三自由系统的动力学分析
三自由度圆柱坐标型工业机器人设计
三自由度圆柱坐标型工业机器人设计引言工业机器人在现代制造业中起着至关重要的作用。
圆柱坐标型工业机器人是一种具有三个自由度的机器人，它可以在三维空间内进行精确的定位和操作。
本文将着重讨论三自由度圆柱坐标型工业机器人的设计原理和关键技术。
一、设计原理三自由度圆柱坐标型工业机器人的设计原理基于坐标变换。
它由一个立柱状的垂直轴和一个平行于地面的基座组成。
机器人的主要部件包括立柱、支撑臂、关节和末端执行器。
机器人的立柱可以在垂直方向上运动，提供Z轴位移。
支撑臂位于立柱的顶部，可以绕水平方向的Y轴旋转，提供Y轴位移。
末端执行器连接在支撑臂的末端，可以绕垂直方向的Z轴旋转，提供X轴位移。
二、关键技术1.位置传感器：为了实现精确的定位和操作，对机器人的运动进行准确的测量是必不可少的。
位置传感器可以用来测量机器人各个关节的角度以及末端执行器的位置信息。
2.逆运动学：逆运动学是指通过末端执行器的位置和姿态计算出机器人各个关节的角度。
通过逆运动学算法，可以实现机器人在三维空间内的精确定位。
3.控制系统：控制系统是三自由度圆柱坐标型工业机器人的核心。
它接收来自传感器的反馈信息，计算机器人的位姿，并输出相应的指令控制机器人的运动。
控制系统需要具备实时性和稳定性，以确保机器人的运动精度和安全性。
4.动力学分析：动力学分析可以帮助我们理解机器人在运动过程中的力学特性。
通过动力学分析，可以确定机器人在给定任务下所需的扭矩和力，并进行相应的力矩配平和选型。
三、设计步骤1.确定任务需求：在开始机器人设计之前，首先需要明确机器人所要完成的任务和工作环境。
2.选择结构参数：根据任务需求和工作环境，选择机器人的结构参数，包括立柱高度、支撑臂长度和末端执行器负载能力等。
3.逆运动学分析：根据机器人的结构参数和任务需求，进行逆运动学分析，得到机器人各个关节的角度和末端执行器的位姿。
4.控制系统设计：设计机器人的控制系统，选择合适的控制算法和硬件设备，实现机器人的运动控制和姿态调整。
三自由度动力学模型
三自由度动力学模型1. 动力学模型概述动力学是研究物体运动的原因和规律的学科，而三自由度动力学模型则是一种描述物体在三个自由度上运动的数学模型。
在机器人控制、航天器姿态控制等领域中，三自由度动力学模型被广泛应用。
三自由度动力学模型通常用于描述物体在空间中的姿态变化和运动轨迹。
其中，自由度指的是物体可以沿着某个轴线或平面进行移动的数量。
对于一个具有三个自由度的系统，需要考虑它们之间的相互作用、受力情况以及运动规律等因素。
2. 动力学方程推导为了建立三自由度动力学模型，我们需要推导出系统的运动方程。
这一过程可以通过拉格朗日方法来完成。
首先，我们需要定义系统的广义坐标和广义速度。
广义坐标用来描述系统中每个独立变量所对应的位置或角度，而广义速度则表示这些变量随时间变化的速率。
接下来，我们利用拉格朗日函数来描述系统的能量，并通过最小作用量原理得到系统的拉格朗日方程。
拉格朗日方程可以写作：d dt (∂L∂q i)−∂L∂q i=Q i其中，L是系统的拉格朗日函数，q i是广义坐标，q i是广义速度，Q i是外部施加在系统上的力。
将拉格朗日方程应用到三自由度动力学模型中，我们可以得到三个关于时间变化的方程。
这些方程描述了系统在每个自由度上的运动规律。
3. 动力学模型求解一旦我们建立了三自由度动力学模型并得到了运动方程，就可以通过求解这些方程来获得系统的运动行为。
通常情况下，我们会将运动方程转化为矩阵形式，并使用数值计算方法进行求解。
其中，矩阵形式的运动方程可以写作：M(q)q̈+C(q,q̇)q̇+G(q)=τ其中，M(q)是质量矩阵，描述了物体在每个自由度上的质量分布情况；C(q,q̇)是科里奥利矩阵，表示惯性力和科里奥利力的影响；G(q)是重力矩阵，描述了物体受到的重力作用；τ是外部施加的控制力。
通过求解上述方程，我们可以得到系统在每个自由度上的加速度q̈，从而推导出物体的姿态变化和运动轨迹。
4. 动力学模型应用三自由度动力学模型在机器人控制、航天器姿态控制等领域中有着广泛的应用。
多自由度振动系统的动力学模型构建
多自由度振动系统的动力学模型构建引言：多自由度振动系统是指由多个自由度的质点组成的系统，在这样的系统中，每个自由度都可以独立地进行运动。
动力学模型的构建是研究和理解振动系统行为的基础。
本文将介绍多自由度振动系统动力学模型的构建方法及应用。
一、质点模型多自由度振动系统的最基本组成单位是质点。
质点的运动可以用坐标形式以及质点的质量、刚性等参数来描述。
对于一个有n个自由度的振动系统，可以通过将每个自由度的质点模型相连接构成整个系统。
二、约束关系与广义坐标在多自由度振动系统中，质点之间相互约束，其运动不再是自由的，而是受到约束的影响。
为了描述约束关系，引入广义坐标来表示系统各个自由度的相对运动。
广义坐标是将实际坐标通过约束条件变换得到的坐标表示。
三、拉格朗日方程与振动方程拉格朗日方程是多自由度振动系统的基本动力学方程。
通过对系统的动能和势能进行推导和求导，可以得到描述系统运动的拉格朗日方程。
对于振动系统而言，通过求解拉格朗日方程，可以得到系统的振动方程，进一步描述系统的运动行为。
四、模态分析与特征频率模态分析是研究振动系统固有特性的方法。
对于多自由度振动系统，可以通过模态分析得到系统的固有模态和特征频率。
固有模态是指系统在自由振动时，各个自由度的振动模式。
特征频率是指系统在不同固有模态下的振动频率。
五、系统的耦合与动态响应多自由度振动系统中的各个质点之间存在耦合关系，一个自由度的振动会对其他自由度的振动产生影响。
通过研究系统的耦合关系，可以得到系统的动态响应。
动态响应是指系统对外界激励的响应行为，可以通过求解振动方程得到。
六、应用案例：建筑结构振动多自由度振动系统的应用广泛，尤其在建筑结构的振动研究中起到了重要作用。
通过对建筑结构的多自由度振动系统进行建模和分析，可以评估结构的稳定性、抗震性能等。
振动模型的构建和分析可以提供设计和改进建筑结构的依据。
结论：多自由度振动系统的动力学模型构建是研究振动系统行为的关键步骤。
《动量定理》教案
《动量定理》教案第一章：动量定理概述1.1 动量的概念介绍动量的定义：动量是物体运动的物理量，用p表示，等于物体的质量m与速度v的乘积，即p=mv。
解释动量的矢量性质：动量既有大小，又有方向，遵循平行四边形法则。
1.2 动量定理的表述阐述动量定理的内容：物体的动量变化等于作用在物体上的力与作用时间的乘积，即Δp=FΔt。
解释动量定理的意义：动量定理揭示了力与物体动量变化之间的关系，是力学中的基本定律之一。
第二章：动量定理的应用2.1 动量定理在碰撞问题中的应用介绍碰撞问题的基本概念：碰撞是两个物体相互作用的过程，碰撞过程中动量守恒。
分析碰撞问题中动量定理的应用：根据动量定理，碰撞前后物体的动量变化等于作用在物体上的力与作用时间的乘积，可以用来求解碰撞问题。
