2019年高考数学(人教a版,理科)题库：直线与圆、圆与圆的位置关系(含答案)
备战2019高考数学黄金100题解读与扩展系列之直线与圆：专题六 圆与圆的位置关系(含解析)
I ．题源探究·黄金母题【例1】已知圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：224420x y x y +---=，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系．【解析】（法一）圆1C 与圆2C 的方程联立得到方程组22222880,4420.x y x y x y x y ⎧+++-=⎪⎨+---=⎪⎩①②①-②得210x y +-=， ③由③得12xy +=．把上式代入①并整理得2230x x --=． ④ 方程④的判别式()()22413160∆=--⨯⨯-=>，所以方程④有两个不等的实数根,即圆1C 与圆2C 相交．（法二）把圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ： 224420x y x y +---=，化为标准方程，得()()221425x y +++=与()()222210x y -+-=．圆1C 的圆心是点()1,4--，半径长15r =； 圆2C 的圆心是点()2,2，半径长2r =． 圆1C 与圆2C 的连心线的长为=圆1C 与圆2C的半径长之和为125r r +=+，半径长之差为125r r -=-而55<<，即1212r r r r <<-+，所以圆1C 与圆2C 相交，它们有两个公共点A B 、．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2019年山东高考】已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是M 与圆N ： 22(1)(1)1x y -+-=的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离【答案】B【例3】﹙2019年湖南高考文科﹚若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ）A ．21B ．19C ．9D ．-11 【答案】C 【解析】圆2C 配方得()()223425x y m-+-=-，则圆心为()23,4C ，且由250m ->，得25m <．根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)1=+9m ⇒=,故选C.【例4】﹙2019年北京高考卷﹚已知圆C ：()()22341x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（ ）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点00（，）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有公共点即可．由题意知两圆的圆心距5d ==，根 据两圆有公共点可知|1|51m m -≤≤+所以46m ≤≤， 所以m 的最大值为6，故选B ．【例5】【2019重庆高考卷】已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点,则PM PN+的最小值为（ ） （ ）A ．4-B 1-C ．6-D 【答案】A【解析】两圆的圆心和半径分别为12(2,3),(3,4)C C ，121,3r r ==，两圆相离．()()221:231C x y -+-=关于x的对称圆的方程为()()223:231C x y -++=，圆心3(2,3)C -，所以13PC PC =，所以动点P 到圆心 32(2,3),(3,4)C C -的距离之和的最小值为2C ==，所以PM PN+的最小值为23134C C --=-，故选A ．【例6】【2019高考山东高考卷】圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 【答案】B【解析】两圆的圆心分别为)0,2(-，)1,2(，半径 分别为2=r ，3=R 两圆的圆心距离为17)10()22(22=-+--，则r R r R +<<-17，所以两圆相交，故选B ．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修二第129页例3．【母题评析】本题判断已知方程的两个圆的位置关系，解答时用直接法求出两圆圆心距的大小，然后与两圆的半径和与差进行比较来解答的．对于高考对两圆位置关系考查难度不大前提下，此类题具有较强的代表性，命题人常常以此为母题加以改造命制新的高考试题．【思路方法】本题解答主要是利用几何法判断两个圆的位置关系，即直接法求出两圆圆心距的大小，然后与两圆的半径和与差进行比较．【命题意图】本类题主要考查两圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力．【考试方向】这类试题在考查题型上，主要是单独命题在选择题与填空题中考查，不可能在解答题中出现，难度偏下．【难点中心】比较圆心距与两个圆的半径和与半径差的大小关系，特别是遇到参数问题时，如何建立等式或不等式是一个难点． III ．理论基础·解题原理考点一 几何法判断圆与圆的位置关系考点二 代数法判断两圆位置关系判断圆1C 与圆2C 的方程组221112222200x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩解的个数：①若有两组实数解，则圆1C 与圆2C 相交；②若有一组实数解，则圆1C 与圆2C 相切（外切与内切）；③若无实数解，则圆1C 与圆2C 相离（外离与内含）．考点三 圆系方程方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=与2C ：222220x y D x E y F ++++＝的交点的圆系方程C ：22111x y D x E y F +++++222220()x y D x E y F λ++++=(1λ≠-)．当1λ=-时，12()D D x -＋1(E －2120)E y F F +-＝表示两圆的公共弦所在直线方程．IV ．题型攻略·深度挖掘 【考试方向】高考对本部分知识的考查主要以选择题、填空题的形式出现，试题难度较易，通常考查两个已知圆的位置关系、已知位置关系求参数、两个圆的公共弦问题、两个圆的公切线问题、与两圆相关的轨迹等主要问题． 【技能方法】若判断两圆位置关系一般只须利用两点间的距离公式求两圆心间的距离d ，然后比较与两圆半径和12r r +与差12r r -的大小关系；若求参数或圆方程问题一般是利用两圆位置关系建立方程(组)或不等式（组）求解． 【易错指导】（1）涉及到两圆的公切线与公共弦等问题时，易忽视相关直线的斜率存在与不存在而致错； （2）将由几何法得到的几何等式不能正确转化为代数等式而导致解题无法进行；（3）2222111222()(0)x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=表示过圆1C ： 221110x y D x E y F +++=+和2C ：222220x y D x E y F +++=+的交点的圆系方程，此圆系方程中不含有圆2C 的方程．如果在解题中不注意对圆2C 的方程进行验证．V ．举一反三·触类旁通考向1 圆与圆的位置关系的判断【例7】【2019江苏南京市三模】在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：()()()22310x a y a a -++-=>，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为___________．【答案】3【名师点拨】若判断两圆位置关系一般只须利用两点间的距离公式求两圆心间的距离d ，然后比较与两圆半径和与差的大小关系；若求参数或圆方程问题一般是利用两圆位置关系建立方程(组)求解． 【跟踪练习【2019黑龙江大庆一中下期开学考试】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（ ）A ．34B ．43C ．12D ．14【答案】A【解析】圆C 的方程为228150x y x +-+=，即22(4)1x y -+=，表示以(4,0)C 为圆心，半径等于1的圆，要使直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要2y kx =-和圆22(4)4x y -+=有公共点，即点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离为2d =≤，即2340k k -≤解 得403k ≤≤，则k 的最大值是43，故选A ．考向2 两圆的公共弦问题【例8】【2019届湖南省高三六校联考】已知圆2224250x y x y a +-++-=与圆 222(210)2210160x y b x by b b +---+-+=相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且满足22221122x y x y +=+，则b =________．【答案】53【解析】两圆公共弦AB所在直线方程为22(214)(22)5210160b x b y a b b -+++--+-=，设其中一圆的圆心为(2,1)C -．∵OA OB=，∴OC AB ⊥，∴1OC ABk k ⋅=-，得53b =．【方法点睛】本题解答的要点有二，一是通过两圆为方程得到它们公共弦所在直线的方程，把问题转化为直线与圆的位置关系；二是对条件“22221122x y x y +=+”的理解和应用，考查考生数形结合的意识，实质上表达了,A B 两点到原点的距离相等，这样通过圆的性质来解答，问题就变得容易了．【跟踪练习【2019重庆五区开学抽测】若圆224x y +=与圆22260x y ay -++=（0a >）的公共弦长为23，则a ＝__________.【答案】1考向3 两圆公切线问题【例9】【2019江苏清江中学考前一周双练】已知圆22:(2)1C x y +-=，D 为x 轴正半轴上的动点，若圆C 与圆D 相外切，且它们的内公切线恰好经过坐标原点，则圆D 的方程是___________．【答案】22(9x y -+= 【解析】设内公切线l 的方程为(0)y kx k =>，即0kx y -=，因为直线l 与圆C 相切，所以C 到直线l的距离1d ==，解得k =．直线CD的方程是2y x =+，令0y =，解得D坐标，4CD ==，所以圆D 的半径等于3，圆D 方程是22(9x y -+=． 【题型总结】两圆公切线问题常见两类题型：（1）求两个已知圆的公切线；（2）根据公切线方程求相关参数；（3）根据公切线的条件判断两圆位置关系，并求角相关问题．求解此类题的方法与求解直线和圆相切的方法基本是一样，只是涉及到两个圆的相切问题． 考向4 两圆位置关系中的最值问题【例10】【2019浙江诸暨市教学质检】）已知圆)0()1(:222>=+-r r y x C 与直线3:+=x y l ，且直线l 上有唯一的一个点P ,使得过P 点作圆C 的两条切线互相垂直，则=r _________；设EF 是直线l 上的一条线段，若对于圆C 上的任意一点Q ,2π≥∠EQF ,则EF的最小值是________．【答案】4+【解析】根据圆的对称性知直线l 上的唯一点P 与圆心C 所在直线必与直线l 垂直，则PC 所在直线的方程为(1)y x =--，即1y x =-+，与直线3y x =+联立求解得(1,2)P -，再根据对称性知过点(1,2)P -的两条切线必与坐标轴垂直，即为1x =-，2y =，易得2r =；由题意，知EF取得最小值时，一定关于直线1y x =-+对称，如图所示，因此可设以点(1,2)P -为圆心，以R 为半径的圆，即222(1)(2)x y R ++-=与圆C 内切时，EF 的最小值即为2R ，由相切条件易知22)4R =+=+．【名师点拨】数形结合法是求解析几何问题中最值问题常用方法，它可以将所涉及到的几何量及其相互间的关系直观的反映在图形上，此时常常可通过直观观察得到答案．【跟踪练习】【2019海南省文昌中学上期期末】在平面直角坐标系中，过动点P 分别作圆964:221=+--+y x y x C 与圆:2C 012222=++++y x y x 的切线),(为切点与B A PB PA ，若PB PA = 若O 为原点，则OP 的最小值为（ ）A ．2B ．54C ．53D ．5【答案】B【例11】点P 在圆0114822=+--+y x y x 上，点Q 在圆012422=++++y x y x 上，则||PQ 的最小值是（ ）A ．5B ．0C ． 5D ．5－【答案】C【解析】圆0114822=+--+y x y x 的圆心坐标为)2,4(M ，半径为31=R ；圆012422=++++y x y x 的圆心坐标为)1,2(--N ，半径为22=R ，且53||=MN ，则||PQ 的最小值为553-，故选C ．【方法提炼】圆问题中最值问题要考虑两个方向：（1）几何法，利用平面几何知识分析直线、圆心之间的距离关系、圆与圆的位置关系、图形的对称性；（2）代数法，也就是通过建立某些变量的关系表达式，然后结合基本不等式、配方法可求得最大（小）值． 【跟踪练习】已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（ ）A ．4-B 1-C ．6-D 【答案】A【解析】如图：如图圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标()32-，A ，半径为1，圆2C 的圆心坐标()43，，半 径为3，|PNPM +的最小值为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即：()()42531342322-=--++-,故选A ．考向4 与圆有关的轨迹问题 【例12】已知圆()221:21C x y ++=，圆222:4770C x y x +--=，动圆P 与圆1C 外切，与圆2C 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程是___________．【答案】2212521x y +=【方法点睛】与圆相切有关的轨迹问题，通常利用相切条件确定出动点满足的几何条件，此条件常常与椭圆、双曲线、抛物线相关，即主要是结合圆锥曲线的定义来解．【跟踪练习】已知动圆M 与圆1C ：2251)6(x y ++=外切，与圆2C ：2251)6(x y -+=内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________．【答案】221(0)169x y x -=>【解析】设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，由圆1C 方程可知圆心()15,0C -,半径14r =，由圆2C 方程可知圆心()25,0C ，半径24r =．因为圆M 与圆1C 外切，所以11MC r r =+．因为圆M 与圆2C 内切，所以22MC r r =-，所以()()1212128MC MC r r r r r r -=+--=+=，即128MC MC -=，又因为12810C C <=，所以点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的右支，此时28,5a c ==，所以4a =， 2229b c a =-=，所以点M 的轨迹方程是221(0)169x y x -=>．考向6 圆系方程的应用【例13】圆心在直线40x y --=上，并且经过圆22640x y x ++-=与圆2x +2y 6y +28-=0交点的圆的方程为___________．【答案】227320x y x y +-+-=【跟踪练习】经过点22M -（，）以及圆2260x y x +-=与圆224x y +=交点的圆的方程为___________．【答案】22320x y x +--= 【解析】设过圆2260x y x +-=与圆224x y +=交点的圆的方程为 2222640x y x x y λ+-++-=（）…①．把点M 的坐标22-（，）代入①式得1λ=，把1λ=代入①并化简得22320x y x +--=，∴所求圆的方程为：22320x y x +--=． 考向6 直线与圆和其它知识的交汇【例14】若圆221:0C x y ax ++=与圆222:2tan 0C x y ax y q +++=都关于直线210x y --=对称，则sin cos q q =（ ）A ．25B ．25-C ．637-D ．23-【答案】B【解析】圆1C 的圆心为,02a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,2C 的圆心为tan ,2a θ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,圆心都在直线210x y --=,所以有 tan 10,2102a a θ--=-+-=,解得222s i n c o st a n21,t a n 2,s i n c o s s i n c o s t a n 15a θθθθθθθθθ⋅=-=-⋅===-++. 【思维点睛】解答圆与其它知识的交汇题通常考虑两种途径：（1）利用两圆位置关系的将问题转化与之交汇相关的数学结论，再求解；（2）利用与之交汇的知识将问题转化为与两圆位置关系相关的数学结论，再求解．【跟踪练习】两个圆2221240()C x y ax a a +++-=∈R ：与2222210()C x y by b b +--+=∈R ：恰有三条公切线，则a b +的最小值为（ ）A 、6-B 、3- C、- D 、3【答案】C。
人教A版(2019)选择性必修第一册《直线与圆、圆与圆的位置关系》提升训练(含解析)
