直线的参数方程教(学)案

直线的参数方程（一）

三动式学案

黄建伟

教学目标：

1. 联系向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．

2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、从特殊到一般的推理等数学思想．

3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度、合作学习的习惯．

教学重点：联系向量等知识，写出直线的参数方程．

教学难点：通过向量法，建立参数t 与点在直角坐标系中的坐标,x y 之间的联系． 教学方式：启发、探究、交流与讨论.

教学手段：多媒体课件．

教学过程：

一、 课前任务驱动

1.已知直线:1l y =+的倾斜角为α，则tan α=______ sin α=______; cos α=_______

2．已知直线经过点 000(,)M x y ，斜率为k ，则直线的方程为__________

3.已知向量(2,3)a =，则a =______向量a 的单位向量e =________,设a te =，则t =_______.

4已知点000(,)M x y ，(,)M x y ，单位向量(cos ,sin )e αα=，向量0M M te =，则

x =_______________ y =___________

5. 已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A,B 两点，求线段AB 的长度和点(1,2)M -到A,B 两点的距离之积．

二、课堂师生互动

一、探究直线参数方程

问题一：经过点 000(,)M x y ，倾斜角为

2παα⎛⎫

≠ ⎪⎝⎭的直线l 的普通方程是？请写出来。

问题二：已知直线l 上一点000(,)M x y ，直线l 的倾斜角为α，直线上的的动点

(,)M x y ，设e 为直线l 的单位方向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同）

，那么我们能利用α表示出直线l 单位方向向量e 吗？请表示出来。

问题三：根据向量的共线定理，则存在实数t 使得

0M M te =，

你能根据这个式子将有关,x y 的等式表示出来吗？请写出来。

思考以下问题：

直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？

练习1：直线2cos101sin10

x t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）的倾斜角是（ ） A.80 B. 170 C.10 D.100

练习2：直线3sin 201cos 20

x t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）的倾斜角是（ ） A.20 B.70 C.110 D.160

练习3：直线:10l x y +-=的一个参数方程（过点(1,2)M -）是___________

二、探究直线参数方程参数的几何意义

问题一：由0M M te =，你能得到直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=α

αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）

中参数t 的几何意义吗？t 的取值围是多少？

三、探究直线参数方程参数的运用

（一）探究过程

直线:10l x y +-=的一个参数方程（过点(1,2)M -）是___________

(1)当0y =时，对应的参数1t =_______;对应的点A 为_________.

(2)当2x =-时，对应的参数2t =______;对应的点B 为________. (3)AB =___________;21t t -=____________ (4)MA MB =_________;21t t =__________

结论1：

结论2：

探究：直线 ⎩⎨⎧+=+=α

αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）与曲线()y f x =交于12,M M 两点，

对应的参数分别为12,t t ，设点00(,)M x y 。

（1）曲线的弦12M M 的长是多少？

（2）12MM MM 是多少？

（二）例题讲练

例1.已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A,B 两点，求线段AB 的长度和点(1,2)M -到A,B 两点的距离之积．

课堂练习：

1、已知过点(2,0)P ，斜率为43

的直线和抛物线22y x =相交于A,B 两点，求PA PB 的值。

课堂小结：

1、知识小结

2．思想方法小结

三、课后培育自动

1.经过点M(1，5)且倾斜角为

3

π的直线，以定点M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是( )

A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211

B. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211

C. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=t y t x 235211

D. ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 2、直线()为参数t t y t x ⎩⎨⎧+=--=2322上与点()32，P -距离等于2的点的坐标是 . 3、直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y αα

=+⎧⎨=⎩相切，则θ=______

4、经过点P (−1，2)，倾斜角为 4

的直线 l 与圆 x 2 +y 2 = 9相交于A ，B 两点，求PA PB +PA +PB 和PA PB 的值。