2021届山东师范大学附属中学高三第三次月考数学试题(原卷版)
2023年高考数学全真模拟热身测试卷03卷(新高考专用)原卷及解析
2023届高考数学·备战热身卷3一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，有一项符合题目要求。
）1．（2022·河北·模拟预测）已知集合A ={}{}|4|342y y B x x x A B ≥-=≤-⋂=，，则（ ）A ．4|45x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．4|45x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{|4x x ≤-或45x ⎫≥⎬⎭D ．R2．（2022·河北·模拟预测）已知复数i z a b =+（a ，b ∈R ），若20212i i ab +=+，则z =（ ）A ．12i -+B ．12i +C ．12i --D ．12i -3．（2022·河北·模拟预测）一质点在单位圆上作匀速圆周运动，其位移满足的方程为sin2h t =，其中h 表示位移（单位：m ），t 表示时间（单位：s ），则质点在1t =时的瞬时速度为（ ）A ．sin2 m/sB ．cos2 m/sC ．2sin2 m/sD ．2cos2 m/s4．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列{}n a 中，m a n =，n a m =，则m na+=（ ）A ．0B ．mC ．nD ．m n +5．（2022·河北·模拟预测）函数cos 1()(3lg5lg 64)2x f x x =⋅+（[],x ππ∈-）的图象大致是A ．B ．C ．D ．6．（2022·河北·模拟预测）已知向量a 与b 的夹角为120°，且2a b ⋅=-，向量c 满足()()101c a b λλλ=+-<<，且a c b c ⋅=⋅，记向量c 在向量a 与b 方向上的投影分别为x 、y ．22x y xy ++的最大值为（ ）A ．14B ．2C ．34D ．547．（重庆市西南大学附属中学校2021-2022学年高二下学期第三次月考数学试题）已知数列{}n a 满足112a =-，21220n n n a a a ++-=，则下列结论错误的是（ ）A ．{}n a 是单调递增数列B ．存在*n N ∈，使得0n a >C ．12111112222n n a a a a +++⋅⋅⋅+=--+++D ．339128a =-8．（2022·河北·模拟预测）已知0x 是方程()e 2xf x x =+-的零点（其中e 2.71828=为自然对数的底数），下列说法错误的是（ ）A ．()00,1x ∈B ．()00ln 2x x -=C ．020e xx -> D ．00e 0xx --<二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
复杂的三视图问题-玩转压轴题,(原卷版)
一．方法综述三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置．解题时一定耐心加细心，观察准确线与线的位置关系，区分好实线和虚线的不同. 根据几何体的三视图确定直观图的方法： （1）三视图为三个三角形，对应三棱锥；（2）三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥； （3）三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥； （4）三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥； （5）三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱.对于几何体的三视图是多边形的，可构造长方体（正方体），在长方体（正方体）中去截得几何体.二．解题策略类型一 构造正方体（长方体）求解【例1】某几何体的三视图如图所示，关于该几何体有下述四个结论：①体积可能是56；②体积可能是23；③AB 和CD 在直观图中所对应的棱所成的角为3；④在该几何体的面中，互相平行的面可能有四对；其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②③④【来源】河南省开封市2021届高三三模文科数学试题专题4.1 复杂的三视图问题【答案】D【举一反三】1．（2020·江西高三）某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．9B．92C．6D．32、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16B.13C.12D.13．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．4B ．8C ．12D ．14类型二 旋转体与多面体组合体的三视图【例2】（2020·内蒙古高三）如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形,则该几何体体积为（ ）A ．620π+B ．916π+C ．918π+D ．2063π+【举一反三】一个四棱柱被截去一个半圆柱后剩余部分的三视图如图，则截去部分与剩余几何体的体积比为（ ）A ．18ππ- B ．318ππ-C ．12ππ-D ．312ππ-类型三 与三视图相关的外接与内切问题【例3】（2020·辽宁鞍山一中高三月考）已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积是（ ）A．20πB．1015πC．25πD．22π【举一反三】1．（2020·四川成都七中高考模拟）某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为（）A．618πB．69πC．63πD．13π2.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为A ．30B ．41C ．30D ．64【来源】甘肃省兰州市第一中学2020届高三冲刺模拟考试（一）数学（文）试题 3．（2020·山西高三）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．11πB ．12πC ．13πD ．14π类型四 与三视图相关的最值问题【例4】（2020·武邑宏达学校高考模拟（理））已知在直三棱柱111ABC A B C -中，120BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，若棱1AA 在正视图的投影面α内，且AB 与投影面α所成角为(3060)θθ︒≤≤︒.设正视图的面积为m ，侧视图的面积为n ，当θ变化时，mn 的最大值是__________．【举一反三】1.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a+b 的最大值为 （A ）22 （B ）23 （C ）4 （D ）252、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为（ ）A.32 732.B C.64 764.D3．（2020·西安市长安区第五中学高三（理））如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（）A．8 B．4C．42D．43三．强化训练1．（2020·福建高三）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，某商鞅铜方升模型的三视图，如图所示(单位：寸)，若 取3，则该模型的体积（单位：立方寸）为（）A．11.9 B．12.6 C．13.8 D．16.22．（2020·北京人大附中高三）已知某多面体的三视图如图所示，则在该多面体的距离最大的两个面中，两个顶点距离的最大值为（）A．2 B5C6D．23．（2020·北京市十一学校高三）某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A．43B．4C．423D．424．（2020·湖南雅礼中学高三月考（理））一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（）A．168 B．98 C．108 D．885．（2020·重庆一中高三月考（理））如图的虚线网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图.在该几何体的直观图中，直线AB与CD所成角的余弦值为（）A．15B．25C5D256．（2020·江西高三）半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）A．83B．4C．163D．2037.（2020·江西高三期末（理））如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．8.（2020合肥市高三）我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为A． B．40 C． D．9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A． B． C． D．10．榫卯（sǔnmǎo）是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用.代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿，山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为（）A． B． C． D．11．如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A ．3682+B ．3282+C ．3242+D ．3642+【来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（六）理科数学试题12．（2020·安徽高三月考）一副三角板由一块有一个内角为60︒的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，1AB =，60A ∠=︒，90B F ∠=∠=︒，BC DE =.现将两块三角板拼接在一起，使得二面角F BC A --为直二面角，则三棱锥F ABC -的外接球表面积为（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π13．已知正方体1111ABCD A B C D -（如图1），点P 在侧面11CDD C 内（包括边界）.若三棱锥1B ABP -的俯视图为等腰直角三角形（如图2），则此三棱锥的左视图不可能是（ ）A．B．C．D．【来源】北京市海淀区2021届高三二模数学试题14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是某几何体的三视图，则该几何体的各个面中最大面积为（）A．6 B22C．32D13【来源】贵州省普通高等学校招生2021届高三适应性测试（3月）数学（文）试题15．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A．3πB．23πC．43πD．12π【来源】四川省泸州市泸县第五中学2021届高三高考数学（文）一诊试题16．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．32C．1D．3317．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体内切球的表面积（单位：2cm）是（）A ．9π16B ．9π4C ．1π4D ．9π2【来源】安徽省江淮十校2021届高三下学期4月第三次质量检测理科数学试题18．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥所有表面中，最大的面积为（ ）A ．2B ．22C ．23D ．42【来源】安徽省五校联盟2021届高三下学期第二次联考理科数学试题19．如图，正四棱锥P ABCD -的高为12，62AB =，E ，F 分别为PA ，PC 的中点，过点B ，E ，F 的截面交PD 于点M ，截面EBFM 将四棱锥分成上下两个部分，规定BD 为主视图方向，则几何体CDAB FME -的俯视图为（ ）A．B．C．D．【来源】江西省南昌市2021届高三二模数学（理）试题20．三棱柱被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．203B．6 C．52D162【来源】景德镇市2021届高三第三次质检数学（理）试题21．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．246π-B ．86π-C ．246π+D ．86π+【来源】河南省六市2021届高三第二次联考（二模）数学（文科）试题22．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．4C ．163D ．22323．正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心的棱锥）的三视图如图所示，俯视图是正三角形，O是其中心，则正视图（等腰三角形）的腰长等于（）A．5B．2 C．3D．224．某几何体的三规图如图所示. 则其外接球的表面积为（）A．803πB．1369πC．5449πD．483π【来源】百师联盟2020-2021学年高三下学期开年摸底联考考理科数学试卷（全国Ⅰ卷）25．已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．32πB．823πC．833πD．8π26．（2020·湖北高三期末（理））中国的计量单位可以追溯到4000多年前的氏族社会末期，公元前221年，秦王统一中国后，颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器.下图是古代的一种度量工具“斗”（无盖，不计量厚度）的三视图（其正视图和侧视图为等腰梯形），则此“斗”的体积为（单位：立方厘米）27．（2020·陕西高三（理））某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为103，则棱长为a的正方体的外接球的表面积为28．（2020·深圳市高级中学高三（理））某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为3的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36 ，则该几何体的体积为__________．29．（2020·福建高三期末（理））农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．30．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球O的球面上，过该三棱锥最短的棱的中点作球O的截面，截面面积最小为______．【来源】内蒙古锡林郭勒盟全盟2021届高三第二次模拟考试数学（理科）试题31．一个直三棱柱的三视图如图所示，则该直三棱柱的体积为_______，它的外接球的表面积为________．。
2021届师范大学附属中学高三第三次月考数学试题(解析版)
2021届师范大学附属中学高三第三次月考数学试题（解析版）2021届山东师范大学附属中学高三第三次月考数学试题一、单选题1．已知集合，，若（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据一元二次不等式求得集合A，从而可求得.【详解】由得，，又，，故选：D.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，集合间的交集运算，属于基础题.2．已知命题“”，则命题（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：因为命题“”的否定为：，因此命题“”的否定为：，选A.【考点】命题的否定3．为了得函数的图象，只需把函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】A【解析】将函数的图象按图像变换规律逐步变到函数的图象．【详解】不妨设函数的图象沿横轴所在直线平移个单位后得到函数的图象．于是，函数平移个单位后得到函数，，即，所以有，，取，．答案为A．【点睛】由函数的图像经过变换得到的图像，在具体问题中，可先平移后伸缩变换，也可以先伸缩后平移变换，但要注意水平方向上的伸缩和平移变换都是针对x值而言，故先伸缩后平移时要把x前面的系数变为1．4．已知数列满足且，则（）A．-3B．3C．D．【答案】B【解析】由已知可得数列是以2为公差的等差数列，再，代入可得选项.【详解】,∴数列是以2为公差的等差数列，，，，，故选：B.【点睛】本题考查等差数列的定义，等差数列的项的关系，属于基础题.5．函数是增函数的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据对数函数的单调性和命题的充分条件、必要条件的判断可得选项.【详解】∵时，是增函数，∴函数是增函数的一个充分不必要条件是的一个子集，又，故选：D.【点睛】本题考查对数函数的单调性和命题的充分必要条件的定义和判断，属于基础.6．函数的零点所在区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据零点存在原理求出每个区间端点的函数值即可选出正确答案.【详解】，，，，，由.故选：C【点睛】本题考查了零点存在原理，考查了数学运算能力.7．若，，，则的最小值为（）A．9B．8C．7D．6【答案】A 【解析】由对数的运算性质可得，再构造出，根据基本不等式可得最小值.【详解】∵，∴，∴，，当且仅当“”时取等号，∴的最小值为9.故选：A.【点睛】本题考查对数的运算性质和基本不等式的运用，关键在于“1”的巧妙运用，构造出基本不等式所需的形式，属于中档题.8．已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对函数求导函数，由已知条件得其导函数在上有零点，建立不等式组可得范围.【详解】,由于函数在上有极值点，所以在上有零点。
山东师范大学附属中学202届高三物理上学期期中月试题
山东省山东师范大学附属中学2021届高三物理上学期期中（11月）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共6页，满分为100分，考试用时90分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0。
5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案,不得使用涂改液,胶带纸、修正带和其他笔。
卷Ⅰ（共40分）一、单项选择题（本题共8小题，每题只有一个正确答案，每小题3分,共24分。
)1。
近代物理取得了非常辉煌的成就，下列关于近代物理的说法正确的是（)A．用同频率的光照射不同的的金属表面时均有光电子逸出，从金属表面逸出的光电子的最大初动能E k 越大，则这种金属的逸出功W 就越大B ．137Cs 是核泄漏时对人体产生有害辐射的的重要污染物,其核反应方程式 1371375556Cs Ba+X其中X 为电子 C ．一个氢原子处在n=4的能级，当它跃迁到较低能级时，最多可发出6种频率的光子D ．每个核子只与邻近核子产生核力作用，比结合能越大的原子核越不稳定2.一束光照射到底面有涂层的平行玻璃砖上表面，经下表面反射从玻璃砖上表面射出,光线分为a 、b两束，如图所示下列说法正确的是( )A 。
在玻璃中a 光的传播速度大于b光的传播速度 B.在真空中，遇到障碍物时b 光更容易产生明显的衍射现象 C 。
增大空气一侧的入射角，a 光线先消失D.在真空中用同一装置进行双缝干涉实验，a 光的条纹间距大于b 光的条纹间距3. 如图所示，斜面ABC 倾角为θ，在A 点以速度v 1将小球水平抛出（小球可以看成质点),小球恰好经过斜面上的小孔E ，落在斜面底部的D 点,且D 为BC 的中点。
山东师范大学附属中学202届高三化学上学期期中月试题
山东省山东师范大学附属中学2021届高三化学上学期期中（11月）试题考生注意:1。
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共100分。
考试时间90分钟。
2。
请将各题答案填写在答题纸上。
可能用到的相对原子质量Li：7 C：12 O ：16 Na：23 S：32 Cl ：35。
5 Ni：59第Ⅰ卷(选择题共40分)一、单项选择题(本题包括10个小题，每小题2分，共20分。
）1.化学与人们的生活、生产密切相关。
下列说法正确的是（ ) A。
酒精和84消毒液混合使用能提高对新型冠状病毒的预防效果B。
纳米铁粉可以去除被污染水体中的2+Cu、2+Hg等重金属离子，其本质是纳米铁粉对重金属离子较强的物理吸附C。
燃煤中加入CaO可以减少酸雨的形成，同时也可以减少温室气体的排放D. 5G时代某三维存储器能储存海量数据，其半导体衬底材料是单晶硅2. 理论研究表明，在101kPa和298K下,HCN HNC异构化反应过程的能量变化如图所示.下列说法错误的是（）A．HCN比HNC稳定B．该异构化反应的ΔH＝—59。
3 kJ·mol－1C．使用催化剂,不能改变反应的反应热D．升高温度，该反应正反应速率增大的程度大于逆反应速率增大的程度3.下列有关实验操作或叙述错误的是( ）A。
配制5％氯化钠溶液时，将称量的氯化钠放入烧杯中，然后加计量的水搅拌溶解B。
测定硫酸铜晶体的结晶水含量时，需用小火缓慢加热，防止晶体飞溅C。
用硝酸银溶液滴定氯离子时，可用溴离子做指示剂D。
滴定接近终点时,滴定管的尖嘴可以接触锥形瓶内壁4. 下列有关从海带中提取碘的实验原理和装置能达到实验目的的是( ）A．用装置甲灼烧碎海带B．用装置乙过滤海带灰的浸泡液C．用装置丙制备用于氧化浸泡液中I−的Cl2D．用装置丁吸收氧化浸泡液中I−后的Cl2尾气5。
下列实验操作能达到实验目的或得出相应结论的是( )实验操作目的或结论A将Cu片放入FeC13溶液中证明Fe的金属性比Cu强B 将点燃的镁条置于盛有CO2的集气瓶中，瓶内壁有黑色固体生成镁的还原性比碳强C将SO2通入溴水或酸性KMnO4溶液中证明SO2有漂白性D 向FeCl2溶液（含少量FeBr2杂质）中，加入适量氯水，再加CCl4萃取分液除去FeC12溶液中的FeBr26.科学家将含有石墨烯和碳纳米管两种纳米材料的水溶液在低温环境下冻干得到“全碳气凝胶"，该固态材料的密度仅是0.16mg·cm －3,是迄今为止世界上最轻的材料。
函数的周期性和对称性形影不离-学会解题之高三数学多题一解【原卷版】
专题05 函数的周期性和对称性形影不离【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。
在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。
