高中数学-函数的平均变化率测试题
人教B版数学选修1-1练习3.1.1函数的平均变化率含解析
3.1导数3.1.1函数的平均变化率课时过关·能力提升1.下列说法错误的是()A.函数的平均变化率可以大于零B.函数的平均变化率可以小于零C.函数的平均变化率可以等于零D.函数的平均变化率不能等于零答案:D2.在曲线y=x2+x上取点P(2,6)及邻近点Q(2+Δx,6+Δy),那A.2+ΔxB.2Δx+(Δx)2C.Δx+5D.5Δx+(Δx)2解析:因为Δy=(2+Δx)2+(2+Δx)- 6=(Δx)2+5Δx,所x+5,故选C.答案:C3.函数f(x)=2x在x=1附近(即从1到1+Δx之间)的平均变化率是()A.2+ΔxB.2-ΔxC.2D.(Δx)2+2答案:C4.一物体的运动方程(位移与时间的函数关系)为s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为()A.3B.4C.4.1D.0.41解析:利用求平均变化率的方法和步骤来解决.因为Δs=(3+2.12)-(3+22)=0.41,Δt=2.1-2=0.1,所.1.答案:C5.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及邻近一点(1+Δx,-2+Δy),A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2(Δx)2答案:C6.已知曲线y Q是曲线上点P附近的一点,则点Q的坐标为.答案7.已知s t从3 s到3. 1 s的平均速度是m/s(g=10 m/s2).解析:因为Δs×3.1×32=3.05(m),Δt=3.1-3. 0=0.1(s),所.5(m/s).答案:30.58.已知函数y=x3,当x=1时.解析:因为Δy=(1+Δx)3-13=(Δx)3+3(Δx)2+3Δx,所Δx)2+3Δx+3.答案:(Δx)2+3Δx+39.求y=f(x x0到x0+Δx之间的平均变化率(x0≠0).分析:利用求平均变化率的方法和步骤直接计算即可.解:当自变量从x0变化到x0+Δx时,函数的平均变化率★10.求函数y=f(x)=x3+1在x0到x0+Δx之间的平均变化率,并计算当x0=1,Δx.分析:直接利用概念求平均变化率,先求出表达式,再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率.解:当自变量从x0变化到x0+Δx时,函数的平均变化率x0Δx+(Δx)2.当x0=1,Δx,平均变化率的值为3×12+3×。
高中数学 111函数的平均变化率同步测试 新人教B版选修22
函数的平均变化率第1题. 2007海南、宁夏文)设函数（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．答案：解：的定义域为．（Ⅰ）．当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．又．所以在区间的最大值为．第2题. （2002海南、宁夏理）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ第3题. （2007海南、宁夏理）设函数．（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．答案：解：（Ⅰ），依题意有，故．从而．的定义域为．当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．（Ⅱ）的定义域为，．方程的判别式．（ⅰ）若，即，在的定义域内，故无极值．（ⅱ）若，则或．若，，．当时，，当时，，所以无极值．若，，，也无极值．（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．当时，，从而在的定义域内没有零点，故无极值．当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知在取得极值．综上，存在极值时，的取值范围为．的极值之和为．第4题. （2007湖南理）函数在区间上的最小值是．答案：第5题. (2007湖南文)已知函数在区间，内各有一个极值点．（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．答案：解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且．于是，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．（II）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点．而，且．若，则和都是的极值点．所以，即．又由，得．故．解法二：同解法一得．因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号．于是存在（）．当时，，当时，；或当时，，当时，．设，则当时，，当时，；或当时，，当时，．由知是的一个极值点，则．所以．又由，得，故第6题. (2007江苏)已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则_____．答案：第7题. (2007江西理)设在内单调递增，，则是的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案：B第8题. （全国卷I理）设函数．（Ⅰ）证明：的导数；（Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围答案：解：（Ⅰ）的导数．由于，故．（当且仅当时，等号成立）．，（ⅰ）若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即．（ⅱ）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．所以，时，，即，与题设相矛盾．综上，满足条件的的取值范围是．第9题. (2007全国I文)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：A第10题. (2007全国I文)设函数在及时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．答案：（Ⅰ），因为函数在及取得极值，则有，．即解得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，．当时，；当时，；当时，．所以，当时，取得极大值，又，．则当时，的最大值为．因为对于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范围为．第11题. (2007全国II理)已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．答案：解：（1）求函数的导数：．曲线在点处的切线方程为：，即．（2）如果有一条切线过点，则存在，使．于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．当变化时，变化情况如下表：当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即．第12题. (2007陕西理)设函数，其中为实数．（I）若的定义域为，求的取值范围；（II）当的定义域为时，求的单调减区间．答案：解：（Ⅰ）的定义域为，恒成立，，，即当时的定义域为．（Ⅱ），令，得．由，得或，又，时，由得；当时，；当时，由得，即当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为．第13题. (2007浙江理)设，对任意实数，记．（I）求函数的单调区间；（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．答案：（I）解：．由，得．因为当时，，当时，，当时，，故所求函数的单调递增区间是，，单调递减区间是．（II）证明：（i）方法一：令，则，当时，由，得．当时，，当时，，所以在内的最小值是．故当时，对任意正实数成立．方法二：对任意固定的，令，则，由，得．当时，．当时，，所以当时，取得最大值．因此当时，对任意正实数成立．（ii）方法一：．由（i）得，对任意正实数成立．即存在正实数，使得对任意正实数成立．下面证明的唯一性：当，，时，，，由（i）得，，再取，得，所以，即时，不满足对任意都成立．故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．方法二：对任意，，因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：，即，①又因为，不等式①成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．第14题. (2007湖北理)已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）．答案：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．，，由题意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，则．于是当，即时，；当，即时，．故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为．（Ⅱ）设，则．故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是．故当时，有，即当时，第15题. (2007安徽文)设函数，，其中，将的最小值记为．（I）求的表达式；（II）讨论在区间内的单调性并求极值．答案：解：（I）我们有．由于，，故当时，达到其最小值，即．（II）我们有．由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．第16题. 设，．（Ⅰ）令，讨论在内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当时，恒有答案：（Ⅰ）解：根据求导法则有，故，于是，列表如下：故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．（Ⅱ）证明：由知，的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．故当时，恒有．第17题. (2007天津理)已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．答案：（Ⅰ）解：当时，，，又，．所以，曲线在点处的切线方程为，即．（Ⅱ）解：．由于，以下分两种情况讨论．（1）当时，令，得到，函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且．（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：函数在处取得极大值，且．函数在处取得极小值，且．第18题. (2007天津理)已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．答案：（Ⅰ）解：当时，，，又，．所以，曲线在点处的切线方程为，即．（Ⅱ）解：．由于，以下分两种情况讨论．（1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表：函数在处取得极小值，且，函数在处取得极大值，且．（2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表：函数在处取得极大值，且．函数在处取得极小值，且．第19题. (2007福建理)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．答案：解：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：．（Ⅱ）．令得或（不合题意，舍去）．，．在两侧的值由正变负．所以（1）当即时，．（2）当即时，，所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．第20题. (2007广东文)函数的单调递增区间是．答案：第21题. (2007广东文)已知函数，是方程的两个根，是的导数．设，．（1）求的值；（2）已知对任意的正整数有，记．求数列的前项和．答案：解：(1) 由得(2)又数列是一个首项为，公比为2的等比数列；第22题. (2007山东理)设函数，其中．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．答案：解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，．当时，，即在上恒成立，当时，，当时，函数在定义域上单调递增．（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．②时，有两个相同的解，时，，时，，时，函数在上无极值点．③当时，有两个不同解，，，时，，，即，．时，由此表可知：时，有惟一极小值点，当时，，，此时，综上所述：时，有惟一最小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点．（Ⅲ）当时，函数，令函数，则．当时，，所以函数在上单调递增，又．时，恒有，即恒成立．故当时，有．对任意正整数取，则有．所以结论成立．第23题. (2007四川理)设函数（Ⅰ）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；（Ⅱ）对任意的实数，证明（是的导函数）；（Ⅲ）是否存在，使得恒成立？若存在，试证明你的结论并求出的值；若不存在，请说明理由．答案：（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（Ⅱ）证法一：因证法二：因而故只需对和进行比较。
1.1.1函数的平均变化率
x
x
2(2 x)
lim x0
y x
lim[1
x0
2(2
1
] x)
1
1 4
3 4
,
y
|x2
3 4
.
