cho7共轭元和共轭子群

2、引理1 设 G 是群，a G, Ka {gag1 g G}
，且 Ka ，则有
Ka [G : CG (a)].
3、定理1设 G是有限群，C 是 G 的中心，则有 G C [G : C(a)].
aC
---类方程(class equation).
例2 设 G 是有限群，G pn （ p 为素数）， 则 G 有非平凡中心，即 C 1.
1 0 1 0
C(G) {( ),(
)},
0 1 0 1
ab
CG
(
H
)
{( 0
) a 1,b Z }, a
1 0 1 0 1 2 1 2
CG
(
g
)
{( 0
),( 10
),( ),( 1 0 1 0
)}. 1
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二、 共轭元和共轭类
1、定义3 设G 是群，a, b G ,若存在 g G 使
充分必要条件是1 与 2 类型相同.
3、定理5 设 An , K 是 An 中所有与 有相同类型置换的集合,考虑 在 Sn中的
化子CS ( ) ,则 n
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1)当 CS ( ) 含有一个奇置换时, n
K 是 An
的一个共轭类;
2）当 CS ( )不含有奇置换时, n
个数为 K H [G : N (H )].
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例3 设 G 是群，H 是 G 中惟一的n阶子群，则 H G .
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四、 置换群的共轭类
1、定理3 设 G 是一个置换群，1 与 2 在 G 中共轭，则 1 与 2 的类型相同.
2、定理4 设 G 是对称群，1 与 2 在 Sn中共轭的
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三、 共轭子群与正规化子
1、定义4 设 G 是群，H G, g G ,则子群 K gHg1 称为H 的共轭子群（conjugate
subgroup），并称K 与 H 共轭（conjugate）.
显然，正规子群的共轭子群是自身. 正规子群又称自共轭子群(self conjugate subgroup).
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4、定义5 设 NG (H ) {g g G, gHg1 H }，则
NG (H ) G, H NG (H ).
习惯上，称 NG (H )为 H 在 G 中的正规化子
（normalizer）.
5、定理2 设 G 是有限群，H G, N (H ) 为H 在 G 中的正规化子，则与 H 共轭的子群
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五、 小结与思考
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易证：CG ( A) G,C(G) CG ( A).
而 CG (a) {g g G, s.tag ga} 称为a 元素在
G 中的中心化子.
例1
设
G
a {(
b ) a,b,c,d
Z,
ad
bc
1} 是对矩阵
cd
乘法构成的群，H
1 {(
0
t
1
) t Z }, g (
1
0
2 ), 则
1
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第七节
第二章
共轭元和共轭子群
一、中心和中心化子 二、共轭元和共轭类 三、共轭子群和正规化子 四、置换群的共轭群 五、小结与思考
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一、 中心和中心化子
1、定义1 设 G 是一个群，和 G 中所有元素 都可交换的元素构成的集合称为群的中心， 记为C(G) 和 C ，即
K
在
An 中
分裂为以下两个共轭类:
K { 1 Sn ,是偶置换}， K { 1 Sn ,是奇置换}.
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例4 确定 An 的共轭类. An 中共有5个共轭类: Ke , K(123) , K(12)(34) , K(12345) , K(21345) .
4、定理6 An (n 5) 是单群.
C(G) {a a G,x G, s.tax xa}.
显然，C (G )G .
2、定义2 设 A 是 G 一个非空子集，G 中和 A
的所有元素均可交换的元素构成的集合CG ( A)
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称为 A 在 G 中的中心化子（centerlizer），即
Baidu Nhomakorabea
CG ( A) {g g G, a A, s.tag ga}.
2、设 A {H H G} 为 G 中所有子群的集合，
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在 A 中定义二元关系～为：
H1 ~ H2 g G, s.tgH1g1 H2 .
则～是中的一个等价关系，每一个等价类 称为子群的共轭类. 3、设 H G, H 所在的共轭类记为
K H {gHg1 g G}. 显然，当 HG 时，K H {H }.
数学可以把灵活引导到真理。 ―苏格拉底（Socrate,前469年—前399年）
数学是科学的大门和钥匙。
-R.培根(Roger Bacon, 1214-1294)
Histories make men wise; poets, witty; the mathermatics, subtile; natural philosophy, deep; moral, grave; logic and rhetoric, able to contend… ---- F.培根（Francis Bacon 1561～1626）
gag1 b ，则称 a 与 b 共轭（conjugate）.
显然,群中元素间的共轭关系是一种等价关系,
故每一个等价类称为一个共轭类,记为
Ka { gag1 g G}.
由于
a C(G)
Ka
{a}
,故
G
C
(
aC
Ka ).
当 G 时,有 G C Ka .
aC
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