第二代小波提升步骤
小波包、多小波及第二代小波
M
因此，很容易得到小波子空间的各种分解如下： jW
3121++⊕=jjjUUW
72625242++++⊕⊕⊕=jjjjjUUUUW
M
121221.
+
+
++
+⊕⊕⊕=lllljljljjUUUWL 4.14
M
文本框:
jW空间分解的子空间序列可以写作，；mljlU+
+
212,,1,0.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱlmLjl,,2,1L=；。子空间
序列的标准正交基为：
L,2,1=jmljlU+
+
2
{}Znntwljmljl∈.+.
+
+.:)2(2)(
22/)( 4.15
当和时，子空间序列简化为，相应的正交基简化为0=l0=mmljlU+
+
2jjWU=1{})2(2)2(22/
在感兴趣的频率点上尽可能地提高频域分辨率，在感兴趣的时间点上尽可能地提高时间分辨率，这样当用
滤波器组对信号进行分解时，短时Fourier变换的等带宽或小波变换的恒-Q带宽都不一定合适，应该按信
号特性选择相应组合的滤波器组，这就是小波包(Wave1et Packet)。
小波包的概念是由M.V.WickerhaMser，R.R.Coifman等人在小波变换的基础上，根据实际应用的需求
()()0,122=.+ktWtwll
4.1.2 小波包分解
现在令、L,2,1=lL,2,1=j，并对式(4.11)进行迭代分解，有
一种自适应小波提升格式及应用效果分析
一种自适应小波提升格式及应用效果分析郑诣曾辉(成都N q-大学信息管理学院，IⅡl J J I成都610059)B裔要】在经典小波分析中。
小波基的选择是一个难题，一旦选用不当，就会使应用效果大打折扣。
造戍应用上的低效率。
为了允腰E述缺陷，w i reSw e l derl$提出了小波提升格式本文探讨了一种自适应提升格式。
并通过M A T LA B舞验验征了自适砬提升洛式的有麴技。
瞎键词]第二代小波；自适应提升格式；应用效果小波分析是近年来在理论数学和应用数学中迅速发展的新领域，它是继傅里叶分析之后在数学上的一项重大突破。
1996年Sw el dens 提出了小波提升格式，该方法可以灵活高效地U已有的双正交小波构造新的双正交小波，并且能够继承传统小波的多分辨分析等特征，小波提升格式是90年代在小波领域的一项突出成就．随后，T℃ha n，H el l—m a R s，G．P i el l a，R oger L等人先后提出了自适应提升格式，所谓自适应提升格式就是根据输入信号的特征和具体问题的需要设计适当的更新和预测算子，使得我们得到的小波滤波器能够达到预期的要求，从而也就实现了小波滤波器的改进。
1提升格式原理1．1正变换t4埔：翟蟥二塞一州!k殳良塑!．廿I b'蘧受摊图1第二代，J谢理彗变开意图对输入信号删，对其进行提升格式变换的步骤如下(图1)1．1．1分裂将信号序列按奇样本xdnl，偶样本x／n]进行分裂x dn}=-x[2n+l l，，(。
Inl=x12nl。
1．12预测保矧禺样本不变，由偶样本预测奇样本，并对奇样本进行修正。
d[nl=×击¨P(×州)其中p(g)为预测算子，显然信号在局部是高度相关的，因而奇、偶样本是高度相关的，用偶样本对奇样本进行预测分析是合理的，因而得到的d『1l具有小的能量，作为高频系数是合理的。
1．13更新原始吲禺样本xdnl并不能构成信号的低频部分，因为它仅是信号的—个偶采样，因而需要对其进行更新，使之成为信号的低频部分，我们用修正后的高频系数di n]来进行更新，dnl=-xdnl+U(d[n1)其中U(g)是更新算子。
DM642上5-3提升小波的优化
DM642上5/3提升小波的优化在新的图像压缩标准JPEG2000 中，采用9/7、5/3 提升小波变换作为编码算法，其中5/3 小波变换是一种可逆的整数变换，可以实现无损或有损的图像压缩。
在通用的DSP 芯片上实现该算法具有很好的可扩展性、可升级性与易维护性。
用这种方式灵活性强，完全能满足各种处理需求。
1 提升算法提升算法[1]是由Sweldens 等在Mallat 算法的基础上提出的，也称为第二代小波变换。
与Mallat 算法相比，提升算法不依赖傅立叶变换，降低了计算量和复杂度，运行效率相应提高。
由于具有整数变换及耗费存储单元少的特点，提升算法很适合于在定点DSP 上实现。
小波提升算法的基本思想是通过基本小波逐步构建出一个具有更加良好性质的新小波。
其实现步骤为分解(split)、预测(predict)和更新(update)。
首先按照对原信号进行对称延拓得到新的x(n)。
分解是将数据分为偶数序列x(2n)和奇数序列x(2n+1)二个部分；预测是用分解的偶数序列预测奇数序列，得到的预测误差为变换的高频分量：H(n)=x(2n+1)-{[x(2n)+x(2n+2)]1} 更新是由预测误差更新偶数序列，得到变换的低频分量：L(n)=x(2n)+{[H(n) +H(n-1)+2]2}计算过程如图1 所示。
在这种方法中，SDRAM 中的一个数据块首先传输到L2 中，然后取到L1D 中进行水平方向的提升，再对该块进行垂直方向的提升。
这样，由于垂直提升所需的数据都在L1D 中，避免了此处数据缓存缺失的产生，使总的缺失数大大降低。
2.3 数据传输(1)SDRAM 与L2 间的数据传输由于EDMA[6][7]数据传输与CPU 运行相互独立，因此在L2 中开辟两块缓存：EDMA 在CPU 处理InBuffA 的同时将下一块数据传输到InBuffB，解决了CPU 读取低速设备SDRAM 引起的时延，如图3 所示。
边界延拓主要是用于计算高频系数。
提升小波及其算法-基本程序-有说明
% 使用Haar小波，得到相应的提升方案lshaar=liftwave('haar');% 添加ELS到提升方案els={'p',[-0.125 0.125],0}lsnew=addlift(lshaar,els);% 对于简单图像，尺度为2进行LWTx=reshape(1:16,4,4);xDec=lwt2(x,lsnew,2)% 提取第一层的低频系数ca1=lwtcoef2('ca',xDec,lsnew,2,1)% 重构低频和高频a1=lwtcoef2('a',xDec,lsnew,2,1)a2=lwtcoef2('a',xDec,lsnew,2,2)h1=lwtcoef2('h',xDec,lsnew,2,1)v1=lwtcoef2('v',xDec,lsnew,2,1)d1=lwtcoef2('d',xDec,lsnew,2,1)h2=lwtcoef2('h',xDec,lsnew,2,2)v2=lwtcoef2('v',xDec,lsnew,2,2)d2=lwtcoef2('d',xDec,lsnew,2,2)% 检查重构效果err=max(max(abs(x-a2-h2-v2-d2-h1-v1-d1)))M1=laurmat(eye(2,2))Z=laurpoly(1,1);M2=laurmat({1 Z;0 1})% 计算劳伦多项式P=M1*M2d=det(P)% 得到Haar滤波器[LoD,HiD,LoR,HiR]=wfilters('haar')% 提升Haar滤波器twoels(1)=struct('type','p','value',laurpoly([0.125 -0.125],0)); twoels(2)=struct('type','p','value',laurpoly([0.125 -0.125],1)); [LoDN,HiDN,LoRN,HiRN]=liftfilt(LoD,HiD,LoR,HiR,twoels);% 得到双正交小波bior1.3[LoDB,HiDB,LoRB,HiRB]=wfilters('bior1.3');somewavelet=isequal([LoDB,HiDB,LoRB,HiRB],[LoDN,-HiDN,LoRN,HiRN])% 使用Haar小波，得到相应的提升方案lshaar=liftwave('haar');% 添加ELS到提升方案els={'p',[-0.125 0.125],0}lsnew=addlift(lshaar,els);% 对于简单信号，进行2层LWTx=1:8;xDec=lwt(x,lsnew,2)% 提取尺度为1时的低频系数ca1=lwtcoef('ca',xDec,lsnew,2,1)% 重构低频和高频a1=lwtcoef('a',xDec,lsnew,2,1)a2=lwtcoef('a',xDec,lsnew,2,2)d1=lwtcoef('d',xDec,lsnew,2,1)d2=lwtcoef('d',xDec,lsnew,2,2)% 检查重构效果err=max(abs(x-a2-d2-d1))% 定义劳伦多项式P=laurpoly([1:3],2);P=laurpoly([1:3],'dmax',2)P=laurpoly([1:3],'dmin',2)% 计算劳伦多项式Z=laurpoly(1,1)Q=Z*P% 得到Haar小波的提升方案lshaar=liftwave('haar');% 添加ELS到提升方案中els={'p',[-0.125 0.125],0};lsnew=addlift(lshaar,els);% 进行单层提升小波分解load noisdopp;x=noisdopp;[cA,cD]=lwt(x,lsnew);figure(1);subplot(311);plot(x);title('原始信号');subplot(312);plot(cA);title('提升小波分解的低频信号');subplot(313);plot(cD);title('提升小波分解的高频信号');% 直接使用Haar小波进行2层提升小波分解[cA,cD]=lwt(x,'haar',2);figure(2);subplot(311);plot(x);title('原始信号');subplot(312);plot(cA);title('2层提升小波分解的低频信号'); subplot(313);plot(cD);title('2层提升小波分解的高频信号');% 