因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。
类型一 函数的周期性的判定及应用万能模板 内 容使用场景 几类特殊函数类型解题模板第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性；（1）若函数)(x f 满足)()(a x f a x f -=+，则函数)(x f 的周期为a 2； （2）若函数)(x f 满足)()(x f a x f -=+或)(1)(x f a x f =+或)(1)(x f a x f -=+，则函数)(x f 的周期为a 2； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题.例 1 函数定义域为，且对任意，都有，若在区间上则（ ）A.B. C.D.【变式演练1】（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知函数()f x ，任意x y R ∈，，满足()()()()22f x y f x y f x f y +-=-，且()()1220f f ==，，则()()()1290f f f +++的值为（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．4【变式演练2】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））定义在R 上的函数()f x 满足1(1)()3f x f x +=，且当[0,1)x ∈时，()1|21|f x x =--.若对[,)x m ∀∈+∞，都有2()81f x ≤，则m 的取值范围是（ ）A ．10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．13,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．143⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【变式演练3】（多选）（2022·云南·高三阶段练习）已知函数()f x 的定义域为1221R,,R,2x x x x ∀∈-=，都有()()120f x f x +=，且()11f =，则下列结论正确的是（ ）A ．()231f =B ．()231f -=C ．()()()()()123451f f f f f ++++=D ．()()()()1230f x f x f x f x ++++++=类型二 函数的对称性问题万能模板 内 容使用场景 几类特殊函数类型 解题模板记住常见的几种对称结论：第一类 函数)(x f 满足()()f x a f b x +=-时，函数()y f x =的图像关于直线2a bx +=对称； 第二类 函数)(x f 满足()()c f x a f b x ++-=时，函数()y f x =的图像关于点(,)22a b c+对称； 第三类 函数()y f x a =+的图像与函数()y f b x =-的图像关于直线2b ax -=对称. 例2 ．（多选）（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）已知函数()()sin sin 1f x x x =+-，则下列结论正确的是（ ）A ．()y f x =图象是轴对称图形B ．()()0f x f x π++=C ．()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()[]1,0,1f x x <∀∈例3 （2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三开学考试（理））定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -＋＝，且()f x 在[]10-，上是增函数，给出下列几个命题：①()f x 是周期函数；②()f x 的图象关于直线1x =对称； ③()f x 在[]1,2上是减函数； ④(2)(0)f f =．其中正确命题的序号是_____．(写出所有正确命题的序号)例4 （2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习）已知直线3y x =-+分别与函数e x y =和ln y x =的图象交于点()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x +=_________．【变式演练4】（2022·湖南湘潭·高三开学考试）（多选）已知函数()()sin cos f x x x x ππ=+∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 是周期函数 B ．函数()f x 的最大值是2C ．函数()f x 的图象关于点1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 的图象关于直线12x =对称 【变式演练5】（2022·四川省德阳市第三中学高三开学考试）设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，则()2221234x x x x +++的取值范围为___________.【高考再现】1.（2022·全国乙（理）T12） 已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（ ）A. 21-B. 22-C. 23-D. 24-2.（2022·新高考Ⅰ卷T12） 已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A. (0)0f =B. 102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C. (1)(4)f f -=D. (1)(2)g g -=3.（2022·新高考Ⅱ卷T8） 若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A. 3-B. 2-C. 0D. 14．（2021·全国高考真题（理））设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．525．（2021·全国高考真题（理））设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++6. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m7. 【2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）】已知f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数,满足f(1−x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=（ ） A ． −50 B ． 0 C ． 2 D ． 508. 【2018年全国文科数学】已知函数f(x)=lnx +ln(2−x)，则 A ． f(x)在（0，2）单调递增B ． f(x)在（0，2）单调递减C ． y =f(x)的图像关于直线x=1对称D ． y =f(x)的图像关于点（1，0）对称9.【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+=.10. 【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学】函数f(x)满足f(x +4)=f(x)(x ∈R)，且在区间(−2,2]上，f(x)={cosπx2,0<x ≤2,|x +12|,−2<x ≤0,则f(f(15))的值为____，11. 【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩ 其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是. 【反馈练习】1．（2022·河南·南阳市第六完全学校高级中学高三阶段练习（文））已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22xf x =-，则()()()()0122022f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．12．（2022·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x -+=，()2()f x f x -=，当01x ≤≤时，()21x f x =-，则()2log 2023f =（ ）A ．252048-B ．9991024-C ．10242023-D ．512999-3．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()49g x f x --=，若y g x 的图象关于直线2x =对称，()24g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．47-B ．48-C ．23-D ．24-4．（2022·甘肃·武威十八中高三阶段练习（理））已知奇函数()f x 满足()(2)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，2()2f x x =，则(7)f =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）已知定义域为R 的函数()f x 满足：对任意的x ∈R ，有()()22f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()21log 1f x x =++，则()2023f =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．（2022·北京四中高三开学考试）已知函数()sin cos sin cos x xf x x x+=，在下列结论中：①π是()f x 的一个周期； ②()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；③()f x 的图象关于直线π4x =对称； ④()f x 的图象关于点π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数()2()ln11f x x x =++，定义域为R 的函数满足()()20g x g x +--=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，……，()66,x y ，则()61i i i x y =-=∑（ ）A ．6B ．12C ．6-D ．12-8．（2022·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）（多选）已知函数()f x 为R 上的奇函数，()()1g x f x =+为偶函数，下列说法正确的有（ ） A ．()f x 图象关于(10)-，对称 B ．()20230g =C ．()g x 的最小正周期为4D ．对任意R x ∈都有()()11f x f x -=+9．（2022·黑龙江·嫩江市高级中学高三开学考试）（多选）已知偶函数()f x 满足()(2)0f x f x +-=，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 是以2为周期的周期函数B ．函数()f x 是以4为周期的周期函数C ．函数(3)f x -为偶函数D ．函数(1)f x -为奇函数10．（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试）（多选）已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如：[]0.20=，[]1.22-=-，则（ ） A ．()f x 是增函数 B ．()f x 是周期函数 C ．()2f x 的值域为[)0,1D ．()2f x 是偶函数11．（2022·河北深州市中学高三阶段练习）（多选）已知函数()f x 对x ∀∈R ，都有()()()(),2f x f x f x f x -=--=，且()11f =，则（ ）A ．()f x 的图像关于直线1x =对称B ．()f x 的图像关于点()2,0-中心对称C ．()60f =D ．()51f =-12．（2022·广西·桂电中学高三阶段练习）已知函数()f x 满足对R x ∀∈，有()()11f x f x -=+，()()2f x f x +=-，当()0,1x ∈时，()2f x x mx =+，若35122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则m =________13．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()11f -=-，则()()20222023f f +=______．14．（2021·辽宁·沈阳二中高三开学考试）已知定义域为R 的函数()f x 对任意的实数x ，y 满足()()()πcos 222f x f y x y x y f +-+⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，且()()010f f ==，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并且当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >， ①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增③函数()f x 是以2为周期的周期函数；④502f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭其中的真命题有______．（写出所有真命题的序号）15．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数()g x 的图象与函数()[)()20,f x x x =∈+∞的图象关于直线y x =对称，将函数()g x 图象右移2个单位，下移2个单位得到函数()h x 的图象，若P ，Q 分别为函数()f x ，()h x 图象上的两个动点，则这两点间距离的最小值为______.16．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =，则函数1()()1g x f x x =+-在[]-24，上的零点之和为____________. 【来源】山东省济南市济南市莱芜第一中学2020-2021学年高三下学期2月月考数学试题 17．定义在R 上的函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[2,2)x ∈-时，3()sin 2f x x x π=-，则函数()f x 在区间[0,669)上的零点个数是______．【来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（六）数学（理）试题18．已知定义在R 上的函数满足(3)(3)f x f x -=-+，且()f x 图像关于1x =对称，当(1,2]x ∈时，2()log (21)f x x =+，则8252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________.19．定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=．当[)3,3x ∈-时，()()22,3113x x f x x x ⎧-+-≤<-⎪=⎨-≤<⎪⎩，，则(4)f =___________；(1)(2)(3)(2016)(2017)f f f f f +++++=__________．20．（2022·安徽·合肥市第十中学模拟预测）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称.(1)求证：()f x 是周期为4的周期函数；(2)若())01f x x x =≤≤，求[]5,4x ∈--时，函数()f x 的解析式.。
山东省济南市山东师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期10月考试地理试卷(含答案)
山东省济南市山东师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期10月考试地理试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题2022年4月27日黎明时分,某地出现金星、火星、木星与土星“四星伴月”的天文现象。
此时中国空间站过境该地上空,与“四星伴月”同框,形成壮美景观。
下图为“某时刻中国空间站在轨位置上方俯视示意图”。
据此完成下面小题。
1、与图示时刻中国空间站在轨位置相符的是( )A. B.C. D.2、“四星伴月”这一天文现象难得一见,主要是因为各天体( )A.自转周期不同B.体积大小不同C.自转方向不同D.公转周期不同2023年8月,某航班以1110km/h的速度从甲地飞往乙地。
下图示意地球局部经纬网。
据此完成下面小题。
3、该航班的最短飞行航向是( )A.一直往西南B.先往西南,后往西北C.一直往西北D.先往东南,后往东北4、沿最短航线,该航班的飞行时间( )A.小于两小时B.等于两小时C.大于三小时D.等于三小时下图是地球表面自转线速度及海拔关系图。
读图,完成下面小题。
5、根据图中a、b、c、d各点判断,正确的是( )A.a点纬度比c点低B.b点纬度比c点高C.c点纬度比d点低D.d点地势比a点低6、关于地球表面自转线速度的叙述,正确的是( )A.同纬度地区自转线速度一样B.同一经线地区自转线速度由赤道向两极递减C.海拔相同,低纬度地区自转线速度小于高纬度地区D.纬度位置相同,海拔高的地区自转线速度大于海拔低的地区沿地表水平运动的物体在地转偏向力的作用下运动方向发生了偏移,许多自然现象都受其影响。
据此完成下面小题。
7、下图中“·”表示河水自里向外流,“×”表示河水自外向里流。
根据河床特征判断,符合自然规律的是( )A.②④B.①②C.②③D.①④8、下图四点中,最适合建港口的是( )A.①④B.①③C.②③D.②④图示意某时刻地球局部光照图,其中阴影部分代表黑夜。
湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期月考(一)地理试题及答案
湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）地理得分：______本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量75分钟，满分100分。
第Ⅰ卷选择题（共48分）一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）职住关系是指居住地与工作地的空间位置关系，下图为城郊轨道交通沿线两种职住关系模式图。
完成下面小题。
1. 极化型职住关系主要反映了轨道交通沿线（）A. 交通方式多样B. 逆城市化严重C. 生产要素集中D. 居住用地短缺2. 与极化型相比，平衡型职住关系的突出优点是（）①减缓就业型站点的拥堵②强化中心城区核心地位③缩短职工平均通勤时间④人口趋向轨道沿线集聚A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④加车村位于贵州省黔东南苗族侗族自治州，村庄依山而建，至今保留着诸如祭祀等完整的少数民族文化。
大、小芦笙堂是加车村重要的公共活动空间，其位置和功能有明显的差异。
随着乡村振兴战略的提出，加车村立足自身发展特点，积极打造商业街、扩建基础设施等，经济发展迅速。
下图示意加车村位置和村庄区位布局。
据此完成下面小题。
3. 在加车村可以见到的景象是（ ）A. 水满田畴的梯田B. 漫山遍野的牦牛C. 静静流淌的小河D. 纵横交错的车道4. 与大芦笙堂相比较，推测小芦笙堂功能特点是多承担（ ）A. 大型祭祀及休闲、娱乐活动B. 大型祭祀及农事、商贸活动C. 小型祭祀及休闲、娱乐活动D. 小型祭祀及农事、商贸活动5. 适于加车村发展的方向是（ ）A. 加快人口聚集，提高城镇化水平B. 促进村庄生产、生活、生态融合 C 下寨建筑集中连片，拓展商业街 D. 协调第一、二、三产业均衡发展 下图为2024年元旦跨年时刻江苏某同学查询到的太阳和月亮高度轨迹示意图，该同学在元旦（农历二十）日出时刻观察到了日、月同天景象。
据此回答下面小题。
6. 跨年钟声响起时，东半球新年的范围占全球的（ ）A. 5/6B. 2/9C. 1/6D. 1/97. 该同学观察到的日、月同天景象位置示意图是（ ）A. B. C.D.倒暖锋是我国东北地区的一种特殊天气类型，一般出现在强寒潮过境2～3天后。
第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题-高考数学备考优生百日闯关系列(原卷版)