2.2 动量定理在爆炸问题中的应用介绍爆炸问题的基本概念：爆炸是物体内部能量迅速释放的过程，爆炸过程中动量守恒。
分析爆炸问题中动量定理的应用：根据动量定理，爆炸前后物体的动量变化等于作用在物体上的力与作用时间的乘积，可以用来求解爆炸问题。
第三章：动量定理的实验验证3.1 动量定理实验原理介绍动量定理实验的原理：通过实验测量物体的质量、速度和作用力，验证动量定理的正确性。
3.2 动量定理实验步骤详细描述动量定理实验的步骤：包括实验设备的准备、实验操作过程和数据测量方法。
3.3 动量定理实验结果与分析分析实验结果：根据实验测量数据，计算物体的动量变化和作用力与作用时间的乘积，比较两者是否相等。
总结实验结论：验证动量定理的正确性，说明动量定理在实际应用中的可靠性。
第四章：动量定理在实际问题中的应用4.1 动量定理在交通安全中的应用介绍交通安全中动量定理的应用：通过分析车辆碰撞过程中的动量变化，评估事故的严重程度，为交通安全提供科学依据。
4.2 动量定理在体育竞技中的应用介绍体育竞技中动量定理的应用：通过分析运动员动作过程中的动量变化，优化竞技策略，提高竞技水平。
动力学问题解析方法总结
动力学问题解析方法总结动力学是研究物体在力的作用下随时间变化的规律的学科，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
在解决动力学问题时，我们需要运用一系列的方法和技巧来分析和求解。
本文将针对动力学问题解析方法做一个总结，介绍常用的方法和技巧，以及其适用范围和应用实例。
一、拉格朗日方程拉格朗日方程是解析力学中的重要方法，适用于描述质点、刚体和多体系统的运动。
通过将系统的动能和势能表示为广义坐标的函数，在广义坐标下建立拉格朗日函数，然后通过对拉格朗日函数进行变分，得到系统的拉格朗日方程。
拉格朗日方程能够简化复杂的多自由度系统的动力学问题，使得求解更加便捷。
例如，一个常见的应用是求解一个弹簧振子的运动方程。
通过将系统的动能和势能表示为弹簧伸长量的函数，建立拉格朗日函数，然后利用拉格朗日方程求解出振子的运动方程。
这个方法可以推广到更复杂的系统，如双摆、陀螺等。
二、哈密顿方程哈密顿方程是解析力学中与拉格朗日方程相对应的一种方法。
通过将拉格朗日函数转换成哈密顿函数，建立哈密顿方程，可以得到对应于拉格朗日方程的广义动量和广义坐标的演化方程。
哈密顿方程在一些特定问题的求解中更为有效，特别是在涉及到正则变换和守恒量的问题中。
例如，对于一个自由粒子在势场中运动的问题，通过将拉格朗日函数转换成哈密顿函数，然后利用哈密顿方程求解出粒子的运动方程。
这个方法具有一定的普适性，适用于多体系统的动力学问题求解。
三、牛顿第二定律牛顿第二定律是经典力学中最基本的定律之一，描述了质点受力后的运动规律。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用于物体的合力成正比，与物体的质量成反比。
通过建立物体的运动方程，可以求解物体在给定力下的运动轨迹和运动状态。
例如，对于一个斜抛运动的问题，我们可以根据牛顿第二定律建立物体在水平和竖直方向上的运动方程，然后通过求解这个方程组，得到物体的运动轨迹和飞行时间等信息。
牛顿第二定律适用于描述质点的运动，是解决实际问题常用的方法。
车辆 三自由度 状态估计 matlab
【车辆状态估计中的三自由度模型】在车辆状态估计中，三自由度模型是一个重要的概念。
本文将围绕车辆状态估计中的三自由度模型展开讨论，以帮助读者更好地理解和掌握这一主题。
1. 什么是三自由度模型？三自由度模型是描述车辆在运动过程中的姿态和状态的简化模型。
它将车辆的运动分解为三个自由度，分别是横摆、纵向加速度和侧向加速度。
通过对这三个自由度的建模和估计，可以有效地推断车辆的姿态和状态，为车辆控制和导航提供重要的信息。
2. 在状态估计中的作用三自由度模型在车辆状态估计中扮演着至关重要的角色。
通过对横摆、纵向加速度和侧向加速度的估计，可以实时地监测和预测车辆的姿态变化，为车辆的稳定性控制提供重要数据支持。
三自由度模型还可以用于估计车辆的位置和速度，对车辆导航和路径规划起到关键作用。
深入理解和应用三自由度模型对于提高车辆状态估计的准确性和可靠性至关重要。
3. 在MATLAB中的实践应用MATLAB作为一种功能强大的计算工具，在车辆状态估计中有着广泛的应用。
通过利用MATLAB的仿真和建模功能，可以对车辆的三自由度模型进行详细的分析和模拟。
MATLAB还提供了丰富的工具包和函数库，可以帮助工程师们快速地实现对车辆状态估计的算法设计和验证。
熟练掌握MATLAB在车辆状态估计中的应用，对于理解和应用三自由度模型具有重要意义。
4. 个人观点和总结在我看来，三自由度模型在车辆状态估计中扮演着不可替代的角色。
通过对车辆运动的三个关键自由度进行建模和估计，可以为车辆的控制、导航和路径规划提供重要的信息支持。
我也意识到在实际应用中，对三自由度模型的深入理解和准确建模是非常具有挑战性的。
我将继续深入学习和实践，以期更好地掌握和运用三自由度模型在车辆状态估计中的关键技术。
三自由度模型是车辆状态估计中的重要概念，它对于车辆的姿态和状态推断具有重要作用。
通过在MATLAB中的实践应用和个人观点的共享，我希望读者能够对三自由度模型有一个更加全面、深入和灵活的理解。
三自由度并联机器人的研究与开发中期报告
三自由度并联机器人的研究与开发中期报告一、研究背景随着自动化技术的发展，机器人在工业制造、医疗、服务等各个领域的应用越来越广泛。
其中，多自由度机器人在精密加工、高精度测量等领域具有广泛的应用前景。
而多自由度机器人的设计和控制具有较高的复杂性和技术难度，同时工作空间受到限制，因此单一多自由度机器人在某些应用场景存在一定的局限性。
为了克服这些局限性，三自由度并联机器人应运而生。
整个机器人由三个平面运动的自由度组成，并且具有较大的工作空间、高精度、高刚性等优点。
因此，本文研究了三自由度并联机器人的设计和控制问题，并探索了其在医疗、服务等领域的应用前景。
二、研究内容1. 机构设计在机构设计方面，本文设计了一个三自由度平面并联机器人。
整个机器人由一个固定平台、一个移动平台和三个连接杆组成。
连接杆采用了撑杆结构，具有较好的刚性和重量比。
同时，为了增加机器人的使用寿命和易制造性，连接杆采用了可制造的标准结构。
2. 运动学分析在运动学分析方面，本文首先推导了机器人的雅可比矩阵，得到了机器人的正逆运动学方程。
然后，我们采用matlab进行运动学仿真，得到了机器人的运动轨迹和工作空间图像。
3. 动力学建模在动力学建模方面，本文采用拉格朗日方法建立了机器人的动力学模型，并通过matlab进行仿真。
通过仿真结果，我们发现机器人的动态特性具有一定的耦合性和非线性特性。
