(优选)平均变化率及其求法
平均变化率和瞬时变化率公式
平均变化率和瞬时变化率公式平均变化率是指在一段时间内某一量度的变化幅度与时间的比值。
例如，如果一辆汽车在1小时内行驶了100公里，那么它的平均速度就是100公里/小时。
在这个例子中，平均变化率就是汽车速度相对于时间的变化率。
计算平均变化率的公式为：平均变化率 = （终值 - 初始值）/ 时间其中，终值和初始值是量度的两个不同的时间点，时间是这两个时间点之间的时间间隔。
例如，如果你想计算在一个小时内你的学习成绩提高了多少分，你首先需要记录下这段时间的初始成绩和终值成绩。
然后，你可以使用上述公式来计算这段时间内的平均变化率。
平均变化率的计算方法不仅适用于学生的学习成绩，也适用于企业的收益、股票的价格和其他许多领域。
通过对平均变化率的计算和分析，人们可以更好地了解一个量度的历史变化趋势，为未来做出更好的决策提供较为准确的参考。
瞬时变化率，又称为瞬时速率，是指在某一瞬间的变化率。
如果把时间间隔缩小到无穷小的时候，就可以得到瞬时变化率。
例如，在汽车行驶的路程中，如果我们想知道汽车在某个时间点的瞬时速度，我们可以把时间间隔缩小到0，计算在该瞬间内位置的变化率，从而得到汽车在该瞬间的瞬时速度。
瞬时变化率的计算方法为：瞬时变化率 = 极限（∆y / ∆x），其中∆x 趋向于0。
瞬时变化率可以用来描述瞬间的速度、瞬间的斜率等等。
在微积分中，瞬时变化率是一种重要的概念，它被用于表示曲线在某个点的切线斜率。
因此，瞬时变化率在科学研究和工程计算中具有不可或缺的作用。
综上所述，通过理解和运用平均变化率和瞬时变化率这两个概念，我们可以更好地理解各种现象的变化规律，为我们的生活和工作提供有益的指导和帮助。
3.1.1平均变化率及其求法(教学设计)
问：0—2时与2—21时，哪段时间的成交额变化快,为什么?
问：怎么量化0—2时与2—21时成交额变化快(图象陡峭)、慢(图象平缓)？
结论：成交额Q(t)在区间[t 1,t 2]的平均变化率：
21()()
Q t Q t -
问：为什么0---t1图像比t1---t2“平缓”？ 如何量化图象“平缓（变化慢）” “陡峭（变化快）”？
结论：成交额S(t)在区间[t 1,t 2]的平均变化率：
21()()
S t S t -
这是平均变化率的几何意义
(1)求0s-3s的速度平均变化率？（2）求3s-7s的速度平均变化率？（3）求7s-14s的速度平均变化率？
结论：
y
x
∆∆减小⇔割线斜率|k|减小⇔曲线变“平缓”.
y
∆增大⇔割线斜率|k|增大⇔曲线
分析：对高度进行等分，看在均等的Δx 内，注水量大小，最后从变化率大小结合图象及瓶子选出B。
函数的平均变化率课件
16
(2)平均变化率为
＝－
＝－1.6.
10
10
它表示从 t＝0 到 t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降 1.6 ℃.
课堂小结
1．函数的平均变化率可正可负可为零，反映函数 y＝f(x)在[x1，x2]
上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值
越大，函数值变化得越快．
C．2
D．0
Δy f1.1－f1 0.21
[Δx＝
＝ 0.1 ＝2.1.]
