分枝定界说明
第15章分枝定界法
算法思想
从活结点表中选择下一个扩展结点通常有两种方式。 ①先进先出（FIFO）法。即从活结点表中取出结点的 顺序与加入结点的顺序相同，因此活结点表的性质与队 列的相同。
②最小耗费或最大收益法。由于解空间中每个结点都 有一个对应的耗费或收益，可将活结点表组织成一个优 先队列，并根据结点的耗费所确定的结点优先级别来选 取下一个结点。
最后G成为扩展结点，生成的结点为N和O，两者 所对应的解都不比当前的最优解更好，因此最优解保 持不变，两者都是叶结点而被删除，此时堆变为空， 搜索过程结束，到达结点L 的搜索为最优解。
已知n = 3， w = [20, 15, 15]， p = [40, 25, 25]， c = 30
算法思想
已知n = 3， w = [20, 15, 15]， p = [40, 25, 25]， c = 30
例15-1
A被删除，由于B的收益值比C的大，因此对B进行 扩展，得到结点D和E，D是不可行的而被删除，E加 入堆中。由于E具有收益值40，而C为0，因此E成为 下一个扩展结点，生成结点J和K，J不可行而被删除， K是一个可行的解，因此K作为目前能找到的最优解 而被记录下来，然后K被删除。
例15-1
接下来扩展结点F，它产生两个孩子L和M，L代表一 个可行的解且其收益值为50，M代表另一个收益值为 15的可行解。G是最后一个扩展结点，它的孩子N和O 都是可行的。由于活结点队列变为空，因此搜索过程 终止，最佳解的收益值为50。
从上述过程可看出，在解空间树上进行的FIFO分枝定界方法 类似于从根结点出发的广度优先搜索，它们的主要区别是在 FIFO分枝定界法中不可行的结点不会被搜索。
分枝定界法
4
x1
x2 x1
16.5 4
x1 0, x2 0
结论1 ：（IP）的最优解一定在某个子问题中
2 ：子问题的可行域 父问题的可行域 子问题的最优解 ≤ 父问题的最优值
3 ：子问题中的整数解都是（IP）的可行解
二: 定界,以每个后继问题为一分枝标明求解结 果,在解的结果中,找出最优目标函数值最大者作 为新的上界.从已符合整数条件的各分支中,找出 目标函数值为最大者作为新的下界,若无,则下界 为0.
x1 x2 x3 x4 x5 解
检 0 0 -20/3 0 -50/3 Z-440/3
x2 0
x1 1 x4 0
1 1/3 0
00
0
0 -1/3 1
-2/3 17/6 13 -10/3 5/3
L1最优解：x1 3，x2 17 6 , x3 0
x4
5 3
,
x5
0,
最优值：z1
440 3
求解子问题L3 :
x1 x2 x3
检 0 0 -20/3
x2 0 1 1/3 x1 1 0 0 x4 0 0 -1/3
x6 0 1 0
x4 x5
x6
0 -50/3 0
00 1
解 Z-440/3 17/6 3 5/3
2
最优解：
xx14
35，/ 2x，2 x52, x03,
11 4，x2 0，x4
3, 52，
z3 130 得下界
x5 14 , x6 0
z4
285 2
z3
L5
:x1 x3
2，x2 0，x4
4.3.1 分枝定界法
四、分枝定界法求解实例
LP0 ： 1 7 5 x1 3 , x 2 2 , Z 3 2 9 9 9
上界： 32 下界： 0 5 9
x1≤3
L P1 ： 6 2 , Z 32 7 7
x1 ≥4
LP 2 ： x 1 4 , x 2 1, Z 2 9
上界： 32 下界： 29 2 7
z 0, z 35 .5
x2≥7 无可行解
z 0, z 35 .3
x1≥5 LP5:X=(5,5) Z5=35 分枝过程图示
z 35, z 35
OR:SM
x* (5,5), z* 35
例2：
MaxZ 6 x1 5 x 2 2 x1 x 2 9 5 x 7 x 35 1 2 s .t . x1 , x 2 0 x1 , x 2 取整数
运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第三节 （I）分枝定界法
1.分枝定界法的创立者 2.分枝定界法求解依据 3. 分枝定界法求解步骤 4.分枝定界法求解实例 5.分枝定界法求解小结 6. 算法应用注意事项
2
OR:SM
一、分枝定界法的创立者
理查德·卡普（Richard Karp）教授1935年1月3日生 于波士顿，从小时起就兴趣广泛，聪明过人。在哈 佛大学时他文理兼修， 1955 年先获得文学学士学位 ，第二年又获得理科硕士学位。之后他进入哈佛大 学的计算实验室攻读博士，于 1959 年取得应用数学 博士学位。现任美国加州大学伯克利分校计算机科 学讲座教授，美国科学院、美国工程院、美国艺术 与科学院、欧洲科学院院士。因其在计算机科学领 域的杰出贡献曾获图灵奖、冯诺依曼奖、美国国家 科学勋章、哈佛大学百年奖章等奖项. 卡普和他的同事海尔特（M．Held）20世纪60年代，经过反复研究，提出 了一种称为“分枝限界法”（branch—and—bound method）的新方法。该方 法的要点是：对解集合反复进行分枝，每次分枝时，都对所得的子集计算最 优解的界。如果对某个子集求得的界不优于已知的允许解，则抛弃此子集不 再进行分枝；否则继续分枝以探索更好的解，直到所得的子集仅含有一个解 时为止。分枝限界法就其实质而言是一种求解策略而非算法，具体算法要根 据实际问题的特点去实现。但由于这种方法在求解许多问题中都非常实用， 因此常常被直呼为“分枝限界算法”。