人教A版（2019）选择性必修第一册《2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系》提升训练一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）若a2+b2=43c2，则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为()A. 2B. 1C. 34D. 122.（5分）方程(a−1)x−y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线与圆(x+1)2+y2=25的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 不能确定3.（5分）两内切圆的半径长是方程x2+px+q=0的两根，已知两圆的圆心距为1，其中一圆的半径为3，则p+q=()A. 2或4B. 4C. 1或5D. 54.（5分）若圆P的半径为1，且经过坐标原点，过圆心P作圆(x−4)2+(y−3)2=4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为()A. √3B. 2√3C. 2D. 45.（5分）直线4x−3y=0被圆(x−1)2+(y−3)2=10所截得的弦长为()A. 3B. 3√2C. 6D. 6√26.（5分）以直线ax−y−3−a=0(a∈R)经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是()A. x2+y2−2x+6y+6=0B. x2+y2+2x−6y+6=0C. x2+y2+6x−2y+6=0D. x2+y2−6x+2y+6=07.（5分）圆x2+y2−2x−8y+13=0截直线ax+y−1=0所得的弦长为2√3，则a=()A. −43B. −34C. √3D. 28.（5分）已知A(−4,0)，B(0,4)，点C是圆x2+y2=2上任意一点，则ΔABC面积的最大值为()A. 8B. 4√2C. 12D. 6√2二、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）已知圆C1：(x+1)2+y2=1和圆C2：(x−4)2+y2=4，过圆C2上任意一点P作圆C1的两条切线，设两切点分别为A，B，则()A. 线段AB的长度大于√2B. 线段AB的长度小于√3C. 当直线AP与圆C2相切时，原点O到直线AP的距离为65D. 当直线AP平分圆C2的周长时，原点O到直线AB的距离为4510.（5分）已知圆O与直线l1：y=2x−4和l2：y=2x+6共有两个公共点，则圆O的方程可以是()A. (x−1)2+(y−3)2=5B. (x−1)2+(y−2)2=5C. (x−1)2+(y+3)2=25D. (x−1)2+(y−10)2=2511.（5分）已知圆C：x2+y2−4x=0和一点M(3,0)()A. 点M在圆C外面B. 过点M的圆C的最短弦所在直线方程是x=3C. 过点M作倾斜角为150∘的直线l被圆C所截得的弦长为√15D. 过点N(−2,0)作斜率为k的直线与圆C有公共点，则k∈[−√33,√3 3]12.（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为x2+(y−1)2=4，过点P(x0,y0)存在直线l被圆C截得的弦长为2√3，则下列点P的坐标满足条件的是()A. (0,0)B. (0,1)C. (12,1) D. (2,0)13.（5分）已知圆C：(x−2)2+(y−2)2=25，直线l：3x−4y+m=0.圆C上恰有3个点到直线l的距离为3.则m的值为()A. −13B. −8C. 12D. 17三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）(1)已知圆O：x2+y2=1，圆M：(x−a)2+(y−a+4)2=1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°.则实数a的取值范围为________.(2)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2−8x+15=0，若直线y=kx−2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________15.（5分）已知M(3,0)是圆x2+y2−8x−2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是______．16.（5分）过点(1,0)且与直线x-√2y+3=0平行的直线l被圆(x-6)2+(y-√2)2=12所截得的弦长为________.17.（5分）若直线l:ax+by−5=0(ab>0)恒过圆C：(x−3)2+(y−2)2=25的圆心，则3a +2b的最小值为__________.18.（5分）在面直角坐系Oy中，圆C程为(x−22+(−3)2=9，若过点M03)的线与交于PQ点(其中点P第二象)且∠PM=2∠PQO，则点Q的横坐标为 ______ ．四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知直线l1:x−y−2=0与圆C:x2+y2−2x+6y=0交于A,B两点，直线l2过点(1,−3)且l2//l1，l2与圆C交于M,N两点.求由点A,B,M,N构成四边形的面积.20.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1：x2+y2−mx−14y+60=0，三个点A(2,4)、B、C均在圆O1上，(1)求该圆的圆心O1的坐标；(2)若OA →=BC →，求直线BC 的方程；(3)设点T(0,t)满足四边形TABC 是平行四边形，求实数t 的取值范围． 21.（12分）已知圆C ：x 2+8x +y 2=0，直线l ：mx +y +2m =0.(1)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |=2√14，求直线l 的方程. (2)已知点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上是否存在两个定点M ，N ，使得|PM ||PN |=12若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，说明理由.22.（12分）已知圆C ：x 2+y 2−4x +ay +1=0(a ∈R )，过定点P(0,1)作斜率为−1的直线交圆C 于A 、B 两点，P 为AB 的中点． (1)求实数a 的值；(2)从圆外一点M 向圆C 引一条切线，切点为N ，且有MN =√2MP ，求MN 的最小值． 23.（12分）在位于城市A 南偏西60°相距100海里的B 处，一股台风沿着正东方向袭来，风速为120海里/小时，台风影响的半径为r(r >50)海里： (1)若r =70，求台风影响城市A 持续的时间(精确到1分钟)？ (2)若台风影响城市A 持续的时间不超过1小时，求r 的取值范围．答案和解析1.【答案】B;【解析】解：因为a 2+b 2=43c 2，圆x 2+y 2=1， 所以圆心O(0,0)到直线ax +by +c =0的距离d =√a 2+b2=√32， 所以直线ax +by +c =0被圆x 2+y 2=1所截得的弦长为l =2√r 2−d 2=2×12=1. 故选：B.利用圆的性质及弦长公式即求．此题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．2.【答案】C; 【解析】该题考查直线过定点问题，考查直线与圆位置关系的判定，是基础题． 求出直线所过定点，再由定点在圆内得答案．解：由(a −1)x −y +2a +1=0，得a(x +2)−x −y +1=0， 联立{x +2=0−x −y +1=0，解得{x =−2y =3．∴直线(a −1)x −y +2a +1=0过定点(−2,3)， ∵(−2+1)2+32=10<25，∴点(−2,3)在圆(x +1)2+y 2=25的内部，则直线(a −1)x −y +2a +1=0与圆(x +1)2+y 2=25的位置关系是相交． 故选：C ．3.【答案】C;【解析】解：根据题意，设两个圆的半径为R ，r ，且R =3， 则有|R −r|=1，解可得r =2或4，又由R 、r 是方程x 2+px +q =0的两根，则{R +r =−p Rr =q ，当r =2时，p =−5，q =6，此时p +q =1， 当r =4时，p =−7，q =12，此时p +q =5， 故p +q =1或5， 故选：C ．根据题意，设两个圆的半径为R ，r ，且R =3，由圆心距求出r 的值，结合一元二次方程根与系数的关系分析可得答案．此题主要考查圆与圆的位置关系，涉及一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．4.【答案】B;【解析】解：由圆P的半径为1，且经过坐标原点，可得圆心P的轨迹为x2+y2=1，又圆C：(x−4)2+(y−3)2=4，其圆心C(4,3)，半径r=2，过点P作圆C：(x−4)2+(y−3)2=4的切线，切点为Q，则|PQ|=√|PC|2−4，当|PC|最小时，|PQ|最小，又由点P在单位圆上，则|PC|的最小值为|OC|−1=√9+16−1=4，则|PQ|的最小值为√16−4=2√3．故选：B．由已知可得P的轨迹，画出图形，求得|PC|的最小值，则答案可求．该题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．5.【答案】C;【解析】此题主要考查直线与圆相交的弦长.先根据圆的方程求得圆的圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得被截的弦的一半，则弦长可求.=1，解：因为圆心到直线的距离为d=|4×1−3×3|5所以l=2√r2−d2=2√10−1=6，故选C.6.【答案】A;【解析】解：由题可知，直线过定点(1,−3)，所以圆方程为(x−1)2+(y+3)2=4，即x2+y2−2x+6y+6=0.故选：A.求出圆的圆心，然后写出圆的方程即可．此题主要考查直线系方程的应用，圆的方程的求法，是基础题．7.【答案】A;【解析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．此题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，正确运用勾股定理是解答该题的关键．解：圆的方程可化为(x−1)2+(y−4)2=4，则由垂径定理可得点到直线距离为√22−(√3)2=1，圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：d=√a2+1=1，化简可得(a+3)2=a2+1，解得a=−43.故选A.8.【答案】C;【解析】解：根据题意，A(−4,0)，B(0,4)，则直线AB的方程为x−y−4=0，且|AB|=√16+16=4√2，圆x2+y2=2的圆心为O，其坐标为(0,0)，半径r=√2，则O到直线AB的距离d=√1+1=2√2，要求ΔABC面积的最大值，则点C到直线AB的距离最大，又由点C是圆x2+y2=2上任意一点，则C到直线AB距离的最大值为d+r=2√2+√2=3√2，故ΔABC面积的最大值为12×3√2×4√2=12；故选：C．根据题意，由A、B的坐标求出直线AB的方程以及|AB|的值，由圆的方程分析圆心的坐标以及圆的半径，分析可得要求ΔABC面积的最大值，则点C到直线AB的距离最大，由点与圆的位置关系分析可得C到直线AB距离的最大值，计算即可得答案．该题考查点到直线的距离公式的应用，涉及三角形面积的计算，属于基础题．9.【答案】AD;【解析】解：如图示：C 1(−1,0)，C 2(4,0)，根据直角三角形的等面积方法可得，|AB|=2⋅|PA|⋅|AC 1||PC 1|=2⋅√|PC 1|2−1|PC 1|=2√1−1|PC 12，由于|PC 1|∈[3,7]， 故2√1−1|PC 1|2∈[4√23,8√37]， 由于4√23>√2,8√37>√3，故A 正确，B 错误；当直线AP 与圆C 2相切时，由题意可知AP 斜率存在， 故设AP 方程为y =kx +m ， 则有|−k+m|√1+k 2=1,|4k+m|√1+k 2=2，即|4k +m|=2|k −m|，即2k =−3m 或6k =m ，设原点O 到直线AP 的距离为d ，则d =|m|√1+k2=|m||k−m|， 当2k =−3m 时，d =25；当6k =m 时，d =65，故C 错误； 当直线AP 平分圆C 2的周长时，即直线AP 过点C 2(4,0)，AP 斜率存在，设直线AP 方程为y =t(x −4)，即tx −y −4t =0， 则|−t−4t|√1+t 2=1，即|5t|√1+t 2=1,|t|√1+t 2=15，故原点O 到直线AP 的距离为d ′，则d ′=|4t|√1+t2=45，故D 正确； 故选：AD.根据圆的切线的几何性质可求得|AB|=2√1−1|PC 1|2，确定|PC 1|∈[3,7]，可求得√1−1|PC1|2∈[4√23,8√37]，即可判断A ，B ；当直线AP 与圆C 2相切时，设直线AP 的方程，利用和圆相切可得|4k +m|=2|k −m|，继而求得原点O 到直线AP 的距离，判断C ；当直线AP 平分圆C 2的周长时，直线AP 过点C 2(4,0)，设直线AP 方程，可得|t|√1+t2=15，由此求得原点O 到直线AP 的距离，判断D.此题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．10.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查的是直线与圆的位置关系，关键是找出圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，属于中档题.根据各个选项给出的圆的方程，分别计算出圆心到直线的距离，再与圆的半径进行比较，即可找出符合条件的圆的方程．解：直线l1：y=2x−4和l2：y=2x+6化为一般式为：l1：2x−y−4=0和l2：2x−y+6=0，两直线平行，A：(x−1)2+(y−3)2=5，圆心为(1,3)，半径为√5，圆心到直线l1：2x−y−4=0的距离为√5=√5，直线l1：2x−y−4=0与圆相切，圆心到直线l2：2x−y+6=0的距离为√5=√5，直线l2：2x−y+6=0与圆相切，共有两个公共点，故A正确；B:(x−1)2+(y−2)2=5，圆心为(1,2)，半径为√5，圆心到直线l1：2x−y−4=0的距离为√5=4√55<√5，直线l1：2x−y−4=0与圆相交，有两个交点，圆心到直线l2：2x−y+6=0的距离为√5=6√55>√5，直线l2：2x−y+6=0与圆相离，无公共点，故B正确；C:(x−1)2+(y+3)2=25，圆心为(1,−3)，半径为5，圆心到直线l1：2x−y−4=0的距离为√5=√55<5，直线l1：2x−y−4=0与圆相交，有两个交点，圆心到直线l2：2x−y+6=0的距离为√5=11√55<5，直线l2：2x−y+6=0与圆相交，有两个交点，故C错误；D:(x−1)2+(y−10)2=25，圆心为(1,10)，半径为5，圆心到直线l1：2x−y−4=0的距离为√5=12√55>5，直线l1：2x−y−4=0与圆相离，无交点，圆心到直线l2：2x−y+6=0的距离为√5=2√55<5，直线l2：2x−y+6=0与圆相交，有两个交点，故D正确.故选ABD.11.【答案】BCD;【解析】此题主要考查点与圆、直线与圆的位置关系，属于一般题.将点M坐标代入圆的方程即可判断A;利用过点M的圆C的最短弦与CM垂直即可判断B；利用弦长公式即可判断C；利用圆心到直线的距离小于等于半径即可判断D.解：对于A、因为32+02−4×3<0，所以点M在圆C内部，故A错误；对于B 、因为圆C 方程可化为(x −2)2+y 2=4，圆心为C(2,0)，半径为r =2， 由于过点M 的圆C 的最短弦与CM 垂直，又k CM =0，则该弦所在直线的斜率不存在， 故对应的方程为x =3，故B 正确； 对于C 、l 的方程为y =−√33x +√3，即√3x +3y −3√3=0， 圆心C 到l 的距离为d =√3−3√3|√(√3)2+32=12，故弦长为2√r 2−d 2=2√22−(12)2=√15，故C 正确；对于D 、因为过点N(−2,0)作斜率为k 的直线方程为y =kx +2k ，即kx −y +2k =0， 因为直线与圆C 有公共点，则√k 2+(−1)2⩽2，解得k ∈[−√33,√33]，故D 正确， 故选BCD .12.【答案】AD; 【解析】此题主要考查直线与圆相交，属基础题目， 利用弦心距、半弦长、半径满足勾股关系得解.解：圆C 的方程为x 2+(y −1)2 = 4， ∴圆心C(0,1)，半径为2，由题意过点P 存在直线l 被圆C 截得的弦长为2√3， 设圆心C 到直线l 的距离为d ， 则d 2=r 2−(2√32)2，d 2=4−3=1，则点P 到点C 的距离不小于1，∴满足条件的点P 的坐标 (0,0)或 (2,0)， 故选AD .13.【答案】BC;【解析】解：圆C ：(x −2)2+(y −2)2=25的圆心为C(2,2)，半径r =5， 因为圆C 上恰有3个点到直线l 的距离为3. 所以圆心C 到直线l 的距离为r −3=2， 所以√32+42=2，整理得|m −2|=10，解得m =12或m =−8. 故选：BC.根据圆的性质，得到圆心到直线l 的距离等于2，由点到直线的距离公式求解即可． 此题主要考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．14.【答案】(1)[2−√22,2+√22] (2)43; 【解析】(1)此题主要考查了轨迹思想以及圆与圆的位置关系的应用．其中条件“∠APB =60°”就是用来确定点P 的轨迹的，一方面，根据点满足∠APB =60°，从而得到点P 在动圆x 2+y 2=4上，，另一方面，P 也在圆M 上，从而将所求解的问题转化为研究圆与圆的位置关系的问题，通过它们的位置关系，就可以求出变量a 的取值范围．解：(1)因为圆M 上存在点P ，使经过点P 作圆O 的两条切线， 切点为A ，B ，使∠APB =60°，则∠APO =30°， 所以OP =2，即点P 在圆x 2+y 2=4上，又点P 在圆M 上，圆M 圆心为(a,a −4)，半径为1， 于是2−1⩽√a 2+(a −4)2⩽2+1， 即1⩽√a 2+(a −4)2⩽3， 解得实数a ∈[2−√22,2+√22]. 故答案为[2−√22,2+√22]. (2)此题主要考查根据圆和圆的位置关系求解参数的取值范围的问题．本题关键在于利用圆和圆有公共点建立关于k 的不等式，再利用直线上至少存在一点，从而将问题转化为不等式有解的问题．解：由题意知圆C 的方程可化为(x −4)2+y 2=1，则圆心C(4,0). 设直线上一点的坐标为(x,kx −2)， 则由题意得√(x −4)2+(kx −2)2⩽2， 整理得(k 2+1)x 2−(8+4k )x +16⩽0，此不等式有解的条件是Δ=(8+4k )2−64(k 2+1)⩾0， 解得0⩽k ⩽43，故最大值为43. 故答案为43.15.【答案】x-y-3=0;【解析】解：把圆的方程x 2+y 2−8x −2y +10=0化为标准方程得： (x −4)2+(y −1)2=7， 所以圆心坐标为(4,1)，又M(3,0)，根据题意可知：过点M 最长的弦为圆的直径， 则所求直线为过圆心和M 的直线，设为y =kx +b ， 把两点坐标代入得：{4k +b =13k +b =0，解得：{k =1b =−3，则过点M 最长的弦所在的直线方程是y =x −3，即x −y −3=0． 故答案为：x −y −3=0由M 为已知圆内一点，可知过M 最长的弦为过M 点的直径，故过点M 最长的弦所在的直线方程为点M 和圆心确定的直线方程，所以把圆的方程化为标准，找出圆心坐标，设出所求直线的方程，把M 和求出的圆心坐标代入即可确定出直线的方程．该题考查了直线与圆的位置关系，要求学生会将圆的方程化为标准方程，会利用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意得出所求直线为过圆心和M 的直线是本题的突破点．16.【答案】6; 【解析】此题主要考查直线的点斜式方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式. 【解析】解：设与直线x −√2y +3=0平行的直线方程为x −√2y +c =0， 将点(1,0)代入直线x −√2y +c =0得c =−1， 所以该直线方程为x −√2y −1=0，圆(x −6)2+(y −√2)2=12的圆心C 为(6,√2)，半径r =2√3， 所以点C 到直线x −√2y −1=0的距离为d =√2×√2−1√1+2=√3=√3，所以被截得的弦长为2√r 2−d 2=2×√12−3=6， 故答案为6.17.【答案】5 ; 【解析】此题主要考查直线和圆的位置关系，注意运用直线过圆心，考查乘1法和均值不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．求得圆的圆心，代入直线方程，可得3a +2b =5(a 、b >0)，即有3a +2b =15(3a +2b)(3a +2b )，计算、运用基本不等式，即可得到最小值．解：圆C ：(x −3)2+(y −2)2=25的圆心为(3,2)，由题意可得3a+2b=5(a、b>0)，则3a +2b=15(3a+2b)(3a+2b)=15(13+6ab+6ba)⩾15(13+2√6ab)=15(13+12)=5.当且仅当a=b=1时，取得最小值5.故答案为5.18.【答案】1;【解析】解：图所示，以MO=MQ=，解x=1，与圆的方(x−2)2+(y3)29联立，以点Q的横标为1．