基本方法:
思考5：由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
1. 求函数的改变量 y f (x0 x) f (x0 );
2. 求平均变化率 y f (x0 x) f (x0 ) ;
思考3：同学们能用数 形给合的思想进行验
证吗？
探 究: h(t) 4.9t2 6.5t 10
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
lim h(t0 t) h(t0 )
t 0
t
lim 4.9(t)2 (9.8t0 6.5)t
t 0
t
lim (4.9t
t 0
9.8t0
6.5)
0 0.5 1.0
65 2.0
49
T 【s】
h(t) 4.9t2 6.5t 10
思考2：当△t趋近于 0时，平均速度有什 么样的变化趋势？
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051当△t = 0.01时, v 13.149
跳水运动中,运动员从t 到t 这段内的平均速度： 12
h(t) 4.9t2 6.5t 10 v h h(t2 ) h(t1)
H 【m】
t
t2 t1
当0 t 0.5时, v 4.05(m / s)
高中数学 111函数的平均变化率综合测试 新人教B版选修2-2
函数的平均变化率一、选择题(共12小题，每题5分,共60分)y=x2co sx的导数为…………………………………………………………………【】A. y′=2x co sx－x2s i nxB. y′=2x co sx+x2s i nxC. y′=x2co sx－2xs i nxD. y′=x co sx－x2s i nx ……………………………………………………………………【】A. 导数为零的点确定是极值点…………………………………………………………【】B. 假设在四周的左侧，右侧，那么是极大值C. 假设在四周的左侧，右侧，那么是微小值D. 假设在四周的左侧，右侧，那么是极大值3. 曲线与坐标轴围成的面积是…………………………………【】A.4B.，的最大值是…………………………………………【】A.1B. C5. 假设10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，那么抑制弹力所做的功为…………………………………………………………【】A . 0.28J B. 0.12J C. 0.26J D. 0.18J6. 给出以下命题：⑴假设，那么f(x)>0；⑵;⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，那么；其中正确命题的个数为…【】A. 1B. 2C. 3D. 07. 假设函数是R上的单调函数，那么实数m的取值范围是………【】A. B. C. D.8.设0<<b，且f (x)＝，那么以下大小关系式成立的是…………………………【】.A.f ()< f ()<f ()B. f ()<f (b)< f ()C. f ()< f ()<f ()D. f (b)< f ()<f ()9. 函数在区间内是减函数，那么应满足………………………【】Ａ．且Ｂ．且Ｃ．且Ｄ．且10. 与是定义在上的两个可导函数，假设与满足，那么与满足…………………………………………………………………………………………【】Ａ．Ｂ．为常数函数Ｃ．Ｄ．为常数函数11. (2007江苏)二次函数的导数为，，对于任意实数，有，那么的最小值为…………………………………………………………………【】Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．12. (2007江西理)设函数是上以5为周期的可导偶函数，那么曲线在处的切线的斜率为〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．二、填空题(共4小题，每题5分,共20分)y=2x3－3x2共有____个极值.14．为一次函数，且，那么=_______..15. 假设，那么___________.16. 函数处取得极值，并且它的图象与直线在点〔1，0〕处相切，那么函数的表达式为__ __m2.三、解答题〔共74分〕17．〔本小题总分值10分〕一物体沿直线以速度〔的单位为:秒,的单位为:米/秒〕的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程?18. 〔本小题总分值12分〕曲线y = x3 + x－2 在点P0 处的切线平行直线4x－y－1=0，且点P0 在第三象限,⑴求P0的坐标; ⑵假设直线 , 且l 也过切点P0 ,求直线l的方程.19. 〔本小题总分值12分〕函数的图象关于原点成中心对称, 试推断在区间上的单调性,并证明你的结论.20．〔本小题总分值14分〕函数,函数⑴当时,求函数的表达式;⑵假设,函数在上的最小值是2 ,求的值;⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.21．〔本小题总分值12分〕设，．〔Ⅰ〕令，争辩在内的单调性并求极值；〔Ⅱ〕求证：当时，恒有．22．〔本小题总分值14分〕函数〔Ⅰ〕假设，试确定函数的单调区间；〔Ⅱ〕假设，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；〔Ⅲ〕设函数，求证：．导数及其应用?章节测试题答案一、选择题〔60分〕1－5：ABCAD 6－10：BCD B B 11—12：C B二、填空题〔16分〕13. 2 14.15. 〔或〕 16、三、解答题〔共74分〕17.解:∵当时,; 当时,.∴物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程=(米)18.解:⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，由得3x2+1=4，解之得x=±x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.又∵点P0在第三象限,∴切点P0的坐标为 (－1,－4).⑵∵直线,的斜率为4,∴直线l的斜率为,∵l过切点P0,点P0的坐标为 (－1,－4)∴直线l的方程为即.19. 解: 答f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.证明:∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称,那么f(x)是奇函数,所以a=1,b=0,于是f(x)=∴当又∵函数在上连续所以f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.20.解:⑴∵,∴当时,; 当时,∴当时,; 当时,.∴当时,函数.⑵∵由⑴知当时,,∴当时, 当且仅当时取等号.∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴.⑶由解得∴直线与函数的图象所围成图形的面积=21. 本小题主要考察函数导数的概念与计算，利用导数争辩函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考察综合运用有关学问解决问题的力气．本小题总分值14分．〔Ⅰ〕解：依据求导法那么有，故，于是，列表如下：〔Ⅱ〕证明：由知，的微小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调增加．所以当时，，即．故当时，恒有．22．本小题主要考察函数的单调性、极值、导数、不等式等根本学问，考察运用导数争辩函数性质的方法，考察分类争辩、化归以及数形结合等数学思想方法，考察分析问题、解决问题的力气．总分值14分．解：〔Ⅰ〕由得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是．〔Ⅱ〕由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．②当时，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．〔Ⅲ〕，，，由此得，故．数学科学段测试〔导数局部〕一、选择题〔12小题，共36分〕1、设曲线在点M处切线斜率为3，那么点M的坐标为 ( )A、〔0，－2〕B、〔1，0〕C、〔0，0〕D、〔1，1〕2、抛物线y=x2在点M〔〕的切线的倾斜角是〔〕A、30°B、45°C、60°D、90°3、将半径为的球加热，假设球的半径增加，那么球体积的平均变化率为〔〕A、 B、C、 D 、4、函数y=x3－3x在[－1，2]上的最小值为〔〕A、2B、－2C、0D、－45、设函数的导函数为，且，那么等于 ( )A、 B、 C、 D、6、曲线在点，那么过P点的切线方程为〔〕A、B、C、D、7、f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和微小值，那么a的取值范围为( )A、－1<a<2B、－3<a<6C、a<－1或a>2D、a<－3或a>68、设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如以下图所示，那么导函数y=f '(x)可能为〔〕A B C D值范围是〔〕A、B、C、D、10、函数的单调递减区间是〔〕A、〔，+∞〕B、〔－∞，〕C、〔0，〕D、〔e，+∞〕11、方程x3－6x2+9x－10=0的实根个数是 ( )A．3 B．2 C．1 D．012、对于R上可导的任意函数f〔x〕，且假设满足〔x－1〕>0，那么必有〔〕A、f〔0〕＋f〔2〕<2f〔1〕B、f〔0〕＋f〔2〕≥2f〔1〕C、f〔0〕＋f〔2〕>2f〔1〕D、f〔0〕＋f〔2〕≥2f〔1〕二、填空题〔4小题，共16分〕13、【文】函数，那么它的单调递增区间是。