分枝定界 python
分枝定界 python分枝定界法简介分枝定界法是一种求解组合优化问题的算法，其核心思想是将问题分解成一系列子问题，并对每个子问题使用上界和下界进行限制。
这种分而治之的方法允许算法高效地搜索解决方案空间，并最终确定最优解。
算法步骤1. 初始化：从问题的初始状态开始，并计算该状态的成本下界。
2. 分支：将当前状态分解成多个子状态，每个子状态代表可行的解决方案。
3. 定界：对于每个子状态，计算其成本上界和下界。
4. 剪枝：如果一个子状态的成本上界低于当前最佳解的成本下界，则可以将其剪枝，因为它不可能产生更优解。
5. 递归：对于未被剪枝的子状态，递归地应用分枝定界法。
6. 回溯：如果所有子状态都被剪枝或探索完毕，则回溯到父状态并继续搜索。
优势分枝定界法具有以下优势：保证最优解：算法保证找到最优解，只要问题是整数规划问题。
高效：通过使用上界和下界进行剪枝，算法避免了对整个解决方案空间的穷举搜索。
适用于各种问题：分枝定界法可以用于求解各种组合优化问题，包括旅行商问题、背包问题和装箱问题。
劣势分枝定界法也存在一些劣势：计算量大：对于大规模问题，算法可能需要大量的计算时间。
存储需求：算法需要存储大量信息，包括子问题、上界和下界。
不易并行化：分枝定界法通常不容易并行化，这限制了其在大规模问题上的可扩展性。
改进为了提高分枝定界法的效率，已经提出了多种改进技术：有效的启发式：使用启发式方法来生成良好的初始解，可以减少搜索空间。
松弛：使用线性规划或其他松弛技术来计算更紧的下界。
基于约束的传播：传播约束之间的逻辑关系，以减少剪枝所需的计算。
可变邻域搜索：在当前解周围搜索，以逃离局部最优解。
总体而言，分枝定界法是一种功能强大的算法，可用于求解各种组合优化问题。
通过利用上界和下界进行剪枝，该算法可以高效地搜索解决方案空间，并保证找到最优解。
然而，对于大规模问题，计算量和存储需求可能成为限制因素。
改进技术有助于克服这些限制，并提高算法的效率。
分支定界法概述（1）
分支定界法概述（1）分枝定界-简介分枝定界（branch and bound）是另一种系统地搜索解空间的方法，它与回溯法的主要区别在于对E-节点的扩充方式。
每个活节点有且仅有一次机会变成E-节点。
当一个节点变为E-节点时，则生成从该节点移动一步即可到达的所有新节点。
在生成的节点中，抛弃那些不可能导出（最优）可行解的节点，其余节点加入活节点表，然后从表中选择一个节点作为下一个E-节点。
从活节点表中取出所选择的节点并进行扩充，直到找到解或活动表为空，扩充过程才结束。
分枝定界-方法有两种常用的方法可用来选择下一个E-节点（虽然也可能存在其他的方法）：1) 先进先出（F I F O）即从活节点表中取出节点的顺序与加入节点的顺序相同，因此活节点表的性质与队列相同。
2) 最小耗费或最大收益法在这种模式中，每个节点都有一个对应的耗费或收益。
如果查找一个具有最小耗费的解，则活节点表可用最小堆来建立，下一个E-节点就是具有最小耗费的活节点；如果希望搜索一个具有最大收益的解，则可用最大堆来构造活节点表，下一个E-节点是具有最大收益的活节点。
分枝定界-例子例5-1 【迷宫老鼠】考察图16-3a 给出的迷宫老鼠例子和图1 6 - 1的解空间结构。
使用F I F O分枝定界，初始时取（1，1）作为E-节点且活动队列为空。
迷宫的位置（1 , 1）被置为1，以免再次返回到这个位置。
（1，1）被扩充，它的相邻节点（1，2）和（2，1）加入到队列中（即活节点表）。
为避免再次回到这两个位置，将位置（1，2）和（2，1）置为1。
此时迷宫如图1 7 - 1 a所示，E-节点（1，1）被删除。
节点（1，2）从队列中移出并被扩充。
检查它的三个相邻节点（见图1 6 - 1的解空间），只有（1，3）是可行的移动（剩余的两个节点是障碍节点），将其加入队列，并把相应的迷宫位置置为1，所得到的迷宫状态如图17-1b 所示。
节点（1，2）被删除，而下一个E-节点（2，1）将会被取出，当此节点被展开时，节点（3，1）被加入队列中，节点（3，1）被置为1，节点（2，1）被删除，所得到的迷宫如图17-1c 所示。
分枝定界法的步骤
分枝定界法的步骤
分枝定界法是一种求解组合优化问题的方法，其步骤如下：
1. 确定问题的目标函数以及约束条件：首先需要明确问题的目标函数是什么，以及有哪些约束条件需要满足。
2. 构造初始问题：根据问题的要求，构造一个初始问题，并计算初始问题的目标函数值。
3. 分枝：在初始问题的基础上，对其中的某个变量（或几个变量）进行分枝操作。
