运动学的两类问题
人教版高中物理(必修1) 知识讲解： 力与运动的两类问题(基础)(附答案)
力与运动的两类问题【学习目标】1.明确用牛顿运动定律解决的两类问题;2.掌握应用牛顿运动定律解题的基本思路和方法． 【要点梳理】要点一、根据运动情况来求力运动学有五个参量0v 、v 、t 、a 、x ，这五个参量只有三个是独立的。
运动学的解题方法就是“知三求二”。
所用的主要公式：0v v at =+ ①——此公式不涉及到位移，不涉及到位移的题目应该优先考虑此公式2012x v t at =+ ②——此公式不涉及到末速度，不涉及到末速度的题目应该优先考虑此公式212x vt at =- ③——此公式不涉及到初速度，不涉及到初速度的题目应该优先考虑此公式02v v x t += ④——此公式不涉及到加速度，不涉及到加速度的题目应该优先考虑此公式2202v v x a-= ⑤——此公式不涉及到时间，不涉及到时间的题目应该优先考虑此公式根据运动学的上述5个公式求出加速度，再依据牛顿第二定律F ma =合，可以求物体所受的合力或者某一个力。
要点二、根据受力来确定运动情况先对物体进行受力分析，求出合力，再利用牛顿第二定律F ma =合，求出物体的加速度，然后利用运动学公式0v v at =+ ① 2012x v t at =+ ② 212x vt at =-③ 02v v x t +=④ 2202v v x a -=⑤ 求运动量（如位移、速度、时间等）要点三、两类基本问题的解题步骤1.根据物体的受力情况确定物体运动情况的解题步骤①确定研究对象，对研究对象进行受力分析和运动分析，画出物体的受力图． ②求出物体所受的合外力．③根据牛顿第二定律，求出物体加速度．④结合题目给出的条件，选择运动学公式，求出所需的物理量． 2.根据物体的运动情况确定物体受力情况的解题步骤①确定研究对象，对研究对象进行受力分析和运动分析，并画出受力图． ②选择合适的运动学公式，求出物体的加速度． ③根据牛顿第二定律列方程，求物体所受的合外力． ④根据力的合成与分解的方法，由合力求出所需的力． 要点四、应注意的问题1.不管是根据运动情况确定受力还是根据受力分析物体的运动情况，都必须求出物体的加速度。
高考一轮复习 专题4 天体运动的“两类热点”问题
专题四 天体运动的“两类热点”问题考点突破热点一 赤道上的物体、同步卫星和近地卫星师生共研1．同步卫星和近地卫星比较二者都是由万有引力提供向心力⎝ ⎛⎭⎪⎫GMm r 2＝mv2r ＝m ω2r ，是轨道半径不同的两个地球卫星，应根据卫星运行参量的变化规律比较各物理量．2．同步卫星和赤道上的物体比较二者的角速度相同，即周期相等，半径不同，由此比较其他物理量．注意：赤道上的物体由万有引力和支持力的合力提供向心力，G Mm r 2＝m v2r 不适用，不能按照卫星运行参量的变化规律判断．3．近地卫星和赤道上的物体比较先将近地卫星和赤道上物体分别与同步卫星比较，然后再对比二者的各物理量．例1 [2021·广州一模]如图所示，A 是地球的同步卫星，B 是地球的近地卫星，C 是地面上的物体，A 、B 、C 质量相等，均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设A 、B 、C 做圆周运动的向心加速度为a A 、a B 、a C ，周期分别为T A 、T B 、T C ，A 、B 、C 做圆周运动的动能分别为E kA 、E kB 、E kC .下列关系式正确的是( )A ．aB ＝aC >a A B ．a B >a A >a C C ．T A ＝T B <T CD ．E kA <E kB ＝E kC练1 国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2 060 km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为( )A ．a 2>a 1>a 3B ．a 3>a 2>a 1C ．a 3>a 1>a 2D ．a 1>a 2>a 3练2 (多选)如图所示，同步卫星与地心的距离为r ，运行速率为v 1，向心加速度为a 1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是( )A.a1a2＝rRB.a1a2＝⎝⎛⎭⎪⎫Rr2 C.v1v2＝rRD.v1v2＝Rr题后反思赤道上的物体(A)、近地卫星(B)和地球同步卫星(C)之间常见的运动学物理量比较如下：半径r A<r B<r C周期T A＝T C>T B角速度ωA＝ωC<ωB线速度v A<v C<v B向心加速度a A<a C<a B热点二卫星(航天器)的变轨及对接问题多维探究题型1|卫星变轨问题1．卫星变轨的实质两类变轨离心运动近心运动变轨起因卫星速度突然增大卫星速度突然减小受力分析G<m G>m变轨结果变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动2．人造卫星的发射过程，如图所示．(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.例2 近年来，我国的航天事业飞速发展，“嫦娥奔月”掀起高潮．“嫦娥四号”进行人类历史上的第一次月球背面登陆．若“嫦娥四号”在月球附近轨道上运行的示意图如图所示，“嫦娥四号”先在圆轨道上做圆周运动，运动到A点时变轨为椭圆轨道，B点是近月点，则下列有关“嫦娥四号”的说法正确的是( ) A．“嫦娥四号”的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B．“嫦娥四号”要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点加速C．“嫦娥四号”在椭圆轨道上运行的周期比圆轨道上运行的周期要长D．“嫦娥四号”运行至B点时的速率大于月球的第一宇宙速度题型2|卫星的对接问题在低轨道运行的卫星，加速后可以与高轨道的卫星对接．同一轨道的卫星，不论加速或减速都不能对接．