1.1－1
3.如图所示，函数 y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区
间内，平均变化率最大的一个区间是________．
[x3，x4]
[由平均变化率的定义可知，函数 y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，
一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则称Δx=x2-x1
为自变量的改变量;称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量;称
y
x
=
y 2 -y 1
x 2 -x 1
(或
f
x
=
f(x 2 )-f(x 1 )
________.
5 [因为函数 f(x)＝x2－x 在区间[－2，t]上的平均变化率是 2，
ft－f－2 t2－t－[－22－－2]
所以
＝
＝2，
t－－2
t＋2
即 t2－t－6＝2t＋4，从而 t2－3t－10＝0，解得 t＝5 或 t＝－2(舍去)．]
5.已知函数f(x)=3x2+5,求f(x):
(2)运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位
平均变化率知识点总结
平均变化率知识点总结一、平均变化率的定义在微积分中，函数的平均变化率是指在一个区间内函数值的变化率的平均值。
假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么函数f(x)在区间[a, b]上的平均变化率可以表示为：\[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]其中，f(b)表示函数f(x)在点b处的函数值，f(a)表示函数f(x)在点a处的函数值，b-a表示区间[a, b]的长度。
因此，平均变化率可以理解为函数在区间[a, b]上的变化速率的平均值。
二、平均变化率的计算计算一个函数在给定区间上的平均变化率的方法比较简单，只需要求出该区间的两个端点的函数值，然后用它们的差除以区间的长度即可。
下面通过一个例子来说明平均变化率的计算方法：例：计算函数f(x)=2x+1在区间[1, 4]上的平均变化率。
首先，计算函数在区间[1, 4]两个端点的函数值：f(1) = 2*1 + 1 = 3f(4) = 2*4 + 1 = 9然后，利用两个端点的函数值计算平均变化率：\[ \frac{f(4)-f(1)}{4-1} = \frac{9-3}{4-1} = \frac{6}{3} = 2 \]因此，函数f(x)=2x+1在区间[1, 4]上的平均变化率为2。
三、平均变化率的性质1. 平均变化率与函数的增减性有关：如果函数f(x)在区间[a, b]上是增函数（即对于任意x1<x2，有f(x1)<f(x2)），那么它的平均变化率大于0；如果函数f(x)在区间[a, b]上是减函数，那么它的平均变化率小于0。
2. 平均变化率是一个区间上函数变化率的平均值：平均变化率反映了函数在整个区间上的平均变化情况，它是一个全局的指标。
3. 平均变化率的单位：平均变化率的计算结果的单位与函数f(x)的单位相同，例如，如果函数f(x)的单位是米，那么它的平均变化率的单位也是米。
四、平均变化率的实际应用1. 物理学中的应用：平均速度是物体在一段时间内移动距离与时间的比值，它实际上就是函数在一个时间区间上的平均变化率。
1.1.1平均变化率
3 .用平均变化率近似地量化曲线在某区间上的 “陡峭”程度
慢. ； 曲线越“陡峭”，说明变量变化越 曲线越“平缓”，说明变量变化 快 越
应用二
已知函数 f ( x) 2x 1, g( x) 2x计算在区间[-3，-1]， [0，5]上 f ( x) 及 g( x)的平均变化率.
解:函数f(x)在区间[-3,-1]上 函数g(x)在区间[-3,-1]上 的平均变化率为 的平均变化率为 f(-1) - f(-3) 函数f(x)在区间[0,5]上的平 均变化率为 f (5) f (0)
12 T(月)
1 0.4
12 6
归纳小结：
1 ．平均变化率的概念：
一般地，函数 f ( x) 在区间 [ x1 , x2 ] 上的平均变化率为 Δy f(x2)－f(x1) x －x 2 1 Δx 2．平均变化率的几何意义： 过曲线上A、B两点的直线的斜率.