4. 控制算法设计在控制算法方面，我们采用了基于PID控制器和反馈线性化控制器的混合控制算法。
针对机器人的动态耦合性和非线性特性，我们采用了反馈线性化控制器进行控制。
同时，为了提高系统的控制精度和鲁棒性，我们采用了PID控制器进行补偿。
三、预期成果1. 完成三自由度并联机器人的机构设计，并实现机器人的制造。
2. 掌握三自由度并联机器人的运动学原理，并可进行运动学分析。
3. 掌握三自由度并联机器人动力学建模的方法。
4. 开发基于PID和反馈线性化控制的混合控制算法，提高机器人的控制精度和鲁棒性。
结构动力学习题答案
结构动力学习题答案在结构动力学中，习题答案通常涉及对结构在动态载荷下的行为进行分析和计算。
这些习题可能包括自由振动分析、受迫振动分析、随机振动分析、模态分析、响应谱分析等。
以下是一些典型的结构动力学习题答案示例。
习题一：单自由度系统的自由振动问题：一个单自由度系统具有质量m=2kg，阻尼系数c=0.5N·s/m，弹簧刚度k=800N/m。
初始条件为位移x(0)=0.1m，速度v(0)=0。
求该系统自由振动的位移时间历程。
答案：首先，确定系统的自然频率ωn：\[ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{800}{2}}\text{ rad/s} \]然后，计算阻尼比ζ：\[ \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}} = \frac{0.5}{2\sqrt{2 \cdot 800}} \]由于ζ < 1，系统将进行衰减振动。
可以使用以下公式计算位移时间历程：\[ x(t) = A e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t + \phi) \] 其中，\( \omega_d = \sqrt{\omega_n^2 - \zeta^2 \omega_n^2} \) 是阻尼频率，A是振幅，\( \phi \)是相位角。
初始条件给出x(0)=0.1m，v(0)=0，可以解出A和\( \phi \)。
最终位移时间历程的表达式为：\[ x(t) = 0.1 e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t) \]习题二：单自由度系统的受迫振动问题：考虑上述单自由度系统，现在施加一个简谐力F(t)=F_0sin(ωt)，其中F_0=100N，ω=10 ra d/s。
求系统的稳态响应。
答案：稳态响应可以通过傅里叶级数或直接应用受迫振动的公式来求解。
对于简谐力，系统的稳态响应为：\[ x_{ss}(t) = \frac{F_0}{k - m\omega^2} \sin(\omega t + \phi) \]其中，\( \phi \) 是相位差，可以通过以下公式计算：\[ \phi = \arctan\left(\frac{2\zeta\omega}{\omega_n^2 -\omega^2}\right) \]习题三：多自由度系统的模态分析问题：考虑一个二自由度系统，其质量矩阵M和刚度矩阵K如下：\[ M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix},\quad K = \begin{bmatrix} k_1 & -k_c \\ -k_c & k_2\end{bmatrix} \]其中，\( m_1 = 2kg \)，\( m_2 = 1kg \)，\( k_1 = 800N/m \)，\( k_2 = 1600N/m \)，\( k_c = 200N/m \)。
毕业设计(论文)-空间3-rps并联机构的运动分析与仿真[管理资料]
![毕业设计(论文)-空间3-rps并联机构的运动分析与仿真[管理资料]](https://img.taocdn.com/s3/m/3ad4a49648d7c1c709a145a5.png)
毕业设计（论文）题目：空间3-RPS并联机构的运动分析与仿真题目类型：论文型学院：机电工程学院专业：机械工程及自动化年级：级学号：学生姓名：指导教师：日期： 2010-6-11摘要3-PRS并联机构是空间三自由度机构，该机构具有支链数目少、结构对称、驱动器易于布置、承载能力大、易于实现动平台大姿态角运动等特点，目前已在工程中得到成功应用。
本文基于空间机构学理论，对3-RPS并联机构进行了相关的运动学分析。
在对机构结构分析的基础上，对机构的输出位姿参数进行了解耦分析，得到了机构输出参数间的解耦关系式；用解析法推导了机构的位置反解方程；用数值法实现了机构的位置正解；依据驱动副行程、铰链转角、连杆尺寸干涉等限制因素确立约束条件，利用极限边界搜索算法搜索了3-PRS并联机构的工作空间，分析了该机构工作空间的特点，并进行了工作空间体积计算。
最后基于ADAMS软件平台，建立了3-RPS并联机构的三维实体简化模型，对3-RPS并联机构的运动进行了仿真。
本文的研究为3-RPS并联机构的结构设计与应用提供了参考。
关键词：3-PRS并联机构；位置正解；位置反解；工作空间；运动仿真ABSTRACT3-PRS parallel mechanism is a three degrees of freedom of space agencies, the agency has a small number of branched-chain, structural symmetry, the drive is easy layout, carrying capacity, easy to implement a large moving platform attitude angle motion and other characteristics, has been successfully applied in engineering . Based on the theory of space agencies, on the 3-RPS parallel mechanism was related to kinematics analysis. In the analysis of the structure, based on the position and orientation of the body of the output parameters of the decoupling analysis, the decoupling of the output parameters of the relationship; analytic method derived by inverse position equations institutions; achieved by numerical methods body forward