22谓词公式与解释讲解
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§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
• 符号体系：
1. 个体常元符号：a,b,c,……a1,a2,a3,…… 西华2. 个体变元:x,y,z,……,x1,x2,x3,……
大3. 学
4.
函数符号:f,g,h,……f1,f2,f3,…… 谓词符号:F,G,H,……
5. 量词符号:
6. 联结词: ∧∨ →
四、谓词公式的类型
西
设A是公式。如果A在任何的解释下都
华
大 是真的，则A是永真式；如果A在任何的
学 解释下都是假的，则A是永假式；如果A
在一些解释下为假，一些解释下为真，
则A是非永真的可满足式。
例如： x A(x) x A(x)是永真式； x A(x)∧x A(x）是永假式。
代换实例
西华设A0是含命题变元p1, p2, …, pn的命题逻辑公式，
则x (x ≥0) ∧x (3x=0) 假命题。
解释举例1
给定解释I如下：
西 华 大 学
x(F(x) ∧ G(x,2))
(F(2) ∧ G(2,2)) ∧ (F(3) ∧ G(3,2))
y L(2,y) ∧ y L(3,y)
0∧ 11
(L(2,2)∨L(2,3)) ∧(L(3,2) ∨ L(3,3)) ( 1 ∨0 ) ∧(0 ∨ 1) 1
可以看出,在谓词公式Biblioteka Baidu一个变元可能既是约束出现,同
时又有自由出现,则该变元既是自由变元又是约束变元,
西 本质上这两种出现,用的是一个符号,实质上是不同的
华 大 学
含义。为避免混淆,需要改名。改名要采用以下规则, 使谓词公式的含义不改变。
1、 换名规则：对约束变元进行换名。
将量词辖域内出现的某个约束变元及其相应量词中的指 导变元，可以换成一个其他变元，改变元不能与本辖 域内的其他变元同名，公式中的其他部分不改变。
解释举例2
例2：已知指定一个解释N如下： (1)个体域为自然数集合DN (2)指定常项a=0 (3)DN上的指定函数f(x,y)=x+y,g(x,y)=x*y (4)指定谓词F(x,y)为x=y 在以上指定的解释N下,说明下列公式的真值
(1)xF(g(x,a),x) 即x(x*0=x)该命题假的
• 项的定义
1. 个体变元、个体常元是项；
2. 若 f (x1, x2 ,, xn ) 是任意n元函数，t1,t2,…,tn 是项，
则 f (t1, t2 ,, tn ) 是项； 3. 有限次的应用1，2得到项。
一、合式公式的定义：
原子公式： f (x1, x2 ,, xn ) 为n元谓词符号，t1,t2,…,tn 是
对x (F(x,y)∧y G(x,y)) F(x,y) 改为： x (F(x,t)∧y G(x,y)) F(s,t) 或者为：t (F(t,y)∧y G(t,y)) F(x,y)
谓词公式的解释
西 谓词逻辑中的解释(赋值)
华
大 在命题逻辑对每个命题符号作个真值指定可以得一个
学
公式的一个指派,又称赋值,又称解释。如公式中共出 现n个不同的命题符号,则共有2n个解释,因而可以列 出公式的真值表。而谓词逻辑中公式的赋值解释是 怎样的呢？
项，则 f (t1, t2 ,, tn ) 是原子公式；
西 合式公式的归纳定义：
华 大
1、任意的原子公式是公式
学 2、若A是公式，则xA、xA是公式；
3、若A、B是公式，则 A、A∧ B、A∨B、A → B、A B是 公式；
有限次地应用前三条，得到公式。
判断下列符号串是否为合式公式： 1. x(P(x) ∧ Q(x)) 2. xy(P(x) Q(y)) 3. yx∧ P(x) 4. x f(x) → x(g(x,y) ∨f(x) )
例如公式：x F(x,a)∧x G(f(x),a)
三、谓词公式的赋值(解释)
一个解释由4部分组成：
（1） 非空个体域D；
西 华
（2）D中特定元素；
大 （3）D上特定函数； 学 （4）D上特定谓词。
公式x F(x,a)∧x G(f(x),a)
