线形代数-向量的线性相关性与矩阵的秩
线性代数疑难问题解答
线性代数疑难问题解答第一章 行列式1. 排列21)1( -n n 的逆序数是2)1(-n n ，那么如何来确定它的奇偶性?解答：我们可以看一下这个排列的奇偶性随着n 的变化情况，然后找出规律。
,1=n 2)1(-n n ＝0，偶排列； ,2=n 12)1(=-n n ，奇排列； ,3=n 32)1(=-n n ，奇排列； ,4=n 62)1(=-n n ，偶排列； ,5=n 102)1(=-n n ，偶排列； ,6=n 152)1(=-n n ，奇排列 可以看出，奇偶性的变化以4为周期，因此我们可以总结如下：当k n 4=或14+=k n 时, 2)1(-n n 是偶数，所以排列是偶排列,当24+=k n 或34+=k n 时, 2)1(-n n 是奇数，所以排列是奇排列.2．行列式定义最基本的有哪些？答：行列式定义最基本的有以下两种： 第一种方式：用递推的方式给出，即 当11)(⨯=a A 时，规定a =A ；当n n ij a ⨯=)(A 时，规定∑∑==+=-=nj ij ij ij ij nj ji A a M a 11)1(A其中ij M 为A 中去掉元素ij a 所在的行和列后得到的1-n 阶行列式，称为A 中元素ij a 的余子式，ij j i ij M A +-=)1(称为ij a 的代数余子式。
第二种方法：对n 阶行列式A 用所有!n 项的代数和给出，即∑-==n np p p t nnn n nna a a a a a a a a a a a A2121212222111211)1(其中n p p p ,,,21 为自然数n ,,2,1 的一个排列，t 为这个排列的逆序数 第一种方式的思想是递推，其实质也是“降阶” ，在实际计算行列式中有着重要的应用。
第二种方式的思想是对二阶、三阶行列式形式的推广，更利于理解行列式的性质。
3．行列式的主要问题是什么？答：行列式的主要问题就是计算行列式的值，其基本方法是运用行列式性质，化简所给行列式而计算之。
线性代数第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩
第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩何建军§3 • 1 概念与性质3.1.1向量的概念和运算1、n维向量：n个数构成的一个有序数组（a i，a2,…，a n），称为一个n维向量，记为〉=佝，a2 ,…，a n ），并称为n维行向量，a i称为〉的第i个分量，〉的转置T T（a1,a2, a n）称为n维向量。
2、相等：若a =@182,…,a n），p =（D,b2,…,b n），当且仅当a i =b i（i =1,2,…，n）时，：，：。
3、加法：」-a b!,a2 b2^ ,a n b n4、数乘：k ka1,ka2,…,ka n ，（k 为常数）5、內积:匕0 】=aQ +a?b2 + …+a“b n3.1.2向量组的线性相关性1、线性组合：给定向量组A : 对于任何一组实数匕出,…，k m，向量k V1 k^ 2肚m称为向量组A的一个线性组合，匕*?,…，k m称为这个线性组合的组合系数2、线性表示：给定向量组A : 〉1「2,i「m和向量：，如果存在一组数n n « n'1, '2, ，‘ m ,使得■- = ‘1〉1 ‘2〉2 •…-'rn'm则向量-能有向量组A线性表示，向量-是向量组A的线性组合。
3、线性相关：给定向量组A : ‘1厂2,厂m,如果存在一组不全为零的数k1 , k2 , , k m，使得kr 1 k2〉2 k m〉m=o则称向量组A是线性相关的。
4、线性无关：向量组A ：r,〉2,…，〉m,不线性相关，称向量组A线性无关，即不存在不全为零的数k1,k2, , k m使得1• k2「2•■ k m m=0成立，即只有当k1二Q二=k m=0时，才有k^ 1 k2「2 ' k^' m=0成立。
（如果存在一组数k-k2，,k m 使得k V 1 k^ ■k m「m=0，则必有k1= k2 = = k m=0，称向量组A 线性无关）注：含有零向量的向量组一定线性相关。
矩阵的秩与向量组线性相关性的判定
矩阵的秩与向量组线性相关性的判定作者：单彩虹李慧珍夏静来源：《文理导航·教育研究与实践》2016年第06期【摘要】向量组的线性相关性是线性代数中的最重要也是最基本的内容，本文通过两个例子来看一下矩阵的秩在向量组线性相关性判定中的应用。
【关键词】向量；矩阵；线性代数矩阵、向量组的线性相关性是线性代数中的最重要也是最基本的内容，它们关系密切，无法割裂开来。
矩阵是研究线性代数各类问题的载体，矩阵的秩也是判定向量组线性相关性常用的方法。
下面我们就通过两个例子来看一下矩阵的秩在判定向量组线性相关性时的应用。
向量组线性相关性判定定理向量组a1，a2，…am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=（a1，a2，…am）的秩小于向量个数m；向量组线性无关的充分必要条件是R（A）=m。
例1设b1=a1，b2=a1+a2，…，br=a1+a2+…+ar且向量组a1，a2，…，ar线性无关，证明向量组b1，b2，…，br线性无关。
证先把向量组b1，b2，…，br由向量组a1，a2，…，ar线性表示的关系式写成矩阵形式：记为B=AK，因为detK=1，所以K是可逆矩阵，由矩阵秩的性质可知R（b1，b2，…，br）=（a1，a2，…，ar）又因为a1，a2，…，ar线性无关，由向量组线性相关性判定定理可知R（a1，a2，…，ar）=r，从而有R（b1，b2，…，br）=r，再次运用定理知向量组b1，b2，…，br线性无关。
例2 设b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a4，b4=a4+a1，证明向量组b1，b2，…，br线性相关。
证一根据题设可得b1-b2+b3-b4=（a1+a2）-（a2+a3）+（a3+a4）-（a4+a1）=0由定义，知向量组b1，b2，…，br线性相关。
证二两向量组表示的矩阵形式为：因为detK=0，所以R（K）由矩阵秩的性质知R（b1，b2，b3，b4）≤R（K）由判定定理，向量组b1，b2，…，br线性相关。
第三版线代第四章
推论： 对n阶矩阵 A [a1 a2 an ], r( A) n 的充要条件是至 少有一列可由其余列线性表出，此时又等价于 det( A) 0 。
定理5 若已知向量v1、… 、vk线性无关，而加上
向量 v后，向量v 、v1、… 、vk成线性相关，则向量v
可依v1、… 、vk线性表出，且表出式是惟一确定的.
（ 5-
先用反证法证明，其中的 先用反证法证明，其中的 不可能等于零 不可能等于零 .
例6 给定向量集S1 {1 , 2 , 3}及S2 {1 , 2 , 3 , 4 }，其中
1 1 3 2 ， = 2 ， = 0 ， = 5 ， 1 = 1 ）S1是否线性相关，（2）S2是否线性相关以及 4可否依S1线性表出？
(4-4)
或写成矩阵-向量形式
Ax b
(4-4)
称m n矩阵A=[aij]为其系数矩阵，分块形式的 m (n+1)矩阵 A [ Ab] 为方程组的增广矩阵，
x=[x1 x2 … xn]T是n维的未知数向量, b=[b1 b2
… bm]T是m维自由项(或右端项)非零向量. 称与 之具有相同系数矩阵的方程组
若将A的任一方子矩阵的行列式称为A的子行
列式或者简称为子式，则定义１可以说成r (A)是A
的一切的非零子式的最高阶数. 即若r (A) = k ,则A
至少有一个取非零值的k阶子式，而任一k + 1阶子 式(如果存在的话)的值必为零.
例1 求下列矩阵的秩:
2 1 1 (2) B (1) A 2 2 1 4 8 2 1
(4)若r(A)=k，则A至少有一个非零的k阶子式，但
不能说明A的所有k阶子式均不为零，然而可以断 定一切高于k阶(如果存在的话)的子式必为零。
线性代数_ 向量组的线性相关性与矩阵的秩_
上一页
定理1
若矩阵 A 中至少有一个 k 阶子式不为零，而 所有的 k+1 阶子式全为零，则 r ( A ) = k .
证： 由于 A 的所有 k + 1 阶子式全为零，则 A 的任 一 k + 2 阶子式按某行( 列 )展开后必为零，进而全 部高于 k + 1 阶的子式全为零。 又由于 A 中至少有一个 k 阶子式不为零, 故 A 的最高阶非零子式为 k 阶，因此 r ( A ) = k .
定义2
设 A 为 m n 矩阵，在 A 中任取 k 行 k 列 ( 1 ≤ k ≤ min{m, n}), 由交叉处的 k2 个元素 ( 不改变它们的相对 位置 ) 所构成的方阵称为A的一个k 阶子阵，其行列式 称为 A 的一个 k 阶子式。
取矩阵 A 的前 k 行前 k 列所构成的子阵称为矩阵 A 的 k 阶顺序主子阵，其行列式称为 A 的 k 阶顺序主子 式。
反之, 如果 k1bi1 krbir 0,
则
k1Pai1
kr Pair
两边左乘P1
0 k1ai1
krair
0.
因此结论成立。
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推论1
设矩阵A, B, P 满足 B = PA，其中P为 可逆阵。则 （1） r(A) = r(B); （2） A, B 的列向量组的极大无关组一 一对应，并 且其余向量由极大无关组线性表示相同
a j k1ai1 krair b j k1bi1 krbir .
推论2
矩阵 A 经初等行变换化为矩阵 B, 则 A, B具有定 理2及推论1的结论。
上一页
例1
1 1 2 1
求矩阵 A 3 1
0
2
的秩.
1 3 4 4
线性代数 线性相关性与秩
将(r +1)阶行列式Dj按最后一列展开，有：
a1 j A1 + a2 j A2 +
α1 A1 + α 2 A2 +
+ arj Ar + ar +1, j Dr = 0
j = 1,2, ,n
按向量形式写，上式为：
+ α r Ar + α r +1 Dr = 0 ∵ Dr ≠ 0, ⇒ α1 , α 2 , , α r +1线性相关, 从而α1 , α 2 , , α m 线性相关。
若存在一组不全为零的数 k1 , km , 使向量组 α1 , k1α1 + kmα m ≠ 0, 则 α1 , α m线性无关
α m的线性组合
× √
向量组 α1 ,
α m (m ≥ 2) 线性无关 ⇔ 该向量组中任意t (1 ≤ t ≤ m)个线性无关
向量组 α1 ,
α m (m ≥ 2) 中任取两个向量线性无关 ⇒ 该向量组线性无关
称为向量组的秩，记为 r (α1 , α 2 , , α m ). r(0)=0 注：（1）线性无关的向量组的秩=向量的个数。 （2）向量组线性无关⇔秩=向量个数。
若α1 , α 2 , , α m 可由β1 , β 2 , , β s 线性表示，则 定理3： r (α1 , α 2 , , α m ) ≤ r ( β1 , β 2 , , βs )
注: 1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身;
2.向量组与其极大无关组等价; 3.同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是 等价的.
