20课时一元二次方程的整数根教案

一元二次方程的整数根教案(含答案)
例1：已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0.
（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数.
1）证明：△=(m +3)2-4(m +1) =m 2+6m +9-4m -4 =m 2+2m +5 =(m +1)2+4
∵(m +1)2
≥0 ∴(m +1)2+4≥0
∴无论m 取何实数时，原方程都有两个不相等的实数根 （2）解关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0得
x =
要使原方程的根是整数根，必须使得(m +1)2+4是完全平方数 设(m +1)2+4=a 2 则(a +m -1)(a -m -1)=4 ∵a +m -1与a -m -1的奇偶性相同
可得
{
1=212a m a m +---=或
{
1=2
12a m a m +----=- 解得
{
=2
1a m =-或
{
21a m =-=-
将1m =-
代入x =得1220x x =-=，符合题意；
∴当1m =-时，原方程的根是整数.
例2 已知关于x 的方程x 2＋(a -6)x ＋a=0的两根都是整数，求a 的值．
解 设两个根为x 1≥x 2，由韦达定理得从上面两式中消去a 得
x 1x 2+x 1+x 2＝6，所以 (x 1＋1)(x 2+1)=7，
所以a=x 1x 2=0或16．
说明 利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x 1，x 2的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．
例3 关于x 的方程ax 2+2(a -3)x+(a -2)=0至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的值．
解 当a=0时，原方程变成-6x -2=0，无整数解．当a ≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式Δ＝4(a -3)2-4a(a -2)＝4(9-4a) 为完全平方数，从而9-4a 是完全平方数．令9-4a=n 2，则n 是正奇数，
要使x 1为整数，而n 为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x 2为整数，即n -3｜4，n 可取1，5，7，从而a=2，-4，-10． 综上所述，a 的值为2，-4，-10．
拓展练习
1：关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根都是整数，求符合条件的a 的整数值.
答案：当1a =时，1x =；
当1a ≠时，122
111
x x a ==--
-，（分离常数）， a ∵为整数
1023a =-∴，，， 综上，a 的整数值为10123-，，，，
2.关于x 的一元二次方程2
5(5)0x mx m -+-=的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2=7，则m 的值是（ b ）
A. 2
B. 6
C. 2或6
D. 7
3.设方程270x kx --=和()2610x x k --+=有公共根，求k 的值．（k=-6）
4. 三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根． ⑴ 求证：0a b c ++=；⑵ 求公共根的值． 答案：⑴ 设上述三个方程的公共根为0x ，则有
2000ax bx c ++=，2000bx cx a ++=，2000cx ax b ++= 三式相加并提取公因式可得，200()(1)0a b c x x ++++=
又2200013
1()024
x x x ++=++>，故0a b c ++=，
(2)公共根为01x =或01b
x =--．
6. 对于任意实数k ，方程（k 2+1）x 2-2（a+k ）2x+k 2+4k+b=0总有一个根是1，试求实数a ，b 的值及另一个根的范围．
解：由题意可得对于任意实数k ，（k 2+1）-2（a+k ）2 +k 2+4k+b=0， 即 4k （1-a ）+1+b-2a 2=0 对对于任意实数k 恒成立，∴1-a=0，即a=1， 故有b=1，方程即：（k 2+1）x 2-2（1+k ）2x+k 2+4k+1=0．
014)1(2=-+--m k k m ,当m=1时，k=0,当m ≠1时，△
13-0)1(4162≤≤≥--=∆m m 解得∴另一个根m 的取值范围是13≤≤-m
7. 设m 是不为零的整数，关于x 的二次方程mx 2-(m -1)x ＋1＝0 有有理根，求m 的值．
解 一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ=(m -1)2-4m ＝n 2，其中n 是非负整数，于是m 2-6m+1=n 2，所以 (m -3)2-n2=8，(m -3＋n)(m -3-n)＝8．由于m -3＋n ≥m -3-n ，并且(m -3＋n)+(m -3-n)=2(m -3)是偶数，所
以m -3＋n 与m -3-n 同奇偶，所以
8.已知方程根，有两个不相等的正整数012=+-+m mx x 求m 的值。

