动点路径长解题策略定稿版
“动点运动路径长”问题的求解方略
龙源期刊网 “动点运动路径长”问题的求解方略作者：曹亦祥来源：《新课程学习·上》2014年第03期摘要：在平时的教学中发现许多学生甚至是一些数学比较优秀的学生对于如何解决“动点运动路径长”的问题缺少方法，无从下手。
其实解决这类问题也是有一般方法的，现举例加以分析。
关键词：数学教学；“运点运动路径长”问题；解题方法解题反思：证明动点运动的路径是线段的方法很多，这里介绍了两种典型的方法。
问题2用的是几何方法证明点G到直线AB的距离为定值；问题3用的是函数的知识，说明点G的坐标符合某一次函数的解析式。
这些典型解法在学习过程中要用心体会，并学会运用。
类型三、往返运动型解题反思：这种类型是动点路径问题最复杂的一种，如果画图、分析不够充分往往难以发现动点的正确运动路径，在画图判断时尤其要关注运动过程中的一些特殊的位置（如：中点、垂直、平行等）。
通过上述问题的探究，笔者归纳一下求“动点运动路径长”问题的一般策略如下：首先可以通过画图（一般要画出起始点、中间若干关键点和结束点）来判断路径类型和范围（在初中阶段主要考查的一般是圆弧型和线段型）；其次是结合已知条件的特点运用不同的数学方法说明自己的判断是正确的；最后按照判断的路径类型及范围来计算路径长。
新课程标准提倡在掌握基础知识、基本技能的同时，要形成数学思想方法，增强数学基本活动经验，这些要求必将在今后的考试中充分体现出来。
所以在平时的数学教学过程中，教师要有意识地通过这样的数学问题的探索研究，帮助学生增强数学活动的基本活动经验，提高分析问题解决问题的能力。
值得注意的是单纯的讲授与模仿不能帮助学生形成真正有效的基本活动经验，有效经验一定是在自主活动过程中才能获得的。
因此，在实际教学过程中让学生经历相应的反思活动，特别是对刚刚经历的活动过程（条件、步骤、方法等）的反思，对于基本活动经验的形成极为重要。
|编辑杨兆东。
动点问题练习含答案定稿版
动点问题练习含答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想 1、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒。
当t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形. 82、如图2，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为 53、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ； （2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由． 解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形.OE CDAlOC∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED . ∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2, ∴∠A =300.∴AB =4,AC. ∴AO =12AC在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2.∴BD =2. ∴BD =BC . 又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形4、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E.(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ； (3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．C B ED 图1 N MA B CD EM N 图2A CB E D NM 图3经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 解：（1）正确．证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°，∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=．（2）正确．证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°． 四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥．DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠． ANE ECF ∴△≌△（ASA ）．ADF B图1ADFC GE B图3ADFB图2A DFBMADFC E BNAE EF ∴=．6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t. 求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值 7、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.求：（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由解（1）如图1，过点E作EG BC ⊥于点G ．∵E 为AB 的中点， ∴122BE AB ==．A D E BF C图4（备 A D EBF C 图5（备A D E BF C 图1 图2A D E BF C PNM图3A D EBFC PN M （第25在Rt EBG △中，60B =︒∠， ∴30BEG =︒∠．∴112BG BE EG ====，即点E 到BC（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，， ∴PM EG ∥．∵EF BC ∥， ∴EP GM =，PM EG == 同理4MN AB ==． 如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥，∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=． 则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==． ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-= 当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠． 因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形．图3A DE BFCPN M 图4A D EBFCP MN 图5A D EBF CMN GGR G图1A D E BF CG图2A D EB F CPNMG H∴tan301MC PM =︒=． 此时，6114x EP GM ===--=． 综上所述，当2x =或4或(5-时，PMN △为等腰三角形．8、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． (1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ②∵P Qv v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t===厘米/秒。
中考数学：点动产生路径长问题
点动产生的路径长问题近几年中考，和我们同学做的中考模拟试卷中，不断的出现了因动点计算路径长问题，这种题型因为隐藏的比较深，从而难以发现，计算比较繁琐。
在填空题选择题中比较多。
只要同学们在做题的过程中发现是这种题型，那么点所经过的路径一般就是就是两种结果。
一是线段。
二是圆弧。
为什么呢？因为只有这两图形是可以计算路径长的。
其它图形我们目前能计算路径长吗。
哈哈，这样解释印象有没有很深。
下面我们来看看我们会碰到的几种题型。
题型1：简单的图形翻转问题。
解法：这种题型比较简单。
只要找出旋转圆心，旋转时圆的半径，还有圆心角就可以了，然后利用扇形的弧长计算公式来计算。
注意，如果是圆弧旋转的话，圆心的路径是直线。
例题1：一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为___________试题分析：现将木板沿水平线翻滚， B点从开始至结束走过了4条弧，每条弧是一等边三角形的边为半径的扇形，圆心角为等边三角形的内角，所以 B点从开始至结束所走过的路程长度=4l=点评：本题考查扇形的弧长公式，关键是找出扇形的圆心角和半径，考查学生的空间想象能力例题2：矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A1B1C1D1时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是例题3：将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB，在直线l上向右作无滑动的滚动至扇形A’O’B’处，则顶点O经过的路线长为。
例题4：如图，一个圆心角为270°，半径为2m的扇形工件，未搬动前如图所示，A，B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A，B两点再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长是m．（结果保留π）例题5：已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直径为4m，则圆心O所经过的路线长是 m。
初中常见的动点轨迹问题归纳与突破策略
②“定边对定
角”的动点轨迹为在以定边为弦且经过定点的圆弧
上 . 直线型中常见的有四种 ：①动点到定直线的距离
相等 ，那么该动点的轨迹为平行与该直线的直线 ；
②
一、动点的运动轨迹为圆弧型
同弧所对的圆周角相等 ，反之 ，如图 1，如果一个
动点 M ，
以 M 为顶点的角 ∠AMB 始终不变 ，
动点轨迹；圆弧型；直线型；定边对定角；夹角定位法
初中数学动点轨迹问题是一个比较抽象的问题，
动点轨迹问题在初中数学的学习中，
以及以后高中数
学的学习中都是非常重要的 . 动点轨迹问题的解决策
略是化动为静，
寻找运动过程中的不变量 .
初中阶段常见的动点轨迹有圆弧型与直线型 . 圆
弧型中又分为两种 ：①动点到定点的距离等于定长 ，
且这个定角的对边是定边 .
动点到线段两个端点的距离相等，
该动点的轨迹为该
线段的垂直平分线（线段垂直平分线的判定定理）；
③
动点到角两边距离相等，
该动点的轨迹为这个角的角
平分线（角平分线的判定定理）；
④动点与定点的连线
与定直线的夹角为定角，
那么该动点的轨迹为这个夹
角的另一边 .
图1
图2
由于“圆弧型中动点到定点的距离等于定长 ，那
角的动点轨迹）进行分析讲解：题目中如能找到定边对定角，则该动点的运动轨迹为在以定边为弦且经过定点的圆弧上，
这一类型关键的突破口是求出定边对面角的具体度数，为定值 . 而题目中如出现动点与定点的连线与定直线的夹角为定
关键词
角时，则该动点的轨迹为直线型（这个夹角的另一边），解决这一类型的方法为夹角定位法 .