3 .用平均变化率近似地量化曲线在某区间上的 “陡峭”程度
o
t
在1 t 2这段时间里,
h 2 -h 1 v= = -8.2 m/ s . 2- 1
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子
f(x2)－f(x1)
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
同样△f =△ y = f (x2) – f (x1)
x2－x1
表示
习惯上用x表示 x2 x1 ,即x x2 x1 ,
f(x2 ) - f(x1 ) x2 - x1
理解： Δy 1.式子中△x 、△y 的值可正、可负,但 Δx 的△x值不能为0, △y 的值可以为0
Δy = 2. 变式 Δx
x0 + Δx x0
函数平均变化率
例1.求函数 y x2 在 x0 到 x0 x之间的平均变化率
解:当函数 y x 2 在 x0 到 x0 x 之间变化的时候
函数的平均变化率为
y x
f (x0 x) x
f (x0 ) (x0 x)2 x02 x
2x0 x
分析:当 x 取定值, x0 取不同数值时,
则当x 0 时,比值 f (x0 x) f (x0 ) y
x
x
叫做函数 y f (x) 在 x0 到x0 x 之间的平均变化率
函数平均变化率: f (x0 x) f (x0)
x 函数值的改变量与自变量的改变量之比
思考:函数平均变化率的几何意义？
过曲线 y f (x) 上的点 (x0 , f (x0 )和(x0 x, f (x0 x)
• 一是:根据物体的路程关于时间的 函数求速度和加速度.
• 二是:求已知曲线的切线.
例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同
产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第 xh
时，原油的温度（单位：℃）为
f (x) x2 7x 15 (0 x 8).
计算第2 h和第6 h，原油温度的瞬时变化率， 并说明它们的意义。
但可正可负;
y f (x2 ) f (x1)可正可负，也可为零 .
2、 对应性：
若
x x2 x1,则y f (x2 ) f (x1).
美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员 把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险， 拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅 中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉， 毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青 蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦 乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。
《函数的平均变化率》课件
在投资决策中，平均变化率可以帮助投资 者评估投资标的的潜在收益和风险。
平均变化率在物理学中的应用
速度和加速度的测量
在物理学中，平均速度和平均 加速度是通过计算位移和时间
的平均变化率来定义的。
热传导研究
在研究热传导的过程中，材料 的热容和导热系数可以通过测 量温度随时间的变化率来计算 。
波动现象
在波动现象的研究中，波的传 播速度是通过测量波峰或波谷 随时间的变化率来定义的。
02
平均变化率是函数在区间上的整 体表现，反映了函数值随自变量 变化的平均速度。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调 性、凹凸性以及极值点等性质，是研 究函数的重要工具。
通过比较不同区间的平均变化率，可 以了解函数在不同区间上的表现，从 而对函数的整体性质有更深入的理解 。
平均变化率的计算方法
复杂函数的平均变化率计算
总结词
掌握复杂函数的平均变化率计算技巧。
详细描述
对于复杂的函数，如多项式函数、三角函数等，其平均变化率的计算需要更高级的技巧。通过具体的计算实例， 可以掌握如何处理复杂函数的平均变化率计算，并理解其在实际问题中的应用。
实际问题的平均变化率计算
总结词
将平均变化率应用于实际问题中。
在优化问题中，平均变化率可 以帮助我们找到函数的极值点
，从而找到最优解。
平均变化率在经济学中的应用
经济预测
成本分析
通过分析经济数据的平均变化率，可以预 测未来的经济走势。
在成本分析中，平均变化率可以帮助我们 了解成本随时间的变化趋势，从而制定出 更合理的成本控制策略。
供需关系
投资决策
平均变化率可以用来分析供需关系的变化 ，从而帮助企业做出更合理的生产和销售 决策。
