江苏省苏州市2015届高三上学期期中测试数学试卷(含附加题)

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苏州市2015届高三数学必过关题(逐题解析)——三角函数

高三必过关题三角函数一、填空题例题1. 已知34sin ,cos 2525θθ==- ，则θ角所在的象限为__________．答案：θ在第四象限解析：sin 0,cos 0,θθθ<>∴为第四象限例题2.α终边上有一点(4,3)P m m -，(0)m ≠,则2sin cos αα+的值为__________．答案：25±解析：3(0)355||,sin 35||(0)5m m r m m m α⎧->⎪-=∴==⎨⎪<⎩，4(0)5cos 4(0)5m m α⎧>⎪=⎨⎪-<⎩例题3. 若cos(80),k -=那么tan100=__________．答案：解析：221cos800sin801,tan100tan80k k k -=>=-=-=-例题4. 已知扇形的周长为(0),c c >当扇形中心角为_________弧度时，扇形有最大面积答案：2rad解析：2r r cθ+=2cr θ∴=+∴22222122881628c c c S r θθθθθθ===≤=++++ 当且仅当82,2rad θθθ==时，S 最大例题5. ABC ∆的内角满足sin cos 0,tan sin 0,A A A A +>-<则A 的取值范围是______．答案：324A ππ<< 解析：由tan sin 0,cos 0A A A -<<可知，所以A 为钝角，又sin cos 0A A +> tan 1A ∴<- 故324A ππ<<例题6. 若2sin ,cos 420x mx m θθ++=是方程的两根，则m 的值为__________．答案：1解析：由2sin cos ,sin cos ,12244m m m m θθθθ+=-=∴+=1m ∴=，又111sin cos ,sin 242242m m θθθ=-≤=≤故22m -≤≤1m ∴=例题7. 定义在区间(0,)2π上的函数6cos y x =的图像与5tan y x =的图像交点为P ，过P 做1PP x ⊥轴于点1P ，直线1PP 与sin y x =的图像交于2P ，则线段12P P 的长为__________．答案：23解析：线段12P P 的长度即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos 5tan x x =（(0,)2x π∈），解得1222sin ,33x PP =∴=例题8. 已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)1g x x ϕ=++的图像的对称轴完全相同，若[0,],2x π∈则()f x 的取值范围是__________．答案：3[,3]2-解析：2ω=，5[0,]2[,]2666x x ππππ∈∴-∈-m i nm a x 3()3s i n (),()3s i n3622f x f x ππ∴=-=-==例题9. 已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos _____________θθθθ+-= 答案：45解析：原式=222222sin sin cos 2cos tan tan 24224sin cos tan 1415θθθθθθθθθ+-+-+-===+++例题10. 函数lg(2sin 1)y x =-__________．答案：5[2,2)()36k k k Z ππππ++∈解析：{2sin 1012cos 0x x -≥-≥ 即1sin 21cos 2x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩ 5[2,2)()36x k k k Z ππππ∴∈++∈例题11. 设函数()2sin(),25f x x ππ=+若对任意的x R ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12||x x -的最小值为__________．答案：2解析：由1212,,()()()x x f x f x f x ≤≤由任意知12(),()f x f x 为最小值与最大值 12min ||x x ∴-为()f x 的最小正周期的一半，242T ππ== 22T∴=例题12. 已知22326x y +=，y +的最大值是__________．答案：2解析：设,,x y θθ=cos 2sin()3y πθθθ+==+例题13. 在斜三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1tan tan tan tan =+BCA C ，则 =+222cb a __________．答案：3 解析:2sin cos cos sin sin()sin ()1()11cos sin sin cos sin sin cos sin sin C A B C A B CC A B C A B C A B++=∴⋅=∴= 22222222221332c a b c a b a b c c ab ab+∴=∴=+∴=+-⋅例题14. 23sin 702cos 10-=- __________．答案：2 解析：原式：3sin 7021cos 2022-==+-例题15. 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+=__________．答案：79-解析：227cos(2)cos[2()]cos2()2sin ()136669ππππαπααα+=--=--=--=-例题16. 已知(0,),2πα∈且11sin 2cos ,5αα+=则tan _____________α=答案：34解析：2211sin 2cos 5sin cos 1αααα⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得3sin 35tan 44cos 5ααα⎧=⎪∴=⎨⎪=⎩例题17. 函数()sin(),(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则=)0(f 答案：2例题18. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若120C =，c =则a 与b 的大小关系是__________．答案：ab >解析：22222222120,,2cos 122()2,0C c c a b ab Ca ab ab aba b ab a b a ba b===+-∴=+--∴-=∴-=>∴>+例题19. 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值__________．答案：解析：设BC ＝x ，则AC，根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B ⋅=，根据余弦定理得 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==244x x-=，代入上式得 ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABCS ∆最大值例题20. 已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是__________．答案：,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦解析：若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知sin()sin(2)πϕπϕ+>+，即s i n 0ϕ<，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，代入()sin(2)f x x ϕ=+，得()sin(2)6f x x π=+，由222262k x k πππππ-++剟，得36k x k ππππ-+剟.二、解答题例题21.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B．（Ⅰ）求tan(αβ+)的值；（Ⅱ）求2αβ+的值．解析：由条件的cos αβ==，因为α,β为锐角，所以sin αβ=因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ） 22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π例题22.已知函数)()2cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()1f θ，求θ的值；（2）在△ABC 中，AB =1，()1f C =，且△ABCsin A +sin B 的值．解析：（1）2()2sin cos 222x x xf x =-cos )sin x x +-=()π2cos 6x +由()π2cos 16x +，得()π1cos 62x +=，于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或．（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =．因为△ABC1πsin 26ab =，于是ab = ①在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ②由①②可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩于是2a b +=+由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()1sin sin 12A B a b +=+=．例题23.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

用样本估计总体(频率分布直方图、平均数、方差等)

考点 2 用样本估计总体（频率分布直方图、平均数、方差等）1. （15泰州一模）若数据2，x，2，2的方差为0，则x=．【考点】极差、方差与标准差．【答案】 2【分析】因为数据2， x， 2， 2 的方差为0，由其平均数为6 x，得到412 6 x26 x0，解得 x=2.32x4442.江苏高考压轴）样本容量为10 的一组数据，它们的平均数是5，频率如图所示，则（ 15这组数据的方差等于．第 2 题图 cqn17【答案】 7.2【分析】 2 出现10 0.44次，5出现 100.2 2 次，8出现10 0.4 4 次，所以s214(25)22(55)24(85)27.2103．（2015江苏苏州市高三上调考）如图是小王所做的六套数学附加题得分（满分40）的茎叶图，则其平均得分为．JSY33第 3题图【考点】茎叶图.【答案】 31．【分析】根据茎叶图的数据，得；数据的平均分为182830323840x ==31 ．6故答案为： 31．4．2015 届高三 10 月调研 )某校为了解2015 届高三同学寒假期间学习情况，( 淮安都梁中学抽查了 100 名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）．则这 100名同学中学习时间在6～ 8 小时内的同学为人．zl085第 4题图【考点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布．【答案】 30【分析】∵这100 名同学中学习时间在6～ 8 小时外的频率为（0.04+0.12+0.14+0.05 ）×2=0.7∴这 100 名同学中学习时间在6～ 8 小时内为10.7=0.3∴这 100 名同学中学习时间在6～ 8 小时内的同学为100×0.3=30.5．（徐州市2014 届高考信息卷）甲、乙两个学习小组各有10 名学生，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如图所示，则在这次测验中成绩较好的是【考点】茎叶图．组．第5题图zl060【答案】甲【分析】甲的平均分为63747981838486868890，x甲1081.458646774757676798082；x乙1073.1x甲x乙，且甲的成绩多集中在80 分上，乙的成绩多集中在70 分上，∴甲组的成绩较好些；故答案为：甲．6.（南通市2015届高三第三次调研）为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在50,150中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75) 中的频数为100，则 n 的值为．zl071第6题图【考点】考查简单统计知识，直方图，频率.【答案】1000【分析】由频率分布直方图得在[50，75) 之间的频率与组距比值为0.004，由题这区间的频数为 100，组距为1001000 . 25，则n0.004257. (2015高考冲刺压轴卷江苏试卷一)某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生的听力成绩(单位：分 ).第7 题图 FGQ26已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则 x、 y 的值分别为 ________.【考点】茎叶图 .【答案】 5,7【分析】根据茎叶图知，甲组数据是9，15， 10+x， 21， 27；∵它的众数为 15，∴ x=5 ；同理，根据茎叶图知乙组数据是9， 13，10+y， 18， 27，∵它的中位数为 17，∴ y=7.故 x、 y 的值分别为：5， 7.8. （15南京师大附中高三上学期12 月月考数学试卷）对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如表：花期 (天)11～ 1314～ 1617～1920～ 22个数20403010则这种卉的平均花期为________天．【考点】众数、中位数、平均数．【答案】 16【分析】由表格知，花期平均为12 天的有20 个，花期平均为 15 天的有 40 个，花期平均为 18 天的有 30 个，花期平均为 21 天的有 10 个，∴这种花卉的评价花期是122015401830211010016 .9. （15南京市湖滨中学高三上学期10 月学情检测数学试卷）如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其的平均分为．Abc2第9题图【考点】频率分布直方图．【答案】 62【分析】由频数分布直方图得，总人数是2+4+6+8+10=30 人，利用组中值可估计其的平均分为：210430650107089030=62.10. （15宿迁市沭阳县银河学校高三上学期开学试卷）如果数据x1， x2， x3，⋯， x n的方差是 a，若数据 3 x1﹣ 2，3 x2﹣ 2，3 x3﹣ 2，⋯， 3 x n﹣ 2 的方差为9，则 a=．【考点】极差、方差与标准差．【答案】 1【分析】根据题意，设数据x1， x2，⋯， x n的平均数设为x ，∴方差 s2=1[ ( x1x)2+ (x2x)2+⋯+ ( x n x)2]=a；n∴数据 3 x1﹣2， 3 x2﹣ 2，⋯， 3 x n﹣ 2 的平均数为 3 x﹣2，方差 S2=1[ (3x23x 2) 2 +(3x223x2)2+⋯+ (3xn2 3x 2)2]n11=9·[ ( x1x)2+ ( x2x)2+⋯+ ( x n x)2]=9 a=9；n∴a=1．11.(2015 ·扬州中学模拟 )如图是某小组在一次测验中的数学成绩的茎叶图，则平均成绩是 ________.JSY147 第 11 题图【答案】 78【分析】该小组的平均成绩是61697377848696778.12.(2015 南·京、盐城模拟 )某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了 150 分到 450 分之间的 1 000 名学生的成绩，并根据这 1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图 (如图 )，则成绩在 [300,350)内的学生共有 ________人．JSY148 第12题图【答案】 300【分析】由频率分布直方图可得成绩在[300,350)的频率是1－(0.001＋ 0.001＋0.004＋0.005＋0.003) ×50＝1－ 0.7＝ 0.3，所以成绩在 [300,350)的学生人数是0.3 ×1 000＝300.13.(2015 无·锡模拟 )甲、乙两个学习小组各有 10 名同学，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图 (如图 )，则他们在这次测验中成绩较好的是 ________组.JSY149 第 13 题图【答案】甲【分析】依题意，注意到将甲、乙两组的10 名同学的成绩均由小到大排列，可看出甲组的 10 名同学的成绩均不低于相应位置乙组的10 名同学的成绩，因此他们在这次测验中成绩较好的是甲组．14.在样本频率分布直方图中，共有 11 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10 个小长方形面积和的1，且样本容量为160，则中间一组的频4数为 ________．【答案】 32【分析】由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为x，则x＋4x＝ 1，∴x＝0.2，故中间一组的频数为 160×0.2＝32.15.如图是依据某城市年龄在 20 岁到 45 岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45] 的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在 [35,40)的网民出现的频率为 ________．JSY150 第 15 题图【答案】0.2【分析】由频率分布直方图可知，年龄在[20,25)的频率为0.01 ×5＝0.05，[25,30)的频率为 0.07 ×5＝ 0.35，又年龄在 [30,35)，[35,40)，[40,45] 的上网人数的频率成递减的等差数列分布，所以年龄在 [35,40)的网民出现的频率为 0.2.16.(2015 苏·、锡、常、镇四市调研 )样本容量为 100 的频率分布直方图如图所示，由此估计样本数据落在 [6,10] 内的频数为 ________．JSY151 第 16 题图【答案】 32【分析】由直方图可得样本数据落在 [6,10] 内的频率是 0.08 ×4＝0.32，又样本容量是 100，所以频数为 0.32 ×100＝32.17. (2015 启·东中学模拟 )某学校为了解该校600 名男生的百米成绩 (单位： s)，随机选择了 50 名学生进行调查，如图是这 50 名学生百米成绩的频率分布直方图．根据样本的频率分布，估计这 600 名学生中成绩在 [13,15]( 单位： s)内的人数大约是 ________．JSY152 第 17 题图【答案】 120【分析】依题意，可估计这 600 名学生中成绩在 [13,15]( 单位： s)内的人数大约是 600×(0.02＋0.18)＝120.18.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛， 9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字 (茎叶图中的 x)无法看清，若记分员计算无误，则数字 x 应该是 ________．JSY153第18题图【答案】 1【分析】当 x≥4 时，8989929392919464091 ，∴x<4，77则 898992939291 x9091 ，∴x＝1.719. (2015 扬·州检测 )某校从高一年级学生中随机抽取100 名学生，将他们期中考试的数学成绩 ( 均为整数 )分成六段： [40,50)，[50,60)，⋯，[90,100]后得到频率分布直方图 (如图所示 )，则分数在 [70,80)内的人数是 ________．JSY154 第 19 题图【答案】 30【分析】这些学生中分数在[70,80) 内的人数是100×[1 － (0.005＋ 0.010＋0.015 ×2＋0.025) ×10]＝30.。

