2009年福建省(文科)数学高考样卷2008.12

2009年福建省高考数学文科样卷
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的. 1. 复数i(i 1)-等于
A ．1i +
B ．1i -
C ．1i -+
D ．1i --
2. 已知全集U={-1,0,1,2}，集合A={-1，2}，B={0，2}，则()
U A B ð等于
A. {0}
B.{2}
C. {0，1，2}
D.∅
3. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()23f x x x =-+，则(2)f -等于
A.3
B.-3
C.6
D.-6
4. 命题“对任意的3
2
10∈-+R ，≤x x x ”的否定是
A.不存在3
2
10∈-+R ，≤x x x B.存在32
10∈-+R ，≤x x x C.存在3
210∈-+>R ，x x x
D.对任意的3
2
10∈-+>R ，x x x
5. 曲线324y x x =-+在点(1
3)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°
6. 已知直线l 和两个不同的平面α、β，则下列命题正确的是
A. 若l ⊥α，l ⊥β，则α//β
B. 若l //α，l //β，则α//β
C. 若l ⊥
α，α⊥β，则l //β
D. 若l //α，α⊥β，则l ⊥β
7. 对于右边的程序框图，当输入x 的值是5，则输出y 的值是
A. 0.2
B. 0.3
C. 0.5
D. 1
8. △ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin A =
3
1
，b =3sin B ，则a 等于
A.33
B.3
C.
2
3 D.
33 9. 已知向量a =（2，1），b =（3，2），若a ⊥（a +λb ），则实数λ等于
A.
3
4
B.47
-
C.85
-
D.58
-
10. 在某五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如右.
下列说法正确的是
A ．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，且甲比乙稳定
B ．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，但乙比甲稳定
C ．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，且乙比甲稳定
D ．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，但甲比乙稳定 11. 已知圆的方程为08622=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的
最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 A.106 B.206 C.306 D.406
12. 已知函数x x f x
2log )3
1
()(-=，正实数a 、b 、c 满足()0()()f c f a f b <<<，若实数d 是
函数()f x 的一个零点，那么下列四个判断： ①a d <；②b d >；③c d <；④c d >． 其中可能成立的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第II 卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13. 双曲线
22
1102
x y -=的焦距为 ． 14. 由x ，y 满足的约束条件，作出可行域如图中阴影部分（含边界）所示，则目标函数z=3x+y
的最大值是________.
x
15. 若函数2()m f x x x
=+，x ∈（0，+∞）的值恒大于4，则实数m 的取值范围是_______.
16. 为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案．据预测，这五种
方案均能在规定时间T 完成预期的运输任务0Q ，各种方案的运煤总量Q 与时间t 的函数关系如下图所示．在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量．．．．．．．．）逐步提高的是＿＿＿．（填写所有正确的图象的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）
已知函数f (x )=cos 2
x +sin x cos x (x ∈R ).
（I ）求f (
8
π
3)的值； （Ⅱ）求f (x )的单调递增区间．
18. （本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，且251,15a S ==. （Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足111223310(25)2n n n a b a b a b a b n +++++=+-，求n b .
如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）.
（Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（Ⅲ）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG.
正视图 侧视图
20. （本小题满分12分）
某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表.
已知在全校学生中随机抽取
1名,抽到初二年级女生的概率是0.19. （Ⅰ）求x 的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生, 问应在初三年级抽取多少名？
（Ⅲ）已知245,245
≥≥z y ，求初三年级中女生比男生多的概率.
如图，椭圆22
22:1x y C a b
+=（a ＞b ＞0）的一个焦点为F (2,0)，且过点（0，2）.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存在过点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，使得∠AOB 为锐角？若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由.
22. （本小题满分14分）
已知a 为实数，x =4是函数f (x )=a ln x +x 2
-12x 的一个极值点. （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．D ． 2．A. 3．B. 4．C ． 5．B. 6．A.
7．C. 8．D. 9．D. 10．C. 11．B. 12．B.
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分． 13
．． 14．5. 15．2m <-或2m >. 16．②.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 17．本题主要考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，三角函数的图象与性质等基础知识；
考查运算求解能力．满分12分.