函数的平均变化率课件
实际问题中如何应用函数的平均变化率？
运动学
速度和加速度的变化率都是平均 变化率，可以通过这些平均变化 率来了解运动学中的物理现象。
商业领域
可以通过函数的平均变化率来评 价某一产品或公司的增长速度。
时间管理
可以通过函数的平均变化率来了 解时间利用效率的变化。
平均变化率的图像解释
相邻两点之间的斜率
在图像上，平均变化率可以表示为相邻两条线段的 斜率。
函数的平均变化率的应用举例
1
应用一
在积分计算中，常用平均变化率来近似求解曲线下的面积。
2
应用二
在微分方程的求解中，平均变化率可以用于简单的数值方法计算。
3
应用三
在统计学中，业务活动的整体变化趋势可以通过平均变化率来进行分析。
函数的平均变化率在物理学中的应用
万有引力
质点在单位时间内运动的平均速 度可以用万有引力的平均变化率 来计算。
1 步骤一
首先，要知道函数在哪里发生了断裂，也就 是函数不连续的地方。
2 步骤二
判断函数在不连续点与相邻区间之间的平均 变化率是否存在。
3 步骤三
如果这一区间存在平均变化率，那么新的区 间一定就是函数的定义域。
4 步骤四
如果不存在平均变化率，则需要进一步的讨 论和推导。
如何根据函数的平均变化率推断函数 的值域？
1 步骤一
求出函数的导数。
2 步骤二
根据导数的正负来判断函数的值域。
3 步骤三
如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减；否则，需要进 一步研究函数。
函数的平均变化率的重要性
平均变化率是微积分的基础概念之一，不仅在学术研究中广泛应用，而且在 日常生活中也具有重要的意义。通过平均变化率可以揭示出事物在不同时间 段内的变化趋势，从而帮助我们做出更好的决策。
(优选)变化率问题公开课
解 (：1)v h h(0.5) h(0) 4.05(m / s) t 0.5 0
(2)v h h(2) h(1) 8.2(m / s) t 2 1
问题1
在高台跳水中，运动员相对于水面的高度h（单 位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关
系：
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
f (t2 ) f (t1)
10
t1
20
t2 t1
t2
34 t(d)
问题4：如果把气温C看作时间t的函数，即C=f(t),则t1至t2这 段时间内气温的平均变化率如何表示？
f (t2 ) f (t1) t2 t1
对应函数值的变化量 自变量的变化量
思考讨论
若函数关系为 y , 当f (x)从 增加x 到 x1时，
问题2：能不能说“温度差越大，气温变化越快？”
问题3：如何用温度差与时间差来表示气温变化快慢程度？
T(℃)
C (34, 33.4)
30 20
10 A (1, 3.5)
14.8 (C)
B (32, 18.6)
15.1(C)
2
02
10
20
30 34 t(d)
31(d )
2(d )
问问题题21：：能A到不B能和说B“到温C这度两差段越时大间，哪气一温段变的化温越度快差？较”大？
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
T(℃) 30
C (34, 33.4)
20
10 A (1, 3.5)
B (32, 18.6)
2
02
10
20
30 34 t(d)
T(℃) 30
C (34, 33.4)
平均变化率的公式
平均变化率的公式
平均变化率是经济学研究中的一个重要概念，它反映了经济状况的变化情况。
它可以用来衡量各种经济指标，例如收入、物价、产品价格、工资等，从而更准确地描述经济状况。
根据财政理论，平均变化率被定义为了描述特定时期内某一变量发生变化的情况，它在推断经济增长和下降趋势上也有很大意义。
根据经济学家的观点，平均变化率可以用下面的公式表示：
C=(N-M)/M
其中，C表示特定变量的变化率，N代表变量的最新指标，M表示变量的初始指标。
以全国居民人均可支配收入为例，假设2013年居民人均可支配收入为2.2万元，而2014年居民人均收入为2.5万元，那么这两年来全国居民人均可支配收入的平均变化率计算如下：
C=(2.5-2.2)/2.2=0.136
由此可见，2013-2014年全国居民人均可支配收入的变化率为13.6%。
平均变化率的计算可以帮助我们判断经济的变化。
它可以帮助人们更好地理解变量走势，对其发展趋势进行合理的预测，从而较好地实施针对性经济政策。
此外，平均变化率也可以用来评价某一变量随时间变化的程度，从而更有针对性地把握变化趋势。
例如，物价在2017年和2018年之间发生变化，如果我们要评价这两年物价变化的程度，我们可以计算
其平均变化率，从而判断物价变化趋势是增长还是下降。
