形心重心计算公式
材料力学形心计算公式
材料力学形心计算公式材料力学是研究物质的内部结构和性质以及物质受力和变形规律的一门学科。
在材料力学中，形心是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解物体的受力和变形情况。
在本文中，我们将介绍材料力学中形心的概念以及形心计算公式。
首先，让我们来了解一下形心的概念。
形心是一个物体几何形状的特征点，它可以用来描述物体的质量分布情况。
对于一个平面图形而言，形心通常是指该图形在均匀质量分布下的质心位置。
而对于一个立体物体而言，形心则是指该物体在均匀质量分布下的重心位置。
形心的计算可以帮助我们分析物体受力和变形的情况，对于工程设计和科学研究具有重要意义。
接下来，让我们来介绍一些常见图形的形心计算公式。
对于一个平面图形而言，常见的形心计算公式包括矩形、三角形、梯形和圆形等。
以矩形为例，其形心的计算公式为：\[ X = \frac{b}{2} \]\[ Y = \frac{h}{2} \]其中，\( X \) 和 \( Y \) 分别表示矩形的形心坐标，\( b \) 和 \( h \) 分别表示矩形的宽度和高度。
对于三角形而言，其形心的计算公式为：\[ X = \frac{a}{3} \]\[ Y = \frac{h}{3} \]其中，\( X \) 和 \( Y \) 分别表示三角形的形心坐标，\( a \) 和 \( h \) 分别表示三角形的底边长和高度。
对于梯形和圆形，其形心的计算公式也可以通过数学推导得出。
这些形心计算公式可以帮助我们在工程设计和科学研究中更好地分析和应用形心的概念。
除了平面图形外，对于立体物体而言，形心的计算也具有重要意义。
常见的立体物体包括长方体、圆柱体和球体等。
这些立体物体的形心计算公式可以通过积分或几何推导得出，它们可以帮助我们更好地理解立体物体的质量分布情况。
在工程设计中，形心的计算可以帮助我们确定物体的受力和变形情况，从而指导工程设计和结构分析。
在科学研究中，形心的计算也可以帮助我们深入理解物体的内部结构和性质，为科学研究提供重要参考。
对称图形对称位置的形心推导
对称图形对称位置的形心推导
当截面具有两个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心。
据此，可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形。
形心是一个对称轴的截面，一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。
把均匀平面薄片的重心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心。
形心计算公式是∫∫Dxdxdy=重心横坐标×D的面积，∫∫Dydxdy=重心纵坐标×D的面积。
形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。
z轴上的形心=对y轴的静距/图形面积。
面的形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。
n维空间中一个对象X的几何中心或形心是将X分成矩相等的两部分的所有超平面的交点。
如果一个物件质量分布平均，形心便是重心。
T字型截面形心计算公式
T字型截面形心计算公式
T字型截面的形心是指截面所有形状的重心，它是计算截面抵抗弯曲力和剪切力的重要参数。
计算T字型截面形心的公式如下：χ = [(b1*d1^2/2) + (b2*d2^2/2)] / [(b1*d1) + (b2*d2)]
其中，χ为形心距底板距离的比例系数，b1和b2分别为T字型截面上下底板的宽度，d1和d2分别为T字型截面上下底板到形心的距离。
解释：公式的分子部分故名思义是对应矩的计算，即以底板作为基准面，分别计算上下板的对应矩（moment），然后加起来。
而分母部分是对应力的计算，即底面积乘以距离，也就是总的力矩。
这个公式的计算方法是先通过横截面图形上套用静力学平衡原理求得图形的惯性矩，然后再通过求和、平均，求得形心的位置。
这个公式常用于建筑物结构、机械设计以及船舶工程等领域。
参数方程的形心坐标公式
参数方程的形心坐标公式形心，也称作质心或重心，是指一个平面图形或三维空间图形的重心位置，即该图形的所有质点的平均位置。
