人教版高一数学必修三第一章算法初步课件 辗转相除法课件(算法)
2020版高中数学第一章算法初步1.3算法案例第1课时辗转相除法与更相减损术课件新人教A版必修3
跟踪训练1 用辗转相除法求204与85的最大公约数时，需要做除法的次数是__3__. 解析 用辗转相除法可得 204÷85＝2……34， 85÷34＝2……17， 34÷17＝2， 此时可以判断204与85的最大公约数是17，做了3次除法得出结果.
题型二 更相减损术
例2 试用更相减损术求612,396的最大公约数.
知识点二 更相减损术 更相减损术的运算步骤 第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 偶数 .若是，用 2 约简；若 不是，执行 第二步 . 第二步，以 较大 的数减去 较小 的数，接着把所得的差与 较小 的数比较，并 以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数 相等 为止，则这个数(等数)或 这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.
12345
5.用辗转相除法求85与51的最大公约数. 解 85＝51×1＋34， 51＝34×1＋17， 34＝17×2＋0， 所以8与51的最大公约数为17.
12345
√C.85和357的最大公约数是34
D.105和315的最大公约数是105 解析 85和357的最大公约数是17.
12345
3.用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为_先__除__以__2_，__得__到__1_8_与__6_7__. 解析 ∵36与134都是偶数， ∴第一步应为先除以2，得到18与67. 4.已知a＝333，b＝24，则使得a＝bq＋r(q，r均为自然数，且0≤r＜b)成立的q 和r的值分别为__1_3_,2_1___. 解析 用333除以24，商即为q，余数就是r.333÷24＝13……21.
第一章 §1.3 算法案例
第1课时 辗转相除法与更相减损术
学习目标
XUEXIMUBIAO
高中数学 1.3 第1课时 辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法课件 新人教A版必修3
二
②程序框图如图所示．
③程序：
INPUT m，n
DO
r＝m MOD n
m＝n
n＝r
LOOP UNTIL _______
PRINT _______ r＝0
END
m
(2)更相减损术．
算法步骤：
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是 ________．若是，用______约简；若不是，执行第二步．
[答案] 用2约简
[解析] 由于294和84都是偶数，先用2约简．
3．设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结 构是( )
A．顺序结构
B．条件结构
C．循环结构
D．以上都有
[答案] D
4．(2013～2014·云南省景洪一中月考)用秦九韶算法计算多 项式f(x)＝3x6＋2x5＋4x4＋5x3＋7x2＋8x＋1在x＝0.5时的值， 需做乘法和加法的次数分别是________．
序如下：
S＝0 i＝1 WHILE S<＝10^6
i＝i＋1 S＝S＋1/i^2 WEND PRINT i END
新知导学 1．辗转相除法与更相减损术 (1)辗转相除法． ①算法步骤： 第一步，给定两个正整数m，n. 第二步，计算m除以n所得的余数r. 第三步，m＝n，n＝r. 第四步，若r＝______，则m，n的最大公约数等于m；否则返
求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个________多项
式的值，共进行________次乘法运算和____一__次_次加法运 算．其过程是：
n
nHale Waihona Puke 改写多项式为：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0 ＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝… ＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0. 设v1＝__________， v2＝v1x＋ana－nx2＋，an－1 v3＝v2x＋an－3， …，
人教A版高中数学必修三课件高一(福建专用)：1.3.1辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法.pptx.ppt
少,运算的次数少,那么这个算法就是比较先进的算法.判断算法是
否先进的一个重要标志就是运算的次数越少越好.
求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值时,通常是先计算anxn,
进行n次乘法运算;再计算an-1xn-1,进行n-1次乘法运算;这样继续下去
共进行
n+n-1+…+2+1=
【变式训练2】 用秦九韶算法求f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6当 x=2时的值.
解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6,按照从内到外的顺序,依次计算 一次多项式当x=2时的值.
v0=3,
v1=v0×2+8=3×2+8=14, v2=v1×2-3=14×2-3=25, v3=v2×2+5=25×2+5=55, v4=v3×2+12=55×2+12=122, v5=v4×2-6=122×2-6=238,
3.进一步体会算法的基本思想.