例3 [2021·南宁一模]我国是少数几个掌握飞船对接技术的国家之一，为了实现神舟飞船与天宫号空间站顺利对接，具体操作应为( )A．飞船与空间站在同一轨道上且沿相反方向做圆周运动接触后对接B．空间站在前、飞船在后且两者沿同一方向在同一轨道做圆周运动，在合适的位置飞船加速追上空间站后对接C．空间站在高轨道，飞船在低轨道且两者同向飞行，在合适的位置飞船加速追上空间站后对接D．飞船在前、空间站在后且两者在同一轨道同向飞行，在合适的位置飞船减速然后与空间站对接题型3|变轨前、后各物理量的变化规律4 2020年10月6日，诺贝尔物理学奖的一半颁给了给出黑洞形成理论证明的罗杰·彭罗斯，引起世界轰动．黑洞是近代引力理论所预言的宇宙中的一种特殊天体，在黑洞引力范围内，任何物体都不能脱离它的束缚，甚至连光也不能射出，欧洲航天局由卫星观察发现银河系中心存在一个超大型黑洞，假设银河系中心仅存一个黑洞，太阳系绕银河系中心做匀速圆周运动，则根据下列哪组数据可以估算出该黑洞的质量(引力常量为已知)( )A．太阳系的质量和太阳系绕该黑洞公转的周期B．太阳系的质量和太阳系到该黑洞的距离C．太阳系的运行速度和该黑洞的半径D．太阳系绕该黑洞公转的周期和轨道的半径题后反思航天器变轨的问题“四个判断”(1)判断速度①在两轨道切点处，外轨道的速度大于内轨道的速度．②在同一椭圆轨道上，越靠近椭圆焦点速度越大．③对于两个圆轨道，半径越大速度越小．(2)判断加速度①根据a ＝，判断航天器的加速度．②公式a ＝对椭圆不适用，不要盲目套用．(3)判断机械能①在同一轨道上，航天器的机械能守恒．②在不同轨道上，轨道半径越大，机械能一定越大．(4)判断周期：根据开普勒第三定律，行星轨道的半长轴(半径)越大周期越长．题型4|卫星的追及相遇问题行星A和B围绕恒星O做匀速圆周运动，周期分别为T A和T B.设t＝0时刻，A、B和O三者共线，则三者再次共线所需要的最少时间t满足以下条件：情境图若A、B公转方向相同若A、B公转方向相反t0＝0时，A、B在O同侧(A、B再次在O同侧)⎝⎛⎭⎪⎫2πT B－2πT At＝2πtT B－tT A＝1(A、B再次在O同侧)⎝⎛⎭⎪⎫2πT A＋2πT Bt＝2πtT A＋tT B＝1t0＝0时，A、B在O异侧⎝⎛⎭⎪⎫2πT B－2πT At＝πtT B－tT A＝12⎝⎛⎭⎪⎫2πT A＋2πT Bt＝πtT A＋tT B＝12例5 火星冲日现象即火星、地球和太阳刚好在一条直线上，如图所示．已知火星轨道半径为地球轨道半径的1.5倍，地球和火星绕太阳运行的轨道都视为圆且两行星的公转方向相同，则( ) A．火星与地球绕太阳运行的线速度大小之比为2：3B．火星与地球绕太阳运行的加速度大小之比为4：9C．火星与地球的公转周期之比为：D．2021年10月13日前有可能再次发生火星冲日现象练3 [2021·湖南怀化一模]随着嫦娥奔月梦想的实现，我国不断刷新深空探测的“中国高度”．“嫦娥”卫星整个飞行过程可分为三个轨道段：绕地飞行调相轨道段、地月转移轨道段、绕月飞行轨道段．我们用如图所示的模型来简化描绘“嫦娥”卫星飞行过程，假设调相轨道和绕月轨道的半长轴分别为a、b，公转周期分别为T1、T2.关于“嫦娥”卫星的飞行过程，下列说法正确的是( )A．＝B．“嫦娥”卫星在地月转移轨道上运行的速度应大于11.2 km/sC．从调相轨道切入到地月转移轨道时，卫星在P点必须减速D．从地月转移轨道切入到绕月轨道时，卫星在Q点必须减速练4 [2021·成都七中二诊](多选)2020年3月9日我国成功发射第54颗北斗导航卫星，意味着北斗全球组网仅差一步之遥．人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星从近地圆轨道Ⅰ的A点先变轨到椭圆轨道Ⅱ，然后在B点变轨进入地球同步轨道Ⅲ，则( )A．卫星在同步轨道Ⅲ上的运行速度小于7.9 km/sB．卫星在轨道Ⅱ稳定运行时，经过A点时的速率比过B点时小C．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为T1、T2、T3，则T1<T2<T3D．现欲将卫星由轨道Ⅱ变轨进入轨道Ⅲ，则需在B点通过点火减速来实现思维拓展卫星通信中的“阴影区”问题在卫星的通信、观测星体问题中，由于另一个星体的遮挡出现“阴影区”，解决此类问题的基本方法是：(1)建立几何模型：通过构建平面几何画图，找出被星体挡的“阴影区”．(2)建立几何关系：关键是找出两个星体转动角度之间的几何关系．例1 [2020·福州二模]有一颗绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行周期是地球近地卫星的2倍，卫星圆形轨道平面与地球赤道平面重合，卫星上有太阳能收集板可以把光能转化为电能，已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，忽略地球公转，此时太阳处于赤道平面上，近似认为太阳光是平行光，则卫星绕地球一周，太阳能收集板的工作时间为( )A. B. C. D.例2 侦察卫星对国家有极高的战略意义，尤其是极地侦察卫星．极地侦察卫星在通过地球两极的圆轨道上运行，由于与地球自转方向垂直，所以理论上可以观察到地球上任何一处．假如它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都拍摄下来，在卫星通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？(设地球半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T)专题四天体运动的“两类热点”问题考点突破例1 解析：C与A的角速度相同，根据a＝ω2r，可知a C<a A；根据卫星的加速度a＝，可知a A<a B；所以a C<a A<a B，故A项错误，B项正确；对卫星A、B，由开普勒第三定律＝k，知T A>T B，卫星A是地球的同步卫星，则T A＝T C，所以T A＝T C>T B，故C项错误；对于卫得A、B，由v＝分析知v A<v B.