在几何学中，求解形心坐标是一个重要的问题，可以通过参数方程来计算。
参数方程是一种表示曲线或曲面的方程，其中自变量通常表示为参数。
在二维平面上，一个曲线的参数方程可以表示为x = f(t), y = g(t)，其中t是参数，f(t)和g(t)是关于t的函数。
同样，在三维空间中，一个曲面的参数方程可以表示为x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v)，其中u和v是参数，f(u, v), g(u, v)和h(u, v)是关于u和v 的函数。
对于一个平面图形的形心，可以使用参数方程的形心坐标公式来计算。
对于一个曲线，形心坐标公式可以表示为：x̄= (1/L) ∫[a,b] x(t)ρ(t)dtȳ= (1/L) ∫[a,b] y(t)ρ(t)dt其中L是曲线的弧长，[a,b]是参数t的取值范围，x(t)和y(t)分别是曲线上点的x坐标和y坐标的函数，ρ(t)是曲线上点的单位质量。
同样地，对于一个曲面，形心坐标公式可以表示为：x̄ = (1/S) ∬[D] x(u, v)ρ(u, v)dAȳ = (1/S) ∬[D] y(u, v)ρ(u, v)dAz̄ = (1/S) ∬[D] z(u, v)ρ(u, v)dA其中S是曲面的面积，[D]是参数u和v所确定的曲面上的区域，x(u, v)，y(u, v)和z(u, v)分别是曲面上点的x坐标、y坐标和z坐标的函数，ρ(u, v)是曲面上点的单位质量，dA是曲面上的面积元素。
形心坐标公式的推导可以通过对参数t、u和v进行积分来得到。
在计算形心时，需要确定曲线或曲面上每个点的密度分布，即单位质量。
通常情况下，可以假设质量均匀分布在曲线或曲面上，即单位质量在整个曲线或曲面上是恒定的。
形心坐标公式的应用非常广泛。
在工程学中，形心坐标公式可以用于计算物体的质心位置，从而确定物体的平衡状态。
工程力学形心计算公式
工程力学形心计算公式工程力学形心计算公式是工程力学中的一个重要概念，用来描述物体的形状和质量分布对于力的作用点的影响。
在工程中，形心计算公式被广泛应用于各种结构物和力学系统的分析与设计中。
形心，也被称为重心或质心，是一个物体所有质点所在位置的平均值，可以看作是物体的几何中心。
形心计算公式通过将物体划分为无限小的质点，然后计算这些质点的位置和质量对形心的贡献，从而得到整个物体的形心位置。
对于一个均匀物体，其形心可以通过几何的方法求解。
比如，对于一个均匀的平面图形，其形心可以通过对图形进行分割，然后计算每个小区域的形心位置，并根据每个小区域的面积加权平均得到。
同样地，对于一个均匀的立体物体，可以将其分割为无数个小体积，并根据每个小体积的位置和体积加权平均求得形心位置。
然而，在大多数实际工程问题中，物体的形状和质量分布往往并不均匀，因此需要使用形心计算公式来求解。
形心计算公式根据物体的几何形状和质量分布提供了计算形心位置的方法。
常见的形心计算公式包括：1. 平面图形的形心计算：对于一个平面图形，可以使用一些特定的公式来计算其形心位置。
比如，对于一个矩形，其形心位于中心点；对于一个三角形，其形心位于三条边的交点的重心位置。
2. 立体物体的形心计算：对于一个立体物体，可以将其分割为无数个小体积，并根据每个小体积的位置和体积加权平均求得形心位置。
具体的计算方法可以根据物体的几何形状和质量分布的特点来确定。
形心计算公式的应用非常广泛。
在建筑工程中，形心计算公式可以用来确定建筑结构的荷载传递和受力分析。
在机械工程中，形心计算公式可以用来确定机械零件的平衡位置和稳定性。
在航空航天工程中，形心计算公式可以用来确定飞行器的姿态控制和稳定性。
形心计算公式是工程力学中一个重要的概念，可以用来描述物体的形状和质量分布对于力的作用点的影响。
通过使用形心计算公式，工程师可以准确地计算物体的形心位置，为工程设计和分析提供有效的方法和工具。
梯形的形心计算公式
梯形的形心计算公式在数学的奇妙世界里，梯形可是个有趣的家伙。
今天咱们就来聊聊梯形的形心计算公式，这可是个相当重要的知识点哟！先来说说啥是梯形。
梯形啊，就是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。
比如说，咱走在路上看到的一些台阶，有的形状就接近梯形。
