物理学研究进展-声子输运和热导性质
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这个方程为用位移表示的运动方程，叫Navier方程。
材料中波的传播是等容积波和膨胀波的组合传播。借助Helmholtz分解定理，根据弹性体中发生的位移满足的不同条件，可将这两种不同的波分解出来，建立关于位移的两种不同传播速度的波动方程。我们可将位移进行如下分解：
(1.4)
其中： 且 ，分别对应为某标量式的梯度和某矢量式的旋度。
物理学前沿进展
声子输运和热导性质
近30年来，随着先进的制造技术的持续发展(例如分子束外延技术(MBE)、聚焦离子束光刻技术、无电镀水刻蚀技术(EE)、有机物化学汽相沉积(MOCVD)、纳米球珠光刻术、电子束曝光、气-液-固生成技术、超微细刻蚀技术以及栅控维度技术等等)，电子器件的几何尺寸正以超乎寻常的速度向超精细、超小型化方向发展。这些纳米级别加工技术的不断发展，给微电子技术带来革命性的影响，从微米级发展到纳米级。低维纳米尺度器件有着体材料器件无法比拟的优良特性：低能耗，低耗材，高集成，高速度等等。早在1959年，美国物理学家Feyneman突发奇想：“如果有一天可以按人的意志安排一个个原子，将会产生什么样的奇迹呢?”。他的这一设想直到70年代才引起人们的重视。在20世纪70年代，日本科学家Taniguchi等首次引用纳米概念，随后，这一概念为学术界所接受并迅速发展起来。而Feyneman的梦想也终于在20世纪80年代，随着扫描隧道显微镜的出现而变成现实，这种显微镜不仅能直接看到原子、分子，而且能够按照自己的意愿排列原子和分子。在1989年下半年，美国IBM公司的科学家用扫描隧道显微镜在镍晶体表面移动原子，写成由35个原子排列成的“IBM”三个字母。在2001年6月，《科学》杂志报道了杨陪东研究组在只及人类头发丝的千分之一的纳米导线上制造出了世界上最小的激光：纳米激光器，这一发明将有可能用于以后的光子计算机，如果这种计算机开发成功，将导致其存储器件的存储密度要比目前的磁盘高出1亿倍。同年，日本科学家青野正和等制成直径在2纳米、长度从2纳米到300纳米的导线，他的成果实现了人类操纵原子分子组合物质的梦想。利用对单个原子、分子的操纵技术，从而实现制造以分子、原子为信息单位的光子芯片和生物芯片成为可能，为真正的智能计算机的问世扫清障碍。随着这些越来越完善的微加工技术，人们可以按照需要制造各种具有特异功能的纳米薄膜、纳米线、纳米管、超晶格、纳米颗粒等。这些纳米材料和结构能实现体材料和宏观器件所没有的独特的物理性质，例如能带人工裁剪、共振隧穿、库仑阻塞和弹道输运等，开辟了人们认识自然的新层次。作为物理学分支的一朵奇葩，低维量子体系正以无穷的魅力吸引着世界上许许多多的研究人员投入其中。
由矢量分析： ，即 代表无旋位移，而 代表等容位移。
将位移代入方程(1.4)可得：
(1.5)
由等式(1.5)可得：
(1.6)
其中， ，对应为膨胀波的波速( 与 为拉梅常数)。
(1.7)
其中， 。对应为等容波的波速。
1.2.2最低阶振动模的近似理论
精确分析弹性圆柱体中的简谐波已经相当复杂，而具有不同于圆柱体截面的其它量子线中，精确分析其简谐波几乎不可能，所以，人们发展了很多的近似理论对任意的横截面的弹性波的传播进行分析。这些近似理论在不同的频率范围内，对杆的各种运动的最低阶振动模(包括膨胀模，扭转模，弯曲模)的弥散行为进行分析，结果表明色散关系达到工程中应用的要求。
