初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全(含答案)

初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全
基础模型:△ABC 中, AD 是BC 边中线
思路1：延长AD 到E，使DE=AD，连接BE
思路2：间接倍长,延长MD 到N，使DN=MD，连接CN
思路3, 作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E
1．如图，在△AB C 中，AC=5，中线AD=7，则AB 边的取值范围是（）
A．1＜AB＜29 B．4＜AB＜24 C．5＜AB＜19 D．9＜AB＜19
2．如图，△AB C 中，AB=AC，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F，且DF=EF，求证：BD=CE．
4．小明遇到这样一个问题，如图1，△AB C 中，AB=7，AC=5，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围．
小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD 到E，使DE=AD，连接BE，构造△B ED≌△C AD，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：（1）小明证明△B ED≌△C AD用到的判定定理是：（用字母表示）
（2）AD的取值范围是
小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G、F 分别为AD，BC 边上的点，若AG=2，BF=4，∠GEF=90°，求GF 的长．
5．已知：在△AB C 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC，延长BE 交AC 于F，求证：AF=EF．
6．已知：如图，△AB C（AB≠AC）中，D、E 在BC 上，且DE=EC，过D 作DF∥BA交AE 于点F，DF=AC．求证：AE 平分∠BA C．
求证：∠C=∠BAE．
8．如图，已知D 是△AB C 的边BC 上的一点，CD=AB，∠B D A=∠BAD，AE是△AB D 的中线．（1）若∠B=60°，求∠C 的值；
（2）求证：AD 是∠E A C 的平分线．
9．如图，已知：CD=AB，∠BAD=∠B D A，AE是△AB D 的中线，求证：AC=2AE．
10．已知，如图，AB=AC=BE，CD 为△AB C 中AB 边上的中线，求证：CE=2CD．
11．已知：如图，△AB C 中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT 平分∠BA C 交CM 于D，交BC 于T，过D 作DE∥AB交BC 于E，求证：CT=BE．
12．如图①，点O 为线段MN 的中点，PQ 与MN 相交于点O，且PM∥NQ，可证△PM O≌△
并证明你的结论；(图3 是原题的第2 问)
13．如图，在△AB C 中，AD 交BC 于点D，点E 是BC 的中点，EF∥AD交CA 的延长线于点F，交EF 与于点G．若BG=CF，求证：AD 为△AB C 的角平分线．
14．如图，已知在△AB C 中，∠C AE=∠B，点E 是CD 的中点，若AD 平分∠BAE．
（1）求证：AC=BD；
（2）若BD=3，AD=5，AE=x，求x 的取值范围．
15．已知在△AB C 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三
角形，如图，求证：EF=2A D．
1.解：如图，延长AD 至E，使DE=AD，
∵AD 是△AB C 的中线，∴B D=CD，
在△AB D 和△ECD 中，，
∴△AB D≌△ECD（SAS），∴AB=CE，
∵AD=7，∴AE=7+7=14，
∵14+5=19，14﹣5=9，∴9＜CE＜19，
2．证明：如图，过点D 作DG∥AE，交BC 于点G；
3．证明：
4．解：（1）如图2 中，延长AD 到E，使DE=AD，连接BE．
在△B ED 和△C AD中，，∴△B ED≌△C AD（SAS）．（2）∵△B ED≌△C AD，∴B E=A C=5，∵AB=7，∴2＜AE＜12，∴2＜2A D＜12，∴1＜AD＜6．
解决问题：如图3 中，
解：延长GE 交CB 的延长线于M．
∵四边形ABCD 是正方形，∴AD∥CM，∴∠A GE=∠M，
在△AEG和△B EM 中，，∴△AEG≌△B EM，∴GE=EM，AG=BM=2，∵EF⊥MG，∴FG=FM，
∵B F=4，∴M F=B F+BM=2+4=6，∴GF=F M=6．
5．证明：如图，延长AD 到点G，使得AD=DG，连接BG．
∵AD 是BC 边上的中线（已知），∴DC=D B，
在△AD C 和△GD B中，∴△AD C≌△GD B（SAS），∴∠C AD=∠G，BG=A C