专题一 压轴选择题第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．类型一 四面体的外接球问题典例1．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若ABC 的面积为,ABC S OBC 的面积为,OBC S PBC 的面积为PBC S ，满足2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，当,,PAB PBC PAC 的面积之和的最大值为8时，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）A ．43πB ．83πC ．163πD ．323π 【来源】山西省晋中市2022届高三上学期1月适应性调研数学（理）试题【举一反三】在四边形ABCD 中（如图1所示），AB AD =，45ABD ∠=，2BC BD CD ===，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '（如图2所示），使得90A BC ∠='，E ，F ，G 分别为棱BC ，A D '，A B '的中点，连接EF ，CG ，则下列结论错误的是（ ）．A ．A C BD '⊥B ．直线EF 与CG 45C ．C ，E ，F ，G 四点不共面D ．四面体A BCD '外接球的表面积为8π【来源】陕西省2022届高三上学期元月联考理科数学试题类型二 三棱柱的外接球问题典例2．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的底边长为a ，高为h ，球的体积为86π，则这个正四棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．482 B ．242 C ．962 D ．122【来源】内蒙古包头市2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题【举一反三】在平面内，已知动点P 与两定点A ，B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点P 的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，2AB BC ==，12BB π=，90ABC ∠=︒，点M 为AB 的中点，点P 在三棱柱内部或表面上运动，且2PA PM =，动点P 形成的曲面将三棱柱分成两个部分，体积分别为1V ，()212V V V <，则12V V =（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【来源】贵州省贵阳市2021届高三适应性考试数学（理）试题（一）类型三 四棱锥的外接球问题典例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，PB ⊥底面ABCD .若1PB AB CD AD ====， 2BC =，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π【来源】四川省成都市第七中学2021-2022学年高三下学期入学考试文科数学试题【举一反三】已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧面PAD 是正三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，2AB =，若四棱锥P ABCD -82π，则该四棱锥的表面积为（ ） A ．3B ．63C ．83D ．103【来源】山西省吕梁市2021届高三上学期第一次模拟数学（理）试题类型四 几何体的内切球问题典例4．已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球和内切球分别为球1O ，球2O ，则球1O 上的点到球2O 上的点的距离的最大值为（ ）A ．3B 153C 153D 153【来源】江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科数学试题【举一反三】由棱长都为1的4个正四面体和1个正八面体，组合成一个正四面体，再将此正四面体削切、打磨成最大的球，则该球体积为（ ）A 6B 6C ．354D 646 【来源】湖南省长沙市雅礼中学2020届高三下学期5月质量检测文科数学试题【精选名校模拟】1．已知三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AB 上一点，且2AD DB =.过点D 作球O 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为25π，则球O 的表面积为（ ）A ．128πB ．132πC ．144πD ．156π【来源】湖北省武汉市武昌区2020-2021学年高三上学期1月质量检测数学试题2．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -，其底面ABCD 是平行四边形，外接球体积为36π，若1AC BD ⊥，则其外接球被平面11AB D 截得图形面积的最小值为（ ）A ．8πB ．24310πC ．8110πD ．6π【来源】安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查理科数学试题3．已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形，PA a =，点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC 的垂心，当三棱锥P ABC -体积最大值时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．343aB ．23a πC ．332a πD ．212a【来源】安徽省黄山市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题4．在三棱锥P ABC -中，22AB AC ==，120BAC ∠=，26PB PC ==，25PA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．40πB ．20πC ．80πD ．60π【来源】江西省名校2021届高三上学期第二次联考数学（理）试题5．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，23AB =，D 是侧面11BCC B 的中心，球O 与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD 被球O 截得的弦长为（ ）A ．1010B ．105C ．31010D ．31056．如图，在三棱锥P ABC -，PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且22CB =，6AB AC ==，二面角P AC B --的大小为120︒，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A 510B ．10πC ．9πD ．(423π+7．已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC 的垂心，若2ABC OB PBC C S S S ⋅=，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为（ ）A ．8B ．10C ．18D ．22【来源】吉林省梅河口市第五中学2020-2021学年高三上学期第三次月考数学（理）试题8．已知三棱锥P ABC -的各顶点都在同一球面上，且PA ⊥平面ABC ，若该棱锥的体积为233，2AB =，1AC =，60BAC ∠=︒，则此球的表面积等于（ ）A ．5πB ．8πC ．16πD ．20π【来源】河南省河南大学附属中学2021-2022学年高三上学期11月月考数学文科试题9．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2B 455πC ．30πD ．45π【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（文）期末试题10．在菱形ABCD 中，3A π=，3AB =△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，二面角P BD C--的大小为23π，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．23πB ．27πC ．72πD ．112π 【来源】山西省长治市第二中学校2021届高三上学期9月质量调研数学（文）试题多选题11．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biēnào ）.如图，三棱锥D ABC -为一个鳖臑，其中DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2DA AB BC ===，AM DC ⊥，M 为垂足，则（ ）A ．AM ⊥平面BCDB ．DC 为三棱锥D ABC -的外接球的直径C ．三棱锥M ABD -的外接球体积为43πD ．三棱锥M ABC -的外接球体积与三棱锥M ABD -的外接球体积相等【来源】河北省张家口市2022届高三上学期期末数学试题12．已知边长为a 的菱形ABCD 中，3ADC π∠=，将ADC 沿AC 翻折，下列说法正确的是（ ）A ．在翻折的过程中，直线AD ，BC 始终不可能垂直B ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -体积最大值为38a C ．在翻折过程中，三棱锥D ABC -表面积最大时，其内切球表面积为2(1483)a π-D ．在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D ，E 为棱CD 上的一个动点，ED '3 【来源】江苏省南京市第二十九中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题。
山东师范大学附属中学高三数学上学期第三次模拟考试试题 文
山东师大附中2014级高三第三次模拟考试数学（文史类）试题本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
第I卷（50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要A.9B.10C.11D.12A.－3B.C.D.A． B． C． D．第II卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。
15.下面给出的四个命题中：①②③④其中是真命题的有（将你认为正确的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）某网站针对本年度中国好歌手A，B，C三人进行网上投票，结果如下：观众年龄支持A 支持B 支持C20岁以下200 400 80020岁以上（含20岁）100 100 400（I）在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取n人，其中有6人支持A，求n的值。
（II）在支持C的人中，用分层抽样的方法抽取6人作为一个总体，从这6人中任意选取2人，求恰有1人在20岁以下的概率．17.（本小题满分12分）（I）求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x的集合；18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，点O是对角线AC和BD的交点，M是PD的中点。
（I）求证：OM//平面PAB；（II）求证：平面PBD⊥平面PAC。
19.（本题满分12分）20.（本小题满分13分）已知函数f(x)=x1n x.（I）讨论函数f(x)的单调性；21.（本小题满分14分）（I）求椭圆C的方程；（II）已知A，B为椭圆C的左右顶点，P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP、BP分别交直线l: x=m(m>a)于M，N两点，（i）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；（ii）若以线段MN为直径的圆过点F，求实数m的值.。
山东师范大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
山东师范大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+，且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数， 若(0,2]x ∀∈使得不等式(2)()0g x ah x -≥恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．(,-∞B ．(,-∞C ．(0,D ．)+∞ 2． 如图，1111D C B A ABCD -为正方体，下面结论：① //BD 平面11D CB ；② BD AC ⊥1；③ ⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．3． 集合{}{}2|ln 0,|9A x x B x x =≥=<,则AB =（ ）A ．()1,3B ．[)1,3C ．[]1,+∞D ．[],3e 4． 执行如图所示的程序框图，则输出结果S=（ ）A ．15B ．25C ．50D ．1005． 已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，41a =，则12a 的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．64 6． 等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47． 已知命题p ：∃x ∈R ，cosx ≥a ，下列a 的取值能使“￢p ”是真命题的是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．28． 如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f （x ），则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）9． 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积为1S 、2S 、3S ，则（ ）A ．123S S S <<B ．123S S S >>C ．213S S S <<D ．213S S S >> 10．已知平面向量(12)=，a ，(32)=-，b ，若k +a b 与a 垂直，则实数k 值为（ ） A ．15- B ．119 C ．11 D ．19【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力． 11．已知在平面直角坐标系xOy 中，点),0(n A -，),0(n B （0>n ）.命题p ：若存在点P 在圆1)1()3(22=-++y x 上，使得2π=∠APB ，则31≤≤n ；命题：函数x xx f 3log 4)(-=在区间 )4,3(内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）A ．)(q p ⌝∧B ．q p ∧C ．q p ∧⌝)(D ．q p ∨⌝)( 12．设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若6()mx y +展开式中33x y 的系数为160-，则m =__________．【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想． 14．不等式()2110ax a x +++≥恒成立，则实数的值是__________.15．已知数列{a n }满足a n+1=e+a n （n ∈N *，e=2.71828）且a 3=4e ，则a 2015= ．16．已知1,3x x ==是函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>两个相邻的两个极值点，且()f x 在32x = 处的导数302f ⎛⎫'<⎪⎝⎭，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭___________． 三、解答题（本大共6小题，共70分。
山东师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试(11月)数学试题
x 2+1 a 11 月学业质量检测题（满分：150 分 考试时间：120 分钟）一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A={-1, 0,1, 2}，集合B={x ∈ R 1 ≤ 2x -1≤ 4}，则A B =A. {-1,1}B. {0,1,2}C. {1,2,3}D. {1,2}22. 设i 为虚数单位， a ∈ R ，“复数 z = - i2020是纯虚数” 是 “ a = 1” 的什么条件2 1- iA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 在∆ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，若c cos B = a ,则这个三角形的形状为 A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 锐角三角形D. 等腰或直角三角形4. 已知角θ 的顶点与原点O 重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y = 2x 上， 则sin 2θ =A. -4 5B. -3 C.3 D. 45555. 标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式， 标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力 5.2 的视标所在行开始往 上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的10 10 倍，若视力 4.1 的视标边长为 a ，则视力 4.9 的视标边长为4A. 105aB. 9 1010aC. - 4 10 5a- 9 D. 10 10a6. 向量a , b 满足a = (1, 3 ), b = 1, a + b = 3, 则b 在a 方向上的投影为A. -1B. -1 C. 122D. 17. 已知函数 f (x ) = lg ( + x )，若等差数列{a n}的前 n 项和为S n，且f (a 1 - 1) = -10, f (a 2020 - 1) = 10 则 S 2020 = （）A. －1010B. －2020C. 2020D. 10108. 已知变量 x ， x 2 ∈(0, m )(m > 0) ，且 x < x ，若 x x 2 < x x 1 恒成立，则 m 的最大值为11212（ e=2.71828 ⋅⋅⋅为自然对数的底数）GA + GB + GC = 0 ⎡⎤ A. eB.C. 1eD. 1二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
山东省师范大学附属中学2021届高三地理上学期期中11月试题含解析
读图，根据图例，R河段所在区域降水量500-1000mm，应是热带草原气候，降水量季节变化大，所以 流量季节变化大，A对。位于热带地区，没春汛，A错。不能判断河流堆积作用强、河谷横剖面呈槽型，C、D错。
下图所示区域降水季节分配较均匀。2010年5月初，该区域天气晴朗，气温骤升，出现了比常年严重的洪灾。据此完成问题。
【点睛】山谷、山脊的判断方法：等高线向高处弯曲凸出，为山谷；等高线向地处弯曲凸出为山脊。
左图为某飞机在甲、乙、丙间沿地球大圆周飞行轨迹示意图。右图为飞机飞到乙地时，其垂直下方所示的经线、纬线和晨昏线位置关系图，此时丙地地方时为17点。据此，完成下面小题。
3. 若飞机匀速、等高飞行，则在甲—乙—丙间单位时间内飞过的经度差（ ）
本题考查陆地自然带分布规律，主要影响因素，河流水文特征。
【9题详解】
读图，图示区域位于大陆西岸。结合所学陆地自然带分布规律，从沿海向内陆，陆地自然带依次为热带雨林带、热带草原带。结合图例，即图示区从西南（西）向东北（东）降水逐渐减少。所以给该区域带来降水的主导风是偏西风，最可能是西南风，B对。偏东风都是从陆地吹向海洋的风，A、C、D错。
【4题详解】
据图可知，相邻两条经线的经度差30︒，时间差2小时，由题干可知，此时丙地的地方时为17点，则乙地为12点，则乙地所在的经线为昼半球的中央经线；由图2可知，乙地为晨昏线与纬线相切的切点，而且“飞机在甲、乙、丙间沿地球的大圆周飞行，”可判断甲、乙、丙为晨昏线，则甲丙所在的纬线为昼弧，甲丙之间经度相差150°，则可以推出甲、丙的昼长为10小时，根据公式“日出=12-昼长/2”可以计算出甲地日出的地方时为7点，C正确，ABD错误。故选C。
11. 形成本区域降水的水汽主要来源于
湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次月考化学试卷(原卷版)
2025届师大附中高三月考化学试卷(一)本试题卷分选择题和非选择题两部分，共10页。
时量75分钟，满分100分。
可能用到的相对原子质量：H ：1 C ：12 O ：16 Sb ：122一、选择题：本题共14小题，每小题3分，共42分。
每小题只有一个选项符合题目要求。
1. 化学与生活、生产密切相关，下列说法正确的是 A. “酒香不怕巷子深”体现了熵增的原理B. 船体上镶嵌锌块，是利用外加电流法避免船体遭受腐蚀C. 烟花发出五颜六色的光是利用了原子的吸收光谱D. “太阳翼”及光伏发电系统能将太阳能变为化学能 2. 下列化学用语或化学图谱不正确的是A. 3NH 的VSEPR 模型：B. 乙醚的结构简式：3223CH CH OCH CHC. 乙醇的核磁共振氢谱：D. 邻羟基苯甲醛分子内氢键示意图：3. 实验室中，下列实验操作或事故处理不合理是A. 向容量瓶转移液体时，玻璃棒下端应在容量瓶刻度线以下B. 苯酚不慎沾到皮肤上，先用抹布擦拭，再用65C °水冲洗C. 用二硫化碳清洗试管内壁附着的硫D. 对于含重金属(如铅、汞或镉等)离子的废液，可利用沉淀法进行处理 4. 下列有关有机物说法正确的是A. 聚乙烯塑料的老化是由于发生了加成反应的的B. 二氯丁烷的同分异构体为8种(不考虑立体异构)C. 核酸可视为核苷酸的聚合产物D. 乙醛和丙烯醛()不是同系物，它们与氢气充分反应后的产物也是同系物5. 下列反应方程式书写不正确的是A. 将223Na S O 溶液与稀硫酸混合，产生浑浊：2-+2322S O +2H =SO +S +H O ↑↓ B. 用浓氨水检验氯气泄漏：32428NH +3Cl =6NH Cl+NC. 稀硫酸酸化的淀粉-KI 溶液在空气中放置一段时间后变蓝：-2-+42222I +SO +4H =I +SO +2H O ↑D. ()32Ca HCO 溶液与少量NaOH 溶液反应：-2+-332HCO +Ca +OH =CaCO +H O ↓6. 内酯Y 可以由X 通过电解合成，并可在一定条件下转化为Z ，转化路线如图所示。
2021届山东师范大学附属中学高三上学期第二次月考(10月)数学试题(解析版)
【答案】BC
【解析】结合三角函数的性质，对四个命题逐个判断真假，即可得出答案.
【详解】
对于A，0小于 ，但0不是锐角，故A错误；
对于B，令 ，定义域为 ，且 ，即 ，所以函数 是偶函数，故B正确；
对于C，由 ，可得 ，则 ，解得 ，所以 ，故C正确；
对于D，在 中，若 ，则 ，所以 ， ，即C为锐角，而无法判断 是否为锐角，故不能判断 的形状，故D错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.
三、填空题
13．欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于第______象限．
【答案】二
【解析】e2i＝cos2+isin2，根据2∈ ，即可判断出．
(1)当 时， ，所以 ，即 (舍)；
(2)当 时， 成立；
(3)当 时， ，则 或
，解得 或 ；
综上所述， .
故答案为:4; .
【点睛】
本题考查了基本不等式，考查了函数最值的求解，考查了分类的数学思想.求函数的最值时，可以结合函数的单调性求解，可以结合函数的图像进行求解，可以结合导数求解，也可以结合基本不等式求解.运用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.