苏州五市三区 2015-2016(上)高三期中调研卷

苏州2015—2016学年第一学期高三期中调研试卷英语2015.11 注意事项：1. 本试卷分为第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)，满分120分。

考试时间120分钟。

2. 请将第一卷的答案填涂在答题卡上，第二卷请直接在答题卡上规定的地方作答。

答题前，务必将自己的学校、姓名、考试号等相关信息写在答题卡上规定的地方。

第I卷(选择题，共80分)第一部分：听力理解(共两节，满分15分)第一节(共5小题；每小题1分，满分5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Where does the conversation probably take place?A. In a cafeteria.B. In a restaurant.C. In a supermarket.2. Why does Jack stop playing sports now?A. He is too busy.B. He has lost the interest.C. The training is too hard.3. What does the woman mean?A. She is a visitor.B. She just moved in here.C. She knows the manager.4. What are the speakers talking about?A. Buying DVDs.B. Borrowing DVDs.C. Sharing DVDs.5. How does the woman find the tickets?A. They are hard to get.B. They are cheap.C. They are expensive.第二节(共10小题；每小题1分，满分10分)听下面4段对话或独白。

江苏省板浦高级中学2015届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案

江苏省板浦高级中学2014-2015年度高三第一学期期中考试数学试卷 2014．11（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是 ▲ ．2．已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则=⋂)(B C A U ▲ ． 3．已知βα,的终边在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的 ▲ 条件． 4．已知向量a (1,2),=b (2,)k =-，且a //b ，则实数=k ▲ ． 5．在等差数列{}n a 中,若255,2a a ==,则7a = ▲ . 6．已知函数()1ln f x x x=-，若函数()f x 的零点所在的区间为()(),1k k k Z +∈，则k = ▲ ．7．曲线53xy e =-+在点(0,2)-处的切线方程为 ▲ ．8．已知向量a ，b 的夹角为45︒，且a 1=， 2a -b =，则b |= ▲ ． 9．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0ω>，02)ϕ≤<π 在R 上的部分图像如图所示，则(2014)f = ▲ ．10．设()αβ∈0π，，，且5s i n ()13αβ+=, 1t a n22α=．则cos β的值为 ▲ ．11．已知△ABC 为等腰直角三角形，2,AB =2C π=，点,E F 为AB 边的三等分点，则CE CF ⋅= ▲ ．12．已知函数2221 0 () 0,ax x x f x x bx c x ⎧--≥⎪=⎨++<⎪⎩，，，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图像自左向右依次交于四个不同点,,,A B C D ．若A B B C =，则实数t 的值为 ▲ ． 13．已知||3AB =，C 是线段AB 上异于A ，B 的一点，,ADC BCE ∆∆均为等边三角形，则CDE ∆的外接圆的半径的最小值是 ▲ ． 14．已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n nA SB S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 ▲ ．二、解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．) 15．（本小题满分14分）已知集合{}|,|[(1)][(4)]0A x y B x x a x a ⎧⎪===-+-+<⎨⎪⎩．（1）若A B A =，求a 的取值范围；（2）若A B ≠∅，求a 的取值范围．16．（本小题满分14分）已知函数2()sin(2)cos(2)2cos 63f x x x x ππ=+-++．（1）求()12f π的值；（2）求函数)(x f 的单调区间；（3）函数)(x f 的图像可由sin y x =的图像如何变换得来，请详细说明．17．(本小题满分14分)如图，在平面四边形ABCD 中，1=AD ，2=CD ，7=AC ．（1）求CAD ∠cos 的值；（2）若147cos -=∠BAD ，621sin =∠CBA ，求BC 的长．(请自行在答题纸上作图)18．(本小题满分16分)如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为y 平方米．(1)按下列要求写出函数关系式：①设2CD x =(米)，将y 表示成x 的函数关系式； ②设()BOC rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式． (2)求梯形部件ABCD 面积y 的最大值．(请自行在答题纸上作图)19．(本小题满分16分)已知各项均为整数的数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．20．(本小题满分16分)已知函数d cx bx x x f +++=2331)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，)(x f y '=为)(x f 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．（1）求)(x f ；（2）设)()(x f x x g '=，m ＞0，求函数)(x g 在[0，m ]上的最大值；（3）设)(ln )(x f x h '=，若对于一切]1,0[∈x ，不等式）22()1(+<-+x h t x h 恒成立，求实数t 的取值范围．江苏省板浦高级中学2014-2015年度高三第一学期期中考试数学试卷(参考答案)一、填空题1．,sin 1x R x ∃∈>． 2．{2，4}． 3．既不充分也不必要条件． 4．－4．5．0． 6．1． 7．520x y ++=． 8． 9．52-．10．1665-． 11．89． 12．74-．．二、解答题15．解：(]()1,0,1,4A B a a =-=++……………………………………………4分（1）42a -<≤-，……………………………………………………………9分（2）51a -<<-．……………………………………………………………14分16．解：（1）()2sin(2)16f x x π=++，()112f π；………………………5分（2）)(x f 增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈， )(x f 减区间为2[,]()63k k k Z ππππ++∈……………………………10分（3）变换步骤：（答案不唯一）sin y x=12−−−−−−−−−→所有点的横坐标缩短到原来的sin 2y x=π−−−−−−−−−→所有点向左平移个单位长度12sin (2)6y x π=+2−−−−−−−−−−→所有点的纵坐标伸长到原来的倍2sin(2)6y x π=+1−−−−−−−→所有点向上平移个单位2sin(2) 1.6y x π=++ ……………………………14分17．解：（1）在ADC ∆中，则余弦定理，得ADAC CD AD AC CAD ⋅-+=∠2cos 222．由题设知，77272417cos =-+=∠CAD ．………………………………………4分（2）设α=∠BAC ，则CAD BAD ∠-∠=α，因为772cos =∠CAD ，147cos -=∠BAD ，所以 721)772(1cos 1sin 22=-=∠-=∠CAD CAD ，………………………6分 14213)147(1cos 1sin 22=--=∠-=∠BAD BAD ．………………………8分于是CAD BAD CAD BAD CAD BAD ∠∠-∠∠=∠-∠=sin cos cos sin )sin(sin α23721)147(77214213=⋅--⋅=．………………………………11分在ABC ∆中，由正弦定理，CBA AC BC ∠=sin sin α，故3621237sin sin =⋅=∠⋅=CBA AC BC α．……14分 18．解：如图所示，以直径AB 所在的直线为x 轴，线段AB 中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，过点C 作AB CE ⊥于E ，(1)①∵2CD x =，∴(01)OE x x =<<，CE =∴11()(2222y AB CD CE x =+⋅=+(11)x x =+<< …………………4分②∵(0)2BOC θθπ∠=<<，∴cos ,sin OE CE θθ==，∴11()(22cos )sin (1cos )sin 22y AB CD CE θθθθ=+⋅=+=+(0)2θπ<<， ………8分(说明：若函数的定义域漏写或错误，则一个扣1分)(2)(方法1)∴y ==令43221t x x x =--++，则32322'4622(231)2(1)(21)t x x x x x x =--+=-+-=-+-，………10分令'0t =，12x =，1x =-(舍)． ………………12分∴当102x <<时，'0t >，∴函数在(0，12)上单调递增，当112x <<时，'0t <，∴函数在(12，1)上单调递减，………………14分所以当12x =时，t 有最大值2716，max y =16分答：梯形部件ABCD 平方米． (方法2) ∴'[(sin sin cos )]'(sin )'(sin cos )'y θθθθθθ=+=+⋅22cos cos sin θθθ=+-22cos cos 1θθ=+-，……………………10分令'0y =，得1cos 2θ=，即3θπ=，cos 1θ=-(舍)， ……………………12分∴当03θπ<<时， '0y >，∴函数在(0,)3π上单调递增，当32θππ<<时，'0y <，∴函数在(,)32ππ上单调递减，………………14分所以当3θπ=时，max y =16分答：梯形部件ABCD 平方米． 19．解：(1) 设数列前6项的公差为d ，则512a d =-+，613a d =-+(d 为整数)又5a ，6a ，7a 成等比数列，所以2(31)4(21)d d -=-，即291450d d -+=，得1d =…………………………………………………4 分当6n ≤ 时，4n a n =-，………………………………………………………6 分所以51a =，62a =，数列从第5 项起构成的等比数列的公比为2，所以，当5n ≥时，52n n a -=．故54,(4)2,(5)n n n n a n --≤⎧=⎨≥⎩……………………………8分(2)由(1)知，数列{}n a 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，… 当1m =时等式成立，即3216(3)(2)(1)---=-=-⨯-⨯-；当3m =时等式成立，即1010(1)01-++==-⨯⨯；……………………………10分当24m =或时等式不成立；………………………………………………………12分当m ≥5 时，535122(21)72m m m m m a a a --++++=-=⨯，312122m m m m a a a -++=若1212m m m m m m a a a a a a ++++++=，则5312722m m --⨯=，所以2727m -=……14分5m ≥，2728m -∴≥，从而方程2727m -=无解所以1212m m m m m m a a a a a a ++++++≠ ．故所求1m=或3m =．………………16分20．（1）c bx x x f ++='2)(2，∵)()2(x f x f '=-'，∴函数)(x f 的图象关于直线x =1对称,b = -1，……………2分 ∵曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，∴切点为（3，0），∴⎩⎨⎧='=4)3(0)3(f f ，解得c =1，d =-3，则331)(23-+-=x x x x f …………………5分（2）∵22)1(12)(-=+-='x bx x x f ，∴⎩⎨⎧<-≥-=-=11|1|)(22x x x x x x x x x g …………………7分当0＜m ≤21时，2)(max )(m m m g x g -== 当21＜m ≤221+时，41)21(max )(==g x g ，当m ＞221+时，m m m g x g -==2)(max )(，综上⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+>-+≤<≤<-=)221()22121(41)210(max )(22m m m m m m m x g ……………………………………………10分（3）|1|ln 2)(-=x x h ，||ln 2)1(t x t x h -=-+，|12|ln 2)22(+=+x x h , 当]1,0[∈x 时，|2x +1|=2x +1，所以不等式等价于12||0+<-<x t x 恒成立，解得131+<<--x t x ，且x ≠t ，……………………………………13分2由]1,0[∈x ，得]1,2[1--∈--x ，]4,1[13∈+x ，所以11<<-t ，又x ≠t ，∵ ]1,0[∉t ，∴所求的实数t 的的取值范围是01<<-t ．…………………16分。