纳米科学技术的迅速发展引发了人类对客观世界认识的革命，已成为新技术、新器件的一个重要研究分支，在当今世界的高新科技领域起着关键性的不可替代的作用，很有可能掀起一场新的工业革命，成为21世纪经济发展的主要动力。由于纳米科技诱人的发展前景，为了抢占先机，世界各国纷纷加大投入力度，实施纳米科技的开发计划。美国早在1991年就制定了纳米技术研究计划，从1999年开始，又把纳米科技列为21世纪前10年11个关键领域之一。在2003年，美国国会通过了《21世纪纳米技术研究开发法案》，将纳米技术列为美国的重大研发计划。日本政府一贯支持纳米科技的研究与开发，积极推进包括从基础到实用性的纳米技术研发。日本的各大企业也组建相应的研发中心，加大了包括从人力、物力、财力方面的投入。欧盟也对纳米技术的给予了空前的重视，将纳米技术确定为最优先的领域，仅在2006年至2007年就安排了13亿欧元用于相关的研究。我国对纳米技术也保持高度的重视，2006年，我国制定的《国家中长期科学和技术发展规划纲要(2006—2020)》将纳米科学列入了这段时期内基础科学研究的4个主要方向之一，将纳米材料和纳米器件作为发展先进材料的重点目标。
纳米技术做为当代高科技发展的一个重要方向，为科学技术和社会发展带来了许多机遇，也面临着许多挑战。例如：当纳米器件的特征尺寸达到纳米尺度时，器件的大小与许多物理量的特征长度（如电子的德布洛意波长，弹性声子的波长，铁磁性临界尺寸等）相当，量子效应、界面效应、边界效应将导致导致器件的性能发生突变，使纳米尺度体系的物理以及化学性质不同于宏观物体，适合于宏观体系的许多理论、规律等不再适用于纳米尺度体系，需要建立新的理论描述纳米尺度体系下的物理规律。到目前为止，在纳米尺度上还有大量原理性问题尚待研究解决。同时，随着器件持续微型化的趋势的发展，普通制造技术的精度将很快达到基本物理极限，制作工艺将不再适用，如传统的激光刻蚀技术在器件尺寸小于激光波长时会失效；而新的纳米技术从实验到大规模的开发还受到很多现实条件的约束。所以，纳米技术从研究到大规模的应用还有很长的路要走。
Landauer与Buttiker从量子力学原理出发，得出了著名的计算两端多通道器件电导系数的Landauer-Buttiker公式：
(1.17)
事实已经证明Landauer-Buttiker公式正确地解释了介观体系的电导量子化现象。在他们研究的启发下，Luis G. C. Rego和George Kirczenow推导了一维纳米结构中弹道声子输运的热导表达式。根据Landauer公式，热流 从高温热库流向低温热库的表达式如下：
1低维纳米结构中的热输运理论
1.1热输运性质在体材料与纳米材料中的区别
宏观器件的热导仅仅与体系的材料性质有关，当材料的尺寸下降到纳米尺寸时，热导不仅和材料的性质有关，还和材料的的形状、尺寸大小、空间分布、以及表面和外界的耦合等有密切的关系。研究表明，与宏观器件的热导率相比，纳米尺寸器件的热导率下降约两个数量级。此时，量子热效应占据主导地位，宏观的热输运理论已经不再适用，使得纳米尺度下的热输运性质与宏观尺度下有明显的区别，传统的热流公式已不能够正确解释观察到的现象。此时，需要从量子力学角度出发的热输运理论才能有效解决量子器件中的热输运问题。量子体系传热与常规尺度的传热不同的原因可分为两大类：(1)当物质的特征尺寸缩小至与载流子(声子，电子，光子等)的平均自由程同一量级时，基于连续介质假设而建立的许多宏观概念和规律就不再适用，如粘性系数，导热系数等概念需要重新定义，N-S方程与Fourier导热方程也不在适用。(2)当结构的特征尺寸远大于载体粒子的平均自由程，即连续介质假设仍能成立，但是由于尺度的微细，使原来的各种影响因素的相对重要性发生了相对变化，从而导致传热规律的变化。
1.膨胀模的近似理论
假设一维弹性量子线的横截面的应力分布均匀，不考虑侧向惯性力与径向剪切力的影响；同时，假设横截面总保持为平面，那么，膨胀模的一维运动方程为：
(1.8)
其中， ， 为杨氏模量。由上面方程得到的平面波是弥散的。如果在保持其它假设不变的情况下，考虑侧向惯性的影响和由于poisson效应引起的侧向位移分量，可得到一维弹性量子线纵向(膨胀)方程：
， 。将上面的表达形式代入方程(1.12)和(1.13)，可得到它们振幅的比值为：
(1.14)
通过解上面的方程可得两种不同的色散关系：
(1.15)
