选修不等式证明
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第二节
不等式的证明
1．已知x 2
＋y 2
＝10，求3x ＋4y 的最大值． 解：∵(32
＋42
)(x 2
＋y 2
)≥(3x ＋4y )2
， 当且仅当3y ＝4x 时等号成立，
∴25×10≥(3x ＋4y )2
，∴(3x ＋4y )max ＝510.
2．已知a ，b ，c ∈R ＋，比较1a ＋1b ＋1c
与1ab ＋1bc ＋1
ac
的大小．
解：2⎛⎫ ⎪⎝⎭111＋＋a b c ＝⎛⎫ ⎪⎝⎭11＋a b ＋⎛⎫ ⎪⎝⎭11＋b c ＋⎛⎫ ⎪⎝⎭11＋c a ＋1≥2ab ＋2bc ＋2ca .
所以1a ＋1b ＋1c
≥1ab ＋1bc ＋1
ac
.
[练一练]
设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1
211－1，试比较M 与1的大小．
解：∵210
＋1>210,210
＋2>210
，…，211
－1>210
， ∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1
<
个
10101010
2111
＋…＋222
＝1. 即M <1.
考点一
比较法证明不等式
1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2
＋1，比较s 与t 的大小．
解：∵s －t ＝a ＋b 2
＋1－a －2b ＝b 2
－2b ＋1＝(b －1)2
≥0，∴s ≥t . 2．已知c >b >a ，求证：a 2
b ＋b 2
c ＋c 2
a b 2 ＋bc 2 ＋ca 2 . 证明：ab 2 ＋bc 2 ＋ca 2 －(a 2 b ＋b 2 c ＋c 2 a ) ＝a (b 2－c 2)＋b (c 2－a 2)＋c (a 2－b 2 ) ＝a (b 2－c 2)＋b (c 2－b 2＋b 2－a 2)＋c (a 2－b 2 ) ＝a (b 2 －c 2 )＋b (c 2 －b 2 )＋b (b 2 －a 2 )＋c (a 2 －b 2 ) ＝(c 2 －b 2 )(b －a )＋(b 2 －a 2 )(b －c ) ＝(b －a )·(c －b )[b ＋c －(b ＋a )] ＝(b －a )(c －b )(c －a )． ∵c >b >a ，∴b －a >0，c －b >0，c －a >0. ∴ab 2 ＋bc 2 ＋ca 2 >a 2 b ＋b 2 c ＋c 2 a . 即a 2 b ＋b 2 c ＋c 2 a b 2 ＋bc 2 ＋ca 2 . 3．求证：当a ，b ∈(0，＋∞)时，a a b b ≥(ab ) 2 a b ＋. 证明： 2 a b a b a b ab () ＋＝a 2 a b －b 2 b a －＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a b 2 a b －， 当a ＝b 时，⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫a b 2 a b －＝1. 当a >b >0时，a b >1， a －b 2 >0， 则⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a b 2 a b －>1. 当b >a >0时，0 b <1， a －b 2 <0， 则⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a b 2 a b －>1. 综上可知，当a ，b ∈(0，＋∞)时，a a b b ≥(ab ) a ＋b 2 成立 考点二 综合法与分析法 [典例] (1)已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a ＋b ＋c ≥9. (2)已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2 －ac <3a . [证明] (1)法一 1a ＋1 b ＋1 c ＝(a ＋b ＋c )111a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ＋＋≥3·3abc ·3·31abc ＝9(当且仅 当a ＝b ＝c ＝1 3 时等号成立)． 法二 1 a ＋1 b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭ ⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2 ＝9(当且仅当a ＝b ＝c ＝1 3 时等号成立．) (2)要证b 2 －ac <3a ，只需证b 2 －ac <3a 2 . ∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2 ＋a (a ＋b )<3a 2 ， 只需证2a 2 －ab －b 2 >0， 只需证(a －b )(2a ＋b )>0， 只需证(a －b )(a －c )>0. ∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0. ∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立． 在本例(1)的条件下 求证：(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2＋(c ＋1c )2≥100 3. 证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭ ⎪⎫c ＋1c 2 ＝13(12＋12＋12 )·222 111a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＋＋＋＋＋ ≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2 ＝13⎣ ⎢⎡⎦ ⎥⎤ 1＋a ＋b ＋c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2 ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋c a ＋a c 2 ≥13⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤1＋⎝ ⎛ ⎭⎪⎫3＋2 b a ·a b ＋2 c b ·b c ＋2 a c ·c a 2 ＝13×(1＋9)2 ＝1003 . 当且仅当a ＝b ＝c ＝1 3时，等号成立． [针对训练] 已知a >0，b >0,2c >a ＋b ，求证：c －c 2 －ab －ab . 证明：法一(分析法) 要证c －c 2 －ab －ab ， 即证－c 2