得到Haar小波的提升方案lshaar=liftwave('haar');% 添加ELS到提升方案中els={'p',[-0.125 0.125],0};lsnew=addlift(lshaar,els);% 2层提升小波分解load noisdopp;x=noisdopp;xDec=lwt(x,lsnew,2);% 提取第1层的近似系数ca1=lwtcoef('ca',xDec,lsnew,2,1);% 提取第2层的近似系数ca2=lwtcoef('ca',xDec,lsnew,2,2);% 提取第1层的细节系数cd1=lwtcoef('cd',xDec,lsnew,2,1);% 提取第2层的细节系数cd2=lwtcoef('cd',xDec,lsnew,2,2);plot(x);title('原始信号');subplot(323);plot(ca1);title('第一层近似信号');subplot(324);plot(ca2);title('第二层近似信号');subplot(325);plot(cd1);title('第一层细节信号');subplot(326);plot(cd2);title('第二层细节信号');% 获得db2小波的提升方案lsdb2=liftwave('db2');% 显示提升方案displs(lsdb2);% 获得sym2小波的提升方案lssym2=liftwave('sym2');% 显示提升方案displs(lssym2);% 获得整数变换提升方案lsdb2=liftwave('db2','Int2Int');x=[1:10];lwtx=lwt(x,lsdb2)% 获得Haar小波的提升方案lshaar=liftwave('haar');% 将提升步骤ELS加入到提升方案中els={'p',[-0.125 0.125],0};lsnew=addlift(lshaar,els);% 进行单层提升小波分解load noisdopp;subplot(211);plot(x);ylabel('x');% 实施提升小波变换[cA,cD]=lwt(x,lsnew);xRec=ilwt(cA,cD,lsnew);err=max(max(abs(x-xRec))) subplot(212);plot(xRec);ylabel('xRec');els={'p',[-0.125 0.125],0}; lsnew=addlift(lshaar,els);% 2层提升小波分解load noisdopp;x=noisdopp;xDec=lwt(x,lsnew,2);% 重构近似信号和细节信号a1=lwtcoef('a',xDec,lsnew,2,1); a2=lwtcoef('a',xDec,lsnew,2,2); d1=lwtcoef('d',xDec,lsnew,2,1); d2=lwtcoef('d',xDec,lsnew,2,2); % 检查重构误差err=max(abs(x-a2-d2-d1)) subplot(311);plot(x);title('原始信号');subplot(323);plot(a1);title('重构第一层近似信号'); subplot(324);plot(a2);title('重构第二层近似信号'); subplot(325);plot(d1);title('重构第一层细节信号'); subplot(326);plot(d2);title('重构第二层细节信号');% 得到Haar小波的提升方案lshaar=liftwave('haar');% 将提升步骤ELS添加到提升方案中els={'p',[-0.125 0.125],0};lsnew=addlift(lshaar,els);% 2层提升小波分解load noisdopp;x=noisdopp;subplot(211);plot(x);ylabel('x');% 对信号实施整数提升小波变换lshaarInt=liftwave('haar','int2int'); lsnewInt=addlift(lshaarInt,els);[cAint,cDint]=lwt(x,lsnewInt);% 实施提升小波变换xRecInt=ilwt(cAint,cDint,lsnewInt);errInt=max(max(abs(x-xRecInt)))subplot(212);plot(xRecInt);ylabel('xRecInt');% 使用Haar小波，得到相应的提升方案lshaar=liftwave('haar');% 添加ELS到提升方案els={'p',[-0.125 0.125],0}lsnew=addlift(lshaar,els);% 对于简单信号，尺度为1进行LWTx=1:8;[cA,cD]=lwt(x,lsnew)% 对上面的信号，进行整数LWT lshaarInt=liftwave('haar','int2int'); lsnewInt=addlift(lshaarInt,els);[cAint,cDint]=lwt(x,lsnewInt)% 使用Haar小波，得到相应的提升方案lshaar=liftwave('haar');% 添加ELS到提升方案els={'p',[-0.125 0.125],0};lsnew=addlift(lshaar,els);% 对于简单信号，尺度为1进行LWTx=1:8;[cA,cD]=lwt(x,lsnew);% 对上面的信号，进行整数LWTlshaarInt=liftwave('haar','int2int');lsnewInt=addlift(lshaarInt,els);[cAint,cDint]=lwt(x,lsnewInt);% 进行逆变换xRec=ilwt(cA,cD,lsnew);err=max(max(abs(x-xRec)))xRecInt=ilwt(cAint,cDint,lsnewInt);errInt=max(max(abs(x-xRecInt)))clc;load woman;nbc=size(map,1);% 得到Haar小波的提升方案lshaar=liftwave('haar');% 将提升步骤ELS添加到提升方案中els={'p',[-0.125 0.125],0};lsnew=addlift(lshaar,els);load woman;% 进行一层提升小波分解[cA,cH,cV,cD]=lwt2(X,lsnew);length=size(cA,1);c=zeros(1,length*length*4);for i=1:length;c((i-1)*length+1:i*length)=cA(:,i);end;for i=length+1:2*length;c((i-1)*length+1:i*length)=cH(:,i-length); end;for i=2*length+1:3*length;c((i-1)*length+1:i*length)=cV(:,i-2*length); end;for i=3*length+1:4*length;c((i-1)*length+1:i*length)=cD(:,i-3*length); end;s=zeros(3,2);s(:,1)=[length,length,2*length];s(:,2)=[length,length,2*length];% 使用wdcbm2获得压缩阈值alpha=1.5;m=3.5*prod(s(1,:));[thr,nkeep]=wdcbm2(c,s,alpha,m);% 对图像进行压缩xd=wdencmp('lvd',c,s,'haar',1,thr,'h'); colormap(pink(nbc));figure(1);subplot(121);image(wcodemat(X,nbc));title('原始图像');subplot(122);image(wcodemat(xd,nbc));title('压缩后的图像');load woman;nbc=size(map,1);% 得到Haar小波的提升方案lshaar=liftwave('haar');% 将提升步骤ELS添加到提升方案中els={'p',[-0.125 0.125],0};lsnew=addlift(lshaar,els);load woman;% 进行一层提升小波分解[cA,cH,cV,cD]=lwt2(X,lsnew);length=size(cA,1);c=zeros(1,length*length*4);for i=1:length;c((i-1)*length+1:i*length)=cA(:,i);end;for i=length+1:2*length;c((i-1)*length+1:i*length)=cH(:,i-length); end;for i=2*length+1:3*length;c((i-1)*length+1:i*length)=cV(:,i-2*length); end;for i=3*length+1:4*length;c((i-1)*length+1:i*length)=cD(:,i-3*length); end;s=zeros(3,2);s(:,1)=[length,length,2*length];s(:,2)=[length,length,2*length];% 使用ddencmp获得压缩阈值[thr,nkeep]=ddencmp('cmp','wv',X);% 对图像进行压缩xd=wdencmp('gbl',c,s,'haar',1,thr,'s',1); colormap(pink(nbc));figure(1);subplot(121);image(wcodemat(X,nbc));title('原始图像');subplot(122);image(wcodemat(xd,nbc));title('压缩后的图像');load woman;% 