平均变化率的计算也可以为经济学研究和经济决策提供技术支持，运用它可以更全面地把握某一特定变量的变化状况，从而更有针对性地制定经济政策。
综上所述，平均变化率的公式是根据社会经济变量的时间变化规律而定义的，它可以用来衡量某一变量的变化状况，并且可以用来评价经济发展趋势，从而更有针对性地把握经济发展动态，为经济管理和决策提供参考。
初中数学 什么是函数的平均变化率 如何计算一个函数在某个区间上的平均变化率
初中数学什么是函数的平均变化率如何计算一个函数在某个区间上的平均变化率
函数的平均变化率是指函数在某个区间上的平均变化速度。
它可以用来描述函数在这个区间内的平均变化程度。
要计算一个函数在某个区间上的平均变化率，可以按照以下步骤进行：
1. 确定区间：首先需要确定函数在哪个区间上计算平均变化率。
区间可以用两个端点来确定，例如$[a, b]$表示从点$a$到点$b$的区间。
2. 计算函数值：在该区间内选择两个不同的$x$值，例如$x_1$和$x_2$。
然后，计算这两个$x$值对应的函数值$f(x_1)$和$f(x_2)$。
3. 计算变化量：计算函数值的变化量，即$f(x_2) - f(x_1)$。
4. 计算区间长度：计算区间的长度，即$b - a$。
5. 计算平均变化率：将变化量除以区间长度，即$\frac{f(x_2) - f(x_1)}{b - a}$。
这个结果就是函数在给定区间上的平均变化率。
需要注意的是，平均变化率是函数在某个区间上的平均变化速度，它描述的是整个区间内的平均变化程度。
平均变化率可以用来比较不同区间上的变化情况，或者用来估计函数在某个区间内的变化趋势。
希望以上内容能够帮助你理解函数的平均变化率以及如何计算一个函数在某个区间上的平均变化率。
变化率计算公式范文
变化率计算公式范文
变化率是指在一段时间内，一些量或一些指标的变化程度或速度。
变化率的计算公式因具体情况而异，下面会详细介绍几种常见的变化率计算公式。
1.绝对变化率：
绝对变化率是指在一段时间内，一些量或指标从初始值变化到最终值的差值。
计算公式如下所示：
绝对变化率=最终值-初始值
2.相对变化率：
相对变化率是指在一段时间内，一些量或指标相对于初始值的变化百分比。
计算公式如下所示：
相对变化率=(最终值-初始值)/初始值*100%
3.平均变化率：
平均变化率是指在一段时间内，一些量或指标的平均变化速度。
计算公式如下所示：
平均变化率=(最终值-初始值)/时间间隔
4.复合增长率：
复合增长率是指在一段时间内，一些量或指标的年均增长率。
计算公式如下所示：
复合增长率=((最终值/初始值)^(1/年数)-1)*100%
5.边际变化率：
边际变化率是指在一些特定点上，对应输入量的微小变化所引起的输
出量的变化率。
计算公式如下所示：
边际变化率=(Δ输出量/Δ输入量)
这些公式适用于不同的实际情况和场景。
根据具体的问题和需要，可
以选择相应的变化率计算公式来进行计算。
需要注意的是，在实际计算中，可能还需要考虑一些特殊情况，比如时间间隔过大或过小，或者一些量的
变化过程呈现非线性等，这些情况可能需要采用额外的修正或调整来计算
准确的变化率。
平均变化率
问题情境
观察某人一段时间内的位移-时间(s-t)图像
S/m 30
20
C(34，33.4) B (32，18.6)
问题1 从A到B的位移是多 少？从B到C的位移是多少？
问题2 从A到B这一段与 从B到C这一段，你感觉哪 一段的位移变化得较快？
10 A (1，3.5)
2
O2
10
20
20
30 34 t/s
来近似地量化B，C之间这一段曲线的陡峭程度，
并称该比值为位移在区间[32，34]上的平均变化率
虽然点A，B之间的位 移差与点B，C之间的 位移差几乎相同，但 它们的平均变化率却 相差很大．
S/m 30
20
10 A (1，3.5)
2
O2
10
C (34，33.4) B (32，18.6)
3
6
9
12 t/月
11－8.6 12－6
＝0.4
(kg/月)
例题总结
W/kg 11 8.6 6.5
3.5
3
6
1 Kg/月
0.4 Kg/月
9
12 t/月
1、不同区间上的平均变化 率可能不同
2、如何解释从出生到第3个 月，婴儿体重平均变化率为1 （kg/月）？
3、本题中两个不同平均变 化率的实际意义是什么？
������������－������������ ������������－������������
＝
������������. ������－������������. ������������－������������
������
S/m 30
20
10 A (1，3.5)
平均变化率 课件
1 2
.(g 取 9.8
=
0. 1
答案:29.89 m/s
-18-
3.2 双曲线的简单性质
目标导航
知识梳理
典型透析
随堂演练
1
2
3
4
5
5.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图,试指出哪一个厂 治污效果较好.