则点M(3)为圆，r=3为半径的圆方程为消y得：−4x+=0，x2+(−3)2=，据题意画出形，结图得出点Q在以点为心，3为半上，写出圆的方程，与圆C的方联立去y求得x的值即可．本题查了直线与圆的程应用问题，也考了化法与数形结合的应问题，是基题目．19.【答案】解：由题知，设直线l2:x−y+m=0，代入点(1,−3)得m=−4，即直线l2:x−y−4=0，∵圆C:x2+y2−2x+6y=0，化为(x−1)2+(y+3)2=10，∴圆心坐标为(1,−3)，半径为√10，则直线l2过圆心(1,−3)，所以|MN|=2√10，又圆心C(1,−3)到直线l1:x−y−2=0的距离为d=√2，∴|AB|=2√(√10)2−(√2)2=4√2，∵l 2//l 1 ∴l 1到l 2的距离√12+(−1)2=√2，∴由A,B,M,N 构成四边形为梯形，且面积S =12×(4√2+2√10)×√2=4+2√5.;【解析】此题主要考查两条直线平行的判定，点到直线的距离公式，两平行直线间的距离，直线与圆的位置关系及判定，属于中档题．先由直线l 2过点(1,−3)且l 2//l 1，求出l 2的方程，再分别求出弦长|AB |，|MN |，及两平行线间的距离，即可求由A,B,M,N 构成梯形的面积.20.【答案】解：(1)将A(2,4)代入圆O 1：x 2+y 2−mx −14y +60=0得4+16−2m −56+60=0，解得m =12， ∴O 1(6,7)，半径r =5．(2)∵OA →=BC →，∴k BC =k OA =2，且|BC |=|OA |=2√5， 设直线BC ：y =2x +b ，即2x −y +b =0， 圆心O 1到直线2x −y +b =0的距离d =√22+1=√5，由勾股定理得2√5=2√25−d 2，∴d 2=20，∴(5+b)25=20，∴5+b =±10，∴b =5或b =−15，所以直线BC 的方程为y =2x +5或y =2x −15． (3)设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)， 所以{x 2=x 1−2y 2=y 1+t −4…①，因为点C 在圆O 1上，所以(x 2−6)2+(y 2−7)2=25…② 将①代入②，得(x 1−8)2+(y 1+t −11)2=25，于是点B 既在圆O 1上，又在圆(x −8)2+(y +t −11)2=25上，从而圆(x −6)2+(y −7)2=25与圆(x −8)2+(y +t −11)2=25有公共点， 所以5−5⩽√(8−6)2+(11−t −7)2⩽5+5， 解得4−4√6⩽t ⩽4+4√6．因此，实数t 的取值范围是[4−4√6,4+4√6].;【解析】该题考查了直线与圆的关系，涉及了向量知识，弦心距公式，点到直线的距离公式等内容，属于中档题．(1)将A 点代入圆的方程可得m 的值，继而求出半径和圆心；(2)可设直线BC 方程为：y =2x +b ，可得圆心O 1(6,7)到直线BC 的距离，结合弦心距定理可得b 的值，求出直线方程；(3)设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，得{x 2=x 1−2y 2=y 1+t −4，(x 1−8)2+(y 1+t −11)2=25，于是点B 既在圆O 1上，又在圆(x −8)2+(y +t −11)2=25上，从而圆(x −6)2+(y −7)2=25与圆(x −8)2+(y +t −11)2=25上有公共点，即可求解．21.【答案】解：(1)由x 2+8x +y 2=0得(x +4)2+y 2=16， 因此圆C 的圆心C(−4,0)，半径r =4. 因为圆心C 到直线l 的距离d =√m 2+1=√m 2+1，而直线l 与圆C 相交于A ，B 两点， 所以|AB |=2√r 2−d 2=2√16−4m 2m 2+1.又因为|AB |=2√14，所以2√16−4m 2m 2+1=2√14，即4m 2m 2+1=2，解得m =±1，因此直线l 的方程为y =x +2或y =−x −2. (2)设P(x,y)，M(x 1,0)，N(x 2,0).因为点P 是圆C 上任意一点，而点P 的轨迹方程为x 2+y 2=−8x ， 所以x ∈[−8,0].若在x 轴上存在两个定点M ，N ，使得|PM ||PN |=12成立， 即√(x−x 1)2+y 2√(x−x 2)2+y 2=12对x ∈[−8,0]恒成立， 即x 2+y 2+x 12−2x 1x x 2+y 2+x 22−2x 2x =14对x ∈[−8,0]恒成立，化简得−8x +x 12−2x 1x −8x +x 22−2x 2x =14对x ∈[−8,0]恒成立，即2(4x 1−x 2+12)x +(x 22−4x 12)=0对x ∈[−8,0]恒成立，因此޴x 1−x 2+12=0x 22−4x 12=0，解得{ x 1=−6x 2=−12或{ x 1=−2x 2=4， 所以满足题意的定点M ，N 存在，其坐标为M(−6,0)，N(−12,0)或M(−2,0)，N(4,0).; 【解析】此题主要考查了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，直线与圆的位置关系及判定和圆方程的综合应用，属于较难题.(1)利用圆的标准方程得圆C 的圆心和半径，再利用点到直线的距离得直线l 与圆C 的相交弦长，再结合题目条件，计算得结论；(2)设P(x,y)，M(x 1,0)，N(x 2,0)，由点P 是圆C 上任意一点得x ∈[−8,0]，再利用若在x 轴上存在两个定点M ，N ，使得|PM ||PN |=12成立，结合两点间的距离公式得2(4x 1−x 2+12)x +(x 22−4x 12)=0对x ∈[−8,0]恒成立，从而得޴x 1−x 2+12=0x 22−4x 12=0，从方程{ 4x 1−x 2+12=0x 22−4x 12=0有解得满足题意的定点M ，N 存在，再求出点M ，N 的坐标.22.【答案】解：(1)由x2+y2−4x+ay+1=0(a∈R)得C(2,−a2)因为P为AB的中点，所以P在圆内且CP⊥AB.所以{ 12+a×1+1<0−a2−12=1，解得a=−6.(2)由(1)得圆C：x2+y2−4x−6y+1=0,即(x−2)2+(y−3)2=12，所以圆心C(2,3)，半径r=2√3.设M点坐标为(x,y)，因为MN为圆C的切线，所以MN⊥CN，所以MN2= MC2−r2=MC2−12，又MN=√2MP，所以2M P2=MC2−12，则2x2+2(y−1)2=(x−2)2+(y−3)2−12，整理，得(x+2)2+(y+1)2=4.由于MN=√2MP，故MN取最小值，即MP取最小值，点P(0,1)到圆(x+2)2+(y+1)2=4的圆心距离d=√(0+2)2+(1+1)2=2√2，所以，MP的最小值为2√2−2，所以，MN的最小值为4−2√2.;【解析】此题主要考查了直线与圆相切，圆中的最值问题，属于中档题.(1)由圆的方程可得C(2,−a2)，由题意得P在圆内且CP⊥AB，即可求得实数a的值；(2)由(1)得圆C (x−2)2+(y−3)2=12，设M点坐标为(x,y)，结合题意得MN2=MC2−r2=MC2−12，从而有2M P2=MC2−12，可得MN取最小值，即MP取最小值，计算可得结果.23.【答案】解：（1）由题意，AB=70，AC=50，则BC=√4900−2500=20√6，∵风速为120海里/小时，∴台风影响城市A持续的时间为2×20√6120×60≈49分钟；（2）由题意，|BC|≤60，∴√r2−2500≤60，∵r＞5，∴5＜r≤10√61;【解析】(1)由题意，AB=70，AC=50，则BC=√4900−2500=20√6，根据风速为120海里/小时，即可得出结论；(2)若台风影响城市A持续的时间不超过1小时，|BC|⩽60，求r的取值范围．此题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2019版高考数学理科课标A版一轮复习习题：第九章 平面解析几何 3 直线与圆、圆与圆的位置关系 含答案 精品
§9.3直线与圆、圆与圆的位置关系考纲解读分析解读 1.能够根据给定直线和圆的方程,选用代数或几何方法,判断直线和圆、圆与圆的位置关系.2.会根据圆的切线方程、公共弦方程及弦长等有关知识解决有关直线与圆的问题.3.灵活运用数形结合的方法.4.本节在高考中以位置关系、弦长问题为主,分值约为5分,属中档题.五年高考考点一直线与圆的位置关系1.(2017课标全国Ⅱ,9,5分)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( )A.2B.C.D.答案 A2.(2016课标全国Ⅱ,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-B.-C.D.2答案 A3.(2016课标全国Ⅲ,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|= .答案 44.(2014课标Ⅱ,16,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是.答案[-1,1]教师用书专用(5—11)5.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=( )A.2B.4C.6D.2答案 C6.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案 D7.(2015广东,5,5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是( )A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+=0或2x+y-=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+=0或2x-y-=0答案 A8.(2015山东,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-答案 D9.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.答案(x-1)2+y2=210.(2014湖北,12,5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2= .答案 211.(2014重庆,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .答案4±考点二圆与圆的位置关系1.(2013重庆,7,5分)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( )A.5-4B.-1C.6-2D.答案 A2.(2013江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.解析(1)由题意知,圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意得,=1,解得k=0或-,故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以=2,化简得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.因为点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点,则|2-1|≤CD≤2+1,即1≤≤3.由5a2-12a+8≥0,得a∈R;由5a2-12a≤0,得0≤a≤.所以点C的横坐标a的取值范围为.教师用书专用(3)3.(2015湖北,14,5分)如图,圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的方程为;(2)过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M,N两点,下列三个结论:①=;②-=2;③+=2.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)答案(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)①②③三年模拟A组2016—2018年模拟²基础题组考点一直线与圆的位置关系1.(2018福建龙岩月考,8)已知两点M(-1,0),N(1,0),若直线y=k(x-2)上至少存在三个点P,使得△MNP是直角三角形,则实数k的取值范围是( )A. B.C.∪D.∪答案 D2.(2017福建漳州八校4月联考,7)已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内的一点,直线m是以P为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax+by=r2,那么( )A.m∥l,且l与圆相交B.m⊥l,且l与圆相切C.m∥l,且l与圆相离D.m⊥l,且l与圆相离答案 C3.(2017安徽江南十校联考,6)直线l:x-y+m=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0恒有公共点,则m的取值范围是( )A.[-,]B.[-2,2]C.[--1,-1]D.[-2-1,2-1]答案 D4.(2016江苏常州溧阳期中,8)若圆x2+y2-4mx+(2m-3)y+4=0截直线2x-2y-3=0所得的弦最长,则实数m的值为.答案 1考点二圆与圆的位置关系5.(2018重庆模拟)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=4,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为( )A.(x+2)2+(y-2)2=4B.(x-2)2+(y+2)2=4C.(x+2)2+(y+2)2=4D.(x-2)2+(y-2)2=4答案 B6.(2017福建福州模拟,6)已知点A(-2,0),B(2,0),若圆(x-3)2+y2=r2(r>0)上存在点P(不同于点A,B)使得PA⊥PB,则实数r的取值范围是( )A.(1,5)B.[1,5]C.(1,3]D.[3,5]答案 A7.(人教A必2,四,4-2A,9,变式)圆x2+y2+x-2y-20=0与圆x2+y2=25相交所得的公共弦长为.答案 48.(2016江苏常州溧阳期中,12)已知在平面直角坐标系中,点A(2,0),B(0,1)到直线l的距离分别为1,2,则这样的直线l共有____ 条.答案 3B组2016—2018年模拟²提升题组(满分:20分时间:30分钟)一、选择题(共5分)1.(2017河南洛阳二模,6)已知圆C的方程为x2+y2=1,直线l的方程为x+y=2,过圆C上任意一点P 作与l夹角为45°的直线交l于点A,则|PA|的最小值为( )A. B.1 C.-1 D.2-答案 D二、解答题(共15分)2.(2017河南部分重点中学联考,20)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线的方程;(2)设P为平面直角坐标系内的点,满足:存在过点P的无穷多对相互垂直的直线,它们分别与圆C1和C2相交,且直线被圆C1截得的弦长与直线被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.解析(1)设所求直线为y=k(x-4),即kx-y-4k=0.由垂径定理得圆C1的圆心(-3,1)到直线kx-y-4k=0的距离d==1,即=1,解得k=0或-,所以直线的方程为y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P的坐标为(m,n),过点P且互相垂直的两条直线分别为l1,l2,直线l1,l2的方程分别设为y-n=k(x-m),y-n=-(x-m),即kx-y+n-km=0,-x-y+n+=0,由题意得=,化简得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5,易知关于k的方程有无穷多解,由或得点P的坐标为或.C组2016—2018年模拟²方法题组方法1 解决直线与圆位置关系问题的方法1.(2017山西太原4月模拟,6)已知圆C:x2+y2=1,直线l:y=k(x+2),在[-1,1]上随机选取一个数k,则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为( )A. B. C. D.答案 C2.(2018福建福州质检,14)若直线l:x+y=5与曲线C:x2+y2=16交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1y2+x2y1的值为.答案16方法2 圆与圆的位置关系问题的解决策略3.(2018辽宁鞍山模拟,15)已知A(-3,0),圆C:(x-a-1)2+(y-a)2=1上存在点M满足|MA|=2|MO|,则实数a的取值范围为.答案∪4.(2017河南郑州一模,15)若☉O:x2+y2=5与☉O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.答案 4方法3 解决与圆有关的切线和弦长问题的方法5.(2017安徽安庆二模,8)自圆C:(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,PQ的长度等于点P到原点O的距离,则点P的轨迹方程为( )A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0答案 D6.(2017河北石家庄一模,9)若a,b是正数,直线2ax+by-2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为2,则t=a 取得最大值时a的值为( )A. B. C. D.答案 D7.(2017湖北宜昌月考,18)已知圆M的圆心M在x轴上,半径为1,直线l:y=x-被圆M所截得的弦长为,且圆心M在直线l的下方.(1)求圆M的方程;(2)设A(0,t),B(0,t+6)(-5≤t≤-2),若圆M是△ABC的内切圆,求△ABC的面积S的最大值和最小值.解析(1)设圆心M(a,0),由已知,得圆心M到l:8x-6y-3=0的距离为=,∴=,又∵M在l的下方,∴8a-3>0,∴8a-3=5,a=1,故圆M的方程为(x-1)2+y2=1.(2)由题意可知直线AC,BC的斜率存在.设AC的斜率为k1,BC的斜率为k2,易知k1>k2,则直线AC的方程为y=k1x+t,直线BC的方程为y=k2x+t+6.由方程组得C点的横坐标为x c=,∵|AB|=t+6-t=6,∴S=²6=,由于圆M与AC相切,所以1=,∴k1=;同理,k2=,∴k1-k2=,∴S==6,∵-5≤t≤-2,∴-2≤t+3≤1,∴-8≤t2+6t+1≤-4,∴S max=6³=,S min=6³=.。
2019版高考数学精选地区9.2 直线、圆的位置关系
答案 A 本题考查直线与圆的位置关系. 由圆(x-2)2+y2=2可得圆心坐标为(2,0),半径r= 2 ,△ABP的面积记为S,点P到直线AB的距离记为
d,则有S= 1 |AB|·d.易知|AB|=2 2 2
,dmax=|
2
02 12 12
|
+ 2
=3 2
,dmin=|
2
02 12 12
距201的9年最7月值1问0日题;③形如(x-a)2+(y-b)2你的是最我值今生问最题美,可的相转遇化遇为上动你是点我到的定缘点的距离的平方的最值问题. 2
2.(2017课标Ⅱ,9,5分)若双曲线C: ax22 - by22 =1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦
a
2
,
得
xD yD
1, 2,
∴ AB
·C D
=(5-a,-2a)· a2
3
,
2
a
=a 2 2a
2
15
+2a2-4a=0,∴a=3或a=-1,又a>0,∴a=3,∴点A的横
坐标为3.