产生含噪图像init=2055615886;randn('seed',init);x=X+18*randn(size(X));nbc=size(map,1);% 得到Haar小波的提升方案lshaar=liftwave('haar');% 将提升步骤ELS添加到提升方案中els={'p',[-0.125 0.125],0};lsnew=addlift(lshaar,els);load woman;% 进行一层提升小波分解[cA,cH,cV,cD]=lwt2(X,lsnew);length=size(cA,1);c=zeros(1,length*length*4);for i=1:length;c((i-1)*length+1:i*length)=cA(:,i);end;for i=length+1:2*length;c((i-1)*length+1:i*length)=cH(:,i-length); end;for i=2*length+1:3*length;c((i-1)*length+1:i*length)=cV(:,i-2*length); end;for i=3*length+1:4*length;c((i-1)*length+1:i*length)=cD(:,i-3*length); end;s=zeros(3,2);s(:,1)=[length,length,2*length];s(:,2)=[length,length,2*length];% 使用wdcbm2获得去噪阈值alpha=3;m=3.5*prod(s(1,:));[thr,nkeep]=wdcbm2(c,s,alpha,m);% 对图像进行去噪sorh='s';xd=wdencmp('lvd',c,s,'haar',1,thr,sorh); colormap(pink(nbc));figure(1);subplot(221);image(wcodemat(X,nbc));title('原始图像');subplot(222);image(wcodemat(x,nbc));title('含噪图像');subplot(223);image(wcodemat(xd,nbc));title('去噪后的图像');% 得到Haar小波的提升方案lshaar=liftwave('haar');% 添加ELS到提升方案中els={'p',[-0.125 0.125],0};lsnew=addlift(lshaar,els);load woman;% 进行一层提升小波分解[cA,cH,cV,cD]=lwt2(X,lsnew);figure(1);nbc=size(map,1);colormap(pink(nbc));subplot(321);image(wcodemat(X,nbc));title('原始图像');subplot(322);image(wcodemat(cA,nbc));title('提升小波分解的低频图像'); subplot(323);image(wcodemat(cH,nbc));title('水平方向高频图像');subplot(324);image(wcodemat(cV,nbc));title('垂直方向高频图像');subplot(325);image(wcodemat(cD,nbc));title('对角方向高频图像');% 使用Haar小波，得到相应的提升方案lshaar=liftwave('haar');% 添加ELS到提升方案els={'p',[-0.125 0.125],0}lsnew=addlift(lshaar,els);% 对于简单图像，尺度为1进行LWTx=reshape(1:16,4,4);[cA,cH,cV,cD]=lwt2(x,lsnew);% 对上面的图像，进行整数LWT lshaarInt=liftwave('haar','int2int'); lsnewInt=addlift(lshaarInt,els);[cAint,cHint,cVint,cDint]=lwt2(x,lsnewInt)clear;clc;% 得到Haar小波的提升方案lshaar=liftwave('haar');% 添加ELS到提升方案中els={'p',[-0.125 0.125],0};lsnew=addlift(lshaar,els);% 2层提升小波分解load woman;xDec=lwt2(X,lsnew,2);% 提取近似图像和细节图像ca2=lwtcoef2('ca',xDec,lsnew,2,2); ch1=lwtcoef2('ch',xDec,lsnew,2,1); cv1=lwtcoef2('cv',xDec,lsnew,2,1); cd1=lwtcoef2('cd',xDec,lsnew,2,1); ch2=lwtcoef2('ch',xDec,lsnew,2,2); cv2=lwtcoef2('cv',xDec,lsnew,2,2); cd2=lwtcoef2('cd',xDec,lsnew,2,2); nbc=size(map,1);colormap(pink(nbc));subplot(121);image(wcodemat(X,nbc));title('原始图像');subplot(122);image(wcodemat(ca2,nbc));title('第二层近似图像'); figure;subplot(231);image(wcodemat(ch1,nbc));title('第一层水平方向图像'); subplot(232);image(wcodemat(cv1,nbc));title('第一层垂直方向图像'); subplot(233);image(wcodemat(cd1,nbc));title('第一层对角方向图像'); subplot(234);image(wcodemat(ch2,nbc));title('第二层水平方向图像'); subplot(235);image(wcodemat(cv2,nbc));title('第二层垂直方向图像'); subplot(236);image(wcodemat(cd2,nbc));title('第二层对角方向图像');% 获得Haar小波的提升方案lshaar=liftwave('haar');% 将提升步骤ELS加入到提升方案中els={'p',[-0.125 0.125],0};lsnew=addlift(lshaar,els);% 实施二维提升小波分解load woman;nbc=size(map,1);colormap(pink(nbc));subplot(221);image(wcodemat(X,nbc));title('X');[cA,cH,cV,cD]=lwt2(X,lsnew);% 对同一个图像实施整数提升小波变换lshaarInt=liftwave('haar','int2int');lsnewInt=addlift(lshaarInt,els);[cAint,cHint,cVint,cDint]=lwt2(X,lsnewInt);% 实施提升小波逆变换xRec=ilwt2(cA,cH,cV,cD,lsnew);err=max(max(abs(X-xRec)))subplot(222);image(wcodemat(xRec,nbc));title('xRec');xRecInt=ilwt2(cAint,cHint,cVint,cDint,lsnewInt); errInt=max(max(abs(X-xRecInt)))subplot(223);image(wcodemat(xRecInt,nbc));title('xRecInt');clear;clc;% 得到Haar小波的提升方案lshaar=liftwave('haar');% 添加ELS到提升方案中els={'p',[-0.125 0.125],0};lsnew=addlift(lshaar,els);% 2层提升小波分解load woman;xDec=lwt2(X,lsnew,2);% 提取近似图像和细节图像a2=lwtcoef2('a',xDec,lsnew,2,2);h1=lwtcoef2('h',xDec,lsnew,2,1);v1=lwtcoef2('v',xDec,lsnew,2,1);d1=lwtcoef2('d',xDec,lsnew,2,1);h2=lwtcoef2('h',xDec,lsnew,2,2);v2=lwtcoef2('v',xDec,lsnew,2,2);d2=lwtcoef2('d',xDec,lsnew,2,2);% 检查重构误差err=max(max(abs(X-a2-h2-v2-d2-h1-v1-d1))) nbc=size(map,1);colormap(pink(nbc));subplot(121);image(wcodemat(X,nbc));title('原始图像');subplot(122);image(wcodemat(a2,nbc));title('重构第二层近似图像');figure;subplot(231);image(wcodemat(h1,nbc));title('第一层水平方向图像');subplot(232);image(wcodemat(v1,nbc));title('第一层垂直方向图像');subplot(233);image(wcodemat(d1,nbc));title('第一层对角方向图像');subplot(234);image(wcodemat(h2,nbc));title('第二层水平方向图像');subplot(235);image(wcodemat(v2,nbc));title('第二层垂直方向图像');subplot(236);image(wcodemat(d2,nbc));title('第二层对角方向图像');% 使用Haar小波，得到相应的提升方案lshaar=liftwave('haar');% 添加ELS到提升方案els={'p',[-0.125 0.125],0};lsnew=addlift(lshaar,els);% 对于简单图像，尺度为1进行LWTx=reshape(1:16,4,4);[cA,cH,cV,cD]=lwt2(x,lsnew);% 对上面的图像，进行整数LWTlshaarInt=liftwave('haar','int2int');lsnewInt=addlift(lshaarInt,els);[cAint,cHint,cVint,cDint]=lwt2(x,lsnewInt);% 进行逆变换xRec=ilwt2(cA,cH,cV,cD,lsnew);err=max(max(abs(x-xRec)))xRecInt=ilwt2(cAint,cHint,cVint,cDint,lsnewInt); errInt=max(max(abs(x-xRecInt)))。