易错辨析 易错点 不理解平均变化率的概念而致误 【例 3】 若函数 f(x)=x2-1,其图像上点 P(2,3)及其邻近点
Q(2+Δx,3+Δy),则 =( ) Δ������ A.4Δx+(Δx)2 B.4Δx C.4+Δx D.Δx 错解:∵3+Δy=(2+Δx)2-1=4+4Δx+(Δx)2-1, ∴Δy=4Δx+(Δx)2.故选 A. 错因分析:因对平均变化率的概念理解不透彻而导致求解错误 , 其实,平均变化率就是 的值. 正解:∵Δy=(2+Δx)2-1-(22-1)=4Δx+(Δx)2,
典型透析
随Байду номын сангаас演练
函数的平均变化率 对于函数 y=f(x),当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),它的平均变化率为 量的改变量,记作 Δx,函数值的变化 f(x2)-f(x1)称作函数值的改变量, 记作 Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自 变量的改变量之比,即
目标导航
知识梳理
典例透析 典型透析
随堂演练
【变式训练1】 求函数y=-2x2+3在区间[2,2+Δx]内的平均变化率, 1 并求当 Δx= 时平均变化率的值 . 2
111函数的平均变化率
x
x
2x0 x
由上式可以看出，当x0取定值时，△x 取不同的值，函数的平均变化率不同，当 △x取定值，x0取不同的值时，该函数的平 均变化率也不一样。
例如，x0取正值，并不断增大时，该函 数的平均变化率也不断地增大，曲线变得 越来越陡峭。
例2．求函数 y 1
x
在区间[x0，x0+△x]
(或[x0+△x，x0])的平均变化率(x0≠0，且
义域内不同的两点，记△x=x1－x0，
△y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0).
则当△x≠0时，商 f(x0x)f(x0)y
x
x
称作函数y=f(x)在区间[x0，x0+△x](或
[x0+△x，x0])的平均变化率。
进一步理解：
1.式子中△x 、△y的值可正、可负，但
的△x值不能为0， △y 的值可以为0；
x0+△x≠0).
解：函数 y
1 x
的平均变化率为
1 1
f(x0x)f(x0)x0x x0 1
x
x
(x0x)x0
例3．已知函数f(x)=－x2+临近一点B(－1+△x, －
2+△y), 则 y 3－△x ．
x
练习题
1.设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到 x0+△x时，函数的改变量为（ D ） A．f(x0+△x) B． f(x0)+△x C．f(x0 ) ·△x D．f(x0+△x) －f(x0)
近一点(1+△x , 2+△y)，则 y 为（ C ）
x
A．
x
函数的平均变化率
【例】物体的运动方程是 s t 1(s的单位：米；t的单位：
秒)，求物体在t=1秒到t=(1+Δ t)秒这段时间内的平均速度. 【审题指导】求物体在一段时间内的平均速度就是求位移对 时间的平均变化率.本题已知函数表达式，代入公式化简即可 .
【规范解答】∵ s
2 t 2 m .