求解动点路径长问题
运用“三点法”求解动点路径长问题初中数学中动点路径问题，一般有两种情况:线段或圆弧.本文提出一种求动点路径长的方法——三点法，“三点”指动点的起点，终点与过程点.该方法分为三步:(1)精准作图，运用刻度尺，圆规及量角器等工具作出位置较为精准的“三点”.(2)大胆猜测，若“三点”共线，则动点路径为线段;若“三点”不共线，则动点路径为圆弧.(3)小心验证，根据画出的“三点图”，运用相似三角形、“定角定长定圆”等方法对猜想进行严格的证明. 一、知识准备 1、基本概念如图1，在Rt ABC ∆中，6,8AC BC ==，90C ∠=︒.点P 是边AB 上一动点，点D 是AC 延长线上的一个定点，连结PD ，过点D 作DE PD ⊥，连结PE ，且2tan 5DPE ∠=，当点P 从点A 运动到点B 时，点E 运动的路径长为 .在图1中，点P 是“主动”在边AB 上开始动的点，称为“主动点”;点E 是跟着点P 在运动的点，称为“从动点”.又点P 从点A 运动到点B ，当点P 与点A 重合时记作点1P ，称为“主动点的起点”，此时1E 称为“从动点的起点”，此时作出符合要求的图形(如图2)，称该图为“起点图”;当点P 与点B 重合时记作点2P ，称为“主动点的终点”，此时2E 称为“从动点的终点”，作出符合要求的图形(如图3)，称该图为“终点图”.区别于起点1P ，终点2P ，将图1中的点P 称为“主动点的过程点”，此时E 称为“从动点的过程点”，相应地把图1称为“过程图”.将起点图，终点图，过程图放在同一个图形中，将这个图形称为“三点图”(如图4).2、定角定长定圆固定度数的角对着固定长度的线段时隐含着一个固定大小的圆，此时定线段为定圆的一条弦，定角为弦所对的一个圆周角.引例1 如图5，线段4AB =，点C 是平面上的一个动点，使90ACB ∠=︒，作出点C 的运动路径.由“90º角所对的弦是直径”可以得到点C 的运动路径是以AB 为直径的圆，且不与点A 、点B 重合(如图6).引例2 如图7，线段4AB =，点C 是平面上的一个动点，45ACB ∠=︒，作出顶点C 的运动路径.当点C 位置不同时，ACB ∠度数不变，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”，可以将ACB ∠看作弦AB 所对的一个圆周角，圆心O 必在弦AB 的垂直平分线上，且290AOB ACB ∠=∠=︒，计算可得半径OA =所以，点C 的运动路径是优弧ACB ，且不与点A 、点B 重合(如图8).引例3 如图9，线段4AB =，点C 是平面上的一个动点，120ACB ∠=︒，作出顶点C 的运动路径.作出ACB ∠的补角'AC B ∠为60º，'AC B ∠的位置不同时度数为定值.类比引例2，可将'AC B ∠看作弦AB所对的一个圆周角，圆心O 必在弦AB 的垂直平分线上，且2'120AOB AC B ∠=∠=︒，计算可得半径OA =.在所以点C 的运动路径是劣弧»AB ，且不与点A 、点B 重合(如图10). 二、方法归纳例l 如图11，在Rt ABC ∆中，6,8AC BC ==，90C ∠=︒.点P 是边AB 上一动点，点D 是AC 延长线上的一个定点，连结PD ，过点D 作DE PD ⊥，连结PE ，且2tan 5DPE ∠=，当点P 从点A 运动到点B 时，点E 运动的路径长为 .1.精准作图 因为2tan 5DPE ∠=，所以通过计算很难得到DPE ∠的度数(不借助计算器)，但可以运用量角器测量图12中22DPE ∠≈︒.在图11的基础上，先作起点图.当点P 与点A 重合时记作点1P ，在图中作出122DPQ ∠=︒(如图12)，过点D 作11DE PD ⊥交射线AQ 于点1E (如图13).当点P 与点B 重合时记作点2P ，运用类似的方法在图13的基础上作出终点图，并去掉多余部分，得到一幅完整的三点图(如图14).2、大胆猜测通过三点图发现点1E ，点E ，点2E 基本在一条直线上(如图14)，所以可以大胆的猜测点E 的运动路径是一条线段，点E 运动的路径长就是线段12E E 的长度.于是提出猜想一“在三点图中，从动点的起点，终点，过程点三点共线时，从动点的运动路径为线段”.在三点图中，从动点的起点，终点，过程点三点不共线时，就初中数学而言，不共线的三点确定一个圆，这里提出猜想二“在三点图中，从动点的起点，终点，过程点三点不共线时，从动点的运动路径为圆弧”.当运动路径为圆弧时，考虑寻找固定度数的角与固定长度的线段，运用“定角定长定圆”的方法作出运动路径. 3.小心验证在图15中，因为1190E DE PDE ∠+∠=︒，1190PDP PDE ∠+∠=︒，∴11PDP E DE ∠=∠. 又∵1125DE DE DP DP ==， ∴11E DE PDP ∆∆:， ∴11DEE DPP ∠=∠.同理22E DE P DP ∆∆:，可得22DEE DPP ∠=∠. 又∵12180DPP DPP ∠+∠=︒， ∴12180DEE DEE ∠+∠=︒. ∴点1E ，点E ，点2E 三点共线.∵121290E DE PDE ∠+∠=︒，121290PDP PDE ∠+∠=︒， ∴1212PDP E DE ∠=∠. ∵121225DE DE DP DP ==， ∴1212E DE PDP ∆∆:， ∴121225E E PP =. ∵1210PP =， ∴124E E =.通过上述论证得到结论一:“当主动点在一条线段上运动，从动点也在一条线段上运动时，主动点的起点、终点、某个定点构成的三角形和从动点的起点、终点、某个定点构成的三角形相似”.因此可以先求出主动点的运动路径长再乘以相似比得到从动点的运动路径长. 三、运用求解例2 如图16，在Rt COD ∆中，90COD ∠=︒，2OC OD ==，以O 为圆心，AB 为直径的圆经过点C ，点D .连结,AD BC 相交于点P ，将Rt COD ∆从OA 与OC 重合的位置开始，绕着点O 顺时针旋转90º，则交点P 所经过的路径长是.在图16的基础上先作起点图，当点C 与点A 重合时记作点1C ，此时点D 在点1D ，位置，1BC ，1AD ，交于点1P ，此时点1P ，与点A 重合(如图17).再作终点图，此时点C 与点1D 重合记作点2C ，点D 与点B 重合记作点2D ，2AD 与2BC 交于点2P ，点2P 与点B 重合(如图18).通过三点图，发现点1P ，点P ，点2P 三点不共线，考虑从动点的运动路径为圆弧，但需要运用“定角定长定圆”的方法加以证明.在PAB ∆中，4AB =为定长，因为90COD ∠=︒，所以90COA DOB ∠+∠=︒，又“同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半”， 得到190452CBA DAB ∠+∠=⨯︒=︒， 所以135APB ∠=︒为定角.所以点P 在以4AB =为弦，135APB ∠=︒为圆周角的定圆上运动.类比引例2，APB ∠的补角'45AP B ∠=︒也为定角，可将'AP B ∠看作弦AB 所对的一个圆周角，圆心'O 必在弦AB 的垂直平分线上，且2'90AOB AP B ∠=∠=︒.又因为“直径所对的圆周角为90º”，所以'O 是弦AB 的垂直平分线与圆O 的一个交点 所以半径'22O A =.所以点P 的运动路径是劣弧AB (如图19)， 根据弧长公式得到90222180l ππ︒⨯==︒.通过上述论证可以发现，主动点1C ，点2C 与点O 构成的扇形12C OC 圆心角为90º，半径为2;从动点1P ，2P 与点0构成的扇形12POP 的圆心角为90º，半径为22.因为两个扇形的圆心角都为90º，所以扇形12C OC :扇形12POP ，相似比为1:2，因此扇形的弧长之比也为1:2.主动点C 的运动路径长为1902180l ππ︒⨯==︒，故从动点P 的运动路径长为122l l π==.于是得到结论二：“当主动点在一条圆弧上运动，从动点也在一条圆弧上运动时，主动点的起点、终点、某个定点构成的扇形和从动点的起点、终点、某个定点构成的扇形相似”.因此，可以先求出主动点的运动路径长再乘以相似比得到从动点的运动路径长.巩固练习 1．如图，已知扇形AOB 中，OA ＝3，∠AOB ＝120°，C 是在上的动点．以BC 为边作正方形BCDE ，当点C 从【分析】如图，由此BO交⊙O于F，取的中点H，连接FH、HB、BD．易知△FHB是等腰直角三角形，HF ＝HB，∠FHB＝90°，由∠FDB＝45°＝∠FHB，推出点D在⊙H上运动，轨迹是（图中红线），易知∠HFG＝∠HGF＝15°，推出∠FHG＝150°，推出∠GHB＝120°，易知HB＝3，利用弧长公式即可解决问题．【解答】解：如图，由此BO交⊙O于F，取的中点H，连接FH、HB、BD．易知△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90°，∵∠FDB＝45°＝∠FHB，∴点D在⊙H上运动，轨迹是（图中红线），易知∠HFG＝∠HGF＝15°，∴∠FHG＝150°，∴∠GHB＝120°，易知HB＝3，∴点D的运动轨迹的长为＝2π．故答案为2π．【点评】本题考查轨迹、弧长公式、圆的有关知识、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点D的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．2．如图，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为6的圆上，顶点C、D在圆内，将正方形ABCD沿圆【分析】作辅助线，首先求出∠D′AB的大小，进而求出旋转的角度，利用弧长公式问题即可解决．【解答】解：如图，分别连接OA、OB、OD′、OC、OC′；∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB＝60°；同理可证：∠OAD′＝60°，∴∠D′AB＝120°；∵∠D′AB′＝90°，∴∠BAB′＝120°﹣90°＝30°，由旋转变换的性质可知∠C′AC＝∠B′AB＝30°；∵四边形ABCD为正方形，且边长为6，∴∠ABC＝90°，AC＝＝6，∴当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为：＝π．以D或B为圆心滚动时，每次C点运动π，以A做圆心滚动两次，以B和D做圆心滚动三次，所以总路径＝×2+π×3＝（3+2）π．故答案为：（3+2）π．【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确的求出旋转角的度数．3．将边长为4的正方形ABCD向右倾斜，边长不变，∠ABC逐渐变小，顶点A、D及对角线BD的中点N分别运动到A′、D′和N′的位置，若∠A′BC＝30°，则点N到点N′的运动路径长为．【分析】根据题意可以画出相应的图形，可以求得∠NMN′的度数，然后根据弧长公式即可解答本题．【解答】解：作NM⊥BC于点M，连接MN′，∵点N′和点M分别为线段BD′和BC的中点，∴MN′＝＝2，∴MN′＝BM，∴∠MBN′＝∠MN′B，∵∠A′BC＝30°，∴∠MBN′＝15°，∴∠N′MC＝30°，∴∠NMN′＝60°，∴点N到点N′的运动路径长为：，故答案为：．【点评】本题考查轨迹、正方形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．。
