杆件的应力和强度设计(2)

解得：
FNBC 0.732F
FNAC 0.5175F
y
FNAC
450 300
FNBC
（2）计算各杆的许可载荷。
C
x
F
对BC杆，根据强度条件
s BC

FNBC A
s 1
解得：
F s 1 d 2
(160 106
Pa)
400 106 m2
68.67 kN
已知截面对形心轴z的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm,校核 梁的强度。
F1=9kN
F2=4kN
A C
B
D
1m
1m
1m
80
z y1
20
120
y2
20
解: RA 2.5kN RB 10.5kN
RA A
z y1
F1=9kN RB F2=4kN
最大正弯矩在截面C上
C
1m
1m
2.5kN
即纵截面没有任何应力(自由表面)。
例 已知一等截面直杆，横截面A=500mm2，所受轴向力作用 如图所示，F1=10 KN， F2=20 KN ， F3=20 KN 。试求直杆各段 的正应力。
1
A
B
F1
F2
1 1m
解：(1) 作轴力图
FN
2 C
F3
2 2m
10kN
3 D
3 1.5m
30kN
x
10kN
例 钢制等截面简支梁受均布载荷q作用，梁的横截面
为h=2b的矩形,求梁的截面尺寸。
已知材料的许用应力 s 120 MPa l 2 m q 50 kN/m
q
A
B
l
x
M
8
ql 2
解：作弯矩图
危险截面在梁的中点，其值为
M max

ql 2 8
根据强度计算公式对梁进行正应力强度计算：
ql 2
纵向对称面（形心主惯性平面）：形心主轴与杆轴线所组成的平面。
A
P
C a
P
Pa
PB
D a
FS
P
M
纯弯曲：剪力为零的弯曲。 横力弯曲：剪力和弯矩不等于零的弯曲。
剪力是相切于横截面的内力系的合力：
Fs t 。
弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩：
Ms。
1、纯弯曲梁横截面上的正应力
1）纵向线变成了圆弧线，下方 M
圆轴扭转时横截面上的应力
t
ρ

G
T GI p


T
Ip
圆轴扭转切应力的 一般公式。
横截面周边上各点处(
= R)的最大切应力为:
t max
T R Ip
引入:
Wp

Ip R
t max

T Wp
式中Wp称为扭转截面系数，其单位为m3。
T
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp
解：1. 绘扭矩图
2. 求每段轴的横截面 MA 上的最大切应力
AB段内
t max

T Wp

T π d3

π
155 N m 28 103 m
3
T
16 16
36 MPa<[t ]=40MPa
安全。
MB
MC
155 x
40
四、梁的弯曲应力
平面弯曲
载荷作用在梁的纵向对称面内，其轴线将变成纵向对称面内的一条平 面曲线，这种弯曲称为平面弯曲。
F 4.25 kN
三、圆轴扭转应力
m

m
通过试验、观察变形、
作出假设（平面假设）
t

T
I
t max
T Wt
1）纵向线都倾斜了一个夹角， 且仍为直线 （有切应力）
2）圆周线间的间距没有改变 （无正应力）
3）圆周线的大小和形状均未改 变（切应力方向垂直于径向）
结论：圆轴扭转时，横截面上
只有切应力且垂直于径向。
的纵向线伸长，上方的纵向线缩 短 （单向受力假设）
2）横向线仍然为直线且与纵向 圆弧线垂直（平面假设）
中性轴：中性层与横截面
的交线，与纵向对称面垂直。 M
z
xy平面为纵向对称面
x
y
M
中性层
M
中性轴
s My Iz
正应力分布图：线性分布
M
s max压
smax

M ymax Iz
令Wz

Iz ：抗弯截面系数 ymax
28.8MPa

[s t]
2、梁弯曲时的切应力
t

F
S
S
* z
bI z
矩形：
t
max

3 2
FS A
工字形：
腹板：
t

F
S
S
* z
bI z
翼缘：通常不必研究。F S腹 (0.9~ 50.9)F 7S
tmax

FS S*z max bIz
圆形截面梁
t max

4 3
FS A
薄壁圆环截面梁
t max

2
FS A
梁的强度条件及计算
1.正应力强度条件
smax s
即ssctmm
ax ax

st sc
2.切应力强度条件
tmaxt
tmax

F S* Smax zmax bIz
3.三种强度计算
1.一般情况两个强度条件 都要满足，通常正应力是主 导因素；
2.在工程中，按正应力强 度设计的截面，切应力强度 条件大多能自然满足；
合理安排梁的载荷
P
L
5L
6
6
Mmax

5 PL 36
q
L
Mmax

1 2
qL2
合理安排梁的约束
q
L
Mmax

1 8
qL2
P/ L
L
1 Mmax 8 PL
q
L 5
3 5
L
L 5
Mmax

1 qL2 40
3. 合理设计梁的外形
等强度梁：梁的每个横 截面上的最大正应力都 等于许用应力的梁。
smaxW Mzxxs
A FN，max
s
•确定承载能力：已知A，s ，确定
FN ＝As
例 一空心圆截面杆, 外径 D 20 mm ,内径 d 15 mm ,承受
轴向载荷 F 20 kN作用，材料的许用应力 s 156 MPa ，试校
杆的强度。
d
F
F
D
解：杆件横截面上的正应力为:
4 0.732
4 0.732
对AC杆，根据强度条件：
解得：
s AC