JPEG2000小波变换仿真
一
收 稿 日期 ：２０ —０ ０ ６ ９—１ ９
作者简介 ：戴文伯 （９ ５ ， ， １７ 一） 男 武汉理工 大学硕士研究 生 ， 究方 研
向为信号与信息处理 。
１６ 一 ０
维普资讯
是输出的细节信号 ， （ ｎ 是输出的平滑信号。 Ｙ２ ） Ｙ２ （ｎ＋１ （ｎ＋１ ）＝ ２ ）一［ （ｎ ２ ）＋
Ｓｍｕａｉｎ ０ Ｐ ｉ ｌｔ ｆＪ ＥＧ２ ｏ ｖ ｌｔｔａ ｓ￣ ｍ ｏ Ｏ ｏ ｗａ ｅｅ ｒ ｎ ｆＩ ｒ
ＤＡＩＷ ｅ ． ０ ｎｂ
（ ｃｏ ｌ ｆ ｎｏｍａ ｏ ￣ －ｅｉｇ Ｗｕ ａ ｎｖｒｔ Ｔ ｃｎ ｌ ｙ Ｗｕ ａ ０６ ， ｈ ａ Ｓｈ ｏ ｏ Ｉｆｒ ｔ ｎｖ ｇ ｅｒ ， ｈ ｎＵ ｉ ｓｙｏ ｅｈｏｏ ， ｈ ｎ４ ０３ Ｃ ｉ ） ｉ ２ ｎ ｅｉ ｆ ｇ ３ ｎ
Ｋｅ ｏ ｄ ： Ｊ Ｅ ２ ０ ； ｗ ｖｌｔ ｒｎ ｆｒ ； ￣ｔ ｇ ｓｈ ｍｅ Ｆ ＧＡ ｙｗ ｒ ｓ Ｐ Ｇ ０ ０ ａ ｅｅ ｓ ｍ ｔ ａ ｏ ｉ ｃ ｅ ； Ｐ ｎ
小波变换的提升实现 第二代小波提升相位矩阵
qz az bz
r z bz 或
r z 0
两个Laurent多项式的欧几里德算法如下：
a0 z az b0 z bz
从 i 0 开始进行如下的递归运算：
ai 1 z bi z
bi 1 z ai z %bi z
滤波器
~ ~ ~ h ( z ) g ( z ) e e 和 g 的对偶多相位矩阵为： P( z ) ~ ~ h ( z ) g ( z ) o o
1 T 则小波滤波器的完全重构条件等价于： P( z ) P( z ) I
~
2
P( z 1 )T
z
2
az d z
l 0,1,, N / 2 1
Step 3. 比例变换
For l 0 to N/2 - 1
sl slm / K m d Kd l l
u1 z 0 时逆向小波变换的提升实现算法
Step 1.比例变换
For l 0 to N/2 - 1
slm Ksl m dl dl / K
s s (d d )
1 l 0 l 1 l 1 l 1
1 l
sl0 sl1 (dl1 dl11 )
dl0 dl1 (sl0 sl01 )
x2l sl0 x2l 1 dl0
sl s
1 l ，
dl d /
正变换
逆变换
整数小波变换
l 0,1,, N / 2 1
For l 0 to N/2 - 1
sl sln / K n d Kd l l
两点说明
1.本质上我们可以根据它们的任一分解式写出小波变换的提升算法
Chapter 4 第二代小波—提升格式
Chapter 4 第二代小波—提升格式参考文献：1.W.Sweldens “The Lifting Scheme: A Custom_design Construction of Biorthorgonal Wavelets ”2.I.Daubichies ﹠W.Sweldens “Factoring Wavelet Transform into Lifting Steps ”.3.W.Swedens “The Lifting Scheme: A New Philosophy in Biorthogonal Wavelets Construction ”.From http://cm.bell_/who/wim/papers/Wavelets are building blocks that can quickly decorrelate data.Fourier 变换在小波变换中起着决定作用，小波本质上到底是什么？能否不用Fourier 变换而直接研究小波变换，由此形成三点共识：1. 小波首先是一个构造块)()(,x d x f k j Z j Zk jk ψ∑∑∈∈=；可以是一组基，也可以是框架2. 能够解相关性，使数据间的相关性减弱。
{}11,,+++=J K J J J d d C C ；3. 小波变换拥有快速算法。
小波变换分三步走：X —原始信号（离散）1． Split ：e X X X ⋃=0，（Φ=⋂e X X 0）2． Prediction:)(⋅P 预测算子)(0e X P X ≈ P 的构造最终取决于原来的数据模型，不依赖数据；)(:00e X P X X -=3． Update ：更新算子)(⋅U)(:0X U X X e e +=还可以对e X 在进行小波变换，分割、预测、更新……若P 、U 为非线性算子，则得到的为非线性小波变换。
逆小波变换（Inverse Wavelet Transform ）：（1）（求e X ）)(:0X U X X e e -=（2）（求o X ）)(:00e X P X X +=（3）Joint ：e X X X ⋃=0第二代小波变换的优点：1． 小波分析可以不再建立在Fourier 变换分析基础上；2． 引入新的小波变换，如非线性小波变换，自适应小波变换等，有限区间上的小波变换曲线，曲面上的小波、加权小波；3． 逆变换简单；4． 与Mallat 算法相比，计算速度快，存储小。
小波提升格式算法及其在地震波处理中的应用
下岩体 的性 态 ， 成本 高 ， 率 低 ， 效 因此 利 用 地 球 物理 勘 探尤 其 是地震 波勘探 成 为 当前 确 定地下 岩体 岩性
分布的重要方法 。随着工程中对地下问题 了解要求
的加深 ， 用地 震 反射 波 确 定 地 下岩 体 的介 质 分 布 利
及反 射界 面 ， 工程 式 地 质 勘 探 中具 有 十 分 重 要 的 在 现 实性 意义 。小 波分 析是 当前 数学 中一个 迅 速发展 的新领 域 ， 其应 用是 与 小 波 分 析 的理 论 研 究 紧 密地 结 合在 一 起 的 。小 波 分 析 克 服 了 Ｆ ｕｉ ｏ ｒ ｒ变换 的不 ｅ
１ 小 波提 升 格 式算 法原 理
提升 方法 实现 小波 变换 的一 个最 大优 点是将 小 波滤 波器 过程 分解 成 其 简 单 的 基本 步 骤 ， 分 解 的 且 每一 步都 是可 逆 的 ， 升方 法 的重 构过 程也 是 分 解 提
过程 的逆 过程 。
足 ， 以反 映信 号在局 部 时间 范 围中的频 率特 征 ， 可 可 以解决 地震 波勘 探 中人们 关心 在什 么位 置 出现什 么 样 的反射 波问题 。但 是 在小 波分析 的应 用 中如何 根
ｄｉｔｏ Ｔｈｅ ｒ ｓ ｌ ｈ ｗ ：ｔ ｅ ｍｅｈｏ ｓ ｇ ｏ ｃｉｎ． ｅ ｕ ｔｓ ｏ ｈ ｔ ｄ ｉ ｏ ｄ
改进的第二代小波算法
Improved Algorithm f or Second Generation Wavelet Transf orm and Its Appl ication
D uan Chen dong , J iang Hongkai , He Zhengjia
( School of Mechanical Engineering , Xi′ an Jiaotong University , Xi′ an 710049 , China)
p 2 x e ( i - D + 2) + … + p m x e ( i + D ) P = [ p 1 , p 2 , …, p m ] ( 1) ( 2)
Hale Waihona Puke e ( i ) = x o ( i ) - [ x e ( i - D) , …, x e ( xo ( N
2
- 1) , 0 ] P
T
=
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
第 1 期 段晨东 ,等 : 一种改进的第 2 代小波变换算法及应用
49
i = 0～
N
2
- 1
^ d th ( i ) =
Abstract : In order to obtain a wavelet f unction based on t he characteristics of a set of data , an improved algo2 rit hm for second generation wavelet t ransform ( SGW T) is proposed by adopting t he interpolating subdivision scheme and optimum estimation t heorem. For designing predicting coefficient s of SGW T , t he sum of squared detail component s are taken as an objective f unction , and t he coefficient s are solved by least square met hod wit h const raint of vanishing moment number for predicting. These coefficient s can represent feat ures of t he given da2 ta. An optimum interpolating estimation algorit hm of SGW T decomposition and reconst ruction is also described. The proposed met hod is proved to be more effective t han ot her wavelet s for signal de2noising. It greatly improves signal noise ratio of ball bearing vibration signal in an application. Keywords : secon d generation w avelet t ransf orm ( SGW T) ; i nterpol ati ng subdi vision ; p redicti n g coef f icient ;
