直线的参数方程教(学)案
2.2.3直线的参数方程(教学设计)
2.2.3直线的参数方程(教学设计)D1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程．2.直线的方向向量的概念．3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．5.如何建立直线的参数方程？二、师生互动，新课讲解1．回顾数轴，引出向量数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题．教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M的坐标为t，那么：①OA为数轴的单位方向向量，OA方向与数轴的正方向一致，且OM tOA=；②当OM与OA方向一致时（即OM的方向与数轴正方向一致时），0t>；当OM与OA方向相反时（即OM的方向与数轴正方向相反时），0t<；当M与O重合时，0t=；③||=．教师用几何画板软件演示上述过程．OM t【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．2.类比分析，异曲同工问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线l上的定点M为原点，与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0时)或向右（l的倾斜角为0时）的单位向量e确定直线l的正方向，同时在直线l上确定进行度量的单位长度，这时直线l就变成了数轴．于是，直线l上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．3. 选好参数，柳暗花明问题（1）：当点M 在直线l 上运动时，点M 满足怎样的几何条件？让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l 当成数轴后，直线l 上点M 运动就等价于向量0M M 变化，但无论向量怎样变化，都有0M M te =．因此点M 在数轴上的坐标t 决定了点M 的位置，从而可以选择t 作为参数来获取直线l 的参数方程． 【设计意图】明确参数． 问题（2）：如何确定直线l 的单位方向向量e ？教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出(cos ,sin )e αα=，从而明确直线l 的方向向量可以由倾斜角α来确定．当0απ<<时，sin 0α>，所以直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上．【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想． 4. 等价转化，深入探究问题：如果点0M ,M 的坐标分别为0(,)(,)x y x y 、，怎样用参数t 表示,x y ？教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下： 因为(cos ,sin )e αα=，（[0,)απ∈），0(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=--，0//M M e又，所以存在实数t R ∈，使得0M M te =，即00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=．于是0cos x x t α-=，0sin y yt α-=，即0cos x xt α=+，0sin y yt α=+．因此，经过定点0(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t yy t xx （t 为参数）．教师提出如下问题让学生加强认识：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？ ②参数t 的取值范围是什么？ ③参数t 的几何意义是什么？总结如下：①0,x y ，α是常量，,,x y t 是变量；②t R ∈；③由于||1e =，且0M M te =，得到0M Mt=，因此t 表示直线上的动点M 到定点0M 的距离．当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点0M 重合．【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．三、运用知识，培养能力12012121212cos (sin ().||.||.||||.|||1 ||| 直线为参数）上有参数分别为和对应的两点和，则，两点的距离为 例x x t t t t A B A B y y t aA t tB t tC t tD t t α=+⎧⎨=+⎩+-+-010********cos ()sin ()|2||| . . . .2222 在参数方程为参数所表示的直线上有，两点，它们对应的参数值分别为、例则线段的中点对应的参数值是x x t t B C t y y t BC M t t t t t t t t A B C D θθ=+⎧⎨=+⎩-+-+()()0121201212121212000121212cos ()0.sin (1)||||(2)23,=0直线(为参数)与曲线，交于，两点，对应的参数分别为，曲线的弦的长是多少？线段的中点对应的参数的值是多少？若定点恰是线段的中点，则？ t 小结：x x t t f x y M M t t y y t M M M M t t M M M t t t t P x y M M t t t αα=+⎧=⎨=+⎩=-+=++=例 4 直线⎩⎨⎧x ＝t sin 20°＋3，y ＝－t cos 20°(t 为参数)的倾斜角是( )A ．20°B ．70°C ．110°D ．160° 例5(课本P36例1) 已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A,B 两点，求线段AB 的长度和点(1,2)M -到A,B 两点的距离之积．先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：解法一：由210x y y x +-=⎧⎨=⎩，得210(*)x x +-=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由韦达定理得：121211x xx x +=-⋅=-，．AB ∴===由（*）解得121122x x -+-==12y y ∴==．()()()1321 2113 把下列参数方程与直角方程互化：为例参数x t t x y ⎧=-+⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩所以1313(()A B ---+，．则MA MB ⋅=2===．解法二、因为直线l 过定点M，且l 的倾斜角为34π，所以它的参数方程是31cos 432sin 4x t y t ππ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）， 即12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t为参数）．把它代入抛物线的方程，得220t -=，解得12t=，22t=．由参数t 的几何意义得：12AB t t=-= 122MA MB t t ⋅==．在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．例6(课本P37例2)、经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆221164x y +=于A,B 两点．如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程．分析：引导学生以M 作为直线l 上的定点写出直线的参数方程，然后与椭圆的方程联立，设A,B 两点对应的参数分别为12,t t ，则由120t t +=求出直线l 的斜率．教师板书，过程如下：解：设过点(2,1)M 的直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入椭圆方程，整理得22(3sin 1)4(cos 2sin )80t ααα+++-=．因为点M 在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B 两点对应的参数分别为12,t t ， 则1224(cos 2sin )3sin 1t t ααα++=-+．因为点M 为线段AB 的中点，所以1202t t +=，即cos 2sin 0αα+=．于是直线l 的斜率1tan 2k α==-． 因此，直线l 的方程是11(2)2y x -=--，即240x y +-=． 教师引导学生课下用其他方法解决．思考：例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线l 的方程怎样求？由学生课下解决．【设计意图】体会直线参数方程在解决弦中点问题时的作用．例7（课本P37例3）.当前台风中心P在某海滨城市O 向东300Km处生成,并以40km/h的速度向西偏北45度方向移动.已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围,那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?思考：在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径为250KM，并以10KM/h的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？[来源:Z|xx|]例8（课本P38例4）如图所示，AB，CD是中心为点O 的椭圆的两条相交弦，交点为P，两弦AB，CD与椭圆长轴的夹角分别为1,2∠∠，且12∠=∠，求证：｜PA｜*｜PB｜＝｜PC｜*｜PD｜探究：如果把椭圆改为双曲线，是否会有类似的结论？三、课堂小结，巩固反思：（1）直线参数方程求法；（2）直线参数方程的特点；（3）根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义。
