用向量讨论垂直与平行 课件(北师大版选修2-1)
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北师大版选修2-1高中数学2.4《用向量讨论垂直与平行》ppt课件(1)
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§4 用向量讨论垂直与平行
一
二
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
二、空间中的平行关系
1.线线平行判定定理 如果平面内的两条直线没有公共点,则这两条直线平行. 2.线面平行判定定理 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个 平面平行. 3.面面平行判定定理 若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平 行.
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§4 用向量讨论垂直与平行
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
求平面的法向量
要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用 待定系数法求解,一般步骤如下:
(1)设出平面的法向量为 n=(x,y,z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标
∴������������1 =(0,2,1),������������=(2,0,0),������������ =(0,2,1).
设 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面 ADE 和平面 B1C1F 的法向量, 则 n1⊥������������,n1⊥������������,
思路分析:可采用待定系数法,设出法向量,根据它和 α 内不共线两个向 量的垂直关系建立方程组进行求解.
解:∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),
∴������������ =(1,-2,-4),������������ =(2,-4,-3).
北师版数学高二-选修2-1课件2.4用向量讨论垂直与平行
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2 若直线 l1,l2 的方向向量分别为 a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则( )
A.l1∥l2
B.l1⊥l2
C.l1,l2 相交但不垂直D.l1,l2 的关系不能确定
解析:∵a·b=1×(-2)+2×3+(-2)×2=0,
∴a⊥b.∴l1⊥l2. 答案:B
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学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
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题型 空间中直线、平面的位置关系 【例题 1】 设 a,b 分别是直线 l1,l2 的方向向量,根据下列条件判断 l1 与 l2 的位置关系: (1)a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3); (2)a=(5,0,2),b=(0,4,0); (3)a=(-2,1,4),b=(6,3,3). 分析:直线的方向向量与两条直线的位置关系间的内在联系是 l1∥l2⇔a∥b,l1⊥l2⇔a⊥b,据此可判断两条直线的位置关系. 解:(1)∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3), ∴a=-13b,∴a∥b,∴l1∥l2. (2)∵a=(5,0,2),b=(0,4,0),
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证明:∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面的三边长 AC=3,BC=4,AB=5,
∴AC,BC,C1C 两两垂直.
如图,以 C 为坐标原点,直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z
轴建立空间直角坐标系,则
C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D
AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又 H,G 分别是 BC,CD 的中点,则( )
2 若直线 l1,l2 的方向向量分别为 a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则( )
A.l1∥l2
B.l1⊥l2
C.l1,l2 相交但不垂直D.l1,l2 的关系不能确定
解析:∵a·b=1×(-2)+2×3+(-2)×2=0,
∴a⊥b.∴l1⊥l2. 答案:B
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题型 空间中直线、平面的位置关系 【例题 1】 设 a,b 分别是直线 l1,l2 的方向向量,根据下列条件判断 l1 与 l2 的位置关系: (1)a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3); (2)a=(5,0,2),b=(0,4,0); (3)a=(-2,1,4),b=(6,3,3). 分析:直线的方向向量与两条直线的位置关系间的内在联系是 l1∥l2⇔a∥b,l1⊥l2⇔a⊥b,据此可判断两条直线的位置关系. 解:(1)∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3), ∴a=-13b,∴a∥b,∴l1∥l2. (2)∵a=(5,0,2),b=(0,4,0),
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证明:∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面的三边长 AC=3,BC=4,AB=5,
∴AC,BC,C1C 两两垂直.
如图,以 C 为坐标原点,直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z
轴建立空间直角坐标系,则
C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D
AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又 H,G 分别是 BC,CD 的中点,则( )
数学第二章4用向量讨论垂直与平行课件(北师大版选修2-1)
ED→′ ＝ (0， 0， 1)－(1， 0，1)＝ (－ 1， 0，1)．
2
2
∵B→F ＝ED→′ ，
∴B→F ∥ED→′ .
又直线 BF 与 ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
法二：B→F＝B→C＋C→F＝B→C＋1C→ C′ 2
＝A→D＋1DD→′， 2
ED→′ ＝EA→′ ＋A→′D′＝1AA→′ ＋A→D 2
线面平行 l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1m1＋b1n1 ＋c1p1＝0； 面面平行 u∥α∥v β⇔_________⇔u＝kv⇔(m1， n1 ， p1) ＝ k(m2 ， n2 ， p2) ⇔ m1 ＝ km2 ， n1 ＝ kn2,p1＝kp2.
