组合数学 第四章2母函数的性质

1) x k
1 (1 x)2
§4.2 母函数的性质
类似可得：
C(x) (1 2x 3x2 4x3 )
(1 x x2 x3 )
1 3x 6x2 10x3
k 0
1 (k 2
1)(k
2) x k
1 (1 x)3
§4.2 母函数的性质
性质4:令bk
ai 若
ak
收敛，则 B(x) A(1) xA(x)
B(x) a0 /(1 x) a1x /(1 x) a2x2 /(1 x) [a0 a1x a2x2 ] /(1 x) A(x) /(1 x)
§4.2 母函数的性质
例. 已知 A(x) 1 x x2 xn 1 1 x
B(x)
1
2x
3x2
4x3
(1
1 x)2
(k
k 0
。 Cx AxBx
§4.2 母函数的性质
例. 已知 Ax 1 x x2 1 ,
1 x
Bx
x
2x2
3x3
1
x
x2
,
Ck
1
2 3Fra Baidu bibliotekk
kk 1,
2
则
C
x
1
x x
3
§4.3Fibonacci数列
§4.3 若干等式
1） 证明：
F1 F2 Fn Fn2 1 F1 F3 F2
F2 F4 F3
§4.2 母函数的性质
例. A(x) sin x x x3 x5 3! 5!
B(x) 1 x 1 x3 7! 9!
[sin x x 1 x3 1 x5 ] / x6 3! 5!
§4.2 母函数的性质
性质3：若
bk
k i0
ai，则
B(x)
A( x) 1 x
证： 1: b0 a0
设保留(0, x) 区间，继续在 (0, x) 区间的下面 两个点 x2, (1 x)x 处做试验，若
x2 1 x
则前一次1 x 的点的试验，这一次可继续使
用可节省一次试验。
x2 x 1 0
x 1 5 0.618 2
0 0.382 (0.618)2 0.618
1
§4.3 在选优法上的应用
§4.2 母函数的性质
B( x)
A(1) 1 x
(a0
a1x
) x
/(1
x)
A(1) xA(x) 1 x
§4.2 母函数的性质
性质5. 若 bk， 则kak Bx。 xA'x 例. Ax 1 x x2 1
1 x
则
x
2x2
3x3
x1 1
x
x
1 x2
§4.2 母函数的性质
性质6. 若
§4.3 在选优法上的应用
可见做两次试验，至少可把区间缩至原来区
间的2/3，比如
f (，x1)进一f 步(x2在)
(a, x区2 ) 间上找极值点。若继续用三等分法，
将面对着这一实事即其中 点的x1 试验没发挥其
作用。为此设想在 区间(0的,1)两个对称点
分别x做,l 试 x验。
0 lx x 1
§4.3 在选优法上的应用
0 a x1 x2 b
x 0 a x1 x2
x
f (x1) f (x2 )
§4.3 在选优法上的应用
当 f (x1) f (x2 )，则极大点 必在(x1,b) 区间
上，区间 (a, x1) 可以舍去。
y y f (x)
y
f (x1)f (x2 )
0 a x1 x2 b
x 0 x1 x2 b
这就是所谓的0.618优选法。即若在(0,1)区
间上找单峰极大值时，可在
x1 0.618, x2 1 0,618 0.3832 点做试验。比如保留区间 (0,0.618)，由于 (0.618)2 0.328 ，故只要在
0.618 0.328 0.236
点作一次试验。
§4.3 在选优法上的应用
______________
F2n F2n2
F1 F3 F5 F2n1 F2n
§4.3 若干等式
3） 证明：
F12
F
2 2
F12 F2F1
Fn2 Fn Fn1
F22 F2 (F3 F1) F2F3 F2F1
F32 F3 (F4 F2 ) F3F4 F2F3
xl A(x)
§4.2 母函数的性质
例. 已知 Ax x x2 x3 ex 1
1! 2! 3!
则
B(x) xm xm1 xm2 xm1(ex 1) 1! 2! 3!
