方差分析讲义

方差 平方 来源 和 因素A S A
因素B SB
误 差 SE
自由度
均方
F比
r 1
SA
SA r 1
FA
SA SE
s1
SB
SB s1
FB
SB SE
(r 1) (s 1)
SE
SE (r 1)(s 1)
总 和 ST rs 1
取显著性水平为
,
得假设H
的拒绝域为
01
FA
SA SE
F (r
1,(r
SA
SA s1
SE
SE ns
F比 F SA SE
解 s 3, n1 n2 n3 5, n 15, ST 0.00124533, S A 0.00105333, SE 0.000192.
方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均 方 F 比 因 素A 0.00105333 2 0.00052667 32.92
48.7 41.4
表9.3 火箭的射程
推进器(B)
B1
B2
B3
A1
58.2 52.6
56.2 41.2
65.3 60.8
燃料(A) A2 A3
49.1 42.8 60.1 58.3
54.1 50.5 70.9 73.2
51.6 48.4 39.2 40.7
A4
75.8 71.5
58.2 51.0
48.7 41.4
不同组的方差不同时选择.
方差齐性的检验.
认为三个组总体方差相等。 至少一个组和其他组有显著差别.
两两作比.
二、双因素等重复试验的方差分析
表9.3 火箭的射程
推进器(B)
B1
B2
B3
A1
58.2 52.6
56.2 41.2
65.3 60.8
燃料(A) A2 A3
49.1 42.8 60.1 58.3
1)(s
1))
取显著性水平为 ,得假设H02的拒绝域为
FB
SB SE
F (s
1,(r
1)(s 1))
双因素无重复试验方差分析表spss：
二、双因素等重复试验的方差分析（理
论）
因素A : A1 , A2 , , Ar . 因素B : B1 , B2 , , Bs .
j1 i1
1 nj
X•j
nj
X ij
i 1
— 水平Aj下的样本平均值
s nj
ST
( X ij X )2
j1 i1
s nj
s nj
ST
( X ij X• j )2
(X•j X )2
j1 i1
j1 i1
SE SA
s nj
SE
( X ij X• j )2 —误差平方和（随机误差）
不全为零.
H 03 H13
: 11 : 11,
12 12 ,
, rs
不
rs 0,
全为零.
确定拒绝域
当H 01 : 1 2 r 0为真时,
FA
SA (r 1) ～F (r SE (rs(t 1))
1,rs(t
1))
取显著性水平为
,
得假设H
的拒绝域为
01
FA
S A (r 1) SE (rs(t 1))
j1 i1
s nj
s
SA
(X•j X )2 nj (X•j X )2
j1 i1
j 1
—效应平方和（随机误差、系统误差）
• 总变异＝组间变异＋组内变异
其中：组间变异由各因素所引起； 组内变异由个体差异或者说由误差 引起的。
s
可以证明：SE 2 ～2 (n s), 其中n n j . j 1
的影响是否显著？交互作用是否显著？ 表9.3 火箭的射程
推进器(B)
B1
B2
B3
A1
58.2 52.6
56.2 41.2
65.3 60.8
燃料(A) A2 A3
49.1 42.8 60.1 58.3
54.1 50.5 70.9 73.2
51.6 48.4 39.2 40.7
A4
75.8 71.5
58.2 51.0
例1
x1
问题分析在每一个水平下进行独立试验,结果是一 个随机变量.将数据看成是来自三个总体的样本值.
设总体均值分别为1 , 2 , 3 . 检验假设 H0 : 1 2 3 ,
H1 : 1 , 2 , 3不全相等.
检验假设 H0 : 1 2 3 , H1 : 1 , 2 , 3不全相等.
进一步假设各总体均为正态变量,且各总体的 方差相等,但参数均未知.
拒绝域为
构造F SA (s 1) SE (n s)
F
SA SE
(s 1) (n s)
F (s 1,n
s)
单因素试验方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均 方
因 素A S A 误 差 SE 总 和 ST
s1 n s n1
SA
SA s1
SE
SE ns
F比 F SA SE
s
可以证明：SE 2 ～2 (n s), 其中n n j . j 1
S A与SE独立,
H
为真时
0
,
S A / 2～ 2 (s 1)
下面检验假设 H0 : 1 2 s , H1 : 1, 2, , s不全相等.
构造F SA (s 1) SE (n s)
H 0不真时, 分子取值有偏大的趋势.
拒绝域形如 F SA (s 1) k SE (n s)
H0为真时, SA / 2～ 2 (s 1), SE 2 ～ 2 (n s)
H 0为真时,
SA SE
(s 1) (n s)
SA 2
(s 1)
拒绝域为
SE 2 ～F (s 1, n s)
(n s)
F
SA SE
(s 1) (n s)
F (s 1,n
s)
单因素试验方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均 方
因 素A S A 误 差 SE 总 和 ST
s1 n s n1
问 题——检验同方差的多个正态总体均 值是否相等.
解决方法——方差分析法,一种统计方法.
X
1 n
s j 1
nj i 1
X ij
1 nj
X • j n j i1 X ij
s nj
ST
( X ij X )2
j1 i1
s nj
SE
( X ij X• j )2
—误差平方和（随机误差）
j1 i1
X i••
st
X ijk
j1 k1
X• j•
1 rt
rt
X ijk
i1 k1
432
SE
( X ijk X )2
i1 j1 k 1
4
SA st ( X i•• X )2 i 1
3
SB rt ( X • j• X )2
j 1
43
SAB t
( X ij• X i•• X • j• X )2
S A与SE独立,
H
为真时
0
,
S A / 2～ 2 (s 1)
下面检验假设 H0 : 1 2 s , H1 : 1, 2, , s不全相等.
