第二代小波提升步骤

第二代小波提升步骤

小波分析2009-10-12 15:14:31 阅读663 评论5 字号：大中小订阅

l 提升原理

小波提升是一种构造紧支集双正交小波的新方法。

1）步骤

由提升构成第二代小波变换的过程分为如下3个步骤：

(1) 分裂

分裂(Split)是将原始信号sj = { sj，k }分为两个互不相交的子集和。每个子集的长度是原子集的一半。通常是将一个数列分为偶数序列ej-1和奇数序列oj-1，即

Split (sj) = (ej-1, oj-1 )

其中，ej-1 = { ej-1, k = sj, 2 k }，oj-1 = { oj-1, k = sj, 2 k +1}。

(2) 预测

预测(Predict)是利用偶数序列和奇数序列之间的相关性，由其中一个序列（一般是偶序列ej-1）来预测另一个序列（一般是奇序列oj-1）。实际值oj-1与预测值P (ej-1)的差值dj-1反映了两者之间的逼近程度，称之为细节系数或小波系数，对应于原信号sj的高频部分。一般来说，数据的相关性越强，则小波系数的幅值就越小。如果预测是合理的，则差值数据集dj-1所包含的信息比原始子集oj-1包含的信息要少得多。预测过程如下：

dj-1 = oj-1 – P (ej-1)

其中，预测算子P可用预测函数Pk来表示，函数Pk可取为ej-1中的对应数据本身：

Pk (ej-1, k ) = ej-1, k = sj, 2 k

或ej-1中的对应数据的相邻数据的平均值：

Pk (ej-1) = (ej-1, k + ej-1, k+1) / 2 = (sj, 2 k + sj, 2 k +1) / 2

或其他更复杂的函数。

(3) 更新

经过分裂步骤产生子集的某些整体特征(如均值)可能与原始数据并不一致，为了保持原始数据的这些整体特征，需要一个更新(Update)过程。将更新过程用算子U来代替，其过程如下：

sj-1 = ej-1 + U (d j-1)

其中，sj-1为sj的低频部分；与预测函数一样，更新算子也可以取不同函数，如

U k (dj-1) = dj-1, k / 2

或

U k (dj-1) = (dj-1, k -1 + dj-1, k) / 4 + 1 / 2。

P与U取不同的函数，可构造出不同的小波变换。

2) 分解与重构

经过小波提升，可将信号sj分解为低频部分sj-1和高频部分dj-1；对于低频数据子集sj-1 可以再进行相同的分裂、预测和更新，把sj-1 进一步分解成dj-2和sj-2；…；如此下去，经过n次分解后，原始数据sj的小波表示为{sj-n, dj-n, dj-n+1, …, dj-1}。其中sj-n代表了信号的低频部分,而{dj-n, dj-n+1, …, dj-1}则是信号的从低到高的高频部分系列。

每次分解对应于上面的三个提升步骤——分裂、预测和更新：

Split (sj) = (ej-1, oj-1 )，dj-1 = oj-1 – P (ej-1)，sj-1 = ej-1 + U (d j-1)

小波提升是一个完全可逆的过程，其反变换的步骤如下：

ej-1 = sj-1 - U (d j-1 )，oj-1 = dj-1 + P (ej-1)，sj = Merge (ej-1, oj-1 )

下图是用提升方法进行小波分解和重构的示意图。

分解的三个步骤可以用替代的方式来计算：先将奇数序列更新(用偶数序列预测奇数序列)，然后用更新的奇数序列更新偶数序列。大致过程如下：

Split (sj) = (ej-1, oj-1 )，oj-1 -= P (ej-1 )，ej-1 += U (oj-1)

其反变换过程也可以用替代的方式来计算：

ej-1 -= U (oj-1)，oj-1 += P (ej-1 )，sj = Merge (ej-1, oj-1 )

4）例子

(1) 线性Haar小波变换

取预测函数

Pk (ej-1) = ej-1, k = sj, 2k

更新函数

Uk (d j-1) = dj-1, k / 2

则得到线性Haar小波变换。

分解式如下：

Split (sj) = (ej-1, oj-1 )

d j-1, k = oj-1, k –Pk (ej-1) = oj-1, k –ej-1, k = sj, 2k+1 - sj, 2k

sj-1, k = ej-1, k + Uk (d j-1) = sj, 2k + dj-1, k / 2 = (sj, 2k+1 + sj, 2k) / 2

重构式如下：

ej-1, k = sj-1, k - Uk (d j-1) = sj-1, k –dj-1, k / 2

oj-1, k = d j-1, k + Pk (ej-1) = d j-1, k + ej-1, k

sj = Merge (ej-1, oj-1 )

(2) 线性小波变换

取预测函数

Pk (ej-1) = (ej-1, k + ej-1, k+1) / 2 = (sj, 2k + sj, 2k +2) / 2

更新函数

Uk (d j-1) = (dj-1, k -1 + dj-1, k) / 4

则得到线性小波变换。

分解式如下：

Split (sj) = (ej-1, oj-1 )

d j-1, k = oj-1, k –Pk (ej-1) = oj-1, k –(ej-1, k + ej-1, k+1) / 2 = sj, 2k+1 - (sj, 2k + sj, 2k +2) / 2

sj-1, k = ej-1, k + Uk (d j-1) = sj, 2k + (dj-1, k -1 + dj-1, k) / 4

重构式如下：

ej-1, k = sj-1, k - Uk (d j-1) = sj-1, k –(dj-1, k -1 + dj-1, k) / 4

oj-1, k = d j-1, k + Pk (ej-1) = d j-1, k + (ej-1, k + ej-1, k+1) / 2

sj = Merge (ej-1, oj-1 )