由于卫星A、C角速度相等，由v＝ωr分析知v C<v A，所以v C<v A<v B，卫星的动能为：E k＝mv2可得：E kC<E kA<E kB，故D项错误．答案：B练1 解析：由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a＝ω2r，r2>r3，则a2>a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，G＝ma，由题目中数据可以得出，r1<r2，则；综合以上分析有，a1>a2>a3，选项D正确．答案：D练2 解析：对于卫星，其共同特点是由万有引力提供向心力，有G＝m，故＝.对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相等，有a＝ω2r，故＝.答案：AD例2 解析：“嫦娥四号”的发射速度应大于地球的第一宇宙速度7.9 km/s，小于地球的第二宇宙速度11.2 km/s，故A错误；“嫦娥四号”要想从圆轨道变轨到椭圆轨道，必须在A点进行减速，故B错误；由开普勒第三定律知＝，由题图可知，圆轨道的半径r大于椭圆轨道的半长轴a，故“嫦娥四号”在圆轨道上运行的周期T1大于在椭圆轨道上运行的周期T2，所以C错误；“嫦娥四号”要想实现软着陆，运行至B点时必须减速才能变为环月轨道，故在B点时的速率大于在环月轨道上运行的最大速率，即大于月球的第一宇宙速度，故D正确．答案：D例3 解析：飞船在轨道上高速运动，如果在同一轨道上沿相反方向运动，则最终会撞击而不是成功对接，故A项错误；两者在同一轨道上，飞船加速后做离心运动，则飞船的轨道抬升，故不能采取同一轨道加速对接，故B项错误；飞船在低轨道加速做离心运动，在合适的位置，飞船追上空间站实现对接，故C项正确；两者在同一轨道飞行时，飞船突然减速做近心运动，飞船的轨道高度要降低，故不可能与同一轨道的空间站实现对接，故D项错误．答案：C例4 解析：太阳系绕银河系中心的黑洞做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有G＝mr＝m＝mω2r＝mωv，分析可知，要计算黑洞的质量M，需知道太阳系的公转周期T与轨道半径r，或者线速度v与轨道半径r，或者轨道半径r与角速度ω，或者角速度ω、线速度v与轨道半径r，选项A、B、C 错误，D正确．答案：D例5 解析：火星和地球绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，有G＝m＝ma＝m r，得v＝，a＝，T＝2π.由v＝可知v∝，则火星与地球的公转线速度大小之比为，选项A错误；由a＝可知a∝，则火星与地球的向心加速度大小之比为4∶9，选项B正确；由T＝2π可知T∝，则火星与地球公转周期之比为3∶2，选项C错误；再次相距最近时，地球比火星多转动一周，则据此有t＝2π，其中T火∶T地＝3∶2，解得t≈2.2年，故下一次发生火星冲日现象的时间为2022年10月13日前后，选项D错误．答案：B练3 解析：根据开普勒第三定律，调相轨道与绕月轨道的中心天体分别对应地球和月球，故它们轨道半长轴的三次方与周期的二次方比值不相等，故A错误；11.2 km/s是第二宇宙速度，是地球上发射脱离地球束缚的卫星的最小发射速度，由于嫦娥卫星没有脱离地球束缚，故其速度小于11.2 km/s，故B错误；从调相轨道切入到地月转移轨道时，卫星的轨道将持续增大，故卫星需要在P点做离心运动，故在P 点需要加速，故C错误；从地月转移轨道切入到绕月轨道时，卫星相对月球而言，轨道半径减小，需要在Q点开始做近心运动，故卫星需在Q点减速，故D正确．答案：D练4 解析：卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有＝，得v＝.可知卫星运动半径r越大，运行速度v越小，所以卫星绕近地轨道运行时速度最大，即地球的最大的环绕速度(7.9 km/s)，则卫星在同步轨道Ⅲ上的运行速度小于7.9 km/s，选项A正确．卫星在轨道Ⅱ上从A向B运动过程中，万有引力对卫星做负功，动能逐渐减小，速率也逐渐减小，所以卫星在轨道Ⅱ上过A点的速率比卫星在轨道Ⅱ上过B点的速率大，选项B错误．设卫星在轨道Ⅰ上运行的轨道半径为r1、轨道Ⅱ的半长轴为r2、在轨道Ⅲ上运行的轨道半径为r3.根据图中几何关系可知r1<r2<r3，又由开普勒第三定律有＝k，可得T1<T2<T3，选项C正确．卫星在B点要进入Ⅲ必须加速做离心运动，所以卫星在B点通过点火加速可实现由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ，选项D错误．答案：AC思维拓展典例1 解析：地球近地卫星做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律：mg＝mR T＝2π，此卫星运行周期是地球近地卫星的2倍，所以该卫星运行周期T′＝4π，由＝m′r，＝m′g，得r＝2R.如图，当卫星在阴影区时不能接受阳光，据几何关系：∠AOB＝∠COD＝，卫星绕地球一周，太阳能收集板工作时间为：t＝T′＝.答案：C典例2 解析：设卫星运行周期为T1，则有G＝(h＋R)物体处于地面上时有G＝m0g解得T1＝在一天内卫星绕地球转过的圈数为，即在一天中有次经过赤道上空，所以每次摄像机拍摄的赤道弧长为s＝＝T1，将T1代入，可得s＝.答案：。
质点运动知识学习题集解答
第一章质点运动学重点难点：本章重点：描述物体机械运动物理量的理解和掌握，如位置矢量、位移、速度和加速度等概念；运动学中的两类问题：第一类问题是已知质点的运动方程求速度和加速度，第二类问题是已知加速度、初速度和初始位置求质点的运动方程；掌握圆周运动中的角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度，线量与角量之间的对应关系。
难点：位置矢量、位移、速度、加速度等物理量的矢量性、瞬时性、叠加性、相对性的理解；运动学的两类问题的灵活应用。