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
14
一题多解 由题意易得∠BAD=45°.
1 m2
1 m2
1 m2
选C.
解法二:∵cos2θ+sin2θ=1,∴P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆, 又x-my-2=0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线,
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
10
如图,可得点(-1,0)到直线x=2的距离即为d的最大值. 故选C.
2019年高考数学理科考点一遍过37直线与圆的位置关系(含解析)
（1）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.（2）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.（3）初步了解用代数方法处理几何问题的思想.一、直线与圆的三种位置关系（1）直线与圆相离，没有公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相交，有两个公共点．二、直线与圆的位置关系的判断方法圆与圆的位置关系的判断方法有两种：（1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长R，r的关系判断（如下图，其中R r>）．（2）代数法：设圆C1：2+y2+D1+E1y+F1=0 ①，圆C2：2+y2+D2+E2y+F2=0 ②，联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．五、两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1：2+y2+D1+E1y+F1=0 ①，圆C2：2+y2+D2+E2y+F2=0 ②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D1－D2）+（E1－E2）y+F1－F2=0 ③．方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程．考向一直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是：（1）明确圆心C的坐标（a,b）和半径长r，将直线方程化为一般式；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ； （3）比较d 与r 的大小，写出结论.典例 1 若直线l ()10y kx k =+<与圆C()()22212x y ++-=相切,则直线l 与圆D ()2223x y -+=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属于中档题.判定直线与圆的位置关系可以联立方程，利用方程组的解的个数判断位置关系，也可以转化为判断圆心到直线的距离与半径的大小关系确定直线与圆位置关系.求解本题时，直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，求出斜率k ，再根据圆D 的圆心到直线的距离，判断其与直线的关系.1．已知半圆()22(1)(2)42x y y -+-=≥与直线()15y k x =-+有两个不同交点，则实数的取值范围是A ．,22⎛- ⎝⎭B ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．322⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．353,,2222⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦考向二 圆与圆的位置关系判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是： （1）确定两圆的圆心坐标和半径长；（2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求1212||r r r r +，－； （3）比较1212,,||d r r r r +－的大小，写出结论.典例2 圆O 1 2220x y x +-=和圆222: 40O x y y +-=的位置关系是 A ．相离 B ．相交 C ．外切 D【答案】B2．圆心为()2,0的圆C 与圆224640x y x y ++-+=相外切，则C 的方程为A ．22420x y x +++= B ．22420x y x +-+= C ．2240x y x ++=D ．2240x y x +-=考向三 圆的弦长问题1．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理222()2ld r +=求解；二是若斜率为的直线l 与圆C 交于1122,,()()A x y B x y ，两点，则12|||AB x x =-. 2．求两圆公共弦长一般有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解； 二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.典例3 已知直线y =+3与圆226450x y x y +--+=相交于M ,N 两点,若|MN|=2,则的值是 A ．1B ．1或-1C ．2-或12D 或12【答案】C3．在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0M 的最短弦的弦长为A B ．CD ．考向四 圆的切线问题1．求过圆上的一点00(,)x y 的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率，若不存在，则由图形可写出切线方程为0y y =;若0k =,则由图形可写出切线方程为0x x =;若存在且≠0，则由垂直关系知切线的斜率为1k-，由点斜式方程可求切线方程.2．求过圆外一点00(,)x y 的圆的切线方程： （1）几何方法当斜率存在时，设为，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程. （2）代数方法当斜率存在时，设为，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+,代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由0∆=,求得,切线方程即可求出.3．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．典例4 已知点1,2P -，点M （3，1），圆C ：（－1）2＋（y －2）2＝4． （1）求过点P 的圆C 的切线方程；（2）求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．【答案】（1）10x y -+-=；（2）过点M 的圆C 的切线方程为－3=0或3－4y －5＝0，切线长为1.则圆心C 到切线的距离d2r ==，解得＝34，所以切线方程为y －1＝34（－3），即3－4y －5＝0． 综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为－3=0或3－4y －5＝0．因为|MC=所以过点M 的圆C 1=．4．设P 为直线3430x y ++=上的动点，过点P 作圆222210C x y x y +--+=：的两条切线，切点分别为,A B ，则四边形(PACB C 为圆心)的面积的最小值为A ．1BCD ．1．直线340x y -=被圆()()22122x y -+-=截得的弦长为A ．4B ．C ．D ．22．已知直线l 过点()2,0-且倾斜角为α，若l 与圆()22320x y -+=相切，则3πsin 2=2α⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．35 B ．35- C ．45D ．45-3．已知圆221:1O x y +=与圆()()222:3416O x x -++=，则圆1O 与圆2O 的位置关系为A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离4．如果实数，满足等式22(2)3x y -+=，那么的最大值是A ．B ．C ．D ．5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为，则其渐近线与圆()22214x a y a -+=的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定6．已知圆22:4C x y +=，直线:l y x b =+．当实数[]0,6b ∈时，圆C 上恰有2个点到直线l 的距离为1的概率为A B C ．12D ．137．已知两点(),0A a ，(),0B a -（0a >），若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为 A ．(]0,3 B ．[]1,3 C ．[]2,3D ．[]1,28．动圆M 与圆()221:11C x y ++=外切，与圆()222:125C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是A ．22189x y +=B ．22198x y += C ．2219x y +=D ．2219y x += 9．已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC △为等腰直角三角形，则实数a 的值为 A ．17或1- B ．1- C ．1或1-D ．110．点P 是直线30x y +-=上的动点，由点P 向圆22:4O x y +=作切线，则切线长的最小值为A ．BC ．2D ．1211．已知动直线l 与圆22:4O x y +=相交于,A B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上的一点，且满足5CB CA =，若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅的值为A ．3B ．C ．2D ．3-12．已知圆2221:C x y r +=，圆()()2222:C x a y b r -+-=(0)r >交于不同的()11,A x y ，()22,B x y 两点，给出下列结论：①()()12120a x x b y y -+-=；②221122ax by a b +=+；③12x x a +=，12y y b +=.其中正确结论的个数是 A ．0 B ．1 C ．2D ．313．圆2224200x y x y +-+-=截直线5120x y c -+=所得的弦长为8，则c 的值是________．14．设圆22450x y x +--=的弦AB 的中点为()3,1P ，则直线AB 的方程是________．15．若圆221:5O x y +=与圆()222:20O x m y ++=相交于,A B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．16．已知动圆C 与直线20x y ++=相切于点()0,2A -，圆C 被x 轴所截得的弦长为2，则满足条件的所有圆C 的半径之积是________．17．在平面直角坐标系Oy 中，已知圆C 的方程为224x y +=，点()2,3M -．（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）过点M 任作一条直线与圆C 交于A ，B 两点，圆C 与轴正半轴的交点为P ，求证：直线PA 与PB 的斜率之和为定值．18．已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P . （1）求圆C 的方程；（2）在圆C 上是否存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在,写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.19．已知点)2,2(P ，圆C 0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当||||OP OM =时，求直线l 的方程及POM △的面积.20．已知圆221:60C x y x ++=关于直线1:21l y x =+对称的圆为C .（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0-作直线l 与圆C 交于,A B 两点，O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得在平行四边形OASB 中||||OS OA OB =-？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由.1．（2018北京理）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．42．（2018新课标Ⅲ理）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣3．（2016新课标II 理）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=A ．43-B ．34- CD ．24．（2018江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0A BC D ⋅=，则点A 的横坐标为________． 5．（2018天津理）已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,3⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 .6．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ．7．（2016新课标II 理）已知直线l：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =则||CD =__________． 8．（2017新课标III 理）已知抛物线C ：y 2=2，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.9．（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:M x y +-1214600x y -+=及其上一点(2,4)A ．（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程； （3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围．1．【答案】D【名师点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．求解本题时，绘制半圆的图形和直线，考查临界条件，确定的取值范围即可.2．【答案】D【名师点睛】此题主要考查解析几何中圆的标准方程，两圆的位置关系，以及两点间的距离公式的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.判断两圆的位置关系，有两种方法，一是代数法，联立两圆方程，消去其中一未知数，通过对所得方程的根决断，从而可得两圆关系；一是几何法，通计算两圆圆心距与两圆半径和或差进行比较，从而可得两圆位置关系. 3．【答案】D【解析】圆22420x y x y +-+=，化简为：()()222+15,x y -+=点()1,0M 在圆的内部，记圆心为O 点，则最短弦长是过点M 和OM 垂直的弦，OM，根据垂径定理得到弦长为：故答案为D.【名师点睛】这个题目考查的是圆的性质和应用，一般和圆有关的问题很多情况下可利用数形结合解决；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.求解本题时，先将圆的方程化为标准式，找到圆心和半径，过点()1,0M 的最短弦长是过点M 和OM 垂直的弦,再根据垂径定理得到结果. 4．【答案】C【解析】∵圆的方程为222210x y x y +--+=，∴圆心C （1，1）、半径r 为1.根据题意，若四边形面积最小，则当圆心与点P 的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA ，PB 最小.∵圆心到直线的距离为d =2，∴|PA |=|PB，∴122PACB S PA r =⨯=四边形故选C ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，同时还考查了转化思想，属于中档题.求解本题时，由圆的方程为求得圆心C （1，1）、半径r 为1，由“若四边形面积最小，则圆心与点P 的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA ，PB 最小”，最后将四边形转化为两个直角三角形面积求解．1．【答案】D故选D ．【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合解决的；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.求解本题时，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理可得直线3﹣4y =0被圆（﹣1）2+（y ﹣2）2=2截得的弦长． 2．【答案】A【解析】设直线():tan 2l y x α=+,因为l 与圆()22320x y -+=tan 2α=∴=±，因此2222223πcos sin 1tan 143sin 2=cos2,2cos sin 1tan 145αααααααα---⎛⎫--=-=-=-= ⎪+++⎝⎭故选A. 3．【答案】C【解析】圆1O 的圆心为()0,0，半径为1r =，圆2O 的圆心为()3,4-，半径为4R =，∴两圆的圆心距5d ==，∴d R r =+，∴两圆外切，故选C ． 4．【答案】D【解析】过原点作圆22(2)3x y -+=的切线，切线斜率，故选．【名师点睛】与圆上点(),x y 有关代数式的最值的常见类型及解法． ①形如型的最值问题，可转化为过点(),a b 和点(),x y 的直线的斜率的最值问题； ②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如22(())x a y b -+-型的最值问题，可转化为动点到定点(),a b 的距离平方的最值问题． 5．【答案】C6．【答案】A【解析】如图，圆C的圆心坐标为O（0，0），半径为2，直线l为：﹣y+b=0．3=，即b=l的距离为1，1=，即b3个点到直线l的距离为1．∴当b∈时，圆上恰有2个点到直线l的距离为1，故概率为=．63故选A．【名师点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．求解本题时，由已知求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式分别求出满足圆上有一点和三点到直线l的距离为1的b值，由测度比为长度比得答案．7．【答案】B8．【答案】B【解析】设动圆M 半径为r ，则121212|1,|5||||+||6||,MC r MC r MC MC C C ===>+-∴，因此动圆圆心M的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，所以B.【名师点睛】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 9．【答案】C【解析】由题意可得ABC △是等腰直角三角形，∴圆心C （1，﹣a ）到直线10ax y +-=的距离等于r ·sin45°，∴a =±1.故选C ．【名师点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题在很多情况下是利用数形结合解决的，联立方程利用代数方法求解的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值.由题意可得ABC △是等腰直角三角形，可得圆心C （1，﹣a ）到直线10ax y +-=的距离等于r ·sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a 的值．10．【答案】C【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长最小，则必须使点P 到圆的距离最小，求出圆心到直线30x y +-=的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可．11．【答案】A【解析】动直线l 与圆O ：224x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，则OAB △为等边三角形，于是可设动直线l()2,0B -，(A -，∵M 是线段AB 的中点，∴，设(),C x y ，∵5C B C A =，∴()()52,132x y y ---=--，13C ⎛- ⎝⎭， ∴1(OC OM ⋅=-A ．12．【答案】D【名师点睛】当两圆相交时，公共弦的方程可由两个圆的方程相减得到，而且在解决圆的有关问题时，注意合理利用圆的几何性质简化计算.解本题时，根据两个圆的标准方程得到公共弦的方程为22220ax by a b +--=，,A B 两点均在该直线上，故其坐标满足上式.而AB 的中点为直线AB 与直线12C C 的交点，利用直线方程构成的方程组可以得到交点的坐标，从而得到③也是正确的. 13．【答案】1068-或【解析】∵弦长为8，圆的半径为5，∴弦心距为3，∵圆心坐标为()1,2-，∴()51122313c⨯-⨯-+=，解得c 为1068-或【名师点睛】涉及圆中弦长问题， 一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和；直线与圆位置关系，一般利用圆心到直线距离与半径大小关系进行判断 14．【答案】40x y +-=【解析】22450x y x +--=,所以圆心为()2,0C ，15．【答案】4【解析】由题知1(0,0)O 与2(,0)O m -:，根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得m ＜再根据题意可得212520255O A AO m m ⊥∴=+=∴=±，，，∴利用52AB ⋅＝ 解得4AB =．16．【答案】1017．【答案】（1）2x =或512260x y ++=；（2）见解析.【解析】（1）当直线l 的斜率不存在时，显然直线2x =与圆相切， 当直线l 的斜率存在时，设切线方程为()32y k x +=-， 圆心到直线的距离等于半径，2=，解得512k =-， ∴切线方程为：512260x y ++=，故所求直线方程为2x =或512260x y ++=．（2）依题意可得当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB ：()32y k x +=-，代入2240x y +-=，【名师点睛】求定值问题常见的方法： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 18．【答案】（1）()()22215x y -+-=；（2）见解析.【解析】（1）法一：由已知，得圆心在经过点()4,0P 且与28y x =-垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线2x =上，所以求得圆心()2,1C 所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=.法二：设圆C 的方程为()()22200x x y y r -+-=，可得()222000022200,1,424x y r yx x y r r ⎧⎪+=⎪⎪⎪=-⎨-⎪⎪⎛⎫⎪-+== ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002,1,x y r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,【名师点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，向量的坐标运算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答问题的关键 19．【答案】（1）22(1)(3)2x y -+-=;（2）l 的方程为1833y x =-+; POM △的面积为165. 【解析】（1）圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=，所以圆心为(0,4)C ，半径为4， 设(,)M x y ，则(,4)CM x y =-，(2,2)MP x y =--， 由题设知0CM MP ⋅=，故(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即22(1)(3)2x y -+-=.由于点P 在圆C 的内部，所以点M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=.20．【答案】（1）()()22129x y -++=；（2）存在直线1x =-和1y x =+.【解析】（1）圆1C 化为标准为()2239x y ++=，设圆1C 的圆心()13,0C -关于直线1:21l y x =+的对称点为(),C a b ，则111CC l k k =-， 且1CC 的中点3,22a b M -⎛⎫⎪⎝⎭在直线1:21l y x =+上， ，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以圆C 的方程为()()22129x y -++=.（2）由OS OA OB BA =-=，所以平行四边形OASB 为矩形，所以OA OB ⊥.要使OA OB ⊥，必须使·0OAOB=，即：12120x x y y +=. ①当直线l 的斜率不存在时，可得直线l 的方程为1x =-，与圆()()22:129C x y -++=交于两点()2A - ()1,2B -.因为()())()·11220OAOB=--+=，所以OA OB ⊥，所以当直线l 的斜率不存在时，直线:1l x =-满足条件.【名师点睛】在处理平面解析几何时，往往先设出直线方程，但要注意直线的斜率是否存在，如本题中当斜率不存在时也符合题意.1．【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点A （2，0），所以d 的最大值为OA +1=2+1=3,故选C.【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化． 2．【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1d ==.故点P到直线20x y ++=的距离2d 的范围为，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△. 故答案为A.【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可. 3．【答案】A【解析】圆的方程可化为22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：1d ==，解得43a =-，故选A ．4．【答案】3【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 5．【答案】12【解析】由题意可得圆的标准方程为：()2211x y -+=， 直线的直角坐标方程为：()31y x -=-+，即20x y +-=，则圆心到直线的距离：2d ==，所以2AB ==11222ABC S ==△. 【名师点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积即可.6．【答案】[-【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围． 7．【答案】4【解析】因为||AB =，且圆的半径为，所以圆心(0,0)到直线30mx y m ++-=3=，3=，解得m =，代入直线l 的方程，得3y x =+l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD ==︒．8．【答案】（1）证明略；（2）直线l 的方程为20x y --=，圆M 的方程为()()223110x y -+-=.或直线l 的方程为240x y +-=，圆M 的方程为2291854216x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，:2l x my =+.由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩ 可得2240y my --=，则124y y =-. 又221212,22y y x x ==，故()2121244y y x x ==.【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0∆>或说明中点在曲线内部.9．【答案】（1）()()22611x y -+-=；（2）直线l 的方程为2－y +5=0或2－y －15=0；（3）22⎡-+⎣.【解析】圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M (6，7)，半径为5． （1）由圆心在直线=6上，可设()06,N y ．因为圆N 与轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，。