如果第一代小波变换没学好能否学好第二代小波变换答
如果有人问我，如果傅里叶变换没有学好（深入理解概念），是否能学好小波。
答案是否定的。
如果有人还问我，如果第一代小波变换没学好，能否学好第二代小波变换。
答案依然是否定的。
但若你问我，没学好傅里叶变换，能否操作（编程）小波变换，或是没学好第一代小波，能否操作二代小波变换，答案是肯定的。
一、基的概念。
我们要明确的是基的概念。
两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。
而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。
展开系数大的，说明信号和基，是足够相似的。
这也就是相似性检测的思想。
但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。
因此，小波在实轴上是紧的。
而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。
而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。
此外，两者相似的还有就是PARSEV AL定理。
（时频能量守恒）。
二、离散化的处理。
傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。
但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。
第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。
第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。
这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。
借此，计算机的处理才成为可能。
下面我们谈谈小波。
所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。
小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。
但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。
用更为专业的俗语，叫再生核。
也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。
这就叫冗余性。
小波包小波提升方案
对图像的尺寸有要求，不能对所有尺寸的图像进行变换；
对内存需求量较大，用通用和专用芯片实时实现时有困难； 当所分析的数据为不规则抽样数据，或对曲线、曲面等进 行变换时，第一代小波不能满足要求。
V33
↓2
d1 (n)
H1
H0
W33
↓2
↓2
H1
V34
↓2
↓2
H0 H1
W34
↓2
5
2013-8-7
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6
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7
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8
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9
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10
2p
2
( j 1)
t 2
2 p 1 2 ( j 1) t 2 h1 (k ) p 2 j t k
的母小波作伸缩与平移而得到的。称这一类小波为第一代 小波。不论是从二尺度差分方程的频域关系，还是从正交 小波或双正交小波的构造方法都可以看出，第一代小波的 构造实际上还是以Fourier变换为工具的。
2013-8-7 41
对某些不满足Fourier变换的函数，或者不允许伸缩和平
移的non-Euclidean空间，第一代小波就显得无能为力了。另
5w0051021012w1051021012w2051021012w3201331519051021012w4051021012w5051021012w6051021012w7201331520000111021222320313233343536373时的二进制树结构图3j201331521201331522小波包系数的快速计算方法20133152320133152400nd02d12d32d22d11d2h0z2h1z2h0z2h0z2h1z2h1z01d基于滤波器组的小波包分解与重建小波包分解20133152522d02d32d00nd12d01d11d2h1z2h0z2h0z2h0z2h1z2h1z小波包重建201331526201331527050010001050510signalxt0200400600201001020d10020040060042024d112013315280100200300201001020d20010020030042024d21010020030042024d22010020030042024d2320133152905010015030201001020d300501001501050510d3105010015042024d32050100150642024d3320133153005010015042024d3405010015042024d3505010015064202d3605010015042024d372013315312013315322013315332013315342013315352013315362022111214131234567803w13w23w33w43w53w63w73w00w5001w11w02w12w22w32w最佳小波包选择图中阴影部分为最后所选择的小波包20133153720133153820133153920133154000010203111213w03w13w02w12w01w11最佳树结构分解的区间20133154112
基于第二代小波变换的图像融合方法及性能评价
Fig. 2
图 2 二维图像提升小波分解示意图 Diagram of 2D image decomposition using
lifting wavelet
3.2 基于提升小波变换的图像融合方案
以两幅图像为例, 对于多幅图像的融合算法可 以类推. 设 A、B 为两幅原始图像, 并假设它们已 经过精确的配准, 图像的大小相同, F 为融合后的图 像, 基于提升小波变换的图像融合方案如图 3 所示. 图像融合的基本步骤如下： 1) 对待融合图像 A、 B 分别进行 n 层提升小波 分解, 最终将分别得到源图像的一个低频子图像和
第二代小波具有以下显著优点：1) 不依赖傅里 叶变换实现小波构造, 易于推广到一般应用领域；2) 只要简单地调整计算顺序和分解过程中的正负号就 可以实现信号的重构；3) 同址计算：即不需要辅助 存储器, 原信号 (图像) 可以被小波变换的结果覆 盖；4) 使小波变换运算复杂度降低一半, 从而实现 小波变换的快速简单计算[4] .
3 图像融合算法
本文提出的基于第二代小波变换的图像融合方 法是在像素层进行图像融合, 融合的目的是产生一 幅新的图像并使之包含比任意单个源图像更为丰富 更为精确的信息, 其融合的基本原理和基于传统小 波变换的图像融合方法类似. 首先采用提升方案对 源图像进行多层小波分解, 得到不同尺度不同频段 的子图像；然后采用合适的融合规则和融合算子对 具有不同特征的各个频带子图像分别进行有针对性 的融合处理, 得到融合子图像序列； 最后对处理后的 子图像序列进行提升小波逆变换, 从而重构得到融 合图像.
由于每种传感器都是为了适应某些特定的环境和使用范围而设计的具有不同特征或不同视点的多传感器获取的图像间既存在冗余性又存在互补性通过对其融合能够有效地把不同图像传感器的优点结合起来从而提高系统的可靠性和图像信息的利用效收稿日期200628收修改稿日期2006629receivedfebruaryrevisedformjune292006深圳信息职业技术学院博士创新科研项目bc0715资助supportedresearchfunddoctoralcreativeprogramshenzheninstituteinformationtechnologybc0715深圳信息职业技术学院软件工程系深圳518029华南理工大学自动化科学与工程学院广州510640softwareengineeringshenzheninstituteformationtechnologyshenzhen518029automationscienceengineeringsouthchinauniversitytechnologyguangzhou510640doi
小波分析系列讲座7—提升法的实现
小波分析系列讲座7—提升法的实现
基于提升方法(lifting scheme)的小波变换.