【详解】
e2i＝cos2+isin2，
∵2∈ ，
∴cos2∈（﹣1，0），sin2∈（0，1），
∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限．
故答案为：二
【点睛】
本题考查了复数的欧拉公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
高考数学复习考点知识与题型专题讲解9---导数-极值、最值问题(解析版)
1 / 33高考数学复习考点知识与题型专题讲解专题9导数-极值、最值问题1．高考对本部分的考查一般有三个层次：（1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；（3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题． 2．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．④检查()f x '在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果()f x '在这个根的左、右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围． 3．求函数f (x )在[a ,b ]上最值的方法（1）若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f (x )在区间(a ,b )内有极值，先求出函数f (x )在区间(a ,b )上的极值，与f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f (x )在区间(a ,b )上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用．（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值．要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定．1．已知函数32()6f x x x ax =-+的图象经过点()2,2A ． （1）设t R ∈，讨论()f x 在(),t +∞上的单调性；（2）若()f x 在[],1m m +上的最大值为()f m ，求m 的取值范围． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）⎡⎢⎣⎦．【分析】（1）求出函数解析式，求导数，对t 分类讨论即可求解；（2）根据（1）只需满足()()131m f m f m ≤<⎧⎨≥+⎩即可求解．【解析】（1）因为()22162f a =-=，所以9a =，32()69f x x x x =-+，()()()2'()343331f x x x x x =-+=--，当1x <或3x >时，'()0g x >，当13x <<时，)'(0g x <，所以：①当1t <时，()f x 在(),1t 和()3,+∞上递增，在()1,3上递减；3 / 33②当13t ≤<时，()f x 在(),3t 上递减，在()3,+∞上递增； ③当3t ≥时，()f x 在(),t +∞上递增；（2）因为()f x 在[],1m m +上的最大值为()f m ，所以由（1）可得()()131m f m f m ≤<⎧⎨≥+⎩，解得1m ≤≤故m的取值范围为⎡⎢⎣⎦．2．已知函数()x xf x e e -=+，其中e 是自然对数的底数．（1）设存在[)01,x ∈+∞，使得()()30003f x a x x <-+成立，求正实数a 的取值集合A ；（2）若a A ∈，比较1a e -与1e a -的大小，并证明你的结论．【试题来源】湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考（六）【答案】（1）1,2e e ∞-⎛⎫++ ⎪⎝⎭；（2）答案见解析． 【分析】（1）令函数()()313xx g x e a x x e=+--+，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性及最小值，当且仅当最小值()10g <，即可得到参数的取值范围；（2）构造函数()()1ln 1h x x e x =---，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．【解析】（1）令函数()()313xx g x e a x x e=+--+， 则()()2131x x g x e a x e +'=--．当1x 时，210,10x xe x e->-， 又0,a >故()0g x '>,所以()g x 是[)1,+∞上的单调增函数，因此()g x 在[)1,+∞的最小值是()112.g e e a -=+- 由于存在[)01,,x ∞∈+使()0030030x x e e a x x -+--+<成立,当且仅当最小值()10.g <故120,e e a -+-<即1,2e e a -+>则1,.2e e A ∞-⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（2）令函数()()1ln 1,h x x e x =---则()11e h x x-=-'． 令()0,h x '=得1x e =-，当()0,1x e ∈-时(),0,h x '<故()h x 是()0,1e -上的单调减函数． 当()1,x e ∞∈-+时(),0,h x '>故()h x 是()1,e -+∞上的单调增函数 所以()h x 在()0,∞+上的最小值是()1h e -．注意到()()10h h e ==， 所以当()()1,10,1x e e ∈-⊆-时()()(),110.h e h x h -<<= 当()()1,1,x e e e ∞∈-⊆-+时()(),0h x h e <=, 所以()0h x <对任意的()1,x e ∈成立．①当()1,1,2e e a e e -⎛⎫+∈⊆⎪⎝⎭时(),0,h a <即()11ln ,a e a -<-从而11;a e e a --< ②当a e =时11,a e e a --=；③当()(),1,a e e ∞∞∈+⊆-+时()(),0,h a h e >=即()11ln a e a ->-，故11a e e a -->.综上所述，当1,2e e a e -⎛⎫+∈⎪⎝⎭时11,;a e e a --<当a e =时11,a e e a --=；当(),a e ∈+∞时，11a e e a -->．【名师点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 3．已知函数21()ln 21()-=--+∈a f x x ax a R x． （1）当104a <时，讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数2121()()2a g x x f x x-=++，当||1a >时，若函数()g x 的极大值点为1x ，证明：2111ln 1->-x x ax ．5 / 33【试题来源】2021届高三数学二轮复习 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）先求出2(1)(221)()x ax a f x x-+-'=-，再对a 分类讨论得到函数()f x 的单调性； （2）通过分析得到21112x a x +=，所以2311111111122x lnx ax x x x lnx -=--+，101x <<，令311()22h x x x xlnx =--+，01x <<，再利用导数证明()1h x >-即得证．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2221212(21)(1)(221)()2a ax x a x ax a f x a x x x x -----+-'=-+=-=-， ①当0a =时，21()x f x x -'=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， ②当104a <<时，由()0f x '=，解得11x =，2112x a=-， 此时11102a->>， ∴当(0,1)x ∈，1[12a-，)+∞时，()0f x '，函数()f x 单调递减， 当[1x ∈，11)2a-，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 综上所述，当0a =时，()f x 在(0,1)上单调递减，在[1，)+∞上单调递增， 当104a <<时，()f x 在(0,1)，1[12a -，)+∞时，单调递减，在[1∈，11)2a -，单调递增．（2）221211()()2122a g x x f x x ax lnx x -=++=-++， 2121()2x ax g x x a x x-+∴'=-+=，当||1a >时，即1a >或1a <-时，令()0g x '=，则2210x ax -+=的两个根为1x ，2x ， 函数()g x 的极大值点为1x ，120x x ， 又121=x x ，122x x a +=，1a ∴>，101x <<，由1()0g x '=，可得211210x ax -+=，则21112x a x +=，3231111111111111222x x x lnx ax x lnx x x x lnx +∴-=-=--+，101x <<，令311()22h x x x xlnx =--+，01x <<，231()22x h x lnx ∴'=-++， 2113()3x h x x x x-∴''=-+=，(0,1)x ∈，当03x <<时，()0h x ''>，当13x <<时，()0h x ''<，()h x ∴'在上单调递增，在，1)上单调递减，3()()03h x h ∴''=-，()h x ∴在(0,1)上单调递减， ()h x h ∴>（1）1=-，故21111x lnx ax ->-．【名师点睛】在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是有些问题“一次求导”，不能求出原函数（一般导函数是超越函数）的单调性，还不能解决问题，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题． “再构造，再求导”是破解函数综合问题的有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途径．利用二次求导解题时，要注意“导下去，看正负；倒回来，看图象”，“导下去，看正负”指一直对函数求导，直到你能确定导数的正负，确定前面函数的单调区间为止，才停止求导；“倒回来，看图象”指的是根据导数求出对应函数的单调性，再求出端点函数值、拐点值等，画出原函数的图象，逐步分析得到最初的函数的单调性． 4．已知函数()2x x f x e e =-，()2ln 2ag x x x x x =-- （1）求()f x 的极值；（2）若()1,x ∈+∞时，()f x 与()g x 的单调性相同，求a 的取值范围．【试题来源】2021年高考数学二轮优化提升高考数学复习考点知识与题型专题讲解7 / 33专题训练（新高考地区专用）【答案】（1）极小值()11f e=，无极大值；（2）0a ≤．【分析】（1）根据函数的极值的概念可求得结果；（2）由（1）知，()f x 在()1,+∞单调递增，所以()g x 在()1,+∞单调递增，利用导数转化为ln xa x≤在()1,+∞恒成立，构造函数()ln xp x x=，()1,x ∈+∞，利用导数求出()p x 的值域即可得解． 【解析】（1）()f x 的定义域为R ，()1x x f x e-'=，当(),1x ∈-∞时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增．所以()f x 有极小值()11f e=，无极大值．（2）由（1）知，()f x 在()1,+∞单调递增．则()g x 在()1,+∞单调递增，即()1ln 1ln 0g x x ax x ax '=+--=-≥在()1,+∞恒成立，即ln x a x ≤在()1,+∞恒成立，令()ln x p x x =，()1,x ∈+∞；()21ln xp x x -'=， 所以当()1,x e ∈时，()0p x '>；当(),x e ∈+∞时，()0p x '<，所以()p x 在()1,e 单调递增，在(),e +∞单调递减，又()1,x ∈+∞时，()0p x >，所以()10,p x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以0a ≤．【名师点睛】将函数在指定区间上的单调性转化为导函数的不等式恒成立是解题关键．5．已知函数()()2,ln f x ax g x x ==（1）当1a =时，求()()f x g x -的最小值； （2）若曲线()y f x =与yg x 有两条公切线，求a 的取值范围．【试题来源】吉林省长春市2021届高三质量监测（二）【答案】（1）11ln 222+；（2）12a e >．【分析】（1）由导数得出函数()F x 的单调性，进而得出最值；（2）由题意得出当()()f x g x >时，曲线()y f x =与y g x 有两条公切线，构造函数()2ln xh x x =，利用导数得出其最大值，从而得出a 的取值范围．【解析】（1）当1a =时，令()()()2ln F x f x g x x x =-=-()()212120x F x x x x x -'=-=>，令()0F x '=且0x >可得x =()02F x x '>⇒>，()002F x x '<⇒<<即函数()F x 在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增min11ln 2ln 22221122F F =--⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由函数()f x 和()g x 的图象可知: 当()()f x g x >时，曲线()y f x =与y g x 有两条公切线即2ln ax x >在0,上恒成立，即2ln xa x >在0,上恒成立设()2ln x h x x =，()312ln xh x x -'=令()312ln 0,x h x x x-=='=()()000x h x h x x >⇒<<<⇒'>'即函数()h x 在(上单调递增，在)+∞上单调递减即max 12h he ==，因此，12a e >【名师点睛】解决本题的关键在于利用导数得出函数的单调性，进而得出最值．6．已知函数()()2sin 10f x x x =->，()5sin 3g x x x =-+． （1）求()f x 在[]0,π上的最小值； （2）证明：()()g x f x >．【试题来源】湘豫名校联考2020-2021学年高三（3月）9 / 33【答案】（12+；（2）证明见解析． 【分析】（1）求导函数()'f x ，由()'f x 确定单调性，得极小值也即为最小值． （2）不等式()()g x f x >化为3sin 40x x -+．引入函数()3sin 4x x x ϕ=-+()ϕx 的最小值即可证明．【解析】（1）()2cos f x x '，令()0f x '=，得cos x =，故在区间[]0,π上，()f x '的唯一零点是π6x =， 当π0,6x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '>，()f x 单调递增，故在区间[]0,π上，()f x的最小值为π26f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）要证：当0x >时，5sin 32sin 1x x x -+-， 即证：当0x >3sin 40x x -+． 令()3sin 4x x x ϕ=-+所以()π3cos 3x x x x ϕ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭，所以π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ,336x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以π1sin 32x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0x ϕ'<， 所以π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，ππ2π,363x ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，所以π1sin ,132x ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以()0x ϕ'>，所以()x ϕ在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π6⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以()π33410622x ϕϕ⎛⎫≥=--+= ⎪⎝⎭， 所以(]0,πx ∈时，()0x ϕ>，而()π,x ∈+∞时，()π4406x x ϕ⎛⎫=-++---> ⎪⎝⎭，综上，0x >时，()0x ϕ>，即()()g x f x >．【名师点睛】本题考查用导数求函数的最值，证明不等式．解题方法是不等式变形后，引入新函数，利用导数求得新函数的最值，从而得证不等式成立．7．已知函数12()()sin f x x m x =--，其中14m <-．（1）当1m =-时，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；（2）求证：()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一极小值点．【试题来源】1号卷A10联盟2021届高三开年考 【答案】（1）220x y +-=；（2）证明见解析．【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程．（2）令()()cos g x f x x '==-，可证()g x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，结合零点存在定理可得()g x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点，结合其()g x '在该零点附近的符号可证()'f x 的单调性，结合零点存在定理可证()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一极小值点． 【解析】（1）当1m =-时，12()(1)sin f x x x =+-，则()cos f x x '=-， 所以1(0)2f '=-，又(0)1f =，所以所求切线方程为112y x -=-，即220x y +-=．（2）由题意得，()cos f x x '=-．令()cos g x x =-，则321()sin 4()g x x x m '=-+-，因为3214()y x m =--和sin y x =均在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以()'g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，11 / 33 又3214)0)(0(g m --'=<，32110242g m ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以存在唯一实数00,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g t '=， 则当()00,x t ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当0,2x t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，函数()g x 单调递增． 又14m <-，则14m ->12>，即1>，2>，所以(0)10g =-<，1032g π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，02g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 所以存在唯一实数0,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00cos 0g x x =-=， 所以当()00,x x ∈时，()()0f x g x '=<，函数()f x 单调递减； 当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0f x g x '=>，函数()f x 单调递增， 所以()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一极小值点0x ． 【名师点睛】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明，注意需选择特殊点的函数值，使得其函数值的符号符合预期的性质，选择特殊点的依据有2个方面：（1）与极值点有明确的大小关系；（2）特殊点的函数值较易计算．8．已知函数()()()ln x f x e x m x m x =-+++，2m ≤．（1）若直线:1l y x =+是函数()f x 的切线，求m 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并证明．【试题来源】广东省揭阳市2021届高三下学期教学质量测试【答案】（1）1m =；（2）单调递增函数，证明见解析．【分析】（1）设切点的坐标为(),n t ，求出()f x '，根据直线l 与函数()f x 的图象相切可得出关于t 、m 、n 的方程组，解出这三个未知数的值即可；（2）利用导数证得()()1ln 2ln x e x x x m ≥+≥+≥+，从而可得出()0f x '≥，即可得出结论．【解析】（1）函数()f x 的定义域为(),m -+∞．对函数()f x 求导可得()()ln x f x e x m -'=+．设直线l 关于函数()f x 的切点为(),n t ，则有()()()1ln ln 1n n t n t e m n m n n e m n ⎧=+⎪=-+++⎨⎪-+=⎩，解方程组可得1m =，0n =，1t =；（2）由第（1）问可得()()ln x f x e x m -'=+，令()()1x g x e x =-+，则()1x g x e '=-．可知当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>．即()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，于是有()()()100x g x e x g =-+≥=，即有1x e x ≥+恒成立．构造函数()()()1ln 2h x x x =+-+，则()11122x h x x x +=-=++'． 可知当()2,1x ∈--时，()0h x '<；当()1,x ∈-+∞时，()0h x '>．即()h x 在()2,1--上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，于是有()()()()1ln 210h x x x h =+-+≥-=，即有()ln 21x x +≤+恒成立．