数列通项公式的求法

类型三：利用Sn与an关系求an
例.an 的前n和为sn , 求 an 的通项公式 (1) sn 2n 3n;(2) sn 2 1
2 n
s1 主要是公式an sn sn 1
( n 1) ( n 2)
的运用
类型四：类等差数列, 即an1 an f (n) (条件 : f (1) f (2) f (n)的和是可求的)
类型七：倒数法求通项
n1 nΒιβλιοθήκη 递 推 式 如 a pa qa a ( p, q为常数, pq 0) 型的数列通项的求法：
n1 n
例. 已知数列{an}中，a1=1,an+1+3an+1an-an=0, 求数列{an}的通项公式. 解： an1 3an1 an an 0 1 1 1 1 3 3 an an 1 an 1 an
2
n 1
故知a3与a8是方程x2 124x 512 0 的两根 128 与 4 ，又q是整数
a8 a3 4 ，a8 128， q 5 32 q 2 an a3 q n3 (2) n1 a3
本题也可以把a3，a 4，a7，a8 全部用 a1与 q表示，得出 a1与 q的方 程组，解出 a1 与 q，然后套公式。 等比 {an } a4 a7 a3 a8 512 ，
n＋ 2 an＋1 n＋2 (2)由递推关系an＋1＝ n an，a1＝4，有 a ＝ n ， n an－1 a2 a3 4 a4 5 n 于是有 ＝3， ＝ ， ＝ ，…， ＝ ， a1 a2 2 a3 3 an－2 n－2 an n ＋ 1 an nn＋1 ＝ ，将这(n－1)个式子累乘，得 ＝ . a1 2 an－1 n－1 nn＋1 所以当n≥2时，an＝ a1＝2n(n＋1)． 2 当n＝1时，a1＝4符合上式，所以an＝2n(n＋1)(n∈N
数列通项公式的求法
1.数列 an 的通项公式的定义： 数列 an 的第n项 an与项数n的函数关系 ) 如果可用一个公式 an f (n来表示，则 称这个公式为数列的通项公式。
复习提问
数列通项公式的求法
问题:是不是任何数列都有通项公式? 若有,是不是唯一的? 注意：不是任何数列都有通项公式。 若有，通项公式也不一定是唯一的。
an 中，a1 2，an1 an 2n(n 1,2,3)， 例：数列
求数列an 的通项公式。
分析：由已知易得
an1 an 2n
a2 a1 2, a3 a2 2 2, a4 a3 2 3,, an an1 2(n 1 ）
an
c 1
c ( an 1
c 1
)
d 因此数列 构成以 a n c 1 公比的等比数列，
d d an (a1 ) c n 1 c 1 c 1
d a1 c为 为首项，以 c 1
d d n 1 即：an (a1 ) c c 1 c 1
＋
)．
(3)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)， 令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列． 所以bn＝b1· 2
n－1
＝(a1＋1)· 2
n－1
＝2
n＋1
，
所以an＝bn－1＝2
n＋1
－1(n∈N＋).
变式探究：
例： 已知数列 an 满足 a1 2, an 2an1 2an an1 ， 求 数列 an 的通项公式
方法归纳：两边同除以 an1an 得 ①若
1 p 1 则构成以首项为 a 1
1 1 p q an a n 1
， 公差为 q 的等
1 1 ，求出 差数列 a an n
数列通项公式求法
常用数学思想：
1．化归思想；2. 换元思想； 3. 方程思想
类型一：观察法
• 观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系
• 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： 9，99，999，9999，…
解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1， ∴通项公式为：
an 10n 1
类型二：公式法
方法：若{an }为等差（比）数列，求出 其中一项am 及 公差 d（公比q） ，然后直接套用 公式
例：已知 {an }为等比数列，若 a3 a8 124, a4 a7 512 ， 且公比 q为整数，则通项公式 an＝
分析： {an }为等比数列，则 a4 a7 a3 a8 512 ， a3 a8 124
n 1
am q
nm
(n, m N )