提升法被称为第二代小波，可见其重要性。
下面先举一个Harr小波的例子。
在一序列中有相邻数据 a, b 我们计算出其低频l = (a+b)/2 高频h =b-a
如果不引入新数据，仅对a ,b 更新，可写作 b - =a , a+=b/2 这样我们发现其可在自身位置上完成小波变换，而且还大大简化了计算过程（在复杂的变换中更明显）。
仔细分析，我们知道b是差异高频，它是当前值及前一个值对当前值的预测差，然后低频a ，由当前值及差异计算出。
这样就提供了我们一个新思想。
提升法的是实现步骤。
1．分裂：将原始信号Sj分裂成Sj-1（保存低频数据部分）和Dj-1（保存高频数据部分）
2．预测：用Sj-1预测Dj-1，并计算出预测差作为高频数据，保存于Dj-1中
3．更新：根据高频数据Dj-1 更新低频部分Sj-1
这样就完成了一次提升变换，呵呵，很简单吧，其逆变换可相应推导出。
为防止误解，这里指出的预测可以使用多个数据来预测一个数据。
例下
λ Dk - = ( Sk+Sk+1 ) /2
λ Sk + = (Dk+ D k+1) /4
你也可以结合上节所讲的滤波器，构造出更多的提升小波变换。
若你发现了文章中的问题，请联系我*******************谢谢。
小波提升算法
小波提升算法：
由于信号有局部相关性，某一点的信号值可以通过其相邻的信号值经过适当的预测算子预测出来，其预测误差就是信号的高频信息（即图像的细节信号），这个过程就是预测环节。
预测环节得到的高频信息通过更新算子来调整信号的下抽样，得到低频信息（图像的近似信号），这个过程就是更新环节。
在整个过程中，更新环节称为原始提升，而预测环节称为对偶提升。
因此，提升的基本步骤是：
1：分割，把原始数据X(n)分解成两部分，处于最大限度利用数据局域相关性的考虑，一般将数据分成偶数序列和基数序列两部分，即xe(n) = x(2n), xo(n) = x(2n+1)
2：预测，利用xe(n)预测xo(n)，即d(n) = xo(n) - p[xe(n)];式中，P为预测算子，d(n)表示预测误差。
在提升的理论中，预测误差d(n)也成为小波系数(对应高频分量)，当预测值p[xe(n)]越接近xo(n),预测误差d(n)就越小
3：更新，利用d(n)更新xe(n)，即c(n) = xe(n)+u[d(n)]，式中，u为更新算子。
在提升理论中，c(n)也称尺度系数（对应低频分量），是原始数据的一个粗糙近似。
小波提升是一个完全可逆的过程，其反变换和正变换结构对称，算子符号相反，由此可以保证提升变换是一个可逆变换，可以实现精确重构。
提升方案可以实现原为计算和整数提升，并且中间结果是交织排列的。
选用w5/3小波
变换公式为：。
采用第二代小波变换的功率测量方法
第２９卷第１期２００８年１月计量学报ＡＣＴＡＭＥＴＲＯＬＯＧＩＣＡＳＩＮＩＣＡＶ０１．２９．№１Ｊａｎｕａｒｙ，２００８采用第二代小波变换的功率测量方法王学伟，胡令彬（北京化工大学信息学院，北京１０００２９）摘要：采用第一代小波变换进行电压、电流有效值和功率分频带测量时运算速度慢，不利于硬件的实现和实际应用。
针对以上问题，在深入分析提升过程和推导Ｄｂ４提升小波的系数的基础上，首次提出了基于第二代小波的电压、电流有效值及功率分频带测量的方法，并用Ｄｂ提升小波进行仿真实验。
可以看出，该算法的准确度优于ｌｏ～，速度则比第一代小波变换的测量算法提高了一倍以上。
关键词：计量学；功率测量；小波变换；提升算法；有效值中图分类号：ＴＢ９７３文献标识码：Ａ文章编号：１０００．１１５８（２００８）０ｌ一００７３—０４ＳｅｃｏｎｄＧｅｎｅｒａｔｉｏｎＷａｖｅｌｅｔＴｒａｎｓｆｏｒｍｆｏｒＰｏｗｅｒＭｅａｓｕｒｅｍｅｎｔＷＡＮＧＸｕｅ—ｗｅｉ，ＨＵＬｉｎｇ—ｂｉｎ（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＢｅｒｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＣｈｅｍｉｃａｌＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００２９，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｈｅｎｕｓｉｎｇｔｈｅｍｅｔｈｏｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｆｉｒｓｔｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍｏｆｓｕｂ—ｂａｎｄＲＭＳｆｏｒｐｏｗｅｒｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ，ｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｐｅｅｄｉｓｌｏｗａｎｄｕｎｓｕｉｔａｂｌｅｆｏｒｔｈｅｈａｒｄｗａｒｅｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ．Ａｓｒｅｓｕｌｔｓ，ｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｎｏｔｕｓｅｄｐｏｐｕｌａｒｌｙｉｎｐｒａｃｔｉｃａｌａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓａｂｏｖｅ，ａｔｆｉｒｓｔｔｈｅｌｉｆｔｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓｉｓｄｅｅｐｌｙｓｔｕｄｉｅｄａｎｄｔｈｅｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｏｆＤｂ４ｌｉｆｔｉｎｇｗａｖｅｌｅｔａｒｅｄｅｄｕｃｅｄ，ｓｅｃｏｎｄｌｙａｎｏｖｅｌｓｕｂ—ｂａｎｄＲＭＳａｎｄｐｏｗｅｒｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄ，ｗｈｉｃｈｉｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｗａｖｅｌｅｔ．ＡｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｃｏｍｐｕｔｅｒｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｕｓｉｎｇＤｂｌｉｆｔｉｎｇｗａｖｅｌｅｔｓ，ｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍａｃｃｕｒａｃｙｉｓｂｅｔｔｅｒｔｈａｎ１０～，ａｎｄｔｈｅｓｐｅｅｄｉｓｔｗｉｃｅｆａｓｔｅｒｔｈａｎｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｆｉｒｓｔｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｍｅｔｒｏｌｏｇｙ；Ｐｏｗｅｒｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ；Ｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍ；Ｌｉｆｔｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ＲＭＳ１引言非正弦条件下电量的测量方法，长期以来主要采用ＦＦ１Ｉ的算法，然而Ｆ丌方法很难解决分频带等情况下的电量测量问题。
基于提升小波变换的医学图像融合算法
变换得 到 目标 图像 。仿 真 实验 结果表 明 ， 该算 法是 有效 可行 的 。
关 键词 ： 图像 融 合 ； 医学 图像 ； 升 小波 提 中 图分 类 号 ：Ｐ ９ ． １ 文 献标识 码 ： Ｔ ３ １４ Ａ 文章编 号 ： ０ ５０ ７ （０ ０）４— ０ ８ ０ ２ ９ －３ ３ ２ １ ０ ０ ５ — ４
第２卷 第４ ３ 期
石 家庄铁 道 大 学学报 （ 自然科 学版 ）
ｖ ．３ ｏ 。２ ． １ Ｎ ４
２１年１月 ＪＵ ＮＬ Ｆ Ｈ ＩＺＵＮ ＥＡ Ｎ ＥＳ Ｙ ＮＴＲＬ Ｃ ＮＥ Ｄ ２１ ０ ０ ２ Ｏ ＲＡ ＩＡＨ Ａ Ｇ Ｉ ＯＵＩ ＲＩ （ＡＵＡ Ｉ Ｃ） 。 ０ Ｏ ＳＪ ＴＤ Ｖ Ｔ ＳＥ ． ０
的偶 子集 预测 奇子 集 ， 测过 程 的表达 式为 预
（ ）＝ （ ）一Ｐ（ （ ） ｎ ｎ ｎ） （） ２
（ ） 新 。利用 计算好 的奇子集 对偶 子集 进行 更新 以保 持原有 特性 。构 造更 新算 子 对 预测 过程 得 ３更
到 的新 子集进 行更 新 ， 到 的新偶 子集 将保 持原有 数 据集 的重要 特性 。更 新过 程 的表达式 为 得
。
（） ｎ ）＝ Ｍｅｇ （ （ ｎ ， 卜 （ ＋１ ） ｒｅ Ｃ一 ２ ） Ｃ ｌ２ １ ）。
由上述 可知 ， 升小波 的重构 即是 分解 的逆 过程 。 提
Ｓｌ（卜（） ｐｉ Ｃ ｎ ）＝ （ 卜 （ ｎ ， （ ｎ＋１ ） ＝ （ （ ） （ ） ｔ ｃ ２ ） Ｃ一 ２ ） ｎ ，。 ） （） １
小波变换-提升格式的步骤
小波变换-提升格式的步骤1）步骤由提升构成第二代小波变换的过程分为如下3个步骤：(1) 分裂分裂(Split)是将原始信号sj = {sj，k }分为两个互不相交的子集和。
每个子集的长度是原子集的一半。