直线的参数方程
直线的参数方程（第一课时）教学目标：1、联想圆的参数方程探究如何选择参数，教师通过层层设问，引导学生形成直线的参数方程；在形成知识的过程中，直线的参数的几何意义亦水到渠成。
2、对比直线的参数方程与圆的参数方程，二者形式相同，但参数不同，曲线不同，体会标明谁是参数的必要性；3、在直线的参数方程应用过程中，进一步理解掌握直线的参数的几何意义。
4、在本节课的学习过程中，渗透类比、数形结合等数学思想方法，促进学生探究数学能力的发展。
教学重点：1、形成直线的参数方程；2、掌握直线的参数的几何意义。
教学难点：理解掌握直线的参数的几何意义教学过程：一、 形成直线的参数方程：问题1、已知直线l 过),(000y x M ，倾斜角为α(πα<≤0)，如何选参数，建立直线l 的参数方程？设问：什么是参数？参数也叫参变数，是一个变数。
联想：在求圆的参数方程时，我们选什么作参数？点M 在圆周上运动，哪些量不变？哪些量在变？ ①为参数）（θθθ⎩⎨⎧==sin cos r y r x ②为参数）（θθθ⎩⎨⎧+=+=sin cos r b y r a x点M 在直线上运动时，哪些量不变？哪些量在变？我们应该选什么为参数？选点M 到0M 的距离为参数，设t M M =0，但问题是t 的一个值会对应点M 的两个位置。
如果用向量的方法，可能可以很好地解决这个问题。
直线上的向量及与它平行的向量都称为直线的方向向量 向量M M 0是直线的方向向量，且直线的方向向量有无数多个，且它们之间都是平行的关系，我们找一个比较特殊的方向向量──单位方向向量。
直线l 上点M 运动就等价于向量0M M 变化，但无论向量怎样变化，都有0M M te = ．因此t 决定了点M 的位置，从而可以选择t 作为参数来获取直线l 的参数方程．【设计意图】明确参数．问题2、如何确定直线l 的单位方向向量e ？教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出(cos ,sin )e αα= ，从而明确直线l 的方向向量可以由倾斜角α来确定． 当0απ<<时，sin 0α>，所以直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上．【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想． 问题3、如何沟通点M 的横坐标y x ,与t 的关系？直线的单位方向向量)sin ,(cos αα=e设),(y x M ，由t M =0)sin ,(cos ),(00ααt y y x x =--⇒ 为参数）（t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=⇒ααsin cos 00 教师提出如下问题让学生加强认识：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？②参数t 的取值范围是什么？③参数t 的几何意义是什么？总结如下：①00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量；②t R ∈；③由于||1e = ，且0M M te = ，得到0M M t = ，因此t 表示直线上的动点M 到定点0M 的距离．当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点0M 重合．【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．问题4、直线的参数方程与圆的参数方程对比，你有什么发现？直线的参数方程：为参数）（t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00 圆的参数方程：为参数）（θθθ⎩⎨⎧+=+=sin cos r b y r a x 【设计意图】对比直线的参数方程与圆的参数方程，二者形式相同，但参数不同，曲线不同，体会标明谁是参数的必要性。
直线参数方程教案
直线参数方程教案教案标题：直线参数方程教案教学目标：1. 理解直线的参数方程表示方法；2. 掌握求解直线参数方程的方法；3. 能够应用直线参数方程解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、黑板、彩色粉笔、直尺、计算器等；2. 学生准备：纸、铅笔、直尺、计算器等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过引入直线方程的概念，提醒学生之前学习过的直线方程形式；2. 引导学生思考，直线是否可以用参数方程来表示。
二、讲解直线参数方程的概念（10分钟）1. 教师通过示意图，引导学生理解参数方程的概念；2. 解释直线参数方程的定义和意义；3. 提供直线参数方程的一般形式：x = x₁ + at, y = y₁ + bt，并解释各个参数的含义。
三、求解直线参数方程的步骤（15分钟）1. 教师通过示例，详细讲解求解直线参数方程的步骤；2. 强调确定直线上的一点和直线的方向向量的重要性；3. 指导学生如何通过已知条件确定直线上的一点和直线的方向向量。
四、练习与讨论（15分钟）1. 学生个人或小组完成练习题，求解给定直线的参数方程；2. 学生互相讨论解题思路和答案，教师进行指导和纠正。
五、应用实例（10分钟）1. 教师提供一个实际问题，引导学生将其转化为直线参数方程的求解；2. 学生个人或小组完成实际问题的求解，并展示解题过程和答案。
六、总结与拓展（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调直线参数方程的重要性和应用；2. 引导学生思考，直线参数方程在其他数学领域的应用。
七、作业布置（5分钟）1. 布置相关作业，巩固直线参数方程的求解方法；2. 鼓励学生自主拓展，寻找更多直线参数方程的应用实例。
教学反思：教案中通过导入、讲解、练习、应用等环节，全面引导学生理解和掌握直线参数方程的概念、求解方法和应用实例。
通过练习和应用实例的训练，能够提高学生对直线参数方程的理解和运用能力。
同时，鼓励学生自主拓展，培养学生对数学知识的独立思考和应用能力。
第16-17节直线的参数方程教案
第16、17节：直线的参数方程（1）（2）教学目标：1.了解直线的参数方程的推导过程，进一步理解参数方程的重要性；2.体会参数方程在解题中的应用；3.通过本节学习，进一步明确求曲线的参数方程的一般步骤。
教学重点：直线的参数方程的推导过程及其参数方程在解题中的应用。
教学难点：直线的参数方程的推导过程。
授课类型：新授课教学过程：一、复习引入：我们学过的直线的普通方程都有哪些?1.点斜式：2.斜截式：3.两点式：4.截距式：5.一般式：二．新课讲解：经过点M 0（x 0，y 0），倾斜角为α)2(πα≠的直线l 的普通方程是y-y 0=tan α（x-x 0），怎样建立直线l 的参数方程呢？经过点M 0（x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程是为参数）t t y y t x x (.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=αα 思考：参数方程中t 的几何意义是什么？重合。
与点则点，的方向向下；若，则的方向向上；若则，的方向总是向上，若的单位方向向量直线000M M 0t M M 0t M M 0t e l ,=<>=t 三．例题讲解21.:10l x y y x +-==例已知直线与抛物线交于A,B 两点，求线段AB 的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。
探究：思考：例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线l 的方程怎样求？例3.当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300Km 处生成,并以40km/h 的速度向西偏北45度方向移动.已知距台风中心250km 以内的地方都属于台风侵袭的范围,那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?12121212(),,.(1)2y f x M M t t M M M M M t =直线与曲线交于两点，对应的参数分别为曲线的弦的长是多少？（）线段的中点对应的参数的值是多少？2214,y A B +=2x 例。