当2m ≤时，()()ln ln 21x m x x +≤+≤+成立．综上可得()1ln x e x x m ≥+≥+，即有()0f x '≥恒成立，故函数()f x 为单调递增函数．【名师点睛】本题考查切线的定义，利用待定系数法求参数，利用放缩法证明函数的单调性．该题的本质构造了两个函数x y e =、()ln 2y x =+的公切线1y x =+，并分别与其进行对比，以得到比较的目的．13 / 339．设函数()1()x x a a f x e -=+>． （1）求证：()f x 有极值点；（2）设()f x 的极值点为0x ，若对任意正整数a 都有()0,x m n ∈，其中,m n Z ∈，求n m -的最小值．【试题来源】江苏省盐城市、南京市2021届高三下学期第一次模拟考试【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】（1）由题意得()ln x x f x a a e -'=-，所以()()2ln 0x x f x a a e -''=+>，所以函数()f x '单调递增，由()0f x '=，得()()ln 1,1ln x x ae a ae a==． 因为1a >，所以1ln 0a >，所以1log ln ae x a =． 当1log ln ae x a>时，()()0,f x f x '>单调递增； 当1log ln ae x a<时，()()0,f x f x '<单调递减． 因此，当1log ln ae x a=时函数()f x 有极值． （2）由（1）知，函数()f x 的极值点0x （即函数()f x '的零点）唯一， 因为ln (1)a f e a'-=-．令()ln a g a a =，则()21ln 0a a g a '-==，得a e =． 当a e >时，()()0,g a g a '<单调递减；当0a e <<时，()()0,g a g a '>单调递增，所以()()1g a g e e ≤=，所以()ln 10a f ae '-=-<． 而()0ln 1f a '=-，当2a =时，()00f '<，当3a ≥时，()00f '>．又()1ln 1a e f a '=-．因为a 为正整数且2a ≥时，所以ln 2ln 121a a e≥>>． 当2a ≥时，()10f '>．即对任意正整数1a >，都有()10f '-<，()10f '>，所以()01,1x ∈-恒成立，且存在2a =，使()00,1x ∈，也存在3a =，使()01,0x ∈-．所以n m -的最小值为2．【名师点睛】本题考查导数的应用，解题的关键是利用导数结合零点存在性定理得出()10f '-<，()10f '>，得出,m n 的可能值．10．已知函数()x f x e ax =-，其中a R ∈．（1）讨论函数()f x 在[0,1]上的单调性；（2）若函数()()ln(1)cos g x f x x x =++-，则是否存在实数a ，使得函数()g x 在0x =处取得极小值？若存在，求出a 值；若不存在，说明理由．【试题来源】广东省广州市天河区2021届高考二模【答案】（1）答案见详解；（2）存在2a =，使得()g x 在0x =处取得极小值【分析】（1）求出导函数，讨论1a ≤、1a e <<或a e ≥，结合函数的单调性与导数之间的关系进行求解即可．（2）求出()1sin 1x g x e a x x '=-+++，根据极值的定义可得()020g a '=-=，得出2a =，再证明充分性，利用导数证明当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()g x 单调递增；再构造函数令()212x x m x x e -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，证明当1,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()g x 单调递减．【解析】（1）由()x f x e ax =-，则()x f x e a '=-，因为[0,1]x ∈，则[]1,x e e ∈，当1a ≤时，()0x f x e a '=-≥，函数在[0,1]上单调递增；当1a e <<时，令()0x f x e a '=-≥，解得ln ≥x a ，令()0x f x e a '=-<，解得ln x a <，即函数在[]ln ,1a 上单调递增，在[)0,ln a 上单调递减；当a e ≥时，()0x f x e a '=-≤，函数在[0,1]上单调递减；（2）()()()ln(1)cos cos ln 1x g x f x x x e ax x x =++-=--++，15 / 33()1sin 1x g x e a x x '=-+++， 显然0x =是函数()g x 的极小值点的必要条件为()020g a '=-=，即2a =，此时()1sin 21x g x e x x '=++-+，显然当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()11sin 21sin 2sin 011x g x e x x x x x x '=++->+++->>++， 当1,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()22311131122x x x x x ⎛⎫+-+=++> ⎪⎝⎭， 故213112x x x <-++，令()212x x m x x e -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 则()202x x m x e -'=-≤，故()m x 是减函数， 故当0x <时，()()01m x m >=，即212xx e x <++， 令()1sin 2h x x x =-，则()1cos 2h x x '=-， 当10x -<<时，()1cos102h x '>->，故()h x 在()1,0-上单调递增， 故当10x -<<时，()()00h x h <=，即1sin 2x x <， 故当1,04x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()1sin 21x g x e x x '=++-+ 2223112202222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫≤+++-+-+=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，当2a =时，0x =是()g x 的极小值点，即充分性也成立，综上，存在2a =，使得()g x 在0x =处取得极小值．【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，解题的关键是结合函数的单调性、极值和导数之间的关系进行构造函数，考查了逻辑推理能力以及运算求解能力，考查了化归与转化思想，综合性比较强．11．已知数列()*11nn a n n ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ． （1）证明：n a e <(*n ∈N ，e 是自然对数的底数)；（2）若不等式()*11,0n a e n a n +⎛⎫+≤∈> ⎪⎝⎭N 成立，求实数a 的最大值．【试题来源】山东省淄博市2021届高三一模考试【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为11ln 2-． 【分析】（1）将所要证明的不等式转化为证明()()()ln 101f x x x x =+-<≤在区间(]0,1上小于零，利用导数研究()f x 在区间(]0,1上的单调性和最值，由此证得结论成立．（2）将不等式()*11,0n a e n a n +⎛⎫+≤∈> ⎪⎝⎭N 成立，转化为()()()ln 1011x g x x x ax =+-<≤+在区间(]0,1上()0g x ≤恒成立，利用导数研究()g x 的单调性，结合对a 进行分类讨论，求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值．【解析】（1）要证()*11n e n n ⎛⎫+<∈ ⎪⎝⎭N 成立，两边取对数：只需证明11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立， 令1x n=，01x <≤，构造函数()()()ln 101f x x x x =+-<≤， 即只需证明函数()f x 在区间(]0,1上小于零，由于()1x f x x =-+'， 在区间(]0,1上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，且()00f =，所以在区间(]0,1上函数()0f x < 所以不等式()*11n e n n ⎛⎫+<∈ ⎪⎝⎭N 成立； （2）对于不等式()11n a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭N ，两边取对数： 只需不等式11ln 1n n a ⎛⎫+≤ ⎪+⎝⎭成立， 令1x n=，01x <≤，构造函数()()()ln 1011x g x x x ax =+-<≤+，17 / 33 不等式()11n a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭N 成立，等价于在区间(]0,1上()0g x ≤恒成立， 其中，()222(21)(1)(1)a x a x g x x ax +-=++'，由分子22(21)0a x a x +-=，得其两个实数根为10x =，2212a x a -=； 当12a ≥时，20x ≤，在区间(]0,1上，()0g x '>，函数()g x 单调递増， 由于()()00g x g >=1212a <<时，()20,1x ∈，在区间()20,x 上()0g x '<，在区间()2,1x 上()0g x '>；函数()g x 在区间()20,x 上单调递减，在区间()2,1x 上单调递增；且()00g =，只需()11ln 201g a =-≤+， 得11ln 2a ≤-1211ln 2a <≤-时不等式成立， 当021a <≤时，21x ≥，在区间(]0,1上，()0g x '<，函数()g x 单调递减，且()()00g x g <=，不等式恒成立，综上，不等式(),011n a a e n n +*⎛⎫+≤∈ ⎪⎝⎭>N 成立，实数a 的最大值为11ln 2-． 【名师点睛】可将不等式恒成立问题，转化为函数最值来求解，要注意导数的工具性作用．12．已知函数221()2()2x ax f x x x a e =+-∈R （ 2.71828e =…是自然对数的底数）． （1）若()f x 在(0.2)x ∈内有两个极值点，求实数a 的取值范围；（2）1a =时，计论关于x 的方程211()2|ln |()2x f x x x b x b xe⎡⎤-++=∈⎢⎥⎣⎦R 的根的个数． 【试题来源】山西省晋中市2021届高三下学期二模【答案】（1）22e e a <<；（2）答案见解析．【分析】（1）若()f x 在(0,2)x ∈内有两个极值点，则()0f x '=在(0,2)x ∈内有两个不相等的变号根，等价于0x e ax -=在(0,2)x ∈上有两个不相等的变号根．令()x g x e ax =-，分类讨论()g x 有两个变号根时a 的范围；（2）化简原式可得2()|ln |,(0,)x x h x x b x e=--∈+∞，分别讨论(1,)x ∈+∞和(0,1)x ∈时()h x 的单调性，可得()h x 的最小值，分类讨论最小值与0的关系，结合()h x 的单调性可以得到零点个数．【解析】（1）由题意可求得()()22(2)()2x x x a x x x e ax f x x e e '---=+-=，因为()f x 在(0,2)x ∈内有两个极值点，所以()0f x '=在(0,2)x ∈内有两个不相等的变号根，即0x e ax -=在(0,2)x ∈上有两个不相等的变号根．设()x g x e ax =-，则()x g x e a '=-，①当0a 时，(0,2),()0x x g x e a '∈=->，所以()g x 在(0,2)上单调递增，不符合条件．②当0a >时，令()0x g x e a '=-=得ln x a =，当ln 2a ，即2a e 时，(0,2),()0x x g x e a '∈=-<，所以()g x 在(0,2)上单调递减，不符合条件；当ln 0a ，即01a <时，(0,2),()0x x g x e a '∈=->，所以()g x 在(0,2)上单调递增，不符合条件；当0ln 2a <<，即21a e <<时，()g x 在(0,ln )a 上单调递减，(ln ,2)a 上单调递增，若要0x e ax -=在(0,2)x ∈上有两个不相等的变号根，则(0)0,(2)0,(ln )0,0ln 2,g g g a a >⎧⎪>⎪⎨<⎪⎪<<⎩，解得22e e a <<． 综上所述，22e e a <<．19 / 33（2）设2211()|ln |()2|ln |,(0,)2x x x h x x f x x x b x b x xee ⎡⎤=--+-=--∈+∞⎢⎥⎣⎦， 令2x x y e =，则212x x y e '-=，所以2x x y e =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． （ⅰ）当(1,)x ∈+∞时，ln 0x >，则2()ln x x h x x b e =--，所以22()21x x e h x e x x '-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 因为2210,0xe x x->>，所以()0h x '>，因此()h x 在(1,)+∞上单调递增． （ⅱ）当(0,1)x ∈时，ln 0x <，则2()ln x x h x x b e =---，所以22()21x x e h x e x x '-⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭． 因为()22221,,1,01,1,x x xe e e e x x ∈><<∴>即21,xe x -<-，又211,x -<所以22()210x x e h x e x x '-⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭，因此()h x 在(0,1)上单调递减． 综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当(0,)x ∈+∞时，2()(1)h x h e b -=--，当2(1)0h e b -=-->，即2b e -<-时，()h x 没有零点，故关于x 的方程根的个数为0，当2(1)0h e b -=--=，即2b e -=-时，()h x 只有一个零点，故关于x 的方程根的个数为1，当2(1)0h e b -=--<，即2b e ->-时，①当(1,)x ∈+∞时，221()ln ln ln 1x x h x x b x b x b e e ⎛⎫=-->-+>-- ⎪⎝⎭，要使()0h x >，可令ln 10x b -->，即()1,b x e +∈+∞； ②当(0,1)x ∈时，121()ln ln ln 12x x h x x b x e b x b e -⎛⎫=-----+>--- ⎪⎝⎭，要使()0h x >， 可令ln 10x b --->，即()10,b x e --∈，所以当2b e ->-时，()h x 有两个零点，故关于x 的方程根的个数为2，综上所述：当2b e -=-时，关于x 的方程根的个数为0，当2b e -=-时，关于x 的方程根的个数为1，当2b e ->-时，关于x 的方程根的个数为2．13．已知函数()()210,2x f x e ax x a =->∈R ． （1）当1a =时，比较()f x 与 1x +的大小； （2）若()f x 有两个不同的极值点12 , x x ，证明：1122ln (1)x a x x x <-． 【试题来源】四川省大数据精准教学联盟2021届高三第二次统一监测【答案】（1）()()10f x x x >+>；（2）证明见解析．【分析】（1）令()()()21102xx g x f x x e x x =--=--->，再利用导数法判断()g x 与0的关系．（2）根据()f x 有两个不同的极值点1 x ，2 x ，转化为1 x ，2 x 为方程x e a x=的两个不同实根有11ln x a lnx =+，22ln x a lnx =+，则11212212||||x lnlnx lnx x x x x x =-=-=-，进而将问题转化为()21121x x a x x -<-，即证明12111a x x -<-，再由（1）得到2112x x e x >++，即2112e x x x >++，然后作出函数()xe h x x=，()112x x x ϕ=++及y a =的图象，利用数形结合法求解．【解析】（1）当1a =时，()()2102x f x e x x =->， 令()()()21102xx g x f x x e x x =--=--->，则()1x g x e x '=--． 令()1x u x e x =--，则()1x u x e '=-，可知()1x u x e '=-为()0,∞+上的增函数， 则()()00u x u ''>=，则()u x 为()0,∞+上的增函数，所以()()00u x u >=，即()0g x '>，所以()g x 为()0,∞+上的增函数，所以()()00g x g >=，所以不等式212x x e x ->+在()0,∞+上成立，21 / 33所以()()10f x x x >+>．（2）()xf x e x α'=-，因为()f x 有两个不同的极值点1 x ，2 x ，所以1 x ，2 x 为方程()0f x '=两不等根，即1 x ，2 x 为方程xea x=的两个不同实根，令()xe h x x =，()()21x e x h x x-'=，令()0h x '>，得1x >；令()0h x '<，得1x <， 则()h x 在()1,+∞上递增，在()0,1上递减， 所以当1x =时，()h x 取得最小值为()1h e =，所以a e >，不妨设1201x x <<<，且11x e ax =，22xe ax =，则11ln x a lnx =+，22ln x a lnx =+，则11212212||||x ln lnx lnx x x x x x =-=-=-， 故只需证明()21121x x a x x -<-，即证明12111a x x -<-． 由（1）知2112xx e x >++，所以22111212x x ex x x x++>=++， 令()112x x x ϕ=++()0x >，则()2222x x x ϕ-'=可得()x ϕ在(上递减，)+∞上递增，函数()xe h x x=，()112x x x ϕ=++及y a =的图象如图所示，令()3434,x x x x <为方程()x a ϕ=两不等根，即()22120x a x +-+=的两个实根，则34342(1),2,x x a x x +=--⎧⎨=⎩由图可知，31240x x x x <<<<， 即421311110x x x x <<<<，所以43123434341111x x x x x x x x --<-==1a =<=-，所以()21121x x a x x -<-，故原不等式()11221x lna x x x <-得证． 【名师点睛】利用导数证明不等式常构造函数φ(x )，将不等式转化为φ(x )＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x )的单调性、最值，判定φ(x )与0的关系，从而证明不等式．14．已知函数()()21ln 0f x x ax x a a=-+>． （1）当1a e=时，求函数()f x 在x e =处的切线方程；（2）若()f x 在(000x x x =<<处取得极值，且()00f x >，求a 的取值范围． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练【答案】（1）12y e x e e ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭；（2）⎫⎪⎪⎝⎭． 【分析】（1）求出()f e 、()f e '，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）求出()222a x x a f x ax -++'=，求得0x =，由()00f x >可得出(3200002ln 3ln 100x x x x -+-><<，构造函数()322ln 3ln 1h x x x x =-+-，其中0x <<利用导数分析函数()h x 在(上单调递增，由()00hx >可得出01x <进而可解得正实数a 的取值范围．【解析】（1）当1a e =时，()2ln x f x x ex e=-+，则()12x f x e x e '=-+， 所以()21f e e e =-+，()12f e e e'=+-，所以切线方程为()211212y e x e e e e x e e e ⎛⎫⎛⎫=+--+-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；23 / 33（2）()221122a x x af x ax x a ax-++'=-+=，设()222g x a x x a =-++，则3180a ∆=+>．因为0x >，由()0g x >，可得2104x a <<，此时()0f x '>； 由()0g x <，可得x >()0f x '<． 所以，函数()f x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭．所以，0x =，则()()0f x f x =极大值且有220020a x x a -++=，可得20021x ax a =+，02114x a +=<a >所以()()0020000002ln 11ln ln 0222x a x x x f x x ax x a a a+-=-+=+-=>，且()()222000000ln 21ln 10f x x ax ax x ax =-+-=+->，所以，21ln ax x >-， 因为0x <012ln 0x ->，即002001ln 12ln x x a x x -<<-，即002001ln 12ln x x x x -<-，整理得(3200002ln 3ln 100x x x x -+-><<，设()322ln 3ln 1h x x x x =-+-，其中0x <<则()324ln 334ln 33x x x h x x x x x-+'=-+=， 0x <<1ln 2x<，所以34ln 0x ->，即当0x <<()0h x '>． 所以，函数()h x 在(上单调递增，()10h =，由()()001h x h >=，可得01x << 即2114a<<1a <<．因此，实数a的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭． 【名师点睛】利用导数求函数极值的步骤如下： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导；（3）解方程()00f x '=，当()00f x '=； （4）列表，分析函数的单调性，求极值：①如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值； ②如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值． 