解题思路：本章中的描述物体机械运动物理量的确定需要先选择合适的参考系和坐标系，然后根据各物理量的定义求解，比较常用的坐标系是笛卡尔坐标系和柱坐标系以及极坐标系。
对于运动学第一类问题已知质点的运动方程求速度和加速度采用的一般方法是求导，第二类问题已知加速度、初速度和初始位置求质点的运动方程一般是积分。
对于矢量运算一定要注意方向性，一般先可分解到各分坐标矢量上上进行代数运算，再进行矢量合成。
一选择题1．下列说法中，正确的是（）A. 一物体若具有恒定的速率，则没有变化的速度B. 一物体具有恒定的速度，但仍有变化的速率C. 一物体具有恒定的加速度，则其速度不可能为零D. 一物体具有沿x轴正方向的加速度，其速度有可能沿x轴的负方向答案：D。
简要分析：本题考查对速度、速率和加速度等概念的正确理解，速度和位矢是描述物体机械运动状态的两个基本物理量，速度既有大小也有方向，速度的大小等于速率，加速度是单位时间内速度的改变，也具有方向性。
2. 某质点作直线运动的运动方程为x =3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作 （ ） A. 匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 B. 匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 C. 变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向 D. 变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向 答案： D简要分析：本题属于运动学的第一类问题，已知运动方程求速度加速度等物理量，采取的方法是先根据运动方程对时间求导，再带入相应的数据求解。
1质点运动学
1质点运动学第1章质点运动学⼀、基本要求1．理解描述质点运动的位⽮、位移、速度、加速度等物理量意义；2．熟练掌握质点运动学的两类问题：即⽤求导法由已知的运动学⽅程求速度和加速度，并会由已知的质点运动学⽅程求解位⽮、位移、平均速度、平均加速度、轨迹⽅程；⽤积分法由已知的质点的速度或加速度求质点的运动学⽅程；3．理解⾃然坐标系，理解圆周运动中⾓量和线量的关系，会计算质点做曲线运动的⾓速度、⾓加速度、切向加速度、法向加速度和总加速度； 4．了解质点的相对运动问题。
⼆、基本内容（⼀）本章重点和难点：重点：掌握质点运动⽅程的物理意义及利⽤数学运算求解位⽮、位移、速度、加速度、轨迹⽅程等。
难点：将⽮量运算⽅法及微积分法应⽤于运动学解题。
（提⽰：⽮量可以有⿊体或箭头两种表⽰形式，教材中⼀般⽤⿊体形式表⽰，学⽣平时作业及考试请⽤箭头形式表⽰）（⼆）知识⽹络结构图：相对运动总加速度法向加速度切向加速度⾓加速度⾓速度曲线运动轨迹⽅程参数⽅程位⽮⽅程质点运动⽅程运动⽅程形式平均加速度加速度平均速度速度位移位⽮基本物理量,,,,:)(,,（三）容易混淆的概念： 1.瞬时速度和平均速度瞬时速度（简称速度），对应于某时刻的速度，是质点位置⽮量随时间的变化率，⽤求导法；平均速度是质点的位移除以时间，对应的是某个时间段内的速度平均值，不⽤求导法。
2. 瞬时加速度和平均加速度瞬时加速度（简称加速度），对应于某时刻的加速度，是质点速度⽮量随时间的变化率，⽤求导法；平均加速度是质点的速度增量除以时间，对应的是某个时间段内加速度的平均值，不⽤求导法。
3.质点运动⽅程、参数⽅程和轨迹⽅程质点运动⽅程（即位⽮⽅程），是质点位置⽮量对时间的函数；参数⽅程是质点运动⽅程的分量式；⽽轨迹⽅程则是从参数⽅程中消去t 得到的，反映质点运动的轨迹特点。
4．绝对速度、相对速度和牵连速度绝对速度是质点相对于静⽌参照系的速度；相对速度是质点相对于运动参照系的速度；牵连速度是运动参照系相对于静⽌参照系的速度。
高一物理难题运动学知识点
高一物理难题运动学知识点运动学是物理学中的一个重要分支，研究物体的运动规律和运动状态，对于解决物理难题具有重要的作用。
本文将介绍几个高一物理常见的难题，并结合运动学知识点进行解析。
问题一：一辆汽车以15 m/s的速度匀速行驶了20 s，求汽车行驶的距离。
解析：根据题目中给出的速度和时间，我们可以使用运动学中的公式来计算汽车行驶的距离。
首先，我们知道匀速运动的速度保持不变，所以汽车的速度为15 m/s。
其次，题目给出的时间为20 s。
根据运动学公式：速度 = 距离 ÷时间，可得：距离 = 速度 ×时间。
代入已知的数值计算可得：距离 = 15 m/s × 20 s = 300 m。
所以，汽车行驶的距离为300米。
问题二：一个小球从地面上沿竖直上抛的轨迹飞起，求小球的最大高度和上升时间。
解析：对于这个问题，我们需要运用运动学中的竖直上抛运动的相关知识。
首先，我们假设小球从地面上抛的初速度为v0。
当小球达到最大高度时，它的速度为零。
根据上抛运动的运动学公式：v = v0 + at，其中v为最终速度，v0为初速度，a为加速度，t为时间。
由于最大高度时速度为零，代入相关数值可得：0 = v0 - 9.8t（重力加速度为9.8 m/s^2）。
解方程可得：t = v0 / 9.8。
所以，小球上升的时间为t = v0 / 9.8 s。
其次，利用竖直上抛运动的位移公式：h = v0t - (1/2)gt^2，其中h为位移（最大高度），将上升时间t代入可得：h = v0(v0 / 9.8) - (1/2)(9.8)(v0 / 9.8)^2。
化简后可得：h = (v0)^2 / (2 × 9.8)。
所以，小球的最大高度为h = (v0)^2 / (2 × 9.8)米。
问题三：一个自由下落的物体从100米高的位置下落，求物体落地的时间。
解析：对于自由下落的物体来说，我们可以利用重力加速度的概念来求解下落时间。
追及问题求解方法
追及问题求解方法追及相碰是运动学中研究同一直线上两个物体运动时常常涉及的两类问题，也是匀速直线运动规律在实际问题中的具体应用.1、追及、相碰的特征追及的主要条件是两个物体在追赶上时处在同一位置，常见的情形有三种：一是初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速的物体乙时，一定能追上，在追上之前两者有最大距离的条件是两物体速度相等，即V甲=V乙。