经过点M(2,1)作直线L ，交椭圆16于两点。
直线的参数方程课时教案(第一课时)
课时教案一、课题直线的参数方程（第一课时，共两课时）二、教学目的1.了解直线参数方程的条件以及参数的几何性质2.能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程3.通过观察、探索、发现的过程，发展学生数学核心素养的“知识理解”、“知识迁移”、“知识创新”三级目标。
三、课型与教法新授课引导—发现模式四、教学重点直线参数方程的构建五、教学难点从动点M点的坐标变成直线l的参数方程的转化、t的几何意义、证明直线的参数方程、辨别是否是直线的标准参数方程六、教学过程探究一建立已知直线的参数方程1.复习引入（1）若点是直线l上的两相异点，则直线l的方向向量为，倾斜角为时，直线单位方向向量为；（2）已知两个向量),则共线的充要条件是；（3）如果直线l过定点，且倾斜角为，则直线l的方程为。
2. 讲授新课问题1 如图1，位于原点的机器人以单位速度沿单位方向向量行走时间t到达点M，求M点的坐标。
借助前面准备的知识由三角函数的定义不难得到，写成方程即。
问题2 如图2，如果初始位置不在原点，而在点，其他条件不变，求点M的坐标。
借助前面问题1和坐标的定义，不难得到，写成方程即。
问题3一般地，设直线l过点，且倾斜角为，点为其上任意一点，求M点的坐标。
可以提示学生引入参数t，则学生可类比得到（t为参数），此即为过点且倾斜角为的直线l的参数方程。
问题4 你能写出具体推导过程吗？指导学生利用向量法证明，同时指导学生借助点斜式方程进行证明。
探究二直线参数方程中t的几何意义问题5直线的参数方程（t为参数）中哪些是变量？哪些是常量？很容易由问题1,2,3得出是变量，是常量。
问题6 参数的几何意义是什么？为什么？结合参数方程的推导过程，可以引导学生从，且，得到，也可由。
由此可知|t|表示直线上的动点到定点的距离，即为参数的几何意义。
问题7参数t的取值范围是什么？t的正负与点的位置之间有什么关系？由中的正负可确定和的大小，从而确定的正负与点位置之间的关系，再利用图3可知：当时，点在点的上方；当时，点在点的下方；当时，点与点重合。
直线的参数方程教案
直线的参数方程教案直线的参数方程教案一、教学目标1. 知识与技能（1）掌握直线的参数方程的概念；（2）掌握直线的一般方程与参数方程的互相转化方法；（3）能够根据直线的参数方程绘制直线的图像。
2. 过程与方法（1）引导学生通过观察、实验等方式发现直线的参数方程的特点；（2）通过讲解和举例引导学生理解直线的参数方程的定义及其性质；（3）通过练习题巩固学生对直线的参数方程的掌握程度；（4）通过绘制直线的图像帮助学生加深对直线的参数方程的理解。
3. 情感、态度和价值观培养学生观察、发现、分析和解决问题的能力，培养学生的数学思维能力和创新能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点掌握直线的参数方程的概念和性质，掌握直线的一般方程与参数方程的互相转化方法。
2. 教学难点能够根据直线的参数方程绘制直线的图像。
三、教学过程1. 导入新课通过展示几何平面坐标系上的一条直线图像，引导学生观察，思考直线的方程与参数方程之间的关系，并提问学生：你对直线的参数方程有什么了解？2. 探究活动（1）教师用实物或几何软件展示一条直线和坐标系，并选取直线上两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)。
（2）教师引导学生观察并发现直线上每个点都可以由参数t确定，并写出该点的坐标为(x, y)，并尝试找出x和y与t之间的关系。
（3）学生根据已知的两个点的坐标、点A和点B的参数t值，写出点A和点B的参数方程。
（4）通过实际计算验证参数方程是否正确。
3. 理论总结通过探究活动，引导学生总结直线的参数方程的定义和性质，并帮助学生理解直线的参数方程与一般方程的转化方法。
4. 拓展（1）教师提问：已知直线的参数方程x = 2 + 3t，y = -1 + t ，如何将其转化为一般方程？（2）学生尝试将参数方程转化为一般方程，并进行实际计算和验证。
5. 练习巩固（1）教师出示几道直线的参数方程的题目，要求学生逐步转化为一般方程，并进行计算验证。
（2）学生独立完成练习题，并核对答案。
教案直线的参数方程
课题：直线的参数方程（1）教学设计教学目标:(一）知识目标1．了解直线参数方程的建立过程，会与普通方程进行互化；2. 初步掌握运用参数方程解决问题，理解其中参数t 的几何意义. (二)能力目标1.通过思考引入，让学生感受学习直线参数方程的必要性；2.通过学习直线的参数方程探究直线与圆锥曲线的位置关系，培养学生数形结合以及运算求解能力. (三）情感目标1.培养学生的探究,研讨,综合自学应用能力；2.培养学生分析问题，解决问题的能力. 教学重点:1.联系数轴、向量积等知识；2.求出直线的参数方程. 教学难点:通过向量法，建立参数t 与点在直角坐标系中的坐标y x ,之间的联系. 教学过程： 一、学前准备(1)若由a b →→与共线，则存在实数λ，使得 . (2)设e →为a →方向上的 ，则a →=︱a →︱e →.(3)已知=AB y x B y x A 则),,(),,(2211.==y x ),( . (4)经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的普通方程为 .(5)直线0=++C By Ax 的斜率=k ，倾斜角α与斜率k 的关系为 . 二、新课讲授探究新知（预习教材P35～P36，找出疑惑之处）1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点M 的坐标,x y 与点0M 的坐标00,x y 和倾斜角α 联系起来呢？由于倾斜角可以与方向联系，M 与0M 可以用距离或线段0M M 数量的大小联系，这种“方向”和“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程. 如图，在直线上任取一点(,)M x y ，则0MM = ，而直线l 的单位方向向量e →=（ ， ）因为M 0//e，所以存在实数t R ∈，使得0MM = ，即有()()00,cos ,sin x x y y t αα--=，因此，经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的参数方程的标准形式为：)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα当堂训练（1）经过点)5,1(0M ,倾斜角为3π的直线l 的参数方程为 . （2）直线)(20cos 20sin 3为参数t s t y t x ⎝⎛=+=︒︒的倾斜角是( )︒20.A ︒70.B ︒110.C ︒160.D2、直线l 的参数方程的几种形式直线的参数方程形式不是唯一的，令ααsin ,cos ==b a ,则直线参数方程的标准形式可以是)1,0,(22200=+≥⎩⎨⎧+=+=b a b t bty y atx x 为参数直线的参数方程的一般式可以写成)(00为参数t dt y y ctx x ⎩⎨⎧+=+=，这里R d c ∈,,其中122=+d c 时，t有明确的几何意义，当122≠+d c 时，t 没有明确的几何意义. 直线的参数方程的一般式化为直线的参数方程的标准式的方法：),,0,,0()()(2222222222222222022220b dc da d c c t t d c db dcd a d c c t t d c d t d c d c d y y t d c d c c x x =+-=+-'=⋅+-≤=+=+'=⋅+≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+++=⋅+++=时，令，时，令其中，3、直线的参数方程中参数的几何意义x参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0t =.由于α为直线的倾斜角,且),0[πα∈，α是第二象限角，0sin ≥α.所以e的方向总是向上的，当M M 0与e (直线的单位方向向量)同向时，0>t ，当M M 0与e反向时，0<t ，当M 与M 0重合时，0=t .4、用直线l 的参数方程求弦长和弦的中点坐标的方法①已知直线l 过),(00y x M ，倾斜角为α，l 与圆锥曲线相交于B A ,两点，则求弦长AB 的方法如下：将直线l 的参数方程)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα代入圆锥曲线的方程，消去y x ,得到关于t 的一元二次方程，由判别式∆和韦达定理得到21t t +，21t t 的值，代入弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，M 到两交点的距离之积为21t t MB MA =∙. ②弦的中点坐标对应的参数221t t t +=，先计算221tt t +=，再把t 代入直线l 的参数方程，即得到弦中点的坐标.三、知识应用例．已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A 、B 两点，求线段AB 的长和点(1,2)M -到A ，B 两点的距离之积.