高中数学变化率问题、导数精选题目(附答案)
高中数学变化率问题、导数精选题目（附答案）(1)函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子f(x2)－f(x1)x2－x1称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为Δy Δx.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．②若物体运动的路程与时间的关系式是S＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率f(t0＋Δt)－f(t0)Δt趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．(3)导数的定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(4)导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(5)导函数从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.1．已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．2．已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．3．若一物体的运动方程为S ＝⎩⎨⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位：S )．求：(1)物体在t ＝3 S 到t ＝5 S 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 S 时的瞬时速度．求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系S ＝S (t )；(2)求时间改变量Δt ，位移改变量ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)； (3)求平均速度Δs Δt； (4)求瞬时速度v ＝lim Δt →0Δs Δt. 4．一质点按规律S (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：S )，若该质点在t ＝2 S 时的瞬时速度为8 m/S ，求常数a 的值．[思考] 任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f (x )＝|x |在x ＝0处是否存在导数？解：不一定，f (x )＝|x |在x ＝0处不存在导数．因为Δy Δx ＝f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝|Δx |Δx ＝⎩⎨⎧1，Δx >0，－1，Δx <0，所以当Δx →0时，Δy Δx 的极限不存在，从而在x ＝0处的导数不存在．5．利用导数的定义求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．6．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．7．已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．8．已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．9．若曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，求P点坐标及切线方程．10．已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?11．(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的()(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()12．如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的()参考答案：1.解：(1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.(1)求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.(2)求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的形式．2.解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f(2)－f(1) 2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f(5)－f(3)5－3＝5＋15－⎝⎛⎭⎪⎫3＋132＝14 15.因为12<14 15，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．3.[尝试解答](1)因为ΔS＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 S到t＝5 S这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/S)．(2)因为ΔS＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－12Δt，所以Δs Δt＝3(Δt)2－12ΔtΔt＝3Δt－12，则物体在t＝1 S时的瞬时速度为S′(1)＝limΔx→0ΔsΔt＝limΔx→0(3Δt－12)＝－12(m/S)．4.解：因为ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以Δs Δt ＝4a ＋a Δt ，故在t ＝2S 时，瞬时速度为S ′(2)＝lim Δx →0 Δs Δt＝4a (m/S )． 由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.5.解： Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ， ∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4ΔxΔx ＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δt →0(3Δx ＋4)＝4. 6.解：由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx ＝li m Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 7.解： (1)设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝lim Δx →0 x 20＋2x 0·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx＝2x 0， ∴y ′|x ＝1＝2.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.(2)点P (3,5)不在曲线y ＝x 2上，设切点为(x 0，y 0)， 由(1)知，y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∴切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，由P (3,5)在所求直线上得5－y 0＝2x 0(3－x 0)，① 再由A (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上得y 0＝x 20，② 联立①，②得x 0＝1或x 0＝5.从而切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2， 此时切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10， 此时切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上所述，过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y ＝2x －1或y ＝10x－25.8.