目标导航
Z D 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
1.更相减损术与辗转相除法的区别与联系 剖析:如表所示.
辗转相除法
更相减损术
区别 联系
①以减法为主.
①以除法为主.
②两个整数的差值较大时,运
②两个整数差值较大时 算次数较多.
运算次数较少.
v1=3×(-2)2+2=14; v2=14×(-2)+4=-24; v3=-24×(-2)+2=50.故f(-2)=50.
12-13高一数学：1.3.1辗转相除法与更相减损术1课件(人教A必修3)
•1. 3算法案例第1课时極特相除法与更相濒损术* T «• ** T • -t * * 1 « *KQZZYX课前自主预习• 1.用两数中较人的数减去较小的数, 再用所得差和较小数构成新的一对数，再用______ ^减______ ;数以同样的操作一直做下去，直到所得的两数相等为止，这个数就是这两个数的最大公约数.这个方法称作“更相减损术”，用它编写的算法称作“等值算法”・• 2.古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是辗转相除法：用较大数除以较小数所得的余数和较小数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽, 这个较小的数就是最大公约数.据此编写的算法，也称作“欧几里得算法” •3・对于正整数加与n(m>n),总能找到整数g 和r(O<r<n)使得m=nq+rf^立，这个除法称为带余除法.通常记r=mMODn.ZDNDZS 重点难点展示•重点：算法案例的原理、算法设计及算法思想的体会.•难点：理解算法案例的内容及具体算法设计的关键步骤.XXYDDB学习要点点拨• 一、弄清算法原理，掌握算法程序，经历蠶翳■，聶’体会算法设计的关键环节,• 1 •辗转相除法•(1)辗转相除的原理：・设zn, 〃是两个整数(不妨设m>ri),用加除以〃，若商为务, 余数为厂1(00］<小则m = n・牛+厂1，显然若兀是加和〃的公约数，即x能整除加和弘贝吹也必然能整除厂1，这样x也是〃和厂］的公约数，故求加和〃的公约数就是求〃和厂1的公约数；同理，用〃除以厂1，得n = r x -^2 + ^(0<^<^),故求加和斤的公约数就是求厂2和厂1的公约薮，…，依次下去，由于加>〃>厂］>厂2>…，所以到某一步必然有r z = r/+19q汁"即耳恰能被厂计］整除，这时耳+1是耳和厂j+1的最关公约数，它也必然是耳_1和乙、厂—2和耳_1、…、厂1与厂2、〃和厂2、加和〃的最大公约数.• (2)辗转相除法的算法分析:•由以上辗转相除法的原理可以发现，辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数，考虑到算法中的赋值语句可以对同一变量多次赋值，我们可以把较大的数用变量加表示，把较小的数用变量〃表示，这样式子m = n -q + r(O<r<^)就是一个反复执行的步骤，因此可以用循环结构实现算法.如图.• (3)用辗转相除法求任意两个正整数最大公约数的程序框图. •由于辗转相除法总是用较大的数去除以较小的数，所以首先要对一开始给定的两数的大小进行判断，并将大数赋给加，小数赋给弘然后再执行下面的过程.程序框图如图.（开始）*/输入a，bt 二a 仃二I)b=tEND IF丁二 1WHILE r< >0 「二a MOD b a = b b -rWENDPRINT aEND•2.更相减损术•（1）更相减损术求两数最大公约数的过程与算法设计.•对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，接着把得到的差与较小的数比较，用这时两个数中较大的数减去较小的数，继续这样的操作（夭数减小藪：），直到所得的数相等为止，那么这个数（相等数）就是所求的最大公约数.•显然，上述过程中大数减去小数是一个重复执行的过程，因此只需将大数赋给变量a,小数赋给变量b,那么就可以通过循环结构实现算法.或当时，将d —b赋给b = b,当xb 时，a=a,将赋给b然后再进行比较，依次类推用循环结构实现.•⑵更相减损术求最大公约数的程序设计女口T：•请自行将其直到型循环结构算法写岀来. • 3 •辗转相除法与更相减损术有着相同的算法依据，但要注意运算过程的差别，辗转相除法的上一次运算的除数和余数分别作为下一次运算的被除数和除数，其结果直至余数为零得出.更相减损术在上一次运算结束后，比较减数和差的大小，将大的作为下一次运算的被减数，小的作为减数，直至岀现相等数时得到结果.•由此可见，二者算法是相似的.主要区别在于，辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除，更相减损术进行的是减法运算, 即辗转相减，但其实质都是一个不断的递归过程.