二是匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的物体乙时，存在一个恰好追上或恰好追不上的临界条件是两物体速度相等，即V甲=V乙。
此临界条件给出了一个判断此中追赶情形能否追上的方法，即可通过比较两物体处在同一位置时的速度大小来分析，具体方法是：假定在追赶过程中两者能处在同一位置，比较此时的速度大小，若V甲>V乙，则能追上，若V 甲<V乙，则追不上，如果始终追不上，当两物体速度相等时，两物体的间距最小。
三是匀减速运动的物体追赶同方向的匀速运动的物体时，情形跟第二种相类似。
两物体恰能“相碰”的临界条件是两物体处在同一位置时，两物体的速度恰好相等2、解“追及”、相碰问题的思路：解题的基本思路是：1.根据两物体运动过程的分析，画出物体运动的示意图。
2.根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程。
注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中。
3.由运动示意图找出两物体位移的关联方程。
4.联立方程求解。
3、分析追及、相碰问题应注意：1.分析追及、相碰问题时，一定要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两个物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小、恰好追上或恰好追不上等。
两个关系：时间关系和位移关系。
其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口。
因此，在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯。
2.若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否停止运动。
3、仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件。
如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
(完整版)位移的两类基本问题
(完整版)位移的两类基本问题引言位移是物体从一个位置到另一个位置的变化。
在物理学和工程学中，位移是一个重要的概念，被广泛应用于测量、分析和设计中。
本文将介绍位移的两类基本问题：相对位移和绝对位移。
相对位移相对位移指的是物体相对于某个参考点的位置变化。
它是一个相对的概念，只关注物体自身的位移，而不考虑参考点的位移。
相对位移常用于分析物体相对运动的性质，比如速度、加速度等。
在运动学中，相对位移通常用矢量表示。
相对位移的计算可以通过各种方法实现。
在一维运动中，物体的相对位移等于终点位置减去起点位置。
在二维或三维运动中，可以使用向量来表示物体的位移，通过向量的减法运算来计算相对位移。
绝对位移绝对位移指的是物体相对于参考坐标系原点的位置变化。
它是一个绝对的概念，关注物体相对于整个坐标系的位移。
绝对位移常用于测量物体的位置和距离，比如地理测量、工程测量等。
在工程学中，绝对位移具有重要的实际应用，可以用于定位、导航和控制等方面。
绝对位移的计算需要有一个确定的参考坐标系。
比如地理坐标系使用经度和纬度作为参考，工程中常用的坐标系可以是直角坐标系或极坐标系。
物体的绝对位移可以通过与参考点之间的距离和方向来描述。
总结相对位移和绝对位移是描述物体位置变化的两个基本概念。
相对位移关注物体相对于参考点的位移，常用于分析物体的运动性质。
绝对位移关注物体相对于参考坐标系原点的位移，常用于测量物体的位置和距离。
在实际应用中，选择合适的位移定义和计算方法对于问题的解决非常重要。
参考资料- 张宇. (2018). 高中物理基础强化. 北京：人民邮电出版社.- 刘玉坤, 周楷明, 王东. (2010). 大学物理学教程. 北京：高等教育出版社.。
(完整版)力学的两类基本问题
(完整版)力学的两类基本问题引言力学作为物理学的一个重要分支，研究物体的运动规律和力的作用。
在力学中，存在两类基本问题，即静力学和动力学。
本文将对这两类基本问题进行详细介绍和解释。
一、静力学问题静力学是研究物体在平衡状态下的力学问题。
它研究物体之间力的平衡关系，包括弹簧的弹性、杆的受力、物体的支持力等。
在静力学中，物体处于静止或匀速直线运动状态，不涉及速度和加速度的概念。
在静力学中，我们需要研究物体所受的各种力的大小和方向，通过求解力的合成和分解问题，确定物体是否处于平衡状态。
平衡状态意味着物体所受的合力为零，这是静力学问题的基本条件。
二、动力学问题动力学是研究物体运动状态的力学问题。
它研究物体在受到力的作用下的运动规律，包括速度、加速度、位移等。
动力学问题与静力学问题不同，它考虑了物体的运动状态和力的改变。
在动力学中，我们需要分析物体所受的力和物体运动状态的关系，通过运动学方程、牛顿定律等公式，求解物体的加速度、速度和位移。
动力学问题的求解需要考虑力的合成、分解，以及物体的质量等因素。
结论力学作为一门重要的物理学科，研究了力的作用和物体的运动规律。
力学中存在两类基本问题，静力学和动力学。
静力学研究物体在平衡状态下的力学问题，而动力学研究物体在受力作用下的运动规律。
静力学问题关注力的平衡，动力学问题关注物体的运动状态和力的改变。
通过对两类基本问题的研究，我们能够更好地理解物体的运动规律和力的作用。
对于工程和物理学研究而言，正确理解和应用静力学和动力学的原理，能够提高工程设计和科学研究的准确性和可靠性。
参考资料- 高级物理学教程：第1卷、第2卷，人民教育出版社- 弹性力学导论，北京大学出版社。
1. 力学及狭义相对论复习
ˆ n
ds 速率： dt ds 速度： ˆ ˆ dt
——法向单位矢量 P ˆ s O
.