解：y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.9.解：设P点坐标为(x0，y0)，Δy Δx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋1－x30＋3x20－1Δx＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0.所以f′(x0)＝limΔx→0[(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0]＝3x20－6x0，于是3x20－6x0＝9，解得x0＝3或x0＝－1，因此，点P的坐标为(3,1)或(－1，－3)．又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x ＋1)－3，即y＝9x－26或y＝9x＋6.10.解：设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).11.解：(1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.12.解析：选D函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．。
人教B版选修22高中数学1.1.1函数的平均变化率同步练习2
函数的平均变化率一、选择题1．函数错误！超链接引用无效。
的导数错误！超链接引用无效。
（）A．错误！超链接引用无效。
B．错误！超链接引用无效。
C．错误！超链接引用无效。
D．错误！超链接引用无效。
答案：D2．已知函数错误！超链接引用无效。
在错误！超链接引用无效。
处有极值，则该函数的一个错误！超链接引用无效。
递增区间是（）错误！超链接引用无效。
A．错误！超链接引用无效。
B．错误！超链接引用无效。
C．错误！超链接引用无效。
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答案：B3．曲线错误！超链接引用无效。
在点错误！超链接引用无效。
处的切线与错误！超链接引用无效。
轴、直线错误！超链接引用无效。
所围成的三角形的面积为（）A．错误！超链接引用无效。
B．错误！超链接引用无效。
C．错误！超链接引用无效。
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答案：C4．设错误！超链接引用无效。
，则错误！超链接引用无效。
的值等于（）A．错误！超链接引用无效。
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C．错误！超链接引用无效。
D．错误！超链接引用无效。
答案：D5．若函错误！超链接引用无效。
数错误！超链接引用无效。
在错误！超链接引用无效。
处的导数值与函数值互为相反数，则错误！超链接引用无效。
的值（）A．等于0 B．等于1 C．等于错误！超链接引用无效。
D．不存在答案：C6．定积错误！超链接引用无效。
分错误！超链接引用无效。
的值等于（）A．错误！超链接引用无效。
B．错误！超链接引用无效。
C．错误！超链接引用无效。
D．错误！超链接引用无效。
答案：A7．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为错误！超链接引用无效。
，货款的利率为错误！超链接引用无效。
，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为错误！超链接引用无效。
，为使银行获得最大收益，则存款利率为（）A．0.032 B．错误！超链接引用无效。
C．0.04 D．0.036答案：A8．若函数错误！超链接引用无效。
2.1平均变化率与瞬时变化率（讲义+典型例题+小练）（解析版）
2.1平均变化率与瞬时变化率（讲义+典型例题+小练）一、平均变化率设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；例1：1．若函数()2f x x t =-，当1x m ≤≤时，平均变化率为2，则m 等于（ ）A ．5B ．2C ．3D ．1【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平均变化率的公式求解. 【详解】 解：由题得.故选：D2．求函数y ＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率.【答案】320x ＋3x 0·Δx ＋(Δx )2【解析】 【分析】利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值；利用平均变化率公式求出即可. 【详解】当自变量从x 0到x 0＋Δx ，函数的平均变化率为00()()f x x f x x +∆-∆＝3300()x x x x +∆-∆ ＝23233000033()()x x x x x x x x +⋅∆+∆+∆-∆ ＝2300233()()x x x x x x⋅∆+∆+∆∆ ＝320x ＋3x 0·Δx ＋(Δx )2.举一反三：1．求函数223y x x =-+在区间23,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和252,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均变化率.【答案】在区间23,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和252,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均变化率分别为2312和2512.【解析】【分析】根据题意，由平均变化率的定义求出函数在两个区间上的平均变化率，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数2223(1)2y x x x =-+=-+，在区间23[12，2]的平均变化率为2223[(21)2][(1)2]23122312212y x -+--+==-， 在区间[2，25]12的平均变化率为2225[(1)2][(21)2]25122512212y x -+--+==-． 2．小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间t 内所经过的距离为()2s t at =，求小球在时间段[]2,2h +内的平均速度. 【答案】4a ah + 【解析】 【分析】利用平均速度的定义直接可求. 【详解】因为小球在t 内所经过的距离为()2s t at =，所以在时间段[]2,2h +内的平均速度为()()()222222422s h s a h a a ah h h+-+⨯==++--.3．如图，直线l 为经过曲线上点P 和Q 的割线．(1)若(1,2)P ，(5,7)Q ，求l 的斜率；(2)当点Q 沿曲线向点P 靠近时，l 的斜率变大还是变小？ 【答案】(1)54(2)斜率变大 【解析】 【分析】（1）直接根据两点的斜率公式计算可得；（2）根据直线的倾斜角的变化及直线的斜率与倾斜角的关系判断即可； (1)解：因为(1,2)P ，(5,7)Q ，所以725514l k -==-； (2)解：当Q 沿曲线向点P 靠近时，直线的倾斜角α（锐角）在变大，又tan k α=，所以直线l 的斜率变大了；二．瞬时变化率设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；当x ∆、△y 都趋向0时。
函数的平均变化率
T（℃）
C（34，33.4）
.30
●
.20
.10
●
. 2 A（1，3. 5）
0 12
10
B（32，18.6）
●
. ..
20
30 34 t（d）
形：曲线的陡峭的程度反映了气温变化的快与慢． 数：如何量化曲线的陡峭程度呢？
T（℃）平均变化率为
直线的斜率
33.4
K yCyC yyBB
xCxC xxBB
C（34，33.4）
函数的平均变化率
y
Δy
Δx
O
x
情境1:
某股民5年时间挣到10万元， 而此后仅用5天时间挣到10万元．
情境2:
姚明身高变化曲线图(部分)
身高
2.26 2.12
● ● ●
1.61
●
●
●
0.8 ●
●
●
●
●
●
●
●
4 7 10 13 16 19 22 年龄
某情市境04问3年:3题月18:日如—4何月2刻0日画气温变变化化曲的线图快（以与3月18慢日作呢为第1？天）
例4．已知函数 f(x) ＝2 x＋1， g(x) ＝―2 x，分别计算在下列 区间上 f(x) 及 g(x)的平均变化率： ⑴ [―3，―1]； ⑵ [0，5].
六、小结：
1、平均变化率
一般地，函数 f在(x区) 间
均变化率为
f (x2 ) f (x1) x2 x1
上 x的1, x2 平
2、平均变化率的几何意义与实际意义；
3、思想方法:①以直代曲； ②数形结合。
七、作业： P7 练习1、2、3、4
例2.水经过虹吸管从容器甲中流向容 器乙（如图），t 秒后容器甲中水的体 积 V（t）= 5×2－0.1t (单位:cm3)，计 算第一个10秒内V的平均变化率.