1cos 21
()sin 222
x f x x +=
+
122)21).242
x x x π=
+
=++
311(I)(
)822
f ππ=+=. (II)222242
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
令，
322244k x k ππ
ππ∴-≤≤+，
即3()88
k x k k Z ππ
ππ-≤≤+∈时，f (x )单调递增. ∴f (x )的单调递增区间为[38k ππ-，8
k π
π+]()k Z ∈.
18．本题主要考查等差数列、数列求和等基础知识；考查推理论证与运算求解能力；考查化归与
转化思想．满分12分．
（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，则
21511,1
55415.2
a a d S a d =+=⎧⎪
⎨=+⨯⨯=⎪⎩ 解得11,2a d =-=. 因此，a n =-1+2（n-1）=2n-3. （Ⅱ）由已知111223310(25)2n n n a b a b a b a b n ++++
+=+- （1）得，
当n ≥2时，1122331110(27)2n n n a b a b a b a b n --+++
+=+- （2）.
由（1）-（2）得[]2410(27)n n n a b n n =---， 所以2(23)n n n a b n =-，又23n a n =-， 故2(2)n n b n =≥.
在式（1）中，令n=1得，112a b =-， 又11a =-，故12b =. 所以2n n b =.
19.本题主要考查空间几何体的直观图、三视图，空间线面的位置关系等基础知识；考查空间想像能力及推理论证能力.满分12分. （Ⅰ）如图
俯视图
（Ⅱ）所求多面体的体积
()311284446222323V V V cm ⎛⎫
=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
正长方体三棱锥. （Ⅲ）证明：如图，在长方体''
'
'
ABCD A B C D -中，连接'
AD ，则'
AD ∥'
BC .
因为Ｅ，Ｇ分别为'''
,AA A D 的中点， 所以'
AD ∥EG ，从而EG ∥'
BC .
又'
BC EFG ⊄平面，所以'
BC ∥平面ＥＦＧ.
20.本题主要考查概率与统计的基础知识，考查运算求解能力及应用意识.满分12分. (Ⅰ)由
19.02000
=x
,解得380=x . (Ⅱ)初三年级人数为500)370380377373(2000=+++-=+z y , 设应在初三年级抽取m 人，则
2000
48500=m ，解得m=12. 所以应在初三年级抽取12名.
（Ⅲ）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生和男生数记为数对(,)y z ， 由（Ⅱ）知500,(,,245,245)y z y z N y z +=∈≥≥，则基本事件总数有：
(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251),(250,250), (251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245)共11个，
而事件A 包含的基本事件有：
(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245)共5个，
所以5()11
P A =
.
21.本题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力及化归与转化思想.满分12分.
（Ⅰ）由题设b =2，c =2，从而a 2
=b 2
+c 2
=6，
所以椭圆C 的方程为12
62
2=+y x . （Ⅱ）假设斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，使得∠AOB 为锐角，
设直线l 的方程为y =k (x - 2).
所以满足题意的的直线l 存在，斜率k 的取值范围为k k <>
方法二： 同方法一得到2
122213k y y k
-=+.
所以满足题意的的直线l 存在，斜率k 的取值范围为k k <>
22.本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力及数形结合思想.满分14分.
（Ⅰ）()'
212a
f x x x
=
+-,由'(4)0f =得，
81204
a
+-=，解得16a =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，
()()216ln 12,0,f x x x x x =+-∈+∞,
()2'
2(68)2(2)(4)
x x x x f x x x
-+--==.
当()0,2x ∈时，()'
0f x >； 当()2,4x ∈时，()'
0f
x <；
()4,x ∈+∞时，()'0f x >.
所以()f x 的单调增区间是()()0,2,4,+∞；()f x 的单调减区间是()2,4.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()0,2内单调递增，在()2,4内单调递减，在()4,+∞上单调递增，
且当2x =或4x =时，()'
0f x =.
所以()f x 的极大值为()216ln220f =-，极小值为()432ln232f =-. 又因为()()1664ln26416ln2202f f =+>-=,
()()23232ln 2324f e f -<-<-=.
当且仅当()()42f b f <<，直线y b =与()y f x =的图象有三个交点. 所以，b 的取值范围为()32ln232,16ln220--.。