从色散关系可以看出，Timoshenko模型的运动控制方程可得到两支模态，比Bernoulli-Euler模型更加接近精确理论。如果考虑横截面为圆的杆，让上面两种不同的接近方程的色散关系与精确理论相比较，发现Timoshenko模型的色散曲线与精确解的色散曲线符合得很好。
假设维弹性量子线的横截面总是保持平面且绕着对称轴转动，可得到一维弹性量子线扭转运动方程：
(1.10)
其中， ，这里，C为一维弹性量子线的扭转刚度。如果角位移为平面波，那么可得到扭转模色散方程。研究结果表明，在这种近似理论中，对应结果与扭转波的精确解的最低阶模是完全一致的，同时，不存在弥散的情况，这一点与膨胀模的近似理论是不相同的。
随着器件尺寸的缩小和集成电路密度的提高，在电子器件的加工和运行过程中，使得器件单位面积所产生的热量增加，这样会导致很多的不利影响，例如：纳米器件的机械性质、电子迁移、电子封装、以及器件的使用寿命发生很大的变化，从而需要高的热导加速传热。而有的材料工作时确需要低的热导，例如热电子材料。虽然对热输运性质的研究已经取得巨大进展，但是，我们还不能象控制电流一样控制热流。所以，纳米体系中热输运性质的研究成为摆在我们面前的一项非常重要而艰巨的任务。本文对低维纳米结构中声子输运和热导性质进行了系统的研究，下面将重点介绍我们工作的研究背景。
(1.9)
其中， ， 为杆的极惯性矩，这个方程为杆纵振动的Love理论。考虑时间谐波波 ，将波函数代入上面方程可得到对应的色散方程，如果考虑横截面为圆形截面，让上面的方程(1.8)与(1.9)所得的色散曲线与对应的精确理论的色散方程所得的色散曲线相比较，Love理论更加接近精确值。
2.扭转模的近似理论
1.2弹性波在材料中传输的基本理论
1.2.1弹性波运动方程
运动是物质存在的形式，对于理想弹性物体，在外界的扰动（或激励）下，会产生速度远低于光速的运动。在无限小应变下线性化的运动方程为：
(1.1)
其中 为应力， 为位移， 为体力。由本构方程：
(1.2)
由方程方程(1.1)与(1.2)可得：
(1.3)
1.3纳米体系中低温条件下计算弹性声子热导的基本量子理论
众所周知，对于三维体系，热导和热导率之间存在这样的关系：
(1.16)
其中 是热导率， 是热导，L是热流方向的长度，S是系统的横截面积。
实验表明，声子在低温下的热输运是弹道的，即热输运通道是离散的，为了便于研究微纳系统中离散的热通道模的热输运特点，研究热导比热导率更可行。同时，对于一些横截面积不好定义的系统，比如说catenoidal量子线，碳纳米管等，研究热导也比研究热导率更加方便。所以，在低温下，常常研究低维系统的热导而不是热导率。
3.弯曲运动的近似理论
(1)Bernoulli-Euler模型
在Bernoulli-Euler模型中做如下假定：
(a)量子线的横截面尺寸远小于其长度且主要的位移分量平行于对称轴。
(b)量子线的运动仅仅发生在x-z平面内(波沿x方向传播)，且饶度很小。
(c)忽略剪切应变的影响，在变形过程中横截面始终保持为平面且与中性轴垂直。
(d)沿量子线厚度方向的应力认为是0。
(e)量子线的转动惯量效应被忽略不计。
在上面的近似条件下，可得到Bernoulli-Euler弯曲运动方程为：
(1.11)
其中 ， 。如果不考虑横向载荷 ，对于均匀的量子线EA=常数，可得象速为： 。从这个表达式可以看出，象速度可以无限地增大，这在物理上是不合理的，这种近似解只有在当波长远大于 时，才和精确解接近。当波长可与量子线的横向尺寸相比时，不再使用。那么这种近似不适合用于模拟低温下长波长声学声子在低维体系中输运。此时必须考虑转动惯量与剪切变形的影响。
(1.18)
， 分别表示第 支模的频率和群速度， 是声子通过一维纳米结构的输运几率。 是普朗克分布函数，表达式为： 。由于横截面的量子局限，导致声子的色散关系离散化。方程(1.18)可化为：
(2)Timoshenko模型
在这种模型中，考虑到转动惯量与剪切变形的影响，且认为这两种影响同等重要。在增加这两种近似的条件下，得到了在长波长的情况下与精确理论的最低态很好的接近。在这种近似下，Timoshenko模型的运动控制方程为：
