北师大版七年级数学下册第一章同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方知识点总结及练习含答案

例 2. 已知 a （ 1） a
m +1
m
= 2 ，a n = 3 ，求下列各式的值。
（ 2） a
3+ n
（ 3） a
m+ n + 3
分析： 分析：此题是同底数幂的乘法的逆用，将幂拆分成几个同底数幂的积。 （ 1） a （ 2） a （ 3） a
m +1
= a m ·a = 2 a = a 3·a n = 3a 3 = a m ·a n ·a 3 = 6a 3
n个
几个相同因式 a 相乘，即 a·a·…·a ，记作 a ，读作 a 的 n 次幂，其中 a 叫做底
n
数，n 叫做指数。
2 3 2 7 3 5 4 同底数幂是指底数相同的幂，如： 2 与 2 ， a 与 a， ( a b) 与 ( a b) ， ( x − y ) 与
2
( x − y)3 等等。
注意：底数 a 可以是任意有理数，也可以是单项式、多项式。 2. 同底数幂的乘法性质
同底数幂的乘法、 同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方知识点总结及练习 幂的乘方与积的乘方知识点总结及练习
一、教学要求 教学要求、 教学要求 1. 体会幂的意义，会用同底数幂的乘法性质进行计算，并能解决一些实际问题。 2. 会用幂的乘方、积的乘方性质进行计算，并能解决一些实际问题。 二、重点、 重点、难点： 难点： 1. 重点： （1）同底数幂的乘法性质及其运算。 （2）幂的乘方与积的乘方性质的正确、灵活运用。 2. 难点： （1）同底数幂的乘法性质的灵活运用。 （2）探索幂的乘方、积的乘方两个性质过程中发展推理能力和有条理的表达能力。 知识要点： 三. 知识要点 ： 1. 同底数幂的意义
3+ n
m+ n + 3
例 3. 计算： 计算： （ 1） ( x − 2 y ) · ( 2 y − x )
2 3
（2） (a − b − c)(b + c − a ) (c − a + b)
2
3
解： （1）方法一 方法一： 方法一：
( x − 2 y)2 ·(2 y − x)3 = (2 y − x )2 ·(2 y − x )3 = (2 y − x)5
(− x ) + ( − x ) （ 1）
5 4
4 5
1 2 − ab （ 2） 2
方法二： 方法二：
( x − 2 y)2 ·(2 y − x)3 = ( x − 2 y )2 ·[−( x − 2 y )3 ] = −( x − 2 y)5
2 3
（2） (a − b − c)(b + c − a ) (c − a + b)
2
= −(b + c − a )(b + c − a ) (b + c − a ) = −(b + c − a )
例 4. 计算： （ 1）
6
3
(−2 )
2 3
（ 2）
(x )
4 4
(− x ) (− x ) （ 3）
3 2
2 3
(a ) ·(a ) （ 4）
2 n −2 2
n +1 3
( −2 ) 解： （1） (x ) （ 2）
4 4 3 2
2 3
= −2 2× 3 = −2 6
= x 4× 4 = x 16
a m ·a n = a m+n （m，n 都是正整数）
这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，例如：
a m ·a n ·a p = a m+ n+ p （m，n，p 都是正整数）
3. 幂的乘方的意义
5 3 5 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如 ( a ) 是三个 a 相乘
a mn = a m
( )
n
。
3
5. 积的乘方的意义
积的乘方是指底数是乘积形式的乘方，如 (ab) ，(ab) 等。
n
(ab)3 = (ab)(ab)(ab) （积的乘方的意义）
= (a·a·a )(b·b·b) （乘法交换律，结合律）
= a 3 ·b 3
(ab)n = (ab)(ab)…(ab)
= a· a… a b· b… b n个 = a ·b n
（ 2） a · a · a = a
10 2 10 + 2 +1
2
3
2+ 3
1 1 = − = − 2 32
5
= a 13
（ 3） − a · a = − a
2 6 2
2+ 6
= −a 8
3 4 2 + 3+ 4
（4） 3 × 27 × 81 = 3 × 3 × 3 = 3
2
= 39
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4. 幂的乘方性质
(a m ) n = a mn （m，n 都是正整数）
这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。 注意： （1）不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆，幂的乘方运算，是转化 为指数的乘法运算（底数不变） ；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变） 。 （2）此性质可逆用：
m n m 读作 a 的五次幂的三次方， ( a ) 是 n 个 a 相乘，读作 a 的 m 次幂的 n 次方
(a 5 ) 3 = a 5 ·a 5 ·a 5 = a 5+5+5 = a 5× 3 n个 n个 (a m ) n = a m ·a m ·…·a m = a m+m+ … + m = a m×n
四、典型例题
例 1. 计算：
1 1 − · − 2 （ 1） 2
（ 3） − a · a
2 6
2
3
（2） a ·a ·a （4） 3 × 27 × 81
2
10
2
1 1 1 − · − = − 2 2 解： （1） 2
2 3
(− x ) (− x ) （ 3）
2 n −2 2
= x 6 × − x 6 = − x 6+ 6 = − x 12 =a
2 ×( 2 n − 2 )
( )
(a ) · (a ) （ 4）
例 5. 解下列各题。
n +1 3
×a
3×( n +1)
= a 4 n − 4 × a 3n + 3
= a 4 n− 4 + 3n + 3 = a 7 n −1
n
(
)(
)
n个
6. 积的乘方的性质
(ab) n = a n ·b n （n 为正整数）
这就是说，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 注意： （1）三个或三个以上的乘方，也具有这一性质，例如：
(abc)n
= a n ·b n ·c n
n n n
（2）此性质可以逆用： a ·b = (ab)