将问题划分为多个子问题，每个子问题代表了某个变量取值的一个分支。
4. 计算下界：对于每个子问题，计算出一个下界值。
下界值是一个目标函数值的估计，它不会高于目标函数的最小值。
5. 判断分支：根据计算出的下界值，选择一个最有希望的子问题进行分支，即选择一个下界值最小的子问题。
6. 回溯：从步骤5选择的分支开始，回溯到父问题，跳过部分分支。
7. 重复：重复步骤3到步骤6，直到找到一个满足问题要求的解，或者找到一个可行解的上界值。
8. 定解：通过进一步确定上界值，并进行剪枝操作，选择最优解。
9. 输出：输出最优解及其对应的目标函数值。
需要注意的是，分枝定界法的关键在于如何计算下界值和进行剪枝操作，以减少问题的搜索空间。
常用的技巧有线性规划松弛、最小生成树、割集等。
分枝定界法
束——缩小可行域;将原整数规划问题分枝——分为两个子 规划,再解子规划的伴随规划……通过求解一系列子规划的 伴随规划及不断地定界 .最后得到原整数规划问题的整数最 优解 . 下面结合一个极大化例题来介绍分枝定界法的主要思路 .
例2 某公司计划建筑两种类型的宿舍.甲种每幢占地0.25 ×103m2, 乙种每幢地0.4×103m2.该公司拥有土地3×103m2. 计划甲种宿舍不超过 8 幢,乙种宿舍不超过4幢.甲种宿舍每 幢利润为10万元，乙种宿舍利润为每幢20万元.问该公司应
x2 3 x1, x2 0
问题 B4
max f 20 x1 10 x2
5x1 8x2 60
x1 8
s.t
x2 4 x1 6
x2 4 x1, x2 0
它们的可行域分别为 K3, K4 ( ). 见图3。
第21页/共34页
x2
因为 K4 ，问题 B4
4
无可行解，此问题已
3
作出问题 A1, 的A2伴随规划 B则1, 问B2题, 的可B1行, B2, 域为 K1, K见2图, 2(b). 以下我们将由同一问题分解出的两
个分枝问题称为"一对分枝".
第15页/共34页
x2
4
x2
3
2 1
O
246
8 x1
O
12 4
6
8
x1
(a)
(b)
图2 ( a )
4. 分别求解一对分枝
在一般情况下,对某个分枝问题(伴随规划)求解时,可能出现 以下几种可能:
x1, x2 0, 整数
（1）
第3页/共34页
若暂且不考虑 x1, x取2 整数这一条件.则(1)就变为下列 线性规划 :
分支定界法原理简介
分支定界法原理简介分支定界法是一种广义搜索算法，人工使用非常繁琐，但由于计算机的运算速度快的特点，这种算法十分适合计算机进行。
分支定界法是计算机最擅长的广义搜索穷举算法。
基本思想：1. 松弛模型的最优解要优于其相应的整数规划的解由于松弛模型可行解的区域（多边形）包含了对应的整数规划的可行解的集合（多边形内的整数点），因而松弛模型的解要优于整数规划的解。
这就是说，如果问题是求最大值的，则松弛模型最优解对应的目标函数值必大于或等于整数规划最优解对应的目标函数值；如果问题是求最小值的，则松弛模型的最优解对应的目标函数值必小于或等于整数规划最优解对应的目标函数值。
由此可以推出：2. 松弛模型的最优解如果是整数解，则必然也是整数规划的最优解。
3. 松弛模型的最优解如果不是整数解，则如果问题是求最大值的，松弛模型最优解的目标函数值是整数规划最优解目标函数值的一个上界；如果问题是求最小值的，则松弛模型最优解的目标函数值是整数规划最优解目标函数值的一个下界。
我们用例子来说明用分支定界法求解整数规划的步骤。
例 求下面整数规划的最优解1212121212max 4090s.t. 975672070 ,0x ,Z x x x x x x x x x =++≤+≤≥为整数解 从上述各约束条件可见，是一个可行解，对应的松弛模型目标函数值。
本问题是一个求最大值的问题，因而整数规划最优解的目标函数的下界可以取为0，即取整数规划模型最优值的下界(0,0)0Z =0Z =。
先考虑此整数规划问题的线性松弛模型0：其解为 松弛模型0 0123564.811.82Z x x ===由于松弛模型解的目标函数值是整数规划模型最优值的一个上界，可以取此处的0Z 为整数规划模型最优值的一个上界356Z =。
由于该松弛模型解不是整数解，分原问题为和两个子模型：子模型1和子模型2。
14x ≤15x ≥子模型1子模型2 14≤x 15≥x1123494.002.10Z x x ===2123495.001.57Z x x ===子模型1的形式： 121212112max 4090s.t. 975672070 4x ,0Z x x x x x x x x =++≤+≤≤≥子模型2的形式：121212112max 4090s.t. 975672070 5x ,0Z x x x x x x x x =++≤+≤≥≥所求整数规划模型的最优值不会超过这两个子模型的最优值中大的那个，即349。
5.2 分支定界法
LP
用图解法求松弛问题的最优解，如图所示。
x1＝18/11, x2 =40/11 Z=－218/11≈(－19.8) 即Z 也是IP最小值的下限。 对于x1＝18/11≈1.64，