高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第九章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 Word版含答案
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )2．圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d ，两圆的半径分别为R ，r (R ＞r )，则判断圆与圆位置关系的注意点对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组的解的个数来判断，有时得不到确切的结论．如当Δ＜0时，需要再根据图形判断两圆是外离，还是内含；当Δ＝0时，还需要判断两圆是外切，还是内切．[熟记常用结论]1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．圆系方程(1)同心圆系方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中a ，b 是定值，r 是参数；(2)过直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0交点的圆系方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ∈R )；(3)过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C 2，解题时，注意检验圆C 2是否满足题意，以防漏解)．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )(4)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、选填题1．直线l ：x ＋3y －4＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．相交过圆心 B ．相交不过圆心 C ．相切D ．相离解析：选C 圆心坐标为(0,0)，圆心到直线l 的距离d ＝|－4|2＝2＝r ，所以直线l 与圆C相切．故选C.2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．外离 B.相交 C ．外切D ．内切解析：选B 圆O 1：(x －1)2＋y 2＝1， 圆O 2：x 2＋(y －2)2＝4，∵|O 1O 2|＝(1－0)2＋(0－2)2＝5，∴|2－1|＜|O 1O 2|＜2＋1，∴两圆相交．故选B.3．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B.[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析：选C 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， 所以|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1，故选C.4．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝________.解析：因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝ 3.答案：0或 35．直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：由x 2＋y 2－2x －4y ＝0，得(x －1)2＋(y －2)2＝5， 所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5， 又圆心(1,2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6|32＋(－1)2＝102，由⎝⎛⎭⎫|AB |22＝r 2－d 2，得|AB |2＝4⎝⎛⎭⎫5－52＝10，即|AB |＝10. 答案：10考点一 直线与圆的位置关系的判断 [师生共研过关][典例精析](1)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定(2)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．(3，2) B.(3，3) C.⎝⎛⎭⎫33，233D.⎝⎛⎭⎫1，233(3)若圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上恒有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是( )A ．(2＋1，＋∞) B.(2－1，2＋1) C ．(0，2－1)D ．(0，2＋1)[解析] (1)法一：(代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5， 消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0， 因为Δ＝16m 2＋20＞0，所以直线l 与圆相交． 法二：(几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离 d ＝|－m |m 2＋1＜1＜5，故直线l 与圆相交．法三：易得直线l 过定点(1,1)．把点(1,1)代入圆的方程有1＋0＜5，∴点(1,1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交．(2)当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d ＝|m |⎝⎛⎭⎫332＋1＝1，解得m ＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点， 则1＜m ＜233.(3)计算得圆心到直线l 的距离为22＝2＞1，如图，直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1.[答案] (1)A (2)D (3)A[解题技法]判断直线与圆的位置关系的一般方法1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B.相交 C ．相离D ．不确定解析：选B 因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2＜1.所以直线与圆相交． 2．(2019·杭州模拟)若无论实数a 取何值时，直线ax ＋y ＋a ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0都相交，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.(2，＋∞) C ．(－∞，－6)D ．(－6，＋∞)解析：选C ∵x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0表示圆，∴8－4b ＞0，即b ＜2.∵直线ax ＋y ＋a ＋1＝0过定点(－1，－1)，∴点(－1，－1)在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋b ＝0的内部，∴6＋b ＜0，解得b ＜－6，∴b 的取值范围是(－∞，－6)．故选C.3．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( ) A ．1 B.2 C ．3D ．4解析：选C 由圆的方程知圆心坐标为(3,3)，半径为3，如图所示，因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．考点二 圆与圆的位置关系及应用 [师生共研过关][典例精析]已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为( ) A.62B.32C.94D ．2 3[解析] 由圆C 1与圆C 2外切，可得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9.根据基本不等式可知ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，ab 的最大值为94.[答案] C[解题技法]圆与圆位置关系问题的解题策略(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．[过关训练]1．如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是_________________．解析：圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝4， 圆心坐标为(a ，a )，半径为2. 依题意得0＜a 2＋a 2＜4，∴0＜|a |＜2 2.∴a ∈(－22，0)∪(0,22)． 答案：(－22，0)∪(0,22)2．已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解：因为两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.(3)由(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.故两圆的公共弦的长为 2(11)2－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝27.考点三 圆的弦长问题 [师生共研过关][典例精析](1)(2019·太原模拟)若3a 2＋3b 2－4c 2＝0，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆O ：x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.23 B ．1 C.12D.34(2)(2019·成都模拟)已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA ―→·OB ―→的值是( )A ．－12B.12 C ．－43D ．0[解析] (1)因为a 2＋b 2＝43c 2，所以圆心O (0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝32，所以直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为212－⎝⎛⎭⎫322＝2×12＝1，选B.(2)在△OAB 中，|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝3，可得∠AOB ＝120°，所以OA ―→·OB ―→＝1×1×cos 120°＝－12.[答案] (1)B (2)A[解题技法]有关弦长问题的2种求法[过关训练]1．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2截y 轴所得线段与截直线y ＝2x ＋b 所得线段的长度相等，则b ＝( )A ．－ 6 B.±6 C ．－ 5D ．±5解析：选D 记圆C 与y 轴的两个交点分别是A ，B ，由圆心C 到y 轴的距离为1，|CA |＝|CB |＝2可知，圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝±5. 2．在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2是方程x 2＋mx －2＝0的两根，所以x 1x 2＝－2，又点C 的坐标为(0,1)，则AC ―→·BC ―→＝(－x 1,1)·(－x 2,1)＝x 1x 2＋1＝－2＋1＝－1≠0，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，由x 1x 2＝－2可知原点O 在圆内，则由相交弦定理可得|OC |·|OD |＝|OA |·|OB |＝|x 1|·|x 2|＝2.又|OC |＝1，所以|OD |＝2，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为|OC |＋|OD |＝3，为定值．考点四 圆的切线问题 [师生共研过关][典例精析]已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． [解] 由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2. (1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上． 又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC＝1. ∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝x －(2＋1)，即x －y ＋1－22＝0. (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，∴点M 在圆C 外部． 当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3， 即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线． 当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝ 5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.[解题技法]1．求过圆上的一点(x 0，y 0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y ＝y 0；若k ＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x ＝x 0；若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－1k，由点斜式可写出切线方程．2．求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的2种方法[提醒] 当点(x 0，y 0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况．[过关训练]1．(2019·杭州模拟)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 C.7D ．3解析：选C 切线长的最小值是当直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，故切线长的最小值为d 2－r 2＝7. 2．(2018·湖北四地七校联考)若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x ＋m )2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( )A ．3 B.4 C ．2 3D ．8解析：选B 连接O 1A ，O 2A ，由于⊙O 1与⊙O 2在点A 处的切线互相垂直，因此O 1A ⊥O 2A ，所以|O 1O 2|2＝|O 1A |2＋|O 2A |2，即m 2＝5＋20＝25，设AB 交x 轴于点C .在Rt △O 1AO 2中，sin ∠AO 2O 1＝55，∴在Rt △ACO 2中，|AC |＝|AO 2|·sin ∠AO 2O 1＝25×55＝2，∴|AB |＝2|AC |＝4.故选B. 考点五 直线与圆的综合问题[师生共研过关][典例精析]已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)因为圆C 1的方程x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22. 由题意可知直线l 的斜率必存在， 设直线l 的方程为y ＝tx . 将上述方程代入圆C 1的方程， 化简得(1＋t 2)x 2－6x ＋5＝0. 由题意，可得x 1＋x 2＝61＋t2，Δ＝36－20(1＋t 2)＞0，(*) 所以x 0＝31＋t 2，代入直线l 的方程，得y 0＝3t 1＋t 2. 因为x 20＋y 20＝9(1＋t 2)2＋9t 2(1＋t 2)2＝9(1＋t 2)(1＋t 2)2＝91＋t 2＝3x 0， 所以⎝⎛⎭⎫x 0－322＋y 20＝94. 由(*)解得t 2＜45.又t 2≥0，所以53＜x 0≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53＜x ≤3. (3)存在实数k 满足条件．由(2)知，曲线C 是在区间⎝⎛⎦⎤53，3上的一段圆弧． 如图，D ⎝⎛⎭⎫53，253，E ⎝⎛⎭⎫53，－253，F (3,0)，直线L 过定点G (4,0)．联立直线L 的方程与曲线C 的方程，消去y 整理得 (1＋k 2)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0. 由Δ＝0，解得k ＝±34，由求根公式解得交点的横坐标为x ＝125∈⎝⎛⎦⎤53，3， 由图可知要使直线L 与曲线C 只有一个交点， 则k ∈⎣⎡⎦⎤－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34. 故所求k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34. [解题技法]直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决．(2)直线与圆和平面几何联系十分紧密，可充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑．[过关训练]已知A (2,0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点．(1)求|PA |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径．解：(1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为43， ∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝(13)2－(23)2＝1. ∵m ＜3，∴m ＝2，∴|AC |＝(－3－2)2＋(2－0)2＝29，∴|PA |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13.(2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13，令x ＝0，得y ＝0或4；令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0,4)，O (0,0)，N (－6,0)，∴△MON 为直角三角形，斜边|MN |＝213，∴△MON 内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.。
直线与圆、圆与圆的位置关系(讲)-2019年高考数学(理)---精校解析 Word版
，圆心距为(特别地，，且倾斜角为相切于点，且，则的面积是B.【答案】半径分别为，直线的方程为.，直线与圆相切的问题，往往用这个结论解题届高三入学摸底】若过点的取值范围是（B D，若对任意与一定圆相切，【答案】【解析】取特殊值，三条直线分别为，这三条直线只与圆都相切，经验证，对任意，直线都与这个圆相切）及直线，当直线被时，则B. C. D.【解析】由题意，得，又因为，所以，且与圆，求【答案】，圆心到直线的距离为和圆两点，若，则D已知直线：与圆交于过的垂线与轴交于两点，则【解析】由，得，代入圆的方程，并整理，得，所以，所以．又直线的倾斜，由平面几何知识知在梯形中，．，（上存在点，使得，则正实数B. C. D..的值．【解析】将配方得：由于两圆相切，故或或.届高考适应性】已知圆截直线所得线段的长度是与圆的位置关系是，则圆心为圆心到直线的距离截直线所得线段的长度是，即则圆心为，半径的圆心为，半径届高考适应性】已知圆，点为直线引两条切线为切点，则直线经过定点C是圆是圆②得，过定点，故选上有且仅有两个点到直线的距离等于的距离为：的距离为当】已知点及圆的方程；两点，当时，求以线段为直径的圆或；的.，..，故圆心必在，所以，使得过点垂直平分弦在平面直角坐标系已知的最小值为（B. C. D.作圆的弦，其中最短的弦长为【答案】圆的圆心坐标为，点作圆的弦，过点垂足为点，则，且，当点与点重合时，大值，此时取最小值，且求过点的切线方程，半径为，当直线的斜率不存在时，过点的方程为到直线的距离知，此时，直线与圆相切；，即由题意知，所以方程为，即，.已知直线上总存在点，使得过点作的圆的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（或 C. D. 或。
高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 word版含答案