position; based driver Vice trip, hinge angle, rod size interference and other constraints set constraints, using the limit boundary search algorithm for searching for the 3-PRS parallel mechanism of the working space, analysis of the sector space characteristics, and a working space of volume. Finally, based on ADAMS software platform, the establishment of the 3-RPS parallel mechanism of three-dimensional solid simplified model of 3-RPS parallel mechanism of the movement is simulated. This study for the 3-RPS parallel mechanism structure provides a reference design and application.Key word: 3-PRS parallel mechanism; forward position;inverse position;workspace ;motion simulation.目录摘要IIABSTRACT III前言VII第1章绪论1课题研究的意义 1并联机构简介 2并联机构的国内外发展现状 3少自由度机构介绍 6少自由度的研究意义 6少自由度并联机构的研究现状 (6)本文主要研究内容7第2章并联机构的组成原理及运动学分析 (9)引言9并联机构自由度分析9并联机构的组成原理10并联机构的研究内容11运动学分析11工作空间分析12本章小结13第3章3-PRS并联机构位置分析14引言14空间3-RPS并联机构14机构组成143-RPS并联平台机构的位姿描述 (15)3-RPS并联平台机构位姿解耦 (19)3-RPS并联平台机构的位姿反解203-RPS并联平台机构的位置正解23本章小结：25第4章3-RPS并联机构的工作空间分析 (26)引言263-RPS并联平台机构的工作空间分析 (26)机构的运动学约束263-RPS并联机构工作空间边界的确定 (28)工作空间分析算例29工作空间体积的计算方法29本章小结30第5章3-RPS并联机构的仿真与应用 313-RPS并联机构的的三维建模31ADAMS软件介绍313-RPS并联机构的建模313-RPS并联机构的运动仿真323-RPS并联机构的应用34本章小结37总结与体会38谢辞39参考文献40前言机构的发明与发展同人类的生产、生活息息相关，它促进着生产力的发展、生产工具的改进和人类生活水平的不断提高。
车辆三自由度_质心侧偏角估计_概述说明
车辆三自由度质心侧偏角估计概述说明1. 引言1.1 概述车辆质心侧偏角估计是汽车动力学和控制领域的一个重要研究方向，主要用于对车辆侧向运动进行建模和预测。
车辆的侧向运动是指在转弯或变道过程中，车辆质心相对于车身纵向轴线的偏移角度，也称为质心横摆角度或侧滑角度。
准确估计质心侧偏角可以帮助驾驶员更好地掌握车辆操控性能，并提供必要的安全保障。
本文将系统地介绍车辆三自由度及其特点，并详细探讨了基于传感器数据、基于车辆动力学模型以及基于滤波算法的质心侧偏角估计方法。
同时，本文还将分析实际应用场景下的挑战、质心侧偏角在车辆控制和安全方面的应用，并展望未来发展趋势和研究方向。
1.2 文章结构本文共分为五个主要章节。
首先，在引言部分我们将概述文章内容，并明确文章结构。
接下来，在第二章中，我们将详细介绍车辆三自由度的概念、意义以及相关特点。
第三章将重点介绍质心侧偏角估计的方法，包括基于传感器数据、车辆动力学模型以及滤波算法的方法。
在第四章中，我们将讨论质心侧偏角估计在实际应用场景下面临的挑战，并探讨其在车辆控制和安全方面的应用。
最后，在结论部分，我们将总结主要观点与结论，并提出对全文核心观点的进一步分析。
1.3 目的本文旨在系统地介绍车辆质心侧偏角估计相关知识，并探讨不同方法在实际应用中的优劣以及可能遇到的挑战。
通过对这一研究领域进行详细分析和总结，旨在促进相关领域研究者深入理解并推动质心侧偏角估计技术的发展和应用，为未来车辆动力学与控制领域提供参考。
2. 车辆三自由度概述：2.1 车辆运动的自由度车辆在运动过程中，通常涉及到三个主要的自由度。
这些自由度包括纵向、横向和垂向运动。
纵向运动指的是车辆前后方向上的加速和减速运动，也称为加速度或制动；横向运动指的是车辆左右方向上的转弯行驶；而垂向运动则是车辆上下方向上的运动，例如通过减震器来控制车辆在不平路面上的行驶稳定性。
2.2 三自由度模型的意义车辆三自由度模型是描述车辆运动行为最基本且常用的模型之一。
三自由度弹道方程
三自由度弹道方程
三自由度弹道方程是描述弹道运动的数学模型，通常用于分析导弹、火箭等飞行器的运动规律。
在弹道学中，我们常常需要考虑弹道飞行器在三维空间中的运动情况，因此引入了三自由度弹道方程。
三自由度弹道方程包括了弹道飞行器在三个方向上的运动状态，分别是水平方向、垂直方向和飞行器自身绕飞行方向的旋转运动。
这三个方向分别对应了三个自由度，通过这些自由度我们可以完整地描述弹道飞行器的运动状态。
在三自由度弹道方程中，我们通常考虑的力学因素包括重力、空气阻力、升力等。
这些因素会影响飞行器的运动轨迹和速度，因此我们需要将它们纳入方程中进行分析。
三自由度弹道方程的推导通常需要考虑飞行器的动力学模型和运动方程。
通过运用牛顿力学和动力学原理，我们可以建立弹道飞行器的运动方程，并通过数值计算方法求解这些方程，得到飞行器的运动轨迹和速度。
三自由度弹道方程在军事、航天等领域具有重要的应用价值，可以帮助我们设计飞行器的飞行轨迹、提高射程和精度，对于导弹、火箭等飞行器的设计和运动控制具有重要意义。
总的来说，三自由度弹道方程是描述弹道飞行器运动的重要数学模型，通过这些方程我们可以深入理解飞行器的运动规律，为飞行器的设计和运动控制提供重要的理论支持。
自由度机械系统动力学
1. 解析法
d
t t0 Je 0 Me()
（3.4.6）
若
Me()ab
则
再求出其 反函数
t
t0
Je b
ln ab ab0
f (t)
（3.4.7）
若
d
tt0Je 0abc2
演讲完毕，感谢观 看
（3.4.8）
一、等效力和等效力矩 二、等效质量和等效转动惯量
等效力学模型
等效原则： 等效构件具有的动能＝各构件动能之和
M e
n j 1
m
j
vSj v
2
J
j
j
v
2
J e
n j 1
m
j
vSj
2
J
j
j
2
（3.3.3）