分枝定界法注意事项：
(1)、分枝变量选择原则： ① 按目标函数系数：选系数绝对值最大者变 量 先分。
对目标值升降影响最大。
② 选与整数值相差最大的非整数变量先分枝。
③ 按使用者经验，对各整数变量排定重要性
的优先顺序。
(2)、分枝节点选择：
① 深探法(后进先出法)：
最后打开的节点最先选，尽快找到整数解。 整数解质量可能不高。 ② 广探法： 选目标函数当前最大值节点，找到的整数 解质量高。慢。
max Z 4 x1 3 x 2
10
B
LP2:X=(4,6.5), Z2=35.5
LP1 LP2 o 3 4 C ①
1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 LP 2 : x1 4 x1 , x 2 0
②
x2
选 择 目 标 值 最 大 的 分 LP 枝 2进 行 分 枝 ， 增 加 约 束 x 2 6及x 2 7， 显 然 x 2 7不 可 行 ， 得 到 线 性 规 划
例5.6 用分枝定界法求解整数规划问题
min Z x1 5 x 2 x 1 x 2 2 IP 5 x1 6 x 2 30 4 x1 x1 , x 2 0且 全 为 整 数
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题(原整数规划 问题的松驰问题)
分支定界法
第三节 分枝定界法
• 分枝定界法基本思想 • 分枝定界法计算步骤
1. 分枝定界法基本思想
最优值比界坏
舍弃
最优解为整数 最优值比界好
最优解为非整 数最优值比界好
分 枝 边界
分枝
1. 分枝定界法基本思想续
0
N
I
B1N
cB B1b B 1b
xr br Z
br xr br 1
1. 分支定界法基本思想续
• 分枝的方法 min c x
Ax b s.t.x 0, x为整数
min c x
Ax b
s.t.xr
br
x 0, x为整数
1. 分枝定界法基本思想续
• 分枝方法示意图
1. 分枝定界法基本思想续
• 定界 1. 当前得到的最好整数解的目标函数值
2. 分枝后计算松弛的线性规划的最优解
整数解且目标值小于原有最好解的值则替代原有 最好解
整数解且目标值大于原有最好解的值则 删除该分 支其中无最优解
非整数解且目标值小于原有最好解的值则继续分 支
非整数解且目标值大于等于原有最好解的值则删 除该分支其中无最优解
2. 分枝定界法计算步骤
z z 3x52xz(2,1()1,332.2)5xx例((xPP2))(x231.25.,(1323) ,(52.Px))1z(P1解) (4xP答(x)P1)3 x 无解(2,x32) 2无z 解(P )72 5 1 5 13 T T 1 3 115 0 T 2T 0 3 12 1 6 2 2 T 2 4
2. 分枝定界法计算步骤-例题
• 例3.3.1
minZ (x1 x2 )
23分枝定界法
10
(2)、分枝节点选择： ① 深探法(后进先出法)： 最后打开的节点最先选，尽快找到整数解。 整数解质量可能不高。 ② 广探法： 选目标函数当前最大值节点，找到的整数 解质量高。慢。
11
0－1问题的分枝定界法（背包问题)
例： maxZ=12X1 + 12X2 + 9X3 + 15X4 + 90X5
(5) 216 X3=X7=X5= 1 X4=1/3
§2.3
基本思路 maxZ=CX
分枝定界法
AX=b
(A) X 0 (B)
maxZ=CX AX=b X 0
X为整数 (B)为(A)的松弛问题。
1
i+1
Xj*
i
X*
(C)
(B)
Xj i+1 (D)
(B)
Xj i
2
例：
maxZ=40X1 + 90X2 9X1+7X2 56 7X1+20X2 70 X1 , X2 0 X1 , X2为整数
2
3 4 5 6 7
4
3 3 15 13 16
12
9 15 90 26 112
3
3 5 6 2 7 ①
13
③ ②
X1=1 (1) 219 X1=X7=X5= 1 X4=1 X =1/3 4 X4=0 (9) (10) 217 217 X1=X4=X7= X1=X7=X5= 1 1 X5=13/5 X2=1/4
(C)： (B）加约束Xj [bj ] (D)：(B)加约束Xj [bj ]+1
7
(5)、解(C)、(D)
剪枝条件：① (C)，[(D)]无可行解
分枝定界法
2x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP4 : x1 ≥ 4，x2 ≤ 6，x1 ≤ 4 x1 , x2 ≥ 0 即x1 = 4, 可行域是一条线段
6
LP1 LP3
max Z = 4 x1 + 3x2
LP5:X=(5,5),Z5=35 1.2 x1 + 0.8x2 ≤ 10
C o 3 4 5 10
B
1.2x1 + 0.8x2 ≤ 10 2 x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP1 : x1 ≤ 3 x1 , x2 ≥ 0 max Z = 4 x1 + 3x2
