高中数学课件-第三章 直线与方程 章末复习 李杨琴

第三章 直线与方程
章末复习提升
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1.直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度，但倾 斜 角 α 是 角 度 (0°≤α<180°) ， 是 倾 斜 度 的 直 接 体 现 ； 斜 率 k 是 实 数 (k∈(－∞，＋∞))，是倾斜程度的间接反映.在解题的过程中，用斜率往 往比用倾斜角更方便. (2) 倾 斜 角 与 斜 率 的 对 应 关 系 ： 当 α ＝ 90° 时 ， 直 线 的 斜 率 不 存 在 ； 当 α≠90°时，斜率k＝tan α，且经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线 的斜率kAB＝xy22－－xy11. (3)当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞ (不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0).
α的取值范围. 解 当m＝1时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为：α＝90°. 当 m≠1 时，由斜率公式可得 k＝m3－－21＝m－1 1， (1)当 m>1 时，k＝m－1 1>0，所以直线的倾斜角的取值范围是 0°<α<90°. (2)当 m<1 时，k＝m－1 1<0，所以直线的倾斜角的取值范围是 90°<α<180°.
l1：y＝k1x＋b1，
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：y＝k2x＋b2
l2：A2x＋B2y＋C2＝0
l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2
l1∥l2⇔A1B2 － A2B1 ＝ 0 ， 且 B1C2－B2C1≠0
l1⊥l2⇔k1·k2＝－1
l1⊥l2⇔A1A2＋B2B1＝0
由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制； 同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根 据题目条件设出合理的直线方程.
(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的 直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ是参数，当λ＝0时， 方程变为A1x＋B1y＋C1＝0，恰好表示直线l1；当λ≠0时，方程表示过直 线l1和l2的交点，但不含直线l2). 6.“对称”问题的解题策略 对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称. (1)中心对称 ①两点关于点对称，设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对 称的点为P2(2a－x1，2b－y1)，即P为线段P1P2的中点.特别地，P(x，y)关 于原点对称的点为P′(－x，－y).
4.距离问题
类型
已知条件
公式
两点间的距离
A(x1，y1)，B(x2，y2) d＝ x2－x12＋y2－y12
点到直线的距离
P(x0，y0) l：Ax＋By＋C＝0
d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|
l1：Ax＋By＋C1＝0， 两条平行直线间的距离 l2：Ax＋By＋C2＝0
(A，B不同时为0)
上的两个定点
y轴
截距式
ax＋by＝1
a，b分别是直线在x轴， 直线不垂直于x轴和
y轴上的非零截距
y轴，且不过原点
Ax ＋ By ＋ C ＝ 0(A ，B 一般式
不同时为0)
A，B，C为系数
任何情况
特殊直线
x＝a (y轴：x＝0) y＝b (x轴：y＝0)
垂直于x轴且过点(a，0) 斜率不存在 垂直于y轴且过点(0，b) 斜率k＝0
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题型探究
重点突破
题型一 直线的倾斜角和斜率 倾斜角和斜率分别从“形”和“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度.倾 斜角α与斜率k的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起特别重视. (1)对应关系 ①α≠90°时，k＝tan α. ②α＝90°时，斜率不存在. (2)单调性 当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞， 然后由－∞逐渐增大到0(不含0).
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围.
解 如图，当斜率k变化时，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针
转到CB过程中，直线CD与AB恒有交点，
即D在△ABC的边AB上，此时k由kCA增大到kCB，
所以
k
的取值范围为
33，
3.
解析答案
跟踪训练1 求经过A(m，3)、B(1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角
1－1 解 由斜率公式，得 kAB＝1－－1＝0，
kBC＝
3＋1－1 2－1 ＝
3，kAC＝
3＋1－1 2－－1 ＝
3 3.
因为tan 0°＝0，
所以AB的倾斜角为0°；
因为 tan 60°＝ 3，所以 BC 的倾斜角为 60°；
因为 tan 30°＝ 33，所以 AC 的倾斜角为 30°.
解析答案
解析答案
题型四 最值问题 方法梳理 1.构造函数求解最值： 利用函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性等性质特征及复合函数的 结构特征求解函数的最值. 2.结合直线方程的相关特征，保证在符合条件的范围内求解最值. 3.结合图象，利用几何性质帮助解答. 数学思想 函数思想：通常情况下求解最值问题可以转化为对函数的研究，函数思 想给我们一种最严谨的眼光来看待问题，是一种探求普遍真理的思想， 本章中求最大距离、最大面积等问题时常常会用到函数思想.