江苏省扬州市2015届高三上学期期中考试数学试题扫描版含答案

扬州市2014—2015学年度第一学期期中调研测试试题高三数学参考答案第一部分1．A 2．1i + 3．x R ∀∈，0322≠++x x 4．42- 5．26．必要不充分 7．[0,2] 8．72x = 9. π3210．311． 12．y = 13．25 14．(0,2)e15(1)由已知可得()cos 1sin f x x x =++)14x π=++, ……4分令3[2,2]422x k k πππππ+∈++，得()f x 的单调递减区间为5[2,2]()44k k k Z ππππ++∈； ……7分(2)由(1)())14f x x π=++．因为[,]22x ππ∈-，所以3[,]444x πππ+∈-， ……9分当sin()14x π+=时，即π4x =时，()f x 1； ……12分当sin()4x π+=2x π=-时，()f x 取得最小值0． ……14分16(1)由已知，()()f x f x -=-，即1212x x m--+-++=1212x x m +-+-+，则1222x xm -++⋅=1212x x m +-+-+， ……4分所以(21)(2)0x m -⋅-=对x R ∈恒成立，所以2m =． ……7分（本小问也可用特殊值代入求解，但必须在证明函数为奇函数，否则只给3分） (2)由11()221x f x =-++，设21x x >，则12122122()()0(12)(12)x x x x f x f x --=<++，所以()f x 在R 上是减函数，（或解：22ln 2'()0(21)x x f x -=<+，所以()f x 在R 上是减函数，） ……10分由()(1)0f x f x ++>，得(1)()f x f x +>-，所以1x x +<-，得12x <-，所以()(1)0f x f x ++>的解集为1{|}2x x <-．（本小问也可直接代入求解） ……….14分17(1)当0k =时，y b =，设,A B 两点横坐标为12,x x ，则1,2x =2214||||222b bS b b+-=⨯⨯==，……4分当且仅当||b=b=OAB∆的面积为S的最大值为2；……7分(2)1sin2S OA OB AOB=⨯⨯⨯∠=sin AOB∠=3AOBπ∠=或23AOBπ∠=，……9分当3AOBπ∠=时OAB∆为正三角形，则O到3y kx=+的距离d==k=…11分当23AOBπ∠=时O到3y kx=+的距离为cos13Rπ⨯=，即1d==，得k=±……13分经检验，k=k=±3,3y y=+=±+．……14分18(1)如图2，△ABF中，AB=，∠ABF=135°,BF=15t,AF=t，由余弦定理，2222cos135AF AB BF AF BF=+-⋅⋅，…3分得22211()2(55t t t=+-⨯⨯，得232525000t t--=，(25)(3100)0t t+-=，因为0t>，所以1003t=（秒），……6分答：若营救人员直接从A处入水救人，t的值为1003秒．……7分(2)如图3，20AC BD CH=+-，在Rt CDH中，20tanCHα=，20sinCDα=，则12020205tan sin71ttαα+-+=，得507cos(1)17sintαα-=+，……10分图2C图2设7cos ()sin f ααα-=，则217c o s '()s i n f ααα-=，令'()f α=0，得1c o s 7α=，记0(0,)2πα∈，且01cos 7α=，则当0(0,)αα∈时，'()0f α<，()f α是减函数；当0(,)ααπ∈时，'()0f α>，()f α是增函数，所以当1cos 7α=时，()f α有极小值即最小值为50(117+秒， ……15分答：507cos (1)17sin t αα-=+，的最小值为50(117+秒． ……16分19(1)依题意21,310,c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得1,3c a ==，则2228b a c =-=，所以椭圆方程为22198x y +=； ……4分 (2)连结PG 、QG ，∵(1,0)G 为椭圆的右焦点，所以13PH PG PG e==，所以PQ PH=13PQ PG ⋅== ……7分因为[,][2,4]PG a c a c ∈-+=，所以PQPH ∈； ……10分方法2：设(,)P x y ，PQ PH=[3,3]x ∈-， ……7分得PQPH ∈； ……10分(3)设圆M ：222()()(0)x m y n r r -+-=>满足条件，(,)N x y其中点(,)m n 满足22198m n +=，则2222222x y mx ny m n r +=+--+，NF =NT =要使NFNT=222NF NT =，即22610x y x +--=， ……13分代入2222222x y mx ny m n r +=+--+，得2222(3)210m x ny m n r -+---+=对圆M 上点(,)N x y 恒成立，只要使22230,0,1,m n r m n ⎧-=⎪=⎨⎪=++⎩得23,0,10,m n r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩经检验3,0m n ==满足22198m n +=，故存在以椭圆上点M 为圆心的圆M ，使得过圆M 上任意一点N 作圆G 的切线（切点为T ）都满足NFNT=M 的方程为22(3)10x y -+=． ……16分（本题也可直接求出轨迹方程后再说明圆心恰好在椭圆上）20 (1)函数的定义域是(0,)+∞，当6a =时，()2626(23)(2)'21x x x x f x x x x x--+-=--==令'()0f x =，则2x =，（32x =-不合题意，舍去） ……3分又(0,2)x ∈时'()0f x <，()f x 单调递减；(2,)x ∈+∞时'()0f x >，()f x 单调递增；所以，函数的最小值是(2)26ln 2f =-； ……5分 (2)依题意(1)0f =，且()0f x ≥恒成立， ……6分方法一：()()22'210a x x af x x x x x --=--=>，故1x =必是函数的极小值即最小值点，所以'(1)0f =，此时1a =，而当1a =时，()2121(21)(1)'21x x x x f x x x x x--+-=--==，当(0,1)x ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；函数()f x 的最小值是(1)0f =，即()0f x ≥恒成立； ……10分方法二：若0a ≤，当(0,1)x ∈时，20x x -<，ln 0x <，不等式2ln 0x a x x --≥不成立，若0a >，设'()0f x =，得：x =，或x =（舍去）.设t =若01t <<，则()f x 在(,)t +∞上单调递增知，()(1)0f t f <=，不合题意，若1t >，在(0,)t 上单调递减，，则()(1)0f t f <<，不合题意．即1t =，所以1a =； ……10分方法三：不等式即为2ln x x a x -≥，分别作出2y x x =-，和ln y a x =的图象，它们都过点(1,0)，故函数2y x x =-，和ln y a x =在(1,0)处有相同的切线，可得1a =，再证明，以下同方法一； ……10分 (3)122'()3x x f k +> ……11分证明：()'21a f x x x =-- ，()1212122+2+23'133+2x x x x a f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由题，()()()()12212121212212121212lnln ln 1x a x x a x x x x y y x k x x x x x x x x ------===+----- (13)分则()()112122121212ln2+2+23'+33+2x a x x x x x a f k x x x x x x ⎛⎫-=--+ ⎪-⎝⎭12121212ln33+2x a x x x ax x x x -=-+- 21121121223()[ln ]3+2x x x x x a x x x x x --=---，令12x t x =，则()0,1t ∈，设()()31ln +2t g t t t -=-则：()()()()()221491'0+2+2t t g t t t t t --=-=-<，故()g t 在()0,1上单调递减. 所以：()()10g t g >= 即1211223()ln 0+2x x x x x x -->，考虑到0a >，12x x <，故2103x x ->，120ax x ->-，所以122112112122+23()'()[ln ]033+2x x x x x x x af k x x x x x ---=-->-即122'()3x x f k +>． ……16分BA CDS Exy z 第二部分（加试部分）21．由题意A αλα=，即111311b λλλ 2---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以213b λλ-+=-⎧⎨-+= ⎩，解得2,4b λ==． ……10分22．3211()(0,1,2,,)2rn r n rrr r r nnT C xC x r n --+===⋅⋅⋅ ……3分(1)由题意，112211()()22n n C C =，解得5n =； ……5分(2)352151()(0,1,2,3,4,5)2rr r r T C xr -+==，当0,2,4r =时为有理项， ……7分即0055222244115355511515(),(),()222216T C x x T C x x T C x x-======．……10分23．如图，以{,,}DA DC DS 为正交基底，建立空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,0,2)A B C S E λ， ……2分 (1)当12λ=时，(0,0,1),(2,0,1),(2,2,2)E AE SB =-=- cos ,||||AE SB AE SB AE SB⋅<>==-⋅ 所以异面直线AE 与SB ； …5分 (2)(0,2,0)DC =是平面AED 的一个法向量，设(,,)n x y z =是是平面AEC 的一个法向量，(2,2,0),(0,2,2)CA CE λ=-=-，则220220n CA x y n CE y z λ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，得x y λ==，取x λ=，则(,,n λλ=， ……8分因为二面角C AE D --的大小为60，01λ<<，所以1cos ,2||||2DC n DC n DC n λ⋅<>===⋅，得212λ=，所以2λ=． ……10分 24．(1)11kk n n k C n C --⋅=⋅； ……2分证明过程 ……4分(2)①由二项分布得：11221(1)2(1)n n n nn n n EX C p p C p p n C p --=⋅-+⋅-++⋅01121111(1)(1)....n n n nn n n n C p p n C p p n C p ------=⋅-+⋅-+⋅ 011211111[(1)(1)....]n n n n n n n np C p C p p C p-------=-+-+ npp p np n =+-=-1)1(；……6分②因为211C C C kkk n n n k k k k n --=⋅=⋅，而()()1112111121C 1C C 1C C (2)k k k k k n n n n n k k n k ----------=-+=-+≥，所以，22121C [(1)C C ]kkk k kn n n k p n n n p ----=-+ ……8分21Cnk knk k p =∑()2221121211CC nnk k k k n n k k n n ppnp p------===-+∑∑ ()22121(1)(1)(1)(1)n n n n n p p np p np np p ---=-+++=++.……10分。

2014-2015年江苏省苏州市张家港高中高二(上)期中数学试卷和答案

2014-2015学年江苏省苏州市张家港高中高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）在直角坐标系中，直线的倾斜角α=．2．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程是．3．（5分）若直线a，b与两异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系是．4．（5分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=．5．（5分）设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；其中正确命题的序号为．6．（5分）已知圆锥的底面半径为2cm，高为1cm，则圆锥的侧面积是cm2．7．（5分）已知直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则实数a 的取值是．8．（5分）已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为．9．（5分）圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆C的标准方程是．10．（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过点O作直线l与圆C：（x﹣）2+（y ﹣）2=2相交于A，B两点，若CA⊥CB，则直线l的倾角为．12．（5分）若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围为．13．（5分）已知直线y=ax+3与圆x2+y2+2x﹣8=0相交于A，B两点，点P（x0，y0）在直线y=2x上，且PA=PB，则x0的取值范围为．14．（5分）设F（x，y）=（x+y）2+（x﹣）2，（x，y∈R，y≠0），则F（x，y）的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在平行四边形ABCD中，A（1，1）、B（7，3）、D（4，6），点M 是线段AB的中点线段CM与BD交于点P．（1）求直线CM的方程；（2）求点P的坐标．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．17．（15分）已知圆C的方程为：（x+1）2+（y﹣2）2=2．（1）若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，求切线l的方程；（2）过原点的直线m与圆C相交于A、B两点，若|AB|=2，求直线m的方程．18．（15分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E、F分别是A1C1，BC的中点．（1）证明：平面AEB⊥平面BB1C1C；（2）证明：C1F∥平面ABE；（3）设P是BE的中点，求三棱锥P﹣B1C1F的体积．19．（16分）已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P 在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．20．（16分）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx 与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．2014-2015学年江苏省苏州市张家港高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）在直角坐标系中，直线的倾斜角α=．【解答】解：直线化成斜截式，得y=﹣x+1，∴直线的斜率k=﹣．∵设直线的倾斜角为α，∴tanα=﹣，结合α∈[0，π），得α=．故答案为：2．（5分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程是2x+y﹣2=0．【解答】解：设与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程是2x+y+m=0，把点（1，0）代入可得：2+0+m=0，解得m=﹣2．∴要求的直线方程为：2x+y﹣2=0．故答案为：2x+y﹣2=0．3．（5分）若直线a，b与两异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系是相交或异面．【解答】解：如图，直线c与d是异面直线，直线a与直线b分别与两条异面直线c与d相交与点A，B，C，D，根据题意可得当点D与点B重合时，两条直线相交，当点D与点B不重合时，两条直线异面．故答案为：相交或异面．4．（5分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=9．【解答】解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，∴圆心C2（3，4），半径为．∵圆C1与圆C2外切，∴5=+1，解得：m=9．故答案为：9．5．（5分）设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；其中正确命题的序号为④．【解答】解：当m∥n，n⊂α，则m⊂α也可能成立，故①错误；当m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，m与n相交时，α∥β，但m与n平行时，α与β不一定平行，故②错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行也可能异面，故③错误；若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，由面面平行的性质，易得n⊥β，故④正确故答案为：④6．（5分）已知圆锥的底面半径为2cm，高为1cm，则圆锥的侧面积是2πcm2．【解答】解：圆锥的母线长l==，故圆锥的侧面积S=πRl==2π．故答案为：；7．（5分）已知直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则实数a 的取值是﹣1．【解答】解：由题意知，两直线的斜率都存在，由l1与l2平行得﹣=∴a=﹣1 a=2，当a=2时，两直线重合．∴a=﹣1故答案为：﹣18．（5分）已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（x﹣2）2+（y+2）2=1．【解答】解：在圆C2上任取一点（x，y），则此点关于直线X﹣Y﹣1=0的对称点（y+1，x﹣1）在圆C1：（X+1）2+（y﹣1）2=1上，∴有（y+1+1）2+（x﹣1﹣1）2=1，即（x﹣2）2+（y+2）2=1，∴答案为（x﹣2）2+（y+2）2=1．9．（5分）圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆C的标准方程是（x+5）2+y2=5．【解答】解：圆心在x轴上，是（a，0），r=，圆心到切线x+2y=0距离等于半径所以=，|a|=5位于y轴左侧则a＜0所以a=﹣5圆C的标准方程为：（x+5）2+y2=5．故答案为：（x+5）2+y2=5．10．（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===．故答案为：．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过点O作直线l与圆C：（x﹣）2+（y ﹣）2=2相交于A，B两点，若CA⊥CB，则直线l的倾角为arctan（2±）．【解答】解：圆的圆心坐标（，），半径为，设直线AB的斜率为k，则直线的方程为：y=kx，即kx﹣y=0，∵CA⊥CB，∴圆心到直线的距离为：1，∴=1，解得：k=2±，∴直线l的倾角为arctan（2±）．故答案为：arctan（2±）．12．（5分）若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围为（﹣1，3]∪{1﹣2} ．【解答】解：如图所示：曲线y=3﹣即（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（﹣1≤y ≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得=2，∴b=1+，b=1﹣．当直线过点（4，3）时，直线与曲线有两个公共点，此时b=﹣1结合图象可得﹣1＜b≤3或b=1﹣．故答案为：（﹣1，3]∪{1﹣}13．（5分）已知直线y=ax+3与圆x2+y2+2x﹣8=0相交于A，B两点，点P（x0，y0）在直线y=2x上，且PA=PB，则x0的取值范围为（﹣1，0）∪（0，2）．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣8=0 即（x+1）2+y2=9，表示以C（﹣1，0）为圆心，半径等于3的圆．∵PA=PB，∴CP垂直平分AB，∵P（x0，y0）在直线y=2x上，∴y0=2x0．又CP的斜率等于，∴=﹣1，解得x0=．把直线y=ax+3代入圆x2+y2+2x﹣8=0可得，（a2+1）x2+（6a+2）x+1=0．由△=（6a+2）2﹣4（a2+1）＞0，求得a＞0，或a＜﹣．∴﹣1＜＜0，或0＜＜2．故x0的取值范围为（﹣1，0）∪（0，2），故答案为（﹣1，0）∪（0，2）．14．（5分）设F（x，y）=（x+y）2+（x﹣）2，（x，y∈R，y≠0），则F（x，y）的最小值为4．【解答】解：由基本不等式可得∴∴F（x，y）=（x+y）2+（x﹣）2===4∴最小值为4故答案为：4二、解答题：本大题共6小题，共90分.请将解答填写在答题卡规定的区域内，否则答题无效.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在平行四边形ABCD中，A（1，1）、B（7，3）、D（4，6），点M 是线段AB的中点线段CM与BD交于点P．（1）求直线CM的方程；（2）求点P的坐标．【解答】解：（1）∵，∴=+==（7，3）+（4，6）﹣（1，1）=（10，8）．∴C点坐标C（10，8）．由中点坐标公式可得：点M坐标（，），即（4，2）．k CM==1，得出直线CM方程y﹣2=x﹣4，可得：x﹣y﹣2=0．（2）k BD==﹣1，∴BD直线方程y﹣6=﹣（x﹣4），x+y﹣10=0，联立方程组，解得x=6，y=4，所以点P坐标为（6，4）．16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．17．（15分）已知圆C的方程为：（x+1）2+（y﹣2）2=2．（1）若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等，求切线l的方程；（2）过原点的直线m与圆C相交于A、B两点，若|AB|=2，求直线m的方程．【解答】解：由圆C的方程（x+1）2+（y﹣2）2=2，得到圆心C坐标为（﹣1，2），半径r=，（1）分两种情况考虑：①若切线l过原点，设l方程为y=kx，即kx﹣y=0，则由C（﹣1，2）到l的距离：d=，得：，∴此时切线l的方程为：y=；…（2分）②若切线l不过原点，设l方程为x+y﹣a=0，则由C（﹣1，2）到l的距离：d==，即1﹣a=2或1﹣a=﹣2，解得：a=3或a=﹣1，此时切线l的方程为：x+y﹣3=0或x+y+1=0，∴所求切线l的方程为：y=或x+y﹣3=0或x+y+1=0；…（6分）（2）分两种情况考虑：①当直线m的斜率不存在时，其方程为x=0，m与圆C的交点为A（0，1），B（0，3）满足|AB|=2，∴x=0符合题意；…（8分）②当直线m的斜率存在时，设m的方程为y=kx，即kx﹣y=0，则圆心C到直线m的距离为d=，又|AB|=2，r=，∴d==1，即，解得：k=﹣，∴此时m的方程为：3x+4y=0，则所求m的方程为：x=0或3x+4y=0．…（12分）18．（15分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E、F分别是A1C1，BC的中点．（1）证明：平面AEB⊥平面BB1C1C；（2）证明：C1F∥平面ABE；（3）设P是BE的中点，求三棱锥P﹣B1C1F的体积．【解答】解：（1）证明：在△ABC中，∵AC=2BC=4，∠ACB=60°，∴，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC．由已知AB⊥BB1，∴AB⊥面BB1C1C，又∵AB⊂面ABE，故ABE⊥面BB1C1C．（2）证明：取AC的中点M，连接C1M，FM，在△ABC中，FM∥AB，∴直线FM ∥面ABE．在矩形ACC1A1中，E、M都是中点，∴C1M∥AE，∴直线C1M∥面ABE，又∵C1M∩FM=M，∴面ABE∥面FMC1，故C1F∥面AEB．（3）在棱AC上取中点G，连接EG、BG，在BG上取中点O，连接PO，则PO∥BB1，∴点P到面BB1C1C的距离等于点O到平面BB1C1C的距离．过O作OH∥AB交BC与H，则OH⊥平面BB1C1C，在等边△BCG中，可知CO⊥BG，∴BO=1，在Rt△BOC中，可得，∴．19．（16分）已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P 在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【解答】解：（1）设P（2m，m），由题可知MP=2，所以（2m）2+（m﹣2）2=4，解之得：，故所求点P的坐标为P（0，0）或．（2）设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，解得，k=﹣1或，故所求直线CD的方程为：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0．（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为：化简得：x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，此式是关于m的恒等式，故x2+y2﹣2y=0且（2x+y﹣2）=0，解得或所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或（，）．20．（16分）已知圆C的方程为x2+（y﹣4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx 与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且．请将n表示为m的函数．【解答】解：（Ⅰ）将y=kx代入x2+（y﹣4）2=4中，得：（1+k2）x2﹣8kx+12=0（*），根据题意得：△=（﹣8k）2﹣4（1+k2）×12＞0，即k2＞3，则k的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；（Ⅱ）由M、N、Q在直线l上，可设M、N坐标分别为（x1，kx1），（x2，kx2），∴|OM|2=（1+k2）x12，|ON|2=（1+k2）x22，|OQ|2=m2+n2=（1+k2）m2，代入=+得：=+，即=+=，由（*）得到x1+x2=，x1x2=，代入得：=，即m2=，∵点Q在直线y=kx上，∴n=km，即k=，代入m2=，化简得5n2﹣3m2=36，由m2=及k2＞3，得到0＜m2＜3，即m∈（﹣，0）∪（0，），根据题意得点Q在圆内，即n＞0，∴n==，则n与m的函数关系式为n=（m∈（﹣，0）∪（0，））．。