解：设方程x 2+mx-m+1=0的两个不相等的正整数根为a ，b （a ＜b ）， 根据根与系数的关系有：a+b=-m ，ab=-m+1消去m 有：ab=a+b+1 即（a-1）（b-1）=2∵a ，b 是正整数，∴只有a-1=1，b-1=2， a=2，b=3 2+3=-m 故m 的值为-5
9.已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，求出符合条件的整数a 的值。

解：①当a=1时，x=1；
②当a ≠1时，原式可以整理为：[（a-1）x+a+1]（x-1）=0， 易知x=1是方程的一个整数根， 再由1+x=
2 1−a
且x是整数，知1-a=±1或±2，
∴a=-1，0，2，3；由①、②得符合条件的整数a有5个．
故填：5．
10.求所有有理数r，使得方程
rx2+(r+1)x＋(r-1)=0
的所有根是整数．
分析首先对r=0和r≠0进行讨论．r=0时，是关于x的一次方程；
r≠0时，是关于x的二次方程，由于r是有理数，处理起来有些困难，
这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．
解当r=0时，原方程为x-1=0，所以x=1．
当r≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，则
消去r得
x1x2-x1-x2＝2，
所以(x1-1)(x2-1)=3．
11.已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程
ax2＋2(2a-1)x＋4(a-3)=0
至少有一个整数根，求a的值．
解将原方程变形为
(x＋2)2a= 2(x＋6)．
显然x＋2≠0，于是
由于a是正整数，所以a≥1，即
所以 x2+2x-8≤0，
(x＋4)(x-2)≤0，
所以-4≤x≤2(x≠-2)．
当x=-4，-3，-1，0，1，2时，得a的值为1，6，10，3，
说明从解题过程中知，当a=1时，有两个整数根-4，2；当a=3，6，10时，方程只有一个整数根．有时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．
12.若关于x的方程（6-k）（9-k）x2-（117-15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有（5个）
解答：解：①当6-k=0，即k=6时，则原方程为-（117-15×6）x+54=0，解得x=2；
②当9-k=0，即k=9时，则原方程为-（117-15×9）x+54=0，解得x=-3；
③当6-k≠0、9-k≠0时，即k≠6且k≠9时，
x1=，x2=；
①当6-k=±1，±3，±9时，x是整数，此时k=7、5、3、15、-3；
③当9-k=±1、±2、±3、±6时，x是整数，此时k=10、8、11、7、12、15、3．
综合①②知，k=3、15、6、7、9时，原方程的解为整数．
故答案为：5．
已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k 4=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值.
例8 已知方程x2+bx+c=0与x2+cx＋b=0各有两个整数根x1，x2
(2)求证：b-1≤c≤b＋1；
(3)求b，c的所有可能的值．
解 (1)由x1x2＞0知，x1与x2同号．若x1＞0，则x2＞0，
(2)由(1)知，x1＜0，x2＜0，所以x1≤-1，x2≤-1．由韦达定理
c-(b-1)=x1x2＋x1＋x2＋1
=(x1＋1)(x2+1)≥0，
所以 c≥b-1．
同理有
所以 c≤b+1，
所以 b-1≤c≤b+1．
(3)由(2)可知，b与c的关系有如下三种情况：
(i)c=b＋1．由韦达定理知
x1x2=-(x1＋x2)＋1，
所以 (x1＋1)(x2＋1)=2，
解得x1＋x2=-5，x1x2=6，所以b=5，c=6．
(ii)c=b．由韦达定理知
x1x2=-(x1＋x2)，
所以 (x1+1)(x2＋1)=1，
所以x1=x2=-2，从而b=4，c=4．
(iii)c=b-1．由韦达定理知
所以
综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)．。