那梯形的形心到底是啥呢？简单来说，形心就是图形的重心。
对于梯形而言，它的形心位置是有特定计算公式的。
梯形形心的计算公式是：形心纵坐标 = （上底加下底）乘以高除以2 再除以（上底加下底）。
这公式看起来有点复杂，对吧？但咱们来举个例子就好理解多啦。
有一次我在给学生们讲这个知识点的时候，有个学生就一脸迷茫地问我：“老师，这公式到底咋用啊？”我就随手在黑板上画了一个梯形，标上了上底、下底和高的长度。
然后一步一步地带着他们代入公式计算。
这个梯形的上底是 4 厘米，下底是 8 厘米，高是 6 厘米。
那按照公式，先算出（4 + 8）× 6 ÷ 2 = 36 平方厘米，这是梯形的面积。
然后再算形心的纵坐标，就是 36 ÷（4 + 8）= 3 厘米。
通过这个例子，是不是一下子就明白多啦？在实际应用中，梯形的形心计算可是很有用的呢。
比如说在建筑设计里，要计算梯形结构的重心位置，保证建筑物的稳定；在机械制造中，知道梯形零件的形心，能更好地安排加工和装配。
所以啊，可别小看这个梯形的形心计算公式，它能帮我们解决好多实际问题呢！再回过头来看看这个公式，虽然一开始可能觉得有点头疼，但只要多做几道题，多联系实际生活中的例子，就会发现其实也没那么难。
总之，掌握了梯形的形心计算公式，就像是在数学的海洋里又多了一把神奇的钥匙，可以打开更多知识的大门，探索更多有趣的数学奥秘！。
形心重心计算公式
形心重心计算公式形心和重心是两个不同的概念，在几何中具有不同的定义和计算方法。
形心（Centroid）形心是指一个物体或一个几何图形的几何中心，也被称为几何中心或质心。
它是物体或图形对称性的中心点，可以通过将图形切分成小的区域然后计算每个小区域的中心来确定。
对于一个平面图形而言，形心是该图形内部所有点的平均值。
形心可以用于许多计算，例如计算物体的平衡点、计算物体的质量分布等。
重心（Center of Mass）重心是指物体的质量中心。
物体的重心是物体质量分布的平均位置，也可以理解为物体质量对于各个部分质量的加权平均。
通过计算物体各个部分的质量与位置的乘积之和，再除以总质量，可以得到物体的重心位置。
对于一个平面图形或平面物体而言，重心可以通过将图形或物体拆分成小的区域，并计算每个小区域的质量与位置的乘积之和，再除以总质量来确定。
下面以常见的二维几何图形为例，介绍如何计算形心和重心。
1.三角形对于一个三角形而言，可以将其分为三个小三角形。
假设三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
形心的计算公式为：形心的x坐标=(x1+x2+x3)/3形心的y坐标=(y1+y2+y3)/3重心的计算公式为：重心的x坐标=(m1*x1+m2*x2+m3*x3)/(m1+m2+m3)重心的y坐标=(m1*y1+m2*y2+m3*y3)/(m1+m2+m3)其中，m1，m2，m3为各个小三角形的质量，也可以看作是各个小三角形的面积。
一般来说，可以假设各个小三角形的质量相同。
2.矩形对于一个矩形而言，可以将其视为四个小三角形。
假设矩形的左下角顶点坐标为A(x1,y1)，右下角顶点坐标为B(x2,y2)，右上角顶点坐标为C(x3,y3)，左上角顶点坐标为D(x4,y4)。
形心的计算公式为：形心的x坐标=(x1+x2+x3+x4)/4形心的y坐标=(y1+y2+y3+y4)/4重心的计算公式为：重心的x坐标=(m1*x1+m2*x2+m3*x3+m4*x4)/(m1+m2+m3+m4)重心的y坐标=(m1*y1+m2*y2+m3*y3+m4*y4)/(m1+m2+m3+m4)其中，m1，m2，m3，m4为各个小三角形的质量，也可以看作是各个小三角形的面积。
工字钢形心位置计算公式
工字钢形心位置计算公式
形心坐标计算公式：Dxdxdy=重心横坐标×D的面积，Dydxdy=重心纵坐标×D的面积。
形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。
n维空间中一个对象X的几何中心或形心是将X分成矩相等的两部分的所有超平面的交点。
非正式地说，它是X中所有点的平均。
如果一个对象具有一致的密度，或者其形状和密度具有某种对称性足以确定几何中心，那么它的几何中心和质量中心重合，该条件是充分但不是必要的。
高等数学形心与质心计算公式