FNAC A
s 2
F s 2 d 2 7 106 Pa 400106 m2 4.25 kN
4 0.5175
4 0.5175
所以，该结构的两杆都要满足强度条件的许可载荷应取：
3.对于薄壁截面梁或弯矩 较小而剪力较大的梁，必须 考虑两个强度条件。
s FN
A
t

T Ip
t FS AS
s bs

Fbs Abs
s My
Iz
t

F
S
S
* z
bI z
五、提高构件强度的措施
1. 合理选择截面形状 W z 尽可能大
A
让材料远离中性轴
2.减小Mmax
P
L
L
2
2
1 Mmax 4 PL
s

4F
(D2 d2)

4 20103 N
(0.022 0.0152 )
m2
145.5
MPa
因为 s [s ] 156 MPa
所以满足强度校核。
例 结构中 BC 和 AC 都是圆截面直杆，直径均为 d 20 mm
BC为 Q235钢杆，其许用应力 s 160 MPa ；AC为木杆，其许 1
BD
1m
M C 2.5kN m
最大负弯矩在截面B上
M B 4kN m
-
+
80 4kN
20
B截面
s t max M B y1 27.2MPa [s t]
Iz
s c max

M B y2 Iz

46.2MPa
[s c]
120
y2
20
C截面
s t max

MC y2 Iz

p

F A
P cos
A
P P
sco s
s
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pcos
s
2
(1

cos
2
)
P
t
psin
s
2
sin
2
讨论：
k
k
k
p
k ks
p
k t
P
F
0:sma xs;
450 :tm
s
ax2;
从轴向往截面的外法线方向为逆时针 转时， 取正值。
900:st0
s max拉
s max
M
Wz
矩形：Wz
bh2 6
圆： 形 Wz 3D23(14)
公式的适用条件 1）平面假设成立； 2）单向受力假设； 3）线弹性范围内工作； 4）抗拉压弹性模量相等。
梁的正应力强度条件
等直梁的最大正应力发生在最大弯矩所在的横截面上 距中性轴最远的各点处，因此建立梁的正应力强度条件为：
用应力s 7 MPa 。求：该结构的许可载荷。 2
A
B
450 300 C
F
y
FNAC
450 300
FNBC
C
x
F
解： （1）分析受力，受力图如图所示。
Fx 0, FNAC sin 45 FNBC sin 30 0
Fy 0, FNAC cos 45 FNBC cos 30 F 0
t max
（1）实心圆截面
Ip
2dA
A
d 2
2
2πd

πd 4
0
32
Wp

Ip d /2

πd 3 16
（2）空心圆截面
Ip

πD4(1 32

4)
Wp

D3
16
1 4
t max
d
T
t max
d
t max
t min
D
其中


d D
圆轴扭转强度条件
工作应力：
s max
M x
Wz
8 bh 2
3ql 2 16b3
s
6
b
3ql 2
3 16s

3
3 (50103 N/m) (2 m)2 16 (120106 Pa)
67.9 mm
h 2b 136mm
例 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的抗
拉许用应力为 [st] = 30MPa ,抗压许用应力为[sc] =160MPa 。
杆件的应力和强度设计
一、应力和应变
总 应
法向分量
正应力s
背离截面的正应力为正， 指向截面的正应力为负。
力 p 切向分量
切应力t
对截面内的一点产生顺时 针方向力矩的切应力为正， 反之为负。
正应力： s lim FN
A0 A
切应力： t

lim FS A0 A
F1
τ
P
ΔA
s
M
p s 2 t 2
F2
二、轴向拉压杆应力
1、横截面上的正应力
根据实验现象，作如下假设：
几
平截面假设：变形前的横截面，变形后仍然
何 方
保持为横截面，只是沿杆轴线产生了相对的平移。
面
应变假设：变形时纵向线和横向线都没有角
度的改变，说明只有线应变而无角应变。
结论：横截面上只有正应力，没有切应力。
a
d
P
a1
d1
P
b1
c1
b
t max

T

WP
max
强度条件： t max t
等截面圆轴： Tmax t
WP
同拉伸和压缩类似，利用强度条件可以进行三类强度计算。
例 已知机器传动机构中的主轴受外力偶作用，外力偶矩MA
=40 N·m，MB =195 N·m，MC =155 N·m，圆轴的直径d=28mm， 材料的许用切应力[τ]=40 MPa。试校核该轴的强度。
c
等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式
s FN
A
s——正应力，符号与轴力FN 的符号相同；
A——杆件横截面面积；
FN——轴力。 符号规定：拉应力为正，压应力为负。
2.斜截面上的应力
设拉力为P，横截面积为A，取k-k斜截面，夹角为，求 s ,t
显然 A： cA os， FP
强度计算
等截面杆： FN，max s
A
smax—拉(压)杆的最大工作应力， [s]—材料拉伸(压缩)时的许用应力。
强度条件的应用
三类常见的强度问题
•校核强度：已知外力，s ，A，判断
s max＝
FN A
max
？

s
是否能安全工作？
•截面设计：已知外力，s ，确定
s max s
M max s
Wz
三种强度计算： 强度校核； 截面设计； 许可载荷的确定。
即梁的最大弯曲正应力不超过材料的许用弯曲正应力。
上式仅适用于许用拉应力与许用压应力相同的梁，如 低碳钢。但对于铸铁等脆性材料，它们的许用拉应力低于 许用压应力 ，则应按许用拉应力与许用压应力分别进行 强度计算。