第五章 补充例题及答案

第五章 补充例题及详解
1、已知()750E X =,2()15D X =.请估计概率{700800}P X <<？
【解】由切比雪夫不等式有
2
215(700800)(|750|50)10.9150p X p X <<=-<≥-≈.
2、设()2E X =-、()1D X =、()2E Y =、()4D Y =、0.5XY ρ=-，利用由切比雪夫不等式估计概率{||6}P X Y +≥的上限？
【解】因为()0E X Y +=、()()()2(,)3D X Y D X D Y Cov X Y +=++=，所以
2()1{||6)}{|()()|6}612
D X Y P X Y P X Y
E X Y ++≥=+-+≥≤=. 3、一颗均匀骰子连掷100次，求其点数之和大于400的概率.
【解】记i X 表示第i 次抛掷的点数，n Y 表示n 次抛掷中的点数之和，则所求概率为
100{400}P Y >。

易知：12100,,X X X 独立同分布于{1,2,3,4,5,6}的均匀分布，即
1()(123456) 3.56
i E X =+++++=，() 1.71i D X =且10012100Y X X X =++. 所以 100()100 3.5350E Y =⨯=，2
100()100 1.71D Y =⨯
100{400}1(2.9240)10.99820.0018P Y P >=>=-Φ=-= 4、一批木材中有80%的长度不小于3m ，从中任取100根，求其中至少有30根长度短于3m 的概率？
【解】 以X 表示100根木材中长度短于3m 的数目，则~(100,0.2)X b ，于是()20E X =，()16D X =.由于100n =较大，则由中心极限定理，近似有2~(20,4)X N ，由此有 20302010(30)1(30)1()1()0.0062444
X p X p X p --≥=-<=-<≈-Φ-=. 5、某商店出售价格分别为1(元)、1.2(元)、1.5(元)的3种蛋糕，每种蛋糕被购买的概率分别为0.3、0.2、0.5.若某天售出300只蛋糕，(1) 求这天收入为400(元)的概率；(2) 求这天售出价格为1.2(元)蛋糕多于60只的概率？
【解】(1) 设第i 只蛋糕价格为i X (1,,300)i =.则i X 的分布为
于是可得() 1.29i E X =、2() 1.713i E X =、()0.0489i D X =
令3001i i X X
==∑表示总收入，则中心极限定理有
{400}1(3.39)0.0003
P X P ≥=>≈-Φ=； (2) 记Y 为300只蛋糕中售价为1.2(元)的蛋糕数目，则~(300,0.2)Y b ，于是()60E Y =、()48D Y =，由中心极限定理，近似有~(60,48)X N ，由此有
{60}11(0)0.5
P Y P ≥=-<≈-Φ=. 6、进行独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率为0.25.问能以95%的把握保证1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差多少?此时A 发生的次数在什么范围内?
【解】 设X 为1000次试验中事件A 发生的次数，则~(1000,0.25)X b ，由二项分布的性
质知()250E X =、()187.5D X =，而事件A 发生的频率为/1000X .根据题意，可得如下不等式 {|0.25|}0.951000X P ε-≤≥ 即{|250|1000}0.95P X ε-≤≥，由棣莫弗―拉普拉斯定理有
|210.95
P ≤≈Φ-≥ 即0.975(1.96)
Φ≥=Φ 解得0.026ε≥，这表明1000次试验中事件A 发生的频率与概率相差不超过0.026，相应的有1000次试验中事件A 发生的次数在224到276之间.
7、某车间有同型号车床150台，在1小时内每台车床约有60%的时间在工作.假定各车床工作相互独立，工作时每台车床要消耗电能15kw.问至少要多少电能，才可以有99.5%的可能
性保证此车间正常工作？
【解】以X 表示同时工作的车床数，则~(150,0.6)X b ，于是()90E X =、()36D X =，
由题意知x 应使得下式成立
{0}0.995P X x ≤≤≥
由中心极限定理，近似有~(90,36)X N ，故有
090909090{0}{
}()(15)0.9956666
X x x P X x P ----≤≤=<<≈Φ-Φ-≥ 查标准正态分布表得90 2.586x -≥，即105.28x ≥，取整得106x =.故要保证车间有99.5%的可能性正常工作，需供电能151061590⨯=()kw .
8、检查员逐个地检查某种产品,每检查一个产品需要用10秒钟.但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟.假设产品需要重复检查的概率为0.5, 求检验员在8小时内检查的产品多于1900个的概率。

【解】 检验员在8小时内检查的产品多于1900个，等价于说检查1900个产品所用的时间
小于 8 小时.设X 为检查1900个产品所用的时间(单位：秒)，则所求概率为{36008}P X <⨯。

设k X 为检查第k 个产品所用的时间（单位：秒），
1,2,1900k =，则(1,2,1900)k X k =相互独立，且()100.5
200k E X =⨯+⨯=，()25k D X =。

则1900
1k k X X ==∑近似服从2(,)N μσ，其中19001528500μ=⨯=，
2()190025=47500D X σ==⨯，所以 {36008}0.9612
P X <⨯=Φ=.
9、某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车.设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.问应供应多少千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?
【解】 对每台车床的观察作为一次试验，每次试验观察该台车床是否工作，工作的概率为
0.6，共进行200次试验，用X 表示在某时刻工作着的车床数，则此时刻至少需要的电力也为X 千瓦，且~(200,0.6)X B ，设应供应N 千瓦力，现在的问题是：求满足{}0.999P X N ≤≥的最小的N 。

由棣莫弗-
近似服从(0,1)N ，其中2000.6120,(1)48np np p =⨯=-=，所以
{}0.999
P X N ≤=Φ≥，查正态分布表得(3.1)0.999Φ=，故
3.1141.5
N ≥⇒≥，即所求142N =.。