《含高考13套》湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高三第四次月考数学试题含解析

湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高三第四次月考数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布(

)2

85,N σ

，且

(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学

生人数约为（ ） A ．40

B ．60

C ．80

D ．100

2．若双曲线()22210x y a a

-=>的一条渐近线与圆()2

222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率

的取值范围是（ ） A

．)

+∞

B ．[)2,+∞

C

．(

D ．(]1,2

3．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A ．()()2

2

211x y -+-= B ．()()22

211x y +++= C ．()()2

2

215x y -+-=

D ．()()2

2

215x y +++=

4．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

5．已知实数x ，y 满足约束条件22

11x y y x y kx +≥⎧⎪

-≤⎨⎪+≥⎩

，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）

A ．1

B ．

53

C ．2

D ．

73

6．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α

D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥

7．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数

A ．170

B ．10

C ．172

D ．12

8．已知f(x)=-1

x x e e a

+是定义在R 上的奇函数，则不等式f(x-3)

A ．(-2,6)

B ．(-6,2)

C ．(-4,3)

D ．(-3,4)

9．在ABC ∆中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+等于（ ）

A ．

12

B ．

23

C ．

16

D ．

13

10．已知3

1(2)(1)mx x

--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）

A ．2

B ．-2

C ．-3

D ．3

11．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ） A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．64种

12．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是3

y x =，则双曲线的离心率为（ ）

A 3

B ．

6 C 3D 23

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过F 作直线与C 相交于,P Q 两点，且Q 在第一象限，若2PF FQ =，则直线PQ 的斜率是_________． 14．已知3sin 45πα⎛⎫

+

= ⎪⎝

⎭，且344

ππα<<，则cos α=__________． 15．若函数2()1(x

f x mx e e =-+为自然对数的底数）在1x x =和2x x =两处取得极值，且212x x ≥，则

15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图在四边形ABCD 中，3BA

=

，2BC =，E 为AC 中点，13

BE =

.

（1）求AC ； （2）若3

D π

=

，求ACD ∆面积的最大值.

18．（12分） [选修4-5：不等式选讲]:已知函数()2f x x a x a =++-. （1）当1a =时，求不等式()42f x x ≥-+的解集； （2）设0a >，0b >，且()f x 的最小值为t .若33t b +=，求

12

a b

+的最小值. 19．（12分）随着改革开放的不断深入，祖国不断富强，人民的生活水平逐步提高，为了进一步改善民生，2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括①赡养老

人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用⋯

⋯等．其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下： 级数

一级

二级 三级 四级 ⋯

每月应纳税所得额（含税）

不超过3000

元的部分

超过3000元

至12000元的

部分

超过12000元

至25000元的

部分 超过25000元

至35000元的

部分 ⋯

税率(%)

3

10

20

25

⋯

（1）现有李某月收入29600元，膝下有一名子女，需要赡养老人，除此之外，无其它专项附加扣除．请问李某月应缴纳的个税金额为多少？

（2）为研究月薪为20000元的群体的纳税情况，现收集了某城市500名的公司白领的相关资料，通过整理资料可知，有一个孩子的有400人，没有孩子的有100人，有一个孩子的人中有300人需要赡养老人，没有孩子的人中有50人需要赡养老人，并且他们均不符合其它专项附加扣除（受统计的500人中，任何两人均不在一个家庭）．若他们的月收入均为20000元，依据样本估计总体的思想，试估计在新个税政策下这类人群缴纳个税金额X 的分布列与期望．