初中数学动点路径长的问题解决策略
2017·05路径长问题的通常没有给出具体的动点运动轨迹，比较抽象，是学生难以把握的问题之一。
问题的解决策略是将动态问题转化为静态问题，寻找问题中的不变量，把抽象问题具体化，而初中阶段动点的运动轨迹一般只限于直线运动或圆弧运动，解决路径长问题关键在于确定动点运动的轨迹。
摘要关键词轨迹；运动；路径长；策略路径长问题是近几年中考的热点问题，它设计新颖，内涵丰富，既考查学生的基本画图能力，又考查学生逻辑推理能力。
它的难点在于题目中没有给出具体的动点运动轨迹，而且比较抽象，需要学生思考探究，很多学生对这类问题常常感到无从下手，产生畏难情绪。
为了解决这个问题，教师可以引导学生将动态问题转化为静态问题，寻找路径长问题中不变的量，把抽象问题具体化。
现结合例题探讨动点路径是线段与圆弧这两类问题轨迹的解题策略。
一、追根溯源，探究问题中不变的量教学过程中教师们常常发现学生在审题、析题方面不能抓住重点，遇到疑难问题，不懂得寻求解题的突破口，过度依赖教师的讲解，不能独立思考，学习处于被动状态。
新课程理念倡导以学生为主体，让学生积极、主动地参与课堂的探究活动，学生通过探究获得的解题经验往往比较直观，而且印象深刻，因此，教师传授新知识、新方法时，要让学生有充足的时间探究题目中隐含的条件，寻找解题的关键点，把复杂问题简单化。
学生在探究的过程得出解题经验，既获得成功的体验，又提高自身的综合解题能力。
1.动点到定直线距离保持不变，其轨迹是线段人教版七年级下册数学教科书采用这个例题来讲解无理数π如何在数轴上表示。
如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O′，点O′的数值是___。
这是初中阶段教科书第一次讲解动点的轨迹问题，从图中可以看出O O′的长是这个圆的周长π，所以点O′在数轴上对应的数是π。
教师再让学生思考圆形车轮让乘坐者感觉舒适平稳的原因，学生探究后得出结论：圆心到水平面的距离相等。
例析“动点的路径长”中考压轴题解题策略
冷 的美 丽 ， 因此 ， 这类 问题常是填空题 、 选择题 、 解答题 中 的压轴题 ， 而在解答题 中常是直接写 出动点 的路径长．
一
、
解题 策 略
例１
解析 ： 如 图１ ， 分别延长Ａ Ｅ 、 胶 于点 ， 连接Ｈ Ｄ， 过点
Ｇ 作Ｍ Ｎ ／ ／ Ａ Ｂ 分 疆Ａ Ｈ Ｄ 干 Ｍ Ｍ
因为 △ 咫 和 △ 腥 等边三角形 ，所 以厶４ ＝
ＰＢ＝６ ０。 ． ／ 日＝／ ＥＰ Ａ＝６ ０。 ．
段 型 常用 中位线或垂直平分线等知识解决 ，圆弧 型常利 用“ 有对称性” 和“ ９ ０ 。 的圆周角所对弦是直径” 等知识确定
２ ０ １ ３ 年８ 月
解法探究
例析 “ 动点的路径长 ” 中考压轴题解题策略
⑧ 江 苏 省 淮 安 市 淮 海 中 学 张 建华
著名数学家弗兰登塔尔 曾说 ： “ 从来 没有一种数学 的
圆心和半 径 ； 五计算 ， 常用勾股定理 、 相似三角形等知识进 行 求解 ． 多媒体 的普及 ， 对于数 学教学 的作用是 不容忽视 的， 特别是几何 画板在解决动态问题的作用真是妙不可言 的， 让我们在 图形变化 的过程 中体验 、 把握 、 认知数 学 的 美． 本文例举 近几年 的中考题 进行归类剖析 ， 供２ ０ １ ３ 年 中 考复习教学参考 ， 并试 图用几何 画板 进行 动感体验． 二、 分 类 剖 解
学生对于单一型基本 图形一 般较熟悉 ，用的 比较得
心应手 ； 而对 于复合 型基本 图形 ， 虽然 知道 图形与 结论 ，
中考数学：点动产生路径长问题
中考数学：点动产生路径长问题点动产生的路径长问题近年来，中考和我们同学做的中考模拟试卷中，经常出现因动点计算路径长的问题。
这种题型难以发现，计算比较繁琐，在填空题和选择题中比较多。
只要同学们在做题的过程中发现是这种题型，那么点所经过的路径一般就是两种结果：线段和圆弧。
因为只有这两个图形可以计算路径长，其他图形我们目前还无法计算路径长。
下面我们来看看几种常见的题型。
题型1：简单的图形翻转问题。
解法：这种题型比较简单。
只要找出旋转圆心、旋转时圆的半径和圆心角，然后利用扇形的弧长计算公式来计算。
注意，如果是圆弧旋转的话，圆心的路径是直线。
例题1：一块边长为1的等边三角形的木板，沿水平线翻滚，求B点从开始至结束所走过的路径长度。
试题分析：B点从开始至结束走过了4条弧，每条弧是一等边三角形的边为半径的扇形，圆心角为等边三角形的内角，所以B点从开始至结束所走过的路程长度=4l=点评：本题考查扇形的弧长公式，关键是找出扇形的圆心角和半径，考查学生的空间想象能力。
例题2：矩形ABCD的边AB=8，AD=6，放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A时，顶点A所经过的路线长是多少？题型2：线段型问题也就是路径长是线段，我们会遇到两种情况。
第一种情况是动点始终到某直线的距离是一个定值。
第二种情况需要建立直角坐标系来解决，或者动点与起始时连线始终和某个直线的夹角是一个定值。
第二种情况的难度明显比第一种要大。
例题6：如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边三角形ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是多少？例题7：等边三角形ABC中，BC=6，D、E是边BC上两点，且BD=CE=1，点P是线段DE上的一个动点，过点P分别作AC、AB的平行线交AB、AC于点M、N，连接MN、AP交于点G，则点P由点D移动到点E的过程中，线段BG扫过的区域面积为多少？例题8：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=30，动点P从点B开始沿边BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CA向点A以每秒1个单位长度的速度运动，连接PQ，点P、Q分别从点B、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）。
(完整word版)初中数学动点问题解题技巧Du
动点问题解题技巧以运动的看法研究几何图形部分规律的问题，称之为动向几何问题。
动向几何问题充足表现了数学中的“变”与“不变”的和睦一致，其特色是图形中的某些元素（点、线段、角等）或某部分几何图形按必定的规律运动变化，进而又惹起了其余一些元素的数目、地点关系、图形重叠部分的面积或某部分图形等发生变化，可是图形的一些元素数目和关系在运动变化的过程中却相互依存，拥有必定的规律可寻。
所谓“ 动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 , 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目，着重对几何图形运动变化能力的观察。
解决这种问题的重点是动中求静 , 灵巧运用相关数学知识解决问题 . 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”研究题的基本思路 , 这也是动向几何数学识题中最中心的数学实质。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，经过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来研究与发现图形性质及图形变化，在解题过程中浸透空间看法和合情推理。
这些压轴题题型众多、题意创新，目的是观察学生的剖析问题、解决问题的能力，内容包含空间看法、应意图识、推理能力等。
从数学思想的层面上讲需要具备以下思想：分类议论思想、数形联合思想、转变思想、函数思想、方程思想。
常有的动点问题一、数轴上的动点问题数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。
为了便于对这种问题的剖析，先明确以下 3 个问题：1.数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右侧的数减去左侧的数的差。
即数轴上两点间的距离=右侧点表示的数—左侧点表示的数。
2.点在数轴上运动时，因为数轴向右的方向为正方向，所以向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度。
这样在起点的基础上加上点的运动路程就能够直接获得运动后点的坐标。
即一个点表示的数为 a，向左运动 b 个单位后表示的数为 a—b；向右运动 b 个单位后所表示的数为 a+b。
3．数轴是数形联合的产物，剖析数轴上点的运动要联合图形进行剖析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。
动点路径长解题策略