高等数学形心与质心计算公式形心的公式:Xc=[Ja(pxdA)]/ρA=[J a(xdA)]/A=Sy/AYc=[Ja(pydA)]/pA=[J a(ydA)]/A=Sx/A质心的公式:Rc=m1r1+m2r2+m3r3+./2m形心:面的形心就是截面图形的几何中心，质心是针对实物体而言的,而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。
质心:质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。
质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。
只有一个对称轴的截面，其形心一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。
建坐标:形心位置:(Xc,Yc)；Xc=[∫a(ρxdA)]/ρA=[∫a(xdA)]/A=Sy/A；Yc=[∫a(ρydA)]/ρA=[∫a(ydA)]/A=Sx/A；我们把均匀平面薄片的重心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心。
质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
质量中心的简称，它同作用于质点系上的力系无关。
设n个质点组成的质点系，其各质点的质量分别为m1，m2，…，mn。
若用r1，r2，……，rn分别表示质点系中各质点相对某固定点的矢径，rc表示质心的矢径，则有rc=（m1r1+m2r2+……+mnrn)/(m1+m2+……+mn)。
当物体具有连续分布的质量时，质心C的矢径rc=∫ρrdτ/∫ρdτ，式中ρ为体（或面、线）密度；dτ为相当于ρ的体（或面、线）元；积分在具有分布密度ρ的整个物质体（或面、线）上进行。
由牛顿运动定律或质点系的动量定理，可推导出质心运动定理：质心的运动和一个位于质心的质点的运动相同，该质点的质量等于质点系的总质量，而该质点上的作用力则等于作用于质点系上的所有外力平移到这一点后的矢量和。
理论力学 第2版 06静力学专题_3重心
的重心位置。设三角板底边 ABD
长
BD
b
h
解: 如图，将三角板分割成一系列平行于底边
的细长条，由于每一细长条的重心均在其 中点，因此整个三角板的重心 C 必位于中
线 AE 上。 显然，只要再求出
yC ，则三角板
ABD 的重心位置即定。
建立坐标系，取任一平行于底边 BD的细长条为微元，其面积
dA b dy
[例5] 试求图示图形的形心，已知大圆的半径为 R ，小圆的半径 为 r ，两圆的中心距为 a 。
解： 取图示坐标轴， 因图形对称于 x 轴，故有
yC 0
图形可视为从大圆中切去了一个小圆 其面积和形心坐标分别为
A1 πR2
A2 πr 2
x1 0
x2 a
R
y
I
O
a
r
II
x
根据平面图形形心坐标计算公式，得 该图形的形心坐标为
式中，( xi , yi , zi ) 为第 i 小 段曲线的形心坐标；li 为
式中，( x , y , z ) 为曲线 微元 dl 的形心坐标
第 i 小段曲线的长度
[例1] 确定由图示二次抛物线构成的曲边三角形的形心。
y
xC yC
3 a 4 3 b 10
a
b
O
x
[例2] 试求图示一段匀质圆弧细杆的重心。设圆弧的半径为r ，圆弧 所对的圆心角为 2 。 解： 选取圆弧的对称轴为 x 轴并以圆心为坐标原点， 由对称性得
无限分割形式：
xC xdm
xC
m yi mi yC m zi mi zC m
x m
形心计算公式网络教程
形心计算公式网络教程在数学中，形心是一个几何学概念，它代表了一个形状的重心或质心。
形心通常被用来计算一个形状的重心位置，这对于工程、物理学和其他领域的计算非常重要。
在本教程中，我们将介绍如何使用形心计算公式来计算不同形状的质心位置。
1. 点的形心计算公式。
首先，让我们从最简单的形状开始，即点。
一个点的形心就是它本身，因为一个点的质心就是它的位置。
因此，点的形心计算公式可以表示为：形心 = 点的位置。
这是一个非常简单的计算公式，因为一个点的形心就是它自己的位置。
2. 直线的形心计算公式。
接下来，让我们来看一下直线的形心计算公式。
一个直线通常由两个端点组成，我们可以使用这两个端点的位置来计算直线的形心。