高中数学人教B版高二数学选修1-1检测 函数的平均变化率
一、选择题1．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的平均变化率为( )A ．－2(Δx )2B ．－(Δx )2C ．2ΔxD ．－2Δx【解析】 Δy ＝f (0＋Δx )－f (0)＝f (Δx )－f (0)＝－2(Δx )2＋1－1＝－2(Δx )2，∴Δy Δx ＝－2(Δx )2Δx ＝－2Δx . 【答案】 D2．一物体的运动方程是s ＝5t 2，物体从1 s 到3 s 的平均速度是( )A ．30 m/sB ．20 m/sC ．40 m/sD ．45 m/s【解析】 由平均变化率的定义可知Δs ＝5×32－5×12＝5×8＝40(m)， ∴Δs Δt ＝403－1＝20(m/s)． 【答案】 B3．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx ＝( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2【解析】 Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)1＋Δx －1＝4＋2Δx . 【答案】 C4．若函数f (x )＝x 2－c 在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】(m2－c)－(12－c)m－1＝3，故m＝2(m＝1舍去)．【答案】 A5．函数y＝x2＋2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0的平均变化率为k2，则()A．k1<k2B．k1>k2C．k1＝k2D．不确定【解析】k1＝(x0＋Δx)2－x20Δx＝2x0＋Δx，k2＝x20－(x0－Δx)2Δx＝2x0－Δx，∴k1－k2＝2Δx.∵Δx的正负不确定，∴k1与k2的大小关系不确定．【答案】 D二、填空题6．在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h内发现水位从105.1 m上涨到107.5 m，则水位涨幅的平均变化率是________m/h.【解析】水位涨幅的平均变化率为107.5－105.124＝0.1(m/h)．【答案】0.17．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，ΔyΔx＝________.【解析】ΔyΔx＝(2＋Δx)3－2－(23－2)Δx＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12ΔxΔx＝(Δx)2＋6Δx＋12.【答案】(Δx)2＋6Δx＋128．某物体作自由落体运动，下落距离s (单位： m)与时间t (单位：s)满足s ＝12gt 2，则该物体在[4,5]内的平均速度为________ .【解析】 v ＝s (5)－s (4)5－4＝12×25g －12×16g ＝4.5g (m/s)．【答案】 4.5g m/s三、解答题9．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的平均变化率．(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．【解】 (1)f (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝2，g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为－2.(2)f (x )在区间[0,5]上的平均变化率为f (5)－f (0)5－0＝2，g (x )在区间[0,5]上的平均变化率为－2.10．已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．【解】 物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量Δs ＝s (1＋Δt )－s (1) ＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3)＝(Δt )2＋4Δt .物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝4Δt ＋(Δt )2Δt ＝4＋Δt .11．有一底面半径为r cm ，高为h cm 的倒立圆锥容器，若以n cm 3/s 的速率向容器里注水，求注水时前t s 内水面上升的平均速率．【解】 如图所示，设注水t s 时，水面高度为y cm ，此时水面半径为x cm ，则y h ＝x r ，x ＝r h y ，tn ＝π3x 2y ， ∴tn ＝13π·(r h y )2·y＝π3·r 2h 2·y 3， ∴y ＝ 33tnh 2πr 2＝ 33nh 2πr 2·3t .∴在0 s 到t s 之间水面上升的平均速率为 v ＝Δy Δt ＝33nh 2πr 2(3t －0)t －0＝ 33nh 2πr 23t 2 ＝ 33nh 2πr 2t 2(cm/s).。
函数的平均变化率
1．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) 答案：D2．若函数f (x )＝x 2－1，则当自变量x 由1变为1.1时函数的平均变化率为( )A ．2.1B ．1.1C ．2D ．0 解析：Δy Δx ＝f (1.1)－f (1)1.1－1＝0.210.1＝2.1. 答案：A3．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ； k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx . ∵Δx 可正也可负，∴k 1与k 2的大小关系不确定．答案：D4．已知一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 到(3＋Δt )s 之间的平均速度是( )A ．5＋Δt (m /s)B ．5＋(Δt )2(m/s)C ．5(Δt )2＋Δt (m /s)D ．5(Δt )2(m/s) 解析：由定义有Δs Δt＝(3＋Δt )2－(3＋Δt )＋1－32＋3－1Δt＝5＋Δt . 答案：A5．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝________. 解析：∵Δy ＝(2＋Δx )3－2－(23－2)＝(2＋Δx )2(2＋Δx )－8＝[4＋4·Δx ＋(Δx )2](2＋Δx )－8＝12·Δx ＋6(Δx )2＋(Δx )3，∴Δy Δx＝12＋6·Δx ＋(Δx )2. 答案：(Δx )2＋6Δx ＋126．设自变量x 的增量为Δx ，则函数y ＝log 2x 的增量Δy 为________．解析：Δy ＝log 2(x ＋Δx )－log 2x＝log 2x ＋Δx x ＝log 2(1＋Δx x)． 答案：log 2(1＋Δx x) 7.如图是函数y ＝f (x )x ∈[－1,3]的图象，求(1)函数f (x )在－1到1之间的平均变化率；(2)函数f (x )在0到2之间的平均变化率．解：(1)函数f (x )在－1到1之间的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12. (2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在0到2之间的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 8．在自行车比赛中，运动员的位移s 与比赛时间t 存在函数关系s ＝10t ＋5t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝20 s ，Δt ＝0.1 s 时的Δs 与Δs Δt . 解：Δs ＝s (t ＋Δt )－s (t )＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202＝21.05.Δs Δt ＝21.050.1＝210.5.。
2019-2020学年新教材高中数学课时分层作业21函数的平均变化率
课时分层作业(二十一) 函数的平均变化率(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知函数f (x )＝x 2＋1，当x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44B [∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41，故选B.]2．函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．0 B ．1 C ．3 D ．Δx A [Δy Δx ＝1－1Δx＝0.]3．质点运动规律为s ＝2t 2＋5，则在时间(3,3＋Δt )中，相应的平均速度等于( ) A ．6＋Δt B ．12＋Δt ＋9ΔtC ．12＋2ΔtD ．12C [Δs Δt ＝[2(3＋Δt )2＋5]－(2×32＋5)Δt＝12＋2Δt .]4．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2C [根据平均变化率的定义，可知 Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3，故选C.] 5．已知函数f (x )的定义域为A ，如果对于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量x 1，x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则( )A ．f (x )在这个区间上为增函数B ．f (x )在这个区间上为减函数C ．f (x )在这个区间上的增减性不确定D ．f (x )在这个区间上为常数函数A [①当x 1＞x 2时，x 1－x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在区间I 上是增函数．