动点路径长的解题策略智慧锦囊初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：线段或圆弧•在研究此问题时，可以分三步：⑴利用函数描点法大胆猜想：即对目标点描出它的起点、中点、末点时的位置，连接起来，猜想它是什么形状；（2）寻找不变量，严格证实猜想：在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系.如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，则该动点到某个定点的距离始终保持不变•因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点.（3）利用特殊值算出动点路径长动点轨迹往往是直线或者圆的一部分。
①线段。
当动点到某条直线或线段的距离相等时，动点的轨迹很可能是条线段；②当动点是一个固定角的顶点时，轨迹很可能是条弧。
③当动点到某定点的长度一定时，轨迹是一条圆弧.范例点睛例1 （2012张家界）如图1,已知线段AB=6，C、D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD 上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF, G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动路径长度为_________ .例2 （2011湖州）如图，已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点.P（0, m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB延长线于点D •设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交予点E,过点O作直线ME的垂线，垂足为H （如图7）•当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长.本王闯关1. Z O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A B'处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）A.直线的一部分B.圆的一部分C.双曲线的一部分D .抛物线的一部分2. （2013?湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2、. 3的一个定点，AC丄x轴于点M，交直线y= - x于点N .若点P是线段ON上的一个动点，/ APB=30° BA丄PA,则点P 在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 .3. 如图，正方形ABCD的边长为4,点E是BC边的中点，动点P、Q在正方形的边上运动且PQ=4.若点P从点A出发，沿ABE的路线向点E运动,相应的，点Q在DA、AB上运动。
第12讲：运动路径长度问题解析版
第12讲：运动路径长度问题解析版1.《隐圆模型》2.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”3.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”4.《旋转问题》—旋转相似模型5.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上6.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上7.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半8.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例9.两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等一、路径为圆弧型解题策略：①作出隐圆，找到圆心②作出半径，求出定长二、路径为直线型解题策略：①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可三、路径为往返型解题策略：①通常为《主从联动模型》的衍生版②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化③找出动点运动的最远点【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，△AOB＝90°，OA＝，△O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．解题标签：《共顶点模型》中的旋转相似、《隐圆模型》中的动点定长模型、《主从联动模型》【解析】如图，连接OP，AQ，设△O与AB相切于C，连接OC，则OC△AB，△OA＝OB，△AOB＝90°，OB＝，△AB＝2，OP＝OC＝AB＝，△△ABO和△QBP均为等腰直角三角形，△＝，△ABO＝△QBP＝45°，△＝，△ABQ＝△OBP，△△ABQ△△OBP，△△BAQ＝△BOP，＝，即＝，△AQ＝，又△点P在弧MN上由点M运动到点N，△0°≤△BOP≤90°，△0°≤△BAQ≤90°，△点Q的运动轨迹为以A为圆心，AQ长为半径，圆心角为90°的扇形的圆弧，△点Q运动的路径长为＝，【例题2】已知△O，AB是直径，AB＝4，弦CD△AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A．πB．C．πD．2【分析】解题标签：“定边对直角”确定隐圆模型【解析】作DQ△AC于Q，如图，当P点在C点时，F点与Q重合；当P点在B点时，F点与E点重合，△△AFD＝90°，△点F在以AD为直径的圆上，△点F运动的路径为，△弦CD△AB且过OB的中点，△OE＝OD，CE＝DE＝，AC＝AC＝2，△△DOE＝60°，△△DAC＝60°，△△ACD为等边三角形，△MQ和ME为中位线，△MQ＝，△QME＝60°，△F运动的路径长度＝＝．故选：A．【例题3】如图，已知扇形AOB中，OA=3，△AOB=120°，C是在上的动点．以BC 为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型、主从联动模型【解析】如图所示，易得点D的运动轨迹的长为=2 π．【例题4】等边三角形ABC的边长为2，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE ＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）△APB的度数；（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值．【解析】（1）△△ABC为等边三角形，△AB＝AC，△C＝△CAB＝60°，又△AE＝CF，在△ABE和△CAF中，，△△ABE△△CAF（SAS），△AF＝BE，△ABE＝△CAF．又△△APE＝△BPF＝△ABP+△BAP，△△APE＝△BAP+△CAF＝60°．△△APB＝180°﹣△APE＝120°．（2）如图1，△AE＝CF，△点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且△ABP＝△BAP＝30°，△△AOB＝120°，又△AB＝2，△OA＝2，点P的路径是l＝＝＝；（3）如图2，△AE＝CF，△点P的路径是一段弧，△当点E运动到AC的中点时，CP长度的最小，即点P为△ABC的中心，过B作BE′△AC于E′，△PC＝BE′，△△ABC是等边三角形，△BE′＝BC＝3，△PC＝2．△CP长度的最小值是2．方法二：由图1可知，CP最小值等于CO减OA，OA就是那圆弧的半径，可得PC的最小值为2．【例题5】已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若△AEP＝△BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为4﹣3．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H．△△APE和△PBF都是等腰三角形，且△AEP＝△BFP△△A＝△FPB，△AH△PF，同理，BH△PE，△四边形EPFH为平行四边形，△EF与HP互相平分．△M为EF的中点，△M为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，所以M的运行轨迹为三角形HCD的中位线QN．△CD＝AB﹣AC﹣BD＝8﹣6，△QN＝CD＝4﹣3，即M的移动路径长为4﹣3．故答案是：4﹣3．【例题6】．已知线段AB＝10，P是线段AB上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE 和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为5．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H，△△A＝△FPB＝60°，△AH△PF，△△B＝△EP A＝60°，△BH△PE，△四边形EPFH为平行四边形，△EF与HP互相平分．△G为EF的中点，△G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．△MN＝AB＝5，即G的移动路径长为5．故答案为：5【例题7】如图，AB为△O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．【解析】连接BQ，如图，△AB为△O的直径，△△APB＝90°，△AP•AQ＝AB2．即＝，而△BAP＝△QAB，△△ABP△△AQB，△△ABQ＝△APB＝90°，△BQ为△O的切线，点Q运动的路径长为切线长，△弧AC的度数是60°，△△AOC＝60°，△△OAC＝60°，当点P在C点时，△BAQ＝60°，△BQ＝AB＝3，即点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．