(2)线线垂直 l⊥m⇔a·ba＝⊥0b⇔_________⇔a1a2
y1＝－ x1.
令
x1＝ 1，则
n1＝
(1，－
1，1)． 2
设平面 BDEF 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
则nn22··ED→→FE＝＝
0，即2x2＋ 0， 2y2＋
24yz22＝＝00，，即xz22＝＝－－12yy2，2，
＝A→D＋1DD→′， 2
∴B→F ＝ED→′ ，B→F ∥ED→′ .
又直线 BF 与 ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
【名师点评】 当两条直线的方向向量平行 时，依据图形说明一个向量所在直线上的点 不在另一个向量所在直线上，从而得到空间 两条直线平行．
变式训练 1.已知三棱锥O－ABC中，OA＝1，OB＝1，OC ＝2，OA、OB、OC两两互相垂直，如何找出 一点D，使得BD∥AC，DC∥AB?
2.已知a，b，c分别为直线a，b，c的方向向量,
且a＝λb(λ≠0)，b·c＝0，则a与c的位置关系是
最新北师大版选修2-1高中数学2.4《用向量讨论垂直与平行》ppt课件
一
二
二、空间中的平行关系
1.线线平行判定定理 如果平面内的两条直线没有公共点,则这两条直线平行. 2.线面平行判定定理 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个 平面平行. 3.面面平行判定定理 若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平 行.
一
二
思考 2 如何利用向量知识判断直线、平面的平行?
∴������������ =(1,-2,-4),������������ =(2,-4,-3).
设平面 α 的法向量是 n=(x,y,z), 依题意,应有 n·������������=0,且 n·������������=0,
即 ������-2������-4������ = 0, 解得 z=0,且 x=2y. 2������-4������-3������ = 0,
探究一
探究二
探究三
利用向量方法证明空间中的平行关系
1.线线平行 设直线 l1,l2 的方向向量分别是 a,b,若要证 l1∥l2,只需证 a∥b,即 a=λb(b≠0). 2.线面平行 (1)设直线 l 的方向向量是 a,平面的法向量是 u,若要证 l∥α,只需证 a⊥u,即 a·u=0. (2)根据线面平行的判定定理. (3)根据共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内 两个不共线向量线性表示即可. 3.面面平行 (1)根据面面平行的判定定理. (2)若能求出平面 α,β 的法向量 u,v,则要证明 α∥β,只需证明 u∥v 即可.
令 y=1,则 x=2. 故 n=(2,1,0)是平面 α 的一个法向量.
探究一
探究二
探究三
点评用待定系数法求平面的法向量,关键是在平面内找两个不共
高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(一)课件北师大版选修2_1
重点突破
解析答案
(3)平面 α 与 β 的法向量分别是 u＝(1,－1,2)，v＝3，2，－12； 解 ∵u＝(1,－1,2)，v＝3，2，－21， ∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即α⊥β. (4)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)； 解 ∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)， ∴u·v≠0且u≠kv(k∈R)， ∴u与v既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直. (5)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8，12)，u＝(0,2，－3). 解 ∵a＝(0，－8,12)，u＝(0,2，－3)，
解析答案
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3.若A(1,0,－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( A ) A.(2,2,6) B.(－1,1,3) C.(3,1,1) D.(－3,0,1) 解析 ∵A，B在直线l上， ∴A→B＝(1,1,3)，与A→B共线的向量(2,2,6)可以是直线 l 的一个方向向量.
题型二 求平面的法向量 例 2 如图所示，在四棱锥 S－ABCD 中，底面是 直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥底面 ABCD，且 SA ＝AB＝BC＝1，AD＝12，建立适当的空间直角坐标 系，求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向量.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量. 解 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 由题意知A→B＝(－1,1,0)，B→C＝(1,0,－1). ∵n⊥A→B，n⊥B→C，∴nn··BA→→CB＝＝－x－x＋z＝y0＝，0， 解得xx＝ ＝yz.， 令 x＝1，则 y＝z＝1. ∴平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1).