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系(1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． (3)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．知识点一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d >rd ＝rd <r易误提醒 对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在情形．必备方法 求圆的弦长的常用方法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式． |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．[自测练习]1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．与m 的取值有关解析：圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m 2＋1＝|m |m 2＋1<1＝r ，故选A.答案：A2．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. 答案：D3．过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________．解析：设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0，又直线x ＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝0 知识点二 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|) 相离外切相交内切内含图形量的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|易误提醒 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[自测练习]4．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切解析：圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距d ＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．答案：B考点一 直线与圆的位置关系|1．对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能解析：直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2<3，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交，故选C.答案：C2．(2015·皖南八校联考)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A.12，－4 B ．－12，4C.12，4 D ．－12，－4解析：因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，所以直线y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，2×2＋0＋b ＝0，解得k ＝12，b ＝－4.答案：A3．若直线x －my ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则m 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．±3D. 3解析：由x 2＋y 2－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|1＋m 2＝1，解得m ＝±3. 答案：C判断直线与圆的位置关系常见的两种方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．考点二 切线、弦长问题|(1)(2015·高考重庆卷)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210(2)(2016·太原一模)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215[解析] (1)由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.(2)将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心坐标为F (2，－1)，半径r ＝5，如图，显然过点E 的最长弦为过点E 的直径，即|AC |＝25，而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦，|EF |＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，|BD |＝2r 2－|EF |2＝23，∴S 四边形ABCD＝12|AC |×|BD |＝215. [答案] (1)C (2)D处理切线、弦长问题的策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．1．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0解析：设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)，所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0，故选C.答案：C2．(2016·云南名校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为________．解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线P A ，连接OA (图略)，易知此时|P A |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5.又|OA |＝1，所以|P A |＝|OP |2－|OA |2＝2.答案：2考点三 圆与圆的位置关系|1．(2016·惠州调研)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．答案：B2．若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．答案：C3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a >0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a ＝1.答案：1求解两圆位置关系问题的两种方法(1)两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．19.直线与圆的位置关系中的易错问题【典例】对于任意实数m，直线l：y＝m(x－1)＋b恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，则a，b满足的条件是________．[易错点析]对直线l方程分析不彻底，盲目利用Δ法或几何法无法判断导致失误．[解析]由题意知，①直线l经过定点M(1，b)．又直线l恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，所以，②点M在圆的内部，所以，12＋b2<a2，即a2－b2>1.[答案]a2－b2>1[方法点评]点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．点与圆的位置关系法适用于动直线问题．[跟踪练习](2016·大连双基)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得k∈(－3，3)．法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d>1，即2k2＋1>1，解得k∈(－3，3)．答案：(－3，3)A组考点能力演练1．(2016·洛阳二练)已知圆C：x2＋y2＝4，若点P(x0，y0)在圆C外，则直线l：x0x＋y0y ＝4与圆C的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．不能确定解析：由题意：圆C的圆心到直线l的距离d＝4x20＋y20，∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4外，∴x20＋y20>4，∴d＝4x20＋y20<2，∴直线l与圆相交．答案：C2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，所以它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：B3．(2015·长春二模)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)B ．(－∞，－22]∪[22，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：由直线与圆相切可知 |m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2， 整理得mn ＝m ＋n ＋1，由mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22可知m ＋n ＋1≤14(m ＋n )2，解得m ＋n ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)，故选A. 答案：A4．过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：本题考查直线与圆的位置关系．由题意得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1，2)，过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－(－1)＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0，故选A.答案：A5．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝5上的任意一点，点Q (2a ，a ＋2)，其中a ∈R ，则线段PQ 长度的最小值为( )A.55B. 5C.355D.655解析：设点Q (x ，y )，则x ＝2a ，y ＝a ＋2，∴x －2y ＋4＝0，∴点Q 在直线x －2y ＋4＝0上．由于圆心(2,0)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|2－0＋4|1＋4＝655，所以PQ 长度的最小值为d －5＝655－5＝55，故选A.答案：A6．圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为________． 解析：公共弦的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－(5)2＝4 5.答案：4 57．(2016·泰安调研)已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________．解析：因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两平行直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.答案：25π8．(2016·福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A 、B 两点，则CA →·CB →的值为________．解析：依题意得，点C 的坐标为(3,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，(x －3)2＋(y －3)2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3， 可令A (3,5)，B (1,3)，∴CA →＝(0,2)，CB →＝(－2,0)， ∴CA →·CB →＝0. 答案：09.如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证：k AN ＋k BN 为定值．解：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m >0)，则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2＝4＋⎝⎛⎭⎫322＝254，解得m ＝52，所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋(y －2)2＝254. (2)由(1)知M (1,0)，N (4,0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN＝0.当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2＋y 2－4＝0，并整理得，(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2tt 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1，则k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝y 1ty 1－3＋y 2ty 2－3＝2ty 1y 2－3(y 1＋y 2)(ty 1－3)(ty 2－3)＝－6t t 2＋1＋6tt 2＋1(ty 1－3)(ty 2－3)＝0.综上可知，k AN ＋k BN 为定值．10．已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 截得的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方．(1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值．解：(1)设圆心M (a,0)，由已知得点M 到直线l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝⎛⎭⎫322＝12，∴|8a －3|82＋62＝12.又点M 在直线l 的下方，∴8a －3>0，∴8a －3＝5，a ＝1，∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设直线AC 的斜率为k 1，直线BC 的斜率为k 2，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6，解得C 点的横坐标为6k 1－k 2.∵|AB |＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12×⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18|k 1－k 2|.∵圆M 与AC 相切，∴1＝|k 1＋t |1＋k 21，∴k 1＝1－t 22t ；同理，k 2＝1－(t ＋6)22(t ＋6).∴k 1－k 2＝3(t 2＋6t ＋1)t 2＋6t，∴S ＝6(t 2＋6t )t 2＋6t ＋1＝6⎝⎛⎭⎫1－1t 2＋6t ＋1，∵－5≤t ≤－2，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4， ∴S max ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋18＝274. B 组 高考题型专练1．(2014·高考浙江卷)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫422得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.答案：B2．(2014·高考重庆卷)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：易知△ABC 是边长为2的等边三角形，故圆心C (1，a )到直线AB 的距离为3，即|a ＋a －2|a 2＋1＝3，解得a ＝4±15.经检验均符合题意，则a ＝4±15.答案：4±153．(2014·高考山东卷)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝44．(2015·高考山东卷)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.解析：在平面直角坐标系xOy 中作出圆x 2＋y 2＝1及其切线P A ，PB ，如图所示．连接OA ，OP ，由图可得|OA |＝|OB |＝1，|OP |＝2，|P A →|＝|PB →|＝3，∠APO ＝∠BPO ＝π6，则P A →，PB →的夹角为π3，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos π3＝32. 答案：325．(2015·高考重庆卷)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．解析：由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝0。
高考训练专题9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系(测)-2019年高考数学----精校解析 Word版
届河南省安阳市第三十五中学高三入门】已知圆与直线个交点，则正实数B. C. 1 D.【解析】圆化为标准方程即，由题意，圆心到直线的距离已知圆，当圆的面积最小时，直线B． C若直线与圆相切，且为锐角，则这条直线的斜率C D．【解析】由题意：，为锐角，所以所以直线已知条件，条件：直线相切，则的（与直线的值是（B. C. D.到直线所以有当时圆心为.届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三摸底】设直线交于两点，过分别作轴的垂线与轴交于两点若线段的长度为B. C. 或 D. 或，解得或，此时届二轮复习测试】已知光线从点射出，经过线段(反射，恰好与圆C已知圆，，若圆上存在点，则的最大值为（B. D.，故选届广西南宁市第三中学高三第一次月考】已知圆和两点，，上存在点，则的距离为C整理为的距离为的倾斜角的取值范围是】过定点的直线：相切于点，则过定点的圆心．过定点与圆：相切于点，则．届高三上期中】已知的方程为交于两点，当 __________月摸底】已知圆的方程为，点为圆点，过点的直线与圆相交于两点，当最小时，直线的方程为【答案】点在圆垂直时，弦长，直线的斜率，直线的方程为，整理得故答案为届学业监测】在平面直角在平面直角坐标系，圆，动点上的两点之间，过点的切线，切点为，若满足，则线段【答案】已知直角坐标系中的点【答案】化简可得关于直线对称，由点切点记为，当取最小值时，外接圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆①对于圆是圆的一个太极函数；所对应的函数一定是圆④若函数是圆的太极函数，则均为两曲线的对称中心，且能把圆的圆心在轴正半轴上，且轴和直线）求圆）若直线相交于两点，点，且为锐角，求实数的取值范围(1)届高三上期中】已知圆、）若交点为及）若直线过点，求的值．（））届第一次大考】已知直线，，是上的动点，过点，线段于点的轨迹为）求轨迹且与坐标轴不垂直的直线交曲线两点，若以线段为直径的圆相切，求直线的方程；即到定点到定直线的距离，所以的轨迹是以）依题意设直线的方程为联立，并整理得由抛物线的定义知的中点即因为以线段为直径的圆与直线解得所以直线的方程为，且圆心在直线上，直线【答案】的方程为，得，得=.，试求直线:的直线面积的最大值及此时直线，直线的方程为或，设直线：，联立，则有：，，故直线，设直线的方程：到直线的距离为.，则面积的为：，即时取“的方程为或。
2019版高考数学(理科)一轮教师用书(人教)：第9章 4 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系Word版含答案
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)， 圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，d 为圆心(a ，b )到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．( ) (3)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件．( )(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√(教材习题改编)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是()A．[－3，－1]B．[－1，3]C．[－3，1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选 C.由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，所以|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1，故选C.圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝0解析：选D.因点P在圆上，且圆心Q的坐标为(2，0)，所以k PQ＝－32－1＝－3，所以切线斜率k＝33，所以切线方程为y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0.若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m＝________．解析：圆C1的圆心是原点(0，0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心C2(3，4)，半径r2＝25－m，由两圆外切，得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋25－m＝5，所以m＝9.答案：9直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝________．解析：如图，取AB中点C，连接OC，OA，则OC⊥AB，|OA|＝22，|OC|＝|0－2×0＋5|12＋（－2）2＝5，所以|AC|＝8－5＝3，所以|AB|＝2|AC|＝2 3.答案：2 3直线与圆的位置关系[典例引领](1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定(2)圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是________． 【解析】 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 所以a 2＋b 2＞1，从而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b2＝1a 2＋b2＜1，所以直线与圆相交．(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k 2＋1)x 2＋4kx ＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k 2－12(k 2＋1)<0，解得k ∈(－3，3)． 法二：圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋2的距离d ＝2k 2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d >1，即2k 2＋1>1，解得k ∈(－3，3)．【答案】 (1)B (2)k ∈(－3，3)若将本例(1)的条件改为“点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1上”，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系如何？解：由点M 在圆上，得a 2＋b 2＝1，所以圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2＝1，则直线与圆O 相切．判断直线与圆的位置关系常用的方法[提醒] 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．[通关练习]1．直线x sin θ＋y cos θ＝1＋cos θ与圆x 2＋(y －1)2＝12的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能解析：选A.因为圆心到直线的距离d ＝|cos θ－1－cos θ|sin 2θ＋cos 2θ＝1>22，所以直线与圆相离．2．(2018·聊城模拟)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选 C.因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．圆的切线与弦长问题(高频考点)圆的切线与弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目．高考对圆的切线及弦长问题的考查主要有以下三个命题角度： (1)求圆的切线方程； (2)求弦长及切线长；(3)由弦长及切线问题求参数．[典例引领]角度一 求圆的切线方程过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0【解析】 因为过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条， 所以点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上， 因为圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝12， 所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.故选B. 【答案】 B角度二 求弦长及切线长。
【助力高考】2019年高考数学专题复习第51讲《直线与圆、圆与圆的位置关系》(含详细答案和教师用书)
♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第九章 平面解析几何第51讲 直线与圆、圆与圆的位置关系★★★核心知识回顾★★★知识点一、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． ⇔相交； ⇔相切； ⇔相离． (2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.知识点二、圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).★★★高考典例剖析★★★考点一、直线与圆的位置关系例1：圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能解： 直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内，直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交， 故选C.1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离D ．不确定考点二、圆与圆的位置关系例2： 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为( ) A.62 B.32 C.94D ．2 3♦♦♦跟踪训练♦♦♦2．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1内切，求ab 的最大值． 3．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相交，求公共弦所在的直线方程．4． (2017·重庆调研)如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是______________________． 考点三、直线与圆的综合问题 命题点1 求弦长问题例3： (2016·全国Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 解： 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23， |AB |＝23，所以|OM |＝3， 由|OM |＝|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33， 所以直线l ：x －3y ＋6＝0.由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)， BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0， 解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4. 命题点2 直线与圆相交求参数范围例4： 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题例5： 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25，∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52，∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.5．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．6．过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________． 7．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．98．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33B ．－33C ．±33D ．－ 3考点四、直线与圆的综合问题例6： 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 解： ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝45π. 故选A 。