故答案为3．【例题8】．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:ED＝1:2．动点P 从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF△PE交射线BC于点F．设点M 是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为________．【答案】4【解析】如图所示：过点M作GH△AD.△AD△CB，GH△AD，△GH△BC.在△EGM和△FHM中，△△EGM△△FHM.△MG=MH.△点M的轨迹是一条平行于BC的线段当点P与A重合时,BF1=AE=2，当点P与点B重合时,△F2+△EBF1=90△,△BEF1+△EBF1=90△，△△F2=△EBF1.△△EF1B=△EF1F2，△△EF1B△△△EF1F2.△ ，即△F1F2=8，△M1M2是△EF1F2的中位线，△M1M2= F1F2=4.故答案为：4.【例题9】．正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥P A交CD 边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（）A．2B．1C．4D．【解析】如图，连接AC，设AC的中点为O′．设BP的长为xcm，CQ的长为ycm．∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°∵PQ⊥AP，∴∠APB+∠QPC＝90°∠APB+∠BAP＝90°∴∠BAP＝∠QPC∴△ABP∽△PCQ∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1（0＜x＜4）；∴当x＝2时，y有最大值1cm．易知点M的运动轨迹是M→O→M，CQ最大时，MO＝CQ＝，∴点M的运动轨迹的路径的长为2OM＝1，故选：B．经典练习：1.如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是8﹣12．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】△当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A△y轴，点C运动的路径长是CC′的长，△AC′＝OC＝8，△AC′△OB，△△AC′O＝△COB，△cos△AC′O＝cos△COB＝＝，△＝，△OC′＝4，△CC′＝4﹣8；△当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，CC′＝OC′﹣BC＝4﹣4，综上所述，点C运动的路径长是：4﹣8+4﹣4＝8﹣12；故答案为：8﹣12．2.如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（）A．2B．2C．D．5【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】建立如图坐标系．设OB＝t，则OA＝5﹣t，∴B（t，0），A（0，5﹣t），∵AP＝PB，∴P（，），令x＝，y＝，消去t得到，y＝﹣x+（0≤x≤），∴点P的运动轨迹是线段HK，H（0，），K（，0），∴点P的运动路径的长为＝，故选：C．3.如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．【解析】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．△AC＝BC＝，△ACB＝90°，△AB＝＝2，△OP＝AB＝1，△CM＝MP，CK＝OK，△MK＝OP＝，△当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，长为半径的半圆，△点M运动的路径长＝•2•π•＝，故答案为．4.如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C右侧），且满足△COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过的路径长为________．【答案】解：点C从点A运动到点D与点B从何时，AD与BC的相点P运动的轨迹是一条弧，C,D 两点运动到恰好是半圆的三等分点时，AD与BC的相点P是弧的最高点，作AP,BP的中垂线，两线交于点E，点E是弧APB的圆心；由题意知：AD=BD，△PAB=△PBA=30°,连接AE,DE，根据圆的对称性得出A、O、E三点在同一直线上，易证△ADE是一个等边三角形，△AED=60°,在Rt△ADO中，△DOA=90°,△PAB=30°,AO=1,故AD=,△AE=AD=弧APB的长度==。
运用“三点法”求解动点路径长问题
运用“三点法”求解动点路径长问题初中数学中动点路径问题，一般有两种情况:线段或圆弧.本文提出一种求动点路径长的方法——三点法，“三点”指动点的起点，终点与过程点.该方法分为三步:(1)精准作图，运用刻度尺，圆规及量角器等工具作出位置较为精准的“三点”.(2)大胆猜测，若“三点”共线，则动点路径为线段;若“三点”不共线，则动点路径为圆弧.(3)小心验证，根据画出的“三点图”，运用相似三角形、“定角定长定圆”等方法对猜想进行严格的证明.一、知识准备1、基本概念如图1，在Rt ABC ∆中，6,8AC BC ==，90C ∠=︒.点P 是边AB 上一动点，点D 是AC 延长线上的一个定点，连结PD ，过点D 作DE PD ⊥，连结PE ，且2ta n 5D PE ∠=，当点P 从点A 运动到点B 时，点E 运动的路径长为 .在图1中，点P 是“主动”在边AB 上开始动的点，称为“主动点”;点E 是跟着点P 在运动的点，称为“从动点”.又点P 从点A 运动到点B ，当点P 与点A 重合时记作点1P ，称为“主动点的起点”，此时1E 称为“从动点的起点”，此时作出符合要求的图形(如图2)，称该图为“起点图”;当点P 与点B 重合时记作点2P ，称为“主动点的终点”，此时2E 称为“从动点的终点”，作出符合要求的图形(如图3)，称该图为“终点图”.区别于起点1P ，终点2P ，将图1中的点P 称为“主动点的过程点”，此时E 称为“从动点的过程点”，相应地把图1称为“过程图”.将起点图，终点图，过程图放在同一个图形中，将这个图形称为“三点图”(如图4).2、定角定长定圆固定度数的角对着固定长度的线段时隐含着一个固定大小的圆，此时定线段为定圆的一条弦，定角为弦所对的一个圆周角.引例1 如图5，线段4AB =，点C 是平面上的一个动点，使90ACB ∠=︒，作出点C的运动路径.由“90º角所对的弦是直径”可以得到点C 的运动路径是以AB 为直径的圆，且不与点A 、点B 重合(如图6).引例2 如图7，线段4AB =，点C 是平面上的一个动点，45ACB ∠=︒，作出顶点C 的运动路径.当点C 位置不同时，ACB ∠度数不变，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”，可以将ACB ∠看作弦AB 所对的一个圆周角，圆心O 必在弦AB 的垂直平分线上，且290AOB ACB ∠=∠=︒，计算可得半径OA =所以，点C 的运动路径是优弧ACB ，且不与点A 、点B 重合(如图8).引例3 如图9，线段4AB =，点C 是平面上的一个动点，120ACB ∠=︒，作出顶点C 的运动路径.作出ACB ∠的补角'AC B ∠为60º，'AC B ∠的位置不同时度数为定值.类比引例2，可将'AC B ∠看作弦AB 所对的一个圆周角，圆心O 必在弦AB 的垂直平分线上，且2'120AOB AC B ∠=∠=︒，计算可得半径OA =.在所以点C 的运动路径是劣弧»AB ，且不与点A 、点B 重合(如图10).二、方法归纳例l 如图11，在R t A B C ∆中，6,8AC BC ==，90C ∠=︒.点P 是边AB 上一动点，点D 是AC 延长线上的一个定点，连结PD ，过点D 作DE PD ⊥，连结PE ，且2tan 5DPE ∠=，当点P 从点A 运动到点B 时，点E 运动的路径长为 .1.精准作图因为2tan 5DPE ∠=，所以通过计算很难得到DPE ∠的度数(不借助计算器)，但可以运用量角器测量图12中22DPE ∠≈︒.在图11的基础上，先作起点图.当点P 与点A 重合时记作点1P ，在图中作出122DPQ ∠=︒(如图12)，过点D 作11DE PD ⊥交射线AQ 于点1E (如图13).当点P 与点B 重合时记作点2P ，运用类似的方法在图13的基础上作出终点图，并去掉多余部分，得到一幅完整的三点图(如图14).2、大胆猜测通过三点图发现点1E ，点E ，点2E 基本在一条直线上(如图14)，所以可以大胆的猜测点E 的运动路径是一条线段，点E 运动的路径长就是线段12E E 的长度.于是提出猜想一“在三点图中，从动点的起点，终点，过程点三点共线时，从动点的运动路径为线段”.在三点图中，从动点的起点，终点，过程点三点不共线时，就初中数学而言，不共线的三点确定一个圆，这里提出猜想二“在三点图中，从动点的起点，终点，过程点三点不共线时，从动点的运动路径为圆弧”.当运动路径为圆弧时，考虑寻找固定度数的角与固定长度的线段，运用“定角定长定圆”的方法作出运动路径.3.小心验证在图15中，因为1190E DE PDE ∠+∠=︒，1190PDP PDE ∠+∠=︒， ∴11PDP E DE ∠=∠. 又∵1125DE DE DP DP ==， ∴11E DE PDP ∆∆:， ∴11DEE DPP ∠=∠.同理22E DE P DP ∆∆:，可得22DEE DPP ∠=∠.又∵12180DPP DPP ∠+∠=︒，∴12180DEE DEE ∠+∠=︒.∴点1E ，点E ，点2E 三点共线.∵121290E DE PDE ∠+∠=︒，121290PDP PDE ∠+∠=︒，∴1212PDP E DE ∠=∠. ∵121225DE DE DP DP ==， ∴1212E DE PDP ∆∆:， ∴121225E E PP =.∵1210PP =，∴124E E =.