另外两者在算法设计上有一个重要的区别点，辗转相除法，下一次进行相除时，由上一次的除数和余数直接相除即可.而更相减损术下一次相减前必须有一个判断大小的过程，以区别谁做被减数.这些内容都是应特别注意的关键环节.• 4.用更相减损术求两正整数的最大公约数时，若两数为偶数，可先约去2,这时莫忘记求得的相等两数乘以约简的数才是所求最夫公约薮.STYYLX 随堂应用练习•一、填空题•1.在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：(16,12)—- (4,12)—- (4,8)—-(4,4),由匕可以看出12和16的最大公约数是•［答案］4• 2. 1443与999的最大公约数是_________ •［答案］111•［解析］• (999,1443)——(999,444)——(555,444)一-> (111,444)一一(111,333)—一(111,222)一->( 111,111)•或1443 ・ 999 = 444,999 - 444 = 555,555 - 444 = 111,444 - 111 = 333,333 - 111 = 222,222 - 111 = 111.•自己用辗转相除法写出解答过程.• 3.运算速度快是计算机一个很重要的特点，而算法好坏的一个重要标志是■•［答案］运算次数• 4. 2004与4509的最大公约数为167.・・ 2004 = 22 x3 x 167.450915()3501167•［答案］5012004 2 1002 2 501 3•「.4509 = 33x167 , •••2004与4509的最大公约数为3x167 = 501.•自己用辗转相除法和更相减损术写出解答.•二、解答题• 5.写出从键盘任意输入两个正整数a, b, 输出这两个数的最小公倍数的算法，画出程序框图，写出算法语句.［解析］约数匕程序框图如右图.程序为：INPUT “正整数°, b = p=a*bIF a<b THENEND IFDO从键盘输入两数Q, 再计算两数的最小公倍数b后，先求两数的最大公a-b亠人tP~~k，输出P即可.r/ 输* a,b 7。
人教A版数学必修3第一章算法初步1.3算法案例(课件1)
课堂探究
探究一：求两个数的最大公约数的算法
阅读课本P34~36页 思考2 求两个数的最大公约数的方法有那些？ (1)辗转相除法：又叫欧几里得算法． (2)更相减损术：我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一 种算法。 这两种算法都是求两个正整数的_最__大__公__约__数___的算法．
• 1．辗转相除法 • (1)辗转相除法是用于求__两__个__正__整__数__的__最__大__公__约__数____的一种古老 而有效地算法，这种算法是由欧几里得在公元前300年左右第一提 出的，因而又叫_欧__几__里__得__算__法___. • (2)所谓辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用 _较__大__的__数___除以__较__小__的__数__.若余数不为零，则将__余__数__和__较__小__的__数____ 构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时 _较__小__的__数___就是本来两个数的最大公约数．
所以72和168的最大公约数为23×3=24.
归纳小结
1.辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大 的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的 数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数 除尽为止，这时的较小的数即为本来两个数的最大公约
数.
2. 更相减损术，就是对于给定的两个正整数，第一判 断这两个数是否都是偶数．若是，用2约简，也可以不除 以2，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构 成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相 等，此时减数或差即为本来两个数的最大公约数.
2．更相减损术算法步骤：
开始
第一步，输入两个正整数a，b（假设a,b不
输入a，b
同时为偶数，且a>b）
高中数学【人教A版必修】3第一章1.3 算法案例 课件 (26张ppt )
第四步：重复二、三步， 直到余数为0.