四、课堂检测直线)(,2333,211为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=和圆1622=+y x 交于B A ,两点，则B A ,的中点坐标为（ ）)3,3.(-A )3,3.(--B )3,3.(-C )3,3.(-D五 、课堂小结（1）经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的参数方程的标准形式为：)(s i n c o s 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα，其中参数t 具有明确的意义. （2）直线的标准方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离，它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但是应用直线的参数方程时，应先判别是否是标准形式，再考虑t 的几何意义.(3)弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，定点M 到两交点的距离之积为21t t MB MA =∙.弦的中点坐标对应的参数221t t t +=. 六、高考衔接(2016江苏)在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为)(23211为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=，椭圆C 的参数方程为)(sin 2cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x .设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.七、作业布置课本p39 习题2.3第3题 八、课后反思。
直线的参数方程教案
直线的参数方程教案一、教学目标1.理解直线的参数方程的概念和基本思想；2.掌握直线的参数方程的求解方法；3.能够应用直线的参数方程解决相关问题。
二、教学内容1.直线的参数方程的定义和思想；2.直线的参数方程的求解方法；3.直线参数方程的应用。
三、教学重难点1.直线参数方程的概念和思想；2.直线参数方程的求解方法。
四、教学过程1. 引入教师可以通过一个生活中的例子引入直线的参数方程，如一辆汽车在直线道路上的行驶。
引导学生思考，如何用一个参数来描述汽车在直线上的位置。
2. 知识讲解2.1 直线的参数方程的定义直线的参数方程是指用参数的形式来表示直线上的点的坐标。
一般形式为：x = x0 + t * ay = y0 + t * b其中，(x0, y0)为直线上的一点，(a, b)为直线的方向向量，t为参数。
2.2 直线参数方程的求解方法求解直线的参数方程，可以根据直线上的已知点和方向向量来确定参数方程的具体形式。
步骤如下：1.确定直线上的一点(x0, y0)和方向向量(a, b)；2.应用参数方程的定义，写出直线的参数方程。
3. 实例演练教师可以选择一些具体实例，引导学生运用直线的参数方程解决问题。
例如，求直线L上距离(1, 2)最近的点。
解：已知直线L的参数方程为：x = 3 + ty = -1 + t点(1, 2)到直线L上的任意点(3 + t, -1 + t)的距离可以表示为：d = sqrt((1 - 3 - t)^2 + (2 + 1 - t)^2)为了求d最小，可以对d求导，令导数为零。
通过求导和解方程，可得t = 1。
代入参数方程，得(4, 0)。
故直线L上距离(1, 2)最近的点为(4, 0)。
4. 拓展应用教师可以引导学生思考直线参数方程在其他几何问题中的应用，如求两直线的交点、求直线与平面的交点等。
五、教学本节课我们学习了直线的参数方程的概念、基本思想和求解方法。
通过实例演练，我们掌握了如何应用直线的参数方程解决相关问题。
高中数学新人教版A版精品教案《三 直线的参数方程》
《直线的参数方程》教学设计嫩江县高级中学 于翠玲教学目标：1利用向量知识，推导出直线的标准参数方程，利用向量和数轴的知识来理解参数t 的几何意义，并进行简单应用；体会直线参数方程在解决解析几何问题中的作用。
2通过对直线参数方程的推导与应用，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想。
3 通过推导直线参数方程的过程，激发学生的求知欲和学习数学的兴趣，培养学生积极探索、勇于钻研的科学精神和严谨的科学态度。
教学重点：通过运动变化的过程联系向量的知识，写出直线的参数方程。
教学难点：通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标之间的联系。
教学方式：启发、探究、交流与讨论教学手段：多媒体课件．教学过程：一、回忆旧知，做好铺垫通过学案设计知识链接问题：1直线的倾斜角的范围是什么？2单位向量的定义是什么？3直线方向向量是什么？4平面向量的共线定理是什么？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善。
【设计意图】这些知识在推导直线的参数方程中会应用，但是学生有些遗忘，设计以上问题是为学生推导直线的参数方程做好准备。
二、直线参数方程探究问题1：已知一条直线过定点),(000y x M ，倾斜角为α，求这条直线的普通方程。
问题2：:你认为应如何选择参数来表示直线的参数方程？问题3：推导过定点),(000y x M ，倾斜角为α的直线的参数方程。
【设计意图】通过以上问题引导学生综合运用所学知识，获取直线的方向向量，得出直线的参数方程，培养学生探索精神，体会数形结合思想．三、分析直线的参数方程问题4：直线的参数方程中那些是变量那些是常量？方程有什么形式上的特点？【设计意图】让学生更好的理解直线的标准参数方程，有利于学生区分直线的标准参数方程和一般参数方程，为下一节做铺垫。
问题5：参数t 的取值范围是什么？问题6：由e t M M =0你能得到直线l 的参数方程中参数t 的几何意义吗？【设计意图】通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为应用参数解决有关问题打基础。
直线参数方程教案
直线参数方程教案一、教学目标1. 理解直线参数方程的概念及意义。
2. 学会将直线的标准参数方程和一般参数方程进行转换。
3. 能够运用直线参数方程解决实际问题。
二、教学内容1. 直线参数方程的定义及表示方法。
2. 直线参数方程与直角坐标方程的互化。
3. 直线参数方程的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：直线参数方程的概念、表示方法及应用。
2. 难点：直线参数方程与直角坐标方程的互化。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解直线参数方程的概念、表示方法及应用。
2. 利用数形结合法，引导学生直观地理解直线参数方程与直角坐标方程的关系。
3. 运用实例分析法，让学生学会运用直线参数方程解决实际问题。
五、教学准备1. 投影仪或黑板。
2. 直线参数方程的相关教案、PPT等教学资源。
3. 练习题及答案。
教案一、导入（5分钟）1. 复习直线的直角坐标方程。
2. 提问：如何用参数表示直线上的一点？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解直线参数方程的概念。
参数方程：对于一条直线，设其上任意一点P的坐标为(x, y)，参数为t，则直线上的点P可以表示为(x=x0+at, y=y0+bt)，其中a、b、t为常数。
2. 讲解直线参数方程的表示方法。
标准参数方程：对于直线y=kx+b，其标准参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，其中a=1/k，b=y0-bx0。
一般参数方程：对于直线ax++c=0，其一般参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，其中a、b、t为常数，且满足at+by0+c=0。
3. 讲解直线参数方程与直角坐标方程的互化。
将直线参数方程中的t表示为x或y的函数，代入直角坐标方程中，即可得到直线参数方程与直角坐标方程的互化关系。
三、实例分析（10分钟）1. 分析直线参数方程在实际问题中的应用。
举例：一辆火车以每小时60公里的速度沿着直线轨道行驶，从原点出发，经过3小时后，离原点的距离为180公里，求火车的行驶路线方程。
4.4.12直线参数方程(1) 学案
问题1已知一条直线过点 ,倾斜角 ,求这条直线方程。
问题2在直线 上，任取一个点 ，求 坐标。
问题3试用直线 的倾斜角 表示直线 的方向单位向量 。
问题4设 ，则 与 具有什么位置关系？用 能否表示出这种关系。
问题5通过坐标运算，用 ， ， 把在直线 上，任取一点 的坐标表示出来，即过定点 倾斜角为 的直线的参数方程：
问题6在直线 的参数方程中，哪些是变量，哪些是常量？
问题7
问题8参数 的取值范围是什么？分别代表什么含义？
练习:A1、直线 ( 为参数)的倾斜角是( )
A, B, C, D,
A2、求直线 的一个参数方程。
A3、若点 是极坐标方程为 的直线与参数方程为 （ 为参数）的曲线的交点，则 点的坐标为.