ˆ n
轨迹上各点处，自然 坐标轴的方位不断变化。 9
ds 速度： ˆ ˆ dt
d 切向加速度：a ˆ dt d 大小： a dt
1. 参照系（Reference System） 为描述物体的运动而选择的标准物叫做参照系。 选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不 同，这就是运动描述的相对性。 2. 坐标系（Coordinate System） 引入坐标系的必要性： 定量地描述物体相 对于参照系的运动。 物理学中常用的坐标系： 直角坐标系、球坐标系、极坐标系、自然坐标系等
2 法向加速度：a ˆ n n
2 大小： an
方向：沿轨道切线方向。 方向：沿半径指向圆心。
2 d ˆ ˆ ˆ a aˆ ann n dt
总加速度的大小：
a an a
1
2
2
an 方向： tan a
圆周运动
角速度、角加速度：
基本物理量
位置矢量 位移 瞬时速度 加速度
r rB rA dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
r xi yj zk
r , r , v , a
dv a dt
dv x dv y dvz a i j k dt dt dt
选物体；查受力；看运动；列方程；求其解。 1）确定研究对象，几个物体连在一起的须 作隔离体；
2）进行受力分析，按照先重力、弹力、再 摩擦力的顺序画受力图；
3）分析选定物体的运动过程，确定加速度；
(完整版)运动学的两类基本问题
(完整版)运动学的两类基本问题引言运动学是物理学中研究物体运动的一个分支，其中存在着两类基本问题：描述物体运动和预测物体运动。
本文将介绍这两类基本问题，并探讨它们的应用。
描述物体运动问题描述物体运动问题旨在通过测量和描述物体的位置和速度来描绘物体在给定时间内的运动状态。
主要涉及到以下几个方面：位置位置是物体在空间中的坐标点，可以通过使用参考系和坐标系进行测量和描述。
常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系等。
通过测量物体在不同时间点的位置，我们可以了解物体在空间中的轨迹和移动方向。
速度速度描述了物体在单位时间内移动的距离，是物体位置随时间的变化率。
速度可以是瞬时速度，即在某一瞬间的速度；也可以是平均速度，即在给定时间段内的速度平均值。
通过测量物体在不同时间点的位置变化，我们可以计算出物体的瞬时速度或平均速度。
加速度加速度是速度随时间的变化率，描述了速度的改变情况。
与速度类似，加速度也可以是瞬时加速度和平均加速度。
通过测量和计算物体在不同时间点的速度变化，我们可以获得物体的瞬时加速度或平均加速度。
描述物体运动问题可以帮助我们了解物体在不同时间点的位置、速度和加速度的变化情况，进而对物体的运动状态进行全面的描述。
预测物体运动问题预测物体运动问题旨在根据物体的已知运动规律和初始条件，预测物体在未来的位置、速度和加速度。
常见的预测方法包括以下几个方面：简单运动模型简单运动模型假设物体的运动是简单的，例如匀速直线运动、匀速圆周运动等。
通过利用这些已知的运动规律和物体的初始条件，我们可以预测物体的未来位置、速度和加速度。
复杂运动模型复杂运动模型假设物体的运动是复杂的，例如自由落体运动、抛体运动等。
在这些情况下，我们需要运用更复杂的物理理论和数学方法，如牛顿运动定律、微分方程等，来预测物体的未来运动状态。
预测物体运动问题可以帮助我们在实际应用中对物体进行位置、速度和加速度的预测，以便采取相应的措施和决策。
应用运动学的两类基本问题在许多领域中都具有广泛的应用，例如：- 交通规划：通过预测车辆的运动状态，合理安排交通路线和交通信号，以达到交通流量优化的目的。
运动学的两类基本问题(习题课)
文艺复兴时期
伽利略等科学家通过实验观测和数学分析， 建立了经典运动学的基础。
近代
随着物理学和数学的进步，运动学得到进一 步发展，出现了相对论和量子力学等新理论 。
02
运动学的一类基本问题：求速度和 加速度
匀速直线运动的速度和加速度
速度公式
$v = text{constant}$
加速度公式
$a = 0$
03
速度公式
$v = at$。
04
路程公式
$S = frac{1}{2}at^{2}$。
匀减速直线运动的位移和路程
匀减速直线运动
物体在相等的时间内速度减少 的位移相等，即加速度保持不
变的运动。
位移公式
$x = frac{v^{2}}{2a}$，其中 $v$是初速度。
速度公式
$v = v_{0} - at$，其中$v_{0}$ 是初速度。
02
03
04
在匀速阶段，速度保持v不变， 位移s2=vt。
匀速到匀加速再到匀速的过程分析
初始速度为v0，加速 度为a的匀加速运动， 直到速度达到2v0后 做匀速运动。
在匀速阶段，速度保 持2v0不变，位移 s2=2v0t。
在匀加速阶段，位移 s1=(v0+2v0)t/2=3v 0t/2，速度v1=a*t。
路程公式
$S = frac{v^{2} v_{0}^{2}}{2a}$。
04
运动学的综合问题：多过程问题
匀加速到匀速再到匀减速的过程分析
在匀加速阶段，位移s1=1/2at^2， 速度v1=at。
在匀减速阶段，加速度为-a，位 移s3=vt-1/2at^2，末速度为0。
01
初始速度为0，加速度为a的匀加 速运动，直到速度达到v后做匀速 运动，最后以-a的加速度做匀减 速运动直至静止。
运动学正问题和逆问题
运动学正问题和逆问题
运动学正问题和逆问题是在机械工程、物理学和工程学等领域中经常遇到的问题。
这两种问题涉及到物体或系统的运动规律和运动状态，通过求解这些规律和状态可以得出有用的信息和结论。
1. 正问题
正问题是已知运动规律和初始条件，求解系统的运动状态或结果的问题。
在运动学中，正问题通常是指已知系统的运动方程和初始条件，求解系统在某个时刻的位置、速度和加速度等运动状态参数。
正问题可以通过数值求解或解析求解的方法得到解决，其中解析求解方法包括分离变量法、行波法、特征线法等。
通过正问题的求解，可以预测系统的未来状态，掌握系统的运动规律，为控制和优化系统的性能提供依据。
2. 逆问题
逆问题则是已知运动状态和结果，求解系统的运动规律或初始条件的问题。
在运动学中，逆问题通常是指已知系统的运动状态参数和结果，求解系统的运动方程或初始条件。
逆问题相对于正问题更为复杂，因为系统的运动规律往往是非线性的，而且往往存在多个解，需要采用合适的方法进行求解。
常用的求解逆问题的方法包括牛顿法、拉格朗日法、哈密顿法等。
通过逆问题的求解，可以了解系统的内部结构和规律，为设计和改进系统提供依据。
总之，运动学正问题和逆问题是相互关联的两个方面，它们的求解方法在机械工程、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用价值。
通过正问题和逆问题的求解，可以更好地理解系统的运动规律和性能，为控制和优化系统的性能提供依据，为设计和改进系统提供支持。
运动学中的两类问题
