电动力学0.2-0.5 标量场的方向导数和梯度

∆V r ∂Fx ∂Fy ∂Fz r 在直角坐标系中， 在直角坐标系中， F = + + = ∇⋅ F div ∂x ∂y ∂z
∆V →0
r divF = lim
r r F ⋅ dS ∫
S
v r ∇⋅ F表示在矢量场 F 中某点处单位体积内散发出来的 v r 的通量，描述了通量源的密度， 矢量 F 的通量，描述了通量源的密度，若 ∇⋅ F ≠ 0，则 r v v 为有散场， 为无散场。 矢量场 F 为有散场，若 ∇⋅ F = 0 则矢量场 F 为无散场。 ，
r ∇⋅ F = lim
V S
S1 S2
en2 en1
∫
Si
r r F ⋅ dSi
∆Vi →0
∆Vi
可得： 可得：
∫
Si
v v v F ⋅ dSi = (∇ ⋅ F )∆Vi (i ~ n)
V S
S1 S2 由于相邻体积元有一个公共表面，两 由于相邻体积元有一个公共表面， 体积元在公共表面上的通量等值异号 等值异号， 体积元在公共表面上的通量等值异号， en2 en1 求和时互相抵消。 求和时互相抵消。有部分表面在 面上，这部分表面的通量没有被抵消， S面上，这部分表面的通量没有被抵消，其总和刚好等 于从封闭面S穿出的通量。因此有： 于从封闭面S穿出的通量。因此有：
ϕ( p) −ϕ( p0 ) ∂ϕ ∆ϕ = lim = lim ∂l P0 ∆l →0 ∆l ∆l →0 ∆l
等值面族
P0
∆l
P
r l
方向导数
v ∂ϕ 在点P 方向导数 是标量场 ϕ(P)在点P0处沿方向 l 对距离 ∂l P0 v
有关。 的变化率， 的变化率，它的数值与所取的方向 l 有关。
ϕ( p) −ϕ( p0 ) ∂ϕ = lim ∂l P0 ∆l →0 ∆l
∆S →0
r rotn F = lim
v ∂ϕ 方向增加， 当 时，函数ϕ ( P ) 沿 l 方向增加，当 ∂ϕ < 0 时，函 >0 ∂l ∂l v v ∂ϕ 方向减小， 数 ϕ ( P ) 沿 l 方向减小， = 0 时，函数 ϕ ( P )沿 l 方向不变 ∂l v 的方向导数都存在， 一方向 l 的方向导数都存在，且
处可微， 若函数 ϕ ( x, y, z ) 在点 P ( x, y, z ) 处可微，则在该点处沿任 1
∑ ∫
i =1
n
Si
v v v v F ⋅ dSi = F ⋅ dS ∫
S
∫
S
v v n v v F ⋅ dS = ∑ (∇⋅ F )∆Vi = ∫ ∇⋅ FdV
i =1 V
r r r F ⋅ dS = ∫ ∇⋅ FdV ∫
S V
利用高斯定理可以将面积分与体积分进行相互变换 利用高斯定理可以将面积分与体积分进行相互变换 面积分
标量场的等值线( 标量场的等值线(面)
等值面方程： 等值面方程：u(x, y, z) =来自百度文库C
u=c1 u=c2 u=c3
3 方向导数 r 设 l 为标量场 ϕ = ϕ ( P ) 中的任意方 是这个方向线上给定的一点， 向，P0是这个方向线上给定的一点，P 为同一线上邻近的一点, 为同一线上邻近的一点, ∆l 为P0和P之 间的距离。 定义标量场 间的距离。当 ∆l → 0时，定义标量场 ϕ ( P ) r 在点P 在点P0处沿 l方向的方向导数为
∂l
P 1
2
r en θ
r l
P2
1
P0
4.1 梯度的定义
P 0
∆ϕ = lim ∆l →0 ∆l
的梯度是一个矢量， 标量场 ϕ ( P )在点P0处的梯度是一个矢量，其方向 在点P 处方向导数取得最大值的方向， 为函数 ϕ ( P )在点P0处方向导数取得最大值的方向，其 模等于这个最大的方向导数， 模等于这个最大的方向导数，记作
4 高斯定理
r r r F ⋅ dS = ∫ ∇⋅ FdV ∫
S V
v 矢量场 F 通过任意闭合曲面S 的通量等于该闭合曲面所包 v 围的体积 V 内矢量场 F 的散度的体积分
证明： 证明： 将闭合曲面S包围的体积V 将闭合曲面S包围的体积V分成许 多小体积元d 多小体积元dVi (i=1~n)，计算每个体积 上的通量，再叠加。 元的小封闭曲面Si上的通量，再叠加。 由散度定义，对于第i个小体积元有 由散度定义，对于第i个小体积元有：