等效质量和等效转动惯量与传动比有关， 而与机械驱动构件的真实速度无关
2W()
Je()
（3.4.3）
若
是以表达式
给出，且为可积函数时，
（3.4.3）可得到解析解。
但是
常常是以线
图或表格形式给出，则只
能用数值积分法来求解。
常用的数值积分法有梯形
法和辛普生法。
运动方程式的求解方法
一、等效力矩是位置的函数时运动方程的求解
二、等效转动惯量是常数、等效力矩是角速度的函数时运动方程
单自由度机械系统可以采用等效力学模型来进行研究，即系统的动力学问题转化为一个等效构件的动力学问题来研究，可以 使问题得到简化。
当取作定轴转动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力矩，系统的全部 质量和转动惯量折算到该构件上得到等效转动惯量。
当取作直线运动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力，系统的全部质 量和转动惯量折算到该构件上得到等效质量。
三自由度动力学模型
三自由度动力学模型简介三自由度动力学模型是一种用于描述物体在三维空间中运动的模型。
它可以用来研究机器人、飞行器、汽车等复杂系统的运动行为和控制策略。
本文将介绍三自由度动力学模型的基本概念、数学表示和应用领域。
一、基本概念1. 动力学动力学是研究物体运动及其原因的学科。
在三自由度动力学模型中，我们主要关注物体的运动规律和所受的力和力矩。
2. 自由度自由度是指描述物体运动所需独立参数的数量。
在三自由度动力学模型中，物体可以绕三个轴进行旋转，因此具有三个自由度。
3. 动力学模型动力学模型是用来描述物体运动的数学模型。
它通过建立物体的运动方程来预测物体的运动状态和受力情况。
二、数学表示1. 位移和速度在三自由度动力学模型中，我们通常使用欧拉角来描述物体的姿态。
欧拉角包括俯仰角、偏航角和滚转角，分别表示绕x轴、y轴和z轴的旋转角度。
物体的位移可以用三个欧拉角表示。
物体的速度可以通过对位移关于时间的导数来得到。
例如，物体在x轴上的速度可以表示为dx/dt。
2. 加速度和力矩物体的加速度可以通过对速度关于时间的导数来得到。
例如，物体在x轴上的加速度可以表示为d²x/dt²。
物体受到的力可以通过牛顿第二定律来描述。
力矩可以通过对力关于时间的导数来得到。
例如，物体绕x轴的力矩可以表示为dLx/dt，其中Lx是绕x轴的力矩。
3. 动力学方程动力学方程是描述物体运动行为的方程。
在三自由度动力学模型中，动力学方程可以表示为：M * a = F其中，M是质量矩阵，a是加速度向量，F是力和力矩向量。
三、应用领域三自由度动力学模型在许多领域都有广泛的应用，下面以机器人和飞行器为例进行介绍。
1. 机器人三自由度动力学模型可以用于研究机器人的运动和控制。
通过建立机器人的动力学模型，可以预测机器人在不同工作状态下的运动行为，并设计相应的控制策略。
2. 飞行器三自由度动力学模型可以用于研究飞行器的姿态控制和稳定性分析。
三自由度平台
三自由度平台
三自由度平台是一种机械系统，具有三个独立的自由度，即可以在三个方向上进行运动。
它通常由三个旋转关节或转动轴组成，每个关节或轴可以使平台在一个方向上旋转或转动。
通过控制这些关节或轴的运动，可以实现平台在三个方向上的运动和定位。
三自由度平台广泛应用于机器人、模拟器、虚拟现实等领域。
在机器人领域，它可以用作机器人的底座或平台，用于控制机器人的运动和姿态。
在模拟器和虚拟现实领域，它可以用于模拟运动的平台，使用户能够在虚拟环境中感受到真实的运动和体验。
三自由度平台的动力学和控制是研究的重点之一。
通过分析平台的几何结构和运动学关系，可以建立平台的动力学模型。
然后，根据需要的运动和控制要求，设计合适的控制算法和策略，实现平台的运动和定位控制。
总而言之，三自由度平台是一种具有三个独立自由度的机械系统，通过控制其旋转关节或转动轴的运动，可以实现平台在三个方向上的运动和定位。
它在机器人、模拟器和虚拟现实等领域有广泛的应用。
多自由度系统的振动、响应和求解
D k vD
B Q2
A Q1
k vA
位移图
受力图
图(b) v21, v1v30时板的位移和受力图
（2）求刚度矩阵第二列 参见图 b，可得板的力平衡方程：
Q3 kvA kvD 0 Q1L (kvA kvD) L 0 Q1 Q2 kvE 0
；其中
k
12EI L3
解得 Q 1 2 k , Q 2 3 k , Q 3 0
微振动时， i ,
&
i
为小量，将以上能量保留到二阶小量，得
（注意：为了得到线性振动方程，能量表达式必须保留 到二阶微量）
T 12ml2[3&12 2&22 &32 4&1&2 2&2&3 2&3&1]
3
12ml2{&1,&2,&3}2
1
2 2 1
11&&12 1&3
V
1 2
mgl
(312
222
简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为
P
f Pb(xl2x2b2), 0xa 6EIl
x
a
b
l
f Pb[l(xa)3(l2b2)xx3], axl
6EIlb
例4.1 写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果 将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质
量矩阵，设梁单位长度的质量为 l。
；其中
k
12EI L3
Q1 Q2
2 2
(kvA
kvD
)
0
解得 Q 1 4 k , Q 2 2 k , Q 3 0
因此，刚度矩阵第一列为
三自由度并联分拣机器人的动力学建模与仿真
包 装 工 程第45卷 第3期 ·218·PACKAGING ENGINEERING 2024年2月收稿日期：2023-03-27基金项目：国家青年科学基金（E51505124）；河北省自然科学基金（E2017209252）；河北省高等学校科学技术研究重点项目（ZD2020151）；唐山市机器人机构学理论基础创新团队项目（21130208D ）；唐山市基础研究项目（23130201E ）；华北理工大学重点科研项目（ZD-YG-202306-23）；华北理工大学专业学位综合改革项目（ZD18010223-03）三自由度并联分拣机器人的动力学建模与仿真崔冰艳，桂小庚，曾鸿泰，李贺（华北理工大学 机械工程学院，河北 唐山 063000）摘要：目的 针对自动化生产线上分拣机器人的动力可控性问题，提出一种2UU-UPU 三自由度并联分拣机器人，以提高分拣的精度可控性。
方法 分析该机器人的机构自由度，以及各参数之间的关系，基于闭环矢量法建立并联机构的运动学逆解模型；利用拉格朗日动力学方程推导该机器人的动力学表达式，并进行数值计算，采用Matlab Simulink 和Adams 进行动力学联合仿真，对理论值和仿真值进行误差分析。