【审题指导】
【规范解答】物体在t=1到t=1+Δt这段时间内的位移增量
Δs=s(1+Δt)-s(1)
=［(1+Δt)2+2(1+Δt)+3］-(12+2×1+3)
=(Δt)2+4Δt.
物体在t=1到t=1+Δt这段时间内的平均速度为
s 4t t 4 t. t t
3
变化率的值,并比较函数f(x)=3-x2在哪一点附近的平均变化
率最大?
【审题指导】先求f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率,再求
各点附近的平均变化率，最后比较得结论 .
【规范解答】函数f(x)=3-x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率
2 ［ 3 x x ］ 3 x f x x f x 0 0 0 为 0 x x 2 2x 0 x x 2x 0 x x 当x0=1, x 1 时，平均变化率的值为 7 ， 3 3 当x0=2, x 1 时，平均变化率的值为 13， 3 3 1 当x0=3，x 时，平均变化率的值为 19 , 3 3 ∵ 7 ＞ 13＞ 19 , 3 3 3 2
3
(1)求半径r关于体积V的函数r(V); (2)比较体积V从0 L增加到1 L和从1 L增加到2 L半径r的平 均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明
平均变化率
问题情境
学生活动
概念建构
知识运用 小结反思
f ( x2 ) f ( x1 ) 理解： 平均变化率： x2 x1
(1)x x2 x1 ,自变量的增量 y f ( x2 ) f ( x1 ),函数值的增量
y f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x ) f ( x1 ) 变式： x x2 x1 x
(2)在 t1 t t2 这段时间内 , 平均速度如何表示？
问题情境
学生活动
概念建构
知识运用 小结反思
情境2 很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过
程，随着气球内空气容量的增加，气球的半径 有如何变化？从数学角度如何解释这种现象?
问题情境
学生活动
概念建构
知识运用 小结反思
情境2
气球膨胀率
(1)若将气球近似的看作球体, 则气球体积 V (单位：L) 与半径 r (单位：dm ) 有何关系？ 4 3 V (r ) r 3 若将半径 r 表示成关于体积 V 的函数呢？
2.平均变化率的意义: 3.求平均变化率的步骤：
曲线陡峭程度
平均变化率
变量变化的快慢
4.思想方法： 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”
，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
“数离形时难直观，形离数时难入微”——华罗庚
作业布置
1. 《课时作业》第1页 2.每日一题 3.查阅微积分发展史
结论：y kx b(k 0)在区间[m, n]上 平均变化率为 k .
问题情境
学生活动
2
概念建构
知识运用 小结反思
例4 求函数f ( x ) x - 3 x在区间[ x0 , x0 x]( x 0) 上的平均变化率.
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x1
x2
求函数f(x)平均变化率的步骤：
一、求自变量的增量Δx=x2-x1 二、求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)
已知f(x)=2x2+1，求：
例题1
(1)从x=1到x=2的平均变化率；
(2)从x1到x2的平均变化率。
变式训练:求函数 f (x) 2x2 1 在下列区ห้องสมุดไป่ตู้的平均变化率
(1) [1,1.0003] 4.0006 (2) [1,1.0002] 4.0004 (3) [1,1.0001] 4.0002
时间的改变量 Δt=t2- t1
路程的改变量Δs=S2-S1
路程差/时间差(Δs/Δt) 路程变化快慢
9-0=9(s)
11-9=2(s)
60-0=60(m)
100-60=40(m)
< 60/9 6.7(m/s) 40/2=20(m/s)
慢
快
两个变化率（快慢）问题
(1)成交额［t1 , t2］平均变化率(快慢)问题：
（优选）平均变化率及其求法
一 微积分简史
微积分的创立者-----牛顿、莱布尼茨
牛顿（1643--1727）
莱布尼茨 （1646----1716）
微积分创立背景
微积分的创立主要与四类问题处理有关： 瞬时变化率、切线问题、函数极值、几何求积
第一类问题
求物体瞬时速度、加速度及运动距离 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体 任意时刻的速度和加速度；以及已知物体的加速度 作为困时难间在的于函：数十，七求世速纪度和所路涉程及。的速度和加速度每时 每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算 平均速度那样，用运动的距离除以运动的时间，因为 在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在 它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。
