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3. 当不能直接应用均值定理时，可通过 配凑因子、拆添项的方法创造应用定 理的环境。
算术平均数与几何平均数 主讲： 迁安二中 赵宝云
用>、 <、=、 、 填空
1. a b a b 0 2. a b a b 0
3. a b a b 0
4. a2 b2 ____ 2ab
5. 已知a,b R , a b ___ 2 ab
1.我们称 a b 为a,b的算术平均 2
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小结:
利用均值定理求最值应注意哪些条件？
(1)函数式中的各项都是正数;
(2)函数式中含变数的各项的和或积必 须有一个是定值;
(3)等号必须成立.
简记为“一正二定三相等”
例2
1. 已知x
0,求函数y=x+ 16的最小值 x
2. 已知2 x 0,求函数y 3x(8 3x)
的最大值
练习： 1. 已知x, y R , 求t x y
数 ，称 ab 为a,b的几何平均数, 均值定理可以简记为:
两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数
均值定理的几何解释:
D
ab
ab 2
AaCO b
a b ab 2
B
小结：
1.重要不等式的适用范围：a，b R ；
定理的适用范围：a,b
立的条件都是 a=b
R ,它们等号成
2.“当且仅当”在这里的含义是充要条件
3.观察两个定理的结构：
一边是和式一边是积式
显然从一边到另一边都具有放或缩的功能，
所以它们在后边的不等式证明中都是很重要
的工具.
例1.已知x,y都是正数,求证:
(1)如果积xy是定值P,那么当
x=y时,和x+y有最小值2 P
(2)如果和x+y是定值S,那么当 x=y时,积xy有最大值 1 S 2
4
yx
的最小值
2. 已知x
3,
求证:x+
4 x-3
7
练习：求下列函数的最小值
1.已知0 x 1 ,求函数y x(1 2x)的最大值 2
小结：
1. 本节课我们重点学习了重要不等式与 均值定理,会应用它们求一些函数的最 值。
2. 利用均值不等式求最值过程中要对 “一正二定三相等”逐一验证，顺次 推进。