2015-2016学年江苏省苏州中学高三(上)期初数学试卷

（１）ＰＡ⊥平面ＥＢ；Ｏ（２）ＦＧ∥平面ＥＢ．Ｏ
１．６（★★★ ）已知函数
．
（１）设
，且
，求 θ的值；
（２）在 △ＡＢ中Ｃ，ＡＢ＝，１
，且 △ＡＢ的Ｃ面积为，求ｓｉｎＡ＋ｓ的ｉ值ｎ．Ｂ
１．７（★★★ ）在平面直角坐标系ｘＯ中ｙ，如图，已知椭圆Ｅ：
（１）ＰＡ⊥平面ＥＢ；Ｏ（２）ＦＧ∥平面ＥＢ．Ｏ
１．６（★★★ ）已知函数
．
（１）设
，且
，求 θ的值；
（２）在 △ＡＢ中Ｃ，ＡＢ＝，１
，且 △ＡＢ的Ｃ面积为，求ｓｉｎＡ＋ｓ的ｉ值ｎ．Ｂ
１．７（★★★ ）在平面直角坐标系ｘＯ中ｙ，如图，已知椭圆Ｅ：
为 ρｃｏ（ｓθ－）＝２
（Ⅰ）求直线ｌ的直角坐标方程；（Ⅱ）点Ｐ为曲线Ｃ上的动点，求点Ｐ到直线ｌ距离的最大值．Ｄ．选修４－：５不等式选讲２．４（★★ ）不等式选讲设ｘ，ｙ，ｚ为正数，证明：２（ｘ３＋ｙ３＋ｚ３） ≥ｘ２（ｙ＋）ｚ＋ｙ２（ｘ＋）ｚ＋ｚ２（ｘ＋）ｙ．四．【必做题】第２２题、第２３题，每小题１０分，共２０分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
１．８（★★★ ）心理学家研究某位学生的学
习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为１，则ｘ天后的存留量
；若在ｔ（ｔ
＞４）天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），
其后存留量ｙ２随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为
，存留量随
时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为 “二次复习最佳时机点 ” （１）若ａ＝－，１ｔ＝，５求“二次复习最佳时机点 ”；

苏州市四市五区高三上学期期中数学试题(含附加题)

2015—2016学年第一学期高三期中调研试卷数学 2015.11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，）1．设集合{}12A x x =-≤≤，{}04B x x =≤≤，则A B = ．2．函数的()2ln 2y x x =--定义域是．3．已知1sin 4α=，且(,)2παπ∈，则tan α＝．4．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()22x f x x =-，则()()()103f f f -++＝．5．函数()cos 20y x x x =-->的值域是．6．等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若41428,4S a a a ==+，则10S = ．7．设函数24,0()3,0x x f x x x ⎧->=⎨--<⎩，若()(1)f a f >，则实数a 的取值范围是．8．等比数列}{n a 的公比大于1，6,152415=-=-a a a a ，则=3a ． 9．将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后，得到函数()f x 的图象，若函数()f x 是偶函数，则ϕ的值等于．10．已知函数()(),,0bf x ax a R b x=+∈>的图象在点()()1,1P f 处的切线与直线210x y +-=垂直，且函数()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增，则b 的最大值等于．11．已知()()312f m m a b m =-+-，当[]0,1m ∈时，()1f m ≤恒成立，则a b +的最大值是． 12．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若221tan 2tan ,3A B a b c =-=，则c = ． 13．已知1,0,0x y y x +=>>，则121x x y ++的最小值为．14．设()f x '和()g x '分别是函数()f x 和()g x 的导函数，若()()0f x g x ''⋅≤在区间I 上恒成立，则称函数()f x 和()g x 在区间I 上单调性相反。

江苏省盐城市2015届高三年级第一学期期中考试数学试题(20201222105708)

江苏省盐城市 2015 届高三年级第一学期期中考试数学试题(总分 160 分，考试时间 120 分钟 )一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定地点上 .1. 若会合A 0,1 ，会合 B 0, 1，则A B ▲.2b ,则2 2▲.．命题“若 a a b ”的否命题为3．函数f ( x) sin 2 x 的最小正周期为▲．4．若幂函数f (x) x ( Q) 的图象过点(2, 2)，则= ▲．25．若等比数列a n 知足 a2 3 ， a4 9 ，则 a6 ▲.6．若a,b均为单位向量，且 a (a 2b) ，则a, b的夹角大小为▲.7．若函数 f (x) 2x 1 m是奇函数，则 m ▲.2x 1．已知点 P 是函数f ( x) cos x(0 x ) 图象上一点，则曲线y f (x)在点 P 处的切线斜率的最小值83为▲.9．在等差数列 { a n} 中，S n是其前n项和，若S7=S5+4，则S9 S3= ▲.．在ABC 中，a,b,c 分别为角A,B,C的对边，若 a 4 ，10b 3 ， A 2B ，则 sin B = ▲.A DABC 中， AB=AC ，M 为 BC 中点，点 D 、 E11．如图，在等腰分别在边上，且 AD=1 EAB 、 AC D B， AE =3EC ，若B M C2第 11 题DME 90 ，则 cos A = ▲.12．若函数f ( x) x2 a x 2在(0, ) 上单一递加，则实数a的取值范围是▲.13. 设函数y x2 3 2n 1 x 2 4n 1 (n N * ) 的图象在 x 轴上截得的线段长为d n，记数列d n的前 n 项和为 S n ，若存在正整数n ，使得 log 2 m n218 建立，则实数 m 的最小值为▲.S n 1| x 3 2x 2 x | ( x 1)t R ，且 t0 ，使得 f (t)kt ”是假命题，14．已知函数 f ( x)ln x( x ，若命题“1)则实数 k 的取值范围是▲.二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分 .解答应写出必需的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定地区内 .15. (本小题满分 14 分 )已知函数 f ( x) sin x a cos x( 0) 知足 f (0) 3 ，且 f (x) 图象的相邻两条对称轴间的距离为 .（ 1 ）求 a 与的值；（ 2 ）若 f ( )1，(, ) ，求 cos( 5)的值.2 21216. (本小题满分 14 分 )设函数 y lg( x 24 x 3) 的定义域为 A ，函数 y2 , x (0, m) 的值域为 B .）当 m 2时，求 A B ；x 1（ 1（ 2 ）若“ xA ”是“ xB ”的必需不充足条件，务实数m 的取值范围 .17. (本小题满分 14 分 )设△ ABC 的面积为 S ，且 2S 3 AB AC 0 .（ 1 ）求角 A 的大小；（ 2 ）若 |BC|3 ，且角 B 不是最小角，求 S 的取值范围．18. ( 本小题满分 16 分 )如图是一块镀锌铁皮的边角料 ABCD ，此中 AB,CD,DA 都是线段，曲线段 BC 是抛物线的一部分，且点 B 是该抛物线的极点， BA 所在直线是该抛物线的对称轴. 经丈量， AB 2米， AD 3 米， AB AD ，点 C 到 AD, AB 的距离 CH, CR 1米．现要用这块边的长均为角料裁一个矩形 AEFG （此中点 F 在曲线段 BC 或线段 CD 上，点 E 在线段 AD 上，点G 在线段 AB 上） . 设 BG 的长为 x 米，矩形 AEFG 的面积为 S 平方米 . （1 ）将 S 表示为 x 的函数；（2 ）当 x 为多少米时， S 取得最大值，最大值是多少？DCHFEBG R A第18题19. (本小题满分 16 分 )设数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且 S n 1 S n S n 1 3n 2 2(n 2,n N ) .（ 1 ）若 a n 是等差数列，求 a n 的通项公式；（ 2 ）若 a 11.① 当 a 21 时，试求 S 100 ；② 若数列 a n 为递加数列，且 S 3 k 225 ，试求知足条件的全部正整数 k 的值 .20. (本小题满分 16 分 )已知函数 f x e x ， g x xm ， m R .（ 1 ）若曲线 yf x 与直线 yg x 相切，务实数 m 的值；（ 2 ）记h x f x g x ，求 h x 在 0，1 上的最大值；（ 3 ）当 m0 时，试比较 e f x 2 与 g x 的大小 .盐城市 2015 届高三年级第一学期期中考试数学参照答案一、填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，计 70 分.1.0,1, 12. 若 ab , 则 2a2b3.4.1 5. 276. 7. 2238.3 9. 1210.5 11.1 12.[ 4,0]13. 1314. (1,1]235e二、解答题：本大题共6 小题，计 90 分 .解答应写出必需的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定地区内 . 15 ．解：（ 1 ）f (0)3 ， sin0 a cos03 ，解得 a3 ，2 分 f ( x) si n x3 c o sx2 si nx(， )4 分f ( x) 图象的相邻两条对称轴间的距离为 3，T22 ， | | 1，又0 ，因此 1 .6 分||（ 2 ）f ( )1， sin( ) 18 分，3 2(2 , )( , 5) 310236 666cos( 5 ) cos7cos 7cos(4 )1212 123cos( 5 ) cos cos sin sin4 2 6 .1412 x 23 4 3 41614x 3 01 x 3A (1,3)2y2 (0, m) y ( 2 1 ,2)B( 2,2)4x 1 (2,2)A Bmm 1m2 B (1,2) .632m 08“ xA ” “ xB ”B?A( 2 , 2) ? (1,3)102m 11121mm 1.14171ABCA, B, Ca,b, c2S 3AB AC2 1bc sin A 3bc cos A 0sin A3 cos A 022tan A 3 4 A(0, )A2 .632BC3a33b c2sin Bsin Csin3b 2sin B,c 2sin C8S1bcsin A3 sin B sinC3 sin Bsin(B)10233sin B( 3 cos B 131 cos2B3)3 122 sin B)3( sin 2B4)sin(2 B2 4264B( , ), 2B ( ,5)S (0, 3) .146 36 2 64181BBA x.2BC y 22px( p0)C (1,1)2 p 1DBC yx (0 x 1) .4yC (1,1),D (2,3) CDy 2x 1(1 x 2) .6GA2 xCHFEB G R A xSx (2 x),0 x1,8(2 x 1)(2x), 1 x2.1320x 1S x (2 x)2x 2x 213 12 3x2Sx 2 x 2S 0x102 2 x3x(0, 2)S0 S3x(2,1)S 0 Sx2 S max 4 6 123391x2S(2 x 1)(2 x)2( x5)2 94 8x5 9 14S max4894 6 x5 S max 9.168948AAD x191S nna 1 n(n 1) d d n 2 ( a 1d)n2 2 2S n 1 S n S n 1d( n 1)2(a 1d)(n 1) d n 2 (a 1 d )n d(n 1)2(a 1d)(n 1)22 2 222d(3n 22) 3(a 1d)n,222d (3n 22) 3(a 1d)n 3d n 23(a 1 d)n d 3n 2 222 2 23d 3, ad, d 2d 2,a 1a n 2n42 1 211S nan 2bn n2, n 3a 1d2S n 1 S nSn 13n 2 2(n 2)S nSn 1 S n 23(n 1)2 2 6a n a n1a n 26n 3(n 2)S100a 1 (a 2 a 3 a 4 ) ( a 5 a 6 a 7 )(a 98a99a 100)11(6 2 3 6 983) 33 10000 .82a 2 1.3a 2xS n1S n S n13n 2 2(n 2)S 1S 2 S 3 14 S 2 S 3 S 4 293a 1 2a 2 a 3 14 a 3 11 2x3a 1 3a 2 2a 3 a 4 29 a 4 x 410S nSn 1S n 2 3(n 1)22a nan 1an 26n 3(n 2)a n 1 a nan 16n 3(n 3)a n2an 16( n 3)a 5 a 2 6 x 6a na 1 a 2 a 3a 4 a 57 x 111233S 3ka 1 a 2 a 3 (a 4 a 5a 6 ) (a 7 a 8 a 9 )(a 3 k 2 a 3k 1 a 3k )S3k12 x1(6 43 6(3k 2) 3)( k 1)2S3k9k 2 x 3 22514x 9k2222( 7 ,11)k5 .163 3201f xe xg xx mP x 0 , y 0f xe x ex=1x 02 P0，1 gxx m m 1.42h xxm e x h xe x x m e xx (m 1) e x , x [0,1] .m 1 0 m 1hx 0hx0，1h xmaxh 1 1m e6m 11 1 m 2x0， m 1hx 0 h xxm 1,1 h x0 h xhm h 11 m e .(i)m 1 m ee m2h x max h 0 m1ee(ii)m1 m e1mh x maxh 1 1 m e8e1m 1 1m 2h x0hx0，1h xminh 0m .me1 m e mem .e h x maxh x max101e 1(3) 当 m 0 时， efx 2=e ex 2， g x x ，①当 x 0 时，明显 e f x 2 g x ；②当 x0 时， ln e f x 2=lne ex 2e x 2 ， ln g xln x ，x 21x记函数x =eln xe 2 eln x ，12 分则x =12e x1 e x2 1 ，可知x 在 0,+上单一递加，又由1 0，2 0 知，ex xx 在 0,+上有独一实根x 0 ，且 1 x 0 2 ，则x 0=e x21 0，即 e x 021 （），x 0x 0当 x 0, x 0 时， x 0 ， x 单一递减；当 x x 0，+ 时，x0 ， x 单一递加，因此xx 0 =e x 0 2 ln x 0 ，14 分联合（）式 ex 021 ，知 x 02 ln x 0 ，x 01x 0 2 2x 01 x 02因此 x x 0x 01x 2ln x 0 ，=2=x 0x 00 ，则 x =ex 0即 e x 2 ln x ，因此 e e x 2x .综上， e fx 2g x .16 分（说明：若学生找出两个函数 y e f x 2 与 yg x 图象的一条分隔线，如 y x 1 ，而后去证e fx 2x 1 与 x 1 g x ，且取等号的条件不一致，相同给分）。