指定：D=实数集合；a=0；f(x):3x;F(x,y):x≥y； G(x,y):x=y。
否则应在所辖公式的两侧插入圆括号。
量词辖域举例
西 例如：x F(x)G(x,y)
华
大 学
解：x的辖域仅F(x),x是指导变元，变
元x第一次出现是约束出现，第二次出
现是自由出现，y的出现是自由出现。
所以第一个x是约束变元，第二个x是
自由变元，本质上这两个x的含义是不
同的；而y仅是自由变元。
换名规则
二、约束部分
在谓词公式中，形如xP(x)或xP(x)以及
xP(x，y)的部分中x称为指导变元，在辖
西 域中,x的所有出现称为约束变元（约束出
华 大
现）；y是自由变元（自由出现）。
学 量词的辖域
(x)P(x)或(x)P(x)中的公式P(x)，通
称为量词的辖域。换言之，量词的辖域是
邻接其后的公式，除非辖域是原子公式，
(2)xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)) 在解释N下此公式：xy(x+0=yy+0=x)此命题为真 (3)F(f(x,y),f(y,z))在解释N下该公式x+y=y+z 此时,x,y,z均为自由变元,解释不对自由变元进行指定。因而该 公式是命题函数,不是命题,真值不能确定。
2、 代替规则：对自由变元进行代入。
整个谓词公式中同一个字母的自由变元是指同一个个体 名词。因此可以用整个公式中没有的变元符号来代替， 且要求整个公式中该变元同时用同一个符号代替。
换名规则举例
西x F(x,y)∧x G(x,y) 华大改为：x F(x,y)∧u G(u,y) 学或者为： z F(z,y)∧x G(x,y)
解释的说明
(1) 一个谓词公式如果不含自由变元,则在一个解释下, 可以得到确定的真值,不同的解释下可能得到不同的 真值。
(2) 公式的解释并不对变元进行指定,如果公式中含有自 由变元,即使对公式进行了一个指派,也得不到确定的 真值,其仅是个命题函数,但约束变元不受此限制。
3）有公式的解释定义可以看出,公式的解释有许多的解 释,当D为无限集时,公式有无限多个解释,根本不可能 将其一一列出,因而谓词逻辑的公式不可能有真值表 可列。
• 符号体系：
1. 个体常元符号：a,b,c,……a1,a2,a3,…… 西华2. 个体变元:x,y,z,……,x1,x2,x3,……
大3. 学
4.
函数符号:f,g,h,……f1,f2,f3,…… 谓词符号:F,G,H,……
5. 量词符号:
6. 联结词: ∧∨ →
四、谓词公式的类型
西
设A是公式。如果A在任何的解释下都
华
大 是真的，则A是永真式；如果A在任何的
学 解释下都是假的，则A是永假式；如果A
在一些解释下为假，一些解释下为真，
则A是非永真的可满足式。
例如： x A(x) x A(x)是永真式； x A(x)∧x A(x）是永假式。
代换实例
西华设A0是含命题变元p1, p2, …, pn的命题逻辑公式，
则x (x ≥0) ∧x (3x=0) 假命题。
解释举例1
给定解释I如下：
西 华 大 学
x(F(x) ∧ G(x,2))
(F(2) ∧ G(2,2)) ∧ (F(3) ∧ G(3,2))
y L(2,y) ∧ y L(3,y)
0∧ 11
(L(2,2)∨L(2,3)) ∧(L(3,2) ∨ L(3,3)) ( 1 ∨0 ) ∧(0 ∨ 1) 1
可以看出,在谓词公式Biblioteka Baidu一个变元可能既是约束出现,同
时又有自由出现,则该变元既是自由变元又是约束变元,
西 本质上这两种出现,用的是一个符号,实质上是不同的
华 大 学
含义。为避免混淆,需要改名。改名要采用以下规则, 使谓词公式的含义不改变。
1、 换名规则：对约束变元进行换名。
将量词辖域内出现的某个约束变元及其相应量词中的指 导变元，可以换成一个其他变元，改变元不能与本辖 域内的其他变元同名，公式中的其他部分不改变。
解释举例2
例2：已知指定一个解释N如下： (1)个体域为自然数集合DN (2)指定常项a=0 (3)DN上的指定函数f(x,y)=x+y,g(x,y)=x*y (4)指定谓词F(x,y)为x=y 在以上指定的解释N下,说明下列公式的真值