§4.2 母函数的性质
性质2：若 bk akl ，
l 1
则 B(x) [ A(x) ak xk ]/ xl k 0
当x与 偏离越大，偏差 f (x) f ( ) 也越大。
如下图：
y
0 a b x
§4.3 在选优法上的应用
设函数f (x) 在x 点取得极大值。要求
用若干次试验找到 点准确到一定的程度。最
简单的方法，把(a,b) 三等分，令：
x1 a
如下图：
1 3
(b
y
a), y
x2 f
a (x)
2 3
__________ __________ __ x3 :c2 a0b2 a1b1a2b0,
C
x
a0 b0 a1x
b1x b2 b0 b1x
x2 b2
x2
a x b b x b x 2
2
01
2 2 x2 : c1 a0b1 a1b0 ,
a0 a1x a2x2 b0 b1x b2x2
x
f (x1) f (x2 )
§4.3 在选优法上的应用
当f (x1) f (x2 ) ，则极大点 必在(x1, x2 ) 区间
上，区间(a, x1) 和(x2,b) 均可以舍去。
y y f (x)
y
f (x1) f (x21)
0 a x1 x2 b
x0
x1 x2
x
f (x1) f (x2 )
ik
1: b0
a0
k 0
a1
a2
A(1)
1 x
x : b1 a1 a2 A(1) a0
_)__x_2 _:b_1_______a_2______A(_1)__a_0___a1_
B(x) A(1)[1 x x2 ] a0x(1 x x2 ) a1x2 (1 x x2 )
__________ __________ ____ ) Fn2 Fn(Fn1 Fn1) FnFn1 Fn1Fn
F12 F 22 Fn2 Fn Fn1
§4.3 在选优法上的应用
设函数 y f (x) 在区间 (a,b) 上有一单峰
极值点，假定为极大点。
所谓单峰极值，即只有一个极值点 ，而且
可见在 Fn 个可能试验中，最多用n-1次试
验便可得到所求的极值点
§4.3 在选优法上的应用
(b)利用Fibonacci数列进行优选不同于 0.618法之点,还在于它适合于参数只能取整
数数值的情况.如若可能试验的数目比Fn 小, 但比 Fn1 大时,可以虚加几个点凑成 Fn 个点，
但新增加的点的试验不必真做，可认定比 其他点都差的点来处理。
(b
a)
f (x1) f (x21)
0 a x1 x2 b x
§4.3 在选优法上的应用
依据f (x1), f (x2 ) 的大小分别讨论如下：
当f (x1) f (x2 ) ，则极大点 必在(a, x2 ) 区间
上，区间(x2,b) 可以舍去。
y y f (x)
y
f (x1) f (x21)
§4.2母函数的性质
普通母函数
给定一无穷序列(a0,a1,…an,…)(简记为{an})，称
A函( x数) ai xi a0 a1 x a2 x2 an xn i 0
为序列{an}的普e通x 母1函 数（x 发生2 x、2 生 .成.. 函数n x）n
。 ...
1! 2!
n!
ex 1 x x2 ... (1)n xn ...
1! 2!
n!
sin x x x3 ... x2n1 ... e x e x
1! 3!
(2n 1)!
2
1
xn
1 x n0
§4.2 母函数的性质
性质1：
{ 若
bk
0 ak l
k l k l
则 B(x) xl A(x)
证：B( x)
0
0
0
bl
xl
bl
xl1
1
a0 xl a1xl1
________________________ Fn1 Fn1 Fn ) Fn Fn2 Fn1
F1 F21 Fn Fn2 F2 Fn2 1
§4.3 若干等式
2） F1 F3 F5 F2n1 F2n
证明：
F1 F2
F3 F4 F2
F5 F6 F4
___)___F__2_n_1
优选法中可利用Fibonacci数列，和0.618法 不同之点在于它预先确定试验次数，分两种情 况介绍其方法。
(a) 所有可能试验数正好是某个 Fn 。
01
Fn2
Fn1
Fn
§4.3 在选优法上的应用
这时两个试验点放在 和Fn1 两F个n2分点上，如 果 分点比Fn较1 好，则舍去小于 的部分F；n如2 果 点更好，则舍Fn去2 大于 的部分。在留F下n的1 部 分共 个分点，其中第Fn1 和第 二试验点F，n2恰 好F有n一3 个是刚才留下来的试验可以利用。
bk
，则ak 1 k
B
x
1 x
x
0
A
x
dx
性质5和性质6的结论是显而易见的。
§4.2 母函数的性质
性质7. 若
ck a0bk a1bk1 a2bk2 akb0
k
aibki i0
则 Cx c0 c1x c2x2 AxBx
§4.2 母函数的性质
证:
x : c0 a0b0
x2 : c1 a0b1 a1b0 ,
§4.2 母函数的性质
证： B(x) b0 b1x b2x2
B(x) al al1x al2 x2
1 xl
(al xl
al 1 x l 1
al2 xl2
)
[ A(x) a0 a1x a2 x2 al1xl1] / xl
l 1
[ A(x) ak xk ] / xl k 0
x : b1 a0 a1
x2 : b1 a0 a1 a2
xn : b a0 a1 a2 an )
§4.2 母函数的性质
1: b0 a0 x : b1 a0 a1 x2 : b1 a0 a1 a2
_____)__x_n _:b__a_0__a_1__a_2____a_n_____