【真题】15年江苏省宿迁市泗洪中学高三(上)数学期中试卷含答案(理科)

2014-2015学年江苏省宿迁市泗洪中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，则A∩B=．2．（5分）写出命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题：．3．（5分）已知集合A={1，cosθ}，B={，1}，若A=B，则锐角θ=．4．（5分）已知命题p：∃x∈R，使sinx=；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧非q”是假命题；③命题“非p∨q”是真命题；④命题“非p∨非q”是假命题；其中正确的是．5．（5分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数，则a=．6．（5分）在曲线y=x3﹣3x+1的所有切线中，斜率最小的切线的方程为．7．（5分）将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．8．（5分）设f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若，三角形的内角A满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是．9．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象上有一个最高点的坐标为（2，），由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x轴交于点（6，0），则此解析式为．10．（5分）定义在R上的奇函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f（2015）﹣f（2014）=．11．（5分）已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为．12．（5分）圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为．13．（5分）函数f（x）=﹣2ax+2a+1的图象经过四个象限的充要条件是．14．（5分）设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b=．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．16．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx（1）若a=1，b=1，求f（x）的单调减区间（2）若f（x）在x=1处有极值，求ab的最大值．17．（14分）定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意x1，x2∈R，都有，则称f（x）是R上凹函数．已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R，且a≠0）．（1）求证：当a＞0时，函数f（x）的凹函数；（2）如果x∈[0，1]时，|f（x）|≤1，试求a的取值范围．18．（16分）我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f （x）=8+（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143﹣|x﹣22|（元）．（1）求该村的第x天的旅游收入p（x）（单位千元，1≤x≤30，x∈N*）的函数关系；（2）若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？19．（16分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；②当x∈（0，5）时，2x≤f（x）≤4|x﹣1|+2恒成立．（1）求f（1）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f （x+t）≤2x成立．20．（16分）已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0使得g（x）图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．三、附加选做题：选修4-2：矩阵与变换（共1小题，满分0分）21．选修4﹣2：矩阵与变换若二阶矩阵M满足．（Ⅰ）求二阶矩阵M；（Ⅱ）把矩阵M所对应的变换作用在曲线3x2+8xy+6y2=1上，求所得曲线的方程．选附加做题：选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分0分）22．在极坐标系中，曲线E：ρsin2θ=2cosθ，过点A（5，α）（α为锐角且tanα=）作平行于θ=（ρ∈R）的直线l，且l与曲线E分别交于B，C两点．（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线E与直线l的普通方程；（2）求BC的长．四、附加解答题（共2小题，满分0分）23．某城市最近出台一项机动车驾照考试的规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9．（Ⅰ）求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的数学期望；（Ⅱ）求李明在一年内领到驾照的概率．24．已知点A（﹣1，0），F（1，0），动点P满足•=2||．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）在直线l：y=2x+2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M，N．问：是否存在点Q，使得直线MN∥l？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2014-2015学年江苏省宿迁市泗洪中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，则A∩B={0，1} ．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}2．（5分）写出命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题：“若x≠3则x2﹣2x ﹣3≠0”．【解答】解：原命题的形式是“若p，则q”，它的否命题是“若非p，则非q”，∴命题：“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．故答案为：“若x≠3则x2﹣2x﹣3≠0”．3．（5分）已知集合A={1，cosθ}，B={，1}，若A=B，则锐角θ=．【解答】解：若A=B，则cosθ=，∵θ是锐角，∴θ=，故答案为：4．（5分）已知命题p：∃x∈R，使sinx=；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧非q”是假命题；③命题“非p∨q”是真命题；④命题“非p∨非q”是假命题；其中正确的是②③．【解答】解：∵＞1结合正弦函数的性质，易得命题p：∃x∈R，使sin x=为假命题，又∵x2+x+1=（x+）2+＞0恒成立∴q为真命题，故非p是真命题，非q是假命题；所以p∧q是假命题，p∧非q是假命题，非p∨q是真命题、故答案为：②③5．（5分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数，则a=1．【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）=是奇函数，∴f（﹣1）+f（1）==0，解得a=1．经过验证满足条件．故答案为：1．6．（5分）在曲线y=x3﹣3x+1的所有切线中，斜率最小的切线的方程为y=﹣3x+1．【解答】解：∵y=x3﹣3x+1，∴y′=3x2﹣3≥﹣3，∴当x=0是，切线的斜率最小值且为﹣3，当x=0时，y=1，∴切点为（0，1），∴切线的方程为y﹣1=﹣3（x﹣0），即y=﹣3x+1．故答案为y=﹣3x+1．7．（5分）将y=sin2x的图象向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图象仍过点（），则φ的最小值为．【解答】解：因为y=sin2×=sin=，所以函数y=sin2x的图象向右平移单位，得到的图象仍过点（），所以φ的最小值为．故答案为：．8．（5分）设f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，若，三角形的内角A满足f（cosA）＜0，则A的取值范围是．【解答】解：∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调递增，∴f（x）在区间（﹣∞，0）上也单调递增．∵，∴，当A为锐角时，cosA＞0，∴不等式f（cosA）＜0变形为f（cosA）＜f（），0＜cosA＜，＜A＜当A为直角时，cosA=0，而奇函数满足f（0）=0，∴A为直角不成立．当A为钝角时，cosA＜0，∴不等式f（cosA）＜0变形为f（cosA）＜f（﹣），cosA＜﹣，＜A＜π综上，A的取值范围为故答案为9．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象上有一个最高点的坐标为（2，），由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x轴交于点（6，0），则此解析式为y=sin（x+）．【解答】解：∵函数图象的一个最高点为（2，），∴A=，x=2为其中一条对称轴．这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于（6，0），∴=6﹣2=4，即函数的周期T=16，∵T==16，∴ω=，此时函数y=f（x）=sin（x+φ），∵f（2）=sin（×2+ψ）=，∴sin（+φ）=1，即+φ=+2kπ，即ψ=+2kπ，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=，∴这个函数的解析式为y=sin（x+）．故答案为：y=sin（x+）10．（5分）定义在R上的奇函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f（2015）﹣f（2014）=．【解答】解：∵f（x+4）=f（x），∴函数f（x）的周期是4，∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），∵当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，∴f（﹣1）=，∴f（2015）=f（﹣1）=，∵f（2014）=f（504×4﹣2）=f（﹣2），又f（﹣2）=﹣f（2）=f（2），则f（﹣2）=0．∴f（2015）﹣f（2014）=﹣0=，故答案为：．11．（5分）已知函数f（x）=，为奇函数，则不等式f（x）＜4的解集为（﹣∞，4）．【解答】解：若x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=bx2+3x，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即bx2+3x=﹣x2﹣ax，则b=﹣1，a=﹣3，即f（x）=，若x≥0，则不等式f（x）＜4等价x2﹣3x＜4，即x2﹣3x﹣4＜0，解得﹣1＜x＜4，此时0≤x＜4，若x＜0，不等式f（x）＜4等价﹣x2﹣3x＜4，即x2+3x+4＞0，此时不等式恒成立，综上x＜4．即不等式的解集为（﹣∞，4）．12．（5分）圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【解答】解：由圆心在曲线上，设圆心坐标为（a，）a＞0，又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r，由a＞0得到：d=≥=，当且仅当2a=即a=1时取等号，所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=513．（5分）函数f（x）=﹣2ax+2a+1的图象经过四个象限的充要条件是﹣．【解答】解：∵f（x）=﹣2ax+2a+1，∴求导数，得f′（x）=a（x﹣1）（x+2）．①a=0时，f（x）=1，不符合题意；②若a＞0，则当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0；当﹣2＜x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣2，1）是为减函数，在（﹣∞，﹣2）、（1，+∞）上为增函数；③若a＜0，则当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣2，1）是为增函数，在（﹣∞，﹣2）、（1，+∞）上为减函数因此，若函数的图象经过四个象限，必须有f（﹣2）•f（1）＜0，即（）（）＜0，解之得﹣．故答案为：﹣14．（5分）设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b=4．【解答】解：由f（m）=g（m），即a（b+sinm）=b+cosmasinm﹣cosm=b﹣ab•sin（m﹣θ）=b（1﹣a）[注：sinθ=]∵﹣1≤sin（m﹣θ）≤1∴﹣≤b，（1﹣a）≤∵a，b均为大于1的自然数∴1﹣a＜0，b（1﹣a）＜0，∴b（1﹣a）≥﹣，b（a﹣1）≤b≤=．∵a≥4时，b＜2∴a＜4当a=2时b≤，b=2当a=3时b≤无解综上：a=2，b=2a+b=4．故答案为：4．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知f（x）=sinx+acosx，（1）若a=，求f（x）的最大值及对应的x的值．（2）若f（）=0，f（x）=（0＜x＜π），求tanx的值．【解答】解：（1）a=时，f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），…（2分）当sin（x+）=1，即x+=+2kπ（k∈Z），∴x=+2kπ（k∈Z）时，f（x）有最大值2；…（6分）（2）∵f（）=sin+acos=+a=0，∴a=﹣1；…（8分）∴f（x）=sinx﹣cosx=，∴，∴，即（cosx+）cosx=；整理得，25cos2x+5cosx﹣12=0，解得，cosx=，或cosx=﹣；当cosx=时，sinx=，当cosx=﹣时，sinx=﹣；又∵x∈（0，π）∴取；∴tanx=．…（14分）16．（14分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx（1）若a=1，b=1，求f（x）的单调减区间（2）若f（x）在x=1处有极值，求ab的最大值．【解答】解：（1）若a=1，b=1，则函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx=x3﹣x2﹣x所以f′（x）=3x2﹣2x﹣1，令f′（x）=3x2﹣2x﹣1＜0，解得故此时函数的单调递减区间为：（，1）．（2）若f（x）在x=1处有极值，则f′（1）=0，又f′（x）=3x2﹣2ax﹣b，所以3﹣2a﹣b=0，即2a+b=3当ab都为正数时，由基本不等式可知ab=（2a）b（）2=当且仅当2a=b即a=，b=时取到等号；而当ab中有负数时也满足ab故ab的最大值为：17．（14分）定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意x1，x2∈R，都有，则称f（x）是R上凹函数．已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R，且a≠0）．（1）求证：当a＞0时，函数f（x）的凹函数；（2）如果x∈[0，1]时，|f（x）|≤1，试求a的取值范围．【解答】（1）证明：∵二次函数f（x）=ax2+x∴任取x1，x2∈R，则=a（）2+﹣（+）=﹣∵a＞0，，∴∴∴∴当a＞0时，函数f（x）的凹函数；（2）解：由﹣1≤f（x）=ax2+x≤1，则有ax2≥﹣x﹣1且ax2≤﹣x+1．（i）若x=0时，则a∈R恒成立，（ii）若x∈（0，1]时，有a≥﹣﹣且a≤﹣+∴a≥﹣﹣=﹣（+）2+且a≤﹣+=（﹣）2﹣，∵0＜x≤1，∴≥1．∴当=1时，﹣（+）2+的最大值为﹣（1+）2+=﹣2，（﹣）2﹣的最小值为（1﹣）2﹣=0∴﹣2≤a≤0；又由a≠0，则a的范围是﹣2≤a＜0；综（i）（ii）知，﹣2≤a＜018．（16分）我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f （x）=8+（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143﹣|x﹣22|（元）．（1）求该村的第x天的旅游收入p（x）（单位千元，1≤x≤30，x∈N*）的函数关系；（2）若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？【解答】解：（1）依据题意，有p（x）=f （x）•g（x）=（1≤x≤30，x∈N*）=…（4分）（2）1°当1≤x≤22，x∈N*时，p（x）=8x++976≥2+976=1152（当且仅当x=11时，等号成立），因此，p（x）min=p（11）=1152（千元）．…（8分）2°当22＜x≤30，x∈N*时，p（x）=．求导可得p′（x）＜0，所以p（x）=在（22，30]上单调递减，于是p（x）min=p（30）=1116（千元）．又1152＞1116，所以日最低收入为1116千元．…（12分）该村两年可收回的投资资金为1116×20%×5%×30×12×2=8035.2（千元）=803.52（万元），因803.52万元＞800万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金．…（14分）19．（16分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立；②当x∈（0，5）时，2x≤f（x）≤4|x﹣1|+2恒成立．（1）求f（1）的值；（2）求f（x）的解析式；（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f （x+t）≤2x成立．【解答】解：（1）∵当x∈（0，5）时，2x≤f（x）≤4|x﹣1|+2恒成立，令x=1，则2≤f（1）≤2，∴f（1）=2，（2）∵①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）恒成立，∴函数f（x）=ax2+bx+c的图象开口朝上，且以直线x=﹣1为对称轴，又∵f（x）的最小值为0，∴f（x）=a（x+1）2，由（1）中f（1）=2，∴a=，∴f（x）=（x+1）2，（3）∵当x∈[1，m]时，f（x+t）≤2x成立．∴当x∈[1，m]时，（x+t+1）2≤2x成立．即x2+（2t﹣2）x+t2+2t+1≤0成立，令g（x）=x2+（2t﹣2）x+t2+2t+1，则，即，解得：，∴≤=9，即实数m的最大值为9．20．（16分）已知函数f（x）=e x，g（x）=lnx，（1）求证：f（x）≥x+1；（2）设x0＞1，求证：存在唯一的x0使得g（x）图象在点A（x0，g（x0））处的切线l与y=f（x）图象也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得|﹣1|＜a成立．【解答】解：（1）令F（x）=e x﹣x﹣1，x∈R，∵F'（x）=e x﹣1=0得x=0，∴当x＞0时F'（x）＞0，F（x）递增；当x＜0时F'（x）＜0，F（x）递减；∴F（x）min=F（0）=0，由最小值定义得F（x）≥F（x）min=0即e x≥x+1．（2）g（x）在x=x0处切线方程为①设直线l与y=e x图象相切于点，则l：②，由①②得，∴⑤下证x0在（1，+∞）上存在且唯一．令，，∴G（x）在（1，+∞）上递增．又，G（x）图象连续，∴存在唯一x0∈（1，+∞）使⑤式成立，从而由③④可确立x1．故得证．（1）由（1）知即证当a＞0时不等式e x﹣1﹣x＜ax即e x﹣ax﹣x ﹣1＜0在（0，+∞）上有解．令H（x）=e x﹣ax﹣x﹣1，即证H（x）min＜0，由H'（x）=e x﹣a﹣1=0得x=ln（a+1）＞0．当0＜x＜ln（a+1）时，H'（x）＜0，H（x）递减，当x＞ln（a+1）时，H'（x）＞0，H（x）递增．∴H（x）min=H（ln（a+1））=a+1﹣aln（a+1）﹣ln（a+1）﹣1．令V（x）=x﹣xlnx﹣1，其中x=a+1＞1则V'（x）=1﹣（1+lnx）=﹣lnx＜0，∴V（x）递减，∴V（x）＜V（1）=0．综上得证．三、附加选做题：选修4-2：矩阵与变换（共1小题，满分0分）21．选修4﹣2：矩阵与变换若二阶矩阵M满足．（Ⅰ）求二阶矩阵M；（Ⅱ）把矩阵M所对应的变换作用在曲线3x2+8xy+6y2=1上，求所得曲线的方程．【解答】解：（Ⅰ）记矩阵，故|A|=﹣2，故．…2分由已知得．…3分（Ⅱ）设二阶矩阵M所对应的变换为，得，解得，…5分又3x2+8xy+6y2=1，故有3（﹣x'+2y'）2+8（﹣x'+2y'）（x'﹣y'）+6（x'﹣y'）2=1，化简得x'2+2y'2=1．故所得曲线的方程为x2+2y2=1．…7分选附加做题：选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分0分）22．在极坐标系中，曲线E：ρsin2θ=2cosθ，过点A（5，α）（α为锐角且tanα=）作平行于θ=（ρ∈R）的直线l，且l与曲线E分别交于B，C两点．（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线E与直线l的普通方程；（2）求BC的长．【解答】解：（1）∵曲线E：ρsin2θ=2cosθ，∴ρ2sin2θ=2ρcosθ，∴y2=2x．∵点A（5，α），α为锐角且tanα=，∴，cos．∴x=5cosα=4，y=5sinα=3．∴A（4，3），由θ=（ρ∈R）的直线l，可得：tanθ=1．∴直线l的方程为：y﹣3=x﹣4，化为y=x﹣1．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2）．联立，化为x2﹣4x+1=0．∴x1+x2=4，x1x2=1．∴|BC|===．四、附加解答题（共2小题，满分0分）23．某城市最近出台一项机动车驾照考试的规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9．（Ⅰ）求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的数学期望；（Ⅱ）求李明在一年内领到驾照的概率．【解答】解．（本小题满分13分）（Ⅰ）X的取值为1，2，3，4．…（2分）P（X=1）=0.6，P（X=2）=（1﹣0.6）×0.7=0.28，P（X=3）=（1﹣0.6）×（1﹣0.7）×0.8=0.096，P（X=4）=（1﹣0.6）×（1﹣0.7）×（1﹣0.8）=0.024．…（6分）∴X的分布列为：…（8分）所以，EX=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544．…（10分）（Ⅱ）李明在一年内领到驾照的概率为：P=1﹣（1﹣0.6）×（1﹣0.7）×（1﹣0.8）×（1﹣0.9）=0.9976．…（13分）24．已知点A（﹣1，0），F（1，0），动点P满足•=2||．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）在直线l：y=2x+2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M，N．问：是否存在点Q，使得直线MN∥l？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设P（x，y），则∵点A（﹣1，0），F（1，0），动点P 满足，∴（x+1，y）•（2，0）=2，∴2（x+1）=2，∴y2=4x；（2）直线l方程为y=2（x+1），设Q（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2）．过点M的切线方程设为x﹣x1=m（y﹣y1），代入y2=4x，得=0，由△=，得，所以过点M的切线方程为y1y=2（x+x1），同理过点N的切线方程为y2y=2（x+x2）．所以直线MN的方程为y0y=2（x0+x），又MN∥l ，所以，得y0=1，而y0=2（x0+1），故点Q 的坐标为（，1）．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo第21页（共21页）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