B例1：已知直线 与抛物线 交与 两点，求线段 的长度和点 到 的距离之积.
高二数学学案
时间
第周第学案年月日
课题
学案12直线参数方程（1）
学习目标
1.了解直线参数方程的条件及参数的意义
2.能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义
学习重点
参数 的含义，直线单位方向向量 的含义。
学习难点
如何引入参数 ，理解和写直线单位方向向量
学习过程
学前准备
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
问题9直线与曲线 交于 两点,对应的参数分别为 ,
(1)曲线的弦 的长是多少?
(2)线பைடு நூலகம் 的中点 对应的参数 的值是多少?
江西省九江市九江实验中学高中数学新课标人教A版选修4-4教案：第二讲 第五课时 直线的参数方程
江西省九江市九江实验中学高中数学 第五课时 直线的参数方程教学案 新人教A 版选修4-4一、教学目标：知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法：启发、诱导发现教学. 四、教学过程 （一）、复习引入：1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数） （2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）2．写出椭圆参数方程.3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程? （二）、讲解新课： 1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是30，并且经过点P （2，3），如何描述直线L 上任意点的位置呢？如果已知直线L 经过两个 定点Q （1，1），P （4，3），那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？2、教师引导学生推导直线的参数方程： （1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是指从点P 到点M 的位移，可以用有向线段PM u u u u r数量来表示。
带符号.（2）、经过两个定点Q11(,)y x ，P22(,)y x (其中12x x≠)的直线的参数方程为121121(1){x X y y x y λλλλλλ++++==≠-为参数，。
其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。
这里参数λ的几何意义与参数方程（1）中的t 显然不同，它所反映的是动点M 分有向线段QPuuu v的数量比QMMP 。
辽宁省沈阳市第二十一中学高中数学2.2.1直线的参数方
2.2.1直线的参数方程【教学重点】理解直线参数方程的形式。
直线参数方程的应用。
【教学难点】直线参数方程的应用一.课前预习阅读教材P35—37，理解下列问题：1 将直线的普通方程化为参数方程过点M0(x0, y0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为)( sin cos 00为参数t t y y t x x ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=αα直线的参数方程（标准形式）中参数t 的绝对值几何意义是：当t>0时，M M 0的方向向上 ；当t<0时，M M 0的方向向下；当t=0时，点M 与点0M 重合 ①设直线上的任意两点21P P 和 对应的参数分别为21t t 和，则｜｜21P P ＝12t t -（弦长公式）②位于直线上的三点P ，21P P 和所对应的参数分别为t, 21t t 和,若P 是线段21P P 中点，则有t ＝122t t +2.用向量法推导直线参数方程设直线l过点M0(x0, y0),且与向量e=（l，m）平行，则直线l的参数方程为二.课上学习直线的参数方程为x=5+3t,y=10-4t,（1）求直线的直角坐标方程；（2）化为参数方程的标准形式。
直线l1过点A(2，-4)，倾斜角为150度，求l1的参数方程；设直线l2；x-y+1=0, l2与l1的交点为B,求点B与点A的距离。
直线过点A（1，3），且与向量（2，-4）共线:写出该直线的参数方程；(2 ) 求点P(-2，-1)到此直线的距离。
x yOMMle三.课堂小结四、课后练习o o o o 135.D 45.C 60.B 30.A -)( 9 )( 221.222截得的弦长等于被圆为参数直线=+⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x t t y t x1059.D 529.C 5512.B 512.A)(22,3)( )( 2322.3的点的坐标是的距离等于上与点为参数直线-⎪⎩⎪⎨⎧+=--=P t t y t x)1,0()5,4.(D )2,1()4,3.(C )4,3.(B )5,4.(A 或或-----)( )( sin cos .421对应的参数值是的中点，则线段、的参数值分别为两点，它们对应、所表示的曲线上有为参数在参数方程M BC t t C B t t b y t a x ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθ2.D 2.C 2.B 2.A 21212121t t t t t t t t +-+-到该直线的距离是，则点设直线的参数方程)6,3(421.5⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=t y t x ？)( )( 60sin 330cos 2.1o o 等于的倾斜角为参数直线αt t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=。
直线参数方程教案
直线参数方程教案教学目标：1. 理解直线参数方程的概念和特点；2. 学会将直线参数方程转换为普通方程；3. 能够应用直线参数方程解决实际问题。
教学重点：1. 直线参数方程的概念和特点；2. 直线参数方程与普通方程的转换方法。
教学难点：1. 直线参数方程的理解和应用；2. 直线参数方程与普通方程的转换。
教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 直线参数方程的相关例题和练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线的概念，引导学生回顾直线的普通方程；2. 提出直线参数方程的概念，引导学生思考直线参数方程的特点和应用。
二、直线参数方程的概念和特点（15分钟）1. 讲解直线参数方程的定义和形式；2. 解释直线参数方程的特点，如参数的意义和直线的截距式表示；3. 通过示例展示直线参数方程的应用，如直线的倾斜角和斜率的计算。
三、直线参数方程与普通方程的转换（20分钟）1. 讲解直线参数方程与普通方程的转换方法；2. 引导学生通过转换方法将直线参数方程转化为普通方程；3. 通过示例和练习题巩固转换方法。
四、直线参数方程的应用（15分钟）1. 讲解直线参数方程在实际问题中的应用，如物体的运动轨迹和工程中的直线测量；2. 引导学生运用直线参数方程解决实际问题；3. 通过示例和练习题巩固直线参数方程的应用。
五、总结和作业布置（5分钟）1. 总结直线参数方程的概念、特点和应用；2. 强调直线参数方程与普通方程的转换方法的重要性；3. 布置相关作业，巩固所学内容。
教学反思：在教学过程中，要注意通过示例和练习题让学生充分理解和掌握直线参数方程的概念和应用。
要引导学生思考直线参数方程的特点和与普通方程的关系，提高学生的数学思维能力。
六、直线参数方程的图形分析（15分钟）1. 使用课件或黑板展示直线参数方程的图形；2. 分析直线参数方程中参数t的变化对直线位置的影响；3. 引导学生观察直线参数方程的图形特征，如直线倾斜角的变化和截距的变化。
高中数学直线的参数方程优秀教案
三 直线的参数方程学习目标：1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义．(重点、难点)2.能用直线的参数方程解决简单问题．(重点、易错点)教材整理 直线的参数方程 阅读教材P 35～P 39，完成以下问题．经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线l 上任一点M (x ，y )到定点M 0(x 0，y 0)的距离，即|t |＝|M 0M —→|.曲线⎩⎨⎧x ＝－2＋5t y ＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C ．(0，－4)、(8,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59、(8,0) [解析] 当x ＝0时，t ＝25，而y ＝1－2t ，即y ＝15，得与y 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15；当y ＝0时，t ＝12，而x ＝－2＋5t ，即x ＝12，得与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.[答案] B直线参数方程的简单应用【例1】 直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)，则该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？[思路探究] 考虑参数方程标准形式中参数t 的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25t ′，y ＝2＋15t ′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t 的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．[自主解答] 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25t ′，y ＝2＋15t ′(t ′为参数)，代入圆方程x 2＋y 2＝9，得⎝⎛⎭⎪⎫1＋25 t ′2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋15 t ′2＝9， 整理，有5t ′2＋8t ′－45＝0. 由根与系数的关系，t ′1＋t ′2＝－85， t ′1·t ′2t ′的几何意义． |t ′1－t 2′|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝1255.