当x 1＜x 2时，x 1－x 2＜0，则f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在区间I 上是增函数．综上可知f (x )在区间I 上是增函数，故选A.]二、填空题6．函数y ＝－x 2＋x 在x ＝－1附近的平均变化率为________．3－Δx [Δy Δx ＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋(－1)2－(－1)Δx＝3－Δx .]7．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数关系图像如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．v 1＜v 2＜v 3 [v 1＝s (t 1)－s (t 0)t 1－t 0＝k OA ，v 2＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s (t 3)－s (t 2)t 3－t 2＝k BC ，而由图像知k OA ＜k AB ＜k BC ，∴v 1＜v 2＜v 3.]8．函数f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为________，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________．6x 0＋3Δx 12.3 [函数f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝[3(x 0＋Δx )2＋2]－(3x 20＋2)Δx＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2Δx ＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.] 三、解答题9．判断函数g (x )＝k x(k ＜0，k 为常数)在(－∞，0)上的单调性． [解] 设x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝k x 1－k x 2＝k (x 2－x 1)x 1x 2，Δy Δx ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2＝－k x 1x 2. ∵x 1＜0，x 2＜0，k ＜0，∴Δy Δx ＝－kx 1x 2＞0，∴g (x )＝kx(k ＜0)在(－∞，0)上为增函数．10．已知函数f (x )＝2x －1x ＋1，x ∈[3,5]．(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明； (2)求该函数的最大值和最小值． [解] (1)函数f (x )在[3,5]上是增函数． 证明：设任意x 1，x 2满足3≤x 1＜x 2≤5，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1x 1＋1－2x 2－1x 2＋1＝(2x 1－1)(x 2＋1)－(2x 2－1)(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，所以Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝3(x 1＋1)(x 2＋1).因为3≤x 1＜x 2≤5，所以x 1＋1＞0，x 2＋1＞0， 所以Δy Δx ＝3(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，所以f (x )＝2x －1x ＋1在[3,5]上是增函数．(2)f (x )min ＝f (3)＝2×3－13＋1＝54，f (x )max ＝f (5)＝2×5－15＋1＝32. [等级过关练]1．若函数f (x )＝－x 2＋10的图像上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ，则Δy Δx ＝( )A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3D [∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2，∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx ， 故选D.]2.函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定D [k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可大于零也可小于零，所以k 1与k 2的大小关系不确定．]3．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B 2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．－16 [∵Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝12＋Δx －12＝2－(2＋Δx )2(2＋Δx )＝－Δx2(2＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－Δx2(2＋Δx )Δx ＝－12(2＋Δx )， 即k ＝Δy Δx ＝－12(2＋Δx ).∴当Δx ＝1时，k ＝－12×(2＋1)＝－16.]4．如图是函数y ＝f (x )的图像，则函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．34[由函数f (x )的图像知， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1＜x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.]5．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2.设1≤x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2，∴Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝2x 1x 2－12x 1x 2. ∵1≤x 1＜x 2，∴2x 1x 2＞2， ∴Δy Δx ＝2x 1x 2－12x 1x 2＞0， ∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上f (x )＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，则函数y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在区间[1，＋∞)上是增函数．所以当x ＝1时，y 取最小值，即y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a ＞0时，函数f (x )＞0恒成立， 故a ＞－3，实数a 的取值范围为(－3，＋∞).。
高二平均变化率练习题
高二平均变化率练习题[注意：在这个段落中，我将给出高二平均变化率练习题的指导步骤。
我将使用适当的格式来展示这些步骤，以帮助您更好地理解和解决这些练习题。
请注意，本文将以纯文本格式呈现，不涉及任何链接或其他外部资源。
]问题1:已知函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且在开区间 (a, b) 内可导。
若f(a) = 2，f(b) = 8，且f’(x) ≥ 0。
求证存在ξ ∈ (a, b)，使得f’(ξ) = 2。
解答步骤如下：1. 根据题目信息，我们已知函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且在开区间 (a, b) 内可导。
2. 根据拉格朗日中值定理，存在ξ ∈ (a, b)，使得f’(ξ) = (f(b) - f(a))/ (b - a)。
3. 代入已知条件 f(a) = 2，f(b) = 8，得到f’(ξ) = (8 - 2) / (b - a) = 6 / (b - a)。
4. 由于f’(x) ≥ 0，所以 6 / (b - a) ≥ 0，即必存在ξ ∈ (a, b)，使得f’(ξ) = 2。
问题2:设曲线 C 的方程为 y = f(x)，其中 f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x，求曲线 C在点 (1, 2) 处的切线方程。
解答步骤如下：1. 首先，需要求取曲线 C 在点 (1, 2) 处的斜率。
2. 曲线 C 在点 (1, 2) 处的斜率可以通过求取函数 f(x) 在 x = 1 处的导数来得出。
3. 计算函数 f(x) 的导数 f'(x) = 3x^2 - 4x + 3。
4. 将 x = 1 代入导函数 f'(x)，得到斜率 m = f'(1) = 3(1)^2 - 4(1) + 3 = 2。
5. 知道斜率 m = 2 和曲线上一点 (1, 2)，可以使用点斜式方程 y - y1= m(x - x1) 来得到切线方程。
6. 代入已知的点 (1, 2) 和斜率 m = 2，得到切线方程 y - 2 = 2(x - 1)。
平均变化率练习题
平均变化率练习题在数学中，平均变化率是指函数在一段区间内的平均变化速度。
它是计算两个点之间函数取值变化的速率的一种方法。
本文将介绍一些关于平均变化率的练习题，帮助读者更好地理解和应用这个概念。
题目一：给定函数 f(x) = 2x + 3，计算在区间 [1, 5] 内的平均变化率。
解析一：首先，我们需要计算在区间 [1, 5] 内的函数值。
将区间的两个端点x = 1 和 x = 5 带入函数 f(x) = 2x + 3 中，得到 f(1) = 2(1) + 3 = 5 和 f(5) = 2(5) + 3 = 13。
然后，计算平均变化率。
平均变化率的计算公式为 (f(b) - f(a)) / (b - a)，其中 a 和 b 分别表示区间的两个端点，而 f(a) 和 f(b) 分别表示函数在两个端点处的取值。
将计算出的值代入公式，得到 (13 - 5) / (5 - 1) = 8 / 4 = 2。