又∵B E=A C，∴B E=BG，∴∠B ED=∠G，
∵∠B ED=∠AEF，∴∠AEF=∠C AD，
即：∠AEF=∠F AE，∴A F=EF．
6．证明：如图，延长FE 到G，使EG=EF，连接CG．在△DEF 和△CE G中，
∵，∴△DEF≌△CE G．∴DF=GC，∠DFE=∠G．
∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．
∵DF=A C，∴GC=A C．∴∠G=∠C AE．∴∠BA E=∠C AE．即AE 平分∠BA C．
7．证明：延长AE 到F，使EF=AE，连接DF，∵AE是△AB D 的中线∴B E=ED，在△AB E 与△FDE 中
∵，∴△AB E≌△FDE（SAS），∴AB=DF，∠BAE=∠EFD，
∵∠ADB 是△AD C 的外角，∴∠D A C+∠A CD=∠ADB=∠BAD，
∴∠BAE+∠E AD=∠BAD，∠BAE=∠EFD，
∴∠EFD+∠E A D=∠D A C+∠A CD，∴∠AD F=∠A DC，
8．（1）解：∵∠B=60°，∠B D A=∠BAD，
∴∠BAD=∠B D A=60°，∴AB=AD，
∵CD=AB，∴CD=AD，∴∠D A C=∠C，∴∠B D A=∠D A C+∠C=2∠C，
∵∠BAD=60°，∴∠C=30°；
（2）证明：延长AE 到M，使EM=AE，连接DM，
在△AB E 和△MDE 中，，∴△AB E≌△MDE，
∴∠B=∠MDE，AB=D M，
∵∠AD C=∠B+∠BAD=∠MDE+∠B D A=∠A D M，
在△MAD与△C AD，，∴△MAD≌△C AD，∴∠MAD=∠C A D，∴AD 是∠E A C 的平分线．
9．证明：延长AE 至F，使AE=EF，连接BF，
在△AD E 与△B FE 中，，∴△AED≌△FEB，
∴B F=D A，∠FBE=∠AD E，
∵∠AB F=∠AB D+∠FBE，∴∠AB F=∠AB D+∠ADB=∠AB D+∠BAD=∠A DC，
在△AB F 与△AD C 中，，∴△AB F≌△CD A，∴A C=AF，
∵AF=2A E，∴A C=2AE．
10．证明：取AC 的中点F，连接BF；
∵B为AE 的中点，∴BF 为△AE C 的中位线，∴EC=2B F；
在△AB F 与△A CD 中，，∴△AB F≌△A CD（SAS），∴CD=BF，∴CE=2CD．
11．证明：过T 作TF⊥AB 于F，
∵AT 平分∠BA C，∠A C B=90°，
∴CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠A C B=90°，CM⊥AB，∴∠ADM+∠D AM=90°，∠A TC+∠C A T=90°，
∵AT 平分∠BA C，∴∠D AM=∠C A T，
∴∠ADM=∠A TC，∴∠CDT=∠CTD，∴CD=CT，
又∵CT=TF（已证），∴CD=TF，
∵CM⊥AB，DE∥AB，∴∠CDE=90°，∠B=∠DEC，
在△CDE 和△TF B中，，
∴△CDE≌△TF B（AAS），
∴CE=TB，∴CE﹣TE=T B﹣TE，即CT=BE．
12．解：（1）AB=AF+CF．
如图2，分别延长DC、AE，交于G 点，
根据图①得△AB E≌△GCE，∴AB=C G，
又AB∥DC，∴∠BAE=∠G
而∠BAE=∠EAF，∴∠G=∠EAF，
∴AF=GF，
∴AB=CG=GF+CF=AF+CF；
13．解：延长FE，截取EH=EG，连接CH，
∵E 是BC 中点，∴B E=CE，∴∠B E G=∠CEH，
在△B E G和△CEH 中，，∴△B E G≌△CEH（SAS），
∴∠B GE=∠H，∴∠BG E=∠F GA=∠H，∴B G=CH，
∵CF=BG，∴CH=CF，∴∠F=∠H=∠F GA，
∵EF∥AD，∴∠F=∠C A D，∠BAD=∠F GA，∴∠C AD=∠BAD，
∴AD 平分∠BA C．
14．（1）证明：延长AE 到F，使EF=EA，连接DF，
∵点E 是CD 的中点，∴EC=ED，
在△DEF 与△CE A中，，∴△DEF≌△CE A，∴A C=FD，∴∠AFD=∠C AE，∵∠C AE=∠B，∴∠AFD=∠B，
∵AD 平分∠BAE，∴∠BAD=∠F AD，
在△AB D 与△AFD 中，，∴△AB D≌△AFD，∴B D=FD，∴A C=BD；（2）解：由（1）证得△AB D≌△AFD，△DEF≌△CE A，∴AB=AF，
∵AE=x，∴AF=2A E=2x，∴AB=2x，
∵B D=3，AD=5，∴在△AB D 中，，解得：1＜x＜4，
∴x 的取值范围是1＜x＜4．
15 证明：延长AD 至点G，使得AD=DG，连接BG，CG，∵AD=D G，B D=CD，
∴四边形ABGC 是平行四边形，
∴A C=AF=BG，AB=AE=C G，∠BA C+∠ABG=180°，
∵∠EAF+∠BA C=180°，
∴∠EAF=∠ABG，
在△EAF 和△BAG中，
，
∴△EAF≌△BAG（SAS），
∴EF=AG，
∵AG=2AD，
∴EF=2A D．。