 A P B2 A .
9
例1.16 100个灯泡中有80个合格灯泡，20 个不合格灯泡，其中甲生产的60个灯泡里有50 个合格灯泡，10个不合格灯泡，余下的40个灯 泡均由乙生产．现在从该批灯泡中任取一个， 已知取到的是合格灯泡，求该灯泡恰好由甲生 产的概率．
P( A) 8
条件概率 的定义
另一种计算方法——条件概率的本来含义
P B A , 本质上就是从80个合格灯泡里抽
到甲生产的灯泡的概率，而80个合格灯泡里甲生
产的灯泡有50个，所以， P B A 50 5 . 80 8 这与用条件概率定义计算的结果完全相同． 11
提醒： 条件概率的本来含义和定义是求条件概率
的两种经常采用的方法．前者一般在有实际背景 的时候应用，后者无论有无实际背景都可以应用．
例1.17 人寿保险公司常常需要知道存活到某 个年龄段的人在下一个年龄段仍然存活的概率．根 据统计资料显示，某城市的人由出生活到60岁的概 率为0.8734，存活到65岁的概率为0.7950．问现年 60岁的人，能够活到65岁的概率是多少?
Ｂ={第二次抽到的是甲类三极管}．
2
则 P A 6 ， P AB 6 5 ．我们现在要做的
10
10 9
工作是在“已知A发生”的附加条件下，求B发
生生的概率，这个概率称作条件概率，并且记作
P B A.
由于第一次已经抽走了一只，所以第二次是
从余下的9只三极管中任抽一只，有9种抽法. 在
第一次抽到甲类三极管的条件下，要求第二次又
抽到甲类三极管，这时可供抽的是余下的5只甲
3
类三极管，从中任抽一只，有5种抽法，所以
P B A 5 . 9 在这里，显然有
PB
A

5 9

6 5 10 9
6 10

P AB P A
.
我们虽然从一个特殊的例子得到了 P A ， P AB
条件概率的 本来含义
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例1.21 验收100件产品的方案如下：从中任 取4件进行逐件检查，如果全部合格就接收该批 产品，否则拒绝接收该批产品．已知这100件产 品中恰有4件不合格品，求该批产品被拒绝接收 的概率．
解 记 A={该批产品被拒绝接收}；Bi ={被检查的第 i 件产
品是合格品}， i 1, 2,3, 4 ． A B1 B2 B3 B4 ．
甲70% 其它30% 合格品95%
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解 记A={甲厂生产的灯泡}，B={合格灯泡}，
P A =70%， PB A =95%．所求概率为 乘法公式
P(AB) P(A)PB A =66.5%.
例1.19 某厂的产品中有4℅的不合格品，在
100件合格品中有75件一等品，试求在该厂的产品 中任取一件是一等品的概率．
和 P B A 的上述关系，但包含着一般例子的共性，
由此我们合乎情理地引入下面的一般的定义．
4
若事件A满足 P( A) 0, 则对任意事件B，称
P B A P( AB) P( A) 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
◆ P( A) 0 保证分母不为零，是必要的假设；
而条件概率 P(A|B) 是在原条件下又添加 “B 发生 ” 这个条件时A发生的可能性大小，即 P(A|B) 仍是概率．
P(A) 与 P(A |B) 的区别在于两者发生的条件
不同，是两个不同的概念，在数值上一般也不同．
7
条件概率 P A 满足概率的公理化定义中的三条：
1º非负性 P B A 0； 2º正则性 P Ω A 1；
定理1.4 (关于两个事件的概率的乘法公式)若
P A 0 , 则
P( AB) P( A)P B A .
乘法公式用来 计算若干个事 件乘积 (交) 的概率！
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例1.18 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70%，其合格品率是95%．求从市场上买到的一 个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率．
注意 B A
解 记A={取到合格品}， B={取到一等品}，
பைடு நூலகம்
P(B) P( AB) P( A)P B A 0.72 . 16
定理1.5 (关于三个事件的概率的乘法公式)
若 P AB 0 ，则
P(ABC) P( A)P B A P C AB .
定理1.6(概率的一般乘法公式) 若