为正常数，设t=0时，x=0，=0。求质点的速度和运
动方程。
解
d k 2 分离变量得
dt
d t
kdt
0 2
0
1 ( 1 ) kt
0
0 0kt 1
dx dx dt
dt
x
t
dx
0
dt
0
0 1 0kt
x
1 k
ln(0kt
1)
练习:P18 2－(2) 作业:P18 3－1.3.6
0
t0
t
0
a(t)dt
t0
由 dx
dt
初始条件 t = t 0 ，x = x0
可得
x
t
dx (t)dt
x0
t0
t
x x0
(t)dt
t0
3
例1: 一质点沿x轴正向做自由落体运动，其加速度
a=g，设t=0时，x0=0，0=0 。试求该质点做自由落体 运动的和x表达式。
解
a d g 分离变量得
5
（2）由速度定义得
dr
dx
i
dy
j 3i 8tj (m/s)
（3）由加速度的定义得
dt
a
dt d
dt
8 j (m/s2 )
dt
x
1
例2: 一质点沿半径为1 m的圆周运动，它通过的弧长 s按s＝t＋2t2的规律变化。问它在2 s末的速率、法向 加速度和切向加速度各是多少？
解 （1）由速率定义，有 ds 1 4t dt
运动学中的两类问题
一、已知运动方程，求速度和加速度
dr
a
d
dt
例1：已知一质点的运动方程为
大学物理1-2 求解运动学问题举例
1 – 2 求解运动学问题举例
第一章 力和运动
解
a ay g g j
y
ax
0
v0t
r
v0t
1 2
gt
2
按已知条件，t=0时，有 O
rv0
vox v0 cos
ax 0
voy v0 sin
ay g
1 gt 2 2
P
x
1 – 2 求解运动学问题举例
第一章 力和运动
解得：
x v0 cos t
y
v0
sin
t
1 2
gt2
轨迹方程为：
y
x
tan
2v02
y cos2
x2
y voy
v0
v y v
v x
v x
o α vox
d0
v y
vx
1 – 2 求解运动学问题举例
第一章 力和运动
求最大射程
d0
2v02 g
sin
（3）质点的轨迹方程。
解：（1）质点在任一时刻的速度为
v v0
t (6tˆj)dt 2iˆ 3t 2 ˆj (m / s)
0
a d
dt
（2）质点的运动学方程为：
r r0
t (2iˆ 3t 2 ˆj)dt 2tiˆ t 3 ˆj
0
(m)
例 1-1 已知质点在直角坐标系中作平面运动，其运动
方程为
r(t) (t 2)iˆ (1 t 2 2) ˆj 4
11年大学物理竞赛指导经典力学选例
大学物理竞赛指导-经典力学选例一．质点运动学基本内容：位置，速度，加速度，他们的微积分关系，自然坐标下切、法向加速度，*极坐标下径向速度，横向速度，直线运动，抛物运动，圆周运动，角量描述，相对运动1.运动学中的两类问题(1)已知运动方程求质点的速度、加速度。
这类问题主要是利用求导数的方法。
例1 一艘船以速率ｕ驶向码头P ，另一艘船以速率v 自码头离去，试证当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为： ()()ααcos :cos v v ++u u 设航路均为直线，α为两直线的夹角。
证：设任一时刻船与码头的距离为x 、y ，两船的距离为l ，则有 αc o s 2222xy y x l -+=对ｔ求导，得()()tx y t y x t y y t x x t l l d d c o s 2d d c o s 2d d 2d d 2d d 2αα--+= 将v , =-=t y u t x d d d d 代入上式，并应用0d d =tl 作为求极值的条件，则得 ααcos cos 0yu x y ux +-+-=v v()()ααc o s c o s u y u x +++-=v v由此可求得 ααc o sc o s v v ++=u u y x 即当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为()()ααc o s c o s v : v ++u u(2)已知质点加速度函数a ＝a (x ，v ，t )以及初始条件，建立质点的运动方程。
这类问题主要用积分方法。
例2 一质点从静止开始作直线运动，开始时加速度为a 0，此后加速度随时间均匀增加，经过时间τ后，加速度为2a 0，经过时间2τ后，加速度为3 a 0 ,…求经过时间n τ后，该质点的速度和走过的距离。
解：设质点的加速度为 a = a 0+α t∵ t = τ 时， a =2 a 0 ∴ α = a 0 /τ即 a = a 0+ a 0 t /τ ， 由 a = d v /d t ， 得 d v = a d tt t a a td )/(d 0000τ⎰⎰+=v v∴ 2002t a t a τ+=v由 v = d s /d t ， d s = v d t t t a t a t s tt s d )2(d d 200000τ+==⎰⎰⎰v 302062t a t a s τ+= t = n τ 时，质点的速度 ττ0)2(21a n n n +=v 质点走过的距离 202)3(61ττa n n s n += 2.相对运动例3 有一宽为l 的大江，江水由北向南流去．设江中心流速为u 0，靠两岸的流速为零．江中任一点的流速与江中心流速之差是和江心至该点距离的平方成正比．今有相对于水的速度为0v 的汽船由西岸出发,向东偏北45°方向航行，试求其航线的轨迹方程以及到达东岸的地点．解：以出发点为坐标原点，向东取为x 轴，向北取为y 轴，因流速为-y 方向，由题意可得 u x = 0u y = a (x -l /2)2＋b 令 x = 0, x = l 处 u y = 0, x = l /2处 u y ＝－u 0，代入上式定出a ＝4u 0/l 2、ｂ＝－u 0，而得 ()x x l l u u y --=204 船相对于岸的速度v (v x ，v y )明显可知是 2/0v v =xy y u +=)2/(0v v ， 将上二式的第一式进行积分，有t x 20v = 还有，xy t x x y t y y d d 2d d d d d d 0v v ====()x x l l u --20042v 即 ()x x l l u x y --=020241d d v 因此，积分之后可求得如下的轨迹(航线)方程：302020032422x l u x l u x y v v +-= 到达东岸的地点(x '，y ' )为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=='='=003231v , u l y y l x l x二．质点动力学1.牛顿运动定律基本内容：牛顿运动三定律，惯性力(1)运用微积分处理力学问题：根据力函数的形式选择运动定律的形式；正确地分离变量例4 如例4图，光滑水平面上固定一半径为r 的薄圆筒，质量为m 的物体在筒内以初速率v 0沿筒的内壁逆时针方向运动，物体与筒内壁接触处的摩擦系数为μ。
追及相遇问题
D.