例:求向量组的极大无关组. α1 = (1,2,−1), α 2 = ( 2,−3,1), α 3 ⎛1 2 ⎛ α1 ⎞ ⎛ 1 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ A = ⎜α 2 ⎟ = ⎜ 2 − 3 1 ⎟ → ⎜ 0 − 7 ⎜0 − 7 ⎜ α ⎟ ⎜ 4 1 − 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝
【知识】线性代数第3章知识梳理
【关键字】知识本章结构常用方法：1、矩阵化等价标准形，求出矩阵的秩，则标准形2、求矩阵的逆3、消元法求线性方程组的解增广矩阵行最简阶梯4、求矩阵的秩5、判断向量能否由向量组线性表示以为列向量的矩阵行最简阶梯6、求向量组的秩和一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组线性表示以为列向量的矩阵行最简阶梯7、用根底解系表示(非)齐次线性方程组的全部解增广矩阵行最简阶梯一、用消元法求解非齐次线性方程组1、，进而求出和2、观察和的关系：(1) ，方程组无解；(2) ，方程组有解：①、，方程组有唯一解；②、，方程组有无穷多个解.3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零；4、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数，可得方程组的全部解。
定理3.1线性方程组有解，且当时方程组有唯一解；当，方程组有无穷多个解.二、用消元法求解齐次线性方程组：1、，进而求出；2、观察：(1) ，方程组有唯一解，即只有零解；(2) ，方程组有无穷多个解，即有非零解；3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零；4、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数，可得方程组的全部解。
定理3.2齐次方程组有非零解推论当，即当方程个数小于未知元个数时，齐次线性方程组有非零解三、维向量的概念及线性运算（看作特殊的矩阵）书P121－123四、向量与向量组的线性组合（向量由向量组线性表示）对非齐次线性方程组，设，，则线性方程组可表示，从而.定义3.5 （P124）对于给定向量，如果存在一组数，使成立，则称向量是向量组的线性组合，或称向量可由向量组线性表示。
线性组合的判别定理设向量，向量，则五、向量组的线性相关性对齐次线性方程组，设，，则齐次线性方程组可表示为.它一定有零解，考虑其是否有非零解：定义3.7（P128）对于向量组，如果存在一组不全为零的数使成立，则称向量组线性相关；否则称向量组线性无关.注：（1）线性无关.（2）一个零向量线性相关；一个非零向量线性无关.（3）包含零向量的任何向量组都是线性相关的.（4）仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的分量对应成比例。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标（1）理解线性代数的基本概念和原理；（2）掌握线性代数的基本运算方法和技巧；（3）能够应用线性代数解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组；（2）矩阵及其运算；（3）线性空间和线性变换；（4）特征值和特征向量；（5）二次型。
二、第一章：线性方程组1. 教学目标（1）理解线性方程组的定义和性质；（2）掌握线性方程组的求解方法；（3）能够应用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组的定义和性质；（2）线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则；（3）线性方程组的应用：线性规划、电路方程等。
三、第二章：矩阵及其运算1. 教学目标（1）理解矩阵的定义和性质；（2）掌握矩阵的运算方法；（3）能够应用矩阵解决实际问题。
2. 教学内容（1）矩阵的定义和性质；（2）矩阵的运算：加法、数乘、乘法；（3）矩阵的逆矩阵及其求法；（4）矩阵的应用：线性方程组、线性变换等。
四、第三章：线性空间和线性变换1. 教学目标（1）理解线性空间和线性变换的定义和性质；（2）掌握线性变换的表示方法；（3）能够应用线性变换解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性空间的定义和性质；（2）线性变换的定义和性质；（3）线性变换的表示方法：矩阵表示、坐标表示；（4）线性变换的应用：图像处理、信号处理等。
五、第四章：特征值和特征向量1. 教学目标（1）理解特征值和特征向量的定义和性质；（2）掌握特征值和特征向量的求法；（3）能够应用特征值和特征向量解决实际问题。
2. 教学内容（1）特征值和特征向量的定义和性质；（2）特征值和特征向量的求法：幂法、矩阵对角化；（3）特征值和特征向量的应用：线性变换、振动系统等。
六、第五章：二次型1. 教学目标（1）理解二次型的定义和性质；（2）掌握二次型的标准形和规范形；（3）能够应用二次型解决实际问题。
2. 教学内容（1）二次型的定义和性质；（2）二次型的标准形和规范形：配方法、矩阵的对角化；（3）二次型的应用：最小二乘法、优化问题等。
一个向量组线性相关的判定方法
交流Experience ExchangeDI G I T C W 经验262DIGITCW2019.05定义：给定一个向量组I ，若存在m 个不全为零的数，使得成立，则称向量组线性相关。
否则，称向量组线性无关。
等价定义：若向量组I 中至少有一个向量能由其余的向量线性表出，则该向量组线性相关。
给出任意一个向量组，判断其线性相关性，有以下几种判定方法：（1）包含零向量的向量组必线性相关。
若，则有，所以向量组线性相关。
（2）只含有一个向量的向量组线性相关该向量是零向量。
“”若，有，所以α线性相关。
“”若线性相关，则存在，使得，得到。
（3）含有两个向量的向量组线性相关它们的对应分量成比例。
“”若线性相关，存在不全为零的数，使得成立。
假设，则有，故对应分量成比例。
“”若对应分量成比例，一定存在数，使得或者，则有线性相关。
例1：对应分量不成比例，所以向量组线性无关。
（4）单位向量组必线性无关。
由于，有，所以单位向量组线性无关。
（5）向量组的向量个数>向量维数，必线性相关。
任意一个向量都可以由单位向量线性表出，即有下，又因为单位向量组是线性无关的，由等价定义可得，该向量组必线性相关。
判断一个向量组是否线性相关等价于判断一个齐次线性方程组是否有非零解，令向量组中向量的维数等于方程的个数，向量的个数等于方程中未知量的个数，即可构成一个齐次线性方程组。
例2：讨论的线性相关性。
解：由向量方程，可以得到齐次线性方程组由于齐次线性方程组系数矩阵A 的秩，故该齐次线性方程组有非零解，即不全为零，所以向量组线性相关。
（6）向量组的向量个数 向量维数时，判断对应的齐次线性方程组是否有非零解，只需要根据其系数行列式和系数矩阵来判定即可，故有以下两种判定方法：方法一：以各向量为列向量组成行列式D ，方法二：以各向量为列向量组成矩阵A ，进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，例3：讨论向量组，，的线性相关性。
解：由向量方程，可以得到齐次线性方程组所以向量组线性相关。
线性代数--向量组线性相关性
第四章 向量组的线性相关性§4.1 向量及其运算1．向量：个数构成的有序数组, 记作n n a a a ,,,21L ),,,(21n a a a L =α, 称为维行向量．n –– 称为向量i a α的第i 个分量R ∈i a –– 称α为实向量（下面主要讨论实向量） 零向量 )0,,0,0(L =θ；负向量 ),,,()(21n a a a −−−=−L α 2．线性运算：),,,(21n a a a L =α, ),,,(21n b b b L =β相等：若, 称),,2,1(n i b a i i L ==βα=．加法：=+βα),,,(2211n n b a b a b a +++L数乘：),,,(21n ka ka ka k L =α减法：=−βα=−+)(βα),,,(2211n n b a b a b a −−−L 3．算律：),,,(21n a a a L =α,),,,(21n b b b L =β,),,,(21n c c c L =γ(1) αββα+=+ (5) αα=1(2) )()(γβαγβα++=++ (6) αα)()(l k l k =(3) αθα=+ (7) βαβαk k k +=+)((4) θαα=−+)( (8) αααl k l k +=+)(4．列向量：个数构成的有序数组, 记作, n n a a a ,,,21L ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a M 21α或者, 称为维列向量．T 21),,,(n a a a L =αn 零向量： 负向量： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000M θ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=−n a a a M 21)(α 5．内积：设实向量),,,(21n a a a L =α, ),,,(21n b b b L =β, 称 实数n n b a b a b a +++=L 2211],[βα为α与β的内积． 算律：),,,(21n a a a L =α,),,,(21n b b b L =β,),,,(21n c c c L =γ(1) ],[],[αββα=(2) ],[],[βαβαk k = （为常数）k (3) ],[],[],[γβγαγβα+=+(4) θα≠时, 0],[>αα；θα=时, 0],[=αα． (5)],[],[],[2ββααβα⋅≤证(5) R ∈∀t , 由0],[≥++βαβαt t 可得0],[],[2],[2≥++t t βββααα ⇒≤0Δ0],[],[4],[42≤⋅−ββααβα],[],[],[2ββααβα⋅≤⇒6．范数：设实向量α, 称实数],[ααα=为α的范数．性质：(1) θα≠时, 0>α；θα=时, 0=α．(2) αα⋅=k k )R (∈∀k(3) βαβα+≤+(4) βαβα−≤−证(3) ],[],[2],[],[2βββαααβαβαβα++=++=+()2222βαββαα+=++≤7．夹角：设实向量θα≠,θβ≠, 称 βαβαϕ],[arccos= )π0(≤≤ϕ为α与β之间的夹角． 正交：若0],[=βα, 称α与β正交, 记作βα⊥．(1) θα≠,θβ≠时, βα⊥2π=⇔ϕ； (2) θα=或θβ=时, βα⊥有意义, 而ϕ无意义．单位化：若θα≠, 称ααα10=为与α同方向的单位向量．§4.2 向量组的线性相关性1．线性组合：对n 维向量α及m αα,,1L , 若有数组使m k k ,,1L 得m m k k ααα++=L 11, 称α为m αα,,1L 的线性组合,或称α可由m αα,,1L 线性表示．例1 , , , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=1011β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1112β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=1133β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1354β 判断4β可否由321,,βββ线性表示?解 设3322114ββββk k k ++=，比较两端的对应分量可得, 求得一组解为．故 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−321111110311k k k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=135⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡120321k k k 3214120ββββ++=, 即4β可由321,,βββ线性表示．[注] 取另一组解时, 有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡032321k k k 3214032ββββ++=． 2．线性相关：对n 维向量组m αα,,1L , 若有数组不全m k k ,,1L 为0, 使得 θαα=++m m k k L 11, 则称向量组m αα,,1L 线性相关；否则，称为线性无关．线性无关：对维向量组n m αα,,1L , 仅当数组全m k k ,,1L 为0时, 才有 θαα=++m m k k L 11, 称向量组m αα,,1L 线性无关；否则，称为线性相关．[注] 对于单个向量α：若θα=, 则α线性相关；若θα≠, 则α线性无关．例2 判断例1中向量组4321,,,ββββ的线性相关性． 解 设θββββ=+++44332211k k k k , 比较对应分量可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−0001111311053114321k k k k 即0=Ax ．因为未知量的个数是4, 而4rank <A , 所以0=Ax 有非零解, 由定义知4321,,,ββββ线性相关．例3 已知向量组321,,ααα线性无关, 证明向量组211ααβ+=, 322ααβ+=, 133ααβ+= 线性无关．证 设 θβββ=++332211k k k , 则有θααα=+++++332221131)()()(k k k k k k 因为321,,ααα线性无关, 所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k , 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000110011101321k k k 系数行列式 02110011101≠=, 该齐次方程组只有零解．故321,,βββ线性无关．例4 判断向量组 )0,,0,0,1(1L =e , )0,,0,1,0(2L =e , … ,)1,0,,0,0(L =n e 的线性相关性．解 设 θ=+++n n e k e k e k L 2211, 则有⇒=θ),,,(21n k k k L 只有0,,0,021===n k k k L 故线性无关．n e e e ,,,21L 例5 设向量组m ααα,,,21L 两两正交且非零, 证明该向量组线性无关．