高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析
高三数学直线与圆的位置关系试题答案及解析1.已知直线（其中为非零实数）与圆相交于两点，O为坐标原点，且为直角三角形，则的最小值为 .【答案】4【解析】∵直线（其中为非零实数）与圆相交于两点，O为坐标原点，且为直角三角形，∴，∴圆心O（0,0）到直线的距离，化为，∴，当且仅当取等号，∴的最小值为4.【考点】基本不等式.2.已知直线，若曲线上存在两点P、Q关于直线对称，则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为已知直线，若曲线上存在两点P、Q关于直线对称，所以直线必过圆的圆心(-1,3),从而有,故选D.【考点】1.圆的一般方程;2.圆的对称性.3.直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（）充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由时,圆心到直线的距离.所以弦长为.所以.所以充分性成立,由图形的对成性当时, 的面积为.所以不要性不成立.故选A.【考点】1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.4.直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则 .【答案】2【解析】依题意，设与单位圆相交于两点，则∠°.如图，当时满足题意，所以.【考点】直线与圆相交，相等弧的概念，容易题.5.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．10B．C．D．【答案】B【解析】可知点(3,5)在圆内,所以最长弦AC 为圆的直径.设AC 与BD 的交点为M(3,5) x 2+y 2-6x-8y=0(x-3)2+(y-4)2="25" AC=10,圆心O(3,4) ∵BD 为最短弦∴AC 与BD 相垂直,垂足为M,所以OM==1 ∴BD=2BM=2=4∵S 四边形ABCD =S △ABD +S △BDC =×BD×MA+×BD×MC=×BD×(MA+MC) =×BD×AC ∴S 四边形ABCD =×4×10=20.6. 已知圆C 的方程为：x 2＋y 2－2mx －2y ＋4m －4＝0(m ∈R)． (1)试求m 的值，使圆C 的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C 相切，且过点(1，－2)的直线方程．【答案】（1）当m ＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小． （2）x ＝1或4x －3y －10＝0.【解析】圆C 的方程：(x －m)2＋(y －1)2＝(m －2)2＋1.(1)当m ＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小． (2)当m ＝2时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1， 设所求的直线方程为y ＋2＝k(x －1)， 即kx －y －k －2＝0， 由直线与圆相切，得＝1，k ＝，所以切线方程为y ＋2＝(x －1)，即4x －3y －10＝0，又因为过点(1，－2)且与x 轴垂直的直线x ＝1与圆也相切， 所以所求的切线方程为x ＝1或4x －3y －10＝0.7. 设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－，1＋]B ．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)C ．[2－2，2＋2]D ．(－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞)【答案】D【解析】圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为＝1，所以m ＋n ＋1＝mn≤(m ＋n)2， 所以m ＋n≥2＋2或m ＋n≤2－2.8. 在平面直角坐标系中，直线（为参数）与圆（为参数）相切，切点在第一象限，则实数的值为 . 【答案】. 【解析】直线的一般式方程为，圆的圆心坐标为，半径长为，则有，解得或，由于切点在第一象限，则直线必过第一象限，则，因此.【考点】1.参数方程与普通方程间的转化；2.直线与圆的位置关系9.已知，则直线与圆：的位置关系是( )．A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答案】B【解析】方程组只有一解，即题设中直线与圆只有一个公共点，因此它们相切，选B.【考点】直线和圆的位置关系.10.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1，0)．(1)若l1与圆相切，求l1的方程；(2)若l1与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）x＝1或3x－4y－3＝0（2）6【解析】(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即＝2，解得k＝. ∴所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0.(2)(解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.由得N.又直线CM与l1垂直，由得M.∴AM·AN＝·＝＝6为定值．故AM·AN是定值，且为6.(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.由得N.再由得(1＋k2)x2－(2k2＋8k＋6)x＋k2＋8k＋21＝0.∴x1＋x2＝，得M.以下同解法1. (解法3)用几何法连结CA并延长交l2于点B，kAC＝2，kl2＝－，∴CB⊥l.如图所示，△AMC∽△ABN，则，2可得AM·AN＝AC·AB＝2·＝6，是定值11.已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.(1)若圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程；(2)圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．【答案】（1）x2＋y2＋2x－2y－8＝0或x2＋y2－4x－8y＋4＝0（2）过定点(2，0)．【解析】(1)配方得(x－t)2＋(y－t2)2＝t4＋t2－4t＋4，其圆心C(t，t2)．依题意t－t2＋2＝0t＝－1或2.即x2＋y2＋2x－2y－8＝0或x2＋y2－4x－8y＋4＝0为所求方程．(2)整理圆C的方程为(x2＋y2－4)＋(－2x＋4)t＋(－2y)·t2＝0，令故圆C过定点(2，0)．12.已知圆C的圆心与点P(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A、B两点，且＝6，求圆C的方程．【答案】x2＋(y＋1)2＝18.【解析】设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则圆心C(a，b)，由题意得解得故C(0，－1)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝3.∵AB＝6，∴r2＝d2＋＝18，∴圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.13.已知圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P、Q两点．(1)求圆C的方程；(2)若·＝－2，求实数k的值．【答案】（1）x2＋y2＝4（2）k＝0.【解析】(1)设圆心C(a，a)，半径为r.因为圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，所以圆C的方程是x2＋y2＝4.(2)因为·＝2×2×cos〈，〉＝－2，且与的夹角为∠POQ，所以cos∠POQ＝－，∠POQ＝120°，所以圆心C到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝1，又d＝，所以k＝0.14.在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x－1)2＋y2＝4上的任意一点，点Q(2a，a－3)(a∈R)，则线段PQ长度的最小值为________．【答案】－2【解析】点Q在直线x－2y－6＝0上，圆心(1，0)到该直线的距离为d＝＝，因此线段PQ长度的最小值为－2.15.如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C.求证：BT平分∠OBA.【答案】见解析【解析】证明连接OT，因为AT是切线，所以OT⊥AP.又因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA＝∠BTO.又OT＝OB，所以∠OTB＝∠OBT，所以∠OBT＝∠TBA，即BT平分∠OBA.16.已知圆O：x2＋y2＝5，直线l：x cos θ＋y sin θ＝1.设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k＝________.【答案】4【解析】圆心O到直线l的距离d＝＝1，又圆O半径为，∴圆O上到l的距离等于1的点有4个．17.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为为参数），圆的极坐标方程为.（1）若圆关于直线对称，求的值；（2）若圆与直线相切，求的值.【答案】（1）2；（2）或【解析】（1）因为要求圆关于直线对称的圆，首先将直线的参数方程化为普通方程，同样的要将圆的极坐标方程化为普通方程，由于圆关于直线对称，所以直线经过圆的圆心.所以将圆心的坐标代入直线方程即可求出结论.（2）若圆与直线相切，则圆心到直线的距离为半径的长，由（1）可得的直线方程和圆的方程可得相应的量，从而可求出结论.试题解析：（1）直线;圆,圆心为,半径.由题设知,直线过圆心,所以,所以；（2）点到直线的距离为因此整理得,所以或【考点】1.直线的参数方程.2.圆的极坐标方程.3.直线与圆的位置关系.18.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是()．A．－B．－C．－D．－【答案】A【解析】因为圆C的方程可化为：(x－4)2＋y2＝1，所以圆C的圆心为(4,0)，半径为1.依题意知直线y＝kx＋2上至少存在一点A(x0，kx＋2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，所以存在x0∈R，使得|AC|≤1＋1成立，即|AC|min≤2.因为|AC|min即为点C到直线y＝kx＋2的距离.所以≤2，解得－≤k≤0，所以k的最小值为－.19.已知椭圆的离心率为，且经过点，圆的直径为的长轴.如图，是椭圆短轴端点，动直线过点且与圆交于两点，垂直于交椭圆于点.（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）已知椭圆的离心率为即可得到与的关系式,再结合椭圆过点,代入椭圆方程组成方程组可求解得到椭圆方程; （2）要求面积可先求两个弦长度,是一直线与圆相交得到的弦长,可采用圆的弦长公式,而是椭圆的弦长,使用公式求解,把面积表示成变量的函数, 求其最值时可用换元法求解.对当斜率为0时要单独讨论.试题解析：（1）由已知得到,所以,即.又椭圆经过点,故,解得,所以椭圆的方程是（2）因为直线且都过点①当斜率存在且不为0时,设直线,直线,即,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截弦由得,所以所以.令,则,当,即时,等号成立,故面积的最大值为,此时直线的方程为②当斜率为0时,即,此时当的斜率不存在时,不合题意;综上, 面积的最大值为,此时直线的方程为.【考点】直线与圆的位置关系,弦长公式,换元法求函数最值.20.已知的三个顶点，，，其外接圆为．(1)若直线过点，且被截得的弦长为2，求直线的方程；(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求的半径的取值范围．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）求的外接圆方程可用待定系数法或利用两边垂直平分线的交点先求出圆心，再利用两点之间距离公式求出半径，求出圆的方程后再利用待定系数法求出直线的方程，此时要注意分直线斜率存在和不存在两种情况讨论；（2）可设出点的坐标，再把点的坐标用其表示，把点的坐标代入圆的方程，利用方程组恒有解去考察半径的取值范围，但要注意三点不能重合，即圆和线段无公共点.试题解析：(1)线段的垂直平分线方程为，线段的垂直平分线方程为，所以外接圆圆心，半径，的方程为． 4分设圆心到直线的距离为，因为直线被截得的弦长为2，所以．当直线垂直于轴时，显然符合题意，即为所求； 6分当直线不垂直于轴时，设直线方程为，则，解得，综上，直线的方程为或． 8分(2) 直线的方程为，设，因为点是点，的中点，所以，又都在半径为的上，所以即 10分因为该关于的方程组有解，即以为圆心为半径的圆与以为圆心为半径的圆有公共点，所以， 12分又，所以对]成立．而在[0，1]上的值域为[，10]，故且． 15分又线段与圆无公共点，所以对成立，即.故的半径的取值范围为． 16分【考点】圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系.21.已知圆的方程为，直线l的方程为，若圆与直线相切，则实数m= .【答案】2或－8【解析】因为直线与圆相切，所以.【考点】直线与圆的位置关系.22.若点在曲线（为参数，）上，则的取值范围是 .【答案】.【解析】曲线（为参数，）表示的是以点为圆心，以为半径长的圆，令，即，即点既在直线上，也在圆上，则圆心到直线的距离，解得，即的取值范围是.【考点】1.圆的参数方程；2.直线与圆的位置关系23.过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（）A．2x+y-3=0B．2x-y-3="0"C．4x-y-3=0D．4x+y-3=0【答案】A【解析】因为过点作圆的两条切线，切点分别为，所以圆的一条切线方程为，切点之一为，显然B、D选项不过，B、D不满足题意；另一个切点的坐标在的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．【考点】圆的切线方程，直线的一般方程．24.直线与圆有两个不同交点,则满足（）．A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】直线与圆有两个不同交点，则圆心到直线距离小于半径，即，解得．【考点】直线与圆的位置关系．25.如图，已知半径为的⊙与轴交于、两点，为⊙的切线，切点为，且在第一象限，圆心的坐标为，二次函数的图象经过、两点.（1）求二次函数的解析式；（2）求切线的函数解析式；（3）线段上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似．若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）切线的函数解析式为；（3）点的坐标为或.【解析】（1）先求出圆的方程，并求出圆与轴的交点和的坐标，然后将点和的坐标代入二次函数中解出和的值，从而确定二次函数的解析式；（2）由于切线过原点，可设切线的函数解析式为，利用直线与圆求出值，结合点的位置确定切线的函数解析式；（3）对或进行分类讨论，充分利用几何性质，从而确定点的坐标.试题解析：（1）由题意知，圆的方程为，令，解得或，故点的坐标为，点的坐标为，由于二次函数经过、两点，则有，解得，故二次函数的解析式为；（2）设直线所对应的函数解析式为，由于点在第一象限，则，由于直线与圆相切，则，解得，故切线的函数解析式为；（3）由图形知，在中，，，，在中，，由于，因为，则必有或，联立，解得，故点的坐标为，当时，直线的方程为，联立，于是点的坐标为；当时，，由于点为线段的中点，故点为线段的中点，此时点的坐标为.综上所述，当点的坐标为或时，.【考点】1.二次函数的解析式；2.直线与圆的位置关系；3.相似三角形26.设，，直线：，圆：．若圆既与线段又与直线有公共点，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】圆：，圆心，圆与直线相交，则，；当圆过时，圆心，从该位置圆向左平移至与相切时，取负值，直线为：，相切时有：，即（），所以，则.所以.【考点】1.点到直线的距离公式；2.圆与直线的位置关系.27.过点作圆的两条切线,切点分别为,,则直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为过点作圆的两条切线，切点分别为、，所以，圆的一条切线方程为，切点之一为，显然、选项直线不过，、不符合题意；另一个切点的坐标在的右侧，所以切线的斜率为负，选项不满足，满足．故选．【考点】直线与圆的位置关系28.若，则直线被圆所截得的弦长为 ( )A．B．1C．D．【答案】D【解析】因为，所以设弦长为，则，即.【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交.29.若直线经过点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知直线经过点，而点在圆上，所以直线与圆有交点，所以圆心到直线的距离小于或等于半径：．【考点】点与圆、直线与圆的位置关系．30.在极坐标系中，直线与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【答案】C【解析】直线方程为，圆的方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离.【考点】极坐标方程、直线与圆的位置关系.31.直线y= x+1被圆x2-2x +y2-3 =0所截得的弦长为_____【答案】【解析】圆的标准方程为，圆心，半径．圆心到直线的距离，所以弦长．【考点】直线与圆的位置关系．32.若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为直线y=kx与圆（x-2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，直线2x+y+b=0的斜率为-2，所以k=，并且直线经过圆的圆心，所以圆心（2，0）在直线2x+y+b=0上，所以4+0+b=0，b=-4．故选A．【考点】直线与圆的位置关系；关于点、直线对称的圆的方程．点评：本题考查直线与圆的位置关系，对称直线方程的应用，考查分析问题解决问题与计算能力. 33.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若，则根据圆心到直线的距离、圆半径和半弦长组成一个直角三角形可以得到，圆心到直线的距离等于1，若，则圆心到直线的距离小于等于1，根据点到直线的距离公式可知，解得k的取值范围是.【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式的应用.点评：遇到直线与圆相交的题目，常常用到圆心到直线的距离、圆半径和半弦长组成一个直角三角形，进而用点到直线的距离公式或数形结合解决问题.34.直线R与圆的交点个数是( )A．0B．1C．2D．无数个【答案】C【解析】判断直线与圆的位置关系经常利用圆的几何性质来解决，即当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，故本题应先求圆心（2，0）到直线x+ay-1=0的距离，再证明此距离小于半径，即可判断交点个数。
新教材高考数学第二章直线和圆的方程5-2圆与圆的位置关系练习含解析新人教A版选择性必修第一册
圆与圆的位置关系学习目标 1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．知识点 两圆的位置关系及其判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系如下：位置关系 外离外切相交内切内含图示d 与r 1，r 2的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|< d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0(D 21＋E 21－4F 1>0)， C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0(D 22＋E 22－4F 2>0)，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含思考 根据代数法确定两个圆的位置关系时，若已知两圆只有一个交点，能否准确得出两圆的位置关系？答案 不能. 已知两圆只有一个交点只能得出两圆内切或外切．1．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( × ) 2．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )3．从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( × )4．若两圆有公共点，则|r 1－r 2|≤d ≤r 1＋r 2.( √ )一、两圆位置关系的判断例1 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14x＋k＝0相交、相切、相离？解将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝－2－12＋3－72＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即34＜k＜50或k＜14时，两圆相离．反思感悟判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．跟踪训练1 (1)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切B．相交C．外切D．相离答案 B解析两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距为－2－22＋0－12＝17，则R－r<17<R＋r，所以两圆相交，选B.(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．答案 4解析到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝3＋12＋－1－22＝5.半径之和为3＋1＝4，因为5>4，所以圆A 和圆B 外离，因此它们的公切线有4条． 二、两圆的公共弦问题例2 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0. (1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度．解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，则C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，∴圆C 1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r 1＝52， 圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r 2＝10. ∴|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10， |r 1－r 2|＝|52－10|， ∴|r 1－r 2|<|C 1C 2|<r 1＋r 2， ∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x －2y ＋4＝0.(3)方法一 由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×－5＋4|1＋－22＝35， ∴公共弦长为l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.方法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴|AB |＝－4－02＋0－22＝2 5.即公共弦长为2 5.反思感悟 两圆的公共弦问题(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练2 (1)两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x ＋2y －40＝0的公共弦的长为( ) A ．5 B ．5 2 C ．10 2 D ．10 答案 D(2)圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长为________．答案23解析 由题意将两圆的方程相减，可得圆C 1和圆C 2公共弦所在的直线l 的方程为x ＋y －1＝0.又圆C 3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l 的距离为d ＝|1＋1－1|12＋12＝22， 设圆C 3的半径为r ，由条件知，r 2－d 2＝254－12＝234，所以弦长为2×232＝23.圆系方程的应用典例 (1)求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程．解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0， 所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ，2λ1＋λ.又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3.所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点坐标分别为A (－1，－1)，B (3,3)， 线段AB 的垂直平分线所在的直线方程为y －1＝－(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝－x －1，x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即所求圆的圆心坐标为(3，－1)， 半径为3－32＋[3－－1]2＝4.所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.