(1.12)
(1.13)
这里忽略载体自重的影响。设y和 为平面波，对应的表达形式为：
材料中波的传播是等容积波和膨胀波的组合传播。借助Helmholtz分解定理，根据弹性体中发生的位移满足的不同条件，可将这两种不同的波分解出来，建立关于位移的两种不同传播速度的波动方程。我们可将位移进行如下分解：
(1.4)
其中： 且 ，分别对应为某标量式的梯度和某矢量式的旋度。
物理学前沿进展
声子输运和热导性质
近30年来，随着先进的制造技术的持续发展(例如分子束外延技术(MBE)、聚焦离子束光刻技术、无电镀水刻蚀技术(EE)、有机物化学汽相沉积(MOCVD)、纳米球珠光刻术、电子束曝光、气-液-固生成技术、超微细刻蚀技术以及栅控维度技术等等)，电子器件的几何尺寸正以超乎寻常的速度向超精细、超小型化方向发展。这些纳米级别加工技术的不断发展，给微电子技术带来革命性的影响，从微米级发展到纳米级。低维纳米尺度器件有着体材料器件无法比拟的优良特性：低能耗，低耗材，高集成，高速度等等。早在1959年，美国物理学家Feyneman突发奇想：“如果有一天可以按人的意志安排一个个原子，将会产生什么样的奇迹呢?”。他的这一设想直到70年代才引起人们的重视。在20世纪70年代，日本科学家Taniguchi等首次引用纳米概念，随后，这一概念为学术界所接受并迅速发展起来。而Feyneman的梦想也终于在20世纪80年代，随着扫描隧道显微镜的出现而变成现实，这种显微镜不仅能直接看到原子、分子，而且能够按照自己的意愿排列原子和分子。在1989年下半年，美国IBM公司的科学家用扫描隧道显微镜在镍晶体表面移动原子，写成由35个原子排列成的“IBM”三个字母。在2001年6月，《科学》杂志报道了杨陪东研究组在只及人类头发丝的千分之一的纳米导线上制造出了世界上最小的激光：纳米激光器，这一发明将有可能用于以后的光子计算机，如果这种计算机开发成功，将导致其存储器件的存储密度要比目前的磁盘高出1亿倍。同年，日本科学家青野正和等制成直径在2纳米、长度从2纳米到300纳米的导线，他的成果实现了人类操纵原子分子组合物质的梦想。利用对单个原子、分子的操纵技术，从而实现制造以分子、原子为信息单位的光子芯片和生物芯片成为可能，为真正的智能计算机的问世扫清障碍。随着这些越来越完善的微加工技术，人们可以按照需要制造各种具有特异功能的纳米薄膜、纳米线、纳米管、超晶格、纳米颗粒等。这些纳米材料和结构能实现体材料和宏观器件所没有的独特的物理性质，例如能带人工裁剪、共振隧穿、库仑阻塞和弹道输运等，开辟了人们认识自然的新层次。作为物理学分支的一朵奇葩，低维量子体系正以无穷的魅力吸引着世界上许许多多的研究人员投入其中。
由矢量分析： ，即 代表无旋位移，而 代表等容位移。
将位移代入方程(1.4)可得：
(1.5)
由等式(1.5)可得：
(1.6)
其中， ，对应为膨胀波的波速( 与 为拉梅常数)。
(1.7)
其中， 。对应为等容波的波速。
1.2.2最低阶振动模的近似理论
精确分析弹性圆柱体中的简谐波已经相当复杂，而具有不同于圆柱体截面的其它量子线中，精确分析其简谐波几乎不可能，所以，人们发展了很多的近似理论对任意的横截面的弹性波的传播进行分析。这些近似理论在不同的频率范围内，对杆的各种运动的最低阶振动模(包括膨胀模，扭转模，弯曲模)的弥散行为进行分析，结果表明色散关系达到工程中应用的要求。
纳米科学技术的迅速发展引发了人类对客观世界认识的革命，已成为新技术、新器件的一个重要研究分支，在当今世界的高新科技领域起着关键性的不可替代的作用，很有可能掀起一场新的工业革命，成为21世纪经济发展的主要动力。由于纳米科技诱人的发展前景，为了抢占先机，世界各国纷纷加大投入力度，实施纳米科技的开发计划。美国早在1991年就制定了纳米技术研究计划，从1999年开始，又把纳米科技列为21世纪前10年11个关键领域之一。在2003年，美国国会通过了《21世纪纳米技术研究开发法案》，将纳米技术列为美国的重大研发计划。日本政府一贯支持纳米科技的研究与开发，积极推进包括从基础到实用性的纳米技术研发。日本的各大企业也组建相应的研发中心，加大了包括从人力、物力、财力方面的投入。欧盟也对纳米技术的给予了空前的重视，将纳米技术确定为最优先的领域，仅在2006年至2007年就安排了13亿欧元用于相关的研究。我国对纳米技术也保持高度的重视，2006年，我国制定的《国家中长期科学和技术发展规划纲要(2006—2020)》将纳米科学列入了这段时期内基础科学研究的4个主要方向之一，将纳米材料和纳米器件作为发展先进材料的重点目标。