证 设 θααα=+++m m k k k L 2211, 两端与i α作内积可得 ],[],[],[],[11i i m m i i i i k k k αθαααααα=++++L L 当j i ≠时, 0],[=j i αα, 于是有⇒=0],[i i i k αα只有0=i k )(θα≠i Q上式对于m i ,,2,1L =都成立, 故m ααα,,,21L 线性无关．3．判定定理定理1 向量组)2(,,,21≥m m αααL 线性相关⇔其中至少有一个向量可由其余1−m 个向量线性表示．证 必要性．已知m ααα,,,21L 线性相关, 则存在m k k k ,,,21L 不全为零, 使得 θααα=+++m m k k k L 2211．不妨 设, 则有 01≠k m m k k k k ααα)()(12121−++−=L ． 充分性．不妨设m m k k ααα++=L 221, 则有θααα=+++−m m k k L 221)1(因为不全为零, 所以m k k ,,,)1(2L −m ααα,,,21L 线性相关．定理2 若向量组m ααα,,,21L 线性无关, βααα,,,,21m L 线性相关, 则β可由m ααα,,,21L 线性表示, 且表示式唯一．证 因为βαα,,,1m L 线性相关, 所以存在数组不k k k m ,,,1L 全为零, 使得 θβαα=+++k k k m m L 11．若, 则 0=k θαα=++m m k k L 11, 从而有0,,01==m k k L 矛盾! 故, 从而有 0≠k m m kk k k ααβ)()(11−++−=L ．下面证明表示式唯一：若 m m k k ααβ++=L 11, m m l l ααβ++=L 11 则有 θαα=−++−m m m l k l k )()(111L因为m ααα,,,21L 线性无关, 所以0,,011=−=−m m l k l k L ⇒m m l k l k ==,,11L 即β的表示式唯一．定理3 r αα,,1L 线性相关⇒)(,,,,,11r m m r r >+ααααL L线性相关．证 因为r αα,,1L 线性相关, 所以存在数组不全为r k k ,,1L 零, 使得 θαα=++r r k k L 11, 即θαααα=++++++m r r r k k 00111L L数组不全为零, 故0,,0,,,1L L r k k m r r αααα,,,,,11L L +线性相关．推论1 含零向量的向量组线性相关．推论2 向量组线性无关⇒任意的部分组线性无关．课后作业：习题四 1, 2, 3, 4, 5定理4 设m i a a a in i i i ,,2,1,),,,(21L L ==α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m A αααM 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a L M M M L L 212222111211 (1) m ααα,,,21L 线性相关m A <⇔rank ；(2) m ααα,,,21L 线性无关m A =⇔rank ．证 设 θααα=+++m m k k k L 2211比较等式两端向量的对应分量可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00021212221212111M M L M M M L L m mn n n m m k k k a a a a a a a a a 即 0T =x A ．由定理3.5可得：m ααα,,,21L 线性相关0T =⇔x A 有非零解m A <⇔T rank m A <⇔rankn m 推论1 在定理4中, 当=时, 有(1) n ααα,,,21L 线性相关0det =⇔A ；(2) n ααα,,,21L 线性无关0det ≠⇔A ．n m 推论2 在定理4中, 当<时, 有(1) m ααα,,,21L 线性相关A ⇔中所有的阶子式；m 0=m D (2) m ααα,,,21L 线性无关⇔A 中至少有一个阶子式m 0≠m D ．推论3 在定理4中, 当时, 必有n m >m ααα,,,21L 线性相关．因为m n A <≤rank , 由定理4(1)即得．推论4 向量组：1T m i a a a ir i i i ,,2,1,),,,(21L L ==α向量组：2T m i a a a a in r i ir i i ,,2,1,),,,,,(1,1L L L ==+β若线性无关, 则线性无关．1T 2T 证 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×m r m A αααM 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=r m m m r r a a a a a a a a a L M M M L L 212222111211 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×m n m B βββM 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+++n m r m r m m n r r n r r a a a a a a a a a a a a L L M M M M L L L L 1,121,222111,1111 线性无关1T m A =⇒rank是A B 的子矩阵m A B =≥⇒rank rank⇒=⇒m B rank 2T 线性无关定理5 划分, 则有[]n m n m A βββαααL M 2121=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=×(1) 中某个A ⇒≠0r D A 中“所在的”个行向量线性无关；r D r中“所在的”r 个列向量线性无关．A r D (2) 中所有中任意的r 个行向量线性相关； A A D r ⇒=0 中任意的个列向量线性相关．A r 证 只证“行的情形”：(1) 设位于的行, 作矩阵, 则有r D A r i i ,,1L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=×r i i nr B ααM 1 r i i r B αα,,rank 1L ⇒=线性无关．(2) 任取中个行, 设为行, 作矩阵,A r r i i ,,1L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=×r i i nr B ααM 1 则有r i i r B αα,,rank 1L ⇒<线性相关．[注] 称m ααα,,,21L 为的行向量组A 称n βββ,,,21L 为的列向量组A §4.3 向量组的秩与最大无关组1．向量组的秩：设向量组为T , 若(1) 在T 中有r 个向量r ααα,,,21L 线性无关；(2) 在T 中任意个向量线性相关．1+r （如果有个向量的话）1+r 称r ααα,,,21L 为向量组T 的一个最大线性无关组,称为向量组T 的秩, 记作 秩r r T =)(．[注](1) 向量组中的向量都是零向量时, 其秩为0．(2) 秩r T =)(时, T 中任意个线性无关的向量都是T 的r 一个最大无关组．例如, , , , 的秩为2． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=011α⎥⎦⎤⎢⎣⎡=102α⎥⎦⎤⎢⎣⎡=113α⎥⎦⎤⎢⎣⎡=224α 21,αα线性无关21,αα⇒是一个最大无关组31,αα线性无关31,αα⇒是一个最大无关组定理6 设, 则1rank ≥=×r A n m (1) 的行向量组（列向量组）的秩为；A r (2) 中某个中所在的r 个行向量（列向量）A A D r ⇒≠0r D 是的行向量组（列向量组）的最大无关组．A 证 只证“行的情形”：A r A ⇒=rank 中某个0≠r D , 而中所有 A 01=+r D 定理5中所在的r 个行向量线性无关A ⇒r D 中任意的A 1+r 个行向量线性相关由定义：的行向量组的秩为, 且中所在的r 个行向A r A r D 是的行向量组的最大无关组．A 例6 向量组T ：, , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=2011β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0232β⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=1123β, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5324β求T 的一个最大无关组．解 构造矩阵[]4321ββββ=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=510231202231 求得⇒=2rank A 秩2)(=T矩阵中位于1,2行1,2列的二阶子式A 022031≠= 故21,ββ是T 的一个最大无关组．[注] T 为行向量组时, 可以按行构造矩阵．A 定理7n m n m B A ××,(1) 若, 则“的列”线性相关（线性无关）B A 行→A k c c ,,1L 的充要条件是“B 的列”线性相关（线性无关）； k c c ,,1L (2) 若, 则“的行”线性相关（线性无关）B A 列→A k r r ,,1L 的充要条件是“B 的行”线性相关（线性无关）． k r r ,,1L 证 (1) 划分[]n n m A αααL 21=×, []n n m B βββL 21=× 由可得 B A 行→[][]k k c c c c ββααL L 11行→ 故方程组 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0011M M L k c c x x k αα 与方程组 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0011M M L k c c x x k ββ 同解．于是有 k c c αα,,1L 线性相关011=+ 存在不全为0, 使得⇔k x x ,,1L +k c k c x x αL α 存在不全为0, 使得⇔k x x ,,1L 011=++k c k c x x ββL ⇔k c c ββ,,1L 线性相关同理可证(2)．[注] 通常习惯于用初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵A B ,当阶梯形矩阵B 的秩为时, r B 的非零行中第一个非零元素所在的个列向量是线性无关的．r 例如：求例6中向量组T 的一个最大无关组．构造矩阵[]4321ββββ=A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−=510231202231⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−→936031202231行B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→000031202231行 ⇒==2rank rank B A 秩2)(=TB 的1,2列线性无关的1,2列线性无关A ⇒21,ββ⇒是T 的一个最大无关组 例7 向量组T ：,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=31111α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=15312α,, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−=21233c α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=c 10624α 求向量组T 的一个最大无关组．解 对矩阵[]4321αααα=A 进行初等行变换可得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−−−=c c A 2131015162312311⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+−−−−−−−→67401246041202311c c 行 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−→2900070041202311c c 行B c =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−→2000070041202311行 (1) ：2≠c 4rank rank ==B AB 的1,2,3,4列线性无关的1,2,3,4列线性无关 A ⇒ 故4321,,,αααα是T 的一个最大无关组；(2) ：2=c 3rank rank ==B AB 的1,2,3列线性无关的1,2,3列线性无关 A ⇒ 故321,,ααα是T 的一个最大无关组．[注] 当m ααα,,,21L 为行向量组时, 为列向量组． T T 2T 1,,,mαααL 若矩阵[]T T 2T 1m A αααL = 的列向量组的一个最大无关 组为, 则是行向量组T T ,,1r c c ααL r c c αα,,1L m ααα,,,21L 的 一个最大无关组．课后作业：习题四 7,8 （理解、记忆定理1～7）。
线性代数--第三章向量线性关系秩
β
k1 l
α1
k2 l
α2
kr l
αr
若有: =k11+k22+ …+krr=l11+l22+ …+lrr
则有: 所以:
(k1 l1)1+(k2 l2)2+ …+(krl1)r=0 k1 l1=k2 l2= …=krl1=0
(1, 0, 0, 1)的线性相关性.
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 (k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)=(0,0,0,0)
k1 k1
k3 k2
0 0
k2 k3 0
解得: k1=k2=k3=0. 所以1, 2, 3线性无关.
例3 讨论向量组 1T=(1,1,2), 2T=(0,1, 1), 3T= (2, 3, 3)的线性相关性.
解 设 k11+k22+k33=0 , 即 k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0
就是
(k1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0
所以
k1 +k3 k1 +k2
0 0
k2 k3 0
解得: k1=k2=k3=0
所以向量组1, 2, 3线性无关.
定理3.1 若向量组有一个部分组线性相关, 则此向量 组线性相关.