通过上述论证得到结论一:“当主动点在一条线段上运动，从动点也在一条线段上运动时，主动点的起点、终点、某个定点构成的三角形和从动点的起点、终点、某个定点构成 的三角形相似”.因此可以先求出主动点的运动路径长再乘以相似比得到从动点的运动路径长.三、运用求解例2 如图16，在R t C O D ∆中，90COD ∠=︒，2OC OD ==，以O 为圆心，AB 为直径的圆经过点C ，点D .连结,AD BC 相交于点P ，将Rt COD ∆从OA 与OC 重合的位置开始，绕着点O 顺时针旋转90º，则交点P 所经过的路径长是 .在图16的基础上先作起点图，当点C 与点A 重合时记作点1C ，此时点D 在点1D ，位置，1BC ，1AD ，交于点1P ，此时点1P ，与点A 重合(如图17).再作终点图，此时点C 与点1D 重合记作点2C ，点D 与点B 重合记作点2D ，2AD 与2BC 交于点2P ，点2P 与点B 重合(如图18).通过三点图，发现点1P ，点P ，点2P 三点不共线，考虑从动点的运动路径为圆弧，但需要运用“定角定长定圆”的方法加以证明.在PAB ∆中，4AB =为定长，因为90COD ∠=︒，所以90COA DOB ∠+∠=︒，又“同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半”， 得到190452CBA DAB ∠+∠=⨯︒=︒，所以135APB ∠=︒为定角.所以点P 在以4AB =为弦，135APB ∠=︒为圆周角的定圆上运动.类比引例2，APB ∠的补角'45AP B ∠=︒也为定角，可将'AP B ∠看作弦AB 所对的一个圆周角，圆心'O 必在弦AB 的垂直平分线上，且2'90AOB AP B ∠=∠=︒.又因为“直径所对的圆周角为90º”，所以'O 是弦AB 的垂直平分线与圆O 的一个交点所以半径'O A =所以点P 的运动路径是劣弧AB (如图19)，根据弧长公式得到90180l π︒⨯==︒. 通过上述论证可以发现，主动点1C ，点2C 与点O 构成的扇形12C OC 圆心角为90º，半径为2;从动点1P ，2P 与点0构成的扇形12POP 的圆心角为90º，半径为因为两个扇形的圆心角都为90º，所以扇形12C OC :扇形12POP ，相似比为，因此扇形的弧长之比也为1.主动点C 的运动路径长为1902180l ππ︒⨯==︒，故从动点P 的运动路径长为l =.于是得到结论二：“当主动点在一条圆弧上运动，从动点也在一条圆弧上运动时，主动点的起点、终点、某个定点构成的扇形和从动点的起点、终点、某个定点构成的扇形相似”.因此，可以先求出主动点的运动路径长再乘以相似比得到从动点的运动路径长.。
(完整word版)初一数学动点问题答题技巧与方法
初一数学动点问题答题技巧与方法重点：化动为静，分类议论。
解决动点问题，重点要抓住动点，我们要化动为静，以不变应万变，找寻破题点（边长、动点速度、角度以及所给图形的能成立等量关系等等）成立所求的等量代数式，攻破题局，求出未知数等等。
动点问题定点化是主要思想。
比方以某个速度运动，设出时间后即可表示该点地点；再如函数动点，尽量设一个变量， y 尽量用 x 来表示，能够把该点当作动点，来计算。
步骤：①绘图形；②表线段；③列方程；④求正解。
数轴上动点问题问题引入：如图，有一数轴原点为O，点 A 所对应的数是﹣1，点A沿数轴匀速平移经过原点抵达点 B ．（1）假如 OA=OB ，那么点 B 所对应的数是什么？（2）从点 A 抵达点 B 所用时间是 3 秒，求该点的运动速度．（3）从点 A 沿数轴匀速平移经过点 K 抵达点 C，所用时间是 9 秒，且 KC=KA ，分别求点K 和点 C 所对应的数．练习：1.动点 A 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点 B 也从原点出发向数轴正方向运动，秒后，两点相距15 个单位长度．已知动点 A 、 B 的速度比是1： 4 （速度单位：单位长度秒）．（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出 A 、B 两点从原点出发运动 3 秒时的地点；（2）若 A、 B 两点从（ 1）中标出的地点同时向数轴负方向运动，几秒时， A 、 B 两点到原点的距离恰巧相等？3 /例题精讲：例 1．已知数轴上有A 、 B、 C三点，分别代表 -24， -10， 10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位 /秒。
⑴问多少秒后，甲到 A 、 B、 C的距离和为 40个单位？⑵乙的速度为 6个单位 / 秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从 A 、 C两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？⑶在⑴⑵的条件下，当甲到 A 、 B、 C的距离和为 40个单位时，甲调头返回。
寻找通法,举一反三——一道关于动点路线长的解题探索
寻扶通法，举一辰三一道关于动点路线长的解题探索□吉林大学附属中学程国庆如图①，已知线段佔长为12,点C、D在线段佔上，且4C==2.动点P 从点C出发沿线段CD向点。
移动（移动到点D停止），分别以4P、BP为斜边在线段同侧作等腰宜角三角形AEP和等腰直角三角形BFP.设EF的中点为G,直接写出整个运动过程中,点G移动的路径长.这是最近几年很流行的求动点经过的路径长问题,解决这样问题的基本思路是先确定动点经过的路径的形状（是直线型还是曲线型），然后再通过起始点与结束点的位置计算出路径长即可.如图①，取4P和的中点M、N,连结GM、GN.（为方便,我们先隐去无关紧要的点C、D）.GM是梯形4PFE的中位线,.-.MG//PF且MG=|（AE+PF）.同理NG〃EP且GN=|（PE+BF）.图①又V AAEP和ZkBFP是等腰直角三角形,:.MG=NG且MG丄NG.•••MP=^AP,NP=*BP,MN=^-AB..•.△GMN是一个随P点运动而运动的形状和大小不变的等腰直角三角形.•••G经过的路径是一条线段.如图②，作EM丄,GH丄AB,FN丄AB,垂足分别是M、H、N,则GH//EM//FN.•••G是EF的中点，GH是梯形EMNF的中位线.;.GH=*（EM+FN）.又v AAEP和是等腰直角三角形，.\EM=^AP,FN=^PB..-.EM+FN=^AB.:.gh=\ab.4•••点G经过的路径是一条平行于的线段.如图③，建立如图所示的平面直角坐标系，设点P的坐标是（t,0）,由方法2可以写出点G的坐标（|+3,3）,从而可以判断出点G经过的路径是一条线段,又2W/W8,G的起始点是（4,3）,终止点是（8,3）,/.点G经过的路径长是4.我们将这道题寻根溯源,找到它的母题,进一步把它推广•（为方便,我们隐去无关紧要的C、D）.由于等腰Rt AAEP和等腰BtABFP虽然是运动变化的,但是4、B两点是不动点,EF两点运动的方向也是不变的,这就让我们想到延长血、霸,它们的交点是一个不动点，我们不妨记为点Q,如图④•因为Rt/\AEP和等腰Rt形状是相似的，总有两组边是平行的,就出现了平行四边形QEPF,连结PQ，点G恰好是平行四边形QEPF的对角线的交点,这样就把问题归结为最为简单的情形,即P是线段上的一个动点,Q是直线佃外一点，当点P从4运动到B时,PQ的中点G运动的路图④图⑤径有多长的最简单的问题•如图⑤，是三角形中位线的基本图形,G点经过的路线和P点经过的路线是平行的，且点G经过的路径长是P点运动路径长的一半•于是，前面的问题迎刃而解.我们找到了这道题的母题，那么就可以在这个基础上生发和提炼，举一反三,解决类似的问题•请尝试用上面的方法解答下面的问题：练习1：P是线段佃上的动点，以AP、PB为边在AB同侧作等边ZUEP和等边设EF的中点为G,直接写出整个运动过程中,点G移动的路径的长练习2：P是线段AB上的动点，以为边在的同侧作正方形APME和正方形PEVF设衣啲中点为G,直接写出整个运动过程中,点G移动的路线的长我们可以进一步猜想：1.P是线段佃上的动点，以SP、PB为边在佔同侧作两个正"边形，设E、F为两个正"边形的相对应顶点,EF的中点为G,能否直接写出整个运动过程中点G移动的路线的长？2.P是线段AB上的动点,以为边在同侧作相似的ZUEP和△BFP.设貯的中点为G,能否宜接写出整个运动过程中点G移动的路线的长？小结:找到不动点Q,点G和点P经过的路径是位似的关系,点Q恰好是位似中心;如果从方程与曲线的角度来讲，动点P在曲线£上运动,Q是定点，线段PQ上某一分点运动的轨迹是曲线Z的伴随曲线,它们的形状是一样的,表达式也具有相关性.。
“动点运动路径长”问题的求解方略
＿ Ａ ３ Ｐ刚 ＝ ３ ＿ Ｐ Ｂ
，
．
【 问题 ４ 】 如图 ４ — １ ， 点 Ｍ、 Ｎ是 边长 为 ４ 的正 三角形 Ａ Ｂ Ｃ边
．
・
ＥＭ ＋ ＦＮ ：
Ａ Ｂ、 ＡＣ上的动点 ， 且满足 ： 将 ＡＡ ＭＮ沿 ＭＮ折叠使 Ａ点恰好落在 Ｂ Ｃ边上 Ｄ点处。问当 Ｄ从 Ｂ移动 到 Ｃ的过程 中， 点 Ⅳ随之运动 的总路径长为多少？
Ｇ （ 如图３ － ２所 示） ， 关键 是如何说 明理 由。 其他边上运动时中点 运动的路径也是 圆弧 ， 四段 圆弧 的总长 即 位线 Ｇ。 简解 ： 易求点 Ｇ 。 （ ３ ． ５ ， ２ ） ， Ｇ （ ２ ． ５ ， ０ ） ． ＿ ． 线段 Ｇ Ｇ 的解 析式 为 个半径为 １ 的圆周长。． ・ ． 路 径 总 长＝ ２ ＇ ｎ ＇ ｘ ｌ ＝ ２ ＂ ａ － 。
由 题 （ １ ） 点ｐ （ ５ 一 ｔ ， ０ ） ， Ｑ （ ２ ＋ ÷￡ ， ４ 一 ） ． ・ ． 尸 Ｑ 中 点Ｇ 的 坐 标 为
ｆ 、 ＝ １ ０
・ ． ’
侧 的两个等边三角形 ， Ｇ为线段 Ｅ Ｆ的中点。 当点 Ｐ从点 ｃ移动 到 点 Ｄ时 ， 点 Ｇ 移 动 的路 径 长 为 多 少 ？
－ ． 点 Ｇ运动的路径是一条平行于 曰的线段 。易求当点 Ｐ与 段Ｅ Ｆ的 两 端 放 在 正方 形 相 邻 的两 边 上 同 时 滑 动 。如 图 点 Ｅ从 Ａ 变 。． Ｈ＝ ２ ， 当点 Ｐ与点 Ｄ重合时 ＡＨ ＝ ４ 。 出发 ，沿 图 中所 示 方 向按 Ａ一 曰 一Ｃ —Ｄ — 滑 动 到 点 Ａ 为止 ， 同 点 Ｃ重合时 Ａ