解析答案
(2)求S关于p的函数关系式S＝f(p)；
解析答案
(3)当p为何值时，抢救最及时？ 解 由(2)知 S＝3p6－ap52a＝3p－6a5pa2＝－5a1p－61a30a2＋290a. ∵p＞53a，∴0＜1p＜53a. ∴当1p＝130a时，Smin＝430a2. 因此，当 p＝103a时，抢救最及时.
例3 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满 足下列条件的a、b的值. (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； 解 ∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0. 即a2－a－b＝0，① 又点(－3，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝2.
解析答案
题型二 直线方程的五种形式 直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用 四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨 论.求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程 时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式、斜截式适合直 线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐 标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于 平面直角坐标系中的任何直线.因此，要注意运用分类讨论的思想.在高 考中，题型以选择题和填空题为主，与其他知识点综合时，一般以解答 题的形式出现.
②两直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任 一点关于点P对称的点在另一条直线上，并且l1∥l2，P到l1，l2的距离相等. (2)轴对称 ①两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且 线段P1P2的中点在l上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程. ②两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称. 当三条直线l1，l2，l共点时，l上任意一点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2 中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上； 当l1∥l2∥l时，l1与l间的距离等于l2与l间的距离.
例 2 求与直线 y＝43x＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 24 的直线 l 的方程.
解析答案
跟踪训练2 过点P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它 们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.
解析答案
题型三 直线的位置关系 两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两 条直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置 关系.解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免 讨论斜率不存在的情况.
解析答案
题型五 分类讨论思想 分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决.在解题过程中， 需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题， 从而使问题得到解决. 在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的 点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题.
解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不 能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距 式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直 线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论.
3.两直线的平行与垂直
直线方程 平行的等价条件 垂直的等价条件
Hale Waihona Puke Baidu
例 4 已知△ABC，A(1，1)，B(m， m)(1＜m＜4)，C(4，2).当 m 为何 值时，△ABC 的面积 S 最大？
解析答案
跟踪训练4 如图，一列载着危重病人的火车从O地出发，沿北偏东α度 (射线OA)方向行驶，其中sin α＝ 1100.在距离O地5a(a为正常数)千米，北 偏东β度的N处住有一位医学专家，其中sin β＝35，现120指挥中心紧急征 调离O地正东p千米B处的救护车，先到N处载上医学专家，再全速赶往 乘有危重病人的火车，并在C处相遇.经计算，当两车行驶的路线与OB所 围成的三角形OBC的面积S最小时，抢救最及时. (1)在以O为原点，正北方向为y轴的直角坐标系中， 求射线OA所在的直线方程；
d＝
|C2－C1| A2＋B2
学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题 时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合.
5.直线系方程 直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同 性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根据直线所满足的其他条 件确定出参数的值，进而求出直线方程.直线系方程的常见类型有： (1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中 未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程； (2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是： Ax＋By＋λ＝0(λ是参数，λ≠C)； (3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是： Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；
例5 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)在两坐标轴上的截距 相等，求直线l的方程. 解 ①当2－a＝0，即a＝2时，直线经过原点，满足条件，此时直线的 方程为：3x＋y＝0. ②当a＝－1时，直线在x轴上无截距，不符合题意，
当a≠－1且a≠2时，由题意得：
a－2 a＋1＝a－2，解得：a＝0. 此时直线的方程为x＋y＋2＝0. 综上，所求直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
经过 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式 k＝yx22－ －yx11(x1≠x2)， 应注意其适用的条件 x1≠x2，当 x1＝x2 时，直线斜率不存在.
例 1 已知坐标平面内的三点 A(－1，1)，B(1，1)，C(2， 3＋1). (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
解析答案
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等.
解析答案
跟踪训练3 (1)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P， 且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程；
解析答案
(2)已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之 间的距离为 5.求直线l1的方程.
解析答案
跟踪训练5 直线l经过点P(2，3)，且在x，y轴上的截距互为相反数，试 求该直线的方程.
2.直线的五种方程及比较
名称
方程
常数的几何意义
适用条件
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
(x0，y0)是直线上的一个 定点，k是斜率
直线不垂直于x轴
斜截式
y＝kx＋b
k是斜率，b是直线在y轴 直线不垂直于x轴
上的截距
两点式
yy2－－yy11＝xx2－－xx11
(x1，y1)，(x2，y2)是直线 直线不垂直于x轴和