前面加长向量组的概念中只加了一个分量, 而且加在
了最后一个分量. 也可以加多个分量, 分量也可以加在任
向量组的秩与矩阵的秩的关系_线性代数_[共4页]
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86线性代数规定只含零向量的向量组的秩为0. 由定义3.3.2可知，例1中()123 ,,2r =ααα.一般来说，要求向量组的秩，首先需要求出极大无关组，若按照定义3.3.1去求极大无关组比较麻烦，尤其是定义3.3.1中的第二个条件的判断很困难，在3.3.2节我们还将介绍另外的方法求向量组的极大无关组以及秩.由向量组秩的定义可得：（1）向量组12,,,s "ααα线性相关()12,,,s r s ⇔<ααα"；向量组12,,,s "ααα线性无关(1,r ⇔α)2,,s s =αα"（线性无关的向量组的极大无关组就是该向量组本身）. （2）任何一个部分组的秩≤向量组的秩≤向量组中向量的个数. （3）若向量组12,,,s "ααα可由向量组12,,,t βββ"线性表示，则()()1212,,,,,,s t r r αααβββ""≤.证 设12,,,r i i i ααα"是向量组12,,,s "ααα的极大无关组，12,,,m j j j βββ"是向量组12,,,t βββ"的极大无关组. 因为向量组12,,,s "ααα可由向量组12,,,t βββ"线性表示，而向量组与极大无关组是等价的，所以12,,,r i i i ααα"可由12,,,m j j j βββ"线性表示. 又因为12,,,r i i i ααα"线性无关，根据推论3.2.7，得r m ≤，即()()1212,,,,,,s t r r αααβββ""≤.证毕.（4）等价的向量组具有相同的秩.证 设向量组12,,,s "ααα与向量组12,,,t βββ"等价，它们的秩分别为r 和m . 一方面，向量组12,,,s "ααα能由向量组12,,,t βββ"线性表示，则有r m ≤；另一方面，向量组12,,,t βββ"能由向量组12,,,s "ααα线性表示，则m r ≤. 综合这两方面的结论，可得r m =，即等价的向量组的秩相等.证毕.需要注意的是，若两个向量组的秩相等，它们不一定等价.如向量组()()121,2,1,2,4,2=−=−αα，1α是向量组12,αα的极大无关组，秩为1；而向量组()()120,2,1,0,4,2==ββ，1β是向量组12,ββ的极大无关组，秩为1. 两个向量组的秩相等，但是这两个向量组不等价.例2 试证：若一个向量组的秩为r ，则在向量组内，任意r 个线性无关的向量都构成它的一个极大无关组.证 设12,,,r i i i ααα"为向量组12,,,s "ααα中r 个线性无关的向量. 任取{}12,,,j s ∈αααα"，如果 {}12,,,rj i i i ∈αααα"，则12,,,,r ji i i αααα"线性相关；如果{}12,,,rj i i i ∉αααα"，因为向量组12,,,,r j i i i αααα"的秩不超过向量组12,,,s "ααα的秩，所以()12,,,,1r j i i i r r r <+αααα"≤，于是向量组12,,,,r j i i i αααα"线性相关. 从而12,,,r i i i ααα"是向量组12,,,s "ααα的一个极大无关组.3.3.2 向量组的秩与矩阵的秩的关系由于矩阵和向量组之间存在着一定的关系，所以向量组的秩与矩阵的秩之间也有一定的关系.。
矩阵与向量组的线性相关性
矩阵与向量组的线性相关性矩阵与向量组是线性代数中的重要概念。
矩阵在现代数学中扮演着举足轻重的角色，应用广泛。
而向量组则是线性空间的基础，它和线性相关性密切相关。
矩阵是由数个数排成的矩形阵列。
它可以用来表示线性变换，而线性变换是在线性代数中很重要的一个概念。
矩阵的运算也是一种线性运算，例如加法和乘法。
从矩阵的定义可以看出，它包含了很多的信息，通常我们可以从矩阵中提取出需要的信息并进行处理。
向量组是一组向量的集合。
向量的本质是用来描述线性空间的概念。
每个向量都是线性空间中的一个元素，向量组是用来描述线性空间的基础。
向量组的线性相关性是线性代数中一个非常重要的概念，线性相关性与线性无关性是实现线性代数推理的关键。
线性相关性表示一组向量可以用其它向量线性表示出来的能力，也就是说，如果一个向量可以由其他向量线性表示出来，那么这个向量就是线性相关的。
反之，如果一个向量不能由其他向量线性表示出来，那么这个向量就是线性无关的。
我们经常遇到的是一组向量是否线性相关或线性无关的问题。
向量组可以表示成一个矩阵。
假设我们有一个向量组$V_1,V_2,\ldots,V_n$，用矩阵$A=[V_1,V_2,\ldots,V_n]$表示，我们可以利用矩阵的形式简化计算。
如果向量组$V_1,V_2,\ldots,V_n$是线性无关的，则矩阵$A$的秩为$n$，否则秩将小于$n$。
关于矩阵和向量组的线性相关性，我们可以参考下面的例子：假设我们有一个向量组$\begin{bmatrix}1 \\2\end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix}2 \\4\end{bmatrix}$。
我们可以用一个矩阵来表示这个向量组，即$\begin{bmatrix}1 & 2 \\2 & 4 \end{bmatrix}$。
显然，这个向量组是线性相关的，因为$\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}$可以由$\begin{bmatrix}1 \\2\end{bmatrix}$线性表示出来，即$\begin{bmatrix}2 \\4\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}1 \\2\end{bmatrix}$。
线性代数 第4章 向量组的线性相关性
线性组合: 线性组合
定义 2 给定向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α m , 对于任何一组 实数 k1， k 2， ， k m，向量 ⋯ k1α 1 + k 2α 2 + ⋯ + k mα m 称为向量组 A 的一个 线性组合 ， k1， k 2， ， k m 称为这 ⋯ 个线性组合的系数。
《线性代数》
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第四章向量组的线性相关
维向量； 向量组的线性组合 向量组的线性组合； １、掌握下列基本概念：[1] n维向量；[2]向量组的线性组合；[3] 掌握下列基本概念： 维向量 向量的线性表示； 向量组的线性相关与线性无关 向量组的线性相关与线性无关； 向量组的 向量的线性表示；[4]向量组的线性相关与线性无关；[5]向量组的 极大无关组； 向量组的秩 向量组的秩； 两向量组的等价 两向量组的等价。 极大无关组；[5]向量组的秩；[6]两向量组的等价。 ２、知道向量组线性相关的性质；初步掌握用定义、定理判别向量 知道向量组线性相关的性质；初步掌握用定义、 组的线性相关性。 组的线性相关性。 ３、理解矩阵的秩和向量组的秩之间的关系，熟炼掌握用矩阵的初 理解矩阵的秩和向量组的秩之间的关系， 等变换求向量组的秩和它的极大无关组。 等变换求向量组的秩和它的极大无关组。 ４、理解线性方程组解的结构、基础解系、通解及解空间的概念。 理解线性方程组解的结构、基础解系、通解及解空间的概念。 ５、理解非齐次方程解的结构和通解的概念。 理解非齐次方程解的结构和通解的概念。 ６、熟炼掌握用矩阵来表示向量组，用矩阵及线性方程组理论判 熟炼掌握用矩阵来表示向量组， 别向量组的线性相关性。 别向量组的线性相关性。 ７、知道向量空间、子空间的概念；会求向量空间的基和维数。 知道向量空间、子空间的概念；会求向量空间的基和维数。
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第三讲 向量及其线性相关性教学目的与要求：理解n 维向量、向量的线性组合与线性表示、向量组线性相（无）关的概念；了解并会运用向量组线性相（无）关的有关性质及判定法；了解向量组的极大线性无关向量组和秩的概念，会求向量组的极大线性无关向量组及秩，了解向量组等价的概念，以及向量组的秩与矩阵的秩之关系，了解n 维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念，了解基变换与坐标变换公式，会求过渡矩阵．重点：n 维向量、向量组的线性相关性、极大无关组与秩.§1 n 维向量空间设F 为数域（简单地说，一个包含0和1的数集F 若对四则运算（除数不为0）封闭，则F 为数域，如有理数集、实数集和复数集都是数域，分别称为有理数域、实数域和复数域，以下所涉及的数域是实数域R 或复数域C ）．1. n 维向量的定义：数域F 上的n 个数组成的有序数组(或) T n a a a α),,,(21L ='21),,,(n a a a L 或称为一个n 维（行或列）向量，其中称为向量),,,(21n a a a αL =i a α的第i 个分量或坐标；当F=R (或C ) 时，称为n 维实（或复）向量；数域F 上的n 维向量全体记为，称为数域F 上的n 维向量空间（或n 维数组空间）． nF 注：（1）当n ＝1、2、3时，n 维向量即几何向量的坐标表示，从而几何意义明显；(2) 0＝(称为零向量，称为T)0,,0,0L T n a a a ),,,(21−−−=−L α()T n a a a ...,,,21=α的负向量．(3) n 维行（或列）向量即1×n （或n ×1）矩阵．（4）矩阵的每一行n m ij a A *)(=)...(21in i i i a a a =α为一个n 维行向量，称为矩阵A 的行向量；而A 的每一列为一个m 维列向量，称为矩阵A 的列向量．(Tmj j j j a a a ...21=β) 2．非负实数22221...n a a a +++=α称为向量的模；T n a a a ),...,,(21),...,,(21n a a a 或模为1 的向量称为单位向量． 显然均为n 维单位向量，称为原始单位向量；T n T T e e e )1,,0,0(,,)0,,1,0(,)0,,0,1(21L L L L ===α＝0⇔|α|＝0．3．向量的线性运算（即矩阵的线性运算）设,),,,(21T n a a a αL =,),,,(21Tn b b b βL=则 Tn n βαβαβαβα）＝（±±±±,,,2211L ，()Tn ka ka ka αk ,,,21L =⋅． 4．运算律 设，nF ∈γβα,,,,F l k ∈ 则(1) αββα+=+；（2）(βα+)＋γ＝)(γβα++；（3）αα=+0；（4）0)(=−+αα；αkl αl k αα)()()6(;1)5(==⋅；（7）αααl k l k +=+)(；（8）βαβαk k k +=+)(．§2 向量组的线性相关性一、3R 中向量的共线与共面 设3,,R ∈γβα 1.两个向量βα,共线使R k ∈∃⇔βα⋅=k 或R l ∈∃使αβ⋅=l l k R l k ,(,∈∃⇔不同时为零)使0=⋅+⋅βαl k ．2.三个向量γβα,,共面R l k ∈∃⇔11,使βαγ11l k +=，或,,2222γl αk βR l k ＋＝使∈∃⇔+∈∃γl βk αR l k 3333,＝使或存在不全为零的实数h ，k ，l 使0=++γβαl k h ．我们称共线的两个向量或共面的三个向量为线性相关的．二、向量组及其线性组合1.向量组：同一个向量空间（如）中的若干个向量nF ,...,...,,21s ααα称为一个向量组．2.向量组的线性组合：表达式s s k k k ααα+++....2211称为向量组s ααα,...,,21的一个线性组合，其中；设),...,2,1(s i F k i =∈),,...,2,1(k ,i s i F F n =∈∃∈若β,...11s s k k ααβ++=使可由向量组则称向量βs ααα，，...,21线性表示．3.显然零向量可由任意的向量组线性表示：L L +⋅++⋅+⋅=s ααα000021； 向量组中任一向量均可由该向量组线性表示:s i i i i αααααα⋅++⋅+⋅+⋅++⋅=+−00100111L L ．....,,...A )(......,),,...,2,1(,.42121221121））（）＝（有解（其中即（向量式）线性方程组线性表示，，由则设T s s s s s n i x x x x b b Ax x x x s i F ====+++⇔=∈βαααβααααααββα 例1 ()()T TT T e e e )100(,010,)001(321321====可由β线性表示即有解线性方程组ββ=++⇔++=332211321321x e x e x e e e e ：x 1=１，x ２=２，x ３=３．5．设（A ）t s βββααα...,B ,...,,:2121，，）：和（为中的两个向量组，如果每一个nF ),...,2,1(t j j =β均可由向量组（A ）线性表示，则称向量组（B ）可由向量组（A ）线性表示；如果向量组（A ）也可由向量组（B ）线性表示，则称向量组（A ）与向量组（B ）可以相互线性表示或等价，记为（A ）～（B ）；向量组之间的等价是“等价关系”，即有（1）（A ）～（A ）；（2）若（A ）～（B ），则（B ）～（A ）；（3）（A ）～（B ）且（B ）～（C ），则（A ）～（C ）． 若向量组（A ）可由向量组（B ）线性表示，则s sj j j j ij k k k t j s i F k αααβ+++===∈∃...),...,2,1;,...2,1(2211使（j=1,2,…,t ）,即t s ij s t k K K *2121)(,)...()...(=⋅=其中αααβββ称为表示矩阵．若，则B 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，表示矩阵为K ． t s s n t n K A B ***⋅= 若,则D 的行向量组可由C 的行向量组线性表示,此时也称H 为表示矩阵． t s s n t n C H D ***⋅= 若A 经行（或列）初等变换成为B ，则A 与B 的行（或列）向量组等价．6. 线性方程组的线性组合、线性表示及等价可类似定义与讨论．三、 向量组的线性相关性 设n s F ∈ααα,,,21L 1．