高中数学-函数的平均变化率测试题

高中数学-函数的平均变化率测试题

自我小测

1．已知函数y ＝f (x )＝2x ，那么当自变量x 由2变到3

2时，函数值的增量Δy 为( )

A.1

2

B ．－12

C.1

3

D ．－13

2．在曲线y ＝x 2

＋x 上取点P (2,6)及邻近点Q (2＋Δx,6＋Δy )，那么Δy Δx 为( )

A ．2＋Δx

B ．2Δx ＋(Δx )2

C ．Δx ＋5

D ．5Δx ＋(Δx )2

3．某地某天上午9：20的气温为23.40 ℃，下午1：30的气温为15.90 ℃，则在这段时间内的气温变化率为( )

A ．0.03 ℃/min B．－0.03 ℃/min

C ．0.003 ℃/min D．－0.003 ℃/min

4．一物体的运动方程(位移与时间的函数关系)为s ＝3＋t 2

，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )

A ．3

B ．4

C ．4.1

D ．0.41

5．函数f (x )＝x 2

在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )

A ．k 1＜k 2

B ．k 1＞k 2

C ．k 1＝k 2

D ．无法确定

6．已知函数f (x )＝ax ＋b 在区间[1,8]上的平均变化率为3，则实数a ＝__________. 7．已知函数y ＝x 3

，当x ＝1时，Δy Δx

＝__________.

8．设某产品的总成本函数为C (x )＝1 100＋x 2

1 200，其中x 为产量数，生产900个单位

到1 000个单位时总成本的平均变化率为__________．

9．求函数y ＝f (x )＝3x 2

＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．

10．已知气球的体积为V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3

.

(1)求半径r 关于体积V 的函数r (V )．

(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？

参考答案

1. 答案：Δy ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫32－f (2)＝232－22＝13. 答案：C

2. 解析：因为Δy ＝(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－6＝(Δx )2

＋5Δx ，所以Δy Δx ＝Δx ＋5，故

选C.

答案：C

3. 解析：15.90－23.40

250＝－0.03.

答案：B

4. 解析：利用求平均变化率的方法和步骤来解决． Δs ＝(3＋2.12

)－(3＋22

)＝0.41， Δt ＝2.1－2＝0.1，所以Δs

Δt ＝4.1.

答案：C

5. 解析：k 1＝(x 0＋Δx )2

－x 20Δx ＝(Δx )2

＋2x 0Δx

Δx

＝Δx ＋2x 0，

k 2＝x 20－(x 0－Δx )2Δx ＝2x 0Δx －(Δx )2

Δx

＝2x 0－Δx ，

k 1－k 2＝(Δx ＋2x 0)－(2x 0－Δx )＝2Δx ，Δx 符号不确定，故无法确定k 1与k 2谁大．

答案：D

6. 解析：平均变化率Δy Δx ＝f (8)－f (1)8－1＝8a ＋b －(a ＋b )

7＝a ＝3.

答案：3

7. 解析：因为Δy ＝(1＋Δx )3

－13

＝(Δx )3

＋3(Δx )2

＋3Δx ， 所以Δy Δx ＝(Δx )2

＋3Δx ＋3.

答案：(Δx )2

＋3Δx ＋3

8. 解析：ΔC Δx ＝C (1 000)－C (900)1 000－900＝19

12.

答案：19

12

9. 解：函数y ＝f (x )＝3x 2

＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f (x 0＋Δx )－f (x 0)

(x 0＋Δx )－x 0

＝[3(x 0＋Δx )2

＋2]－(3x 20＋2)Δx

＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2

Δx

＝6x 0＋3Δx .

当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2

＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.

10. 解：(1)因为V ＝43πr 3

，

所以r 3

＝3V

4π，r ＝33V 4π

，

所以r (V )＝33V

4π

.

(2)函数r (V )在区间[0,1]上的平均变化率约为r (1)－r (0)

1－0＝

33×1

4π－01≈0.62(dm/L)，

函数r (V )在区间[1,2]上的平均变化率约为r (2)－r (1)

2－1

＝33×24π－

33×14π

≈0.16(dm/L)．

显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．