[研究生入学考试]运筹学【运输问题】考研必备

1、平衡运输问题有有限最优解
对于平衡运输问题, 若令其决策变量
x ij aib j Q , i 1,2,..., m; j 1,2,..., n
其中
Q
a b
i i 1 j 1
m
n
j
则xij(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)是问题的一可行解; 并且运输问 题必有最优解(目标函数有下界, 且不会趋于 - ) 0<=xij<=min{ai, bj}
第三章 运输问题
第一节 运输问题及其数学模型 第二节 表上作业法
第三节 产销不平衡的运输问题及其求解
第四节 应用问题举例
前面两章, 我们讨论了一般LP问题的求解方法, 但在实际
问题中, 往往碰到有些线性规划问题, 它们的约束方程组 的系数矩阵具有特殊的结构, 这就有可能找到比单纯形法 更简便的求解方法.从而可节约计算时间和费用.本章讨论 的运输问题就属于这一类特殊的LP问题.
B2 25 4 6 4-2
B3 3 7 5 3
B4 5 8 4
产量
A1 A2 A3
销量
4 4-2-2 6 3 13
(3) 继续进行
销地 产地
B1 26 4 7
B2 25 24 6
B3 3 7 5 3
B4
产量
A1 A2 A3
销量
4 4-2-2 5 6-2 8 4 3 13
2-2 4-2-2
(4) 继续进行

举例说明
运输问题网络图
供应地 运价 6 7 5 销售地 1 b1=22
a1=14 供 应 量
1
a2=27 a3=19
2 3
3 8 4 2 7 5 9 10 6
2
3
b2=13
b3=12
销 售 量
4
b4=13
运输问题线性规划模型
min z 6x 11 7x 12 5x 13 3x 14 8x 21 4x 22 2x 23 7x 24 5x 31 9x 32 10x 33 6x 34 s.t. x 11 x 12 x 13 x 14 x 21 x 22 x 23 x 24 x 31 x 32 x 33 x 34 x 11 x 12 x 13 x 14 x 11 x 12 x 13 x 14 x 21 x 22 x 23 x 21 x 22 x 23 x 24 x 24 x 31 x 32 x 33 x 31 x 32 x 33 x 34 x 34 14 供
xmn cmn
am
b1
b2
…
bn
若运输问题(transportation problem)的总产量等于其总销量,即
a
i 1
m
i
bj
j1
n
则称该运输问题为产销平衡运输问题; 反之,称为产销不平衡运输问
题 若xij表示从Ai到Bj的运量, 那么产销平衡问题的数学模型为
min z
c
应 27 地 约 19 束
22
销 13 售 地 12 约 束
13 0
运输问题的表格表示
1 1 6 2 7 3 5 4 3 14
x11
8
x12
4
x13
2
x14
7
2
x21
5
x22
9
x23
10
x24
6
27
3
x31
22
x32
13
x33
12
x34
13
19
二、运输问题数学模型的特点
解: 西北角法
销地 产地
B1 6 4 7 2
B2 5 4 6 4
B3 3 7 5 3
B4 4 5 8 4
产量
A1 A2 A3
销量
4 6 3 13
(1) 从图的西北角开始, 填入a1与b1较小的值,b1=2, 即从A1运 给B1(2吨)B1已满足, 划去b1列, 并将a1=4-2=2
销地 产地
B1 26 4 7 2-2
i 1 j 1
m
n
ijx ij
n x ij a i , i 1,2,..., m j 1 s.t . m x ij b j , j 1,2,..., n i 1 x ij 0, i 1,2,..., m; j 1,2,..., n
一、运输问题初始基可行解的确定方法
确定初始基可行解方法很多, 一般有: 最小元素法、西北
角法和伏格尔法(Vogel)(差值法)
1、最小元素法
基本思想是: 就近供应. 即从单位运价表中最小的运价开始
确定供销关系, 然后次小, 一直到给出初始基可行解为止.