线性相关：若存在一组不全为零的数s s i k k k s i k ααα+++=...),,...,2,1(2211使=0，则称为向量组s ααα,...,,21线性相关；否则称为线性无关．线性相关齐次线性方程组n n F ∈ααα,...,,21⇔0...2211=+++s s x x x ααα有非零解⇔矩阵的秩s R s <),...,,(21ααα例2 （1）例1中的）线性相关（，0)1(321,,321321=−+++ββe e e e e e ， 而（；线性无关321,,e e e )00),,()321321332211===⇔==++k k k k k k e k e k e k T(2) 对一个向量α来说，α线性相关⇔α=0；α线性无关⇔α≠0；对两个向量,,βα来说，,,βα线性相关⇔成比例与即＝或βααββα),,(F l k l k ∈∃=（共线）⇔的坐标对应成比例；与βα三个向量γβα,,线性相关⇔存在不全为零的数)(0,,共面使=++βγβαk h l k h ； (3)含有零向量的向量组0,...,21s ααα，，必线性相()0010...02=⋅+++s αα；反之，线性无关的向量组必不含零向量． 2．定理2 向量组（A ）：)(,...,,21s s s ≥ααα线性相关⇔ (A)中至少有一个向量 （如：i α）能由其余s －1个向量（线性表示),...,,,...,,1121s i i ααααα+−．证 （=>）设（A ）线性相关，即存在不全为零的数，),...,2,1(s i k i =使++2211ααk k0...=+s s k α,不放设111111i ...,0+−−−−+−++−=≠i i i i i i i i k k k k k k k αααα则＋s is k k α−+...． （<=）设s s i i l i i l l l l ααααα+++++=++−−......111111，则.)(01,0...)1(...111111线性相关其中A l l l l l i s s i i i i i ⇒≠−==+++−+++++−−ααααα3．线性无关定理3 设， 则以下（1）―（8）等价n s F ∈ααα,...,,21（1）向量组（A ）：s ααα,....,,21线性无关；（2）不存在不全为零的数使),...,2,1(s i k i ==+++s s k k k ααα...22110； （3）对任一组不全为零的数),...,2,1(s i k i =，0...2211≠+++s s k k k ααα； （4）只有0...,0221121=+++====s s s k k k k k k ααα才使L ； （5）若=+++s s k k k ααα...22110，则021====s k k k L ；（6）(A)中任一向量均不能由其余s －1个线性表示； （7）齐次方程组=+++s s x x x ααα...22110只有零解； （8）矩阵的秩s R s =),.....,,(21ααα．（9）当s ＝n 时还有：线性无关nn F ∈ααα,...,,21⇔行列式D ＝|n ααα,,,21L |0． ≠ 例3 （1）在中任意两个向量1F )(),(b a ==βα必然线性相关（共线）；（2）在中任意三个向量2F γβα,,必然线性相关（共面）；（3）在中任意四个向量3F δγβα,,,必线性相关：（a ）若γβα,,线性相关，即存在不全为零的数使321,,k k k 0,04321＝取k k k k ++βγ=α，则不全为零的数k i （i=1,2,3,4），使线性相关；βγδαβγα,,,04321k k k k δ⇒=+++（此结论可一般化，即若向量组(A)的一部分组(A 1)线性相关，则(A)线性相关，见定理5(2)）；（b ）若γβα,,线性无关，则仿照空间直角坐标系，以γβα,,为三个坐标轴（不共面）建立空间坐标系（称为仿射坐标系），使得中任一向量3F δ均可表示成γβαδ321k k k ++=，从而δγβα,,,线性相关（其中（k 1,k 2,k 3）称为δ在此(仿射)坐标系下的(仿射)坐标）； （4）F n 中任意n ＋1个向量必线性相关（与（３）类似证明，另见例６（２） ）．例4 （1）F n 中()()()1,,0,0,,0,,1,0,0,,0,121L L L L ===n e e e 线性无关；证 若02211=+++n n e k e k e k L 即()()00,,0,0,,,2121====⇒=n Tn k k k k k k L L Ln e e e ,,,21L ⇒线性无关．或每个e i 均不可由其余n －1个线性表示（如的任意线性组合），从而线性无关．121,,,−n e e e L ())1,,0,0(0,,,11111L L L =≠=++−−n Tn n n e k k e k e k n e e e ,,,21L （2）,n e e e ,,,21L ()n a a a ,,,21L =β线性相关：n n e a e a e a +++=L 2211β．例5 （1）设321,,ααα线性无关，试证133322211,,ααβααβααβ+=+=+=线性无关．证 设有0332211=++βββx x x ，即0)()()(133322211=+++++ααααααx x x 亦即0)()()(332221131=+++++αααx x x x x x ，由321,,ααα线性无关得，而⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131x x x x x x 02110011101≠==D ，故321321,,0βββ⇒===x x x 线性无关（1994年研招考题实际即本题）．（2）设s ααα,,,21L 线性无关，s 为奇数，则111211,,,ααβααβααβ+=+=+=−−s s s s s L 线性无关（证明与（1）类似）；（3）设s 为偶数，s ααα,,,21L 为任一向量组，则111211,,,ααβααβααβ+=+=+=−−s s s s s L 线性相关()0121=−++−−s s ββββL（（2）、（3）为1998年研招题）；（4）()()()1,0,1,1,1,0,0,1,1321===βββTTT 线性无关；而()(,0,1,1,0,0,0,1,121=)=γγ()(1,0,0,1,1,1,0,043==)γγ线性相关；（5）设s 为奇数，s ααα,...,,21为线性无关向量组，则向量组++=2211ααβj j j k k线性无关),...,2,1(...s j k s sj =+α⇔D=0*≠ss ijk (证明与（1）类似)；（6）设s 为偶数，s ααα,...,,21为任一向量组，D ＝0*=ss ijk ，则向量组s sj j j j k k k αααβ+++=...2211（j=1,2,…,s ）线性相关．四．线性相关性的性质1．定理4 若s ααα,...,,21线性无关，而s ααα,...,,21，α线性相关，则α可由s ααα,...,,21唯一地线性表示．证 （1）因s ααα,...,,21，α线性相关，即存在一组不全为零的数，k k k k s ,,...,,210...2211=+++ααααk k k k s s ＋使，则k ≠0（否则，若k =0，即有0...2211=++s s k k k ααα＋且不全为零，这与s ,...,,21k k k s ααα,...,,21线性无关矛盾）s s l l l αααα=+++⇒...2211,其中k k l i i −=（i=1,2,…,s ），即α可由s ααα,...,,21线性表示．（2）唯一性：设s s s s l l l k k k ααααααα+++=++=......22112211＋，则有由,0)(...)()(222111−++−+−l k l k l k s s s =αααs ααα,...,,21线性无关得k i =l i （i=1,2,…,s ）,从而唯一性得证．２．定理５ （1）设， 若 ns s F ∈+121,,,,ααααL s ααα,...,,21线性相关则121,,,,+s s ααααL 必线性相关（由定义立得）； （2）若向量组（A ）的某个部分组（A 1）线性相关，则向量组（A ）必线性相关（即若部分相关，则整体相关）； （3）若向量组（A ）线性无关，则向量组（A ）的任一部分组（A 1）必线性无关（即若整体无关，则部分无关）； （4）特别地，若向量组（A ）中含有：一个零向量，或有两个成比例（共线）的向量，或有三个“共面”的向量等；则向量组（A ）必线性相关． 3．定理 6 设（升维），j=1,2,…,s. T j n nj j j j T j n j jj a a a a a a a )...(,)...(12121+==βα （1）若向量组（A ）：s ααα,...,,21线性无关，则向量组（B ）：s βββ,...,,21必线性无关； （2）若向量组（B ）线性相关，则向量组（A ）线性相关．证 （1）向量组（A ）线性无关⇒齐次方程组=+++s s x x x ααα...22110只有零解齐次方程组⇒0...2211+++x x x s s =βββ只有零解⇒向量组（B ）线性无关．4． 定理7 设有nF 中的向量组（A ）：和（B ）：r ααα,...,,21s βββ,...,,21； （1）若向量组（A ）可由（B ）线性表示，且r>s ，则向量组（A ）线性相关； （2）若向量组（A ）可由（B ）线性表示，，且向量组（A ）线性无关，则r ； s ≤ （3）若向量组（A ）与（B ）等价，且均线性无关，则r=s ． 证 （1）设（r ααα,...,,21）＝（21ββr s ij s k K K *)(,)...=⋅β，且设＝即00...2211=+++r r l l l ααα（r ααα,...,,21）＝（⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛r l l l M 21s βββ,...,,21）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⋅⋅r l l l K M 21因r>s,从而Ｋ的r 个列（s 维）向量线性相关，故存在不全为零的数,使＝0，从而r l l l ,...,,21⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⋅r l l l K M 210...=+++l l l 2211r r ααα，因此向量组（A ）线性相关．例6 （1）nF 中（线性无关）的任一部分组（仍线性无关）若能由向量组n e e e ,,,21L r i i i e e e ,...,,21s βββ,...,,s 21线性表示，则r ≤；(2) 设s βββ,...,,21为nF 中线性无关的向量组，因s βββ,...,,21可由线性表示，则s ≤n ；反之若n<s ，则n e e e ,...,,21s βββ,...,,21线性相关；特别地，nF 中任意n ＋1个向量必线性相关； (３) nF 中若能由线性无关的向量组n e e e ,,,21L s βββ,...,,21线性表示，（因s βββ,...,,21可由e 线性表示），则二者等价，从而s ＝n ．n e e ,...,,21§3 向量组的秩一、向量组的秩1．定义 设有向量组（A ），若（A ）中存在部分向量组r A ααα,,,:)(210L 满足： （1）（A 0）线性无关，（2）（A ）中任意r ＋1个向量（如果有的话）都线性相关；则称（A 0）为（A ）的一个最（或极）大线性无关向量组，而正整数r 称为向量组（A ）的秩，记为rankA 或R （A ）．并规定仅含零向量的向量组的秩为0，即R （0）＝0．例 1 （1），则)(11,10,01221F e e ∈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ααα,;,;,2121e e e e 均为α,,21e e 的极大无关组，从而2),,(21=αe e R ．（2）因（B ）：线性无关，而F T n T T e e e )1,,0,0(,,)0,,1,0(,)0,,0,1(21L L L L === n 的任意n ＋1个向量均线性相关，故（B ）为F n 的一个最大无关组，从而R （F n ）＝n ； （3）F n 中任意n 个线性无关的向量都构成F n 的一个最大无关组．２．向量组（A ）与其任一最大无关组（A 0）等价；从而向量组（A ）的任意两个最大线性无关组等价．证 因（A 0）线性无关，而对)(A ∈∀α，)A (0与α线性相关)A (0可由α⇒线性表示可由（A )(A ⇒0）线性表示；而（A 0）显然可由（A ）线性表示；故（A ）与（A 0）等价．二、向量组的秩与矩阵的秩的关系１．定理1 矩阵A 的秩与它的行向量组的秩R r （A ）、列向量组的秩R c （A ）都相等． 证 设),,,(21m A αααL =，r A R =)(，并设A 的r 阶子式0≠r D ，记B r 为A 中D r 所在的r 列所成的矩阵，则，即 B r B R r =)(r 的r 个列向量（也是A 中D r 所在的r 个列向量）线性无关；而A 中所有r ＋1阶子式全为0，由定理6（2）知A 中任意r ＋1个列向量线性相关，因此A 中D r 所在的r 个列向量（即B r 的r 个列向量）是A 的列向量组的一个最大线性无关向量组，故．同理可证．r A R c =)(r A R r =)(推论 若矩阵A 的某个s 阶子式0≠s D ，则A 中D s 所在的s 个行（或列）向量线性无关．例2 设，求A 的列向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=97963422644121121112A 51ααL 的最大无关组（A 0）和秩，并把其余向量用（A 0）表示．解 由，而三个非零行的非零首元分别在第1，2，4列，故3)()(00000310000111041211A 11==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−⎯⎯→⎯A R A R A 知＝行变421,,ααα为其最大无关组．再由． 