北师大版选修2-1高中数学2.4《用向量讨论垂直与平行》ppt课件
• 3．对于空间中平行关系的向量表示的三点说明
• (1)直线与直线平行：关键看直线的方向向量是否共 线．
• (2)直线与平面平行：关键看直线的方向向量与平面 的法向量是否垂直；或者看直线的方向向量与平面 内的两条相交直线的方向向量是否共面．
• (3)平面与平面平行：关键看两平面的法向量是否共 线．
• 如 AB图＝，5，在A直A1＝三4棱，柱点ADB是C－ABA的1B1中C1点中．，AC＝3，BC＝4， • (1)求证：AC⊥BC1； • (2)求证：AC1∥平面CDB1.
[证明] ∵直三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面的三边长 AC＝3， BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC，又 CC1⊥平面 ABC，
证法二：建立空间直角坐标系如证法一中的图，设平面 EFG 的法向量 m＝(x1，y1，z1)，
则 m·E→F＝(x1，y1，z1)·(0，－1,1)＝－y1＋z1＝0，m·F→G＝(x1， y1，z1)·(1,1,0)＝x1＋y1＝0，
从而，得 x1＝－y1＝－z1. 设 x1＝－1，则 m＝(－1,1,1)．
• [分析] 用向量证明面面平行 有两个途径：利用面面平行的 判定定理，即证明一个平面内 的两个不共线向量都平行于另 一个平面；证明两个平面的法 向量平行．
[证明] 证法一：如图，以点 D 为坐标原点，分别以D→A，D→C， D→D1为正交基底建立空间直角坐标系 D－xyz，不妨设正方体的棱 长为 2，则 E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,2,1)，M(1,1,2)，N(0,1,1)．
∴n＝(－1,1,1)，
又∵E→F＝12，12，0，F→G＝－12，0，－12， ∴n·E→F＝0，n·F→G＝0， ∴n⊥E→F，n⊥F→G， ∴n 也是平面 EFG 的一个法向量，
高中数学课件-2.4用向量讨论垂直与平行 课件(北师大版选修2-1)
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3．三垂线定理 (1)三垂线定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条 直线在该平面上的__投__影____，则这两条直线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线垂直于平面 外的一条直线，则这条直线也垂直于直线在该平面内的 _投__影_____．
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一般采用以下步骤来求法向量． (1)建立空间直角坐标系，设法向量 n＝(x，y，z)． (2)找出平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(x1，y1，z1)， b＝(x2，y2，z2)． (3)建立方程组nn··ab＝ ＝00 . (4)解方程组，由于解不确定，只取其中一组解，也就求出 此平面的一个法向量．
[证明] ∵直三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面的三边长 AC＝3， BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，C1C 两两垂直．
如图，以 C 为坐标原点，直线 CA，CB，CC1 分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)， B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(32，2,0)．
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5．利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题 中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以 及它们之间距离和夹角等问题； (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
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第二章 空间向量与立体几何
用向量法讨论平行和垂直-北师大版高中数学选修2-1精品课件
22
PA(1,0,1), DE (0, 1 , 1)
Z DB=(1,1， 0)
22
设平面EDB的法向量为 n(x,y,1) P
则 n D E , n D B
于是12y120n1, 1, 1
E
xy0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P A n 0 P A n 而 PA平 面 ED B A 所以 P， A //平E 面DB
X
D
P
解得 x＝－２,ｙ＝１
E
即 P A 2 D E D B
于 是 P A 、 D E 、 D B 共 面
而 PA平 面 ED B
D
所以 P， A //平E 面DB A
X
C Y
B
例4 正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1中，E、F分别
是BB1,，CD中点，求证：D1F 平面ADE.