第四步，若r=0，则m，n的最大公约 数等于_m_；否则，返回第二步.
算法的思想
辗转相除法
问题4. 辗转相除法的算法有什么特点？ 需要使用哪种基本逻辑结构？
• 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停 止的步骤，可以使用循环结构来构造算法。
回顾：构造循环结构应确定哪几部分内容？ ①初始化变量 ②确定循环体 ③设定循环控制条件
高中数学【人教A版必修】3第一章1.3 算法案例 课件 (26张ppt )【精品】
更相减损术
《九章算术》——更相减损术
“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少 减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”
翻译： 第一步：任意给定两个正整数，判断它们是否都是 偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差 与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作， 直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所 求的最大公约数。
结论：8251和6105的最大公约数就是6105和2146的最大公 约数.
第二步： 6105 = 2146 ×2 + 1813
结论：6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公 …… 约数.
最后一步： 148 = 37 ×4 + 0.
余数为0
最终结论：8251和6105的最大公约数也是148和37的最大 公约数，即37.
否
WHILE 条件 循环体
WEND
知问
回顾：
1.编程解决问题需经过哪些步骤？ 算法分析、程序框图、程序
2.循环结构的程序框图和语句？ 3.求两个正整数最大公约数的方法？ 短除法：先用两个数的公约数连续去除，一直除到 所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起 来即为最大公约数。
人教版高中数学必修三课件：1.3 算法案例(共55张PPT)
解:用辗转相除法求最大公约数:612=468×1+144,468=144×3+36,144=36×4,即612
和468的最大公约数是36. 用更相减损术检验:612和468均为偶数,两次用2约简得153和117,153-117=36,11736=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9=9,所以612和468的最大公约数为
转化为求n个一次多项式的值.
预习探究
知识点二 进位制
1.进位制:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定“满k进一”就 是 k进制 ,k进制的基数(大于1的整数)就是 k . 2.将k进制数化为十进制数的方法:先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和 的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果. 3.将十进制数化为k进制数的方法是 除k取余法 .即用k连续去除十进制数所得 的 商 ,直到商为零为止,然后把各步得到的余数 倒序 写出.所得到的就是相应的k 进制数. 4.k进制数之间的转化:首先转化为十进制数,再转化为 k进制数.
第一章 算法初步
1.3 算法案例 第2课时 秦九韶算法与进位制
预习探究
知识点一 秦九韶算法
1.秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的一 个用于计算多项式值的方法. 2.秦九韶算法的方法: 把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 改写成下列的形式: f(x)=(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0= ((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…=
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1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
分析：8251与6105两数都比较大，而且没 有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根 据已有的知识即可求出最大公约数. 解：8251＝6105×1＋2146
(3)、程序：
INPUT “m,n=“;m,n DO
r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END
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4. 辗转相除法的程序框图及程序: 高中数学【人教A版必修】3第一章算法案例PPT全文课件【完美课件】
显然8251与6105的最大公约数也必是2146 的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251 的约数，所以8251与6105的最大公约数也是 6105与2146的最大公约数。
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〖研探新知〗
1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 解：8251＝6105×1＋2146;
1.3算法案例
案例1 辗转相除法与更相减损术
一、三维目标 （a）知识与技能
1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原 理，并能根据这些原理进行算法分析。
2.基本能根据算法语句与程序框图的知识设计完 整的程序框图并写出算法程序。 （b）过程与方法
在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习 过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它 们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严 谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握 把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。
人教版高中数学必修三第一章第3节算法案例课件(共16张PPT)
知识探究(二):秦九韶算法的程序设计
思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可 以用什么逻辑结构来构造算法？其算法 步骤如何设计？
第一步，输入多项式的次数n，最高次 项的系数an和x的值.
第二步，令v=an，i=n-1. 第三步，判断i≥0是否成立.若是，执行第
作业： P48习题1.3A组：2. 课时作业
思考4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+ an-2)x+…+a1)x+a0，由内向外逐层计算 一次多项式的值，其算法步骤如何？
第一步，计算v1=anx+an-1.