江苏省徐州市2015届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案

2014—2015学年度第一学期期中考试高三数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.设集合},40{},21{≤≤=≤≤-=x x B x x A 则=B A .2.已知i R a i i a z ,)(21)((∈+-=为虚数单位），若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则=a .3.若命题"02,"2≤++∈∃m mx x R x 是假命题，则实数m 的取值范围是 .4.已知向量),1,0(),1,2(-==b a 若,//)(a b a λ-则实数=λ .5.若等差数列}{n a 的前5项和,255=S 且,34=a 则=7a .6.若直线b x y +=是曲线x x y ln =的一条切线，则实数=b .7.已知函数)(x f 是奇函数，当0<x 时，,2s i n 3)(2xa x x f π-=且,6)3(=f 则=a .8.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若,2,30,sin 3sin =︒==b B C A 则ABC ∆的面积是 .9.如图，ABC ∆中，D C BC AC ,90,4,3︒=∠==是BC 的中点，则AD BA ⋅的值为 .10.已知}{n a 是分比为q 的正项等比数列，不等式0432≤+-a x a x 的解集是},{21a x a x ≤≤则=q .11.在平面直角坐标系中，已知角4πα+的终边经过点),4,3(P 则=αcos .12.已知点B A ,分别在函数xe xf =)(和xe x g 3)(=的图象上，连接B A ,两点，当AB 平行于x 轴时，B A ,两点的距离是 .BACD第9题图13.已知三个实数c b a ,,，当0>c 时满足：,32c a b +≤且,2a bc =则ca b2-的取值范围是 .14.已知函数],0[,3)(2m x x x x f ∈-=，其中,R m ∈当函数)(x f 的值域为]2,0[时，则实数m 的取值范围 .二、解答题：本大题共6分，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分14分)在ABC ∆中，已知).sin(2)sin(B A B A -=+（1）若,6π=B 求:A（2）若,2tan =A 求B tan 的值.16. (本题满分14分)已知集合}033{]},3,2[,2{22>--+=∈-==a a x x x B x y y A x （1）当4=a 时，求;B A （2）若命题“A x ∈”是命题“B x ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.17. (本题满分14分)在平面直角坐标系中，已知三点O R t t C t B A ,),,6(),2,(),0,4(∈为坐标原点. (1) 若ABC ∆是直角三角形，求t 的值；(2) 若四边形ABCD 的最小值.18.（本小题满分16分）如图，P 为某湖中观光岛屿，AB 是沿湖岸南北方向道路，Q 为停车场，526=PQ ,km 某旅游团浏览完岛屿后，乘游船回停车场,Q 已知游船以h km /13的速度沿方位角θ的方向行驶，.135sin =θ游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q 与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖岸南北大道M 处，然后乘出租车到停车场Q 处（设游客甲到达湖滨大道后立即乘到出租车）.假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租车的速度为./66h km （1）设,54sin =α问小船的速度为多少h km /时，游客甲才能和游船同时到达点;Q（2）设小船速度为h km /10，请你替该游客设计小船行驶的方位角,α当角α的余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q .19.（本小题满分16分）已知二次函数c bx ax x h ++=2)(（其中),3<c 其中导函数)('x h y =的图象如图，设)(ln 6)(x h x x f +=（1）求函数)(x f 在2=x 处的切线斜率；（2）若函数)(x f 在区间)21,1(+m 上是单调函数，求实BM数m 的取值范围；（3）若函数)6,0(,∈-=x x y 的图象总在函数)(x f y =图象的上方，求c 的取值范围.20. （本小题满分16分）设等比数列}{n a 的首项为,21=a 公比为q q (为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列}{n b 满足).,(023)(2*2N n R t b n b t n n n ∈∈=++- （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）试确定t 的值，使得数列}{n b 为等差数列；（3）当}{n b 为等差数列时，对每个正整数,k 在k a 与1+k a 之间插入k b 个2，得到一个新数列}{n c .设n T 是数列}{n c 的前n 项和，试求满足12+=m m c T 的所有正整数.m2014～2015学年度第一学期期中考试高三数学试题参考答案与评分标准1．[0,2] 2.123．()0,1 4．0 5．-3 6．-1 7．589．17- 10 11．1012．ln3 １3．(][),09,-∞⋃+∞ １4．[]1,215．解:（1）由条件，得 ππsin()2sin()66A A +=-．11cos cos )22A A A A +=-． ………………………3分化简，得 s i n 3c o s A A ．tan A ∴=6分又(0,π)A ∈， π3A ∴=． ………………………………………7分（2）因为sin()2sin()A B A B +=-，sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B ∴+=-．化简，得 3c o s s i ns i n c AB A B =．……………………………………11分又 c o s c o s AB ≠， tan 3tan A B ∴=．又tan 2A =，2tan 3B ∴=．………………………………………………………14分１7．解：（1）由条件，()()()4,2,2,,6,2AB t AC t BC t t =-==--，-若直角ABC ∆中，90A ∠=，则0AB AC ⋅=，即()2420t t -+=， 2t ∴=；-----------------------------------------------------------------------------------------2分若直角ABC ∆中，90B ∠=，则0A B B C ⋅=，即()()()46220t t t --+-=，6t ∴=±若直角ABC ∆中，90C ∠=，则0AC BC ⋅=，即()()2620t t t -+-=，无解，所以，满足条件的t 的值为2或6± -----------------------8分（2）若四边形ABCD 是平行四边形，则AD BC =，设D 的坐标为(,)x y即()()4,6,2x y t t -=--，4662x y t -=-⎧∴⎨=-⎩．即(10,2)D t t --(10OD ==所以当6t =时，OD 的最小值为--------------------------14分18．解：(Ⅰ) 如图，作PN AB ⊥,N 为垂足．135sin =θ，4sin 5=a ，在Rt △PNQ 中，θsin PQ PN =2652513=⨯=(km ), θcos PQ QN ==26124.8513⨯=(km )．在Rt △PNM 中， 21.54tan 3PN MN a ===(km ) ．………………………3分设游船从P 到Q 所用时间为1t h ，游客甲从P 经M 到Q 所用时间为2t h ，小船的速度为1v km/h ，则 1262513135PQ t ===(h ),21112.5 3.3516666220PM MQ t v v v =+=+=+（h ）． …………5分由已知得：21120t t +=，151********v ++=，∴1253v =．………………………7分 ∴小船的速度为253km/h 时，游客甲才能和游船同时到达Q ． (Ⅱ)在Rt △PMN 中，2sin sin PN PM ==a a (km ),2cos tan sin PN MN ==aa a(km )． ∴2cos 4.8sin QM QN MN =-=-aa(km )．………………………9分 N QM BA∴14cos 10665sin 5533sin PM QM t a a a =+=+-＝1335cos 4165sin 55a a -⨯+．…………………11分 ∵22215sin (335cos )cos 533cos 165sin 165sin t a a a a a a---'=⨯=, …………………13分 ∴令0t '=得：5cos 33a =．当5cos 33a <时，0t '>；当5cos 33a >时，0t '<． ∵cos a 在)2,0(πα∈上是减函数，∴当方位角a 满足5cos 33a =时，t 最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q ．…16分19．解：⑴ '()28f x x =- ------------------------------------------------------------------------------- 2分 c x x x x f +-+=∴8ln 6)(2 826)('-+=∴x xx f '(2)1f =-，所以函数))3(,3()(f x f 在点处的切线斜率为-1 ------------------- 4分⑵ xx x x x x f )3)(1(2826)('--=-+=0>x)(x f ∴的单调递增区间为（0，1）和),3(+∞)(x f ∴的单调递减区间为（1，3） ------------------------------------------------- 7分要使函数)(x f 在区间1(1,)2m +上是单调函数，则112132m m ⎧<+⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得1522m <≤ --------------------------------------------------- 9分⑶ 由题意，恒成立，得恒成立，即276ln c x x x<-+-恒成立，设(]2min ()6ln 7,0,6,()g x x x x x c g x =--+∈<则 ------------------------------ 13分xx x x x x x x x g )2)(32(672762)('2---=-+-=+--=因为为增函数时当)(,0)(',)2,23(,0x g x g x x >∴∈∴> 当3(0,)(2,),'()0,()2x g x g x ∈+∞∴<和时为减函数)(x g ∴的最小值为)6()23(g g 和的较小者．3933333()6ln 76ln ,242242(6)366ln 64266ln 6,3939()(6)6ln 6ln 612ln 20,2424g g g g =--+⨯=-=--+=--=-+=+> .6ln 66)6()(min -==∴g x g --------------------------------------------------- 15分又已知3<c ，66ln 6c ∴<-． -------------------------------------------------------------------------------- 16分20．【解析】（Ⅰ）因为,所以，解得（舍），则------------- 3分又，所以----------------------------5分（Ⅱ）由，得，所以,则由，得 ------------ 8分而当时，，由（常数）知此时数列为等差数列 ------------- 10分。