421521321334,00000310003011040101A ααααααα−+=−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−⎯⎯→⎯得＝行变A 定理2 若矩阵A 经行初等变换成为B ，则（1）A 的行向量组（A ）与B 的行向量组（B ）等价；（2）A 的列向量组s ααL 1与B 的列向量组s ββL 1具有相同的线性关系，即有⇔=+011s s k k ααL 011=++s s k k ββL ，F k i ∈．证 （1）若A 经一次初等行变换成为B ，则显然B 的行向量组（B ）可由A 的行向量组（A ）线性表示；反之B 经一次初等行变换（上述逆变换）即成为A ，从而（A ）也可由（B ）线性表示；因此（A ）与（B ）等价成立．)1(⇒ （2）设有011=++s s k k ααL ，即为齐次线性方程组AX ＝0的解，也是的解，即有T s k k x )(1L =T s k k x )(1L =⇒0=BX 011=++ss k k ββL ．推论 若矩阵A 经初等列变换成为B ，则（1）A 的列向量（A ）与B 的列向量组（B ）等价；（2）A 的行向量组与B 的行向量组有相同的线性关系．三、向量组之间的秩关系定理3 若向量组（B ）可由向量组（A ）线性表示，则)()(A R B R ≤．证 设s A αα,,:)(10L 和r B ββ,,:)(10L 分别为（A ）和（B ）的最大无关组，则s A R =)(，，且可由线性表示，即r B R =)()(0B )(0A r s ij k K ×=∃)(使K s r ⋅=)()(11ααββL L ．假设r>s ，因，则方程组r s K R <≤)(0=⋅x K 有非零解，⇒方程组0)(1=Kx s ααL ，即0)(1=x s ββL 有非零解，这与s B ββ,,:)(10L 线性无关矛盾；故s r ≤．推论（1）等价的向量组有相同的秩（显然）；（2）设，则n s s m n m B A C ×××⋅=)}(),(min{)(B R A R C R ≤；（3）设向量组（A ）的部分组（A 0）线性无关，且（A ）可由（A 0）线性表示，即从（A ）中任意加一个向量到（A 0）后即线性相关，则（A 0）为（A ）的极（或最）大无关组．证 （2）C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，B 为此表示的系数阵：;又C 的行向量组可由B 的行向量组线性表示，．)()()()(11A R C R B s n ≤⇒⋅=ααγγL K )()(B R C R ≤⇒ （3）设（A 0）含有r 个向量，则R(A 0)=r ，而（A ）可由（A 0）线性表示，从而A 中任意r ＋1个向量都线性相关，⇒（A ⇒=≤r A R A R )()(00）为（A ）的极大无关组． 注：推论（3）可作为极（或最）大无关组的（等价）定义．例3 设向量组（B ）可由（A ）线性表示，且).(~)(),()(B A B R A R 则= 证法1 只要证（A ）可由（B ）线性表示，从而（A ）～（B ）．设R(A)=R(B)=r ，且设A ，B 的一组最大无关组分别为（A 0）：r r B ββαα,,:)(,,101L L 和．因（B 0）可由（B ）表示，（B ）可由（A ）表示，而（A ）可由（A 0）表示， 表示，即)()(00A B 可由⇒r r K ×∃使K A B 00⋅＝，r K R K R B R r =⇒≤=⇒)()()()(A ),(B 0r 10r 10ααββL L ＝＝，即K 可逆，即（A 111)()(−⋅=⇒K r r ββααL L 0）可由（B 0）线性表示（A ）可由（B ）线性表示（A ）～（B ）．⇒⇒证法2 设向量组（A ）和（B ）一起构成向量组（C ）．则因（B ）能由（A ）表示得（C ）可由（A ）表示．而（A ）能由（C ）表示r C R C A =⇒⇒)()(~)(．于是（B ）的任一最大无关组（B 0）也是（C ）的最大无关组⇒(C) ～( B 0) ～(B) （A ）～（B ）． ⇒例4．已知．证明向量组TT T T )5,3,4,4(,)9,5,6,5(,)1,1,2,3(,)3,1,3,2(1121−−=−−=−−=−=ββαα2121,,ββαα与等价．证法1 只要证明使22×∈∃F Y X ，Y X )()(,)()(21212121ββααααββ==，先求X ，类似于求解线性方程组的方法，对增广矩阵()2121ββαα施行初等行变换化为行最简形矩阵： ()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−=000000002310120159133511462045322121行变ββαα即得． ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=2312X 因01≠=X ，故X 可逆，取,即为所求．因此向量组⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==−23121X Y 2121ββαα与等价（而且将此两个向量组相互线性表示出来：2122112122112,32;2,32ββαββαααβααβ+=+=+−=−=）．证法2 对()21,αα和()21,ββ分别施行初等列变换化为列最简形矩阵：()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−⎯⎯→⎯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=411234521100113112032,21列变αα，()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−⎯⎯→⎯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=411234521100159354645,21列变ββ可见二者由相同的列最简形，于是()21αα可经初等列变换成为()21ββ，由定理2的推论知向量组2121ββαα与等价．证法3 显然21,αα线性无关（二者不成比例），21,ββ线性无关，且由法1知()212121212ββααββαα与⇒=R 都是212,1,,ββαα的最大无关组，从而等价．例5 求向量组54321,,,,ααααα的极大无关组：．()⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−=3110222121022201211121011,,,,54321ααααα 解()⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−⎯⎯→⎯⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−⎯⎯→⎯00000000002001011100201010*********200201110021011,,,,54321行变行变ααααα(3,,,,R 54321＝)ααααα⇒；其极大无关组有7组（为什么？）：421,,ααα;,,;,,;,,;,,;,,;,,;532542531521321541αααααααααααααααααα且有421541322,ααααααα−+=−=．例6（1992-Ⅰ,II ）设321,,ααα线性相关，432,,ααα线性无关．问：（1）1α能否由32,αα线性表出？（2）4α能否由321,,ααα线性表出？ 证明你的结论． 解 （1）1α能由32,αα线性表出．因为32,αα4,α线性无关⇒32,αα线性无关，而321,,ααα线性相关⇒1α能由32,αα线性表出．（2）4α不能由321,,ααα线性表出．否则，若4α能由321,,ααα线性表出，由（1）1α能由32,αα线性表出⇒4α能由32,αα线性表出，与432,,ααα线性无关矛盾．故4α不能由321,,ααα线性表出．例7（1995-Ⅳ）已知向量组(Ⅰ)321,,ααα (II) 4321,,,αααα (III) 5321,,,αααα的秩分别为．证明向量组（Ⅳ）4)(,3)()(===ⅢⅡⅠR R R 45321,,,ααααα−的秩为4． 证 因线性无关，(II)线性相关)(3)()(ⅠⅡⅠ⇒==R R 4α⇒可由321,,ααα唯一地线性表出3322114ααααk k k ++=．假设)()(0332211454332211454332211ααααααααααααk k k l l l l l l l l l ++−+++=−+++= 54334322421141)()()(ααααl k l l k l l k l l +−+−+−=， 由即4)(=ⅢR 5321,,,αααα线性无关得0434324241==−=−=−l k l l k l l k l l 04321====⇒l l l l即45321,,,ααααα−线性无关，故4)(=ⅣR ．§4 向量空间设F 是数域，V=F n 为F 上的向量空间，它是数域F 上的线性空间，即其中向量有加法和数乘这两个线性运算，且满足是八条运算律（详见教材第六章）．一、三维实向量空间的基与坐标 （复习与推广）1. 由空间解析几何知道，在R 3中建立直角坐标系（即取定成右手系的相互垂直的单位向量i , j , k ）后，向量组e 1=()001T , e 2=()010T , e 3=()100T 为R 3的一个极大无关组，即e 1，e 2，e 3线性无关，且＝(α∀a 1 a 2 a 3) T ∈R 3均可由e 1，e 2，e 3唯一地线性表示：α＝a 1e 1+a 2e 2+a 3e 3，或R 3可由e 1，e 2，e 3线性生成，故称e 1，e 2，e 3为R 3的一组基，且称R 3为3维实向量空间．2. 称a i (i=1,2,3)为向量α＝(a 1a 2a 3)T 在基e 1，e 2，e 3下的第i 个坐标（分量），且称(a 1 a 2 a 3)T 为α在基e 1，e 2，e 3下的坐标（表示）．3. R 3中任意3个线性无关的向量α1 、α2 、α3均构成R 3的一组极大无关向量组，都可作为R 3的一组基，∈∀α R 3均可由α1 、α2 、α3唯一地线性表示：α＝b 1α1＋b 2α2＋b 3α3 称b i 为 在基α1 、α2 、α3下的第i 个坐标，且称(b 1，b 2，b 3)T 为α在基α1 、α2 、α3下的坐标（表示）．例1 （1） α1＝( )001T ，α2＝( )011T ，α3＝( )111T ，为R 3的一组基，α∀＝（a 1a 2a 3）∈R 3在此基下的坐标为（a 1－a 2，a 2－a 3，a 3）：α＝（a 1－a 2）α1＋（a 2－a 3）α2＋a 3α3．（2）β1＝()111T ，β2＝( )110T ，β3＝( )100T ，为R 3的一组基，α∀＝（a 1a 2 a 3）∈R 3在此基下的坐标为（a 1，a 2－a 1，a 3－a 2）：α＝a 1β1＋(a 2－a 1)β2＋(a 3－a 2)β3．二、向量空间的基、维数和坐标1.基与维：向量空间V=F n 的任一极大线性无关组（必含有n 个向量）称为V 的一组基，于是称n 为V 的维数，记为dimV ，即dimV=n2.坐标：设α1，．．．，αn 为V 的一组基，∈∀αV 可由α1，．．．，αn 唯一地线性表示： α＝a 1α1＋．．．＋a n αn ，称a i 为α在基α1，．．．，αn 下的第i 个坐标（分量），称(a 1，．．．，a n )T 为α在基α1，．．．，αn 下的坐标（向量），记为α＝（α1 ．．．αn ）(a 1 ．．．a n )T 例2、设V=F n ，则（1）e 1=()001L T ，e 2=()010L T ，e n =()100L T , 为V 的基，∈∀αV ，α＝(a 1a 2a L n )T ，则α＝(e 1e 2e L n )(a 1a 2a L n )T ；（2）α1＝()001L T ，α2＝()011L T ，＝()n α,L 111L T ，为V 的基, α∀＝(a 1a 2a L n )T ∈V ，则α＝(α1α2αL n )( a 1－a 2 a 2－a 3 L a n-1－a n a n )T , β1＝()111L T ,β2＝( )110L T ,L βn ＝( )100L T 为V 的基，=∀α(a 1a 2a L n )T ∈V ，则α＝(β1β2L βn )( a 1 a 2－a 1 L a n-1－a n-2 a n-1－a n )T ．3.基变换 设V=F n 的两组基（E ）：e 1e 2L e n 和（D ）：d 1d 2L d n ，则d j ＝t 1j e 1+t 2j e 2+L +t nj e n(j=1,2, L n)；若记T ＝(t ij )n ×n 则有（d 1d 2L d n ）＝（e 1e 2L e n ）T L （1）并且T 可逆（记T ＝（t 1t 2 L t n ）,t j ∈F n 为T 的第j 个列向量，设(t 1t 2 L t n )(k 1k 2L k n )T ＝k 1t 1+k 2t 2+k L n t n =0，k ⇒1d 1+k 2d 2++k L n d n =(d 1d 2L d n )( k 1k 2L k n )T =(e 1e 2L e n )( t 1t 2L t n )( k 1k 2L k n )=0，而d T 1 d 2 L d n 线性无关⇒k 1=k 2= L =k n =0 t ⇒1，t 2, L ,t n 线性无关 T 可逆），于是有（⇒e 1e 2L n e ＝(d 1d 2L d n )T -1L （2）（1）式和（2）式分别称为从旧基（E ）：e 1e 2L e n 到新基（D ）：d 1d 2L d n 和从新基（D ）到旧基（E ）的基变换公式，其中T 称为从旧基（E ）到新基（D ）的过度矩阵．例3 （1）R 3中基e 1e 2e 3到基α1α2α3和基β1β2β3（同例1）的过度矩阵分别为 T １＝（T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1001101111-1=）和T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−1001100112= (T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1110110012-1=)； ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−110011001（2）V=F n 中，从基e 1e 2e L n 到基α1α2αL n 和基β1β2．．．