时间的改变量 Δt=t2- t1
路程的改变量Δs=S2-S1
路程差/时间差(Δs/Δt) 速度变化快慢
21-0=21(s)
24-21=3(s)
70-0=70(m)
100-70=30(m)
< 70/21=3.3 (m/s) 30/3= 10 (m/s)
慢
快
问题1
成交额随时间变化关系 Q = Q（t）
12
t 7 3
(图象陡峭)、慢(图象平缓)？
成交额随时间变化关系 Q = Q（t）
时间的改变量 t2- t1
2-0=2(小时)
21-2=19(小时)
成交额的改变量Q2-Q1 成交额差/时间差
100-0=100(亿元)
300-100=200(亿元)
> 100/2 = 50(亿元/小时) 200/19 10.53(亿元/小时)
成交额变化快慢
快
慢
问题2 为什么该人的运动s-t图不是直线段？ 如何从该s-t图分析他路程随时间的变化快慢？
S(t2) S(t1)
B（24,100） A（21,70）
O（0,0）
t1 t2
问：为什么0---t1图像比t1---t2“平缓”？
如何量化图象“平缓（变化慢）” “陡峭（变化快）”？
路程随时间变化关系S= S（t ）
第三类问题
求已知函数的最大最小值。 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角 发射炮弹时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题，但新的方法尚无眉目。
第四类问题
求曲线长、曲面面积、物体重心及物体之间的引力 （求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、
时间的改变量 t2- t1 成交额的改变量T2-T1 成交额差/时间差
成交额变化快慢
2-0=2(小时)
21-2=19(小时)
100-0=100(亿元)
300-100=200(亿元)
> 100/2 = 50(亿元/小时) 200/19 10.53(亿元/小时)
快
慢
问题2
路程随时间变化关系S= S（t ）
某物体的运动速度随时间的变化情况如下图所示
(1)求0s-3s的速度平均变化率？
例题2
（2）求3s-7s的速度平均变化率？
（3）求7s-14s的速度平均变化率？
V(m/s)
（4）求14s-20s的速度平均变化率？
提示： (1)a v 12 0 4(m / s2 )
t 3 0
16
(2)a v 16 12 1(m / s2 )
思考：平均变化率：y f (x2 ) f (x1) 表示的几何意义？
x
x2 x1
割线斜率 k y2 y1 f (x2 ) f (x1)
x2 x1
x2 x1
f(x2 )
这是平均变化率的几何意义
f(x1 )
x2-x1
f(x2 )-f(x1 ) （ x2 ， f(x2 ) ）
（ x1 ， f(x1 ) ）
一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。）
困难在于：欧y 多克斯的穷竭法虽然被阿基米德熟
练地用来求出了很多图形的面积及几何体的体积，但
它毕竟是一种有限且相当复杂的几何方法，已不能解
决第四类问题。 oa
bx
二 变化率问题
成交额Q(t) (亿元)
400
问题1
350
300
250
200
150
B(2,100)
第二类问题
求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问 题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体 在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。
困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个 没有解决的问题。
古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接 触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对 于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。
Q(t2 ) Q(t1) t2 t1
(2)路程在［t1 , t2］平均变化率(快慢)问题：
S (t2 ) S (t1) t2 t1
如何刻画一般的函数f(x)在区间[x1，x2]上 随x变化（增加或减少）的“快”与“慢”？
三 平均变化率的定义
平均变化率等于函数的增量与自变量的增量之比值。
亦即：y / x.
100
50
2013年11月11日淘宝天猫成交额随时间变 化趋势图如下： 问0—2时与2—21时，
哪段时间的成交额变化快,为什么?
C(21,300)
A(0,0) t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
问：怎么量化0—2时与 2—21时成交额变化快