2015年江苏高考数学试卷(含附加题)

（1）写出的值；
（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明。
【答案】．
【解析】
【答案】
【解析】
13．已知函数，，则方程实根的个数为。
【答案】
【解析】
14．设向量，则的值为。
【答案】.
【解析】
二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为AB=2，AC=3，A=60o
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．设集合A＝{1，2，3 }，B＝{2，4，5 }，则A∪B中元素的个数．
【答案】
【解析】
2．已知一组数据4、6、5、8、7、6，那么这组数的平均数为．
【答案】
【解析】
3．若复数 z 满足z2=3+4i (i是虚数单位)，则复数z 的模_________________
【答案】
【解析】
4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为___________
s←1
I←1
WhileI<8
s←s＋2
I←I+3
End While
Print s
【答案】
【解析】
5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随
机摸出2只球，则这两只球颜色不同的概率是▲．
A．（几何证明选讲选做题）
A、（本小题满分10分）
如图，在中，，的外接圆圆O的弦交于点D
求证：
【答案】
【解析】
B．（矩阵与变换选做题）（本小题满分10分）

江苏省无锡市2015届高三数学上学期期中试题苏教版

江苏省无锡市2015届高三数学上学期期中试题苏教版注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟，全卷满分为160分．一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．） 1．已知复数i(1i)(i z =-为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限． 2．已知全集{}1,3,5,7,9U =，{}{}1,5,9,3,5,9A B ==，则()UA B 的子集个数为▲ ．3．若()f x 是定义在R 上的函数，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的 ▲ 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个）．4．某班要选1名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的23，则这个班的女生人数占全班人数的百分比为 ▲ ． 5．执行如图所示的程序框图,若输出s 的值为11,则输入自然数n 的值是 ▲ ．6．直线x a =和函数21y x x =+-的图象公共点的个数为▲ ．7．已知向量12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ= ▲ ．8．若一直角三角形的三边长构成公差为2的等差数列，则该直角三角形的周长为 ▲ ．9．将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，可得到函数sin(2)4y x π=+的图象，则ϕ的最小值为 ▲ ．10．已知函数2()1f x x ax a =-+-在区间(0,1)上有两个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．11．已知函数2,0,1()3,0,4x x x x x f x e x ⎧>⎪⎪++=⎨⎪-⎪⎩≤ 则函数()f x 的值域为 ▲ ．12．若点(,)P x y 满足约束条件0,2,2,x x y a x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤ 且点(,)P x y 所形成区域的面积为12，则实数a 的值为 ▲ ．13．若函数1()sin()4f x x π=与函数3()g x x bx c =++的定义域为[0,2]，它们在同一点有相同的最小值，则b c += ▲ ．14．已知实数0y x >>，若以22,,x y x y x λ++为三边长能构成一个三角形，则实数λ的范围为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．已知2,1a b ==，a 与b 的夹角为135．（1）求()(2)a b a b +⋅-的值；（2）若k 为实数，求a kb +的最小值．16．在正四面体ABCD 中，点F 在CD 上，点E 在AD 上，且DF ∶FC =DE ∶EA =2∶3．证明：（1）EF ∥平面ABC ；（2）直线BD ⊥直线EF ．17．已知函数22()23sin cos sin cos f x a x x a x a x b =+-+，(,)a b ∈R ．（1）若0a >，求函数()f x 的单调增区间；（2）若[,]44x ππ∈-时，函数()f x 的最大值为3，最小值为13-，求,a b 的值．18．在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，其前n 项和为n T ，且223311,29b S S b +==．（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项；（2）问是否存在正整数,,m n r ，使得n m n T a r b =+⋅成立？如果存在，请求出,,m n r 的关系式；如果不存在，请说明理由．19．如图，ABC 为一直角三角形草坪，其中90,2C BC ∠==米，4AB =米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：方案二方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE 过点B ，且与AC 平行，DF 过点A ，EF 过点C ；方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE 过点B ，DF 过点A ，EF 过点C ．（1）求方案一中三角形DEF 面积1S 的最小值；（2）求方案二中三角形DEF 面积2S 的最大值．20．已知函数312()ln ,()23f x x x g x ax x e=⋅=--．（1）求()f x 的单调增区间和最小值；（2）若函数()y f x =与函数()y g x =在交点处存在公共切线，求实数a 的值；（3）若2(0,]x e ∈时，函数()y f x =的图象恰好位于两条平行直线1:l y kx =；2:l y kx m =+之间，当1l 与2l 间的距离最小时，求实数m 的值．无锡市2014年秋学期高三期中考试数学答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．一 2．2 3．必要不充分 4．60% 5．4 6．17．12-8．24 9．8π10．2,1) 11．31(,]43-12．16a =- 13．14- 14．12λ<<+二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）15．解：因为22()(2)2a b a b a b a b +⋅-=-+⋅…………………………………………3分411(22=-+⨯-=． ………………………………………………6分（2）22222a kba kb ka b +=++⋅ ……………………………………………………8分2222(1)1k k k =-+=-+．…………………………………………………………10分当1k =时，2a kb +的最小值为1，………………………………………………………12分即a kb +的最小值为1． …………………………………………………………14分 16．证：（1）因为点F 在CD 上，点E 在AD 上，且DF ∶FC =DH ∶HA =2∶3， ……1分所以EF ∥AC ， ………………………………………………………………………………3分又EF ⊄平面ABC ， AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．…………………………………………………………………………6分（2）取BD 的中点M ，连AM ，CM ，因为ABCD 为正四面体，所以AM ⊥BD ，CM ⊥BD ， ……………………………………8分又AM CM =M ，所以BD ⊥平面AMC ， ………………………………………………10分又AC ⊂平面AMC ，所以BD ⊥AC ， ……………………………………………………12分又HF ∥AC ，所以直线BD ⊥直线HF ．……………………………………………………………………14分17．解：（1）因为22()sin cos sincos f x x x a x a x b =+-+sin 2cos 2x a x b =-+ …………………………………………2分 2sin(2)6a xb π=-+． …………………………………………………… 4分且0a >，所以函数()f x 的单调增区间为[,],63k k k ππππ-++∈Z ． ………………6分（2）当[,]44x ππ∈-时，22[,]633x πππ-∈-，2sin(2)[4x π-∈-， ……8分则当0a >时，函数()f xb +，最小值为2a b -+．所以3,21b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得1,3a b == …………………………………10分当0a <时，函数()f x 的最大值为2a b -+b +．所以123,b a b +=--+=⎪⎩ 解得1,1a b =-=． ……………………………………12分综上，1,3a b ==-1,1a b =-=．……………………………………………14分 18．解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则23311,2(3332)9,q d d d q +++=⎧⎨++++=⎩ ………………………………………………………2分解得3,2d q ==． …………………………………………………………………4分所以13,2n n n a n b -==． …………………………………………………………6分（2）因为112221n n n T -=+++=-， ………………………………………7分所以有12132nn m r --=+⋅．………（*）若2r ≥，则1221n nr -⋅>-，（*）不成立，所以1r =，1213n m --=．………9分若n 为奇数，①当1n =时，0m =，不成立， …………………………………10分②当1n ≥时，设*21,n t t =+∈N ，则12212141333n t t m ----===∈Z ……12分若n 为偶数，设*2,n t t =∈N ，则121112121241411233333n t t t m ------⋅--====⋅+，因为1413t --∈Z ，所以m ∉Z ．……………………………………………………14分综上所述，只有当n 为大于1的奇数时，1211,3n r m --==．当n 为偶数时，不存在． …………………………………………………………16分 19．解：（1）在方案一：在三角形AFC 中，设,(0,90)ACF αα∠=∈，则,AF FC αα==， …………………………………………2分因为DE ∥AC ，所以E α∠=，2sin EC α=，且FA FCAD CE=sin α= …………………………………4分解得2cos AD α=， ………………………………………………………………6分所以11224)3(sin 2)2cos sin 3sin 2S αααααα=++=++所以当sin 21α=，即45α=时，1S有最小值7+． …………………………8分（2）在方案二：在三角形DBA 中，设,(0,120)DBA ββ∠=∈，则sin(120)sin 60DB ABβ=-，解得)DB β=-， ……………………………………………………10分三角形CBE 中，有sin sin 60EB CB β=，解得EB β=，……………………12分))ββββ-=，…14分，所以面积2S的最大值为243=．……16分 20．解（1）因为()ln 1f x x '=+，由()0f x '>，得1x e>，所以()f x 的单调增区间为1(,)e+∞，……………………………………………………2分又当1(0,)x e ∈时，()0f x '<，则()f x 在1(0,)e上单调减，当1(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 在1(,)e+∞上单调增，所以()f x 的最小值为11()f e e=-． …………………………………………………5分（2）因为()ln 1f x x '=+，21()32g x ax '=-，设公切点处的横坐标为x ，则与()f x 相切的直线方程为：(ln 1)y x x x =+-，与()g x 相切的直线方程为：2312(3)223y ax x ax e=---，所以231ln 13,222,3x ax x ax e ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩ …………………………………………………………8分解之得1ln x x e =-，由（1）知1x e=，所以26e a =． …………………………10分（3）若直线1l 过22(,2)e e ，则2k =，此时有ln 12x +=（x 为切点处的横坐标），所以x e =，m e =-， ………………………………………………………………11分当2k >时，有2:l (ln 1)y x x x =+-，1:l (ln 1)y x x =+，且2x >，所以两平行线间的距离2(ln 1)x d x =+，………………………………………12分令()ln (ln 1)h x x x x x x =-+-，因为()ln 1ln 1ln ln h x x x x x '=+--=-，所以当x x <时，()0h x '<，则()h x 在(0,)x 上单调减；当x x >时，()0h x '>，则()h x 在2(,)x e 上单调增，所以()h x 有最小值()0h x =，即函数()f x 的图象均在2l 的上方，………………13分令22()ln 2ln 2x t x x x =++，则2222222ln 4ln 42ln 22ln 2ln 2()0(ln 2ln 2)(ln 2ln 2)x x x x x x x x x x x x x t x x x x x ++--++'==>++++，所以当x x >时，()()t x t x >，………………………………………………………15分所以当d 最小时，x e =，m e =-．…………………………………………………16分。

江苏省苏州市2015届高三上学期期中测试数学试卷(含附加题)