结果 揭示了该机器人动平台的运动规律，得到了驱动力矩曲线，理论值与仿真值的误差较小，3个驱动力矩的最大误差分别为0.379%、0.283%、0.146%。
结论 通过验证可知，该机构具有较好的动力学特性，这为后续电机的选型和精准控制奠定了基础。
关键词：2UU-UPU 并联机构；分拣机器人；动力学；分拣精度中图分类号：TH112 文献标志码：A 文章编号：1001-3563(2024)03-0218-08 DOI ：10.19554/ki.1001-3563.2024.03.025Dynamic Modeling and Simulation of a 3-DOF Parallel Sorting RobotCUI Bingyan , GUI Xiaogeng , ZENG Hongtai , LI He(College of Mechanical Engineering, North China University of Science and Technology, Hebei Tangshan 063000, China) ABSTRACT: Aiming at the dynamic controllability of sorting robots in automatic production lines, the work aims to propose a 2UU-UPU 3-DOF parallel sorting robot to improve the accuracy and controllability of sorting. The relationship between the degrees of freedom and various parameters of the robot was analyzed, and an inverse kinematics model of the parallel mechanism was established based on closed-loop vector method. The dynamics expression of the robot was derived using Lagrange dynamics equations, and numerical calculations were performed. The dynamic joint simulation of the robot was performed using Matlab Simulink and Adams, and the error analysis of the theoretical and simulation values was performed. The motion law of the robot's moving platform was revealed, and the driving moment curves were obtained. The error between the theoretical value and the simulation value was small, with the maximum error of the three driving torques being 0.379%, 0.283%, and 0.146%, respectively. It is verified that the mechanism has good dynamic characteristics, laying a foundation for the subsequent motor selection and precise control. KEY WORDS: 2UU-UPU parallel mechanism; sorting robot; dynamics; sorting accuracy随着生产线的智能化发展，产品的分拣已进入一个新阶段，特别是分拣机器人的研发，为生产线上的产品分拣注入了新的活力。
结构动力学中的模态分析和多自由度系统
结构动力学中的模态分析和多自由度系统
结构动力学是力学中的一个分支，研究的是结构在外界载荷作
用下的动力响应和变形。
而模态分析是结构动力学中常用的分析
方法之一，它可以帮助我们深入了解结构的固有特性和动力响应。
在多自由度系统中，模态分析更是必不可少的方法之一。
一、模态分析的原理和方法
模态可以理解为结构在其内部和外部刺激或载荷下，自然振动
的特征方程根的值，也叫固有频率。
模态分析旨在通过求解结构
的特征值和特征向量来研究结构的固有特性。
具体的分析方法可
以分为三步：建立结构模型，求解结构特征值和特征向量，利用
特征值和特征向量进行分析。
二、模态分析的应用
在结构工程中，模态分析有广泛的应用。
首先，在结构设计阶段，我们可以通过模态分析确定结构的自然振动模型，确保结构
固有频率超出工作载荷频率，避免发生共振。
此外，模态分析还
可以帮助优化结构材料、结构形式及构件设计等方面。
在结构运
行和维护阶段，模态分析可以用于诊断结构的损伤，预测结构的
剩余寿命等。
三、多自由度系统和模态分析
多自由度系统指的是系统中有多个自由度，其模态分析和单自
由度系统有相似之处，但分析复杂度更高，需要运用更复杂的数
学模型和方法。
对于多自由度系统，我们可以利用有限元法建立
数学模型进行模拟分析，求解结构特征值和特征向量。
总之，在结构设计、分析和维护过程中，模态分析是一种十分
重要的手段。
通过模态分析，我们可以深入了解结构的固有特性，为结构设计和运行提供更可靠的保障。
多自由度机械系统建模与动力学分析
多自由度机械系统建模与动力学分析简介多自由度机械系统在工程中具有广泛的应用。
它由多个刚体组成，每个刚体可以沿着多个坐标轴进行运动。
对于这样的系统，建立准确的数学模型和进行动力学分析是非常重要的。
本文将介绍多自由度机械系统的建模方法和动力学分析。
一、刚体运动的描述在多自由度机械系统中，刚体的运动可以用欧拉角、角速度和角加速度来描述。
具体来说，一个刚体可以绕固定坐标轴的旋转和平动，因此需要考虑旋转和平动的自由度。
1. 旋转自由度欧拉角是描述刚体旋转的重要工具。
通常，一个刚体的旋转可以用绕固定坐标轴的三个角度（俯仰角、滚动角和偏航角）来描述。
欧拉角能够提供完全的刚体姿态信息，因此在多自由度机械系统的建模中广泛使用。
2. 平动自由度刚体的平动可以通过位置矢量来描述。
对于一个多自由度机械系统，每个刚体都有自己的位置矢量，从而描述其在空间中的运动。
二、多自由度机械系统的建模建立多自由度机械系统的模型是理解和分析系统行为的关键。
建模的过程可以通过使用拉格朗日方程和哈密顿原理来完成。
1. 拉格朗日方程拉格朗日方程是多自由度机械系统建模中的重要工具。
该方程基于拉格朗日函数，通过最小化系统的运动方程得到。