因此，在区间 [1, 5] 内的平均变化率为 2。
题目二：函数 g(x) = x^2 + 3x - 2 在区间 [-2, 2] 内的平均变化率是多少？解析二：按照相同的步骤，我们先计算在区间 [-2, 2] 内的函数值。
将区间的两个端点 x = -2 和 x = 2 带入函数 g(x) = x^2 + 3x - 2 中，得到 g(-2) = (-2)^2 + 3(-2) - 2 = -4 和 g(2) = 2^2 + 3(2) - 2 = 10。
接下来，计算平均变化率。
将计算出的值代入公式 (g(b) - g(a)) / (b - a)，得到 (10 - (-4)) / (2 - (-2)) = 14 / 4 = 3.5。
因此，在区间 [-2, 2] 内的平均变化率为 3.5。
题目三：给定函数 h(t) = 4t^3 - t^2 + 3，在区间 [0, 1] 内的平均变化率是多少？解析三：按照同样的方法，我们计算函数在区间 [0, 1] 内的取值。
高中数学 函数的平均变化率测试 B选修22 试题
卜人入州八九几市潮王学校函数的平均变化率一、选择题 1．函数2()sin f x x =的导数()f x '=〔〕A ．2sin xB ．22sinxC ．2cos xD ．sin 2x答案：D2．函数3223624y x ax x =++-在2x =处有极值，那么该函数的一个递增区间是〔〕A ．(23)，B ．(3)+，∞C ．(2)+，∞D ．(3)-∞，答案：B3．曲线3y x =在点(11)，处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为〔〕A ．43B ．89C ．83D ．49答案：C4．设()sin x f x tdt =⎰，那么π2f f⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值等于〔〕 A ．1- B ．1 C ．cos1-D ．1cos1-答案：D5．假设函数xe y x=在0xx =处的导数值与函数值互为相反数，那么0x 的值〔〕A ．等于0B ．等于1C ．等于12D ．不存在答案：C6．定积分π220sin 2xdx ⎰的值等于〔〕 A ．π142-B ．π142+ C ．1π24- D ．π12- 答案：A7．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为(0)k k >，货款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．假设存款利率为(00.048)x x ∈，，为使银行获得最大收益，那么存款利率为〔〕A ．0.032B ．0.024答案：A8．假设函数2()ln (0)f x x x x =>的极值点为α，函数2()ln (0)g x x x x =>的极值点为β，那么有〔〕 A ．αβ>B ．αβ<C ．αβ=D ．α与β的大小不确定答案：A9．由曲线x y e =，x y e -=以及1x =所围成的图形的面积等于〔〕A ．2B ．22e -C ．12e-D ．12e e+- 答案：D10．函数32()33f x x x x a =++-的极值点的个数是〔〕A ．2B ．1C ．0D ．由a 确定答案：C11．经过点(30)，的直线l 与抛物线22x y =的两个交点处的切线互相垂直，那么直线l 的斜率k 等于〔〕A ．16-B ．13-C ．12D ．12-答案：A12．以下关于函数2()(2)x f x x x e =-的判断正确的选项是〔〕①()0f x >的解集是{}|02x x <<；②(f 是极小值，f 是极大值；③()f x 既没有最小值，也没有最大值．A ．①③B ．①②③C ．②D ．①②答案：D 二、填空题13．2()f x x =，3()g x x =，假设()()2f x g x ''-=-，那么x =．答案：13± 14．假设函数24()1xf x x =+在区间(21)m m +，上是单调递增函数，那么实数m 的取值范围是 ．答案：10m -<≤ 15．一个质点以速度2()6v t t t =-+〔m/s 〕运动，那么在时间是间隔(14)，上的位移是．答案： 16．函数3211()232f x x x x m =+-+的图象不经过第四象限，那么实数m 的取值范围是． 答案：76m ≥ 三、解答题17．作用于某一质点的力01()112x x F x x x ⎧=⎨+<⎩，≤≤，，≤〔单位：N 〕，试求力F 从0x =处运动到2x =处〔单位：m 〕所做的功．答案：解：力F 所做的功122122010111(1)||3J 22Wxdx x dx x x x ⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭⎰⎰． 答：力F 所作的功为3J ． 18．函数32()f x x ax bx c =+++．()f x 在点0x =处获得极值，并且在单调区间[02]，和[45]，上具有相反的单调性． 〔1〕务实数b 的值；〔2〕务实数a 的取值范围．解：〔1〕2()32f x x ax b '=++，因为()f x 在点0x =处获得极值，所以(0)0f '=，即得0b =；〔2〕令(0)0f '=，即2320x ax +=，解得0x=或者23x a =-．依题意有203a ->．x(0)-∞， 0203a ⎛⎫-⎪⎝⎭， 23a - 23a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞ ()f x ' +0 -+()f x极大值极小值因为在函数在单调区间[02]，和[45]，上具有相反的单调性，所以应有2243a -≤≤， 解得63a --≤≤． 19．函数3()16f x x x =+-．〔1〕求曲线()y f x =在点(26)-，处的切线方程；〔2〕直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．解：〔1〕32()(16)31f x x x x ''=+-=+，∴在点(26)-，处的切线的斜率2(2)32113k f '==⨯+=， ∴切线的方程为1332y x =-；〔2〕设切点为00()x y ，，那么直线l 的斜率为200()31f x x '=+，∴直线l 的方程为23000(31)()16y x x x x x =+-++-． 又直线l 过点(00)，， 2300000(31)()16x x x x ∴=+-++-，整理，得38x =-，02x ∴=-，30(2)(2)1626y ∴=-+--=-，l 的斜率23(2)113k =⨯-+=，∴直线l 的方程为13y x =，切点坐标为(226)--，．20．如下列图，求抛物线22(0)y px p =>和过它上面的点12p P p ⎛⎫⎪⎝⎭，的切线的垂线所围成的平面图形的面积．解：由题意令0)y x =≥，112222py p px px'==，2|1px y ='=，所以过1P 点且垂直于过1P 点的抛物线的切线的直线的斜率为1-．其方程为2p y p x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．即2230x y p +-=．与抛物线方程联立消去x ，得22230y py p +-=，解得y p =或者3y p =-． 又32xy p =-+，所以所求平面图形的面积为 2163p =． 21．甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方消费须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x 〔元〕与年产量t 〔吨〕满足函数关系x=s 元〔以下称s 为赔付价格〕．〔1〕将乙方的年利润w 〔元〕表示为年产量t 〔吨〕的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；〔2〕甲方每年受乙消费影响的经济损失金额20.002y t =〔元〕，在乙方按照获得最大利润的产量进展消费的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？解：〔1〕因为赔付价格为s 元/吨，所以乙方的实际年利润为w st =．由10001000s tw s t t-'=-=，令0w '=，得201000t t s ⎛⎫== ⎪⎝⎭．当0tt <时，0w '>；当0t t >时，0w '<， 所以0tt =时，w 获得最大值．因此乙方获得最大年利润的年产量0t 为21000s ⎛⎫⎪⎝⎭〔吨〕；〔2〕设甲方净收入为v 元，那么20.002vst t =-．将21000t s ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入上式，得到甲方净收入v 与赔付价格s 之间的函数关系式69410210v s s=-⨯． 又63510(8000)s v s⨯-'=， 令0v '=，得20s =．当20s <时，0v '>；当20s >时，0v '<， 所以20s =时，v 获得最大值．因此甲方应向乙方要求赔付价格20s =〔元/吨〕时，获最大净收入． 22．由曲线222(13)y x x =-≤≤及直线0y =，绕y 轴旋转所得的旋转体做容器，每秒钟向容器里注水38cm ，问几秒钟后能注满容器？〔坐标的长度单位是cm 〕 解：如图，底面是x 轴上01x ≤≤局部的线段绕y 轴旋转所生成的圆，侧面是抛物线222y x =-上13x ≤≤，016y <≤局部绕y 轴旋转所得的曲面．由222y x =-，得222y x +=， 注满容器时的体积为16216302ππ80π(cm )24y y Vdy y ⎛⎫+==+= ⎪⎝⎭⎰． 每秒注水83cm ，充满容器所需时间是为80π810π÷=〔秒〕．所以10π秒钟后能注满容器．。
函数的平均变化率达标测验练习含答案解析高二数学北京海淀
1
函数的平均变化率课时自测·当堂达标
1.若函数f(x)=x 2，则函数f(x)从x=-1到x=2的平均变化率为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.-1
【解析】选A.平均变化率为===1.
2.质点运动规律为s(t)=t 2+3，则从3到3+Δt 的平均速度为 ( )
A.6+Δt
B.6+Δt+
C.3+Δt
D.9+Δt
【解析】 选A.因为Δs=s(3+Δt)-s(3)=6Δt+(Δt)2， 所以=6+Δt.
