高三一轮复习平面向量知识点整理

平面向量知识点整理

1、概念

（1）向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度． （2）单位向量：长度等于1个单位的向量． （3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有零向量)

④三点A 、B 、C 共线AC AB 、

共线

（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量．

（5）相反向量：长度相等方向相反的向量。a 的相反向量是-a

（6）向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. （7）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a . （ 2

2

2

222||,||a x y a a x y =

+==+。

） （8）零向量：长度为0的向量。a ＝O ⇔｜a ｜＝O . 【例题】1.下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是

它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若

ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______

（答：（4）（5））

2.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____

（答：13）；

2、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．

b

a

C

B

A

a b C C -=A -AB =B

⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()

a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=．

⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 3、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 【例题】

（1）①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；

③()()AB CD AC BD ---=_____ （答：①AD ；②CB ；③0）； （2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____

（答：）； （3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=，则合力123F F F F =++的终点坐标是

（答：（9,1））

4、向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；

②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；

当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．

⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()

a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．

【例题】（1）若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3

--→

--→

=-，则点P 的坐标为_______

（答：7

(6,)3

--）；

5、向量共线定理：向量()

0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使

b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，（0b ≠）22()(||||)a b a b ⇔⋅=。

【例题】 (1)若向量(,1),(4,)a x b x ==，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同

（答：2）；

（2）已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______

（答：4）；

6、向量垂直：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=-12120x x y y ⇔+=. 【例题】(1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA OB ⊥，则m =

（答：

32

）； （2）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是________

（答：(1,3)或（3，－1））；

（3）已知(,),n a b =向量n m ⊥，且n m =，则m 的坐标是________

（答：(,)(,)b a b a --或）

7、平面向量的数量积：

⑴()

cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，

a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；2

2a a a a ⋅==或a a a =⋅．③

a b a b ⋅≤．

⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()

a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()

a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． 若(),a x y =，则2

22a x y =+，或22a x y =+．

设()11,a x y =，()22,b x y =，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.

则a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2＝x 2y 1.

设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则

12122

2221

1

22

cos a b a b

x y

x y

θ⋅=

=

++；（注||||||a b a b •≤）

【例题】

（1）△ABC 中，3||=−→

−AB ，4||=−→

−AC ，5||=−→

−BC ，则=⋅BC AB _________

（答：－9）； （2）已知11

(1,),(0,),,2

2

a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4

π，则k 等

于____ （答：1）；

（3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____ 23）；