故直线被圆截得的弦长为1255.1．在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求．此题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，无视了参数t 的几何意义．2．根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： (1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；(3)设弦M 1M 2中点为M ，则点M 对应的参数值t M＝t 1＋t 22(由此可求|M 1M 2|及中点坐标)．1．在极坐标系中，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝1.(1)求圆的直角坐标方程； (2)假设直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32ty ＝12t(t 为参数)与圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] (1)由得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos π6，3sin π6，半径为1，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1， 即x 2＋y 2－33x －3y ＋8＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t y ＝12t (t 为参数)得直线的直角坐标系方程x －3y ＋1＝0，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪332－332＋12＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝1，解得|AB |＝ 3.参数方程与极坐标的综合问题【例2】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，假设点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. [思路探究] (1)利用公式可求．(2)可考虑将参数方程、极坐标方程化为普通方程，求交点A 、B 的坐标，也可考虑利用t 的几何意义求解．[自主解答] (1)由ρ＝25sin θ， 得ρ2＝25ρsin θ，∴x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)法一 直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋ 5.与圆C ：x 2＋(y －5)2＝5联立，消去y ，得x 2－3x ＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝2＋5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)． 又点P 的坐标为(3，5)， 故|P A |＋|PB |＝8＋2＝3 2.法二 将l 的参数方程代入x 2＋(y －5)2＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0，(*) 由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0.故可设t 1，t 2是(*)式的两个实根， ∴t 1＋t 2＝32，且t 1t 2＝4， ∴t 1>0，t 2>0.又直线l 过点P (3，5)，∴由t 的几何意义，得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝3 2.1．第(2)问中，法二主要运用直线参数方程中参数t 的几何意义，简化了计算．2．此题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程，然后去解决问题，这是考生在解决参数方程和极坐标方程相互交织问题时的一个重要的思路．2．曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． [解] (1)由可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝(2cos φ－1)2＋(3－3sin φ)2＋(－3－2cos φ)2＋(1－3sin φ)2＋(－1－2cos φ)2＋(－3－3sin φ)2＋(3－2cos φ)2＋(－1－3sin φ)2＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.∵0≤sin 2φ≤1，∴S 的取值范围是[32,52]．直线的参数方程[探究问题1．假设直线l 的倾斜角α＝0，则直线l 的参数方程是什么？ [提示] 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ，y ＝y 0(t 为参数)．2．如何理解直线参数方程中参数的几何意义？[提示] 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，(t 为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的长度，即|t |＝|M 0M →|.①当t ＞0时，M 0M →的方向向上； ②当t ＜0时，M 0M →的方向向下； ③当t ＝0时，点M 与点M 0重合．【例3】直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)假设点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．[思路探究] 将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t .[自主解答] (1)由于直线l ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sinπ6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量 e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. ∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ，∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)．1．一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式．2．直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(a 、b 为常数，t 为参数)．3．设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6. (1)写出直线l的参数方程；(2)设此直线与曲线C：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |.[解] (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos 5π6＝－3－32t ，y ＝3＋t sin 5π6＝3＋t 2(t 为参数)．(2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去，得4x 2＋y 2－16＝0. 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得 4⎝⎛⎭⎪⎫－3－32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2－16＝0，即13t 2＋4(3＋123)t ＋116＝0. 由t 的几何意义， 知|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|， 故|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613.1．直线⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos 60°，y ＝3＋t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α等于( )A ．30°B ．60°C ．－45°D ．135°[解析] 由直线的参数方程知倾斜角α等于60°，应选B. [答案] B2．直线⎩⎨⎧x ＝1＋t cos αy ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤a ＜π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(2，－1)[解析] 直线表示过点(1，－2)的直线． [答案] A3．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22ty ＝2＋22t(t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.22 D ．－22 [解析] 消去参数t ，得方程x ＋y －1＝0， ∴直线l 的斜率k ＝－1. [答案] B4．假设直线⎩⎨⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.[解析] 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t y ＝2＋3t 化为y ＝－32x ＋72，∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直， ∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k .依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1，∴k ＝－6. [答案] －65．化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t |的几何意义．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t 消去参数t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0. 故k ＝3＝tan α，即α＝π3， 因此直线l 的倾斜角为π3.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝t ，y －1＝3t ，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4t 2， ∴|t |＝(x ＋3)2＋(y －1)22.故|t |是t 对应点M 到定点M 0(－3,1)的向量M 0M →的模的一半．。