直线的形心计算公式可以表示为：形心 = (端点1的位置 + 端点2的位置) / 2。
这个公式的含义是，直线的形心就是两个端点位置的平均值。
这是因为直线可以看作是两个端点之间所有点的平均位置。
3. 三角形的形心计算公式。
现在让我们来看一下三角形的形心计算公式。
三角形是一个常见的几何形状，它的形心位置可以通过三个顶点的位置来计算。
三角形的形心计算公式可以表示为：形心 = (顶点1的位置 + 顶点2的位置 + 顶点3的位置) / 3。
这个公式的含义是，三角形的形心就是三个顶点位置的平均值。
这与直线的形心计算公式类似，只是这里有三个顶点而不是两个。
4. 多边形的形心计算公式。
对于更复杂的形状，比如多边形，我们可以使用类似的方法来计算它的形心。
多边形的形心计算公式可以表示为：形心 = (各顶点的位置之和) / 顶点数。
这个公式的含义是，多边形的形心就是所有顶点位置的平均值。
这与三角形的形心计算公式类似，只是这里有更多的顶点。
5. 圆的形心计算公式。
最后，让我们来看一下圆的形心计算公式。
圆是一个特殊的形状，它的形心位置可以通过圆心的位置来计算。
圆的形心计算公式可以表示为：形心 = 圆心的位置。
这个公式的含义是，圆的形心就是它的圆心位置。
工程力学第5章重心和形心
y
D
a
C
a
E A
ymax
B
x
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重心和形心
21
例题 5-3
解：分两部分考虑
xC =
a 2
极限位置 yC= ymax
Ⅰ： A1 a ymax / 2
则
Sx
y
A
dA
R
2y 0
R2
y2
d
y
2 (R2 3
3
y2)2
|
R 0
2 3
R3
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重心和形心
13
例题 5-1
代入公式有
yC
y
A
d A Sx
4
R
A
A 3π
y
C
.O
x
2R
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重心和形心
14
2. 组合法
当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每
线上将有一确定的点C,当原力系各力的大小和作用点
保持不变，而将各力绕各自作用点转过同一角度，则
合力也绕C点转过同一角度。 C点称为平行力系的中
心。对重力来说，则为重心。 z
重心的位置对于物体的
相对位置是确定的,与物体在 空间的位置无关。
x
C1
C Ci
P
o
Δz1P1
zC
ΔPi zi
y1 yyiC x1 xC
11
若为平面图形，则
x dA
抛物叶形线的形心公式
抛物叶形线的形心公式
形心计算公式：∫∫Dxdxdy=重心横坐标×D的面积，∫∫Dydxdy=重心纵坐标×D的面积。
形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。
多边形的中心（形心）由下式给出：
关于形心的性质：
1、一个凸对象的几何中心总在其内部。
一个非凸对象的几何中心可能在外部，比如一个环或碗的几何中心不在内部。
2、三角形的重心与三顶点连线，所形成的六个三角形面积相等。
3、顶点到重心的距离是中线的三分之二。
4、重心、外心、垂心、九点圆圆心四点共线。
5、重心、内心、奈格尔点、类似重心四点共线。
6、三角形的重心同时也是中点三角形的重心。
三角形的形心外心与内心
三角形的形心外心与内心在几何中，三角形是最基本的图形之一。
而三角形的形心、外心和内心则是三角形内含的一些特殊点。
一、形心（Centroid）形心，也叫重心，是一个三角形内的一个点，它由三条中线的交点确定。
所谓中线，是指三角形的每个顶点与对边中点之间的连线。
形心被称为“重心”的原因，是因为如果将一个三角形剪成三个小三角形，并将这三个小三角形分别用端点处的针插在一个纸板上，那么这个纸板会在重心处保持平衡。
形心的坐标可以通过三角形的顶点坐标求得。
设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则形心的坐标为[(x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3]。
