整数的整除

整数的整除

整数的整除：设a,b是任意两个整数，且，如果存在一个整数q，使得等式成立，就称b整除a，或a被b整除，记作b｜a.

例如：6｜30　（a=30,b=6,q=5，有）

如果不存在整数q, 使成立，就说a不能被b整除，记作

约数和倍数:若整数a能被整数b整除（b｜a），称a为b的位倍数，b为a的约数。因为整数都是的倍数，所以是任何整数的约数。又由于零是任何不等于零的整数的倍数，所以任何一个不为零的的整数都是零的约数。约数也叫因数。

整数整除的性质：设a、b、c、d均为整数。①｜b，则（－a）｜b; a｜(-b); (-a) ｜(-b); ｜; .　②若｜b，b｜c, 则｜c。③若｜b，c是任何整数，

则｜bc。④若｜b，，则c｜bc. ⑤c｜bc，且，则｜b。⑥若｜b，　且，则。　⑦，又｜，则a=0。　⑧若d｜a1，　d｜a2, d｜a3，，d ｜a n, 则 d｜,　以及d｜　⑨d｜，又d｜a，则d｜b. ⑩若且这项中有项是是d的倍数，则剩下的一项也是d的倍数。（11）若内有一项不是d的倍数，则至少还有一项也不是d的倍数。（12）m个连续整数中，必有一个能被m整除。例如：4个连续整数，14,15,16,17中16能被4整除。（13）若a、b是两个连续整数，且，则有且只有两个整数q, r，使得成立。其中a为被除数, b为除数，r为余数，显然b｜a的充要条件是。

能被2、5、4、8整除的数的整数 ①若一个整数的末位数字是偶数，则这个数就能被　2整除。如12，24等。②若一个数的末位数字是“0”或“5”，则这个数能被5整除。如：15,　70等。③若一个整数的末二位数字所表示的数能被4整除，则这个就能被4整除，如：124,　1004等。④若一个整数的末三位数字所表示的数能被8整除，则这个数字就能被8整除。如：1512，　20088等。

能被　3,9整除的整数：若一个数的各位数字之和能被　3或9整除，则这个数字就能被3或9整除。如：101313能被3整除，如：72027就能被9整除。

能被6整除的整数：若一个整数既能被2整除能能被3整除，则一定可以被6整除。如：3504。

能被7、11、13整除的整数：①将一个整数A从末位数字开始向左

每三位一小节分开，依次称为第一节，第二节第k节。每一小节的三位数分别为称为n1、n2、、n k. 记。若N能被7或11或13整除，则整数A可以被7或11或13整除。

例1：A＝4924361，　N＝361－924＋4＝－559，而13｜（－559），有13｜4924361。

例2：A＝728453，N＝453－728＝－275，而11｜（－275），则11｜728453

②若一个整数偶位上的数字与奇位数上的数字和之差能被11整除，则这个整数能被　11整除。例如：整数728453，因（7＋8＋5）－（2＋4＋3）＝11，所以11｜728453