LP1
LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5
LP2
C o 3 4 10
1.2x1 + 0.8x2 ≤ 10 2 x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP2 : x1 ≥ 4 x1 , x2 ≥ 0
x1
x2 ① ② 10 A
选择目标值最大的分枝 2进行分枝，增加约束 LP x2 ≤ 6及x2 ≥ 7，显然x2 ≥ 7不可行，得到线性规划
max Z = 4 x1 + 3x2
x2 ≥ 7不可行
B 6
LP1 LP3
1.2 x1 + 0.8x2 ≤ 10 2x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP3 : x1 ≥ 4，x2 ≤ 6 x1 , x2 ≥ 0
1.2x1 + 0.8x2 = 10
10 A B
松弛问题LP0的最优解 X=(3.57,7.14),Z0=35.7
2x1 + 2.5x2 = 25
C o 10 x1
x2 ① ② 10 A
增加约束x1 ≤ 3及x1 ≥ 4得到两个线性规划
简单介绍分支界定法与割平面法
缺点：某些变量要求整数不能运用到对数，指数函数中分支界定法：分枝定界法是一个用途十分广泛的算法，运用这种算法的技巧性很强，不同类型的问题解法也各不相同。
分支定界法的基本思想是对有约束条件的最优化问题的所有可行解（数目有限）空间进行搜索。
该算法在具体执行时，把全部可行的解空间不断分割为越来越小的子集（称为分支），并为每个子集内的解的值计算一个下界或上界（称为定界）。
在每次分支后，对凡是界限超出已知可行解值那些子集不再做进一步分支。
这样，解的许多子集（即搜索树上的许多结点）就可以不予考虑了，从而缩小了搜索范围。
这一过程一直进行到找出可行解为止，该可行解的值不大于任何子集的界限。
分枝定界法已经成功地应用于求解整数规划问题、生产进度表问题、货郎担问题、选址问题、背包问题以及可行解的数目为有限的许多其它问题割平面法：它的基本思想和分枝界定法基本上一致，首先不考虑变量的整数约束，利用单纯形法求解出线性规划的最优解，如果得到的解是整数那么这个最优解就是原来问题的最优解，如果最优解不是整数解，则就用一张平面将原来的含有最优解的非整数点但不包含整数可行解的点的那一部分可行域切割掉，也就是在原来的整数线性规划的基础上增加适当的线性约束不等式，这个约束不等式就叫切割不等式当其取等号时就是割平面了。
此后，继续解这个新得到的整数线性规划，如果得到的新最优解是整数，运算就停止，如果不是整数则继续增加适当的线性约束不等式，直到求出的解满足最优整数要求为止。
通过构造一系列平面来切割掉不含有任何整数可行解的部分，最终获得一个具有整数坐标的顶点的可行域，而该顶点恰好是原整数规划的最优解。
割平面法的关键在于，如何构造切割不等式，使增加该约束后能达到真正的切割而且没有切割掉任何整数可行解。
单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。
单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。
3.2分枝定界法
L 3 : x = 3，x = 2, 1 2 L 4 x1 = 11 4，x2 = 3, : x3 = 5 / 2，x4 = 5 / 2， x3 = 0，x4 = 5 ， x5 = 0, x6 = 0 2 z 3 = 130 得下界 x5 = 1 , x 6 = 0 4 z 4 = 285 ≥ z 3 2
x6
0 0 0 0
1
解 Z-440/3 17/6 3 5/3 -1/6
解 Z-440/3 17/6 3 5/3
x2 x1 x4
最优解： x1 = 11 ，x2 = 3, x3 = 0， 4 5 ，x = 1 , x = 0 x4 = 2 5 4 6 最优值：z 3 = 285 2
x3
-15 0 1/2 -2 -1/2
分枝定界法计算过程：
讨论松弛问题 L 0 : 1、 L0无最优解， 则(IP )无最优解 结束
上界
2、最优解 X *0 = ( x *01 ， x *02 , , x * on ), 最优值 z 0 (1) X *0 为整数解 ，则X *0 为( IP)的最优解 结束 ( 2 ) X * 0 中至少有一个是分数，设x *01 是分数 ：分枝
混合型
L 0 : x1 = 3.5，x 2 = 2.5, x3 = 0，x 4 = 0, z 0 = 155
松弛问题 L 0 ； max z = 30 x 1 + 20 x 2 2 x 1 + 3 x 2 + x 3 = 14 . 5 s .t 4 x 1 + x 2 + x 4 = 16 . 5 x1 , x 2 , x 3 , x 3 ≥ 0 L0的最优单纯型表：
剪枝
L6 :
求解子问题 L1 :