15．已知函数()()2sin 10f x x x =->，())))112sin g x e x x =⋅++．（1）求()f x 在[]0,π上的最小值； （2）证明：()()f x g x >．【试题来源】湘豫名校联考2020-2021学年高三（3月） 【答案】（12+；（2）证明见解析． 【分析】（1）先对函数求导，求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值； （2）要证()()f x g x >，只要证()11x x +>，构造函数()()1h x x x =-+，对函数求导得'()3sin 4h x x x =-+，此时导数等于零，方程无法求解，所以再构造函数()3sin 4x x x ϕ-+数求此函数的单调区间和最值，可得0x >时，()0x ϕ>，从而有()0h x '>，所以得到()h x 是0,上的增函数，进而可得()()01h x h >【解析】（1）()2cos f x x '，令0fx，得cos x =，25 / 33故在区间[]0,π上，fx 的唯一零点是π6x =， 当π0,6x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，0fx，()f x 单调递减， 当π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，0fx，()f x 单调递增，故在区间[]0,π上，()f x的最小值为π26f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）要证：当0x >))2sin 112sin x x x ->++，即证：当0x >时，()()11h x x x =-+>．()())11h x x x x '=+3sin 4x x =-+，令()3sin 4x x x ϕ=-+所以()π3cos 3x x x x ϕ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭，所以π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ,336x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以π1sin 32x ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0ϕ'<x ， 所以π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，ππ2π,363x ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，所以π1sin ,132x ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以()0ϕ'>x ， 所以()ϕx 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π6⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以()π33410622x ϕϕ⎛⎫≥=--+= ⎪⎝⎭， 所以(]0,πx ∈时，()0x ϕ>，而()π,x ∈+∞时，()π4406x x ϕ⎛⎫=-++---> ⎪⎝⎭，综上，0x >时，()0x ϕ>，即()0h x '>， 即()h x 是0,上的增函数，所以()()01h x h >．【名师点睛】此题考查导数的应用，利用导数求函数的最值，利用导数证明不等式，解题的关键是把()()f x g x >转化为()11x x +>，构造函数()()1h x x x =-+，对函数求导得'()3sin 4h x x x =-+，此时导数等于零，方程无法求解，所以再构造函数()3sin 4x x x ϕ-+数求此函数的单调区间和最值，进而可判断()0h x '>，所以得到()h x 是0,上的增函数，进而可得()()01h x h >，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题16．已知0a >，函数()2xe f x x a=+．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知函数()f x 存在极值点1x 、2x ，求证：()()1212e af x f x a--<⋅．【试题来源】江苏省无锡市天一中学2021届高三下学期二模考前热身模拟 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）求得()()()2222x e x x a f x xa -+'=+，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间；（2）由题意得出122x x +=，12x x a =，2112x a x +=，2222x a x +=，将所证不等式转化为证明121212121222x x x x e e e x x x x --<⋅，即()()11211111210x x x e x e x ------<，令()110,1t x =-∈，构造函数()()()211t t F t t e t e t -=+---，证明出()0F t <对任意的()0,1t ∈恒成立即可． 【解析】（1）当0a >时，函数()2xef x x a=+的定义域为R ，且()()()2222x e x x a f x xa -+'=+．对于方程220x x a -+=，44a ∆=-．①当0∆>时，即()0,1a ∈时，令()0f x '=，11x =21x = 由()0f x '<可得11x <<27 / 33由()0f x '>可得1x <或1x >所以函数()f x在(,1-∞上单调递增，在(1上单调递减，在()1++∞上单调递增；②当0∆≤时，即[)1,a ∈+∞时，()()()22220x e x x a f x xa -+'=≥+，所以函数()f x 在R 上单调递增．（2）由（1）可得01a <<，且1x 、2x 是220x x a -+=的两根． 由根与系数关系可得122x x +=，12x x a =．设1201x x <<<，则()f x 在1x x =处取到极大值，在2x x =处取到极小值， 所以()()12f x f x >．因为2112x a x +=，2222x a x +=，所以命题等价于证明121212121222x x x x e e e x x x x --<⋅， 整理得121121121x x x e x e x x ---<-，即()()11211111210x x x e x e x ------<．令()110,1t x =-∈，构造函数()()()211t t F t t e t e t -=+---，()0,1t ∈， 则()()2t tF t t e e -'=--，()0,1t ∈，令()2t tg t e e -=--，易知()g t 在()0,1上单调递增．因为()020g =-<，()10g >，所以存在()00,1t ∈，使()00g t =，当()00,t t ∈时，()0F t '<，()F t 单调递减；当()0,1t t ∈时，()0F t '>，()F t 单调递增， 所以()()(){}max 0,10F t F F <=，所以()()11211111210x x x e x e x ------<成立，所以()()1212e a f x f x a--<⋅．【名师点睛】利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．17．已知函数()1xf x e ax =--（1）讨论函数()()f xg x x=在其定义域内的单调性； （2）若()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，设()()xh x e f x =，证明：()h x 在R 上存在唯一的极大值点t ，且()3.16h t <【试题来源】浙江省金华市武义第三中学2021届高三下学期2月月考 【答案】（1）在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增；（2）证明见解析． 【分析】（1）先对函数()g x 求导，得()()211x x e g x x '-+=，令()()11xx x e ϕ=-+，则()x x xe ϕ'=，得到()x ϕ在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，结合其定义域，得到()()00ϕϕ>=x ，进而求得()g x 的单调区间； （2）根据()0f x ≥对任意的x ∈R恒成立，可确定1a =，()()()()1,22x x x x h x e e x h x e e x '=--=--，利用导数研究函数的图象的走向，研究得其极值点以及极值的范围，证得结果．【解析】（1）由题意()1x e ax g x x --=，定义域为()()()()211,00,,x x e g x x ∞∞'-+-⋃+=令()()11x x x e ϕ=-+，则()xx xe ϕ'=当0x <时，()0;x ϕ'<当0x >时，()0x ϕ'>()x ϕ∴在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增 ()()00,x ϕϕ∴>=即()g x '在(),0-∞和()0,∞+上均大于零 ()g x ∴在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增29 / 33（2）易知()x f x e a '=-，由()10xf x e ax =--≥对任意的x ∈R 恒成立，即1x ax e ≤-恒成立，当0x =时显然成立，当0x >时，1x e a x -≤恒成立，当0x <时，1x e a x -≥恒成立，令1()x e u x x -=，则22(1)(1)1'()x x x e x e x e u x x x⋅---+==， ()(1)1x v x x e =-+，'()x v x e =，可知'()0v x >，()v x 在R 上单调递增，且(0)110v =-+=，所以当0x <时，'()0u x <，当0x >时，'()0u x >，所以1()x e u x x -=在(,0)-∞上单调减，在(0,)+∞上单调增，且001lim lim 11x xx x e e x→→-==，所以1a =，此时()()()()1,22x x x xh x e e x h x e e x '=--=--，令()22,x x e x τ=--则()21xx e τ='-，当ln2x <-时，()0;x τ'<当ln2x >-时，()0x τ'>，()x τ∴在(),ln2∞--上单调递减，在()ln2,∞-+上单调递增，又()()3322223212200,20,0224e ee τττ⎛⎫=-=>-=-=-< ⎪⎝⎭， ∴存在唯一实数32,,2t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭使得()220t t e t τ=--=，()h x ∴在(),t -∞上递增，(),0t 上递减，()0,∞+上递增， ()h x ∴在R 上唯一的极大值点，即为.t()()222231122416ttt t t t h t e e t t ++--⎛⎫∴=--=--=<⎪⎝⎭． 【名师点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，解题思路如下：（1）对函数求导，之后对其导数再求导，结合导数的符号确定函数的单调性，从而确。
2021届山东师范大学附属中学高三数学打靶模拟试题及答案
2021届山东师范大学附属中学高三数学打靶模拟试题一、单选题1．在复平面内，复数2i ，3对应的点分别为,A B ．若C 为线段AB 上的点，且AC CB =，则点C 对应的复数是（ ） A ．312i +B ．32i +C ．213i +D ．23i +【答案】B【分析】由AC CB =得，点C 为AB 的中点，则可得出点C 的坐标，然后得出点C 对应的复数. 【详解】两个复数对应的点分别为()0,2A ，()3,0B ， 设点C 的坐标为()(),,x y x y R ∈， 则由AC CB =，得C 为AB 的中点，故C 的坐标为3,12⎛⎫⎪⎝⎭，则点C 对应的复数是32i +.故选:B ． 【解析】本题考查复数的几何意义、以及与向量的联系，较简单.2．已知全集U =R ，集合{}13M x Z x =∈-<，{}4,2,0,1,5N =--，则下列Venn 图中阴影部分的集合为（ ）A ．{}0,1B ．{}3,1,4-C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,2,3-【答案】C【分析】由给定条件求出集合M ，再由Venn 图中阴影部分表示的意义求解即得.【详解】集合{}{}13{|313}{|24}1,0,1,2,3M x Z x x Z x x Z x =∈-<=∈-<-<=∈-<<=-， Venn 图中阴影部分表示的集合是{1,2,3}R M N ⋂=-. 故选：C3．已知随机变量()3,1X N ~，且()20.1587P X <=，则()24P X ≤≤=（ ）A ．0.1586B ．0.3413C ．0.4177D ．0.6826【答案】D【分析】利用正态分布曲线的对称轴及对称性即可作答.【详解】因随机变量()3,1X N ~，则3,1μσ==，而()20.1587P X <=，即()0.1587P X μσ<-=， 于是有()24()2()2[()()]P X P X P X P X P X μσμσμσμμμσ≤≤=-≤≤+=-≤≤=≤-<-12(0.1587)0.68262=-=.故选：D4．若函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．(]0,2C ．30,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得.【详解】因函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则有2y ax =-在(,2]-∞上递增，()()32ln 1y a x =--在(2,)+∞上也递增， 根据增函数图象特征知，点(2,22)a -不能在点(2,0)上方，于是得0320220a a a >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩ ，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围是(]0,1. 故选：A5．已知变量x ，y 的关系可以用模型kx y c e =⋅拟合，设ln z y =，其变换后得到一组数据下：由上表可得线性回归方程4z x a =-+，则c ＝（ ） A ．4- B ．4e -C ．109D ．109e【分析】根据表格数据求,x z ，代入回归方程求参数a ，结合ln z y =得ln z c kx =+，由方程的形式可知ln a c =，即可求c. 【详解】由表格数据知：161718195034413117.5,3944x z ++++++====.由4z x a =-+，得417.539a -⨯+=，则109a =. ∴4109z x =-+，由kx y c e =⋅，得ln ln()ln ln ln kx kx z y c e c e c kx ==⋅=+=+， ∴ln 109c =，即109c e =. 故选：D. 6．直线3yx与曲线2||194y x x -=（ ）A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点D ．有三个交点【答案】D【分析】分别在0x ≤和0x >两种情况下得到曲线方程，与直线方程联立后可求得方程的根，从而确定交点个数.【详解】当0x ≤时，曲线为22194y x +=，与直线方程联立得：213240x x +=解得：10x =，22413x =- ∴此时直线与曲线有两个交点当0x >时，曲线为22194y x -=，与直线方程联立得：25240x x -=解得：10x =（舍），2245x = ∴此时直线与曲线有一个交点综上所述：直线与曲线有三个交点 故选：D【点睛】本题考查直线与曲线交点个数的求解，关键是能够通过分类讨论的方式得到曲线的解析式，进而通过直线与曲线方程联立求得结果.7．在ABC 中，2BC =，若AB =，则BC BA ⋅的取值范围是（ ）A ．(6-+B ．6⎡-+⎣C ．(8-+D ．8⎡-+⎣【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，由AB 得到A 的轨迹，最后结合图形及向量的数量积运算可得结果.【详解】以BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则()1,0B -，()1,0C .设点()(),0A x y y ≠，由2AB AC =， 可得()()2222121x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得()23x - ()()22220y y +=≠，故点A 的轨迹为圆（不包含与x 轴的交点），记圆()()222322x y -+=与x 轴的交点分别为M ，N （M 在N 的左侧）则422MB =-，422NB =+，所以BC BA BC BA ⋅=⋅cos 842ABC BC BM ⋅∠>⋅=-，842BC BA BC BN ⋅<⋅=+. 故选:C.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是建立坐标后根据几何关系建立等式然后得到点A 的轨迹方程，二是求最值. 8．23(2ln 3)1ln 3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．a c b << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c <<【答案】A【分析】构造函数ln ()x f x x =，应用导数研究其单调性，进而比较2()3e af =，()b f e =，(3)c f =的大小，若ln xt x =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e∈，构造2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，利用导数确定()0>g x ，进而得到212121ln ln 2x x x x x x ->-+，即可判断a 、c 的大小，即可知正确选项.【详解】令ln ()x f x x=，则222ln 3()33e e af e ==，ln ()e b f e e ==，ln 3(3)3c f ==，而21ln ()x f x x -'=且0x >，即0x e <<时()f x 单调增，x e >时()f x 单调减，又2133e e <<<， ∴b c >，b a >. 若ln xt x =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e∈，即2121ln ln x x t x x -=-，1212ln x x x x t+=，令2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x g x x x -'=>+，即()g x 在(1,)+∞上递增， ∴()(1)0g x g >=，即在(1,)+∞上，2(1)ln 1x x x ->+，若21x x x =即212121ln ln 2x x x x x x ->-+，故122ln t t x x >，有212x x e >∴当23x =时，213e e x >>，故21()()(3)3e f f x f <=， 综上：b c a >>. 故选：A【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小. 二、多选题9．已知0a >，0b >，4165log 2log 16a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．45a b += B ．542a b +=C ．ab 的最大值为2564D ．11a b+的最小值为185【答案】BCD【分析】根据已知4165log 2log 16a b +=化简可得542a b +=，即可判断A,B 的真假，再利用基本不等式即可判断CD ．【详解】由4165log 2log 16a b +=可得，52816a b +=，即542a b +=．所以A 错误，B 正确；因为5254264a b ab =+≥≤，当且仅当55,164a b ==时取等号，所以ab 的最大值为2564，C 正确；因为()11211244555b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(218555≥+=，当且仅当55,126a b ==时取等号，所以11a b+的最小值为185，D 正确．故选：BCD ．10．如图，平面四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，2AB AD CD ===，BD =90BDC ∠=︒，将ABD △沿对角线BD 折起至A BD '，使平面A BD '⊥平面BCD ，则四面体A BCD'中，下列结论正确的是（ ）A ．//EF 平面A BC 'B ．异面直线CD 与A B '所成的角为90°C ．异面直线EF 与A C '所成的角为60°D ．直线A C '与平面BCD 所成角为30° 【答案】ABD【分析】利用直线与平面平行判断选项A ；利用直线与平面垂直判断选项B ，C ；作出直线A C '在平面BCD 内射线得线面角求解即可判断选项D.【详解】因E ，F 分别为,A D BD '的中点，则//,EF A B A B ''⊂平面A BC '，EF ⊄平面A BC '，则//EF 平面A BC '，A 正确；因平面A BD '⊥平面BCD ，平面A BD '平面BCD BD =， 而CD BD ⊥，则CD ⊥平面A BD '，于是CD A B '⊥， 异面直线CD 与A B '所成的角为90°，B 正确；2228A B A D BD ''+==，则A B A D ''⊥，而CD A B '⊥，A D CD D '=，从而得AB '⊥平面ACD '，A B A C ''⊥，EF A C '⊥，异面直线EF 与A C '所成的角为90°，C 不正确；连,A F CF '，由2A B A D ''==，F 为BD 的中点得A F BD '⊥， 于是有A F '⊥平面BCD ，则CF 是A C '在平面BCD 内射影， A CF '∠是直线A C '与平面BCD 所成角，如图：而2,2A F A C ''==1sin A F A CF ''∠==，则30A CF '∠=，D 正确.故选：ABD.11．已知函数()()()sin cos cos sin f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．π为函数()f x 的一个周期 B ．直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()()2g x f x x =+有且仅有2个零点 【答案】AB【分析】根据()()f x f x π+=判断选项A 正确；根据()()f x f x π-=判断选项B 正确；判断出函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调性，结合周期性，奇偶性和对称轴画出函数的简图，由此可以判断选项C 和D.