βn （同例2）的过度矩阵 分别为T 1=，（T ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10000110001111011111L L L L L L L L L L 1-1=） ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−10000110000011000011L L L L L L L L L L 和T 2=（T ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111011110001100001L L L L L L L L L L 2-1=）． ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−11000010000001100001L L L L L L L L L L 4. 坐标变换：设∈αV 在旧基（E ）和新基（D ）下的坐标分别为x=(a 1a 2a L n )T 和 y=(b 1b 2b L n )T ，即α＝(e 1e 2e L n ).x=( d 1d 2d L n ).y ，而（e 1e 2e L n ）＝（d 1d 2d L n ）.T -1，从而( d 1d 2d L n ).y ＝( d 1d 2d L n ).T -1.x ，由坐标的唯一性知 y=T -1.x ，此式称为由(向量α的)旧坐标x 到新坐标y 的坐标变换公式，而T -1称为由旧坐标x 到新坐标y 的坐标变换矩阵．例4 （1）设α＝(a 1a 2a 3)T ∈R 3在基α1α2α3（同例1）下的坐标为x=(x 1 x 2 x 3)T ， 即α＝（α1α2α3）x ＝x 1α1＋x 2α2＋x 3α3，则x ＝T 1-1 (a 1a 2a 3)T =(a 1－a 2，a 2－a 3，a 3)T （与例1结果相同）设α＝(a 1a 2a 3)T ∈R 3在基β1β2β3（同例1）下的坐标为y=(y 1 y 2 y 3)T ，即α＝(β1β2β3).y ＝y 1β1+y 2β2+y 3β3，则y=T 2-1(a 1a 2a 3)T ＝（a 1，－a 1＋a 2，－a 2＋a 3），即y 1=a 1，y 2= －a 1＋a 2，y 3=－a 2＋a 3（与例１结果相同）； （2）同理可得α∀＝(a 1a 2a L n )T ∈R n 在例2中的新基α1α2αL n 和β1β2βL n 下的坐标分别为x=T 1-1α和y=T 2-1α，即x=(a 1－a 2，a 2－a 3 ，L a n-1－a n ，a n )T 和y=(a 1，－a 1＋a 2，L －a n-1＋a n )T（3）R 2中由基e 1=()01T ，e 2=()10T 到新基α1= (2121)T ，α2= (2121−)T 的坐标变换即为旋转（4π），其过渡矩阵为T=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−21212121，坐标变换矩阵为T -1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−21212121，坐标变换公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−=+=x x y x x y 21221121212121（4）平面（R 2）上旋转θ角的坐标变换相的过渡矩阵为T=，坐标变换矩阵为T ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−θθθθcos sin sin cos -1=，坐标变换公式为 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−θθθθcos sin sin cos ⎪⎩⎪⎨⎧+−=+=θθθθcos sin sin cos 212211x x y x x y 三、向量子空间1. 定义：设≠φV F ⊆n ，如果对F n 中向量的加法和数乘两线性运算封闭，即对∈∀βα,V 及∀k ∈F ，有α＋β，k α∈V ，则称V 为F n 的子（向量）空间．注: （1）子（向量）空间本身是一个向量空间，从而有基、维数、坐标等概念．若dimV=m ，（m n ）则称V 为F ≤n 的m 维子空间；当m=n 时，即有V=F n ．（2）显然O ＝{0}为F n 的子空间，称为零子空间，其维数为0；V=F n 是F n 的子空间；O 和F n 称为F n 的平凡子空间，而F n 的其它子空间称为非平凡子空间．2. 生成子空间：对∀α1α2αL s ∈F n ，记V=L[α1α2αL s ]={k 1α1+ k 2α2+L + k s αs | k i ∈F,i=1,2,3,s}，显然V 对向量的加法和数乘封闭，从而V 为F L n 的子空间，称为由向量α1α2αL s 线性生成（或张成）的子空间；设α1α2αL r 为α1α2αL s 的极大线性无关组，则V 中任一向量均有α1α2αL r 线性表示，从而α1α2αL r 为V 的一组基，于是dimV = r (0≤ rn)；若R(≤α1α2αL s )=n ，则V = L(α1α2αL s )=F n ．例5 （1）V 1={α=（0 a 2a L n |a i ∈F ，i=2, L n ）}为F n 的一个子空间，易证 e 2=()010L T , L ，e n = ()100L T 为V 1的一组基，从而dimV 1＝n-1； （2）V 2={α= (1 α2αL n )| a i ∈F,i=2,3, L n}对F n 的加法和数乘都不封闭（α1＋α2＝（2，）∉V L 2，3α＝（3,L ）∉V 2）,从而V 2不是F 的子空间； n （3）V 3＝{α= (,2a )|R }对加法封闭，但对数乘不封闭（(－1)a T a ∈+α＝（－,－2）a a ∉V 3）,故V 3不是R 的子空间；2V 4={()b a ,T |=或=2，b a b a ∈a R}对数乘封闭，但对加法不封闭（ ()a a ,T +()a a 2,T =()a a 3,2T ∉ V 4）,故V 4也不是R 2的子空间．3. 子空间的运算 设V 1,V 2为F n 的两个子空间．(1) 交子空间：V 1∩V 2＝{α|α∈V i ，i=1,2}；(2) 和子空间：V 1＋V 2＝{βα+|α∈V 1 ,β∈V 2}；易证：V 1∩V 2和V 1＋V 2都对加法和数乘封闭，从而都是F n 的子空间；但是V 1∪V 2 ＝{α|α∈V 1或α∈V 2}一般不是F n 的子空间．4. 维数公式（1）dim V1+dim V2=dim(V1＋V2)+dim(V1∩V2)；≥1+dim V2－dimV；（2）dim(V1＋V2)≤ dim V1+dim V2；dim(V1∩V2) dim V若dim V1+dim V2 > dimV，则V1∩V2≠0．例6V=R3,V1={α=(a1，a2，0)T| a i∈R,i=1,2 }, V2={β=(0,b1,b2)T|b i∈R,i=2,3 },则V1，V2均为V的2维子空间（即分别为空间坐标系中的xy面和yz面），V1∩V2＝{γ=(0,c,0)T|c∈R}为1维子空间（即y轴），V1＋V2＝V，满足dimV1+dimV2=4=3+1=dim(V1＋V2)+dim(V1∩V2)．。
线性代数课件3-4矩阵秩与向量组秩的关系
1
其 中 i a i 1 , a i 2 , a in 是 A的 第 i 行 构 成 的 向 量
i= 1 ,2 , m
将该矩阵按列分块得到
A 1
a1 j a2 j 其中 j a 是 A 的 第 j列 构 成 的 mj
3 2 0 0
10 3 0 0
2 3 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
3 2 0 0
2 3 B 0 0
所以
r ( A ) r (B ) 2
故列向量组的 秩为2，即列向量 组的极大无关组含有2个向量，显然，
1 0 0 0
4 7 22 15
5 14 44 30
10 21 66 45
1 0 0 0
4 7 22 15
5 14 44 30
10 1 r2 21 7 1 1 r3 , r 66 22 15 45
2
n
向量
j= 1 ,2 , n
1 , m 称为A的行向量组 1， n 称为A的列向量组
定义9 矩阵A的行向量组的秩成为A 的行秩，A的列向量组的秩称为A的 列秩。 矩阵A的秩与其行秩和列秩有 什么关系呢？
先看一个例子
课后作业： P147 ：8（4）
并试用数学软件 MATLAB来解次题
1 0 B 0 0 0 0 1 0 0 0 a1 a2 0 0 0 0 0 1 0 0 b1 b2 b3 0 0 0 0 0 1 0
此矩阵为具有4个非零行的 B-型矩阵
RB 4
线性代数 向量组的线性相关性知识分享
线性代数向量组的线性相关性第三节 向量组的线性相关性分布图示★ 线性相关与线性无关★ 例1★ 例2★ 证明线性无关的一种方法线性相关性的判定★ 定理1★ 定理2 ★ 例3★ 例4★ 例5★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5★ 例7 ★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题3-3内容要点一、线性相关性概念定义1 给定向量组,,,,:21s A αααΛ 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k Λ 使,02211=+++s s k k k αααΛ (1)则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关.注: ① 当且仅当021====s k k k Λ时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21Λ线性无关;② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;③ 向量组只含有一个向量α时，则（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例.⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.二、线性相关性的判定定理1 向量组)2(,,,21≥s s αααΛ线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示.定理2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j ΛM =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组s ααα,,,21Λ线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A αααΛ=的秩小于向量的个数s .推论1 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是: 矩阵),,,(21n A αααΛ= 的秩等于（小于）向量的个数n .推论2 n 个n 维列向量组n ααα,,,21Λ线性无关（线性相关）的充要条件是:矩阵),,,(21n A αααΛ= 的行列式不等于（等于）零.注: 上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.推论3 当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关.定理3 如果向量组中有一部分向量(部分组)线性相关，则整个向量组线性相关.推论4 线性无关的向量组中的任何一部分组皆线性无关.定理4 若向量组βαα,,,1s Λ线性相关, 而向量组s ααα,,,21Λ线性无关, 则向量β可由s ααα,,,21Λ线性表示且表示法唯一.定理5 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββαααΛΛ向量组B 能由向量组A 线性表示, 若t s <, 则向量组B 线性相关.推论5 向量组B 能由向量组A 线性表示, 若向量组B 线性无关, 则.t s ≥ 推论6 设向量组A 与B 可以相互线性表示, 若A 与B 都是线性无关的, 则.t s =例题选讲例1 设有3个向量(列向量):,421,221,101221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.例2 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使 ,02211=+e e λλ 也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ即 .0002121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个向量.例3 (E01) n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21ΛΛΛΛ===εεε称为n 维单位坐标向量组, 讨论其线性相关性.解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E εεε,,,Λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001ΛΛΛΛΛΛΛ 是n 阶单位矩阵.由,01≠=E 知.n E r =即E r 等于向量组中向量的个数, 故由推论2知此向量是线性无关的.例4 (E02) 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性相关性.解 对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩，可同时看出矩阵A 及),(21αα=B 的秩，利用定理2即可得出结论.),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-2125r r ,000220201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 易见，,2)(=A r ,2)(=B r 故向量组,,,321ααα线性相关. 