构造F SA (s 1) SE (n s)
H 0不真时, 分子取值有偏大的趋势.
拒绝域形如 F SA (s 1) k SE (n s)
H0为真时, SA / 2～ 2 (s 1), SE 2 ～ 2 (n s)
方差分析
• 单因子方差分析 • 双因子方差分析
(等重复和无重复)或（有交互和无交互）
引入 t 统计量作为检验统计量:
t X Y ,
Sw
11 n1 n2
其中
Sw2
( n1
1)S12 (n2 n1 n2 2
1)S22
.
其拒绝域的形式为
xy
t
t / 2(n1 n2 2).
sw
11 n1 n2
H 0为真时,
SA SE
(s 1) (n s)
SA 2
(s 1)
拒绝域为
SE 2 ～F (s 1, n s)
(n s)
F
SA SE
(s 1) (n s)
F (s 1,n
s)
数学模型
设因素A有s个水平A1 , A2 , , As ,在水平Aj ( j
1,2, , s)下,进行nj (nj 2)次独立试验,得到如下表
F
(r
1, rs(t
1))
类似地
,
取显著性水平为
,
得假设H
的拒绝域为
02
FB
SB (s 1) SE (rs(t 1))
F (s
1,rs(t
1))
取显著性水平为
,
得假设H
的拒绝域为
03
FAB
S AB ((r 1)(s 1)) SE (rs(t 1))
F ((r 1)(s 1), rs(t 1))
单因素试验方差分析的数学模型
需要解决的问题
(1)检验假设
H0 : 1 2 s , H1 : 1 , 2 , , s不全相等.
(2)估计未知参数1 , 2 , , s , 2 .
二、平方和的分解得到方差分析表
X
1 n
s j 1
nj i 1
X ij
—数据的总平均
s nj
ST
( X ij X )2 —总偏差平方和（总变差）
的结果.
表 9.4
观察结果 水平
A1
A2
As
X 11
X 12
X1s
X 21
X 22
X 2s
X n11
X n2 2
样本总和
T•1
wenku.baidu.com
T•2
样本均值 总体均值
X1•1
X •2
2
X nss
T•s
X
•s s
假设 (1)各个水平Aj ( j 1,2, , s)下的样本X1 j , X 2 j ,
, X nj j来自具有相同方差 2 ,均值分别为 j ( j 1, 2, , s)的正态总体N ( j , 2 ), j与 2均未知;
x 0.242, y 0.256,t 5.26,t0.025(8) 2.3060
例2 不同的教学方法对考试平均分的影响是否显著？
试验指标:考试平均分
因素:教学方法
水平:不同的三种方法是因素的三个不同的水平
H0 : 1 2 3 , H1 : 1 , 2 , 3不全相等.
例3 一火箭用四种燃料,三种推进器作射程试验. 每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得 射程如下（以海里计）.问不同燃料、不同推进器对射程
54.1 50.5 70.9 73.2
51.6 48.4 39.2 40.7
A4
75.8 71.5
58.2 51.0
48.7 41.4
ST S E S A SB S AB
r=4,s=3,t=2
X
1 rst
r i 1
st
X ijk
j1 k1
X ij•
1t t k1 X ijk
1 s t
(2)不同水平Aj下的样本之间相互独立.
X ij～N ( j , 2 ), X ij j～N (0, 2 ).
记X ij j ij ,表示随机误差,那么X ij可写成
X ij j ij ,
ij～N (0, 2 ),各 ij 独立,
i
1,2,
,nj
,
j
1,2,
, s,
j与 2均未知
表 9.8
因素B 因素A
B1
B2
Bs
A1
X111, X112 , X121, X122 ,
, X 11t
, X 12t
X 1s1 , X 1s2 , , X 1st
A2
X 211, X 212 , X 221, X 222 ,
, X 21t
, X 22t
X 2s1 , X 2s2 , , X 2st
双因素等重复试验方差分析表spss：
三、双因素无重复试验的方差分析
检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一 组合至少要做两次试验.
如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对 试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用.
对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以 对各因素的效应进行分析——双因素无重复试验 的方差分析.
i1 j1
ST S E S A SB S AB
误差 平方和 因素 A 的 因素 B 的 因素A,B的交
效应平方和 效应平方和 互效应平方和
要解决的问题：检验假设
H 01 H11
:1 : 1,
2
2 ,
r 0, ,r 不全为零.
H 02 H12
: :
1 1,
2
2 ,
,s
s 0,
s nj
s
SA
(X•j X )2 nj (X•j X )2
j1 i1
j 1
—效应平方和（随机误差、系统误差）
ST SE SA
• 总变异＝组内变异＋组间变异
其中：组内变异由个体差异或者
说由误差引起的;组间变异由各因素 所引起；
H0 : 1 2 3 , H1 : 1 , 2 , 3不全相等.
试验指标:射程
因素:推进器和燃料
水平:推进器有3个,燃料有4个.
双因素试验
试验目的
方差分析——根据试验的结果进行分析,鉴别 各个有关因素对试验结果的影响程度.
试验指标——试验中要考察的指标.
因 素——影响试验指标的条件.
因
可 控因素
素
不可控因素
水 平——因素所处的状态. 单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变. 多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
误 差 0.000192 12 0.000016
总 和 0.00124533 14
F 32.92 F0.05(2,12) 3.89.在水平0.05下拒绝H0 . 各机器生产的薄板厚度有显著差异.
单因素方差分析表spss：
方 差 相 等 检 验
可以检验不同因素对观察变量产生了显著影响。
判断哪个组和其他组 有显著的均值差别， 方法是两两作比。