运筹学分枝树的生成原理
运筹学分枝树的生成原理运筹学中的分枝定界法是一种高效的搜索算法，用于解决组合优化问题，如旅行商问题、背包问题等。
分枝定界法通过建立和维护一个分枝树来搜索最优解。
分枝定界法的基本原理是将问题的解空间划分成一个个子问题，并利用剪枝策略将非最优解节点及其子树舍弃，从而减少搜索空间，提高算法的效率。
而分枝树是分枝定界法的核心数据结构，它是一个有根的树，树的每个节点代表一个子问题。
分枝树的生成原理如下：1. 初始化根节点：将原问题作为根节点，设定一个初始上界，即当前最优解的上界。
2. 选择分支节点：从根节点开始，选择一个未被加入分枝树的节点作为当前节点。
3. 分枝操作：对当前节点进行分枝操作，即将问题划分成几个较小的子问题。
这个过程可以根据具体问题的性质进行设计。
4. 估价函数计算：对于每个子问题，计算一个估价函数值，该值用于判断子问题的解是否可行以及是否值得进一步扩展。
这个估价函数通常是问题相关的，可以根据问题的特点进行设计。
5. 更新上界：如果某个子问题的估价函数值已经超过了当前最优解的上界，那么这个子问题可以被剪枝，舍弃。
6. 扩展节点：对于不被剪枝的子问题，将其作为新的节点加入分枝树，继续执行步骤2-5。
7. 更新最优解：如果某个子问题的解满足问题目标函数的要求，并且它的目标函数值优于当前最优解的上界，那么更新当前最优解。
8. 结束条件：当分枝树上的所有节点都被处理完毕，或者当前最优解的上界不再被更新时，算法终止。
通过以上的步骤，分枝定界法可以得到一个最优解，同时也可以得到一些次优解。
需要注意的是，分枝定界法中的分枝策略和估价函数的选择对算法的性能和效率有着重要影响。
好的分枝策略可以减少搜索空间，快速找到最优解；而有效的估价函数可以准确评估子问题的解的优劣，提高剪枝效果。
综上所述，运筹学中的分枝定界法通过建立和维护一个分枝树来搜索最优解，通过分枝、剪枝和更新最优解等操作来减少搜索空间，提高求解效率。
分支定界法基本思路
分支定界法基本思路分支定界法（BranchandBound）是一种求解多维空间内最优解的技术，它能够有效地解决数学优化问题，并且在面临一定限制条件的情况下，能够获得较为有效的最优解。
本文将着重介绍分支定界法的基本思路和实施步骤。
1、义问题分支定界法是一种求解多维空间内最优解的技术，它的典型应用有组合优化、资源分配、路径规划等。
组合优化指的是要求设计者给出一系列解决方案，并且找出能够达到目标要求的解决方案，例如求解一个给定的多项式的顶点值问题；资源分配指的是在给定资源限制的情况下，以极小的成本耗费获得最大的收益；路径规划指的是在给定的网络中求一条最优路径，并且求解这条路径的最短路径等。
2、问题抽象分支定界法的基本思路是将复杂的优化问题分解成若干个子问题，逐步进行求解，利用“分支定界”技术来求得该子问题的最小值，然后在各个子问题最小值之间进行比较，得到总体问题的最小值。
在实际应用中，具体步骤是：首先，将原问题抽象为一个数学模型，并将该模型简化为一个多维空间内的数学问题；然后，利用“分支定界”的技术，对其中的多个点进行分枝，即找出最小的点；最后，将该点经过完善的求解后，把它作为最优点，以此作为定界，停止分枝，这个过程重复直至找出全局最优解。
3、实施步骤（1）构造初始子集：构造初始子集是分支定界法的第一步，在构造初始子集时，需要考虑当前子集中变量数量、变量取值范围等因素，构造出一个尽可能大的初始子集。
（2）根据初始子集构造子集树：构造子集树是分支定界法的第二步，根据初始子集构造出一棵完整的子集树，其目的是将多个子集之间的联系关系清楚地表达出来，并且指向每一个子集，使空间复杂度降低。
（3）进行分支：进行分支是分支定界法的第三步，当构造出子集树之后，根据拓扑结构选择一个子集，并将该子集构造成两个新子集，根据确定的拓扑结构继续进行分支并将其更新。
（4）定界：定界是分支定界法的第四步，在分支的时候可以找到一些子集的最小值，其目的是通过对子集最小值的比较，来比较各个子集的最小值，从而可以确定一个全局最小值。
分枝定界最小值
分枝定界最小值分枝定界是一种常用的优化算法，用于求解最小值问题。
它通过不断地将问题划分成更小的子问题，并根据一些特定的条件，选择性地深入某些子问题，从而达到减少计算量的目的。
本文将通过介绍分枝定界的基本原理和应用场景，来详细解析这一算法的实现过程和优势。
一、分枝定界的基本原理分枝定界的基本原理是将原始问题不断地划分成更小的子问题，直到找到最优解或者确定无解为止。
具体来说，该算法通过以下步骤来实现：1. 初始化：设置初始界限，确定搜索范围。
2. 分枝：将问题划分成更小的子问题，每个子问题都是原问题的一个可能解。
3. 限界：根据问题的约束条件和界限条件，判断每个子问题的可行性和优劣，将不符合条件的子问题进行剪枝。
4. 更新界限：根据已知的最优解和剪枝操作，更新界限，缩小搜索空间。
5. 重复分枝和限界操作，直到找到最优解或者确定无解。
二、分枝定界的应用场景分枝定界算法可以应用于多种最小值问题的求解，例如：1. 旅行商问题：寻找经过多个城市的最短路径。