证明：设正方体棱长为1，以 D A ， D C ,D D 1为单位
正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
DA(1,0,0)， DE(1,1,,1)
1
2
z
D1
D1F (0, 2,1)
A1
则 Ｄ １ Ｆ D A 0 ， Ｄ １ Ｆ D E 0
C1 B1
E
则 Ｄ １ Ｆ D A ， Ｄ １ Ｆ D E ． D F
C y
所以 D 1F平 面 ADE
A x
包法 括向 线量 在为 面n 内 ，(面a 2 面,b 2 平,c 行2 )包,则 括面面重合.
l / / e n 0 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0 ;
2、垂直关系：
（二）、垂直关系：
(1) lma b ab0
高中数学选修2-1北师大版 用向量讨论垂直与平行 课件(40张)
③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量．
(3)当几何体的形状不易建系或建系后各点的坐标不易求出时，可
利用基向量把需要的向量表示出来，通过基向量间的运算来解决问 题．
(4)用向量法证明线段垂直
证明两直线的方向向量垂直． (5)用向量法证明线面垂直
设a表示一条直线的方向向量，n是平面的法向量．
①a∥n，则线面垂直． ②在平面内找到两条不共线的直线，分别求出它们的方向向量b，
对于证 CO2⊥AD ，因为 CO2 是 BC的射影，所以只需证 BC⊥AD. 而
在平面BCD中，AD是平面BCD的斜线，DO1是AD的射影，所以只要证 BC⊥DO1即可，而这是显然成立的．
[证明] 连接DO1，BO1，AO2，CO2并延长至与线段相交． ∵O1是△BCD的垂心，∴DO1⊥BC. 又AO1⊥平面BCD， ∴DO1是AD在平面BCD内的射影， ∴BC⊥AD(三垂线定理)． ∵BC是平面ACD的斜线，BO2⊥平面ACD， ∴CO2是BC在平面ACD内的射影， ∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理)． 同理，AO2⊥CD.故O2是△ACD的垂心．
§4 用向量讨论垂直与平行
重点：用向量方法证明垂直与平行． 难点：正确建系，准确表示相关向量的坐标.
一、直线、平面间的平行、垂直
设空间中两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，平面α 的法向
量为n，则： 平行 l1与l2 l1与α ________ ________ 垂直 ________ ________
c，只需证明a⊥b，a⊥c.
(6)用向量法证明面面垂直 ①转化为证线面垂直．
②证两平练] 2．直线 l1 的方向向量为 v1＝(1,0，－1)，直线 l2 的方向向量为 v2＝ (－2,0,2)，则 l1 与 l2 的位置关系是( A．平行 B．相交 ) C．垂直 D．不能确定
2.4《用向量讨论垂直与平行》线上课程课件-北师大版高中数学选修2-1
的一个法向量．
解
∵A(1，2，3)、B(2，0，－1)、C(3，－2，0)，
→
→
∴AB＝(1，－2，－4)，AC＝(2，－4，－3)．
设平面 α 的法向量是 n＝(x，y，z)，
→
→
依题意，得 n·AB＝0 且 n·AC＝0，即
x－2y－4z＝0，
令
2x－4y－3z＝0，
y＝1，则 x＝2，z＝0.
∴平面 α 的一个法向量是 n＝(2，1，0)．
m (
A． 1
)
B．1
C． 2
D．2
由题可知， a b ，则 a b 2 m 0 ，即 m 2 .故选：C
02 新知讲授
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求
解，一般步骤如下：设平面的法向量为 n＝(x，y，z)．
注意
在利用以上步骤求解的过程中，方程组 a＝(a1，b有无数组解，利用赋值法
江西省中小学2020年秋季学期线上课程——北师大版高中数学选修2-1
§4 用向量讨论垂直与平行
02 新知讲授
m
l
a
b
l // m a // b a b
02 新知讲授
a
u
l
l // a u a u 0
02 新知讲授
u
v
a
→
n·AD＝0 ay＋2z＝0，
由
⇔
(6 分)
3
a
→
n·AE＝0 2 ax＋2y＋az＝0.
解
∵A(1，2，3)、B(2，0，－1)、C(3，－2，0)，
→
→
∴AB＝(1，－2，－4)，AC＝(2，－4，－3)．
设平面 α 的法向量是 n＝(x，y，z)，
→
→
依题意，得 n·AB＝0 且 n·AC＝0，即
x－2y－4z＝0，
令
2x－4y－3z＝0，
y＝1，则 x＝2，z＝0.