选择性必修1：直线的参数方程——教学设计
直线的参数方程教学设计教材内容解析本节内容是人教A 版选修4—4第二讲第三部分的内容．直线是学生最熟悉的几何图形，在教材《必修2》中学生已经学习了直线的五种方程.教科书先引导学生回顾了用倾斜角的正切表示的直线的点斜式方程，这是为推导直线的参数方程做准备，从代数变换的角度看，教材P35的直线参数方程00+cos ,+sin .x x t t y y t αα=⎧⎨=⎩（为参数）就是点斜式的变形．在提出“如何建立直线的参数方程？”后，教材引导学生借助向量工具探究直线的参数方程．这一过程，教师引导学生通过类比、联想的思想方法，将直线和单位方向向量联系起来，引入恰当的参数，从而建立直线的参数方程． 学情分析学生对事物的认识多是从直观到抽象，从感性到理性．而对事物的理解多以自己的经验为基础来建构或解释现象，而并不是把知识从外界直接搬到记忆中．高二学生的学习过程更是如此．之前圆锥曲线的参数方程学生已经熟悉，也能够理解各种曲线的参数的几何意义，但是直线的参数方程还能否用角作为参数呢？这是完全不同的，应该选择那个量作为直线的参数呢?需要引入“方向向量的概念”，之前的必修教材从未学习过，所以，在讲本节课之前，提前对方向向量的知识作了补充学习，为本节课的学习提前进行知识储备．教学方法与教学手段教学方法：启发探究式（教师设问引导，学生自主探究、合作解决）．教学手段：多媒体辅助教学（利用计算机和实物投影辅助教学）．教学目标1．利用直线的单位方向向量推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系；2．理解并掌握直线的参数方程中参数t 的几何意义；3．通过直线参数方程的探究，体会参数的形成过程，培养严密地思考和严谨推理的习惯；4．在学习过程中渗透类比、归纳、推理的数学思想方法，以及引领学生体会“根据几何性质选取恰当的参数，建立参数方程”的几何问题代数化的解析思想．教学重点1．分析直线的几何条件，选择恰当的参数写出直线的参数方程；2．直线的参数方程中参数t 的几何意义．教学难点1．直线的参数方程中参数t 的几何意义；2．直线参数方程中参数t 的几何意义的初步应用．教学过程一．课题引入问题1．已知直线10l x y +-=：与抛物线2y x =交于A ，B 两点，求(1,2)M - 到A ，B 两点的距离之积．解：解析法由210x y y x+-=⎧⎨=⎩可知两交点坐标分别为1535(,)22A --+，1535(,)22B -+- 所以222215351+535(1)(2)(1)(2)2222MA MB --+--⋅=--+-⋅--+- (35)(35)=2=-⋅+．【设计意图】通过几何法求解距离，让学生真切感受“计算过程”的繁琐，为引入本节课题做铺垫．问题2．有没有比这种方法更简便的算法？接着引入本节课题“直线的参数方程”．二．直线的参数方程（直线的参数的发现与确定）探究1．一般地，设直线l 经过点000M x y （，），且倾斜角为α，动点M x y （，）为直线上任意一点，直线l 的单位方向向量记作cos sin e αα=（，）,[)0απ∈，，那么 0//M M e ，因此根据共线向量的充要条件可知，存在实数t ，使得0=M M te ，即00cos sin x x y y t αα--=（，）（，），于是，有00cos sin x x t t y y t αα-=⎧⎨-=⎩（为参数） 因此，把上面的方程叫做经过点000M x y （，），倾斜角为α的直线l 的参数方程．直线参数方程的文字表述：直线上任意动点的纵横坐标等于定点相应坐标加上参数乘以倾斜角的正余弦．注意：直线上的任意一个点都唯一对应一个参数t ．【设计意图】通过教师引导和启发，由学生自己独立或在小组合作的基础上，借助直线的单位方向向量建立起直线l 的参数方程．这是本节课的其中一个重点和关键．三．参数t 的几何意义探究2．直线l 的参数方程中参数t 的几何意义是什么？因为单位方向向量cos sin e αα=（，），所以1e =，又因为0=M M te ， 所以0===M M te t e t于是得到参数t 的几何意义：直线l 上的动点M 到定点0M 的距离，等于参数t 的绝对值．探究3．参数t 的符号又有什么意义呢？当0απ<<时，sin 0α>，所以直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上的．（1）若0t >，由000=0sin y y t y y y y α-⇒->⇒>，可知点M 在点0M 上方，则0M M 的方向向上； （2）若0t <，由000=0sin y y t y y y y α-⇒-<⇒<，可知点M 在点0M 下方，则0M M 的方向向下； （3）若0t =，则0y y =，从而点M 点0M 重合．【设计意图】引导学生思考讨论后获取共识，直线的参数t 具有两点意义：符号决定了动点相对于定点的位置，绝对值表示动点到定点的距离．为后面参数的应用做铺垫．问题3．如果直线水平放置，那么直线上的定点和动点的关系可以和我们学过的那个知识联系起来？【设计意图】回顾数轴概念，理解数轴上的任意一点对应一个实数，点的坐标的绝对值刚好是对应的点到原点的距离．问题4．数轴是怎样建立的？数轴上任意一点的坐标的几何意义是什么？规定了原点、单位长度和正方向的直线叫数轴。
15 直线的参数方程(1)(学生版)
15. 直线的参数方程（1） 主备： 审核：学习目标：1.了解直线参数方程的条件及参数的意义；2. 能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程.学习重点：直线参数方程的简单应用.学习难点：直线参数方程中参数意义的理解.学习过程：一、课前准备：阅读教材3536P P -的内容，了解直线参数方程的推导过程，并思考以下问题：1.将参数方程122x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）化为普通方程是 . 2.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？答：3. 你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？答：二、新课导学：（一）新知：直线参数方程的推导过程： 设e 是与直线l 平行且方向向上（l 的倾斜角不为0）或向右（l 的倾斜角为0）的单位方向.设直线l 的倾斜角为α，定点为0M 和动点M 的坐标分别为00(,)x y 、(,)x y . 思考以下问题： （1）如何利用倾斜角α写出直线l 的单位向量e ？ 答： (cos ,sin )e αα= （2）如何用e 和0M 的坐标表示直线l 任意一点M 的坐标？答：因为00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=-- 又0//M M e ，所以存在唯一实数t R ∈，使得0M M te = ，所以00(,,)(cos ,sin )x x y y t αα--=，所以00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）. 这就是经过点000(,)M x y 且倾斜角为α的直线的参数方程.(3) 参数t 的几何意义是什么？ 答：t 表示参数t 对应的点M 到定点0M 的距离；当0M M 与e 同向时，t 取正数，当0M M 与e 反向时，t 取负数，当0M 与M 重合时，0t =.（4）练习：①直线003sin20cos20x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数）的倾斜角为 ；②直线10x y +-=的一个参数方程是 .(二)典型例题：【例1】直线l ：30x y --=与抛物线24y x =交于两点A 、B ，求线段AB的长和点(0,3)M -到A 、B 两点的距离之积.【解析】点(0,3)M -在直线l 上，直线l 的倾斜角为4π，所以直线l 的参数方程为 0cos 4 3sin 4x t t y t ππ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩为参数（），即 3 x t y ⎧⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数（）， 代入抛物线方程，得2102180t t -+=，设该方程的两个根为1t 、2t ，则1212 102 18t t t t +=⋅=，，所以弦长为 ()22121212 4 (102)41882AB t t t t t t =-=+-=-⨯=12||||||18MA MB t t ⋅==.动动手：1.试用选修1-1中的方法解例1.【解析】2.直线00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线()y f x =交于1M 、2M ，对应的参数分别为1t 、2t . 问（1）曲线的弦12M M 的长是多少？（2）线段12M M 的中点M 对应的参数t 的值是多少？【解析】将直线的参数方程代入曲线方程后得到一个关于t 的方程：00(cos ,sin )0f x t y t αα++=，这个方程的解为1t 、2t ，对应的点是直线与曲线的交点1M 、2M ，所以（1）由参数的几何意义得1212||||M M t t =-.（2）线段12M M 的中点M 对应的参数t 的值是122t t +. （同学们自己画图验证，要分000(,)M x y 在线段12M M 内和在线段12M M 外两种情况）.3.求直线12 2 3 x t t y ⎧=+⎪⎨⎪⎩（为参数）被双曲线221x y -=截得的弦长. 【解析】三、总结提升：1．直线的参数方程与普通方程00tan ()y y x x α-=-的关系：由00tan ()y y x x α-=-得00sin cos y y x x αα--=，令00sin cos y y x x t αα--==， 得直线的参数方程.2.注意直线的参数方程与向量的知识的联系.3.要了解直线参数方程中参数t 的几何意义.4.