二、外心（Circumcenter）外心，又称为外接圆圆心，是一个三角形外接圆的圆心。
所谓外接圆，是指一个圆刚好与三角形的三条边相切。
外心是三角形的三条垂直平分线的交点。
垂直平分线是指过三角形的边上的中点，并与相应边垂直的线。
求外心的坐标稍微复杂一些，需要使用一些数学方法。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则外心的坐标可以通过以下公式计算得到：x = [(x1^2 + y1^2)(y2 - y3) + (x2^2 + y2^2)(y3 - y1) + (x3^2 +y3^2)(y1 - y2)] / [2(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))]y = [(x1^2 + y1^2)(x3 - x2) + (x2^2 + y2^2)(x1 - x3) + (x3^2 +y3^2)(x2 - x1)] / [2(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))]三、内心（Incenter）内心是一个三角形内切圆的圆心，所谓内切圆是指一个圆刚好与三角形的三条边相切。
高等数学形心计算公式
高等数学形心计算公式摘要：一、高等数学形心计算公式简介1.形心定义2.常见形心计算公式二、二维图形形心计算公式1.简单图形形心计算公式a.线段b.矩形c.三角形d.圆形2.复杂图形形心计算公式a.组合图形b.不规则图形三、三维图形形心计算公式1.简单图形形心计算公式a.立方体b.圆柱体c.圆锥体d.球体2.复杂图形形心计算公式a.组合图形b.不规则图形四、形心计算在实际应用中的意义1.工程领域应用2.科学研究应用3.生活场景应用正文：高等数学中的形心计算公式，是指在二维或三维空间中，求解一个图形的重心位置的计算方法。
形心，又称为质心，是物体在某一方向上的平均位置，通常用于描述物体在空间中的平衡状态。
了解形心计算公式，有助于更好地掌握高等数学知识，并在实际生活和工作中发挥重要作用。
在二维图形中，形心的计算方法根据图形的形状而有所不同。
对于简单的线段、矩形、三角形和圆形等图形，都有相应的形心计算公式。
对于复杂的组合图形和不规则图形，可以通过分割和近似方法，逐步简化计算过程。
在三维图形中，形心的计算方法同样根据图形的形状而有所不同。
对于简单的立方体、圆柱体、圆锥体和球体等图形，都有相应的形心计算公式。
对于复杂的组合图形和不规则图形，可以通过分割、近似和迭代方法，逐步简化计算过程。
形心计算在实际应用中具有重要意义。
在工程领域，如建筑结构分析、机械设计等，形心计算有助于分析物体的平衡状态，以确保结构稳定。
在科学研究领域，如地球物理学、天文学等，形心计算有助于分析天体的运行轨迹和地球的形状。
在生活场景中，如包装设计、摄影构图等，形心计算有助于优化设计方案，提高产品质量和视觉效果。
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网络教程
绪论
第一章静力学基本概念
第二章平面力系
第三章重心和形心
第四章轴向拉伸与压缩
第五章剪切与挤压第六章圆轴的扭转第七章平面弯曲内力第八章梁的强度与刚度
第九章强度理论
第十章组合变形
第十一章质点的运动第十二章刚体基本运动
第十三章点的合成运动
第十四章刚体平面运动
第十五章功和动能定理
第十讲重心和形心
目的要求：掌握平面组合图形形心的计算。
教学重点：分割法和负面积法计算形心。
教学难点：对计算形心公式的理解。
教学内容：
§3-4 重心和形心
一、重心的概念：
1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必须要加以掌握。
2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。
3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。
无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心的位置保持不变。
二、重心座标的公式：
(1)、重心座标的公式
三、物体质心的坐标公式
在重心坐标公式中，若将G=mg，G i＝m i g代入并消去g，可得物体的质心坐标公式如下：四、均质物体的形心坐标公式
