货币的时间价值相关公式推导

货币的时间价值相关公式推导

第一节 单利与复利

)

)(1(:

)1(:

:

计算贴现息是根据到期值来

单利现值

单利终值

单利利息

n i FV n i FV FV I FV PV n i PV n i PV PV I PV FV n i PV I n ⨯-=⨯⨯-=-=⨯+=⨯⨯+=+=⨯⨯=

n

i n n

n n

i n

n PVIF FV i FV PV FVIF PV i PV FV PV FV I i

I ,,)

1(:

)1(:

:

⨯=+=

⨯=+=-=⨯=复利现值复利终值

上一期本利和复利利息

当期

in

n in

i

n i

m

m m

m m

e

FV PV e PV e PV FV 。

i e m I m I EAR m I m m I EAR -∞

→∞

→==-+=-=-+=-+=∞→-+=.:

.)11(:

,1]1)/1[(lim ]1)/1[(lim .)

,11(1)/1(:

连续复利现值连续复利终值为连续复利

时

当为年名义利率次的利息年内复利计息元在连续复利

EAR 是EFFECTIVE ANNUAL RA TE ，有效年利率，推导如下。 下为R m :

。

；R

m R e

R m m

R e

Ae

m R A c

m R m m

m R n

R mn

m m c

c

C 是连续复利的利率次的利率指每年计息

时1

1)

1()1(lim -==+

==+

∞→

第二节 年金终值与年金现值

...

...),...(,,,1

13

12

1113

12

111++++++-n q

a q a q a q a a q q a q a q a a 等比级数

公比为等比数列

)

1(111)1(1

11

1111

1<-=

=

--=

--=

=∑

∞

=--n n n n

n n n q q

a q

a S q

q a a q

q a S n q a a 无穷递减等比级数的和

项和前通项公式

]

1

)1(.[

)

1(1])1(1.[,)1.(...)1.()1.(:

1

2

1

i

i A i i A FVA i A i A i A A FVA n

n

n n n -+=+-+-=

+++++++=-根据等比数列求和公式年金终值推导

])

1(11.[11

1]

)11(1.[1,)

1(...)

1()

1(:2

n

n

n

i i i A i

i i

A

PV i A i A i A PV +-=+-

+-+=

+++++

+=

根据等比数列求和公式

年金现值公式推导

]

1

)1(.[

:-+=n

i i FVA A 根据年金终值公式偿债基金

)

1.(1

)1(.

)1.()

1(1.)1(1]

)1(1).[1()1(...)1()1(:

2

i i

i A i i i A i i i A V i A i A i A V n

n

n

n n

n +-+=+-+-=+-+-+=++++++=预付年金终值

)1].()

1(11.[1111)

11(

1.

11

1)

11(

1.

)

1(1....)

1(1.11.

:01

2

0i i i i A i

i i i

A i

i A V i A i A i A A V n

n

n

n ++-=+-

+++-=+-

+-=+++++++=-预付年金现值

i

A PVA i n i

i A PVA n n

n

n =

+∞→+-

=的极限为零时根据

现值没有终值所以没有终止的时间永续年金

)

1(1)1(11.:.

,,:

)

.(..:.

,,0,,0m

i n

m i m

i n

i PVIFA PVIFA

A V PVIFA PVIFA

A V -==+延期年金现值金类似延期年金终值与普通年

n

A V r g g

r g A V n g

r r g g A r

g r

r

r g r g

A r

g r g r

g A r g A r g A r g A V n

n n

n n

n n

n .,1.

,)1()1(1).

1.(1111)1()1(1.

11.

111)1()1(111.

...

)

1()1(.

...)

1()1(.

11.

:

002

20==-+=∞→-++-

+=++-

++++-

++=++-

++-

++=++++++++++=时时固定增长率年金现值

第四节 货币时间价值的运用

)

()1(.

)

1()1(.

])

1()1(1)[1(:

0002

10n n n

n n

n g r g r g D g

r r g g D V V V V -++++-++-+=

+=两阶段股票增长模型