∴平面 α 的一个法向量是 n＝(2，1，0)．
m (
A． 1
)
B．1
C． 2
D．2
由题可知， a b ，则 a b 2 m 0 ，即 m 2 .故选：C
02 新知讲授
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求
解，一般步骤如下：设平面的法向量为 n＝(x，y，z)．
注意
在利用以上步骤求解的过程中，方程组 a＝(a1，b有无数组解，利用赋值法
江西省中小学2020年秋季学期线上课程——北师大版高中数学选修2-1
§4 用向量讨论垂直与平行
02 新知讲授
m
l
a
b
l // m a // b a b
02 新知讲授
a
u
l
l // a u a u 0
02 新知讲授
u
v
a
→
n·AD＝0 ay＋2z＝0，
由
⇔
(6 分)
3
a
→
n·AE＝0 2 ax＋2y＋az＝0.
高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(二)课件北师大版选修2_1
解析答案
题型二 证明线面垂直问题 例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交 点，G为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBD.
空间中的垂直关系
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向向量 设直线l的方向向量为a 设平面α的法向量为u
为a＝(a1，a2，a3)， ＝(a1，b1，c1)，平面α ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， 平
直线m的方向向量为 的法向量为u＝(a2，b2，面 β 的 法 向 量 为 v ＝
b＝(b1，b2，b3)，则 c2) ， 则 l⊥α⇔a∥u⇔a (a2 ， b2 ， c2) ， 则
一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对 比，从而发现不同之处，优化思维。
比如在讲《林冲棒打洪教头》一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？••••••
解析答案
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4.若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝(－4,0,－2)，则
直线l与平面α的位置关系为( D )
A.l与α斜交 B.l α
C.l∥α
D.l⊥α
解析 ∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0,－2)，
∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α.
解析答案
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5.已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x,－2,3)，且α⊥β， 则x＝_－__4__. 解析 ∵α⊥β，∴a·b＝0， ∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4.
题型二 证明线面垂直问题 例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交 点，G为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBD.
空间中的垂直关系
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向向量 设直线l的方向向量为a 设平面α的法向量为u
为a＝(a1，a2，a3)， ＝(a1，b1，c1)，平面α ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， 平
直线m的方向向量为 的法向量为u＝(a2，b2，面 β 的 法 向 量 为 v ＝
b＝(b1，b2，b3)，则 c2) ， 则 l⊥α⇔a∥u⇔a (a2 ， b2 ， c2) ， 则
一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对 比，从而发现不同之处，优化思维。
比如在讲《林冲棒打洪教头》一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？••••••
解析答案
12345
4.若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝(－4,0,－2)，则
直线l与平面α的位置关系为( D )
A.l与α斜交 B.l α
C.l∥α
D.l⊥α
解析 ∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0,－2)，
∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α.
解析答案
12345
5.已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x,－2,3)，且α⊥β， 则x＝_－__4__. 解析 ∵α⊥β，∴a·b＝0， ∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4.
高中数学第二章2.4用向量讨论垂直与平行课件北师大版选修2_1
§4 用向量讨论垂直与平行
学习目标
思维脉络
1.理解用向量语言表述线线、线面、 面面的平行或垂直关系. 2.理解用向量方法证明有关线、面位 置关系的一些定理. 3.掌握求平面法向量的方法,并且能 用向量方法解决立体几何中的平
行、垂直问题. 4.体会向量方法在研究几何问题中 的作用,并不断地提高运算能力.
������1 = 0, ������1 = -2������1,
取y1=1,则n1=(0,1,-2).同理可求n2=(0,1,-2).
(1)∵n1·������������1 =(0,1,-2)·(0,2,1)=0,∴n1⊥������������1 .
又FC1⊈平面ADE,∴FC1∥平面ADE. (2)∵n1∥n2,∴平面ADE∥平面B1C1F.
借助法向量来处理.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明:如图,建立空间直角坐标系D-xyz,则有 D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),
∴������������1 =(0,2,1),������������=(2,0,0),������������ =(0,2,1).
=
1 3
������������1
+
������1 ������
+
1 3
������������
=
1 3
(������������
+
������������1 )+������1 ������
+
1 3
(������������
+
������������ )=23
学习目标
思维脉络
1.理解用向量语言表述线线、线面、 面面的平行或垂直关系. 2.理解用向量方法证明有关线、面位 置关系的一些定理. 3.掌握求平面法向量的方法,并且能 用向量方法解决立体几何中的平
行、垂直问题. 4.体会向量方法在研究几何问题中 的作用,并不断地提高运算能力.