纳米技术做为当代高科技发展的一个重要方向，为科学技术和社会发展带来了许多机遇，也面临着许多挑战。例如：当纳米器件的特征尺寸达到纳米尺度时，器件的大小与许多物理量的特征长度（如电子的德布洛意波长，弹性声子的波长，铁磁性临界尺寸等）相当，量子效应、界面效应、边界效应将导致导致器件的性能发生突变，使纳米尺度体系的物理以及化学性质不同于宏观物体，适合于宏观体系的许多理论、规律等不再适用于纳米尺度体系，需要建立新的理论描述纳米尺度体系下的物理规律。到目前为止，在纳米尺度上还有大量原理性问题尚待研究解决。同时，随着器件持续微型化的趋势的发展，普通制造技术的精度将很快达到基本物理极限，制作工艺将不再适用，如传统的激光刻蚀技术在器件尺寸小于激光波长时会失效；而新的纳米技术从实验到大规模的开发还受到很多现实条件的约束。所以，纳米技术从研究到大规模的应用还有很长的路要走。
Landauer与Buttiker从量子力学原理出发，得出了著名的计算两端多通道器件电导系数的Landauer-Buttiker公式：
(1.17)
事实已经证明Landauer-Buttiker公式正确地解释了介观体系的电导量子化现象。在他们研究的启发下，Luis G. C. Rego和George Kirczenow推导了一维纳米结构中弹道声子输运的热导表达式。根据Landauer公式，热流 从高温热库流向低温热库的表达式如下：
1低维纳米结构中的热输运理论
1.1热输运性质在体材料与纳米材料中的区别
宏观器件的热导仅仅与体系的材料性质有关，当材料的尺寸下降到纳米尺寸时，热导不仅和材料的性质有关，还和材料的的形状、尺寸大小、空间分布、以及表面和外界的耦合等有密切的关系。研究表明，与宏观器件的热导率相比，纳米尺寸器件的热导率下降约两个数量级。此时，量子热效应占据主导地位，宏观的热输运理论已经不再适用，使得纳米尺度下的热输运性质与宏观尺度下有明显的区别，传统的热流公式已不能够正确解释观察到的现象。此时，需要从量子力学角度出发的热输运理论才能有效解决量子器件中的热输运问题。量子体系传热与常规尺度的传热不同的原因可分为两大类：(1)当物质的特征尺寸缩小至与载流子(声子，电子，光子等)的平均自由程同一量级时，基于连续介质假设而建立的许多宏观概念和规律就不再适用，如粘性系数，导热系数等概念需要重新定义，N-S方程与Fourier导热方程也不在适用。(2)当结构的特征尺寸远大于载体粒子的平均自由程，即连续介质假设仍能成立，但是由于尺度的微细，使原来的各种影响因素的相对重要性发生了相对变化，从而导致传热规律的变化。
1.膨胀模的近似理论
假设一维弹性量子线的横截面的应力分布均匀，不考虑侧向惯性力与径向剪切力的影响；同时，假设横截面总保持为平面，那么，膨胀模的一维运动方程为：
(1.8)
其中， ， 为杨氏模量。由上面方程得到的平面波是弥散的。如果在保持其它假设不变的情况下，考虑侧向惯性的影响和由于poisson效应引起的侧向位移分量，可得到一维弹性量子线纵向(膨胀)方程：
， 。将上面的表达形式代入方程(1.12)和(1.13)，可得到它们振幅的比值为：
(1.14)
通过解上面的方程可得两种不同的色散关系：
(1.15)
从色散关系可以看出，Timoshenko模型的运动控制方程可得到两支模态，比Bernoulli-Euler模型更加接近精确理论。如果考虑横截面为圆的杆，让上面两种不同的接近方程的色散关系与精确理论相比较，发现Timoshenko模型的色散曲线与精确解的色散曲线符合得很好。