时 点 Ｆ从 点 Ｂ 出发 ， 沿 图 中所 示 方 向按 曰 一Ｃ 一 Ｄ — ＋ Ａ — Ｂ滑 动 到
例谈如何解一类_动点运动路径长_问题_马先龙
槡 2 1 1 1例谈如何解一类“动点运动路径长”问题■ 马先龙摘要: 解答中考题时，经常会碰到解“动点运动路径长”问题． 实际解题时，若能先灵活运用“等距法”探究动点轨迹，确定路径，然后通过计算求其长，则能比较顺利地解决问题，本文通过举例说明．关键词:动点; 等距法; 路径长 解答中考题时，经常会碰到一类以动三角形为载 体的“动点运动路径长”问题． 此类问题因综合性较强，考查的知识点较多，加上动点的运动路径又不明 显，因而解答时颇有难度，常常让答题者望而生畏． 实际解题时，若能先灵活运用“等距法”探究动点轨迹， 确定路径，然后再通过计算求其长，则能比较顺利地解决问题． 现举例说明，供读者参考．⊥ C A 交 C A 的延长线于点 M ，作 O N ⊥ B C 于点 N ，则易证 O M = O N ，所以点 O 在∠A C B 的平分线 C O 上运动，从而，点 O 的运动路径为线段，接下来通过计算易求其长．解: 如图 1，因为 △A O P 是等腰直角三角形，所以 O A = O P ，∠A O P = 90°． 连接 C O ，过点 O 作 O M ⊥ C A 交 C A 的延长线于点 M ，作 O N ⊥ B C 于点 N ，则 ∠O MC = ∠O N C = ∠O N P = 90°，又因为∠MC N = 90°，所以 ∠O MC = ∠O N C = ∠MC N = 90°，所以四边形 CM O N 是矩形，所以 ∠M O N = 90°，所以 ∠A O M + ∠A O N =∠P O N + ∠A O N = 90° ，所以 ∠A O M = ∠P O N ． 在∠O M A = ∠O N P = 90° 一、动点的运动路径为一条线段 例 1( 2018 年四川达州市中考) 如图 1，△AOM 和 △PON 中 ， ∠AOM = ∠PON OA = OP，所以Ｒt △A B C 中，∠C = 90°，A C = 2 ，B C = 5，点 D 是 B C 边上一点且 C D = 1，点 P 是线段 DB 上一动点，连接 A P ，以 A P 为斜边在 A P 的下方作等腰 Ｒt △A O P ． 当 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径长为．△A O M ≌ △P O N ( AA S ) ，所以 O M = O N ，所以点 O 在 ∠A C B 的平分线C O 上运动． 如图2，分别作出动点O 的始末位置点 O 1、O 2，则线段 O 1O 2 就是动点 O 的运动路径． 过点 O 1 作 O 1M 1 ⊥ A C 于点 M 1，作 O 1N 1 ⊥ B C 于点 N 1，过点 O 2 作 O 2M 2 ⊥ C A 交 C A 的延长线于点 M 2，作 O 2N 2 ⊥ B C 于点 N 2，由上，易知四边形 CM 2O 2N 2 是矩 形，△A O 2M 2 ≌ △BO 2N 2( AA S ) ，所以 O 2M 2 = O 2N 2， A M 2 = B N 2，所以四边形 CM 2O 2N 2 是正方形，所以 CM 2 = C N 2，所以 CM 2 － A C = B C － CM 2，所以 CM 2 = 1 ( AC + BC ) = 1 × ( 2 + 5) = 7 ，所 以 CO =2 2 2 2图 1图 22 CM = 7 槡2． 同理，可得四边形 CM O N 是正方形， 2 CM = 1 ( A C + C D ) = 1 × ( 2 + 1) = 3，C O = 分析:本题中等腰Ｒt △AOP 的顶点 A 固定，顶点 P在线段 DB 上运动，顶点 O 随之运动． 依题意，可先用 1 2 CM 2 = 3 槡2 ，所以 O O 2 = CO － CO 2= 7 槡2 1－3 槡2 “等距法”探究动点 O 轨迹，确定路径，后求其长． 如图 槡 1 2 1 2 2 1 2 2 1，由条件，易知 O A = O P ，∠A O P = 90°，过点 O 作 O M= 2 槡2 ，所以点 O 的运动路径长为 2 槡2 ．作者简介: 马先龙( 1966 － ) ，男，江苏淮阴人，本科，中学高级教师，主要从事初中数学教学研究·30·评注: 本题考查了动点的运动轨迹，考查了等腰直角三角形的性质，考查了全等三角形的判定和性质，考查了矩形、正方形的判定和性质，考查了角平分线的判定，考查了构造图形法、等距法等数学思想方法的运用［1］． 在探究动点轨迹时，充分抓住等腰 Ｒt △A O P 两腰相等且夹角为直角等重要条件，通过作垂线段构造全等三角形，得到动点 O 到定角 ∠ACB 两边的距离相等这一事实，从而由数量关系引发位置关系，推得动点 O 一定在 ∠ACB 的平分线上运动，进而获得动点的运动路径为一条线段． 接下来，作出动点的始末位置点， 根据图形和已知条件计算路径长则比较容易了．例 2 ( 2018 年湖北荆门市中考) 如图 3，等腰Ｒt △A B C 中，斜边A B 的长为2，O 为A B 的中点，P 为A C 边上的动点，OQ ⊥ O P 交 B C 于点 Q ，M 为 P Q 的中点， 当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M 所经过的路径长为( )( A) 槡2 π ( B) 槡2 πBC 的中点，则 M 1、M 2 也分别是动点 M 的始末位置点， 所以线段 M 1M 2 就是动点 M 的运动路径． 在△ABC 中， 因为 M 1M 2 是 △A B C 的中位线，A B = 2，所以 M 1M 2 =1A B = 1，所以动点 M 所经过的路径长为 1，所以选 2( C) ．评注: 本题考查了动点的运动轨迹，考查了等腰直角三角形的性质，考查了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一重要定理，考查了线段垂直平分线的判定，考查了三角形的中位线定理，考查了构造图 形法、等距法等数学思想方法的运用． 在探究动点轨迹时，充分抓住了点 M 既为Ｒt △OPQ 斜边 PQ 的中点，又为 Ｒt △PCQ 斜边 PQ 的中点这一重要条件，通过运用直角三角形关于斜边上中线的性质定理，得到动点 M 到定线段OC 两端的距离相等这一事实，从而由数量关系引发位置关系，推得动点 M 一定在线段 CO 的垂直平分线上运动，进而获得动点的运动路径为一条线段． 接下来，根据动点的始末位置，计算路径长唾手可得．4 2 ( C) 1 ( D) 2图 3 图 4分析: 本题中Ｒt △POQ 的顶点O 固定，顶点P 在线段 A C 上运动，P Q 的中点 M 随之运动． 依题意，可先用 “等距法”探究动点 M 轨迹，确定路径，后求其长． 如图 3，连接C O ，M O ，MC ，由题意，易证M O = MC ，所以点M 一定在线段 CO 的垂直平分线上运动，从而推得点 M 的运动路径为线段，接下来通过计算易求路径长．解: 如图 3，连接 C O ，M O ，MC ． 因为 △A B C 是等腰直角三角形，所以 A C = B C ，∠A C B = 90°． 因为 OQ ⊥ O P ，所以∠P OQ = 90°． 在Ｒt △P OQ 与Ｒt △P C Q 中，因为 ∠P OQ = ∠A C B = 90°，M 为 P Q 的中点，所以 M O= MC = 1P Q ，所以点 M 在线段 C O 的垂直平分线 E F2 上运动． 如图 4，在等腰 Ｒt △A B C 中，因为 A C = B C ，O 为 A B 的中点，所以 C O ⊥ A B ，设 M 1、M 2 分别是边 A C 、 二、动点的运动路径为两条( 往返) 线段 例3 ( 2019 年浙江嘉兴市中考) 如图 5，一副含 30° 和45° 的直角三角板 ABC 和 EDF 拼合在一个平面上，边 A C 与 E F 重合，A C = 12 c m ． 当点 E 从点 A 出发沿 AC 方向滑动时，点 F 同时从点 C 出发沿射线 BC 方向滑动． 当点 E 从点 A 滑动到点 C 时，点 D 运动的路径长为c m ．槡 分析: 本题中等腰 Ｒt △DEF 的三个顶点都在运动，其中顶点 E 、F 限制在两条互相垂直的线段上滑动， 等腰 Ｒt △DEF 在运动中形状、大小都保持不变． 依题意，可先用“等距法”探究动点 D 轨迹，分类讨论，确定路径，后求其长． 如图 6，由条件，易知 DE = DF ， ∠E D F = 90°，过点 D 作 D G ⊥ A C 于点 G ，作 D H ⊥ B C 交直线 B C 于点 H ，则易证 D G = D H ，所以动点 D 在 △ABC 的外角∠ACH 的平分线上运动． 依题意，动点 D的运动路径为两条( 往返) 线段，接下来通过计算易求路径长．解: 如图 6，过点 D 作 D G ⊥ A C 于点 G ，作 D H ⊥ B C 交直线 B C 于点H ，则∠D G E = ∠D G C = ∠D H C = 90°，又因为 ∠A C B = 90°，所以 ∠G C H = 90°，所以 ∠D G C = ∠G C H = ∠D H C = 90°，所以四边形 C G D H 是矩形，所以∠G D H = 90°，又因为△E D F 是等腰直角三角形，所以 D E = D F ，∠E D F = 90°，所以 ∠E D G + ∠GDF = ∠FDH + ∠GDF = 90°， 所 以 ∠EDG = ∠F D H ． 在 △E D G 和 △F D H 中，∠D G E = ∠D H F = 90°， 6槡2，所以点 D 运动的路径长为2D 1D 2 = ( 24 － 12槡2) c m ． 评注: 本题考查了动点的运动轨迹，考查了等腰直角三角形的性质，考查了全等三角形的判定和性质，考查了矩形、正方形的判定和性质，考查了角平分线的判定，考查了构造图形法、等距法、特殊位置法、分类讨论 法等数学思想方法的运用． 在探究动点轨迹时，充分抓住等腰 Ｒt △DEF 两腰相等且夹角为直角等重要条件， 通过作垂线段构造全等三角形，得到动点 D 到定角( ∠ACB 的外角) 两边的距离相等这一事实，从而由数量关系引发位置关系，推得动点 O 一定在 △ABC 的外角∠ACH ( 如图7) 的平分线上运动． 