2019年高考数学(人教a版,理科)题库：直线与圆、圆与圆的位置关系(含答案)

高考数学精品复习资料

2019.5

第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系

一、选择题

1．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为( )．

A．4 B．3 C．2 D．1

解析法一(直接法)集合A表示圆，集合B表

示一条直线，又圆心(0,0)到直线x＋y＝1的距离

d＝1

2

＝

2

2

＜1＝r，所以直线与圆相交，故选C.

法二(数形结合法)画图可得，故选C.

答案 C

2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是

()．A．[－3，－1] B．[－1,3]

C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

解析由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，

∴|a－0＋1|

12＋(－1)2

≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.

答案 C

3．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是( )

A．a2＋2a＋2b－3＝0

B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0

C．a2＋2a＋2b＋5＝0

D．a2－2a－2b＋5＝0

解析即两圆的公共弦必过(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心，

两圆相减得相交弦的方程为－2(a ＋1)x －2(b ＋1)y ＋a 2＋1＝0， 将圆心坐标(－1，－1)代入可得a 2＋2a ＋2b ＋5＝0. 答案 C

4．若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条切线，则a ＋b 的最大值为

( )．

A ．－3 2

B ．－3

C ．3

D ．3 2

解析 易知圆C 1的圆心为C 1(－a,0)，半径为r 1＝2； 圆C 2的圆心为C 2(0，b )，半径为r 2＝1. ∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，

∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即a 2

＋b 2

＝9.∵⎝

⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 2

2， ∴a ＋b ≤32(当且仅当a ＝b ＝3

2

时取“＝”)， ∴a ＋b 的最大值为3 2. 答案 D

5．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是

( )．

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33

，33

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，33

C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－33

，33

D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫3

3，＋∞

解析 C 1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．

当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；

当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直

线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±3

3，即直线处于两切线之间时满足题意， 则－33

综上知－

3

3

3

3.

答案 B

6．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内

壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径

的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，

点M，N在大圆内所绘出的图形大致是()．

解析如图，建立直角坐标系，由题意可知，小

圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆

的圆心O.设某时刻两圆相切于点A，此时动点M

所处位置为点M′，则大圆圆弧的长与小圆

圆弧的长之差为0或2π.切点A在三、四象限

的差为0，在一、二象限的差为2π.以切点A在第三象限为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.大圆圆弧的长为l1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧的长为l2＝2θ×1＝2θ，则l1＝l2，即小圆的两段圆弧与的长相等，故点M1与点M′重合．即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，故M，N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项知，只有选项A符合．故选A.

答案 A

二、填空题

7．直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长为________．

解析由题意得，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x

－y ＝0的距离d ＝

2

2

＝ 2. 设截得的弦长为l ，则由⎝ ⎛⎭⎪⎫

l 22＋(2)2＝22，得l ＝2 2.

答案 2 2

8．设集合A ＝(x ，y )⎪⎪⎪

m

2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m

＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________． 解析 ∵A ∩B ≠∅，∴A ≠∅， ∴m 2≥m 2.∴m ≥1

2或m ≤0.显然B ≠∅.

要使A ∩B ≠∅，只需圆(x －2)2＋y 2＝m 2(m ≠0)与x ＋y ＝2m 或x ＋y ＝2m ＋1有交点，即

|2－2m |2≤|m |或|1－2m |2

≤|m |，∴2－2

2≤m ≤2＋ 2. 又∵m ≥12或m ≤0，∴1

2≤m ≤2＋ 2. 当m ＝0时，(2,0)不在0≤x ＋y ≤1内．

综上所述，满足条件的m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤

12，2＋2.

答案 ⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

12，2＋2

9．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．

解析 (数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0 可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3. 在Rt △OBC 中可得：∠OCB ＝π3，∴∠ACB ＝2π3，

∴所求劣弧长为2π. 答案 2 π

10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．

解析 画图可知，圆上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，该