度量空间中的开集与连续映射

定理：定义在度量空间的开子集上的函数,连续⇔开集的逆象是开集。

证明：
设X 、Y 是度量空间，A 是X 的开子集，设有映射:f A Y →。

(1)充分性:
设映射:f A Y →连续，需证开集的逆象是开集。

设S 是Y 的任一开子集，并设S 的逆象是()1R f S -=。

任取x R ∈，那么
()f x S ∈。

因为A 是开集，所以存在正数x σ使得(),x U x A σ⊆。

因为S 是开集，所以存在正数x ε使得()(),x U f x S ε⊆。

因为:f A Y →是连续映射，故存在正数
x τ使得()()()(),,x x f U x A U f x S τε⋂⊆⊆。

设{}min ,x x x δστ=,那么()(),,x x U x U x A δσ⊆⊆且()(),,x x U x U x δτ⊆，所以()()()()()()()(),,,,x x x x f U x f U x A f U x A U f x S δδτε=⋂⊆⋂⊆⊆，那么
(),x U x R δ⊆。

所以S 的逆象()1R f S -=是开集。

(2)必要性:
设开集的逆象是开集，需证映射:f A Y →连续。

任取x A ∈。

任取正数x ε，设()(),x S U f x ε=，显然S 是Y 的开子集。

设S 的逆象是()1R f S -=，那么R 是开集，所以存在正数x δ使得(),x U x R δ⊆ 。

因为
()1R f S -= ，所以 ()()(),x f R S U f x ε⊆= 。

又因为(),x U x R δ⊆，所以()()()()(),,x x f U x f R S U f x δε⊆⊆= 。

所以映射:f A Y →连续。

附录：
1.利用以上定理可得到判定集合开闭的一种方法。

主要针对x:f(x)＜c 和x:f(x)≦c 这类。

其中f 是连续的。

2.象与逆象的概念：
设X 、Y 是非空集合，:f X Y →是X 到Y 的映射。

R 是X 的子集，S 是Y 的子集。

(1)集合R 的“象”是指集合(){}
,y y f x x R =∈，也就是R 的所有元的函数值的集合，记作()(){}
,f R y y f x x R ==∈。

(2)集合S 的“逆象”是指集合(){}
,x f x S x X ∈∈，也就是函数值包含在S 中的所有自变量的集合，记作()(){}
1,f S x f x S x X -=∈∈。