������1 = 0, ������1 = -2������1,
取y1=1,则n1=(0,1,-2).同理可求n2=(0,1,-2).
(1)∵n1·������������1 =(0,1,-2)·(0,2,1)=0,∴n1⊥������������1 .
又FC1⊈平面ADE,∴FC1∥平面ADE. (2)∵n1∥n2,∴平面ADE∥平面B1C1F.
借助法向量来处理.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明:如图,建立空间直角坐标系D-xyz,则有 D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),
∴������������1 =(0,2,1),������������=(2,0,0),������������ =(0,2,1).
=
1 3
������������1
+
������1 ������
+
1 3
������������
=
1 3
(������������
+
������������1 )+������1 ������
+
1 3
(������������
+
������������ )=23
2018-2019学年北师大版选修2-1---第二章4用向量讨论垂直与平行--课件(52张)
④根据法向量的定义建立关于 x、y、z 的方程组 n·a＝0，
n·b＝0； ⑤ 解方程组 ，取其中 的一个解 ，即得法 向量．由 于一个平面 的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单 的作为平面的法向量．
1．(1)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2，1，0)，B(0， 2，3)，C(1，1，3)，求出平面 ABC 的一个法向量． (2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，求证：D→B1是平面 ACD1 的 一个法向量．
(2)以三棱锥的顶点 P 为原点，以 PA、 PB、PC 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．令 PA＝PB＝ PC＝3，则 A(3，0，0)，B(0，3，0)，
C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)， G(1， 1， 0)，P(0， 0， 0)， 所以E→F ＝ (0，－ 1，－ 1)， E→G＝ (1，－ 1，－ 1)． 设平面 EFG 的法向量是 n＝(x，y，z)，则有 n⊥E→F，n⊥E→G.
向量法证垂直关系
[方法归纳 ]
(1)证 线线垂直，一般证两直线方向 向量垂直即可 (即证数量积
为零 )． (2)证线面垂直，常用两种方法：一是证直线的方向向量与平
面内两相交直线的方向向量数量积均为零；二是证直线的方向
向量与平面的法向量平行．
(3)证面面垂直，只需证明两平面的法向量垂直即可．
2.(1)已知在空间四边形 OACB 中， OB＝ OC， AB＝ AC，求证： OA⊥ BC. (2)在 正 三 棱 锥 (底 面 是 正 三 角 形 且 侧 棱 相 等)P-ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△PAB 的重心，E、F 分别为 BC、PB 上的点，且 BE∶EC ＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面 GEF⊥平面 PBC. (3)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，D1B1 的 中点．求证：EF⊥平面 B1AC.
高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行一课件北师大版选修2_1
利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系， 用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为 向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题 再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
题型探究
类型一
求直线的方向向量、平面的法向量
例1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
→ n · AB＝0， (3)列方程组：由 → AC＝0， n· → n · AB＝0， (4)解方程组： → AC＝0. n ·
反思与感悟
列出方程组.
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量.
跟踪训练1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思与感悟
利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向
向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所 成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝ BC＝ 1 AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在， 2 求出E点的位置；若不存在，请说明理由. 解答
思考
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向
量满足哪些条件可说明直线与平面平行？ 答案 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定 线面是否平行. (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？ 答案 关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平 面平行.
题型探究
类型一
求直线的方向向量、平面的法向量
例1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
→ n · AB＝0， (3)列方程组：由 → AC＝0， n· → n · AB＝0， (4)解方程组： → AC＝0. n ·
反思与感悟
列出方程组.
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量.
跟踪训练1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思与感悟
利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向
向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所 成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝ BC＝ 1 AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在， 2 求出E点的位置；若不存在，请说明理由. 解答
思考
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向
量满足哪些条件可说明直线与平面平行？ 答案 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定 线面是否平行. (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？ 答案 关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平 面平行.
高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行课件北师大版选修2_1
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
1．空间中平行关系的向量表示
线线 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1， 平行 c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔_a_∥__b__
线面 平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的 法 向 量 为 u ＝ (a2 ， b2 ， c2) ， 则 l∥α⇔_a_⊥__u__.