对于一个n自由度的系统，拉格朗日方程可以表示为：L = T - V其中，L是系统的拉格朗日函数，T是系统的动能，V是系统的势能。
通过对拉格朗日函数求导并应用欧拉-拉格朗日方程，可以得到系统的广义力和运动方程。
2. 哈密顿原理哈密顿原理是另一种用于建模多自由度机械系统的方法。
它基于变分原理，通过最小化系统的作用量来得到系统的动力学方程。
哈密顿原理可以表示为：δS = 0其中，S是系统的作用量，δ表示变分。
通过对作用量的变分，可以导出系统的广义力和运动方程。
三、多自由度机械系统的动力学分析动力学分析是研究多自由度机械系统运动规律和受力情况的过程。
它涉及到求解系统的运动方程和分析系统的稳定性。
1. 运动方程的求解多自由度机械系统的运动方程可以通过拉格朗日方程或哈密顿原理来求解。
动力学系统中的自由度
动力学系统中的自由度在动力学系统中，自由度是指系统中独立测量或控制的数量。
它代表了系统的自由程度和可变性。
在本文中，我们将探讨动力学系统中的自由度的概念、计算方法以及其在物理学和工程领域的应用。
自由度是描述物体或系统运动状态所需独立参数的数量。
在经典力学中，自由度可以理解为描述物体在空间中运动的坐标数目。
例如，一个粒子在三维空间中运动，它的自由度就是3。
如果我们考虑一个由N个粒子组成的系统，每个粒子有三个自由度，则整个系统的自由度为3N。
在动力学系统中，自由度的概念不限于描述物体在空间中的自由度，还可以涉及到其他方面，如在控制系统中，自由度可以表示系统中可独立控制的参数的数量。
例如，对于一个机械臂，它的自由度可以表示为可独立操控的关节数量。
计算动力学系统的自由度可以通过多种方法实现。
对于复杂系统，我们可以根据其约束条件来计算自由度。
约束条件可以是物体上的限制，如物体受到的约束力、几何约束等。
通过对约束条件进行分析，我们可以确定系统中自由度的数量。
在物理学和工程领域中，自由度的概念在分析和设计动力学系统时起着重要的作用。
通过确定系统的自由度，我们可以更好地理解系统的特性和行为。
例如，在机械振动系统中，自由度的数量决定了系统可能的振动模式。
在流体力学中，自由度可以描述流体的运动状态。
此外，自由度还与动力学系统的稳定性和控制有着密切的关系。
通过控制系统的自由度数量，我们可以实现对系统参数的精确调节和控制。
这在工程实践中具有重要意义，例如在控制系统设计中，我们可以通过增加或减少系统的自由度来实现稳定性和性能的优化。
总之，动力学系统中的自由度是描述系统独立测量或控制的数量。
它展示了系统的自由程度和可变性，并在物理学和工程领域中扮演重要角色。
通过准确计算和应用自由度的概念，我们可以更好地理解和设计动力学系统，实现稳定性和控制的优化。
戴维南-诺顿定理在机械振动系统分析中的应用
戴维南-诺顿定理在机械振动系统分析中的应用作者：廖旭晖，廖连莹，孟浩东来源：《科技创业月刊》 2015年第23期廖旭晖廖连莹孟浩东（常州工学院机械与车辆工程学院江苏常州２１３００２）摘要：介绍了戴维南—诺顿定理在机械振动系统分析中的应用。
应用戴维南—诺顿方法对一三自由度机械振动系统进行了分析并进行求解，结果与传统动力学方法所求的的结果完全一致，说明将戴维南—诺顿定理应用于机械振动系统分析中是正确和有效的。
关键词：戴维南－诺顿定理；机械阻抗；机械振动系统中图分类号：TB532文献标识码：Ａｄｏｉ：１０．３９６９/ｊ．ｉｓｓｎ．１６６５－２２７２．２０１5．23．０60收稿日期：２０１5－08－15０引言机械振动系统通常包含了激励源、隔振元件及接受结构。
想要获得整个系统完整的动力学特性，需要知道包括激励源、隔振元件及接受体在内的所有细节参数，而这在工程实际应用中往往是不可能做到的。
机械阻抗法将所有振动元件看成是机械的阻抗（或者是导纳），而将激励力看成是力源或者速度源。
机械阻抗法的应用可以将电学系统中的各种原理应用于机械振动系统。
机械阻抗方法在机械振动分析中有着广泛的应用。
戴维南—诺顿定理是电学中的经典的原理，利用戴维南—诺顿定理通常只关心系统或是子系统的对外输出特征而忽略系统内部的细节。
因此，在机械系统中应用戴维南—诺顿定理也有着非常广阔的前景。
本文将主要介绍机械振动系统中的戴维南—诺顿定理，并通过一简单算例说明戴维南—诺顿定理在机械振动分析中的应用。
１戴维南—诺顿定理（１）戴维南定理。
一个含有振源并且具有一个输出端的机械系统，总是可以用一个理想的速度源和一个与之相串联的内阻所连接而成的弹性结构所代替。
理想速度源的速度等于有源系统输出端点的自由速度，而内阻抗等于有源系统去掉振源后，该弹性结构输出端点的等效阻抗。
（２）诺顿定理。
一个含有振源并且具有一个输出端的机械系统，总是可以用一个理想的力源和一个与之相并联的阻抗所连接而成的弹性结构所代替。
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石家庄铁道大学SHIJIAZHUANG TIEDAO UNIVERSITY
《振动理论》课程论文
培养单位_ 机械工程学院
学科专业_ 机械电子工程
课程名称振动理论
任课教师李韶华
学生姓名赵
学号
提交日期 2010.01.17
三自由系统的动力学分析
摘要
工程上较复杂的振动问题多数需要用多自由度系统的振动理论来解决。
我们熟悉的教材上给出的都是理论求解的方法，本文旨在进行三自由系统的动力学分析。
本文将先分析三自由系统的固有振动，其中采用大家熟悉的振型叠加法研究系统的响应，关键是利用Matlab软件求解三自由系统的理论解与数值解，绘图并分析两者的差异和规律。
关键词：三自由系统 Matlab 理论解数值解
Abstract
On the engineering ，more complicated vibration problem need to use multi-freedom degree system to solve. The teaching material that we acquaint with offer the theory method. This text aims at carrying on the dynamics analysis of three-free systems. This text will analyze the proper vibration of three free systems first and adopt fold responding to research system, the key is the theory solution and number-solution that makes use of Matlab software to solve three free systems, paint and analyze the difference and regulation.