假设维弹性量子线的横截面总是保持平面且绕着对称轴转动，可得到一维弹性量子线扭转运动方程：
(1.10)
其中， ，这里，C为一维弹性量子线的扭转刚度。如果角位移为平面波，那么可得到扭转模色散方程。研究结果表明，在这种近似理论中，对应结果与扭转波的精确解的最低阶模是完全一致的，同时，不存在弥散的情况，这一点与膨胀模的近似理论是不相同的。
随着器件尺寸的缩小和集成电路密度的提高，在电子器件的加工和运行过程中，使得器件单位面积所产生的热量增加，这样会导致很多的不利影响，例如：纳米器件的机械性质、电子迁移、电子封装、以及器件的使用寿命发生很大的变化，从而需要高的热导加速传热。而有的材料工作时确需要低的热导，例如热电子材料。虽然对热输运性质的研究已经取得巨大进展，但是，我们还不能象控制电流一样控制热流。所以，纳米体系中热输运性质的研究成为摆在我们面前的一项非常重要而艰巨的任务。本文对低维纳米结构中声子输运和热导性质进行了系统的研究，下面将重点介绍我们工作的研究背景。
(1.9)
其中， ， 为杆的极惯性矩，这个方程为杆纵振动的Love理论。考虑时间谐波波 ，将波函数代入上面方程可得到对应的色散方程，如果考虑横截面为圆形截面，让上面的方程(1.8)与(1.9)所得的色散曲线与对应的精确理论的色散方程所得的色散曲线相比较，Love理论更加接近精确值。
2.扭转模的近似理论
1.2弹性波在材料中传输的基本理论
1.2.1弹性波运动方程
运动是物质存在的形式，对于理想弹性物体，在外界的扰动（或激励）下，会产生速度远低于光速的运动。在无限小应变下线性化的运动方程为：
(1.1)
其中 为应力， 为位移， 为体力。由本构方程：
(1.2)
由方程方程(1.1)与(1.2)可得：
(1.3)
1.3纳米体系中低温条件下计算弹性声子热导的基本量子理论
众所周知，对于三维体系，热导和热导率之间存在这样的关系：
(1.16)
其中 是热导率， 是热导，L是热流方向的长度，S是系统的横截面积。
实验表明，声子在低温下的热输运是弹道的，即热输运通道是离散的，为了便于研究微纳系统中离散的热通道模的热输运特点，研究热导比热导率更可行。同时，对于一些横截面积不好定义的系统，比如说catenoidal量子线，碳纳米管等，研究热导也比研究热导率更加方便。所以，在低温下，常常研究低维系统的热导而不是热导率。
3.弯曲运动的近似理论
(1)Bernoulli-Euler模型
在Bernoulli-Euler模型中做如下假定：
(a)量子线的横截面尺寸远小于其长度且主要的位移分量平行于对称轴。
(b)量子线的运动仅仅发生在x-z平面内(波沿x方向传播)，且饶度很小。
(c)忽略剪切应变的影响，在变形过程中横截面始终保持为平面且与中性轴垂直。
(d)沿量子线厚度方向的应力认为是0。
(e)量子线的转动惯量效应被忽略不计。
在上面的近似条件下，可得到Bernoulli-Euler弯曲运动方程为：
(1.11)
其中 ， 。如果不考虑横向载荷 ，对于均匀的量子线EA=常数，可得象速为： 。从这个表达式可以看出，象速度可以无限地增大，这在物理上是不合理的，这种近似解只有在当波长远大于 时，才和精确解接近。当波长可与量子线的横向尺寸相比时，不再使用。那么这种近似不适合用于模拟低温下长波长声学声子在低维体系中输运。此时必须考虑转动惯量与剪切变形的影响。
(1.18)
， 分别表示第 支模的频率和群速度， 是声子通过一维纳米结构的输运几率。 是普朗克分布函数，表达式为： 。由于横截面的量子局限，导致声子的色散关系离散化。方程(1.18)可化为：
(2)Timoshenko模型
在这种模型中，考虑到转动惯量与剪切变形的影响，且认为这两种影响同等重要。在增加这两种近似的条件下，得到了在长波长的情况下与精确理论的最低态很好的接近。在这种近似下，Timoshenko模型的运动控制方程为：
(1.12)
(1.13)
这里忽略载体自重的影响。设y和 为平面波，对应的表达形式为：