中每一点P处的梯度，垂直于过该点的等值面， 标量场 ϕ ( P ) 中每一点P处的梯度，垂直于过该点的等值面，并 增加的方向， 沿法线方向的变化率。 指向 ϕ ( P ) 增加的方向，梯度的模是 ϕ ( P ) 沿法线方向的变化率。
重力场 正点电荷产生的电场
P 1
ϕ = c2
ϕ = c1
标量场是黑白的，黑色表示大的数值， 标量场是黑白的，黑色表示大的数值，而其相应的梯度用蓝色箭头表示
∂ϕ r r ∂ϕ gradϕ = en en = ∂l max ∂n
v ∂ϕ v ∂ϕ v ∂ϕ 在直角坐标系中 gradϕ = ex + ey + ez = ∇ϕ ∂y ∂z ∂x
4.2 梯度的性质 标量场 ϕ 的梯度是个矢量场
gradϕ = ∂ϕ r en ∂n ∂ϕ gradϕ = >0 ∂n
S
通过闭合曲面 S 的通量为 Φ = ∫ 面元矢量
Φ=∫
s
r r F ⋅ dS
v v dS = en dS
v F cos θ dS ，以外法线方向为正
2 通量的物理意义
矢量场通过闭合曲面的通量的三种可能结果
Φ>0
正通量源
Φ<0
负通量源
Φ= 0
无通量源
通过闭合曲面有 净的矢量线穿出
通过闭合曲面有 净的矢量线进入
(
)
复合函数的梯度 ∇f (ϕ ) = f ' (ϕ ) ∇ϕ
v v v 证明： 证明： f (ϕ ) = e x ∂f (ϕ ) + e y ∂f (ϕ ) + ez ∂f (ϕ ) ∇ ∂x ∂y ∂z v df ( ϕ ) ∂ ϕ v df ( ϕ ) ∂ ϕ v d f ( ϕ ) ∂ ϕ df ( ϕ ) v ∂ ϕ v ∂ ϕ v ∂ ϕ = ex + ey + ez = + ey + ez ex dϕ ∂x dϕ ∂ y dϕ ∂ z dϕ ∂ x ∂y ∂z = f ' (ϕ ) ∇ϕ
r en θ
r l
P2
P0
标量场 ϕ ( P ) 在某一方向上的方向导数等于梯度在该方向上的投
r 影，即 ∂ϕ = ∇ ϕ ⋅ e l . ∂l
证明： 证明： ∂ϕ = ∂ϕ cos α + ∂ϕ cos β + ∂ϕ cos γ
∂l ∂x ∂y ∂z v ∂ϕ v ∂ϕ v ∂ϕ v v v = ex + ey + ez ⋅ e x cos α + e y cos β + ez cos γ ∂x ∂y ∂z r = ∇ ϕ ⋅ el
§0.3 矢量场的通量和散度
1 矢量线
v v 一般是空间坐标和时间的函数， 矢量场 F 一般是空间坐标和时间的函数， 可表示为 F v v v v v v v v v F = F ( r , t ) = ex Fx ( r , t ) + ey Fy ( r , t ) + ez Fz ( r , t ) ，即可以用三
涡旋源与通量源不同， 涡旋源与通量源不同，它既不发出矢量线
磁场线
也不汇聚矢量线， 也不汇聚矢量线，这种源所产生的矢量场 的矢量线是闭合曲线。 的矢量线是闭合曲线。
2 矢量场的旋度 矢量场的环量给出了矢量场与闭合曲线所围曲面内涡旋源的 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与涡旋源的关系，引入矢 宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与涡旋源的关系， 量场的旋度。 量场的旋度。
∂ ϕ ∂ ϕ d x ∂ ϕ dy ∂ ϕ d z ∂ ϕ ∂ϕ ∂ϕ cos α + cos β + cos γ ， = + + = ∂l ∂x dl ∂ y dl ∂ z dl ∂ x ∂y ∂z
v 方向的方向余弦。 其中 cos α， β， γ 为 l 方向的方向余弦。 cos cos
4 标量场的梯度 由于从一点出发， 由于从一点出发，有无穷多个方 向，即标量场 ϕ ( P)在一点处的方向导 ϕ = c 数有无穷多个， 数有无穷多个，在这无穷多个方向中 ϕ = c 在什么方向上最大？ 在什么方向上最大？ ∂ϕ
2.1 环流面密度
v 过点 P作一微小曲面∆S，它的边界曲线记为 L en 作一微小曲面∆ ， ，
∆S
v F
P
v en 与曲线的绕向成右手螺旋法则。 曲面的法线方向 与曲线的绕向成右手螺旋法则。