Key words:three-freedom degree system Matlab
number-solution theory solution
1
2 引言
一个具有n个自由度的系统，它在任一瞬时的运动形态需要用n个相互耦合的二阶常微分方程组成的方程组。
对本文的三自由度的阻尼系统而言，它具有3个固有频率（有可能出现重值），当系统按任意一个固有频率作自由振动时，系统的运动是一种同步运动，称为主振动。
系统运动时具有的振动形态称为主振型，或称为模态。
利用主坐标，n自由度系统的振动可以当作n个单自由度系统的振动来考虑，然后通过叠加得到原来系统的振动，这种分析方法即为振型叠加法。
运用MATLAB 强大、完善的通用数值分析、矩阵运算和图形功能 ,以及MATLAB 控制系统工具箱函数 ,对机械振动系统进行仿真分析 ,可为机械振动系统的分析与设计提供一个强大而方便的工具。
1. 运动微分方程的建立
本文主要采用影响系数方法。
无阻尼作用力方程：
M+KX=P(t)
刚度矩阵 K中的元素kij是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位位移而相应于第i 个坐标上所需施加的力；质量矩阵 M 中的元素mij是使系统仅在第j 个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力，mij，kij分别称为质量影响系数及刚度影响系数，根据它们的物理意义可以直接写出矩阵 M 和 K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法。
引例：如图1-1所示为三自由度的弹簧质量系统，求它的作用力方程
3
图 1-1
由影响系数法不难得到系统的微分方程为
:
2. 求固有频率和振型
令主振动：
或直接用，得
令，得
4
特征方程：（3-α）（α-5α+4）=0得α1=1；α2=3；α3=4
求振型：分别代入α1=1；α2=3；α3=4 的值得
3. 求系统响应
假设图1-1系统中左边第一个质量上作用有激振力P 1（t ）=P
0，其中w=1.7,试求系统的稳态响应。
用振型叠加法，变换成正则坐标下的方程，求解正则坐标下的稳态响应，再变换成物理坐标下的稳态响应，即为系统稳态解，具体过程参看下面理论解的求解方法。
4. 用Matlab 求解数值解和理论解
4.1 理论解
假设k=3，m=3，p 0=2，用Matlab 求解得稳态响应为
X=(2195800*sin((17*t)/10))/6923
-(20000*sin((17*t)/10))/62937
-(2000000*sin((17*t)/10))/692307 ）T
稳态响应曲线如图：
图4-1
4.2 数值解
用Matlab的simulink仿真得到的图形为：
图4-2
4.3 分析比较
在对图4-1和图4-2进行的比较中可以清楚地看出：图4-1理论解得到的是系统的稳态响应曲线，图4-2数值解中不仅可以看到暂态响应的变化还有稳态响应曲线，从图4-2可以清晰地看出在接近90时系统趋于稳定，而且稳定以后和理论解的稳态响应曲线非常一致，这说明理论解求解稳态响应的方法很可靠。
5
附录
求理论解的具体程序
syms p，t
m=3;k=3;p0=2;
M=[m 0 0;0 m 0;0 0 m];K=[3*k -k 0;-k 2*k -k;0 -k 3*k]; P=[p0; 0 ;0]
B=K-p.*M
eval(solve(det(B)))
[F,D]=eig(B)
F=F*[0 1 0;0 0 1;1 0 0] %F为振型
KP=F'*K*F; MP=F'*M*F %主刚度，主质量矩阵
H= F* inv( sqrt(MP))%正则振型
V=MP\KP %谱矩阵
R0=H'*P %正则坐标下激励的幅值
e1=R0(1,1)/(1-1.7^2)*sin(1.7*t) % 正则振型下的稳态解
e2=R0(2,1)/(3-1.7^2)*sin(1.7*t)
e3=R0(3,1)/(4-1.7^2)*sin(1.7*t)
X=H*[e1;e2;e3] %理论解
clear
t=0:0.05:10;%绘图
plot(t,(2195800*sin((17*t)/10))/692307)
hold on
plot(t, -(20000*sin((17*t)/10))/62937,'r') hold on
plot(t, -(2000000*sin((17*t)/10))/692307,'g')
求数值解的具体程序（用simulink仿真的方法（也可以用sim命令做））m=3;k=3;
M=[m 0 0;0 m 0;0 0 m];K=[3*k -k 0;-k 2*k -k;0 -k 3*k]; A=cat(1,cat(2,zeros(3,3),eye(3)),cat(2,-inv(M)*K,ze ros(3,3)));
G=eye(3);B=cat(1, zeros(3,3),inv(M)*G);
C=cat(2,eye(3), zeros(3,3));
D= zeros(3,3);%以上编辑为M文件，仿真时在命令行输入M文件名即可
6
双击正弦输入模块 ,在弹出的对话框中输入:振幅设置为向量 [2 0 0 ] ,输入频率为1.7.双击 State - s pace模块 ,设置参数: A为 A、B 为 B、C为 C、 D为 D.初始条件设为 0 . 仿真初始时间设为 0,终止时间设为100;采用 ode45变步长算法 ,设定最大积分步长 0.05.其余采用默认设置.
参考文献
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7。