若物体为均质的，设其密度为ρ，总体积为V,微元的体积为V i，则G=ρgV,G i＝ρgV i，代入重心坐标公式，即可得到均质物体的形心坐标公式如下：
式中V=∑Vi。
在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。
五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：
令式中的∑A i.x i＝A.x c＝S y；
∑A i.y i＝A.y c＝S x
则S y、S x分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。
六、物体重心位置的求法工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下：
1、对称法
凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。
对称法求重心的应用见下图。
2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其重心位置，常用的试验法有悬挂法和称重法。
（1）、悬挂法
利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次，重心必定在两次绳延长线的交点上。
悬挂法确定物体的重心方法见图
(2）、称重法
对于体积庞大或形状复杂的零件以及由许多构件所组成的机械，常用称重法来测定其重心的位置。
例如，用称重法来测定连杆重心位置。
如图。
设连杆的重力为G ,重心C点与连杆左端的点相距为Xc，量出两支点的距离L，由磅秤读出B端的约束力F B,
则由∑M A(F)=0 F B.L－G.x c＝0
x c＝F B.L/G
(3)、分割法：
工程中的零部件往往是由几个简单基本图形组合而成的，在计算它们的形心时，可先将其分割为几块基本图形，利用查表法查出每块图形的形心位置与面积，然后利用形心计算公式求出整体的形心位置。
此法称为分割法。
下面是平面图形的形心坐标公式：
(4)、负面积法：
仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的面积用负值。
3、查表法在工程手册中，可以查出常用的基本几何形体的形心位置计算公式。
下面列出了几个常用的图形的形心位置计算公式和面积公式。
四、求平面图形的形心举例
例1 热轧不等边角钢的横截面近似简化图形如图所示，求该截面形心的位置。
解:
方法一（分割法）：
根据图形的组合情况，可将该截面分割成
两个矩形Ⅰ，Ⅱ，C1和C2分别为两个矩形
的形心。
取坐标系Oxy如图所示，则矩形Ⅰ，
Ⅱ的面积和形心坐标分别为
A1=120mm×12mm＝1440mm2
x1＝6mm
y1＝60mm
A2＝（80-12）mm×12mm＝816mm2
x2＝12mm＋（80-12）/20=46mm
y2＝6mm
即所求截面形心C点的坐标为（20.5mm，40.5mm）
方法二(负面积法)：
用负面积法求形心。
计算简图如图。
A1＝80mm×120mm＝9600mm2
x1＝40mm y1＝60mm
A2=－108mm×68mm＝－7344mm2
x1＝12mm＋（80－12)mm/2=46mm
y1＝12mm＋（120－12)mm/2=66mm
由于将去掉部分的面积作为负值，方法二又称为负面积法。
例2 试求如图所示图形的形心。
已知R＝100mm，r2＝30mm，r3＝17mm。
解:由于图形有对称轴，形心必在对称轴上，建立坐标系Oxy如图所示，只须求出x c，将图形看成由三部分组成，各自的面积及形心坐标分别为
（1）、半径为R的半圆面：
A1＝πR2/2＝π×(100mm)2/2＝15700mm2
y1＝4R/(3π)＝4×100mm/(3π)＝42.4mm
(2）、半径为r2的半圆面
A2＝π(r2)2/2＝π×(30mm)2/2＝1400mm2
y2＝－4r2/(3π)＝－4×30mm/(3π)＝－
12.7mm
（3）、被挖掉的半径为r3的圆面：
A3＝－π(r3)2＝－π(17mm)2＝910mm2
y3＝0
(4）、求图形的形心坐标。
由式形心公式可求得即所求截面形心C点的坐标为（0mm，40mm）。