(1)xF(g(x,a),x) 即x(x*0=x)该命题假的
• 项的定义
1. 个体变元、个体常元是项；
2. 若 f (x1, x2 ,, xn ) 是任意n元函数，t1,t2,…,tn 是项，
则 f (t1, t2 ,, tn ) 是项； 3. 有限次的应用1，2得到项。
一、合式公式的定义：
原子公式： f (x1, x2 ,, xn ) 为n元谓词符号，t1,t2,…,tn 是
对x (F(x,y)∧y G(x,y)) F(x,y) 改为： x (F(x,t)∧y G(x,y)) F(s,t) 或者为：t (F(t,y)∧y G(t,y)) F(x,y)
谓词公式的解释
西 谓词逻辑中的解释(赋值)
华
大 在命题逻辑对每个命题符号作个真值指定可以得一个
学
公式的一个指派,又称赋值,又称解释。如公式中共出 现n个不同的命题符号,则共有2n个解释,因而可以列 出公式的真值表。而谓词逻辑中公式的赋值解释是 怎样的呢？
项，则 f (t1, t2 ,, tn ) 是原子公式；
西 合式公式的归纳定义：
华 大
1、任意的原子公式是公式
学 2、若A是公式，则xA、xA是公式；
3、若A、B是公式，则 A、A∧ B、A∨B、A → B、A B是 公式；
有限次地应用前三条，得到公式。
判断下列符号串是否为合式公式： 1. x(P(x) ∧ Q(x)) 2. xy(P(x) Q(y)) 3. yx∧ P(x) 4. x f(x) → x(g(x,y) ∨f(x) )
例如公式：x F(x,a)∧x G(f(x),a)
三、谓词公式的赋值(解释)
一个解释由4部分组成：
（1） 非空个体域D；
西 华
（2）D中特定元素；
大 （3）D上特定函数； 学 （4）D上特定谓词。
公式x F(x,a)∧x G(f(x),a)
指定：D=实数集合；a=0；f(x):3x;F(x,y):x≥y； G(x,y):x=y。
否则应在所辖公式的两侧插入圆括号。
量词辖域举例
西 例如：x F(x)G(x,y)
华
大 学
解：x的辖域仅F(x),x是指导变元，变
元x第一次出现是约束出现，第二次出
现是自由出现，y的出现是自由出现。
所以第一个x是约束变元，第二个x是
自由变元，本质上这两个x的含义是不
同的；而y仅是自由变元。
换名规则
二、约束部分
在谓词公式中，形如xP(x)或xP(x)以及
xP(x，y)的部分中x称为指导变元，在辖
西 域中,x的所有出现称为约束变元（约束出
华 大
现）；y是自由变元（自由出现）。
学 量词的辖域
(x)P(x)或(x)P(x)中的公式P(x)，通
称为量词的辖域。换言之，量词的辖域是
邻接其后的公式，除非辖域是原子公式，
(2)xy(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)) 在解释N下此公式：xy(x+0=yy+0=x)此命题为真 (3)F(f(x,y),f(y,z))在解释N下该公式x+y=y+z 此时,x,y,z均为自由变元,解释不对自由变元进行指定。因而该 公式是命题函数,不是命题,真值不能确定。
2、 代替规则：对自由变元进行代入。
整个谓词公式中同一个字母的自由变元是指同一个个体 名词。因此可以用整个公式中没有的变元符号来代替， 且要求整个公式中该变元同时用同一个符号代替。
换名规则举例
西x F(x,y)∧x G(x,y) 华大改为：x F(x,y)∧u G(u,y) 学或者为： z F(z,y)∧x G(x,y)
解释的说明
(1) 一个谓词公式如果不含自由变元,则在一个解释下, 可以得到确定的真值,不同的解释下可能得到不同的 真值。
(2) 公式的解释并不对变元进行指定,如果公式中含有自 由变元,即使对公式进行了一个指派,也得不到确定的 真值,其仅是个命题函数,但约束变元不受此限制。
3）有公式的解释定义可以看出,公式的解释有许多的解 释,当D为无限集时,公式有无限多个解释,根本不可能 将其一一列出,因而谓词逻辑的公式不可能有真值表 可列。