3.如果函数y=ax+b 在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a= ( )
A.-3
B.2
C.3
D.-2
【解析】选C.根据平均变化率的定义，可知==a=3.
4.如图显示物体甲、乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况，下列说法正
确的是________.
①在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度;
②在0到t 0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度;
③在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度;
④在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
.
【解析】在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故①②错误;
在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为.
因为s2-s0>s1-s0，t1-t0>0，所以>，故③正确，④错误.
答案:③
2。
函数的平均变化率基础作业练习含答案解析高二数学北京海淀
1作业 一函数的平均变化率一、选择题(每小题4分，共12分)1.质点运动规律s=t 2+3，则在时间(3，3+Δt)中，相应的平均速度为( ) A.6+Δt B.6+Δt+ C.3+Δt D.9+Δt 【解析】选 A.====6+Δt.2. (2018·北京高二检测)甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是 ( )A.甲B.乙C.相同D.不确定【解析】选B.由题图可知乙的斜率比甲的斜率小，但乙的斜率绝对值大，即变化快.3.某物体的运动方程为s=5-2t 2，则该物体在时间[1，1+d]上的平均 速度为 ( )A.2d+4B.-2d+4C.2d-4D.-2d-4 【解析】选D.平均速度为 ==-4-2d.故选D.2二、填空题(每小题4分，共8分)4.经过研究，某个婴儿从出生到第24个月的体重变化如图所示，那么该婴儿体重的平均变化率哪一年较大？________.(填“第一年”或“第二年”)【解析】由题图知，第一年该婴儿体重的平均变化率是=0.625;第二年该婴儿体重的平均变化率是=0.25.因为0.625>0.25，所以第一年该婴儿体重的平均变化率较大. 答案:第一年5.(2018·东营高二检测)函数y=f(x)=ln x+1从e 到e 2的平均变化率为________.【解析】因为Δy=f(e 2)-f(e)=(ln e 2+1)-(ln e+1)=1，Δx=e 2-e ，所以=. 答案:三、解答题6.(10分)已知函数y=2x 2+3x-5.当x 1=4，且Δx=1时，求函数值的改变量Δy 和平均变化率.【解题指南】先求函数值的改变量Δy ，再根据定义求平均变化率.【解析】Δy=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)-5-(2+3x1-5)=2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx=2(Δx)2+(4x1+3)Δx.当x1=4，Δx=1时，Δy=2+(4×4+3)×1=21，所以==21.【补偿训练】求函数y=x2-2x+1在x=2附近的平均变化率.【解析】设自变量x在x=2附近的改变量为Δx，则y的改变量Δy=[(2+Δx)2-2(2+Δx)+1]-(22-4+1)=(Δx)2+2Δx，所以，平均变化率==Δx+2.3。
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高中数学-函数的平均变化率测试题
自我小测
1．已知函数y ＝f (x )＝2x ，那么当自变量x 由2变到3
2时，函数值的增量Δy 为( )
A.1
2
B ．－12
C.1
3
D ．－13
2．在曲线y ＝x 2
＋x 上取点P (2,6)及邻近点Q (2＋Δx,6＋Δy )，那么Δy Δx 为( )
A ．2＋Δx
B ．2Δx ＋(Δx )2
C ．Δx ＋5
D ．5Δx ＋(Δx )2
3．某地某天上午9：20的气温为23.40 ℃，下午1：30的气温为15.90 ℃，则在这段时间内的气温变化率为( )
A ．0.03 ℃/min B．－0.03 ℃/min
C ．0.003 ℃/min D．－0.003 ℃/min
4．一物体的运动方程(位移与时间的函数关系)为s ＝3＋t 2
，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为( )
A ．3
B ．4
C ．4.1
D ．0.41
5．函数f (x )＝x 2
在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )
A ．k 1＜k 2
B ．k 1＞k 2
C ．k 1＝k 2
D ．无法确定
6．已知函数f (x )＝ax ＋b 在区间[1,8]上的平均变化率为3，则实数a ＝__________. 7．已知函数y ＝x 3
，当x ＝1时，Δy Δx
＝__________.
8．设某产品的总成本函数为C (x )＝1 100＋x 2
1 200，其中x 为产量数，生产900个单位
到1 000个单位时总成本的平均变化率为__________．
9．求函数y ＝f (x )＝3x 2
＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．
10．已知气球的体积为V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3
.
(1)求半径r 关于体积V 的函数r (V )．
(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？
参考答案
1. 答案：Δy ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32－f (2)＝232－22＝13. 答案：C
2. 解析：因为Δy ＝(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－6＝(Δx )2
＋5Δx ，所以Δy Δx ＝Δx ＋5，故
选C.
答案：C
3. 解析：15.90－23.40
250＝－0.03.
答案：B
4. 解析：利用求平均变化率的方法和步骤来解决． Δs ＝(3＋2.12
)－(3＋22
)＝0.41， Δt ＝2.1－2＝0.1，所以Δs
Δt ＝4.1.
答案：C
5. 解析：k 1＝(x 0＋Δx )2
－x 20Δx ＝(Δx )2
＋2x 0Δx
Δx
＝Δx ＋2x 0，
k 2＝x 20－(x 0－Δx )2Δx ＝2x 0Δx －(Δx )2
Δx
＝2x 0－Δx ，
k 1－k 2＝(Δx ＋2x 0)－(2x 0－Δx )＝2Δx ，Δx 符号不确定，故无法确定k 1与k 2谁大．
答案：D
6. 解析：平均变化率Δy Δx ＝f (8)－f (1)8－1＝8a ＋b －(a ＋b )
7＝a ＝3.
答案：3
7. 解析：因为Δy ＝(1＋Δx )3
－13
＝(Δx )3
＋3(Δx )2
＋3Δx ， 所以Δy Δx ＝(Δx )2
＋3Δx ＋3.
答案：(Δx )2
＋3Δx ＋3
8. 解析：ΔC Δx ＝C (1 000)－C (900)1 000－900＝19
12.
答案：19
12
9. 解：函数y ＝f (x )＝3x 2
＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f (x 0＋Δx )－f (x 0)
(x 0＋Δx )－x 0
＝[3(x 0＋Δx )2
＋2]－(3x 20＋2)Δx
＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2
Δx
＝6x 0＋3Δx .
当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2
＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
10. 解：(1)因为V ＝43πr 3
，
所以r 3
＝3V
4π，r ＝33V 4π
，
所以r (V )＝33V
4π
.
(2)函数r (V )在区间[0,1]上的平均变化率约为r (1)－r (0)
1－0＝
33×1
4π－01≈0.62(dm/L)，
函数r (V )在区间[1,2]上的平均变化率约为r (2)－r (1)
2－1
＝33×24π－
33×14π
≈0.16(dm/L)．
显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．。