（D） ）
变式训练2
在例4的已知条件下， 甲追上乙之前 甲追上乙之前， 在例 的已知条件下，(1)甲追上乙之前， 甲 、 乙之间的 的已知条件下 最大距离是多少？ 最大距离是多少？ (2)5～15 s内乙车的位移大小是多少？ ～ 内乙车的位移大小是多少？ 内乙车的位移大小是多少 解析 (1)v－t图象的面积之差表示位移之差，甲追上乙之 v－ 图象的面积之差表示位移之差， 图象的面积之差表示位移之差 前，甲、乙之间的最大距离 ∆x＝1×10×5 m＝25 m. ＝ × ＝
＝ 答案 3 m
例2 甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线 运动， ＝ 时刻同时经过公路旁的同一个路标 时刻同时经过公路旁的同一个路标． 运动 ， t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标． 在描述两车 运动的v－ 图中 如图9－ 所示 直线a、 分别描述了甲 图中(如图 所示)， 分别描述了甲、 运动的 － t图中 如图 － 3所示 ， 直线 、 b分别描述了甲、 乙两车在0~20 s的运动情况 关于两车之间的位置关系，下列 的运动情况.关于两车之间的位置关系 乙两车在 的运动情况 关于两车之间的位置关系， 说法正确的是( ) 说法正确的是
图9－3 － A．在0～10 s内，两车逐渐靠近 ． ～ 内 B．在10～20 s内，两车逐渐远离 ． ～ 内 C．在5～15 s内，两车的位移相等 ． ～ 内 D．在t＝10 s时，两车在公路上相遇 ． ＝ 时
图象与时间轴所围面积的关系， 分析 由v－t图象与时间轴所围面积的关系，可分析判断 － 图象与时间轴所围面积的关系 不同时间段内两物体的位移关系．另外要明确v－ 图线交点 不同时间段内两物体的位移关系．另外要明确 －t图线交点 的物理意义． 的物理意义． 根据v－ 图线与时间轴所围面积表示位移可知 图线与时间轴所围面积表示位移可知： 解析 根据 －t图线与时间轴所围面积表示位移可知：在 0～10 s内，两车的位移差逐渐增大，即两车在远离，选项 ～ 内 两车的位移差逐渐增大，即两车在远离，选项A 错误；在10～20 s内，甲的位移增加得多，两车在靠近， 到 错误； ～ 内 甲的位移增加得多，两车在靠近， 20 s末两车相遇，选项 错误；在5～15 s内，由图线的对称 末两车相遇，选项B错误 错误； 末两车相遇 ～ 内 关系知两图线在此时间段与时间轴所围面积相等， 关系知两图线在此时间段与时间轴所围面积相等，故两车位 移相等， 选项C正确 正确； － 图线的交点表示该时刻速度相等 图线的交点表示该时刻速度相等， 移相等 ， 选项 正确 ； v－t图线的交点表示该时刻速度相等， 选项D错误． 选项 错误． 错误 答案 C
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解：（1）本题是一维情况，用正负表示方向
v dx 6 2t(m / s) , a dv 2(m s2 )
dt
dt
（2） 质点作匀减速直线运动，在t=3质点“回头”。
（3）x x5 x1 (6 5 52 ) (6112 ) 0
s x3 x1 x5 x3 8(m)
运动学第一类问题（一维情况）
解: 令t=o 时气球位于坐标原点，由已知，有:
vy
dy dt
v0
(1)
vx
dx dtLeabharlann by(2)y
t
由(1)式
dy
0
0v0dt
得: y v0t
由(2)式:
x
t
dx
0
0 bv0tdt
得:
得到运动方程:
r
1 2
bv0t 2i
气球的距离与高度的关系:
v0tj
x by2
x
1 2
bv0t
运动学的两类问题
1
运动方程是运动学问题的核心，有了质点的位矢 方程，就可求出质点在任一时刻的位置、速度和加速 度，从而了解质点的全部运动状态。 实际的运动学问题中，有两种基本类型：
第一类：已知质点的运动方程，求速度和加速度。 这类问题我们可以根据速度和加速度的定义
用求导的办法求出质点在任意时刻（或任意位置） 时的速度和加速度。
积分：
x
dx
x0
t
vdt
0
t
0 (v0 at)dt
得：x
x0
v0t
1 2
at 2
运动学第 二类问题
7
例速7度、一v质0 点20，在i 加某速参度考系运a 动12，ti 初8位j。(S置I求) rt0=03.5is时j，该初 质点的 y 坐标和 t=1s 时该点的速率。
解：由已知得到：
vy v0 y ayt
第二类：已知速度或加速度以及初始条件，求质点的 运动方程。
这类问题要应用积分的方法来求，在计算上较为 复杂一些。
2
例2、一气球以速率 v0 从地面上升,由于风的影响,随着高 度的上升,气球的水平速率按 vx=by 增大,其中b 是正的常 数, y 是从地面算起的高度, x 轴取水平向右的方向.求: (1) 气球的运动方程; (2) 气球飘移的距离与高度的关系.
2
运动学 第二类问题 （二维情况）
2v0
3
例3、质点的运动方程：r
(t
2)i
(4t
t
3
)
j (SI )
求：（1）质点第一秒末的速度和加速度；（2）
在 t=1 秒到 t=3 秒时间间隔内质点运动的平均
速度和平均加速度。
解：（1）v
dr
i
(4 3t 2 ) j
,
a
dv
6tj
dt
dt
再由
ax
dvx dt
12t
,
y
y0
1 2
ayt 2
vx
t
20 vx
12tdt
0
得到：vx 20 6t 2
vx 26(m / s)
t 0.5s 时 y 2(m) , t 1s 时 vy 8(m / s)
v vx2 vy2 27.2(m / s)
运动学第二类问题（二维情况）
8
t=1 时:
v i j(m / s)
,
a
6 j (m
s2)
(2)
v
r t
r (t
3) r (t
31
1)
i
9j
a
v
v (t
3) v(t
1)
12 j
t
31
运动学第 一类问题
4
例4、一质点沿x 轴作直线运动，其运动方程为已知 ： x=6t-t2 (SI) 求：（1）质点在任意时刻 t 的速度和加速 度；（2）简述质点运动情况；（3）求 t=1 秒到 t=5 秒间质点的位移和路程。
0
0
1 v2 3x 2x3 2
v (6 x 4 x 3)1/2
运动学第 二类问题
6
例6、一质点沿 x 轴作匀变速直线运动，加速 度为a，初速度为 v0 ，初始位置为 x0 ，求任一 时刻质点的速度和位置。
解： a dv dt
v
t
积分： dv adt
v0
0
得：v v0 at
v dx dt
5
例5、一质点沿 x 轴运动,其加速度 a 与位置坐 标的关系为 a=3+6x2 (SI) , 如果质点在原点处的 速度为零 , 试求其在任意位置 x 处的速度 v 。
解 : 本题的关键是得出 x 与 v 的关系
a
dv dt
dv dx dx dt
v dv dx
3
6 x2
v
vdv
x(3 6x2 )dx