例1 某部门有3个生产同类产品的工厂(产地), 生产的产品由4个 销售点(销地)出售, 各工厂的生产量、各销售点的销售量(假设 单位均为t)以及各工厂到各销售点的单位运价(元/t)如下表, 问
运 价
销地
表
… Bn x1n x2n
….
c1n
设xij(i=1,2,…,m, j=1,2,…,n)表示从Ai到Bj的运量
产地
B1 x11 c11 x21 c21
…
B2 x12 x22
…
c12
产量
A1 A2 … Am
销量
…. …. xij cij …
a1 a2
…
c22
c2n
xm1cm1
xm2 cm2
销量
(3) 再从最小元素开始[4].即A2优先满足B12个单位,B1已经满 足, 划去B1列.
销地 产地
B1
6 24 7 2-2
B2
5 4 6 4
B3
33
7 5 3-3
B4
14 5 8 4-1
产量 4-3-1 6-2 3 13
A1 A2 A3
销量
(4) 再从最小元素开始[4].即A2优先满足B2 4个单位,B2,A2已经 满足,划去B2列A2行.
22
13
12 0
最小元素法(2)
1 6 1 8 2 5 3 22 9 4 7
2 5
3 3
4 14 1
13
2 7
12
10 6
27
15
19 13 12 0 13 0
最小元素法(3)
1 6 1 8 2 5 3 22 9 4 7
2 5
3 3
4 14 1
13
2 7
13
10
12
6
27
2
19 13 0 12 0 13 0
2、运输问题约束条件的系数矩阵 x 11 x 12 ...x 1n x 21 x 22 ... x 2n ... x m1 x m 2 ... x mn
1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1 ... 1 1 1 ... 1 1 1 ... 1 ... 1 1
33
7 5 3
B4
4 5 8 4 -3
产量 4-3 6 3 13
A1 A2 A3
销量
(2) 再从最小元素开始[4],即A1优先满足B4 1个单位,A1已经满 足,划去A1行.
销地 产地
B1
6 4 7 2
B2
5 4 6 4
B3
33
7 5 3-3
B4
14 5 8 4-1
产量 4-3-1 6 3 13
A1 A2 A3
销地 产地
B1 26 4 7 2-2
B2 25 24 6
B3 3 37 5
B4
产量
A1 A2 A3
销量
4 4-2-2 1 5 6-2-3-1 38 3-3 13
14 5 38 4-1-3
产量 4-3 6-2-4 3-3 13
A1 A2 A3
销量
(6) 得到初始方案: x13=3,x14=1,x21=2,x22=4,x34=3 总运费=3*3+4*1+4*2+4*4+8*3=61(元)
销地 产地 A1 A2 A3 销量 B1 6 24 7 2-2 B2 5 44 6 4-4 B3 33 7 5 3-3 B4 14 5 38 4-1-3 产量 4-3-1 6-2-4 3-3 13
运输问题所研究的往往是大宗物资调动问题.如煤,钢铁,木
材,粮食等物资,在全国有若干生产基地,根据已有的交通网,
应如何制定调动方案,将这些物资运到各消费地点, 而总运
费要最小.
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
设某种物品 有m个产地A1,A2,…,Am,各产地的产量分别是a1,a2,…, am; 有n 个销地B1,B2,…,Bn,各销地的销量分别为b1,b2,…, bn; 假设从产地Ai(i=1,2,…,m)向销地Bj(j=1,2,…,n)运输单位物 品的运价是cij. 问: 如何调运这些物品才能使总运费最小？
2-2 4-2-2 3-3
(6) 继续进行
销地 产地
B1 26 4 7
B2 25 24 6
B3 3 37 5
B4
产量
A1 A2 A3
销量
4 4-2-2 1 5 6-2-3-1 38 3-3 13
2-2 4-2-2 3-3 4-1-3
(7) 得到初始方案:x11=2, x12=2, x22=2, x23=3, x24=1, x34=3, 总运费=6*2+5*2+4*2+7*3+5*1+8*3=80(元)
最小元素法(4)
1 6 1 8 2 5 3 22 3 9 4 7
2 5
3 3
4 14 1
13
2 7
13
10
12
6
27
2
19
13 0 12 0 13 0
19
0
最小元素法(5)
1 1 6 7
2 5
3 3
4 14 0
1
2 8 4 2 7
13
27 2
13
3 5 9 10
12
6 19 13 0 0
19
22 2 13 0 12 0
最小元素法(6)
1 6 1 8 2 5 3 22 0 7
2 5
3 3
4 14 0
1
4 2 7
13 13
9 10
2 19
13 0
12
6
27
0
19 12 0 13 0
0
得到初始方案: x11=1, x14=13, x22=13, x23=12, x31=19
2、西北角法 西北角法与最小元素法不同,它不是优先考虑具有最小单 位运价的供销业务, 而是先满足表中西北角(即左上角)上 空格的供销需求
(3) 系数矩阵的秩<=m+n-1.