向量组21a a ,线性无关.例5 判断下列向量组是否线性相关:.11134,1112,5121321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα解 对矩阵)(321ααα,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1115111312421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----990330550421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000110421 秩,,,32)(321<=ααα所以向量组321ααα,,线性相关.例6 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321=+++++αγγββαk k k （1）成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k （2） 因为110011101,02≠=故方程组（2）仅有零解.即只有0321===k k k 时（1）式才成立.因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.例7 (E03) 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明 (1) 1a 能由32,a a 线性表示; (2) 4a 不能由321,,a a a 线性表示.证明（1）因432ααα,,线性无关，故32,αα线性无关，而321ααα,,线性相关，从而1α能由32αα,线性表示；（2）用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示，而由（1）知1α能由32αα,线性表示，因此4α能由32αα,表示，这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.课堂练习1. 试证明:(1) 一个向量α线性相关的充要条件是0=α; (2) 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;(3) 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =（两式不一定同时成立）。
第三章向量组的线性关系与秩
0 a3 = 0 1
1 a4 = 0 1
线性相关。 线性相关。 两个向量线性相关就是它们的对应分量成比例.如 两个向量线性相关就是它们的对应分量成比例 如
a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = ( b1 , b2 , b3 )
向量组的极大无关组和秩； 向量组的极大无关组和秩；
（二）考试要求
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
1、理解n维向量的概念，向量的线性组合和线性 、理解 维向量的概念 维向量的概念， 表示。了解向量组等价的概念 向量组等价的概念。 表示。了解向量组等价的概念。 2、理解向量组的线性相关和线性无关的定义， 向量组的线性相关和线性无关的定义， 、理解向量组的线性相关和线性无关的定义 了解并会用向量组的线性相关和线性无关的有关 了解并会用向量组的线性相关和线性无关的有关 性质及判别法。 性质及判别法。 3、理解向量组的极大无关组和秩的概念，理解矩阵 向量组的极大无关组和秩的概念， 、理解向量组的极大无关组和秩的概念 理解矩阵 的秩的概念及其行列向量组的秩的关系。 的秩的概念及其行列向量组的秩的关系。会求矩阵的 秩及向量组的极大无关组和秩。 秩及向量组的极大无关组和秩。 4、理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行 、理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行 向量组等价的概念 (列)向量组的秩之间的关系。 向量组的秩之间的关系。 列 向量组的秩之间的关系 本章的理论基础 本章的理论基础 线性表示→ 线性相关性 →极大无关组和秩 → 矩阵的秩
矩阵和向量组的关系
矩阵和向量组的关系概述
矩阵和向量组之间存在密切的关系，主要表现在以下几个方面：
1. 向量可以视为矩阵的特例：单个向量可以视为一个一阶矩阵，而多个向量组合在一起就组成了矩阵。
矩阵的每一行可以视为一个行向量，每一列可以视为一个列向量。
2. 矩阵的秩等于其所在向量组的秩：矩阵的秩是其行向量组和列向量组的秩的最小值。
这意味着矩阵的秩反映了其所在向量组的线性相关性。
3. 矩阵的乘法对应于向量的线性变换：如果矩阵A左乘一个向量x，得到的结果是A的列向量对x进行线性组合后的结果。
这表明矩阵的乘法对应于向量的线性变换。
4. 矩阵的特征值和特征向量对应于向量组的线性变换：对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零向量x和实数λ，使得Ax=λx成立，则称λ是A的特征值，x是A的特征向量。
这表明矩阵的特征值和特征向量对应于向量组的线性变换。
5. 矩阵的行空间和列空间对应于向量组的线性子空间：矩阵的行空间是由其行向量张成的线性子空间，列空间是由其列向量张成的线性子空间。
这表明矩阵的行空间和列空间对应于向量组的线性子空间。
综上所述，矩阵和向量组之间存在密切的关系，它们在许多方面是相
互关联的。
了解矩阵和向量组之间的关系有助于更好地理解它们的性质和应用。
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∴当 t＝-1 或 t＝2 时，线性相关。 4．若 α 1 ， α 2 ， α 3 ， α 4 线性无关，问 ⑴ 向量组 α 1 − α 2 ， α 2 − α 3 ， α 3 − α 4 ， α 4 − α 1 是否线性无关？ 解：设 α 1 − α 2 ， α 2 − α 3 ， α 3 − α 4 ， α 4 − α 1 线性相关 有 k 1 (α 1 − α 2 ) + k 2 (α 2 − α 3 ) + k 3 (α 3 − α 4 ) + k 4 (α 4 − α1 )
∴
2 x1 + 7 x2 + 3 x3 + x4 = 6 − 11x2 − 5 x3 + x4 = −10
2 x3 0 x1 − 11 当 = 时， = 10 （特解） x4 0 x 2 11 1 x 3 − 1 x1 − 11 x 0 x1 − 9 ；当 3 = = 时， = 时， = 5 x4 0 x 2 11 x4 1 x2 1
3． 如下方程组有解的充分必要条件是什么？有解时，求其通解
x1 − x 2 x − x 2 3 x3 − x4 x − x 5 4 x5 − x1
= a1 = a2 = a3 = a4 = a5
解：上述 5 个等式相加，得 a1 + a2 + a3 + a 4 + a5 = 0 ，是有解的充分必要条件；
6 4 2
3 1 6 3 1 6 2 7 3 1 6 2 7 2 7 解：∵ 3 5 2 2 4 ⇒ 0 − 11 − 5 1 − 10 ⇒ 0 − 11 − 5 1 − 10 0 0 0 9 4 1 7 2 0 − 11 − 5 1 − 10 0 0
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a1 + a 2 + a 3 + a 4 1 a + a +a 1 3 4 2 （特解） ∴ξ 0 = a3 + a4 ， ξ 1 = 1 ； a4 1 0 1
∴ x = [a1 + a2 + a3 + a 4
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数学部分
− 16 1 1 5 23 − 2 − 2 − 6 ξ 0 = 0 （特解） ，ξ1 = 1 ，ξ 2 = 0 ，ξ3 = 0 0 0 1 0 0 0 0 1
2 5) ， α 3 = (1 3 6 )
1 1 1
解：∵ 0
1 1 1
2 5⇒0 2 5 1 3 6 0 0 0
⑵ β1 = (1 − 1 2
∴线性相关
1 −1 2
解：∵ 0
4 ) ， β 2 = (0 3 1 2 ) ， β 3 = (3 0 7 14 ) 4 1 −1 2 4 1 −1 2 4
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第三部分 线 性 代 数
第十一章 向量的线性相关性与矩阵的秩 第1节 n 元向量的线性运算・高斯消元法（P237 ） 1． 求下列非齐次线性方程组 AX = b 的一般解：
2 7 3 1 ⑴ A = 3 5 2 2，b = 9 4 1 7
= ( k1 − k 4 )α 1 + ( k 2 − k1 )α 2 + ( k 3 − k 2 )α 3 + ( k 4 − k 3 )α 4 = 0 ∵α 1 ， α 2 ， α 3 ， α 4 线性无关
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⑵ 向量组 α 1 + 2α 2 ， α 2 + 2α 3 ， α 3 + 2α 4 ， α 4 + 2α 1 是否线性无关？ 解：设 α 1 + 2α 2 ， α 2 + 2α 3 ， α 3 + 2α 4 ， α 4 + 2α 1 线性相关 有 k 1 (α 1 + 2α 2 ) + k 2 (α 2 + 2α 3 ) + k 3 (α 3 + 2α 4 ) + k 4 (α 4 + 2α1 ) = 0 整理得 ( k1 + 2k 4 )α1 + (k 2 + 2k1 )α 2 + ( k 3 + 2k 2 )α 3 + ( k 4 + 2k 3 )α 4 = 0 ∵α 1 ， α 2 ， α 3 ， α 4 线性无关
当
2 1 − 11 − 9 − 11 10 1 5 11 ∴x = + k 1 + k 2 11 （ k 1 ， k 2 为任意常数） 0 0 −1 0 1 0
1 3 ⑵ A= 0 5 1 3 0 5
− 1 − 1) ， β 2 = (− 1 t − 1) ， β 3 = (− 1 − 1 t ) 线性相关？
T T
T
t
解：∵ − 1
−1 −1
t − 2 −1 −1
t −2 0 0
−1
−1
t −1 = t − 2 t −1 = −1 −1 t t − 2 −1 t
t + 1 0 = (t − 2)(t + 1) 2 0 t +1
1 1
λ +2 1 1
λ +2 0 0
1
1
λ 1 = λ +2 λ 1 = 1 1 λ λ +2 1 λ
λ −1 0 = (λ + 2)( λ − 1) 2 0 λ −1
∵D＝0 时，方程组有唯一解； ∴λ＝-2 或 1 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------第 2 节 向量的线性相关性（P244 ） 1． 判别下列向量组的线性相关性： ⑴ α 1 = (1 1 1) ， α 2 = (0
k1 − k 4 k − k 2 1 ∴ k 3 − k 2 k 4 − k3
=0 =0 ⇒ k1 = k 2 = k 3 = k 4 ，∴该向量组线性相关。 =0 =0
k1 + 2k 4 k + 2k 2 1 ∴ k + 2 k 2 3 k 4 + 2k 3
=0 =0 ⇒ k1 = k 2 = k3 = k 4 = 0 ，∴该向量组线性无关。 =0 =0
5． 若 { α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 }线性相关，但其中三个向量线性无关，则存在一组全不为零的数 λ1 ，λ 2 ，
λ3 ， λ 4 ，使得 λ1α 1 + λ 2α 2 + λ3α 3 + λ4α 4 = 0 。
1 −1 0 0 0 0 1 −1 0 0 ∵ 0 0 1 −1 0 0 0 0 1 −1 − 1 0 0 0 1
a1 a2 a3 ⇒ a4 a5
a1 1 − 1 0 0 0 0 1 − 1 0 0 a2 0 0 1 − 1 0 a3 a4 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 0 a + a + a + a + a 1 2 3 4 5
x = [− 16 23 0 0 10] + k1 [1 − 2 1 0 0] + k 2 [1 − 2 0 1 0] + k 3 [5 − 6 0 0 1] （ k 1 ， k 2 ， k 3 为任意常数）
T T T
∴
T
2． 求参数 t 的值，使如下方程组有唯一解，有无穷多解，无解，有解时，求其解。
解：运用高斯消元法，有
1 2 1 4
1 1 2 3
1 1 7 1 − 3 − 2 ⇒ 2 6 23 3 − 1 12
x1 + x 2 + x3 + x4 + x 5 = 7 ，取 x1 、x2 为基本未知量，其余的 x3 、x4 、x5 取为自由未知量， − x 2 − 2 x3 − 2 x 4 − 6 x 5 = −23
a2 + a 3 + a 4
a3 + a4
a4
0] + k [1 1 1 1 1] （k 为任意常数）
T T
4． λ取何值时，如下方程组有非零解？
λx1 + x 2 + x3 = 0 x1 + λx 2 + x3 = 0 x + x + λx = 0 1 2 3 λ
解： D = 1
∴线性相关
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2．下列命题哪个成立？ (A) 若α 1， L，α s 线性无关，则 α 1， L，α s， L，α m 必线性无关（s＜m） 。[不成立] (B) 若 α 1， L，α m 线性相关，则必包含零向量。[不成立] (C) 若α 1，α 2， L，α m 线性相关，则 α 1，α 2， L，α m−1 也线性相关。[不成立] (D) 在三维向量中，必有四个向量是线性无关的。[不成立] (E) 若α 1， L，α m 线性相关，则其中任意两个向量线性相关。[不成立] (F) 若α 1，α 2 线性相关，则 α 1 + α 2，α1 − α 2 也线性相关。[成立] 3．t 取何值时， β1 = (t