2. 背包问题：在给定的物品集合中，选择一些物品放入背包，使得物品的总价值最大，同时不超过背包的容量限制。
3. 作业调度问题：给定多个作业的执行时间和机器的可用时间，将作业分配到机器上，使得完成所有作业的时间最短。
三、分枝定界的优势分枝定界算法具有以下优势：1. 高效性：通过不断地剪枝操作，可以大大减少搜索空间，减少计算量，提高算法的效率。
2. 可行性保证：分枝定界算法能够确保找到问题的最优解或者确定无解，具有一定的可行性保证。
3. 灵活性：分枝定界算法可以根据具体问题的特点和约束条件进行灵活调整，适用于多种不同的最小值问题。
四、分枝定界的实现过程分枝定界的实现过程可以分为以下几个步骤：1. 确定问题的目标函数和约束条件。
2. 初始化界限和搜索空间。
3. 通过分枝操作生成子问题，并计算子问题的界限。
4. 根据界限条件和约束条件，进行剪枝操作，排除不符合条件的子问题。
分枝定界法
§ 2 分枝定界法分枝定界法是求解整数规划的常用算法，既可用来解全部变量取值都要求为整数的纯整数规划，又可用以求解混合整数规划。
该算法的基本思路是：先不考虑整数限制，求出相应的线性规划的最优解，若此解不符合整数要求，则去掉不包含整数解的部分可行域，将可行域D分成、两部分（分枝），然后分别求解这两部分可行域对应的线性规划，如果它们的解仍不是整数解，则继续去掉不包含整数解的部分可行域，将可行域或分成与两部分，再求解与对应的线性规划，……，在计算中若已得到一个整数可行解，则以该解的目标函数值作为分枝的界限，如果某一线性规划的目标值Z≤，就没有必要继续分枝，因为分枝（增加约束）的结果所得的最优解只能比更差。
反之若Z＞，则该线性规划分枝后，有可能产生比更好的整数解，一旦真的产生了一个更好的整数解，则以这个更好的整数解目标值作为新的界限，继续进行分枝，直至产生不出更好的整数解为止。
下面以实例来说明算法的步骤。
例2 求解下面整数规划解：先不考虑条件⑸，求解相应的线性规划问题L，得最优解=4.81，=1.82，=356（见图）该解不是整数解。
选择其中一个非整数变量，如=4.81，对问题L分别增加约束条件：≤4，≥5 将问题L分解为两个子问题，（分枝），也就是去掉问题L不含整数解的一部分可行域，将原可行域D变为、两部分（如图）因为没有得到整数解，所以继续对L1进行分解，增加约束：≤2，≥3 将分解成问题与，并求得最优解如下：问题的解已是整数解，它的目标值=340，大于问题L4的目标值，所以问题已无必要再分枝。
但由于问题的目标值大于，分解还有可能产生更好的整数解，因此继续对分枝。
增加约束≤1，≥2 将分解成问题与，并求解，结果如下：问题的，所以不必分解了；问题无可行解，于是可以断定问题的解：=4.00，=2.00即为最优整数解。
整个分枝定界过程如下图所示：用分枝定界法求解整数规划的步骤可总结如下：步骤1：求解与整数规划相对应的线性规划L，若L无可行解，则整数规划也没有可行解，计算停；若L的最优解是整数解，则该解即为整数规划的最优解，计算停；若L的最优解不是整数解，则转步骤2。
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分支定界(branchand bound)算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。
但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：
1．产生当前扩展结点的所有孩子结点；
2．在产生的孩子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；
3．将其余的孩子结点加入活结点表；
4．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。
如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。
从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点，根据选择方式的不同，分支定界算法通常可以分为两种形式：
1．FIFO(First In First Out)分支定界算法：
按照先进先出原则选择下一个活结点作为扩展结点，即从活结点表中取出结点的顺序与加入结点的顺序相同。
2．最小耗费或最大收益分支定界算法：
在这种情况下，每个结点都有一个耗费或收益。
如果要查找一个具有最小耗费的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最小耗费的活结点；如果要查找一个具有最大收益的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最大收益的活结点。
又称分支定界搜索法。
过程系统综合的一类方法。
该法是将原始问题分解，产生一组子问题。