数学 选修2-1
第二章 空间向量与立体几何
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
2．空间垂直关系的向量表示
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向 向量为a＝(a1， a2，a3)，直线m 的方向向量为b ＝(b1，b2， b则3)l，⊥m⇔_a_⊥__b_
设直线l的方向 向量是a＝(a1， b1，c1)，平面α 的法向量是u＝ (a2，b2，c2)， 则l⊥α⇔_a_∥__u_
若平面α的法向 量u＝(a1，b1， c1)，平面β的法 向量v＝(a2， b2，c2)，则 α⊥β⇔_u_⊥__v__
数学 选修2-1
第二章 空间向量与立体几何
学课前预习学案
讲课堂互动讲义
练课后演练提升
[强化拓展]
(1)用向量法证明线线垂直：证明两条直线的方向 向量垂直． (2)用向量法证明线面垂直：设a表示一条直线的方 向向量，n是平面的法向量． ①a∥n，则线面垂直． ②在平面内找到两条不共线的直线，分别求出它 们的方向向量b，c，只需证明a⊥b，a⊥c. (3)用向量法证明面面垂直： ①转化证线面垂直． ②证两平面的法向量垂直．
②符号语言：
aα
bα a⊥b
⇒a⊥c
2018版高中数学北师大版选修2-1课件：第二章 §4 用向
利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，
用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为
向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题
再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
题型探究
类型一 求直线的方向向量、平面的法向量
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
(答案不唯一) 答案 ____________.
解析
1
2
3
4
5
规律与方法
1.应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线. (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示 .即用平面 向量基本定理证明线面平行. 2.证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，
∵l∥α，平面 α ∴(2，m，
B.－6
C.－8 √
D.8
1 1 ， ， 2 的法向量为 ， 2
1 1 ， ， 2 1)· ＝0， 2
1 ∴2＋2m＋2＝0，∴m＝－8.
1 2 3 4 5
(1，1，1) 5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为___________
中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE； 证明
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
证明
→ 因为C1B1＝(2，0，0)，设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量. → → 由 n2⊥FC1，n2⊥C1B1，
用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为
向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题
再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
题型探究
类型一 求直线的方向向量、平面的法向量
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
(答案不唯一) 答案 ____________.
解析
1
2
3
4
5
规律与方法
1.应用向量法证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线. (3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示 .即用平面 向量基本定理证明线面平行. 2.证明面面平行的方法 设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，
∵l∥α，平面 α ∴(2，m，
B.－6
C.－8 √
D.8
1 1 ， ， 2 的法向量为 ， 2
1 1 ， ， 2 1)· ＝0， 2
1 ∴2＋2m＋2＝0，∴m＝－8.
1 2 3 4 5
(1，1，1) 5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为___________
中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE； 证明
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
证明
→ 因为C1B1＝(2，0，0)，设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量. → → 由 n2⊥FC1，n2⊥C1B1，
高中数学北师大版选修2-1 2.4用向量讨论垂直与平行 课件(48张)
-8-
【做一做 2】 已知 A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面 ABC 的一 个法向量. 解 :设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z). 由题意得 ������������ = (−1,1,0), ������������ = (1,0, −1). ������· ������������ = -������ + ������ = 0,
∵n⊥ ������������ , 且n⊥������������ , ∴
������· ������������ = ������-������ = 0. ∴平面 ABC 的一个法向量 n=(1,1,1).
令x=1,得 y=z=1.
-9-
3.垂直与平行的相关定理 (1)线面垂直判定定理 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平 面垂直. (2)面面平行判定定理 若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平 面平行. (3)三垂线定理 若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面内的投 影,则这两条直线垂直.
-13-
2������ , 3
【做一做3-2】 如图,已知矩形ABCD,PA=AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等 于 .
-14-
解析 :建立如图所示的空间直角坐标系,设 |������������ | = ������, 则A(0,0,0),Q(1,b,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,a,0),
-10-
(4)面面垂直判定定理 若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直. 说明:用空间向量解决空间线面关系的步骤: ①建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及 的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; ②通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系及它们之 间的距离和夹角等问题; ③把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
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设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ； 线面平行 l ∥ a u a u 0 ； 面面平行 ∥ u ∥ v u kv .