(2)求过直线x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0的交点且与直线y ＝x 相切的圆的方程． 解 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λ(x ＋y ＋4)＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λx ＋y ＋4＝0，得x 2＋(1＋λ)x ＋2(λ－1)＝0.因为所求圆与直线y ＝x 相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，解得λ＝3， 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋7x ＋y ＋8＝0.[素养提升] (1)当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可．(2)理解运算对象，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果，体现了数学运算的数学核心素养．1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切答案 B解析 化为标准方程：圆O 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆O 2：x 2＋(y －2)2＝4，则O 1(1,0)，O 2(0,2)，|O 1O 2|＝1－02＋0－22＝5<r 1＋r 2，又r 2－r 1<5，所以两圆相交．2．圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9与圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4外切，则m 的值为( ) A ．2B ．－5C ．2或－5D ．不确定答案 C解析 圆C 1：(x ＋2)2＋(y －m )2＝9的圆心为(－2，m )，半径长为3， 圆C 2：(x －m )2＋(y ＋1)2＝4的圆心为(m ，－1)，半径长为2. 依题意有－2－m2＋m ＋12＝3＋2，即m 2＋3m －10＝0， 解得m ＝2或m ＝－5.3．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0答案 C解析 AB 的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A ，B ，D.4．已知以C (4，－3)为圆心的圆与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，则圆C 的方程是__________________． 答案 (x －4)2＋(y ＋3)2＝16或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36 解析 设圆C 的半径为r ， 圆心距为d ＝4－02＋－3－02＝5，当圆C 与圆O 外切时，r ＋1＝5，r ＝4， 当圆C 与圆O 内切时，r －1＝5，r ＝6， ∴圆的方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝16 或(x －4)2＋(y ＋3)2＝36.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 1解析 将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y ＝1a，圆心(0,0)到直线的距离为d ＝1a＝22－32＝1，所以a ＝1.1．知识清单： (1)两圆的位置关系． (2)两圆的公共弦．2．方法归纳：几何法、代数法． 3．常见误区：将两圆内切和外切相混．1．圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋4y －1＝0的位置关系为( ) A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．外离答案 C解析 由已知，得C 1(－2，－4)，r 1＝5，C 2(－2，－2)，r 2＝3，则d ＝|C 1C 2|＝2， 所以d ＝|r 1－r 2|，所以两圆内切．2．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( ) A ．(1,0)和(0,1) B ．(1,0)和(0，－1) C ．(－1,0)和(0，－1) D ．(－1,0)和(0,1)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.所以两圆的交点坐标为(－1,0)和(0，－1)．3．已知圆C 1：x 2＋y 2－m ＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0，若圆C 1与圆C 2有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞121 C ．1≤m ≤121 D ．1＜m ＜121答案 C解析 圆C 1的方程可化为x 2＋y 2＝m (m >0)，则圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝m ； 圆C 2的方程可化为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36，则圆心为C 2(－3,4)，半径r 2＝6. ∵圆C 1与圆C 2有公共点，∴|r 1－r 2|≤|C 1C 2|≤r 1＋r 2， 即|m －6|≤－3－02＋4－02≤m ＋6，∴⎩⎨⎧|m －6|≤5，m ＋6≥5，解得1≤m ≤121.4．(多选)设r >0，圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝r 2与圆x 2＋y 2＝16的位置关系不可能是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外离 D ．外切答案 CD解析 两圆的圆心距为d ＝1－02＋－3－02＝10，两圆的半径之和为r ＋4， 因为10<r ＋4，所以两圆不可能外切或外离，故选CD.5．圆O 1：x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与圆O 2：x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线条数为( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条答案 C解析 圆O 1为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121，O 1(3，－8)，r ＝11，圆O 2为(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，O 2(－2,4)，R ＝8， ∴|O 1O 2|＝3＋22＋－8－42＝13，∴r －R ＜|O 1O 2|＜R ＋r ， ∴两圆相交．∴公切线有2条．6．若圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＝2和x 2＋y 2－2by ＋b 2＝1外离，则a ，b 满足的条件是_____________． 答案 a 2＋b 2>3＋2 2解析 由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a ，0)，2和(0，b )，1. 因为两圆外离，所以a 2＋b 2>2＋1， 即a 2＋b 2>3＋2 2.7．已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A ，B 两点，则直线AB 的方程是_______． 答案 x ＋3y ＝0解析 圆的方程(x －1)2＋(y －3)2＝20可化为x 2＋y 2－2x －6y ＝10. 又x 2＋y 2＝10，两式相减得2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0.8．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________．答案 x 2＋y 2－34x －34y －114＝0解析 由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－34， 故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0.9．已知圆O 1：x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)．若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解 设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0， 作O 1H ⊥AB ，H 为垂足，则AH ＝12AB ＝2，所以O 1H ＝r 21－AH 2＝4－2＝ 2.由圆心O 1(0，－1)到直线4x ＋4y ＋r 22－8＝0的距离为 |r 22－12|42＝2，得r 22＝4或r 22＝20， 故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.10．已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)， 半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，5－12＋6－32＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时61－m －11＝5， 解得m ＝25－1011.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0， ∴公共弦长为2112－⎝⎛⎭⎪⎫|4×1＋3×3－23|42＋322＝27.11．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A ．(x －5)2＋(y －7)2＝25B ．(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C．(x－5)2＋(y－7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9答案 D解析设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则x－52＋y＋72＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则x－52＋y＋72＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.12．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( ) A．4 B．4 2 C．8 D．8 2答案 C解析∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝a－b2＋a－b2＝32×2＝8.13．如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是( )A．(－22，0)∪(0,22) B．(－22，22)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－1,1)答案 A解析∵圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，∴圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交．|OC|＝a2＋1，由2－1<|OC|<2＋1，得1<a2＋1<3，∴0<|a|<22，∴－22<a<0或0<a<2 2.14．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．答案 4解析 连接OO 1，记AB 与OO 1的交点为C ，如图所示，在Rt△OO 1A 中，|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5，∴|AC |＝5×255＝2， ∴|AB |＝4.15．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是____________________．答案 x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0解析 设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13， 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.16．已知动点P 与两个定点O (0,0)，A (3,0)的距离的比为12. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知圆Q 的圆心为Q (t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围．解 (1)设P (x ，y )，则||AP ＝2||OP ，即||AP |2＝4OP |2， 所以(x －3)2＋y 2＝4(x 2＋y 2)，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4.所以动点P 的轨迹C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)因为点Q 的坐标为(t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，所以圆Q 的半径为t ， 所以，圆Q 的方程为(x －t )2＋(y －t )2＝t 2.因为圆Q 与圆C 有公共点，又圆Q 与圆C 的两圆心距为 ||CQ ＝()t ＋12＋()t －02＝2t 2＋2t ＋1， 所以||2－t ≤||CQ ≤2＋t ，即(2－t )2≤2t 2＋2t ＋1≤(2＋t )2，解得－3＋23≤t≤3.所以，实数t的取值范围是[]－3＋23，3.。
圆与圆之间的位置关系(人教A版)
圆与圆之间的位置关系（人教A版）
一、单选题(共9道，每道11分)
1.已知两圆的半径分别为2，3，圆心距为d，若两圆有公共点，那么圆心距的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.若圆，圆，则两圆的位置关系是( )
A.相交
B.内含
C.外切
D.内切
3.已知方程组有两组不同的解，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.若圆和圆相交，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.圆与圆的公切线（注：公切线是两个圆公共的切线）的条数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
6.已知，若圆和圆
只有一条公切线（注：公切线是两个圆公共的切线），则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
7.若圆始终平分圆的周长，则
满足的关系是( )
A. B.
C. D.
8.两圆相交于点，，两圆的圆心均在直线上，则
的值为( )
A.-1
B.2
C.3
D.0
9.圆经过点，且与圆相切于，则圆
的圆心坐标为( )
A. B.
C. D.。
高考数学复习第八单元第44讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件理新人教A版4
位置关系是
.
2
相交
[答案]
[解析] 将圆的方程化为
x +(y-1) =1,直线 l 的方程化为
2
2
kx-y-k+1=0,则圆心为(0,1),半径
r=1,所以圆心到直线 l 的距离
d=
|-|
1+ 2
<1,故直线 l 与圆相交.
课前双基巩固
3.[教材改编] 圆 x +y -4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆
相交. (
[解析] (1)直线的方程与圆的方程组成
两组解时,直线与圆相交.
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,
则两圆外切. (
(2)× (3)× (4)×
)
共弦所在的直线方程.
课前双基巩固
2.[教材改编] 直线 l:y-1=k(x-1)和圆 x +y -2y=0 的
2
为
.
2
||
2 + 2
=1=r(r 为圆 C 的半径),
2
2
课堂考点探究
例 1 (1)[2018·贵州黔东南一联] 在△ABC 中,若
asin A+bsin B-csin C=0,则圆 C:x +y =1 与直线
2
l:ax+by+c=0 的位置关系是 (
2
)
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
2
2
2
.
2
r1=1,圆 C2 的方程可化为
2
2
(x-3) +(y-4) =25-m,所以 25-m>0,即 m<25,
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高考数学精品复习资料2019.5第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为( )．A．4 B．3 C．2 D．1解析法一(直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x＋y＝1的距离d＝12＝22＜1＝r，所以直线与圆相交，故选C.法二(数形结合法)画图可得，故选C.答案 C2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()．A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.答案 C3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是( )A．a2＋2a＋2b－3＝0B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2a＋2b＋5＝0D．a2－2a－2b＋5＝0解析即两圆的公共弦必过(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a ＋1)x －2(b ＋1)y ＋a 2＋1＝0， 将圆心坐标(－1，－1)代入可得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0. 答案 C4．若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条切线，则a ＋b 的最大值为( )．A ．－3 2B ．－3C ．3D ．3 2解析 易知圆C 1的圆心为C 1(－a,0)，半径为r 1＝2； 圆C 2的圆心为C 2(0，b )，半径为r 2＝1. ∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即a 2＋b 2＝9.∵⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22， ∴a ＋b ≤32(当且仅当a ＝b ＝32时取“＝”)， ∴a ＋b 的最大值为3 2. 答案 D5．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞解析 C 1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意， 则－33<m <0或0<m <33.综上知－33<m<0或0<m<33.答案 B6．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是()．解析如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π.切点A在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.以切点A在第三象限为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.大圆圆弧的长为l1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧的长为l2＝2θ×1＝2θ，则l1＝l2，即小圆的两段圆弧与的长相等，故点M1与点M′重合．即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，故M，N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项知，只有选项A符合．故选A.答案 A二、填空题7．直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．解析由题意得，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x－y ＝0的距离d ＝22＝ 2. 设截得的弦长为l ，则由⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋(2)2＝22，得l ＝2 2.答案 2 28．设集合A ＝(x ，y )⎪⎪⎪m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________． 解析 ∵A ∩B ≠∅，∴A ≠∅， ∴m 2≥m 2.∴m ≥12或m ≤0.显然B ≠∅.要使A ∩B ≠∅，只需圆(x －2)2＋y 2＝m 2(m ≠0)与x ＋y ＝2m 或x ＋y ＝2m ＋1有交点，即|2－2m |2≤|m |或|1－2m |2≤|m |，∴2－22≤m ≤2＋ 2. 又∵m ≥12或m ≤0，∴12≤m ≤2＋ 2. 当m ＝0时，(2,0)不在0≤x ＋y ≤1内．综上所述，满足条件的m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋29．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．解析 (数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0 可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3. 在Rt △OBC 中可得：∠OCB ＝π3，∴∠ACB ＝2π3，∴所求劣弧长为2π. 答案 2 π10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析 画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O (0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离d ＜1，即0＜|c |13＜1，∴－13＜c ＜13. 答案 (－13,13) 三、解答题11．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程． 解 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.12．已知与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切的直线l 交x 轴，y 轴于A ，B 两点，|OA |＝a ，|OB |＝b (a >2，b >2)． (1)求证：(a －2)(b －2)＝2； (2)求线段AB 中点的轨迹方程； (3)求△AOB 面积的最小值．解 (1)证明：圆的标准方程是(x －1)2＋(y －1)2＝1，设直线方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，圆心到该直线的距离d ＝|a ＋b －ab |a 2＋b2＝1， 即a 2＋b 2＋a 2b 2＋2ab －2a 2b －2ab 2＝a 2＋b 2，即a 2b 2＋2ab －2a 2b －2ab 2＝0， 即ab ＋2－2a －2b ＝0，即(a －2)(b －2)＝2.(2)设AB 中点M (x ，y )，则a ＝2x ，b ＝2y ，代入(a －2)(b －2)＝2， 得(x －1)(y －1)＝12(x >1，y >1)．(3)由(a －2)(b －2)＝2得ab ＋2＝2(a ＋b )≥4ab ， 解得ab ≥2＋2(舍去ab ≤2－2)， 当且仅当a ＝b 时，ab 取最小值6＋42， 所以△AOB 面积的最小值是3＋2 2.13．设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (其中k 的值与b 无关)，圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －4＝0.(1)如果不论k 取何值，直线l 与圆M 总有两个不同的交点，求b 的取值范围； (2)b ＝1时，l 与圆交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值． 解 圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5， ∴圆心M 的坐标为(1,0)，半径为r ＝ 5. (1)∵不论k 取何值，直线l 总过点P (0，b )，∴欲使l 与圆M 总有两个不同的交点，必须且只需点P 在圆M 的内部，即|MP |<5，即1＋b 2<5，∴－2<b <2，即b 的取值范围是(－2,2)．(2)当l 过圆心M 时，|AB |的值最大，最大值为圆的直径长2 5.当l ⊥MP 时，此时|MP |最大，|AB |的值最小，|MP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2k ＋1k≤1＋22k ·1k＝2，当且仅当k ＝1时取等号．最小值为2r 2－|MP |2＝25－2＝2 3.14．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程； (2)求四边形QAMB 面积的最小值； (3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1， ∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0， ∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1. (2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ， ∴|MP |＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |， 即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9. 设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)， ∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。