同态基本定理及两个重要的同构定理

同态基本定理及两个重要的同构定理

定理1(同态基本定理)设是一个群.则

(1) 的任意商群都是的一个满同态像；

(2) 若是的一个满同态像，比如其同态映射是则

证明: (1)是例5的结论；

(2) 由命题4，是的不变子群，令

.

因为是满同态，中的每一个元素都可写成的形式，并且由命题4证明知道，

是一个双射，又

所以是同构映射.

定理1(2)中的同构映射也称为由同态诱导的同构映射.

上面我们讲了群同态上的一个非常重要的定理，同态基本定理。下面的几个定理是同态基本定理的应用，而这些结论本身也是非常重要的定理。

定理2设是群的两个不变子群，则都是的不变子群，并且

证明：首先，是的不变子群，是的不变子群，是的不变子群，（同学们可以作为一种练习自已证明一下）。所以与都有意义，

即它们均构成商群. 则且是群到

的一个映射.由于的每一个元素都有形式，故是满射.另外，对

所以是同态映射. 按同态基本定理，因此，只须证明即可. 事实上，

当且仅当

定理3 设是群的两个不变子群，则

证明：令由可得所以是映射，并且

所以是满同态. 又

当且仅当所以由同态基本定理，