对于本题，由于等腰 Ｒt △DEF 的顶点 E 、F 限制在两条互相垂直的线段上滑动，而等腰 Ｒt △DEF 在运动中形状、大小都保持不变，因而导致动点 O 的运动路径为两条( 往返) 线段． 一旦弄清动点 O 的运动路径，计算路径长则立刻变得简单了． 本题对动点 O 运动路径的确定是难点，突破难点的关键是运用动中求静，静中求动的思想，多画几 种动点在不同状态下的图形，从而易获得特殊位置图形，对路径作出正确的判断和分类．∠EDG = ∠FDH DE = DF，所 以 △EDG ≌“解题，就好像游泳一样，是一种实际技能． 当你学习游泳时，你模仿其他人的手足动作使头部保持在水 △F D H ( AA S ) ，所以 D G = D H ，所以动点 D 在 △A B C 的外角 ∠A C H 的平分线上运动． 如图 7，当点 E 沿 A C 方向滑动，使等腰直角三角的板的边DE ⊥ AC 时，作出动点 D 从开始到此时的始末位置点 D 2、D 1，则在这一过程中动点 D 沿线段 D 1D 2 向斜上方方向运动，运动路径为线段 D 1D 2; 如图 8，当点 E 接上一过程沿 A C 方向继续滑动，使等腰直角三角板的斜边 EF 正好落在直线BC 上时，作出动点 D 的始末位置点 D 1、D 2 则在这一过程中动点 D 沿线段 D 2D 1 向斜下方方向运动，运动路径为线段D 2D 1． 如图5，因为等腰直角三角板E D F 的斜边E F = A C = 12 c m ，所以 D E = D F = 槡2E F = 6 2 c m ．2 如图7，易知C D 1 = 6槡2 ，四边形 C E 2D 2F 2 是正方形，从而 C D 2 = E 2F 2 = 12，所以 D 1D 2 = C D 2 － C D 1 = 12 －面上，并最后通过实践来学会游泳． 当试图解题时，你也必须观察并模仿其他人在解题时的行为，并且最后通过实践来学会解题［2］”． 对典型的中考题进行归类解析，可以帮助学生学会模仿、探究、思考，不断感受基 本的数学思想和方法，积累解题经验，从而领会数学的精髓、奥妙，增强解题信心，学会“游泳”，学会解题． 参考文献:［1］ 罗增儒． 数学解题学引论［M ］． 西安: 陕西师范大学出版社，2001． ［2］ 波利亚． 怎样解题［M ］． 上海: 上海科技教育出版社，2007． ［江苏省淮安市淮阴区开明中学( 223300) ］。
探析求动点路径长的策略
2020年9月10日理科考试研究•数学版• 13 •所以点M 即原点(0,0) , A COB - zMCD.则厶 OCB =厶 CAD ；当点B 为直角顶点时，因为有厶OCB=厶CAD,所 以只要寻=孝=鬻=密L 就行，解得m = - *AC 迈 CB 炉7? 3或m=*(舍去)，所以点M 为(0, -*).说明本题通过定直角顶点的对应入手,借数形特点解答.参考文献：[1] 秦旭东•借线段平移解题举例[J].中学生数学.2014 (12) ：14 -16.[2] 武泽涛.中考试题研究・数学：配陕西地区使用[M].西安:陕西科学技术出版社,2018.[3] 陕西省教育厅教学研究室.陕西省2017年初中毕业学业考试说明[M].西安:陕西师范大学出版社,2017.(收稿日期：2020 -03 - 18)探析求动点路径长的策略王长平(兴化市唐刘学校江苏泰州225700)摘要：求动点路径的长是初中数学教学的难点.本文阐释了判断动点轨迹是线段和弧的方法.动点到某定直线的距离是一个定值、动点轨迹与某定直线的夹角为定值、动点运动轨迹恰好在某个一次函数的图象上，这三种情况下其轨迹是一条线段；动点到某个定点的距离不变、动点在以某定线段为直径的圆上、动点与某条定线段两端点的连线其夹 角是一个定值，这三种情况下动点运动轨迹是一段弧.关键词：动点；轨迹；线段；弧求动点路径的长是初中生深感棘手的问题，解决这类问题的关键是确定动点运动的轨迹,再根据轨迹求出动点路径的长.如何确定动点路径呢？ 一般可以引导学生先画 出动点在三点的位置：起点、终点和运动过程中的任意一点•其中“任意一点”尽量安排在某个特殊位置.从三点位置初步分析、猜想其动点运动轨迹是一条线 段,还是一段弧.1线段1. 1动点、到某定直线的距离是一个定值例题1如图1,已知线段AB=6em,P 是线段AB上的动点,分别以AP,PB 为边在线段佔的同侧作等边 △ACP 和等边4/3%琏接CD,设CD 的中点为G,当点P 从点4运动到点B 时，点G 运动的路径长为—cm.分析 若过点C,D,G 分别作M 的垂线CE,DF,GH,垂足分别为点E,F,H,如图2,则GH = *(CE + DF).其中 CE = y 4P,DF = ^PB.所以 CE + DF = 亭(4P+PB)=孕所以GH 是一个定值翠 显然点G 运动轨迹是一条线段.如图3, A/1BE 是等边三角形，当点P 在起点4时，ZUCP 还没成形，仅仅就是一点4,此时等边△ PDB 其实就是图中的厶ABE, CD 的中点G 。
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动点路径长解题策略 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
动点路径长的解题策略
智慧锦囊
初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：线段或圆弧．在研究此问题时，可以分三步：
(1).利用函数描点法大胆猜想:即对目标点描出它的起点、中点、末点时的位置，连接起来，猜想它是什么形状；
（2）寻找不变量，严格证实猜想：
在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，则该动点到某个定点的距离始终保持不变．因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点.
（3）利用特殊值算出动点路径长
动点轨迹往往是直线或者圆的一部分。
①线段。
当动点到某条直线或线段的距离相等时，动点的轨迹很可能是条线段；②当动点是一个固定角的顶点时，轨迹很可能是条弧。
③当动点到某定点的长度一定时，轨迹是一条圆弧.
范例点睛
例1（2012张家界）如图1，已知线段AB=6，C、D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动路径长度为_______．
例2（2011湖州）如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半
轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB延长线于点D．设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交予点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图7)．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的
路径长．
本王闯关
1.∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直
线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过
的路径是（）
A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
2.（2013?湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P
在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．
3. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC边的中点，动点P、Q在正方形的边上运动,且PQ=
4.若点P从点A出发,沿ABE的路线向点E运动,相应的,点Q在DA、AB上运动。
则点P从A到E的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径长等于
二、计算与证明
1.（2014?金华）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．
2. (2012福州)如图,在Rt△ABC中，∠C=90o,AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC,交AB于点D,连接PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长.
3.（2014?连云港）已知线段AB=8．
（1）如图1，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且
PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过路径长．
（2）如图2，以AP、 PB为边作两个正方形。
若点M、N是线段AB上的两点，且
AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH 的中点O所经过的路径的长．
4.(2010南京)如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB 运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。
P是MG中点，请直接写出点P运动路线长。
5.（2014烟台）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．
6.在等腰三角形ABC和等腰三角形ADE中，
∠BAC=∠DAE=120o,AB=2，AD=3，点A、B、D在同一条直线上，将△ADE绕点A旋转
180o，在旋转过程中，直线BD、CE的交点为点F.
(1)当点F与点B、C均不重合时，请直接写出∠BFC的度数；
（2）请直接写出点F经过的路径的长度
编者----武晓鲁。