当∆S→0时，极限 → 时
L
∆S v 称为矢量场在点 P处沿方向en 称为矢量场在点 的环量面密度，即环量对 的环量面密度， 矢量场在 面积的变化率。 面积的变化率。
进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等
闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合 宏观上 曲面的通量与曲面内产生矢量场的通量源的关系。 曲面的通量与曲面内产生矢量场的通量源的关系。
3 矢量场的散度
v 在矢量场 F 中，设闭合曲面 S 包围着体积∆V，当 v ∆V → 0 时，V 收缩于某点 ，定义F对 S 的通量与∆V之比 ∆ 收缩于某点P， v 在该点处的散度， 的极限为F 在该点处的散度，即
个标量场来表示一个矢量场。 个标量场来表示一个矢量场。
v 在矢量场 F中，如果一条曲线在空间各点都始终与矢 v v 相切， 的方向， 量 F 相切，而曲线切线方向总取为矢量 F 的方向，则 v r 这条曲线称为矢量场 F 的矢量线
矢量线的密度与矢量场的模成正比， 矢量线的密度与矢量场的模成正比，即单 位面积上矢量线的根数与矢量场的模对应
§0.2
标量场的方向导数和梯度
1 标量场和矢量场 如果某一确定空间区域上的每一点都有一个确定 如果某一确定空间区域上的每一点都有一个确定 确定空间区域上的每一点都有一个 物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场 的物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。 如果物理量是标量，称该场为标量场。 如果物理量是标量，称该场为标量场。 标量场 例如：温度场、电势场、高度场等。 例如：温度场、电势场、高度场等。 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 矢量场 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。 如果场与时间无关，称为静态场 反之为时变场 静态场， 时变场。 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
v v F (M ) < F ( P)
P
M r F ( P)
F(M)
C
矢量场的通量 2 矢量场的通量
v v 在矢量场 F 中，任取一面元矢量dS，定 v v 义矢量F 通过面元矢量dS 的通量为
r r dΦ = F ⋅ dS
r en r dS
θ
r F
通过曲面 S 的通量为 Φ = ∫S
r r F ⋅ dS
§0.4 矢量场的环量与旋度 矢量场的环量与旋度
1 环量
v 矢量场 F 沿场中的一条闭合曲线 L 的曲线积分
v 称为矢量场F沿闭合曲线 L的环量
r r Γ = F ⋅ dl ∫
L
r dl
L P
r F
如果矢量场沿任意闭合曲线的环量恒为零， 如果矢量场沿任意闭合曲线的环量恒为零，称该矢 无旋场， 量场为无旋场 又称为保守场。 量场为无旋场，又称为保守场。 如果矢量场沿任何闭合曲线的环量不为零， 如果矢量场沿任何闭合曲线的环量不为零，称该矢 量场为有旋场，能够激发有旋矢量场的源称为涡旋 量场为有旋场，能够激发有旋矢量场的源称为涡旋 有旋场 源。电流是磁场的涡旋源。 电流是磁场的涡旋源。
v 场占有一个空间， 场占有一个空间，它把物理量作为空间r 和时间 t 的函数
来描述，因此， 来描述，因此，标量场和矢量场可分别用标量函数和矢 量函数来表示： 量函数来表示： r u 静态标量场和矢量场可分别表示为： (x, y, z)、F(x, y, z) 静态标量场和矢量场可分别表示为： r u 时变标量场和矢量场可分别表示为： 时变标量场和矢量场可分别表示为：(x, y, z, t) 、 F(x, y, z, t) 2 标量场的等值面 等值面: 等值面: 标量场取得相同数值的点 在空间构成的曲面。 在空间构成的曲面。 意义: 意义: 形象直观地描述了物理量在 空间的分布状态。 空间的分布状态。