通常是将一个数列分为偶数序列ej-1和奇数序列oj-1，即Split(sj) = (ej-1, oj-1)其中，ej-1= {ej-1, k=sj, 2 k}，oj-1= {oj-1, k=sj, 2 k+1}。
(2) 预测预测(Predict)是利用偶数序列和奇数序列之间的相关性，由其中一个序列（一般是偶序列ej-1）来预测另一个序列（一般是奇序列oj-1）。
实际值oj-1与预测值P (ej-1)的差值dj-1反映了两者之间的逼近程度，称之为细节系数或小波系数，对应于原信号sj的高频部分。
一般来说，数据的相关性越强，则小波系数的幅值就越小。
如果预测是合理的，则差值数据集dj-1所包含的信息比原始子集oj-1包含的信息要少得多。
预测过程如下：dj-1= oj-1–P (ej-1)其中，预测算子P可用预测函数Pk来表示，函数Pk可取为ej-1中的对应数据本身：Pk (ej-1, k ) = ej-1, k=sj, 2 k或ej-1中的对应数据的相邻数据的平均值：Pk (ej-1) = (ej-1, k+ ej-1, k+1) / 2 =(sj, 2 k+ sj, 2 k+1) / 2或其他更复杂的函数。
(3) 更新经过分裂步骤产生子集的某些整体特征(如均值)可能与原始数据并不一致，为了保持原始数据的这些整体特征，需要一个更新(Update)过程。
将更新过程用算子U来代替，其过程如下：sj-1= ej-1+ U (d j-1)其中，sj-1为sj的低频部分；与预测函数一样，更新算子也可以取不同函数，如Uk (dj-1) = dj-1, k/ 2或Uk (dj-1) = (dj-1, k -1+dj-1, k) / 4 + 1 / 2。
基于小波变换的图像压缩方法研究毕业设计论文
基于小波变换的图像压缩方法研究摘要在当今社会，由于图像采集设备的广泛应用以及采集分辨率的逐步提高，图像数据呈指数增长，为了能够充分的利用图像数据，对图像和视频数据进行压缩成为亟待解决的问题并且成为图像处理领域研究的一个热点问题。
而小波变换因其优秀的时-频局部性特征和与人眼视觉系统多通道相吻合的多分辨率分解特性，在图像压缩领域得到了较为广泛的应用，基于小波变换的图像压缩编码算法成为了图像压缩领域中的一个最重要的分支，对其进行的研究和改进无疑是一项相对重要的任务和研究热点。
本文首先介绍小波分析及其性质,对尺度函数、小波母函数、多分辨分析等进行分析。
然后根据近些年发表的学术文章，分析并整理了第二代小波变换的理论与实现方法，分析了第二代小波变换的优点及这些优点在图像压缩中的应用。
还分析了图像小波变换后小波系数的特征，讨论了优化小波系数的小波基选择问题。
最后阐述了当前热门的EZW编码算法和SPIHT编码算法。
关键词：小波变换图像压缩小波基 EZW编码算法SPIHT 编码算法The research of image compression based on WaveletTransformAbstractWith the wide application of image acquisition device and the improvement of acquisition resolution, image data are growing rapidly. In order to utilize the image data effectively, the compression of image and video has become an urgent problem and has become a research hotpot in multimedia technology field. The wavelet transform technology becomes widely used in image compression fieldsfor its good time-frequency partial characteristic and wavelet multi-resolution characteristic matching well with the multichannel model of HVS. The image compression method based on wavelet transform has become an important branch of image compression，study and improve the algorithms of image compression based on wavelet is not only an important task but also a research hot.The thesis introduces the basic concepts of wavelet transform andmultiresolution analysis.Have analyzed and systemically summarized principles and realizing methods of the second generation wavelet, have analyzed advantages of the second generation wavelet transform and their applications in image compression. Characteristics of wavelet coefficients after wavelet transform are analyzed, discussed the optimal wavelet coefficients ofthe wavelet base selection problem. Finally elaborated the current popular EZW coding and SPIHT coding algorithm.Keywords：Wavelet transform Image compression Wavelet EZW coding algorithm SPIHT coding algorithm目录1绪论1.1 引言1.2小波的定义1.3小波的发展历史1.4图像压缩的基本方法及现状2 第一代小波分析的基本理论2.1第一代小波的性质与特点2.2 连续小波变换2.3 离散小波变换2.4 二维小波3 第二代小波分析的基本理论3.1 提升算法的基本方法3.2 Lazy提升3.3提升算法的过程3.4提升变换与第一代小波变换的比较4 基于小波变换的图像压缩方法4.1 图像压缩中小波基的选择问题4.2 EZW编码方法4.2.1 EZW编码方法的基本思想4.2.2 EZW算法实现的一般步骤4.3 SPIHT编码方法4.3.1 SPIHT编码方法的原理4.3.2 SPIHT算法的实现过程4.4 实验结果及结论5 总结与展望1绪论1.1引言科学研究表明，在人类从外界获取的信息中,有80%以上是来自视觉感知的。
5-3提升小波在DM642上的实现与优化
5/3提升小波在DM642上的实现与优化提升小波变换不仅具有传统小波多分辨率的优点，而且简化了运算，便于硬件实现，因此在数字提升算法[1]是由Sweldens 等在Mallat 算法的基础上提出的，也称为第二代小波变换。
与Mallat 算法相比，提升算法不依赖傅立叶变换，降低了计算量和复杂度，运行效率相应提高。
由于具有整数变换及耗费存储单元少的特点，提升算法很适合于在定点DSP 上实现。
小波提升算法的基本思想是通过基本小波逐步构建出一个具有更加良好性质的新小波。
其实现步骤为分解(split)、预测(predict)和更新(update)。
首先按照对原信号进行对称延拓得到新的x(n)。
分解是将数据分为偶数序列x(2n)和奇数序列x(2n+1)二个部分；预测是用分解的偶数序列预测奇数序列，得到的预测误差为变换的高频分量：H(n)=x(2n+1)-{[x(2n)+x(2n+2)]1}更新是由预测误差更新偶数序列，得到变换的低频分量：L(n)=x(2n) +{[H(n)+H(n-1)+2]2}计算过程如2.1 DM642 的两级CACHE 结构DM642 是一款专门面向多媒体处理领域应用的处理器，是构建多媒体通信系统的良好平台。
它采用C64xDSP 内核，片内RAM 采用两级CACHE 结构[4][5]，分为L1P、L1D 和L2。
L1 只能作为CACHE 被CPU 访问，均为16KB，访问周期与CPU 周期一致，其中L1P 为直接映射，L1D 为两路成组相关；L2 可以由程序配置为CACHE 和SRAM。
2.2 改进的算法结构传统的小波变换都是对整幅在这种方法中，SDRAM 中的一个数据块首先传输到L2 中，然后取到L1D 中进行水平方向的提升，再对该块进行垂直方。
基于二代小波提升算法的快速图像边缘检测
基于二代小波提升算法的快速图像边缘检测
叶鸿敏;沈永增;张敏捷
【期刊名称】《计算机测量与控制》
【年(卷),期】2007(15)7
【摘要】利用小波多尺度特性提取图像边缘是目前研究热点之一;通过比较第一代和第二代小波算法特点,引入二代小波提升结构的概念,提出了一种基于二代小波提升结构的快速图像边缘检测算法;对三次B样条小波基实现提升格式,通过计算大尺度下分解子图的模值和幅角来确定边缘;经过实验比较,能比经典的边缘检测算法得出更精确的边缘图像,同时通过与基于第一代小波算法的边缘检测比较,基于二代小波提升格式的边缘检测算法计算更快速,更高效.