【详解】因为()()()()()()()sin cos cos sin sin cos cos sin f x x x x x πππ+=+++=-+-()()()()sin cos cos sin sin cos cos sin ()x x x x f x =-+=+=，所以π为函数()f x 的一个周期，选项A 正确；因为()()()()()()()sin cos cos sin sin cos cos sin f x x x x x πππ-=-+-=-+()()()()sin cos cos sin sin cos cos sin ()x x x x f x =-+=+=，所以直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，故选项B 正确；因为()()()()()sin cos cos sin f x x x -=-+-()()()()sin cos cos sin sin cos cos sin ()x x x x f x =+-=+= ，所以()f x 是偶函数，又当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos t x =单调递减，sin y t =单调递增，且()sin cos 0x >，所以()()sin cos sin cos y x x ==在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时单调递减；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin m x =单调递增，cos y m =单调递减， 且()cos sin 0x >，所以()()cos sin cos sin y x x ==在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时单调递减，所以函数()()()sin cos cos sin f x x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时单调递减，又π为函数()f x 的一个周期，且直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，所以画出函数()f x 的故选：AB. 12．若双曲线22:145x y C ， 12,F F 分别为左、右焦点，设点P 在双曲线上且在第一象限的动点，点I 为12PF F △的内心，点G 为12PF F △的重心，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线C 的离心率为32B ．点I 的运动轨迹为双曲线的一部分C ．若122PF PF =，12PI xPF yPF =+，则29y x -=. D ．存在点P ，使得12//IG F F 【答案】ACD【分析】根据双曲线的方程，求得,,,a b c e 的值，可判定A 不正确；由圆的切线长定理和双曲线的定义，可求得I 的横坐标，可判定B 不正确；由双曲线的定义和余弦定理，利用等积法，求得I 的纵坐标，由正弦1PF 和2PF 求交点，求得P 的坐标，运用向量的坐标表示，可得,x y ，可判定C 正确；由等积法求得12PF F △的内切圆的半径r ，结合三角形的重心坐标公式和两点间的距离公式，可判定D 正确.【详解】由题意，双曲线22:145x y C ，可得222,5,3a b c a b ===+=， 则离心率为32c e a ==，所以A 正确；设12,PF m PF n ==，12PF F △的内切圆与边1PF 切于点S ，与边2PF 切于点K ，与边12F F 切于点T ，可得1122,,PS PK FS FT F T F K ===， 由双曲线的定义可得2m n a -=，即12122FS F K FT F T a -=-=， 又由122FT F T c +=，解得2F T c a =-，则T 的横坐标为a ， 由I 与T 的横坐标相同，可得I 的横坐标为2a =，可得I 在定直线2x =上运动，由122PF PF =且1224PF PF a -==，解得12128,4,26PF PF F F c ====， 则126436167cos 2868PF F +-∠==⨯⨯，可得12sin PF F ∠=所以12tan PF F ∠=21tan PF F ∠=设直线1:3)PF y x =+，直线2:3)PF y x -，联立方程组，求得P ， 设12PF F △的内切圆的半径为r，则1211=86(846)22PF F S r ⨯⨯++⋅，解得r =I ，可得12215(2,),(7,15),(1,3PI PF PF =--=--=-， 由12PI xPF yPF =+，可得27x y-=--⎧⎪⎨=⎪⎩，解得24,99x y ==，可得29y x -=，所以C 正确； 设0000(,)(0,0)P x y x y >>，则00(,)33x y G ， 设12PF F △的内切圆的半径为r ，则1212011=(2)22PF F SF F y m n c r ⨯=++⋅， 于是01(2)2cy m n c r =++⋅，可得022cy r m n c=++，若12//IG F F ，可得00223cy ym n c =++，即412m n c +==，又由24m n a -==，联立可得4n =，因此()2200223165420x y x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，解得004,x y = 即存在点P ，使得12//IG F F ，所以D 正确. 故选：ACD.【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：一是几何方法，即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解． 三、填空题13．《航拍中国》是中央广播电视台推出的以空中视角俯瞰中国的纪录片，立体化展示了我国历史人文景观、自然地理风貌及经济社会发展，全景式俯瞰了观众们既熟悉又新鲜的美丽中国、生态中国、文明中国.小明同学观看完《四川》这一集后，决定利用四天假期时间游玩峨眉山、黄龙、九寨沟和都江堰四个景区，每天游玩一个景区，且黄龙和九寨沟两个不同景区不在相邻两天游玩，则该同学的不同游玩方法种数为________. 【答案】12【分析】由插空法即可求出．【详解】因为黄龙和九寨沟两个不同景区不在相邻两天游玩，所以先排好峨眉山，都江堰，再根据它们产生的三个空位选择两个将黄龙和九寨沟排进去，所以共有222312A A ⨯=种不同游玩方法．故答案为：12．14．已知()6y f x π=+是周期为π的偶函数，则函数()f x =____________（写出符合条件的一个函数解析式即可）【答案】cos(2)3x π-（答案不唯一）【分析】由给定函数是周期函数和偶函数，可联想到余弦型函数，由此即可写出函数式作答.【详解】因()6y f x π=+是周期为π的偶函数，可联想到余弦型函数π显然22πωπ==，()cos[2()]cos[2()]663f x x x πππϕϕ+=++=++，()3k k Z πϕπ+=∈，由||2ϕπ<得0,3k πϕ==- ，所以()cos(2)3f x x π=-.故答案为：cos(2)3x π-15．变径圆弧螺旋线是以不同半径的圆弧连接而成的螺旋线，这种螺旋线极具美感.图1是鹦鹉螺的截面，其轮廓是等比变径螺旋线（半径构成等比数列），图2是一段等差变径圆弧螺旋线（半径构成等差数列），其中ABCDEF 是边长为1的正六边形，弧1FA 是以A 为圆心，AF 为半径的圆弧，弧11A B 是以B 为圆心，1BB 为半径的圆弧，弧11B C 是以C 为圆心，1CC 为半径的圆弧，依次类推，已知各圆弧的圆心角均等于正六边形的外角，则弧11E F 的长为_________.【答案】2π【分析】由等差数列的通项公式求出156FE AF d =+=，再利用弧长公式求解即可. 【详解】由题意知，11AB AF AA ===， 故112BB A B ==，又因为图2是一段等差变径圆弧螺旋线， 所以公差211d =-=， 故156FE AF d =+=，又正六边形的外角等于60，1160E FF ∴=，11E F ∴的长623l ππ=⨯=，故答案为：2π16．已知三棱锥A BCD -的所有棱长都为2，且球O 为三棱锥A-BCD 的外接球，点M 是线段BD 上靠近D 点的四等分点，过点M 作平面α截球O 得到的截面面积为S ，则S 的取值范围为____________.【答案】33,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由题设条件求出正四面体外接球半径可得面积S 的最大值，再求出与OM 垂直的截面小圆半径即可作答.【详解】三棱锥A BCD -的所有棱长都为2，则三棱锥A BCD -是正四面体，将它放置于正方体中，可得正方体外接球就是正四面体的外接球，如图：正方体棱长为2，球O 的球心O 是正方体的中心，球O 的半径R ，则2222(2)(2)(2)6R =++=6R =， 过点M 作球的最大截面是球面大圆，则截面面积最大值2max 32S R ππ==， 点M 在线段BD 上，1142DM BD ==，连OB ，OD ，则OBD 是等腰三角形，过O 作OE BD ⊥于E ，则E 为BD 中点，12EM DM ==，2222222262213()1()()22222OE OD DE OM OE ME --++=由球面的截面性质知，当OM ⊥平面α时，平面α截球面所得小圆面积最小， 这个最小圆半径为2222633()()22r R OM =--， 则截面面积最小值2min 34S r ππ==， 所以S 的取值范围为33,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin sin b B C a A c C +=-，7a =27cos C =，角B 的平分线交边AC 于点D. （1）求角A ；（2）求AD 的长. 【答案】（1）23A π=；（2）)223AD =.【分析】(1)利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可得解； (2)利用正弦定理求出b ，c ，再借助三角形面积推出BA DABC DC=，由此即可作答. 【详解】（1）ABC 中，由正弦定理得222b bc a c +=-，即222b c a bc +-=-， 由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==-，而0A π<<，于是得23A π=， 所以角23A π=； （2）因为cos C ，23A π=，a =sin C =()21sin sin sin()sin 32B A C C C C π=+=+=-=由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==得，sin sin 1,2sin sin a B a C b c A A ====， 又角B 的平分线交边AC 于点D ，则ABD CBD ∠=∠，CDB ADB ∠=∠，11sin sin 2211sin sin 22ABD CBDBA BD ABDAD DB ADBS BADA BC SDC BC BD CBD CD DB CDB ⋅⋅∠⋅⋅∠====⋅⋅∠⋅⋅∠1DA DA =-，解得：AD =， 所以AD 18．已知首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若 ，是否存在互不相等的正整数,,k r t ，使得k S ，r S ，t S ，成等差数列？若存在，求n S ；若不存在，请说明理由. 从（1）418a a =（2）2121n n S a ++=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析.【分析】若选择（1）：根据418a a =先求解出公比q ，然后假设,,k r t 存在并列出对应的等式，化简后根据数值的奇偶判断等式是否成立；若选择（2）：根据2121n n S a ++=列出对应的等式并求解出q 的值，然后设,,k r t 存在并列出对应的等式，化简后根据数值的奇偶判断等式成立的条件. 【详解】解：若选择（1）：由418a a =，得3118a q a =，所以38q =，解得2q.假设存在正整数,,k r t ，且k r t <<，使得k S ，r S ，t S 成等差数列，则2k t r S S S +=，即()()()1111212122121212k t r a a a ---+=---，整理得1222k t r ++=，所以1122t k r k --++=（）， 因为,,k r t 是正整数，且k r t <<，所以 2t k -，12t k -+为偶数，而12t k -+为奇数，所以（）式不可能成立，故不存在正整数,,k r t ，使得k S ，r S ，t S 成等差数列. 若选择（2）：由2121n n S a ++=可知1q ≠， 所以()2112111n n a q a q q+-=-，解得21n q = 因为1q ≠，所以1q =- 假设存在正整数,,k r t ，且k r t <<，使得k S ，r S ，t S 成等差数列，则2k t r S S S +=，即()()()()()()()()()1111111112111111ktra a a ------+=------，整理得()()()1121kt r-+-=-，易知任意3个不同的正奇数,,k r t 或任意3个不同的正偶数,,k r t 都满足， 例如1,3,5k r t ===或2,4,6k r t ===，所以存在正整数,,k r t 使得k S ，r S ，t S 成等差数列， 当n 为正奇数时1n S a =；当n 为正偶数时，0n S =.19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，且222,AD AB BC === 90,BAD PAD ∠=︒为等边三角形，平面ABCD ⊥平面PAD ；点E M 、分别为PD PC 、的中点．（1）证明：//CE 平面PAB ；（2）求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）427． 【分析】(1)求解线面平行，根据题意，连接相应的中位线，根据中位线的关系可得，四边形ENBC 是平行四边形.(2) 设AD 的中点为O ， 可证,,OA OC OP 两两垂直，以点O 为原点，OA 为x 轴，OP 为y 轴，OC 为z 轴建立坐标系，然后求出平面ABM 的法向量，最后利用向量的内积关系即可求解出直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值.【详解】（1）设PA 的中点为N ，连接,EN BN ，E 为PD 的中点，所以EN 为PAD △的中位线，则可得//EN AD ，且12EN AD =； 在梯形ABCD 中，//BC AD ，且12BC AD =， //,BC EN BC EN ∴=，所以四边形ENBC 是平行四边形，//CE BN ∴，又BN ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，//CE ∴平面PAB ．法二：设O 为AD 的中点，连接,CO OE ，E 为PD 的中点，所以OE 是ADP △的中位线，所以//OE AP ， 又OE ⊄平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，//OE ∴平面PAB ，又在梯形ABCD 中，//BC AD ，且12BC AD =， 所以四边形BAOC 是平行四边形，//BC BA ∴，又OC ⊄平面PAB ，AB平面PAB ，//OC ∴平面PAB ，又OE OC O ⋂=，所以平面//OEC 平面PAB ， 又CE ⊂平面PAB ，//CE ∴平面PAB ．（2）设AD 的中点为O ，又,PA PD PO AD =∴⊥． 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，又由//CO BA ，90BAD ∠=︒，CO AD ∴⊥．即有,,OA OC OP 两两垂直，如图，以点O 为原点，OA 为x 轴，OP 为y 轴，OC 为z 轴建立坐标系．已知点()()()()31311,0,0,1,0,1,,1,0,0,0,0,1,22A B M D AB AM ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设平面ABM 的法向量为：(),,m x y z =．则有03102m AB z m AM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，可得平面ABM 的一个法向量为()3,2,0m =，311,2DM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，可得：()2222223131204222cos ,31320122m DM m DM m DM+⨯⋅===⋅⎛⎫⎛⎫++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线DM 与平面ABM． 【点睛】本题的第一问是比较常规的证明线面平行的题目，难点在于根据中点连成相应的平行四边形，进而证明出线面平行；第二问是常规的求线面角的正弦值，难点在于建立坐标系，当建立了坐标系后，即可求出平面的法向量，进而求解所求角的正弦值.20．武汉出现的新型冠状病毒是一种可以通过飞沫传播的变异病毒，某药物研究所为筛查该新型冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有()*N n n ∈份血液样本，每份样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，则需要检验n 次；②混合检验，将其中()*N ,2k k k ∈≥份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k 份血液全为阴性，因此这k 份血液样本检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份血液再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阴性还是阳性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为(01)p p <<.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份为阳性，若采取逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中()*N ,2k k k ∈≥份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.（i ）试运用概率统计知识，若()()12E E ξξ=，试求P 关于k 的函数关系式()p f k =； （ii）若1p =k 份血液样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈【答案】(1) 110;(2) （i ）111k p k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()*N ,2k k k ∈≥;（ii ）4 【分析】(1)根据排列的方法列式求概率即可.(2) （i ）分别求解()()12,E E ξξ,再化简求()()12E E ξξ=时()p f k =的解析式即可.（ii ）由题()()12E E ξξ>,化简可得1ln 3k k >,再构造函数求导分析函数的单调性,再根据零点存在性定理求区间端点的正负判断即可.【详解】(1)设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来的事件为A ,则()232355110A A P A A ==,故恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来的概率为110(2) （i ）由已知可得()1E k ξ=,2ξ所有可能的取值为1,1k +. 所以()()211k P p ξ==-,()()2111kP k p ξ=+=--,所以()()()()()2111111k k kE p k p k k p ξ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦. 若()()12E E ξξ=,则()11kk k k p =+--,所以()11kk p -=.故()11111kk p p k k ⎛⎫-=⇒=- ⎪⎝⎭.所以P 关于k 的函数关系式111kp k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()*N ,2k k k ∈≥ （ii ）由题意可知()()12E E ξξ>,即()11kk k k p >+--,化简得()11k p k<-. 因为1p =-所以1kk <,即1ln 3k k >.设函数()()1ln ,03f x x x x =->.又()11'3f x x =-,故当3x >时, ()'0f x <,即()f x 在()3,+∞上单调递减. 又()44ln 403f =->,()55ln 503f =-<. 故k 的最大值为4.【点睛】本题主要考查了排列在概率中的运用,同时也考查了构造函数数学期望的求解以及构造函数分析不等式的方法.属于中档题..21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:11x y C a b a b +=>≥的离心率e =C 上一点N 到()0,3Q 距离的最大值为4，过点()3,0M 的直线交椭圆C 于点A 、B. （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当AB 时，求实数t 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）2t -<<2t <<.【分析】(1)由椭圆离心率结合222b c a +=化简方程，设()00,N x y ，由NQ 最大值为4即可作答； (2)设直线AB 斜率k ，写出直线AB 方程，联立直线AB 与椭圆C 的方程组，消去y 得关于x 的一元二次方程，用判别式0∆>和AB k 的范围，再借助OA OB tOP +=及点P 在椭圆上建立起t 与k 的关系而得解.