分支是将一组解分为几组子解，定界是建立这些子组解的目标函数的边界。
如果某一子组的解在这些边界之外，就将这一子组舍弃（剪枝）。
分支定界法原为运筹学中求解整数规划(或混合整数规划)问题的一种方法。
用该法寻求整数最优解的效率很高。
将该法原理用于过程系统综合可大大减少需要计算的方案数日。
分支定界法的思想是：
首先确定目标值的上下界，边搜索边减掉搜索树的某些支，提高搜索效率。
在竞赛中，我们有时会碰到一些题目，它们既不能通过建立数学模型解决，又没有现成算法可以套用，或者非遍历所有状况才可以得出正确结果。
这时，我们就必须采用搜索算法来解决问题。
搜索算法按搜索的方式分有两类，一类是深度优先搜索，一类是广度优先搜索。
我们知道，深度搜索编程简单，程序简洁易懂，空间需求也比较低，但是这种方法的时间复杂度往往是指数级的，倘若不加优化，其时间效率简直无法忍受；而广度优先搜索虽然时间复杂度比前者低一些，但其庞大的空间需求量又往往让人望而却步。
所以，对程序进行优化，就成为搜索算法编程中最关键的一环。
本文所要讨论的便是搜索算法中优化程序的一种基本方法棗“剪枝”。
什么是剪枝
相信刚开始接触搜索算法的人，都做过类似迷宫这样的题目吧。
我们在“走迷宫”的时候，一般回溯法思路是这样的：
1、这个方向有路可走，我没走过
2、往这个方向前进
3、是死胡同，往回走，回到上一个路口
4、重复第一步，直到找着出口
这样的思路很好理解，编程起来也比较容易。
但是当迷宫的规模很大时，回溯法的缺点便暴露无遗：
搜索耗时极巨，无法忍受。
我们可不可以在向某个方向前进时，先一步判断出这样走会不会走到死胡同里呢？这样一来，搜索的时间不就可以减少了吗？
答案是：
可以的。
剪枝的概念，其实就跟走迷宫避开死胡同差不多。
若我们把搜索的过程看成是对一棵树的遍历，那么剪枝顾名思义，就是将树中的一些“死胡同”，不能到达我们需要的解的枝条“剪”掉，以减少搜索的时间。
搜索算法，绝大部分需要用到剪枝。
然而，不是所有的枝条都可以剪掉，这就需要通过设计出合理的判断方法，以决定某一分支的取舍。
在设计判断方法的时候，需要遵循一定的原则。
剪枝的原则
1、正确性
正如上文所述，枝条不是爱剪就能剪的。
如果随便剪枝，把带有最优解的那一分支也剪掉了的话，剪枝也就失去了意义。
所以，剪枝的前提是一定要保证不丢失正确的结果。
2、准确性
在保证了正确性的基础上，我们应该根据具体问题具体分析，采用合适的判断手段，使不包含最优解的枝条尽可能多的被剪去，以达到程序“最优化”的目的。
可以说，剪枝的准确性，是衡量一个优化算法好坏的标准。
3、高效性设计优化程序的根本目的，是要减少搜索的次数，使程序运行的时间减少。
但为了使搜索次数尽可能的减少，我们又必须花工夫设计出一个准
确性较高的优化算法，而当算法的准确性升高，其判断的次数必定增多，从而又导致耗时的增多，这便引出了矛盾。
因此，如何在优化与效率之间寻找一个平衡点，使得程序的时间复杂度尽可能降低，同样是非常重要的。
倘若一个剪枝的判断效果非常好，但是它却需要耗费大量的时间来判断、比较，结果整个程序运行起来也跟没有优化过的没什么区别，这样就太得不偿失了。
综上所述，我们可以把剪枝优化的主要原则归结为六个字：
正确、准确、高效。
剪枝算法按照其判断思路可大致分成两类：
可行性剪枝及最优性剪枝。
对于分支定界算法,上界是已求得的可行解的目标函数值中的最小者,分为初始上界和在探测过程中产生的动态上界.分支定界法在求最优解的迭代过程中,若某结点估计的下界不小于已知的上界,则不必从该节点往下继续搜索.因此若能产生一个较好的上界,可以消除许多不必要的列举计算.
分支定界算法的实现
在描述分支定界算法步骤之前,先对算法涉及到的有关术语进行定义如下:
p ——分支层数;
C*——当前最优目标函数值;
P*——相应于C*的工件顺序;
P1——当前节点(现在需要进行分支的节点)所对应的部分序列.
分支定界算法的实施步骤如下:
步骤1初始化:
设置p = 0, P 1 = Á (空集) , C* = ∞.设当前节点总是与P 1相对应.此时,当前节点即根节点.
步骤2计算从当前节点分支得到的各个子节点的下界,并按下界值由小到大对各子节点排序.令p ←p + 1.
步骤3如果当前节点被探测尽,令p ←p - 1,转步骤6.否则,设当前层(第p 层)各活动子节点中具有最小下界值的节点为Q ,则在P 1末尾加入Q 对应第p 位置上的工件,此时的当前节点转为Q ,转步骤4.
步骤4因为当前节点是同层同父节点具有最小下界值的节点,如果当前节点下界值大于或等于C*,则不必再搜索当前节点及其同层同父的活动节点,这样,当前节点的上一层节点(父节点)被探测尽, p ←p- 1,去掉P 1中的最后一个工件,转步骤6.否则,转步骤5.步骤5如果p = n,则得到一个较优顺序.令P* = P 1, C*是当前节点的下界值, p ←p- 1,去掉P 1中最后一个工件,转步骤6;否则转步骤2.
步骤6若p ≠ 0,去掉P 1中最后一个工件,转步骤3;否则,算法停止. C*是最优的目标函数值, P*是最优顺序.。