福建省厦门第一中学2020届高三数学上学期期中试题理(含解析)

福建省厦门第一中学2020届高三数学上学期期中试题理（含解

析）

一、选择题（本大题共12小题）

1.若集合，且，则集合B可能是

A. B. C. D. R

2.已知，，其中i是虚数单位，则的虚部为

A. B. C. D.

3.函数且的图象可能为

A. B.

C. D.

4.已知为等比数列，，，则

A. 7

B.

C.

D.

5.已知函数且若函数的图象上有且只有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是

A. B. C. D.

6.若，，，则的最小值是

A. B. 3 C. D. 4

7.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的

发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个

半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方

向匀速旋转，且旋转一周用时60秒经过t秒后，水斗旋

转到P点，设P的坐标为，其纵坐标满足则下列叙述错误

的是

A.

B. 当时，函数单调递减

C. 当时，点P到x轴的距离的最大值为6

D. 当时，

8.2013年第12届全国运动会将在沈阳举行，某校4名大学生申请当A，B，C三个比

赛项目的志愿者，组委会接受了他们的申请，每个比赛项目至少分配一人，每人只能服务一个比赛项目，若甲要求不去服务A比赛项目，则不同的安排方案共有

A. 20种

B. 24种

C. 30种

D. 36种

9.已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条

渐近线交于M，N两点．若，则双曲线C的离心率为

A. B. C. D. 2

10.已知向量，，满足，，与的夹角为，，则的最小值为

A. B. C. D.

11.已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三为点的横坐标从小到大分别为，，，

则的值为

A. B. C. D.

12.在三棱锥中，，，，点P在平面ACD内，且，设异面直

线BP与CD所成角为，则的最小值为

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共4小题）

13.已知关于x，y的二元一次不式组，则的最大值为______ ．

14.已知，则展开式中的常数项为______．

15.如图是由正三棱锥与正三棱柱组合而成的几何体的三视图，该几何体的顶点都在半

径为R的球面上，则该几何体的体积为______．

16.的垂心H在其内部，，，则的取值范围是______

三、解答题（本大题共7小题）

17.已知函数．

求函数在上的单调递减区间；

在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，求的两个内角B，C 及分别对应的边长b，c．

18.已知三棱锥如图一的平面展开图如图二中，四边形ABCD为边长等于的正方形，和

均为正三角形，在三棱锥中；

Ⅰ证明：平面平面ABC；

Ⅱ若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角的余弦值．

19.已知椭圆E：的左焦点为F，设M，N是椭圆E的两个短轴端点，A是椭圆E的长轴

左端点．

Ⅰ当时，设点，直线PN交椭圆E于Q，且直线MP、MQ的斜率分别为，，求的值；

Ⅱ当时，若经过F的直线l与椭圆E交于C，D两点，O为坐标原点，求与的面积之差的最大值．

20.已知数列的首项为，且满足，数列满足，数列的前n项和．

求数列的通项公式；

令，求证：．

21.已知函数．

求函数的单调区间；

若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值．

22.已知曲线C的极坐标方程是，直线l的参数方程是为参数

将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

设直线l与x轴的交点是P，直线l与曲线C交于M，N两点，求的值．

23.已知函数的最大值为k．

求k的值；

若a，b，，，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：，

，且，

可能是．

故选：A．

根据即可得出，并且，从而可判断哪个选项的集合可以是集合B．

本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，子集的定义，考查了推理能力，属于基础题．

2.【答案】B

【解析】解：，，

，

的虚部为．

故选：B．

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

3.【答案】D

【解析】【分析】

由条件可得函数为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据时，，结合所给的选项，得出结论．

本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题．

【解答】

解：对于函数且，由于它的定义域关于原点对称，

且满足，故函数为奇函数，故它的图象关于原点对称．

故排除A、B．

当，，故排除C，

故选：D．

4.【答案】C

【解析】解：为等比数列，，，

由等比数列的性质，，

或，

当时，，

则，

当时，，

则，

故选：C．

由等比数列的性质，，结合已知可求，，然后结合等比数列的性质即可求解，

本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的简单应用，属于基础试题．

5.【答案】D

【解析】解：由题意，时，显然成立；

时，关于y轴的对称函数为，则，，