第二步，计算v2=v1x+an-2.
第三步，计算v3=v2x+an-3. … 第n步，计算vn=vn-1x+a0.
理论迁移
四步；否则，输出多项式的值v.
第四步，输入i次项的系数ai. 第五步， v=vx+ai，i=i-1.
思考2:该算法的程序框图如何表示？
开始
输入n，an，x的值
v=an i=n-1
i=i-1
v=vx+ai
i≥0？
否 输出v
输入ai 是
结束
思考3:该程序框图对应的程序如何表述？
开始 输入n，an，x的值
所以f(5)=14130.2.
思考5:上述求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值的方法 称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的 值，一共需要多少次乘法运算，多少次 加法运算？
最多n次乘法运算，最多n次加法运算
思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么 第k步的算式是什么？
高中数学人教版必修三《1.3.1辗转相除法与更相减损术》课件
•
Байду номын сангаас
二级 •为三主级，更相减损术以减法为主，运算次数上辗转相除法运算
次数• 相四级对较少，特别当两个数比较大时更合适用辗转相除法。
• 五级
（2）从结果体现情势来看，辗转相除法体现结果是以相除
余数为0而得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到的。
2023/9/15
16
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1.3.1 • 单击此处编辑母版文本样式 • 二级 • 三级
• 二级
结• 论三：级8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和 6105•的四最级大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。
• 五级 (8251 , 6105 )=(6105 , 2146 )
第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146×2 + 1813
（答案：12）
2023/9/15
11
单击〖此辗转处相编除法辑与母更相版减损标术题的区样分式〗
• 单击（此1处）编都是辑求母最版大文公本约样数的式方法，运算上辗转相除法以除法
• 二•为次级三主数级，相更对相 较减少损，术特以别减当法两为个主数，比运较算大次时数更上合辗适转用相辗除转法相运除算法。
• 四级
2023/9/15
148=37×4+0
7
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• 单击此处编辑母版文本样式
• 二级课后必做作业： • 三级 请同• 四学级们课后阅读教材，理解并掌控辗转相除法的程序设计 • 五级
2023/9/15
9
单击此〖更处相减编损辑术〗母版标题样式
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。
高一数学人教版必修三课件 第一章 算法初步 1.3
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
1．用更相减损术求 294和 84的最大公约数时，需做减法运算 的次数是( C ) A．2 C． 4 B．3 D．5
解析：294－84＝210，210－84＝126，126－84＝42，84－42
＝42，共做4次减法运算．
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
2．秦九韶算法 一元n次多项式 的值的 它是一种用于计算__________________
功能
方法
f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
改写后的 形式
(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝_______________________________________
＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
＝… (…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0 ＝_______________________________________
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
从括号最内层开始，由内向外逐层计算
v1＝anx＋an－1， v2＝v1x＋an－2， 计算方法 v2x＋an－3 v3＝_______________ ， vn＝vn－1x＋a0，
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
求最大公约数
用辗转相除法求 612 与 468 的最大公约数，并用更 相减损术检验所得结果． (链接教材 P36 例 1)
3.1.3
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
[解] 用辗转相除法： 612＝468×1＋144，468＝144×3＋36，144＝36×4， 即 612 和 468 的最大公约数是 36. 用更相减损术检验： 612 和 468 为偶数，两次用 2 约简得 153 和 117，153－117＝ 36，117－36＝81，81－36＝45，45－36＝9，36－9＝27，27 －9＝18，18－9＝9， 所以 612 和 468 的最大公约数为 9×2×2＝36.
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第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数，
若是，则用2约简，若不是，则执行第二步。 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较
小的数比较，并以大数减小数。 继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数就
是所求的最大公约数。
例题：用更相减损术求98与63的最大公约数。
按照上述步骤，由于63不是偶数，把98与63以大数减小数，并辗转相减 98-63=以98和63的最大公约数就是7。
练习： 先用更相减损术求1734和816的最大公约数， 然后用辗转相除法检验结果。