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.
画出图形意会
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 l ⊥m a ⊥b ab 0； 线线垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ； 线面垂直
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
画出图形意会
以上思考在今后的解题中会经常用到,注意体会.
三、课堂练 习
练习 1.已知两点 A( ， 2，) B 2， 3 求直线 AB 与坐 1 3 ,（ 1， ）, 标平面 yOz 的交点. 2.已知两点 A 1 2， B 2，2 P 1 1， ,点 Q 在 OP （， 3 ）,（ 1， ）,（，2 ） 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标. 3.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，求证： DB1 是平 面 ACD1 的一个法向量.
练习 3:在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， 求证： DB1 是平面 ACD1 的法向量 证：设正方体棱长为 1， 以 DA, DC , DD1 为单位正交基底， 建立如图所示空间坐标系 D xyz DB1 (1,1,1) ， AC (1,1,0) ， AD1 (1,0,1) DB1 AC 0 ，所以 DB1 AC , 同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A 所 以 DB1 平 面 ACD , 从 而 DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
用向量讨论垂直与平行
一、引入新课
前面,我们把 平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
思考 1： 怎样用向量来表示点、 直线、 平面在空间中的位置？ 在空间中，我们取一定点 O 作为基点， 那么空间中任意一点 P 的位置就可以用向量
四、课堂小 结
课外思考:已知不共线的三点坐标,如何求经过这 三点的平面的一个法向量? 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一 个法向量.
五、作业 布置
作业:课本 P 练习 1,2
113
问题:如何求平面的法向量? ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z )
OP 来表示，我们把向量 OP 称为点 P 的位置向 量. P
⑵直线
P
a
O 二、新知 A 探究
B
空间中任 意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定 方向确定.
⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
P
a
完全确定的.
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都 互相平行; 3.向量n 是平面的法向量，向 量m 是与平面平行或在平面 内，则有 n m 0
A
思考 2：
设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ， 平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
学习小结: 本节课主要是认识了直线的方向向量及 平面的法向量的概念,这两个向量是运用向 量工具解决平行、垂直、夹角等立体几何问 题必要的条件.
课外思考:已知不共线的三点坐标,如何求经过这 三点的平面的一个法向量? 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一 个法向量.
平行
垂直 夹角
因为方向向量与法向量可以确定直线和平 面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向 向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的 平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的 方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关 系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向 量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及 它们二面角的大小吗？
面面垂直
⊥ u ⊥ v u v 0.
画出角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos ； 2 a b au 直线 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), sin ； 2 a u uv 二面角 ─l ─ 的大小为 ( 0 ≤ ≤ ), cos . u v
六、教后反思：
除 此之外, 还可以用垂直于平面的直线的 方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面 的位置.
平面的法向量：如果表示向量 n 的有向线段所在 直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平 面 ,记作 n ⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量. 给定一点A和一个向量 n,那么 l 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
练习 1.已知两点 A( ， 2，) B 2， 3 , 1 3 ,（ 1， ）, 求直线 AB 与坐标平面 yOz 的交点.
解:设直线 AB 与 yOz 平面的交点为 C (0, y1 , y2 ) 由OC （ t） tOB得 1 OA
(0, 1 , 1 )（ t） 2, 3) t (2,1, 3) y z 1 (1, 0, 1 , 1 (1 t， 2 3t， 6t） （ y z） 3 OC （0， 5， 9 ）
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 n a 0 组 n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
练习 （， 3 ）,（ 1， ）,（，2 ） 2.已知两点 A 1 2， B 2，2 P 1 1， ,点 Q 在 OP 上运动,求当 QA QB 取得最小值时,点 Q 的坐标. 解:设 OQ OP ( ) ∴ QA QB 6 16 , ∴当 时, QA QB 取得最小值, 4 4 8 此时 Q( , , ) 3 3 3
对于直线 l 上的任一点 P , 存在实数 t 使得
此方程称为直线的向量参数方程 OP OA ta 或 OP xOA yOB (x y 1 ）
A
⑶平面
O
b
P
a
⑶平面
空间中平面 的位置可以由 内两条相 交直线来确定. n 对于平面 上的任一点 P , P b 存在有序实数对 ( x, y) ,使得 O a OP xa yb