高中数学竞赛训练题(0530)

数学竞赛训练题

1、函数()x x x x x f 44cos cos sin sin ++=的最大值是_______。

2、已知S n 、T n 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和，且2412-+=n n T S n n ，则=+++15

61118310b b a b b a _______。 3、若函数()⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+=x a x x f a 4log 在区间上为增函数，则a 的取值范围是为_______。 4、在四面体ABCD 中，已知DA ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，则当二面角A-BD-C 的正切值为2时，四面体ABCD 的体积为_______。

5、已知定义在R 上的函数()x f 满足：

（1）()11=f ； （2）当10<x f ；

（3）对任意的实数x 、y 均有()()()()y f x f y x f y x f -=--+12。则=⎪⎭⎫ ⎝⎛31f _______。

6、已知x 、y 满足条件484322=+y x ，则542442222++-+++-+y x y x x y x 的最

大值为_______。

7、对正整数n ，设n x 是关于x 的方程nx 3

+2x-n=0的实数根，记()[]()11>+=n x n a n n （符号表示不超过x 的最大整数），则()=++++20114321005

1a a a a _______。 8、在平面直角坐标系中，已知点集I={（x ，y ）|x 、y 为整数，且0≤x ≤5，0≤y ≤5}，则以

集合I 中的点为顶点且位置不同的正方形的个数为_______。

9、若函数()x x x x f 2cos 24sin sin 42+⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=π。 （1）设常数0>w ，若函数()wx f y =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-

32,2ππ上是增函数，求w 的取值范围； （2）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=326ππx x

A ，(){}

2<-=m x f x B ，若B B A =⋃，求实数m 的取值范围。

10、已知F 1、F 2分别是椭圆C ：13

42

2=+y x 的左、右焦点，点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在椭圆C 上，若x 1+x 2=

21，且B F AF 22λ=，求λ的值。

11、已知二次函数()()a b c c bx ax x f >>++=22，其图象过点（1，0），并与直线a y -=有公共点，求证：10<≤

a

b 。

12、已知()1--=x e x f x 。 （1）求证：()0≥x f 恒成立；

（2）求证：+⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 23+⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 251

212-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+e e n n n

对一切正整数n 均成立。

答案：

1、

89；2、78

41；3、(]4,1；4、2； 5、2

1；6、138+；7、2013；8、105； 9、（1）430≤

21，得θ22cos 12415e ep AB -==， 得54cos 2=θ；θcos 12e ep AF -=，θcos 12e ep BF +=，所以2

5322±==BF AF λ。 11、()021=++=c b a f ，a b c >>，022=+++a c bx ax 有解。 得021=++a c a b ，04422

≥--⎪⎭

⎫ ⎝⎛a c a b ，1<