第二节 表上作业法
表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法, 其实质是单纯形法, 但其计算和术语有所不同. 可归纳为: (1) 找出初始基可行解. 即在m n产销平衡表上给出m+n-1 个数字格; (2) 求各非基变量的检验数. 即在表上计算空格的检验数. 判别是否达到最优解. 若已是最优解, 则停止计算, 否则 转下一步; (3) 确定换入变量和换出变量, 找出新的基可行解. 在表上 用闭回路法调整; (4) 重复(2) (3) 直到得到最优解为止. 以上运算都可以在表上完成.
如何调运产品才能使总运费最小？
销地 产地
B1 6 4 7 2
B2 5 4 6 4
B3 3 7 5 3
B4 4 5 8 4
产量
A1 A2 A3
销量
4 6 3 13
解 (1)从最小元素开始[3],即A1优先满足B3 3个单位, B3已经满 足,划去B3列
销地 产地
B1
6 4 7 2
B2
5 4 6 4
B3
B2 5 4 6 4
B3 3 7 5 3
B4 5 8 4
产量
A1 A2 A3
销量
4 4-2 6 3 13
(2)向a1, b1较大方向移动一格(或向右,或向下)此时向右移动一 格(A1,B2)B2需要4吨,而A1只有2吨,A1已发完,划去A1行, 并把b2 改成(4-2)=2.
销地 产地
B1 26 4 7 2-2
例2
供应地 6 7 5 运价 销售地 1
b1=22
a1=14 供 应 量
1
a2=27
2
a3=19
3
3 8 4 2 7 5 9 10 6
2
b2=13
3
b3=12
销 售 量
4
b4=13
解:
初始基础可行解—最小元素法(1)
1 1 6 7
பைடு நூலகம்2 5
3 3
4 14
2
8
4
2
7
27
15
12
3 5 9 10 6 19 13
m
行
n 行
其系数矩阵A有m+n行, m.n列
运输问题具有如下的特点
(1) 约束条件系数矩阵的元素等于0或1;
(2) 约束条件系数矩阵的每一列有两个非0元素,这对应每
一个变量在前m个约束方程中出现一次,在后n个约束
方程中也出现一次. 对产销平衡运输问题,除上述两个特点外,还有以下特点: (1) 所有约束条件都是等式约束; (2) 各产地产量之和等于各销售地销量之和.
销地 产地
B1 26 4 7
B2 25 24 6
B3 3 37 5
B4
产量
A1 A2 A3
销量
4 4-2-2 5 6-2-3 8 4 3 13
2-2 4-2-2 3-3
(5) 继续进行
销地 产地
B1 26 4 7
B2 25 24 6
B3 3 37 5
B4
产量
A1 A2 A3
销量
4 4-2-2 1 5 6-2-3-1 8 4-1 3 13
销地 产地
B1
6 24 7 2-2
B2
5 44 6 4-4
B3
33
7 5 3-3
B4
14 5 8 4-1
产量 4-3-1 6-2-4 3 13
A1 A2 A3
销量
(5) 最后把A3满足B4 3个单位, 得到初始方案.
销地 产地
B1
6 24 7 2-2
B2
5 44 6 4-4
B3
33
7 5 3-3
B4