【详解】（1）椭圆C 的半焦距c ，22222234c a b e a a -===，即224a b =， 则椭圆方程为222214x y b b+=，即22244x y b +=，设()00,N x y ，则NQ ==== 当01y =-时，NQ4=，解得21b =， 24a =， 故椭圆方程是2214x y +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，(,)P x y ，直线AB 的方程为()3y k x =-， 由()22314y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222214243640k x k x k +-+-=， 则()()()2222Δ241691140kk k =---+>，解得215k <，21222414k x x k +=+，212236414k x x k -⋅=+，因AB且12AB x -，则()()221212143k x x x x ⎡⎤++-<⎣⎦， 于是有()()()2242222436424131414k k k k k ⎡⎤-⎢⎥+-<⎢⎥++⎣⎦，化简，得()()228116130k k -+>，则2810k ->，即218k >，所以21185k <<，由OA OB tOP+=得()1212,(,)x x y y t x y ++=，则()()212212414k x x x t t k =+=+，()()()12122116614ky y y k x x k t t t k -=+=+-=⎡⎤⎣⎦+， 而点P 在椭圆上，即()()()2222222222414441414k k t k t k+=++，化简得()2223614k t k =+，从而有222236991414k t k k ==-++，而2239914562514k k <+<⇔<<+， 于是得234t <<，解得2t -<<2t <，故实数t 的取值范围为2t-<<2t <.22．已知函数()xf x e =，()sing x x =.（ 2.71828e =……为自然对数的底数）（1）设函数()()()()1h x f x x g x =--⋅，当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，求函数()h x 零点的个数；（2）求证：()()()1ln g x g x x f x x '⋅+<⋅-. 【答案】（1）零点个数是1；（2）证明见解析.【分析】（1）利用导数可判断出函数()h x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，再根据02h π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，()010h =>，以及零点存在性定理，可知函数()h x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的零点个数是1；（2）先将原不等式等价变形为sin cos 1ln 0x x x x e x ⋅+-⋅+<，再利用sin 22x x <在()0,∞+上恒成立，即只需证1ln 0x x x e x +-⋅+≤，构造函数()1ln xG x x x e x =+-⋅+，令()0x x e t t +=>，函数()()ln 1G x t t t ϕ==-+，然后利用导数判断函数()t ϕ的单调性求出最大值，即得证．【详解】（1）由题意得：()()1sin x h x e x x =--，∴()()sin 1cos xh x e x x x '=---，当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，0x e >，sin 0x ≤，()1cos 0x x -≤，故()0h x '>，∴()h x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；21022h e πππ-⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，()010h =>，且()h x 的图象在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内连续不断，∴存在唯一的0,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x =，∴函数()h x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的零点个数是1.（2）要证()()()1ln g x g x x f x x '⋅+<⋅-，即证()sin cos 1ln 0*xx x x e x ⋅+-⋅+<，设()sin 22F x x x =-，则()()2cos 222cos 210F x x x '=-=-≤， ∴()F x 在()0,∞+单调递减，∴()()00F x F <=，∴sin 22x x <， 故要证（）成立，只需证明1ln 0x x x e x +-⋅+≤，设()1ln xG x x x e x =+-⋅+，则()()ln ln 1ln 1x x x x G x e x x e x e x e =+-⋅+=⋅-⋅+令()0xx e t t +=>，即证明ln 10t t -+≤，令()ln 1t t φt =-+，()111t t t tϕ-=-='，所以()t ϕ在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，()()max 10x ϕϕ==， 所以()ln 10t t t ϕ=-+≤，故原命题成立.【点睛】本题第一问解题关键是函数()h x 单调性的判断以及零点存在性定理的结合使用，方可判断出函数零点的个数；第二问关键是函数不等式的放缩，通过sin 22x x <在()0,∞+上恒成立，将证gm高三试题 明的目标函数转化为()1ln x G x x x e x =+-⋅+，然后换元，进一步转化为()ln 1t t φt =-+，这样比较容易求出函数的最大值，从而使原不等式得证．。
山东省山东师范大学附属中学2021届高三数学上学期第三次月考试题
山东省山东师范大学附属中学2021届高三数学上学期第三次月考试题本试卷共4页，共 150分，考试时间120分钟.一、单项选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{230}A x x x =--<，{22}B x x =-<<，若A B = （ ）A ． (2,2)-B ．(2,1)-C ．(1,3)-D ． (1,2)- 2. 已知命题:R,10xp x e x ∃∈--≤，则命题p ⌝（ ）A ．R,10x x e x ∀∈-->B ．R,10xx e x ∀∉--> C ．R,10xx e x ∀∈--≥ D ．R,10xx e x ∃∈--> 3. 要得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需要把函数sin 2y x =的图象（ ）A. 向左平移3π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向右平移6π个单位4. 已知数列{}n a 满足12n n a a +=+且2469a a a ++=，则3579log ()a a a ++= ( ) A. 3- B. 3 C. 13- D.135. 函数()log (0,1)a f x x a a =>≠是增函数的一个充分不必要条件是（ ）A ．102a << B ．01a << C ．1a > D ． 24a << 6. 函数31()()2x f x x =-的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,2)7. 若()0,0,lg lg lg 2a b a b a b >>+=+，则2a b +的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 68. 已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上有极值点，实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,2 B. ()()2,00,2- C. ()0,4 D. ()()4,00,4-9. 泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征. 为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45，沿点A 向北偏东30前进100m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30，则“泉标”的高度为（ ） A. 50m B. 100m C. 120m D. 150m 10. 已知偶函数()f x 的定义域为(,)22ππ-，其导函数为'()f x ，当02x π<<时，有'()cos ()sin 0f x x f x x +<成立，则关于x 的不等式()()cos 4f x x π<⋅的解集为（ ）A. ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. ,00,44ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. ,0,442πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多项选择题:本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.11. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x = B. 2y x -= C. xy e = D. 2lg y x =12.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1,)(0)P m m <，则下列各式一定为正的是（ ）A. sin cos αα+B. cos sin αα-C. sin cos ααD.sin tan αα13. 已知函数2()ln f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，以下几个结论中正确的是（ ）A. 010x e <<B. 01x e> C. 00()20f x x +< D. 00()20f x x +>三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在对应题号的横线上.14. 已知1tan 3α=，则2sin 2sin 1cos 2ααα-+的值为 .15. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是 .16. 设等差数列{}n a 前n 项和为n S .若210a =，540S =，则5a = ，n S 的最大值为 .17.已知函数(01)()2(1)x f x x x⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x x a =-+有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是 .四、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. （本小题满分10分） 设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，满足424S S =，917a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足1212112n n n b b b a a a +++=-…，求数列{}n b 的通项公式 .19. （本小题满分14分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos cos 2c A a C a +=.（1）求ab的值； （2）若1a =，c =ABC ∆的面积．20. （本小题满分14分）设函数5()2cos()cos 2sin()cos 122f x x x x x ππ=++++. （1）设方程01)(=-x f 在),0(π内有两个零点21x x ，，求21x x +的值； （2）若把函数)(x f y =的图象向左平移6π个单位，再向下平移2个单位，得函数)(x g 图象，求函数)(x g 在[,]33ππ-上的最值. 21. （本小题满分14分）设函数()sin xf x e a x b =++.（1）当1a =，[0,)x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求实数b 的取值范围； （2）若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，且方程2()m xf x x-=恰有两解，求实数m 的取值范围.22. （本小题满分15分） 已知某工厂每天的固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入为21()5004R x x x =-+（元），()P x 为每天生产x 件产品的平均利润（平均利润=总利润/总产量）. 销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售，()b a c a λ=+-，其中c 为最高限价（a b c <<），λ为该产品畅销系数.据市场调查， λ由当b a -是,c b c a --的比例中项时来确定. （1）每天生产量x 为多少时，平均利润()P x 取得最大值？并求出()P x 的最大值； （2）求畅销系数λ的值；（3）若600c =，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值.23. （本小题满分15分）已知函数()ln f x x ax =-. （1）当1a =时，判断函数()f x 的单调性； （2）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围； （3）已知0a b e <<<，证明b a a b <.参考答案（2021.11）一. 单项选择题二. 多项选择题11. CD 12. BD 13. AD 三. 填空题 14.51815. (,1)-∞- 16. 4；42 17. 四. 解答题18. 解：（1）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ．由已知得11914684817a d a d a a d +=+⎧⎨=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩．于是12(1)21n a n n =+-=-．（2）当1n =时，1111122b a =-=． 当2n ≥时，1111(1)(1)222n n n n n b a -=---=， 当1n =时上式也成立．于是12n nn b a =． 故12122n n n n n b a -==． 19. 解：（1）由正弦定理， cos cos 2c A a C a +=可化为sin cos cos sin 2sin C A C A A +=，也就是sin()2sin A C A +=．由ABC ∆中A B C π++=可得 sin()sin()sin A C B B π+=-=．即sin 2sin B A =. 由正弦定理可得2b a =，故12a b =．（2）由1a =可知2b =．而c =2221cos 22a b c C ab +-==-．又0C π<<于是23C π=．112sin 12sin 223ABC S ab C π∆==⨯⨯⨯=20. 解：（1）由题设知2)42cos(212cos 12sin )(++=+++-=πx x x x f ，12)42cos(2,01)(=++∴=-πx x f ，22)42cos(-=+∴πx ， 或43242πππ+=+∴k x Z k k x ∈+=+,45242πππ 得4ππ+=k x 或2ππ+=k x ，43,2,4),,0(2121ππππ=+∴==∴∈x x x x x ． （2）)(x f y =图像向左平移6π个单位，得)]2)2)2643412y x x x πππππ=+++=+++=++ 再向下平移2个单位得)122sin(2)(π+-=x x g当[,]33x ππ∈-时，73(2)[,]12124x πππ+∈-，sin(2)[1,1]12x π+∈-∴)(x f 在[,]33ππ-，最小值为．21. 解：（1）函数()sin xf x e a x b =++求导可得'()cos xf x e a x =+．当1a =时'()cos xf x e x =+. 当[0,)x ∈+∞时，1,cos [1,1]xe x ≥∈-且当cos 1x =-时，2()x k k Z ππ=+∈，此时1x e >成立，故'()cos 0x f x e x =+>在[0,)x ∈+∞恒成立．于是()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)1f x f b ≥=+. 若()0f x ≥恒成立，只需要10b +≥，解得1b ≥-． （2）由题意得'(0)11f a =+=可知0a =．由点(0,1)b +在直线10x y --=上可知0(1)10b -+-=，解得2b =-． 于是()2xf x e =-． 若方程2()m x f x x-=恰有两解，则方程(2)2xe x m x -=-有两解，也就是x xe m =有两解．令()xg x xe =，求导得'()(1)xg x e x =+.当(,1)x ∈-∞-时，'()0g x <，()g x 在(,1)-∞-上单调递减； 当(1,)x ∈-+∞时，'()0g x >，()g x 在(1,)-+∞上单调递增； 所以1()(1)g x g e≥-=-. 当0x <时，()0g x <，且当x →-∞时，()0g x →，而(1)0g e =>，故实数m 的取值范围是10m e-<<． 22. 解：（1）由题意得，总利润为2211500100400004004000044x x x x x -+--=-+-.于是21400400001400004()4004x x P x x x x-+-==--+400200400200≤-=-+=当且仅当1400004x x=即400x =时等号成立． 故每天生产量为400件时平均利润最大，最大值为200元． （2）由()b a c a λ=+-可得b ac aλ-=-， 由b a -是,c b c a --的比例中项可知2()()()b a c b c a -=--， 即2()()1(1)()c b c a c a a b c a c a c ab a b a b a b a b a---+----==⋅=-⋅-----化简得111(1)λλ=-⋅，解得λ=． （3）厂家平均利润最大，生产量为400x =件．()1150040050040044R x a x x ==-+=-⨯+=． （或者4000040000100()100200400400a P x x =++=++=）代入()b a c a λ=+-可得3)b =．于是400a =，3)b =．23. 由题意可知，函数()ln f x x ax =-的定义域为： ()0+∞，且1()f x a x'=- （1）当=1a 时，11()1=x f x x x-'=-， 若()0f x '>，则 01x <<； 若()0f x '<，则 1x >所以函数()f x 在区间()01，单调递增，()1+∞，单调递减． （2）若()0f x ≤恒成立，则ln 0x ax -≤恒成立．又因为()0+x ∈∞，所以分离变量得ln xa x≥恒成立． 设ln ()xg x x=，则max ()a g x ≥，所以21ln ()x g x x -'=．当()0g x '≤时，()+x e ∈∞，；当()0g x '≥时，(0,)x e ∈，即函数ln ()xg x x=在(0,)e 上单调递增，在()+e ∞，上单调递减． 当=x e 时，函数ln ()xg x x=取最大值，max 1()=()g x g e e =，所以1a e ≥（3）欲证b a a b <，两边取对数，可得ln ln ln ln ln ln baa ba b b a a b a b<⇔<⇔<，由（2）可知ln ()xg x x=在(0,)e 上单调递增，且0a b e <<<所以()()g a g b <，命题得证．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）若把函数 的图象向左平移 个单位，再向下平移2个单位，得函数 图象，求函数 在 上的最值.
21.设函数 .
（Ⅰ）当 ， 时， 恒成立，求 的范围；
（Ⅱ）若 在 处的切线为 ，且方程 恰有两解，求实数 的取值范围.
22.已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为 元时，生产 件产品的销售收入是 （元）， 为每天生产 件产品的平均利润（平均利润＝总利润/总产量）.销售商从工厂每件 元进货后又以每件 元销售， ，其中 为最高限价 ， 为销售乐观系数，据市场调查， 是由当 是 ， 的比例中项时来确定.
A.向左平移 个单位B.向左平移 单位
C.向右平移 个单位D.向右平移 个单位
4.已知数列 满足 且 ，则 （）
A.-3B.3CB. C. D.
6.函数 的零点所在区间为（）
A. B. C. D.
7.若 ， ， ，则 最小值为（）
A.9B.8C.7D.6
山东师大附中2017级第3次月考考试
数学试题
本试卷共4页，共150分，考试时间120分钟．
一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ， ，若 （）
A. B. C. D.
2.已知命题 “ ”，则命题 （）
A.
B.
C.
D.
3.为了得函数 的图象，只需把函数 的图象（ ）
14.已知 ，则 的值为________．
15.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，有 恒成立，若 ，则x的取值范围是________．
16.设等差数列 前n项和为 ．若 ， ，则 ________， 的最大值为________．
17.已知函数 ，若方程 有三个不同的实根，则实数a的取值范围是________．
8.已知 在区间 上有极值点，实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
9.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为 ，沿点A向北偏东 前进100m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为 ，则“泉标”的高度为（）
A.50mB.100mC.120mD.150m
10.已知偶函数 的定义域为 ，其导函数为 ，当 时，有 成立，则关于x的不等式 的解集为（）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（1）每天生产量 为多少时，平均利润 取得最大值？并求 的最大值；
（2）求乐观系数 的值；
（3）若 ，当厂家平均利润最大时，求 与 值.
23.已知函数 ．
（1）当 时，判断函数 单调性；
（2）若 恒成立，求a的取值范围；
（3）已知 ，证明 ．
11.下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的是（）
A. B. C. D.
12.在平面直角坐标系 中，角 顶点在原点 ，以 正半轴为始边，终边经过点 ，则下列各式 值恒大于0的是（）
A. B. C. D.
13.已知函数 ， 是函数 的极值点，以下几个结论中正确的是（）
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在对应题号的横线上．
四、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18.设等差数列 前 项和为 ，满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，求数列 的通项公式
19. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的面积．
20.设函数 .