4. 数列an 的通项an与前n项和Sn的关系：
S1 (n 1) an S n S n1 (n 2)
S n1 S n an1
数列通项公式求法
数列的通项公式是数列的核心内容之 一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式 便可研究其性质等;而有了数列的通项公式 便可求出任一项以及前n项和等.因此,求数 列的通项公式往往是解题的突破口、关键 点. 因此近年来的高考题中经常出现给出数 列的解析式（包括递推关系式和非递推关 系式），求通项公式的问题，对于这类问 题考生感到困难较大.为了突破这一难点， 现将求数列通项的思想方法系统归纳如下:
变式： n1 a a 2 , 且 a 2 a 2 ( n N ) 数列 n 满足 1 n1 n
求其通项 an
略解 :由an1 2an 2 (n N )得 :
n 1

an 1 an an 1 an 1 1 n 1 n n 1 n 2 2 2 2 an n a n 2 1 ( n 1 ) 1 n n n 2
【解析】
(1)由an＋1－an＝2n，把n＝1,2,3，…，n－
1(n≥2)代入，得(n－1)个式子， 累加即可得(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＋2 ＋2 ＋…＋2
2 3 n－1
21－2 ，所以an－a1＝ ， 1－2
n－1
即an－a1＝2n－2，所以an＝2n－2＋a1＝2n－1. 当n＝1时，a1＝1也符合，所以an＝2n－1(n∈N＋)．
1 1 ( n 1) 3 an a1
1 1 是以 为首项，以3为公差的等差数列 a1 an
1 ( n 1) 3 3n 2
1 an 3n 2
例：已知数列 an 满足 a1 2, an an1 2an an1 ，求 数列 an 的通项公式
上面各式相加得 an a1 2[1 2 3 (n 1)] n(n 1),
方法归纳：累加
故an n2 n 2(n 1,2,3,)
可求和
习1： 已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+n,求 数列{an}的通项公式。 解：an =an-1 + n an-1=an-2 +（n-1） … … … … a3= a2 + 3 a2= a1 + 2 各式相加得，an=a1+n+(n1)+…+3+2 =1+ n+(n-1)+…+3+2 = n(n+1)/2 当n=1时，a1=(1×2)/2=1,
例已知数列{an}中，a1=3,an+1=2an+3,求数 列的通项公式
解：由an+1=2an+3得 an+1+3=2（an+3） 所以{an+3}是以a1+3为首项，以2为公比的等 比数列，所以:an+3=（ a1+3）× 2n-1 故an=6×2n-1-3
习：已知数列满足a1 =1，an1 2an 1( n N *) (1)求证：数列an +1 是等比数列; (2)求 an 的通项公式.
证： (1) a1 =1，an1 2an 1( n N *) an1 1 2an 2 2(an 1)( n N *) an 1 1 2 {an 1}是公比为2的等比数列. an 1
解： (2)由(1)知an 1 (a1 1) 2n1 2 2n1 2n an 2n 1( n N *)
习2： 已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=2n-n, 求数列{an}的通项公式。 解： an - an-1 = 2n-1 - (n-1) an-1 - an-2 = 2n-2 - (n-2) … … … … a3 - a2 = 22 - 2 a2 - a1 = 21 - 1 各式相加得，an=a1+ (2n-1+2n-2+…+22+21) -[(n-1) +(n-2)+…+2+1] =1+( 2n-2)+ n(n-1)/2 = 2n + n(n-1)/2 – 1 当n=1时，a1=2+0-1=1,故，an= 2n + n(n-1)/2 - 1
，进而求 an
②若 p 1 ，转化为待定系数法求通项的类型
变式训练3 根据下列条件，求数列的通项公式an(n＝ 1,2,3，…)． (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n； n＋ 2 (2)在数列{an}中，an＋1＝ n an，a1＝4； (3)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋1.
累乘
an1 n an 中，a1 1且满足 习： 已知数列 ，则数 an n2 列an 的通项公式为
an1 an n a2 a3 a4 1 2 3 4 n－ 1 分析 : 得 an n 2 a1 a2 a3 an1 3 4 5 6 n 1