简单应用：用参数t 可以表示点的坐标、直线上两点间的距离、直线被曲线截得的弦长，还可以表示弦的中点对应的参数.四、反馈练习：1．直线3()14x at t y t=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点 （ ） A . (3,1)-- B . (3,1)- C . (3,1)- D . (3,1)2．在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是 （ ）A .122t t - B . 122t t + C . 12||2t t - D . 12||2t t + 3. 直线22()32x t t y t⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -2的点的坐标是 （ ） A .(3,4)-或(1,2)- B . (3,4)-或(1,2)-C . (3,4)-或(1,2)-D . (3,4)--或(1,2)-4. 直线112333x t y =+=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）和圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 的中点坐标为 （ ）A ．(3,3)-B ．(3,3)-C ．(3,3)-D ．(3,3)-5. 过点10(,0)2P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ，求P M P N ⋅的最小值及相应的α的值．【解析】五、学后反思：。
高中数学 第二讲 参数方程 三 直线的参数方程学案(含解析)4-4
三直线的参数方程1．直线的参数方程（1)过点M0（x0,y0）,倾斜角为α的直线l的参数为错误!（t为参数)．（2）由α为直线的倾斜角知,α∈已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P（1，1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4）的距离．由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正弦值、余弦值，从而得到直线参数方程．由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为错误!,设直线的倾斜角为α，则tan α＝错误!，sin α＝错误!，cos α＝错误!.又点P(1，1)在直线l上，所以直线l的参数方程为错误!(t为参数）．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上．由1＋错误!t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化,弄清参数t的几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值，是解决此类问题的关键．1．一直线过P0(3,4）,倾斜角α＝错误!,求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．解：由题意设直线的参数方程为错误!（t为参数），将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，得3错误!＋2错误!＝6。
解得t＝－错误!，∴｜MP0｜＝|t|＝错误!。
2．已知直线l的参数方程为错误!求直线l的倾斜角．解:将参数方程化成另一种形式错误!若2t为一个参数,则错误!在α∈已知直线l经过点P(1，1），倾斜角α＝错误!，(1）写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．（1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．(1）∵直线l过点P（1，1)，倾斜角为错误!，∴直线的参数方程为错误!即错误!(t为参数)为所求．(2）∵点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A错误!，B错误!，将直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4整理得到t2＋（错误!＋1)t－2＝0,①又∵t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2。
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直线的参数方程（一）
三动式学案
黄建伟
教学目标：
1. 联系向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．
2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、从特殊到一般的推理等数学思想．
3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度、合作学习的习惯．
教学重点：联系向量等知识，写出直线的参数方程．
教学难点：通过向量法，建立参数t 与点在直角坐标系中的坐标,x y 之间的联系． 教学方式：启发、探究、交流与讨论.
教学手段：多媒体课件．
教学过程：
一、 课前任务驱动
1.已知直线:1l y =+的倾斜角为α，则tan α=______ sin α=______; cos α=_______
2．已知直线经过点 000(,)M x y ，斜率为k ，则直线的方程为__________
3.已知向量(2,3)a =，则a =______向量a 的单位向量e =________,设a te =，则t =_______.
4已知点000(,)M x y ，(,)M x y ，单位向量(cos ,sin )e αα=，向量0M M te =，则
x =_______________ y =___________
5. 已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A,B 两点，求线段AB 的长度和点(1,2)M -到A,B 两点的距离之积．
二、课堂师生互动
一、探究直线参数方程
问题一：经过点 000(,)M x y ，倾斜角为
2παα⎛⎫
≠ ⎪⎝⎭的直线l 的普通方程是？请写出来。
问题二：已知直线l 上一点000(,)M x y ，直线l 的倾斜角为α，直线上的的动点
(,)M x y ，设e 为直线l 的单位方向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同）
，那么我们能利用α表示出直线l 单位方向向量e 吗？请表示出来。
问题三：根据向量的共线定理，则存在实数t 使得
0M M te =，
你能根据这个式子将有关,x y 的等式表示出来吗？请写出来。
思考以下问题：
直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？
练习1：直线2cos101sin10
x t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）的倾斜角是（ ） A.80 B. 170 C.10 D.100
练习2：直线3sin 201cos 20
x t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）的倾斜角是（ ） A.20 B.70 C.110 D.160
练习3：直线:10l x y +-=的一个参数方程（过点(1,2)M -）是___________
二、探究直线参数方程参数的几何意义
问题一：由0M M te =，你能得到直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=α
αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）
中参数t 的几何意义吗？t 的取值围是多少？
三、探究直线参数方程参数的运用
（一）探究过程
直线:10l x y +-=的一个参数方程（过点(1,2)M -）是___________
(1)当0y =时，对应的参数1t =_______;对应的点A 为_________.
(2)当2x =-时，对应的参数2t =______;对应的点B 为________. (3)AB =___________;21t t -=____________ (4)MA MB =_________;21t t =__________
结论1：
结论2：
探究：直线 ⎩⎨⎧+=+=α
αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）与曲线()y f x =交于12,M M 两点，
对应的参数分别为12,t t ，设点00(,)M x y 。
（1）曲线的弦12M M 的长是多少？
（2）12MM MM 是多少？
（二）例题讲练
例1.已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A,B 两点，求线段AB 的长度和点(1,2)M -到A,B 两点的距离之积．
课堂练习：
1、已知过点(2,0)P ，斜率为43
的直线和抛物线22y x =相交于A,B 两点，求PA PB 的值。
课堂小结：
1、知识小结
2．思想方法小结
三、课后培育自动
1.经过点M(1，5)且倾斜角为
3
π的直线，以定点M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是( )
A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211
B. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211
C. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=t y t x 235211
D. ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 2、直线()为参数t t y t x ⎩⎨⎧+=--=2322上与点()32，P -距离等于2的点的坐标是 . 3、直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα
=+⎧⎨=⎩相切，则θ=______
4、经过点P (−1，2)，倾斜角为 4
的直线 l 与圆 x 2 +y 2 = 9相交于A ，B 两点，求PA PB +PA +PB 和PA PB 的值。