【总页数】4页(P866-869)
【作者】叶鸿敏;沈永增;张敏捷
【作者单位】浙江工业大学,信息工程学院,浙江,杭州,310014;浙江工业大学,信息工程学院,浙江,杭州,310014;浙江工业大学,信息工程学院,浙江,杭州,310014
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.4
【相关文献】
1.基于小波提升算法的脑电节律提取 [J], 何敏;郑日荣;阮经文;刘攀
2.基于提升算法的整数小波变换在零树小波编码图像压缩中的应用 [J], 刘小林;谭建豪
3.基于提升算法的3阶Daubechies离散小波变换的FPGA实现 [J], 张敬明;万俊;梁瑞涛;胡清平
4.基于小波和快速模糊算法的医学图像边缘检测 [J], 刘莉;蒋加伏;唐贤瑛
5.基于提升算法的不可分离小波图像边缘检测 [J], 康志伟;廖剑利;何怡刚
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第二代小波提升步骤小波分析2009-10-12 15:14:31 阅读663 评论5 字号：大中小订阅l 提升原理小波提升是一种构造紧支集双正交小波的新方法。
1）步骤由提升构成第二代小波变换的过程分为如下3个步骤：(1) 分裂分裂(Split)是将原始信号sj = { sj，k }分为两个互不相交的子集和。
每个子集的长度是原子集的一半。
通常是将一个数列分为偶数序列ej-1和奇数序列oj-1，即Split (sj) = (ej-1, oj-1 )其中，ej-1 = { ej-1, k = sj, 2 k }，oj-1 = { oj-1, k = sj, 2 k +1}。
(2) 预测预测(Predict)是利用偶数序列和奇数序列之间的相关性，由其中一个序列（一般是偶序列ej-1）来预测另一个序列（一般是奇序列oj-1）。
实际值oj-1与预测值P (ej-1)的差值dj-1反映了两者之间的逼近程度，称之为细节系数或小波系数，对应于原信号sj的高频部分。
一般来说，数据的相关性越强，则小波系数的幅值就越小。
如果预测是合理的，则差值数据集dj-1所包含的信息比原始子集oj-1包含的信息要少得多。
预测过程如下：dj-1 = oj-1 – P (ej-1)其中，预测算子P可用预测函数Pk来表示，函数Pk可取为ej-1中的对应数据本身：Pk (ej-1, k ) = ej-1, k = sj, 2 k或ej-1中的对应数据的相邻数据的平均值：Pk (ej-1) = (ej-1, k + ej-1, k+1) / 2 = (sj, 2 k + sj, 2 k +1) / 2或其他更复杂的函数。
(3) 更新经过分裂步骤产生子集的某些整体特征(如均值)可能与原始数据并不一致，为了保持原始数据的这些整体特征，需要一个更新(Update)过程。
将更新过程用算子U来代替，其过程如下：sj-1 = ej-1 + U (d j-1)其中，sj-1为sj的低频部分；与预测函数一样，更新算子也可以取不同函数，如U k (dj-1) = dj-1, k / 2或U k (dj-1) = (dj-1, k -1 + dj-1, k) / 4 + 1 / 2。
P与U取不同的函数，可构造出不同的小波变换。
2) 分解与重构经过小波提升，可将信号sj分解为低频部分sj-1和高频部分dj-1；对于低频数据子集sj-1 可以再进行相同的分裂、预测和更新，把sj-1 进一步分解成dj-2和sj-2；…；如此下去，经过n次分解后，原始数据sj的小波表示为{sj-n, dj-n, dj-n+1, …, dj-1}。
其中sj-n代表了信号的低频部分,而{dj-n, dj-n+1, …, dj-1}则是信号的从低到高的高频部分系列。
每次分解对应于上面的三个提升步骤——分裂、预测和更新：Split (sj) = (ej-1, oj-1 )，dj-1 = oj-1 – P (ej-1)，sj-1 = ej-1 + U (d j-1)小波提升是一个完全可逆的过程，其反变换的步骤如下：ej-1 = sj-1 - U (d j-1 )，oj-1 = dj-1 + P (ej-1)，sj = Merge (ej-1, oj-1 )下图是用提升方法进行小波分解和重构的示意图。
分解的三个步骤可以用替代的方式来计算：先将奇数序列更新(用偶数序列预测奇数序列)，然后用更新的奇数序列更新偶数序列。
大致过程如下：Split (sj) = (ej-1, oj-1 )，oj-1 -= P (ej-1 )，ej-1 += U (oj-1)其反变换过程也可以用替代的方式来计算：ej-1 -= U (oj-1)，oj-1 += P (ej-1 )，sj = Merge (ej-1, oj-1 )4）例子(1) 线性Haar小波变换取预测函数Pk (ej-1) = ej-1, k = sj, 2k更新函数Uk (d j-1) = dj-1, k / 2则得到线性Haar小波变换。
分解式如下：Split (sj) = (ej-1, oj-1 )d j-1, k = oj-1, k –Pk (ej-1) = oj-1, k –ej-1, k = sj, 2k+1 - sj, 2ksj-1, k = ej-1, k + Uk (d j-1) = sj, 2k + dj-1, k / 2 = (sj, 2k+1 + sj, 2k) / 2重构式如下：ej-1, k = sj-1, k - Uk (d j-1) = sj-1, k –dj-1, k / 2oj-1, k = d j-1, k + Pk (ej-1) = d j-1, k + ej-1, ksj = Merge (ej-1, oj-1 )(2) 线性小波变换取预测函数Pk (ej-1) = (ej-1, k + ej-1, k+1) / 2 = (sj, 2k + sj, 2k +2) / 2更新函数Uk (d j-1) = (dj-1, k -1 + dj-1, k) / 4则得到线性小波变换。
分解式如下：Split (sj) = (ej-1, oj-1 )d j-1, k = oj-1, k –Pk (ej-1) = oj-1, k –(ej-1, k + ej-1, k+1) / 2 = sj, 2k+1 - (sj, 2k + sj, 2k +2) / 2sj-1, k = ej-1, k + Uk (d j-1) = sj, 2k + (dj-1, k -1 + dj-1, k) / 4重构式如下：ej-1, k = sj-1, k - Uk (d j-1) = sj-1, k –(dj-1, k -1 + dj-1, k) / 4oj-1, k = d j-1, k + Pk (ej-1) = d j-1, k + (ej-1, k + ej-1, k+1) / 2sj = Merge (ej-1, oj-1 )实际上，提升算法是一种改善快速小波变换的方法。
单步的提升算法并不能用于所有的小波构造过程，事实上只有一些特殊的小波变换很容易用它构造，比如双正交小波。
不过，涉及有限滤波器(FIR)的所有小波或子带变换可用多个提升步骤来构造。
Daubechies和Sweldens 等已经证明，借助于因子化小波变换，所有小波的构造都能够用提升模式实现。
l 整数小波变换可以用提升方法来构造具紧支集的双正交小波，那么就可以通过对每一次滤波后的数据进行取整（用[·]表示）来实现整数小波变换，而且这种变换是完全可逆的，也就是完全重构数据。
Sweldens已经证明在提升的基础上可以进行整数集到整数集的小波变换,也就是说，一个整数集合通过小波变换得到的仍然是整数集合。
这就给数字图象的压缩编码带来了好处，由于不需要对变换后的系数进行量化，因此提供了实现无损压缩的可能。
下面试几个典型的整数小波变换的例子：1）S变换最简单的整数小波变换是S变换(S transform, S = sequential)，它是线性Haar小波变换的近似整数形式。
分解式如下：d j-1, k = sj, 2k +1 - sj, 2ksj-1, k = sj, 2k + [dj-1, k / 2]相当于对原更新函数取整。
重构式如下：sj, 2k = sj-1, k - [dj-1, k / 2]sj, 2k +1 = d j-1, k + sj, 2k2）S+P变换S变换之后，在低通系数sj-1, k的基础上进行线性预测，以产生新的高通系数d j-1, k ，这就是S+P变换族(S+P family of transform , S+P = sequential plus prediction)。
分解式如下：sj-1, k = sj, 2k + [ vk / 2]d j-1, k = vk + [tk + 1/2]其中vk = sj, 2k +1 - sj, 2ktk =α-1 (sj-1, k -2 - sj-1, k -1) +α0 (sj-1, k -1 - sj-1, k ) +α1 (sj-1, k - sj-1, k +1) +β-1 v k +1 例如，取参数如下表所示。
其中（1）S变换：sj-1, k = sj, 2k + [ vk / 2] = sj, 2k + [(sj, 2k +1 - sj, 2k) / 2]d j-1, k = vk = sj, 2k +1 - sj, 2k其分解与重构式同上1)。
（2）2/6变换：分解：sj-1, k = sj, 2k + [ vk / 2] = sj, 2k + [(sj, 2k +1 - sj, 2k) / 2]d j-1, k = vk + [(sj-1, k -1 - sj-1, k ) / 4 + (sj-1, k - sj-1, k +1) / 4 +1/2]= (sj, 2k+1 - sj, 2k) +[(sj-1, k -1 - sj-1, k +1) / 4 + 1/2]即：vk = sj, 2k +1 - sj, 2ksj-1, k = sj, 2k + [ vk / 2]d j-1, k = vk + [(sj-1, k -1 - sj-1, k +1) / 4 + 1/2]重构：uk = [(sj-1, k -1 - sj-1, k +1) / 4 + 1/2]sj, 2k = [(2 sj-1, k - d j-1, k + uk ) / 2] ?sj, 2k +1 = sj, 2k + d j-1, k - uk3）5/3变换d j-1, k = sj, 2k +1 - [(sj, 2k +2 - sj, 2k) / 2]sj-1, k = sj, 2k + [(dj-1, k + dj-1, k -1) / 4 + 1/2]4）9/7-M变换d j-1, k = sj, 2k +1 - [((sj, 2k +4 + sj, 2k -2) –9 (sj, 2k +2 + sj, 2k)) / 16 + 1/2] sj-1, k = sj, 2k + [(dj-1, k + dj-1, k -1) / 4 + 1/2]。