0177第一学期高三期中数学调研测试试卷2014.11学号_______ 姓名___________一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．集合{}1,2的子集个数为．2．“0x ∀>，1x x +>”的否定是 __________ ． 3．函数()sin cos f x x x =的最大值是． 4．已知tan 15,α=-且3(,2)2∈παπ，则cos α＝ ____ ． 5．等差数列{}n a 中，122,a a +=788,a a +=则该数列前十项的和10S = __ ． 6．平面向量a (3,1)=，b (23,2)=-，则a 与b 的夹角为 ___ ．7．已知3()2=-++f x ax cx ，若(5)7=f ，则(5)-=f __ ． 8．如图，在∆ABC 中，已知4=B π，D 是BC 边上一点，10=AD ，14=AC ，6=DC ，则=AB __ ．9．已知直线30ax by --=与()e x f x x =在点(1,e)P 处的切线互相垂直，则ab= ． 10．函数1lg 1y x x =-+的零点个数是．11．已知平行四边形ABCD 中，2AB =，3AB AD AC ABADAC+=，则ABCD 的面积为．12．已知正实数,x y 满足24x y +=，则14y x y+的最小值为． 13．已知函数22(1)()21(1)x ax x f x ax x ⎧-+=⎨-<⎩≥，若存在两个不相等的实数12,x x ，使得12()()f x f x =，则a 的取值范围为．14．若关于x 的不等式ax 2＋x －2a ＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a 的取值范围为．CDBA二、解答题(本大题共6个小题，共90分， 15．(本题满分14分)已知向量a ()3sin ,cos x x =，b ()cos ,cos x x =，()2f x =a b1-．(1)求函数()f x 的单调递减区间及其图象的对称轴方程；(2)当[]0,x π∈时，若()1f x =-，求x 值．16．(本题满分14分)已知△ABC 的面积为S ，且AB AC S ⋅=．（1）求tan A 的值；（2）若4B π=，3c =，求△ABC 的面积S ．17．(本题满分14分)如图，已知海岛A 到海岸公路BC 的距离AB 为50km ，B ，C 间的距离为100km ，从A 到C ，必须先坐船到BC 上的某一点D ，船速为25/km h ，再乘汽车到C ，车速为50/km h ，记∠=BDA θ．（1）试将由A 到C 所用的时间t 表示为θ的函数()t θ；（2）问θ为多少时，由A 到C 所用的时间t 最少？18．(本题满分16分)已知函数2()1f x x =-，()1g x a x =-，()()()F x f x g x =-． (1) 2a =，[]0,3x ∈，求()F x 值域；(2) 2a >，解关于x 的不等式()F x ≥0．19．(本题满分16分) 设函数32()(,)2b f x x x cx bc =++∈R ．（1）2=b ，1=-c ，求()=y f x 的单调增区间；（2）6b =-，()()g x f x = ，若()g x ≤kx 对一切[]0,2x ∈恒成立，求k 的最小值()h c 的表达式；θD CB A20．(本题满分16分)已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S .若424S S =,221n n a a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意m *∈N ，将数列{}n a 中落入区间2(2,2)m m 内的项的个数记为{}m b ①求数列{}m b 的通项公式m b ；②记2122m m mc b -=-，数列{}m c 的前m 项和为m T ，求所有使得等式111+-=-+m m t T t T t c 成立的正整数m ，t ．2014—2015学年第一学期高三期中调研测试试卷数学 (附加) 2014.11注意事项：1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲) （本小题满分10分）如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A ，B ，C ，D ，E ，求证：AB ·CD = BC ·DE ．B ．(矩阵与变换)（本小题满分10分）已知曲线2:2C y x = ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程．C ．(极坐标与参数方程) （本小题满分10分）已知曲线1C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为22cos 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，判断两曲线的位置关系．NME DC BAD ．(不等式选讲)（本小题满分10分）已知a ，b 是正实数，求证：22(1)(1)9a b a b ab ++++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 21==．（1）求证：⊥PQ 平面DCQ ；（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小．23．(本小题满分10分)某校要进行特色学校评估验收，有甲、乙、丙、丁、戊五位评估员将随机去,,A B C 三个不同的班级进行随班听课，要求每个班级至少有一位评估员．（1）求甲、乙同时去A 班听课的概率；（2）设随机变量ξ为这五名评估员去C 班听课的人数，求ξ的分布列和数学期望．ABCD PQ2014—2015学年第一学期期中考试高三数学参考答案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．4 2．0,x $>使1x x +≤ 3．12 4．14 5． 30 6．23p7．3-8．56 9．12e -10．3 11．23 12．1 13．0,a ³ 14． 23[,)77二、解答题 (本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)解：解：（1）()2f x =2(3sin cos cos )x x x +1-3sin 2cos 2x x =+2sin(2)6x π=+ …………………………………………………………………………2分 3222262k x k πππππ+≤+≤+263k x k ππππ⇒+≤≤+，…………………………5分即函数()f x 的单调递减区间2[,],Z 63k k k ππππ++∈-------------------------------------6分令26226k x k x πππππ+=+⇒=+，------------------------------------------------------------8分即函数()f x 的对称轴方程为,Z 26k x k ππ=+∈-----------------------------------------------9分（2）()1f x =-，即12sin(2)1sin(2)662x x ππ+=-⇒+=--------------------------------10分[]130,2[,]666x x ππππ∈⇒+∈；72662x x πππ+=⇒=----------------------------------------------------------------------------------12分1152666x x πππ+=⇒=-------------------------------------------------------------------------------14分（注：Z ∈k 漏写扣1分） 16．(本题满分14分)（1）设△ABC 的角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,.AB AC S ⋅=,A bc A bc sin 21cos =∴,-----------------------------------------------------------3分A A sin 21cos =∴, 2tan =∴A . ------------------------------------------------------------6分（2） 20,2tan π<<=A A ,55cos ,552sin ==∴A A . --------------------------------------------------------------------------9分 ()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B∴=+=+25252310.525210=⋅+⋅=-----------------------------------------------------------11分由正弦定理知：5sin sin sin sin =⋅=⇒=B Ccb B b Cc ,---------------------------------13分35523521sin 21=⋅⋅==A bc S .----------------------------------------------------------14分17．(本题满分14分)解：（1）50sin =AD θ，所以A 到D 所用时间 12sin =t θ---------------------------------------------------2分 5050c o s t a n s i n ==BD θθθ，50cos 100100sin =-=-CD BD θθ所以D 到C 所用时间2cos 2sin =-t θθ---------------------5分所以122cos ()2sin -=+=+t t t θθθ------------------------6分（2）222sin (2cos )cos 12cos ()sin sin ---'==t θθθθθθθ----8分令()0'>t θ1cos 2⇒<θ32⇒<<ππθ；所以(,)32∈ππθ，()t θ单调增；------10分令0∠=BCA θ，则同理03<<πθθ，()0'<t θ，()t θ单调减-----------------------12分所以3=πθ，()t θ取到最小值；---------------------------------------------------------13分答：当3=πθ时，由A 到C 的时间t 最少----------------------------------------------14分注：若学生写03<<πθ，()0'<t θ，()t θ单调减，不扣分18．(本题满分16分)θDCBA解：（1）()()()F x f x g x =-2121x x =---2221(13)23(01)x x x x x x ⎧-+≤≤=⎨+-≤<⎩；-----------------2分13x ≤≤，[]2210,4x x --∈；--------------------------------------------------------------------------4分 01x ≤<，[)2233,0x x +-∈-；------------------------------------------------------------------------6分所以()()()F x f x g x =-的值域为[3,4]-；-----------------------------------------------------------7分（2）(1)(1)(1)()(1)(1)(1)x x a x F x x x a x -+-≥⎧=⎨-++<⎩；-----------------------------------------------------------9分 1x ≥，()0F x ≥，2a >，得1≤x 或1x a ≥-；1x a ⇒≥-或1=x --------------------------12分 1x <，()0F x ≥，得1≤--x a 或1≥x ；1⇒≤--x a ------------------------------------------14分综上：()01≥⇒≤--F x x a 或1≥-x a 或1=x --------------------------------------------------16分19．(本题满分16分)解：（1）322()(1)f x x x x x x x =+-=+-1515()()022x x x ---+=--> 1502x --⇒<<或 152x -+>-------------------------------------------------------1分 2()321(1)(31)0f x x x x x '=+-=+->1x ⇒<-或13x >-----------------------------2分所以15(,1)2---与15(,)2-++∞为()y f x =单调增区间；----------------------3分同理 15()02f x x --<⇒<或1502x -+<<----------------------------------------4分()0f x '<113x ⇒-<<----------------------------------------------------------------------5分所以1(0,)3为()y f x =单调增区间---------------------------------------------------------6分综上 ()y f x =的单调增区间为15(,1)2---， 1(0,)3， 15(,)2-++∞-----7分（2）()g x kx ≤即32|3|x x cx kx -+≤．当0x =时，上式对一切[0,2]x ∈恒成立；当(0,2]x ∈时，即2|3|x x c k -+≤对一切(0,2]x ∈恒成立．∴2max ()|3|h c x x c =-+，(0,2]x ∈--------------------------------------------------------9分I ）当94c ≥时，2max |3|-+x x c 在0x =时取得，∴()h c c =---------------------10分II ）当94c <时，（ⅰ）若0≤c 则9204-<-<≤c c c 所以2max 9|3|4-+=-x x c c -------------------------------------------------------------12分（ⅱ）904<<c 因为924-<-c c ，且2-<c c 所以2-c 不会是最大值；---------------------13分所以2max 99(),984|3|max{,}994().48c c x x c c c c c ⎧<<⎪⎪-+=-=⎨⎪-⎪⎩≤----------------------------15分由I ），II ），得9(),8()99().48⎧>⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩c c h c c c ≤---------------------------------------------------16分20．(本题满分16分)解：（１）421142563S S a d a d =⇒+=+，即12d a =；------------------------------1分2211n n n a a a nd =+⇒=-； ------------------ ------------------------------------2分所以11,2a d ==，21n a n =-；------------------ ------------------------------------4分（２）22212mmn <-<221221m m n ⇒+<<+------------------ -----------------6分121112222m m n --⇒+<<+121212m m n --⇒+≤≤；------------------ -------------8分得21122m m m b --=-； ------------------ ------------------------------------------------9分2122m m m c b -=-2121()22m m --==；------------------ -------------------------------------10分得1412m m T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，------------------ -------------------------------------------------------------11分由111+-=-+m m t T t T t c ，得111++=+-m t m c c T t ，化简得221(4)242-=--m t t ，即1(4)242---=m t t ，即1(4)242--=+m t t ．------------------------------------------- 13分（*）因为t 1240-+>，所以(4)20-⋅>m t ，所以t 4<，因为*t ∈N ，所以t 1=或2或3．当t 1=时，由（*）得325⨯=m ，所以无正整数解；当t 2=时，由（*）得226⨯=m ，所以无正整数解；当t 3=时，由（*）得28=m ，所以3=m ．综上可知，存在符合条件的正整数3m t ==．-------------------------------------------16分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．(几何证明选讲, 本题满分10分)证明：由相交弦定理，得AC ·CD = MC ·NC ．BC ·CE = MC ·NC ．∴AC ·CD = BC ·CE ． ……………3分即（AB + BC ）·CD = BC ·（CD + DE ）． ……6分也即AB ·CD + BC ·CD = BC ·CD + BC ·DE ．∴AB ·CD = BC ·DE ． ………………10分B ．(矩阵与变换, 本题满分10分)解：设A NM =N M E DC B A则A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………………………3分设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ，则 02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',1'.2x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ……………………………7分又点()','P x y 在曲线2:2C y x = 上，∴ 21()22x y -=，即218y x =．………………………………10分C ．(极坐标与参数方程, 本题满分10分)解：将曲线12,C C 化为直角坐标方程得：1:320C x y ++=，----------------------------------------------------------------------3分222:220C x y x y +--=-------------------------------------------------------------------6分即()()222:112C x y -+-=，圆心到直线的距离()22132332213d +++==>+，-------------------------8分 ∴曲线12C C 与相离．-----------------------------------------------------------------------10分D ．(不等式选讲, 本题满分10分)∵a ，b 是正实数， ………………………… 2分∴313a b ab ++≥，3222213a b a b ++≥． ………………………… 5分当a ＝b 时，以上两个不等式均取等号． ………………………… 7分相乘，得22(1)(1)9a b a b ab ++++≥． ………………………… 10分22．(本题满分10分)（1）由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，可以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． ……………………1分设a AB =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ，故),0,0(a DC =，)0,,(a a DQ =，)0,,(a a PQ -=， ………………2分因为0=⋅PQ DC ，0=⋅PQ DQ ，故PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥，即PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥，又DC DQ D = ……4分所以，⊥PQ 平面DCQ ． ………………………5分（2）因为⊥DC 平面ADPQ ，所以可取平面ADPQ 的一个法向量为)1,0,0(1=n ， --------------------------------6分点B 的坐标为),0,(a a ，则),,0(a a QB -=，),,(a a a QC --=，设平面BCQ 的一个法向量为),,(2z y x n = ，则02=⋅QB n ，02=⋅QC n，故⎩⎨⎧=+--=+-,0,0az ay ax az ay 即⎩⎨⎧=+--=+-,0,0z y x z y 取1==z y ，则0=x ，故)1,1,0(2=n． -------------------------------------------------------------------------------------------8分设1n 与2n 的夹角为θ，则2221||||cos 2121==⋅=n n n n θ．-------------------------------------- 9分所以，平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小为4π-------------------------------------- 10分23．(本题满分10分)（1）五名评估员随机去三个班级听课，要么一个班级有三个、其余两个班级各一个；要么两个班级各两个、另一个班级一个。

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